www.goncaiwo.wordpress.comCONJUNTOS

Consideremos el siguiente ejemplo:

Entonces:Notacin: CRelacin de pertenencia: 2 C 8 C {1; 2} C 5 C 6 CCardinal de un conjunto: n(C) = 50. DETERMINACION DE UN CONJUNTO1.1 Por Comprensin o de forma constructiva: Ejemplo:A = {x/x es un nmero natural par menor que 15}B = {x/x es una vocal abierta}C = x/x N 4 x 71.2 Por extensin o de forma tabular: Ejemplo:Desarrollando los conjuntos que estn escritos arriba por comprensin sern escritos por extensin as:A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}B = {a, e, o}C = 5, 6, 7Observacin: No todos los conjuntos se pueden determinar por comprensin y extensin a la vez.Ejemplo:

Por comprensin, tenemos:

0. CLASES DE CONJUNTOPOR EL NMERO DE ELEMENTOS:a) Vaco o Nulo: se denota por: Ejemplo: A = x N/ 5 x 6Desarrollando por extensin ser: A = oA = b) Unitario o Singletn: Ejemplo: G = x Z / - 4 x - 2Desarrollando por extensin ser: G = -3c) Universal: (U) Ejemplo: UN.1 .2 ZQ*R3,25C.-3.-7Q-3/7

Donde:

U = -7 -3 ; ; 1; 2 ; ; 3,25 (Conjunto Universal)N = 1; 2 Z = -7 -3 ; 1; 2

Q = -7 -3 ; ; 1; 2

Q* = d) Finito M = x/x es una ciudad del Pere) Infinito K = x/x es un nmero natural POR LA RELACIN ENTRE LOS CONJUNTOSa) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningn elemento comn. Su grfica es: A B =

Ejemplo: A = 1; 2; 4; 6 B = 5; 8; 16; 3 Entonces: A B = b) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento comn (pero no todos). Su grfica es: A B

Ejemplo: A = 5; 4; 6 B = 5; 8; 16 Entonces: A B = 5 c) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B B A. Su grfica es:

BA AB Ejemplo: A = 2; 3 B = 2; 3; 5; 8 Entonces: A B d) Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunvoca. (tienen el mismo nmero de elementos)Ejemplo: A = 5, 6, 8, 9 B = m, b, g, kEntonces: n(A) = n(B) = 4Luego: A y B son Conjuntos equivalentes0. CONJUNTO ESPECIALES Conjunto de Conjuntos: Tambin se le denomina "Familia de Conjuntos" y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos: Ejemplo: A = 3, 1, 4, 6, 7 Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.Se le denota por: P(A)El nmero de elementos de P(A) est dado por: 2n, donde "n" representa el nmero de elementos del conjunto A.Es decir: nP(A) = 2n(A)Ejemplo:Si: A = 1, 3 y n(A) = 2 elementos n P(A) = 2n(A) = 22 = 4 Luego: P(A) = , 1, 3, 1, 30. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Relacin de Inclusin: Es la relacin que existe entre dos conjuntos:Se dice que "El conjunto A est incluido en el conjunto B (Se denota A B), cuando todo elemento que pertenece al conjunto A tambin pertenece al conjunto B. Es decir: A B x, xA xBNmero de subconjuntos de A: nP(A) = 2n(A)Ejemplo:Si: A = 1; 2; 3 y n(A) = 3 elementos Nmero de subconjuntos de A: n P(A) = 2n(A) = 23 = 8y P(A) = , 1,2, 3, 1, 3 1,2, 2, 31, 2, 3Observacin: Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si. A B y A B. Nmero de subconjuntos propios de A: 2n(A) - 1 Relacin de Igualdad: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir: A = B A B B AEjemplo:Sean: A = 1; 2; 3 B = x/x N 0 x 3 Desarrollando por extensin al conjunto B se tiene: B = 1; 2; 3 Luego A = B OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

