conjuntos numÉricos e teoria dos nÚmeros

CONJUNTOS NUMÉRICOS e

TEORIA DOS NÚMEROS

NÚMEROS NATURAIS

“São os números que

usamos quando precisamos

contar coisas.”

1

2

3

4

São todos os números inteiros não-

negativos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

NÚMEROS INTEIROS

Pelos Naturais é impossível!

Como efetuar a subtração de 3 – 4?

“São todos os números que pertencem aos Naturais

acrescido dos seus respectivos opostos.”

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

1. Inteiros não Negativos (Z+):

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

2. Inteiros não Positivos (Z-):

Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):

Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):

Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

NÚMEROS RACIONAIS

Como dividir um osso para dois cachorros?

Os Inteiros não permitem a resolver este problema!

Q = Z { números fracionários }

Q = {a/b | a, b Z e b 0}

“Para resolver isso foram criados os números

fracionários.”

1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):

Q*+ = {Z*+} {Todos os números fracionários não negativos}

2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):

Q*- = {Z*-} {Todos os números fracionários não Positivos}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS

3. Racionais não Negativos (R+):

Q+ = {Z+} {Todos os números fracionários não negativos}

4. Racionais não Positivos (Q-):

Q- = {Z-} {Todos os números fracionários não Positivos}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS

2,252Número Racional.

Finitos algarismos após a vírgula.

2,252525...Número Racional.

Infinitos algarismos periódicos após a vírgula (dízima periódica).

3,1415926...Não é um número Racional.

Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula

NÚMEROS IRRACIONAIS

Como descrever números

que não são inteiros nem

fracionários?

O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os

números que NÃO podem ser representados

por uma fração de números inteiros.

I = {Todos os números que Q não consegue descrever}

Raizes inexatas. Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.

3,1415926...Número PI.

Supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais .

2,7182818...Número de Euler.

Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas decimais.

3

2 = 1,41421...

5 ; 8...

NÚMEROS REAIS

“Descreve todo o conjunto

dos números racionais e

irracionais”R = { Q } { I }

R Números Reais

Q Números Racionais

..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...

Z Números Inteiros

...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...N

Números naturais0, 1, 2, 3, 4...

I Números Irracionais

2

3

3 5

e

NÚMEROS IMAGINÁRIOS“Descreve todo o conjunto

dos números reais e

números complexos”

1i

R Números Reais

Q Números Racionais

..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...Z

Números Inteiros...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

N Números naturais

0, 1, 2, 3, 4...

I Números Irracionais

2

3

3 5

e