3. Unin o Reunin (AB): A B x/x A x B

Ejemplo: Si: A = 1; 2; 3 y B = 3; 4; 5 Luego: A B = A = 1; 2; 3; 4; 5Propiedades.a) AB = BAb) AA = A c) A(AB) d) A = Ae) B (AB)f) AU = U donde U = Conjunto Universal3. Interseccin (AB): AB = x/x Ax B Ejemplo: Si A = 1; 2; 3 y B = 3; 4; 5Luego: A B = 3 3. Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al conjunto "B". Es decir: A - B = x/x A x BEjemplo: Si A = 1; 2; 3 y B = 3; 4; 5Luego: A - B = 1; 2 Propiedades:a) A-B B-A b) A-A = c) (A-B) A d) A - = A e) (B-A) Bf) - A = h) (A-B) (AB) = AGrficamente se tiene:

A-B B-A A-B B-A

A-B B-A =Observacin: A - B = = B - A A = B3. Diferencia Simtrica (AB): A B = x/xA xB; x(AB)Tambin: AB = (A-B)(B-A) AB = (AB) - (AB)

Ejemplo:Si: A = 1; 2; 3 y B = 3; 4; 5Luego: A B = 1; 2; 4; 5 Propiedades:a) AA = b) A = Ac) AB = BAd) Si: A y B son conjuntos disjuntos, entonces AB = AB e) Si: B est incluida en A, entonces: AB = A - B3. Complemento (A') (A): A' = x/xU xA

A' A' A'Ejemplo: Si A = 1; 2; 3 y U = 1; 2; 3; 4; 5Luego: A' = 4; 5 Propiedades:a) AA' = U b) AA' = c) (A')' = A d) ' = ULeyes de Morgan:(AB)' = A' B'(AB)' = A' B'Observacin: Tres conjuntos A, B y C que en un diagrama de Venn se representan secantes, mutuamente quedan divididos en siete regiones. El nmero de elementos de cada regin de dichos conjuntos puede calcularse del modo siguiente:

Slo A = n1 = n(A) n(BC)Slo B = n2 = n(B) n(AC)Slo C = n3 = n(C) n(AB)Slo A y C = n4 =n(AC) n(B)Slo A y B = n5 =n(AB) n(C)Slo B y C = n6 =n(BC) n(A)A, B y C en conjunto = n7 = n(A BC)ni A, ni B ni C = n8 = n(U) n(A B C)

EJEMPLOS DE APLICACIN1. De 180 alumnos de la U.M.B el nmero de los que estudian Matemtica es el doble de los que estudian Lenguaje. El nmero de alumnos que estudian ambos cursos a la vez es el doble de los que estudian solo lenguaje e igual a los que no estudian algunos de esos cursos Cuntos alumnos estudian slo Matemtica?

M L 2x 4x x2xU(180)Solucin: Tenemos2x + 4x + 2x + x = 1809x = 180x = 20Entonces:Slo Matemtica llevan 4x = 80 alumnos

2. Qu representa la regin sombreada? a) (A - B) (A - C)b) A (B C) c) (A - B) (A C)d) A (C B)

AUTOEVALUACIN

0. Dados los conjuntos A = {2; 3; 5} B = {4; 2; 5} C = { 2; 3; 4; 5}. Determine la validez V falsedad F de las siguientes proposiciones:

i) A B = A C ii) [ ( B C) ( A-B )] A iii) A B = C (A B)a) FVV b) FFV c) VVV d) VFV e) FVF

0. Sean los elementos : A = {2; 3; 4};B = {2; 4; 6} y C = {1; 2; 3; 4} Determinar el nmero de elementos de P si: P = [(C A) (C B)] [(B-A) (B-C)]

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

0. Sean: U = {1; 2; 3; ...} A = {2x / x U x 5}

Cuntos elementos tiene P(C)?

a)8 b) 16 c) 10 d) 4 e) 320. Determinar por extensin los siguientes conjuntos.

A = B =

0. Escribir por comprensin el siguiente conjunto:

B =

0. Para dos conjuntos M y N se cumple que:

n(M N) = 8, adems n[P(M)] + n[P(N)]=160. Determine n[P(M N)]

a) 14 b) 15c) 16d) 4 e) 8

0. Dados los conjuntos A y B que cumplen: n(A B) = 12; n(B A) = 1 y n(A U B) = 33. Calcular: 4[n (A B)] 3 [n(A B)]

a) 13 b) 31 c) 5 d) 51 e) N.A.0. Si un conjunto tiene 4095 subconjuntos propios. Cuntos elementos tiene dicho conjunto?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

0. Siendo A y B dos conjuntos, tales que: n(A B) = 35; n(A B) = 15; n(B A) = 12. Hallar: 3[n(A)] 2[n(B)] n(AB)

a) 24 b) 21 c) 27 d) 18e) 10

0. Al determinar por comprensin el conjunto : P = {1, 2/5, 1/4, 2/11, 1/7} Se obtiene:1. {1/2 (3n-5) / n N, 1 < n 5}1. {1/2 (3n 5) / n z+, 1 n 5}1. {2/(3n-1) / n z+, 1 n 5}1. {2/(3n+1) / n N, 1 n 5}1. {2/(3n-1) / n N, 1 n < 5}

0. Hallar (b + c)2 a2. Si a, b y c se obtienen de los conjuntos iguales : A = {a + 3; 7 a}B = {a 3; 13 a}C = {2; b + c}

a) 39b) 38c) 8d) 5e) 38,5

1. A y B son conjuntos finitos y se sabe que : n(AB) =1 ;n(BA) = 4; n[P(AB)] = 126 + n[P(AB)]. Hallar n(A). a) 2b) 4c) 6d) 5e) 3

1. Sean A, B y C conjuntos tales que: A C; C B; n(A B) = 30; n(A B) = 90 ; n(A) = n(B) + 30 ; n(C) = 120.Determinar : n [(C A) (B A)]

a) 55b) 50c) 45d) 40e) 36

1. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, se obtuvo 28 estudian ingls, 30 alemn, 42 francs, 8 alemn e ingls, 10 francs e ingls, 5 francs y alemn; 3 los 3 idiomas. Cuntos solo estudian 2 idiomas?

a) 25 b) 34 c) 22 d) 20e) 181. En una investigacin efectuada a 370 personas se determin que:20 personas leen Solamente la revista A.10 personas leen Solamente la revista A y B.40 personas leen Solamente la revista B y CEl nmero de personas que leen las revistas A, B y C es el doble de las que leen solamente la revista B, el cudruplo de las que leen solamente la revista C y es 8 veces mayor de las que leen solamente la revista A y C. Hallar: El nmero de personas que leen solamente la revista B y la revista C. El nmero de personas que leen al menos 2 revistas.

a) 40 y 200 b) 200 y 50 c) 40 y 230 d) 230 y 60 e ) N.A

1. De un grupo de estudiantes que rindieron exmenes los resultados fueron:10 aprobaron Matemtica y Fsica; 07 aprobaron Matemtica y Qumica; 09 aprobaron Qumica y Fsica, 17 aprobaron Matemtica; 19 aprobaron Fsica; 18 aprobaron Qumica y 4 aprobaron los 3 cursos. Cuntos alumnos rindieron exmenes? y Cuntos aprobaron slo 1 curso?

a) 31 y 2b) 32 y 10c) 33 y 12d) 32 y 14e) 32 y ninguno

1. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. Qu fraccin no son ni morenas, ni tienen ojos azules?

a) 9/10 b) 3/10 c) 2/15d) 1/6e) 1/5

14. Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los cuales tienen uno 3 elementos ms que el otro, el nmero de sus conjuntos potencias difieren en 3584. Calcular el cardinal de la unin de ambos conjuntos.

a)8 b) 17 c)10d)11e)12

15. Un club de deportes tiene 38 frontistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el nmero total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los 3 deportes. Cuntos jugadores practican solamente un deporte?

a) 42 b) 43c) 44d) 45 e) 46

16. A qu operacin de conjuntos corresponde el siguiente grfico?

a) (B C) A A Bb) (B A) Cc) (A C) Bd) (A C) Be) (B C) A C17. ACBCul es la expresin que representa a la zona sombreada?a) (AB) C b) (AB) - Cc) (AB) C d) (AC)Be) (AC) B18. ABCQu relacin conjuntista expresa mejor la siguiente regin sombreada?a) (AB) (BC) b) (A - C) (B - C)c) (BA) C d) (AC) Be) (AC) B

1. De un grupo de 60 personas, los que leen El Comercio y La Repblica son:1/3 de los que leen El Comercio1/5 de los que leen LA RepblicaSi 4 no leen estos diarios Cuntos leen solo El Comercio?

a) 24 b) 15 c) 16 d) 14 e) 10.

1. De un grupo de 36 invitados a una fiesta, se sabe que 18 son argentinos, 8 peruanos y 19 son msicos. De los msicos 4 no son, ni argentinos, ni peruanos, adems 5 son msicos peruanos. Cuntos de los artistas no son peruanos?

a) 15b) 14c) 13d) 22e) 11

1. En un grupo de 70 personas, 32 saben ingls, 26 castellano, 37 alemn, 6 ingls y castellano, 9 castellano y alemn y 12 ingls y alemn. Cuntos saben los 3 idiomas?

a) 3b) 4c) 2d) 5e) 15

1. De un grupo de profesores se sabe que el 65% trabajan en colegios nacionales, 420 profesores solo en colegios particulares, y el 20 % en colegios particulares y nacionales. Cuntos profesores son en total?

a) 630 b) 840 c) 700 d) 1200 e) 3500

1. Para estudiar la calidad de un producto se consideran 3 defectos A, B y C como los ms importantes. Se analizan un grupo de ellos con el siguiente resultado: 33 productos tienen el defecto A; 37 productos tienen el defecto B; 44 productos tienen el defecto C; 53 productos tienen exactamente un defecto y 7 productos tienen exactamente 3 defectos. Cuntos productos tienen exactamente 2 defectos?

a) 48 b) 32 c) 22 d) 20 e) 18

1. En un campeonato escolar de atletismo se reunieron 180 atletas de los cuales 35 participaron en la carrera de 100m., 20 participaron en los 400m. y 14 corrieron los 800 m. Si slo 15 atletas no corrieron estas distancias, entonces los que participan en ms de una de estas pruebas fueron :a) 11 b) 15 c) 14 d) 7 e) N.A

1. En una muestra recogida a 200 transentes se determin lo siguiente: 60 eran mudos 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos, de stos ltimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. Cuntos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?

a) 40 b) 30 c) 25 d) 45 e) N.A

1. De 55 alumnos que estudian en la UMB se obtuvo la siguiente informacin: 32 alumnos estudian el curso A, 22 alumnos estudian el curso B, 45 alumnos estudian el curso C y 10 alumnos estudian los tres cursos. Cuntos alumnos estudian simultneamente dos cursos?

a) 23 b) 25 c) 20 d) 28 e) N.A

1. De 120 familias encuestadas en el balneario de Pimentel para determinar el diario que leen, se sabe que 48 leen "La Industria" y 85 leen "Norteo". Cuntas familias leen un solo diario?

a) 107 b) 13 c) 72 d) 35 e) N.A.

1. En un evento internacional el 60% de las participantes habla ingls y el 25% habla castellano. Si el 20% de los que hablan ingls hablan tambin castellano y son 1200 los que hablan slo ingls, Cuntos no hablan ingls ni castellano?

a) 645 b) 625 c) 715 d) 675 e) N.A.

Walter Orlando Gonzales Caicedo

Walter Orlando Gonzales Caicedo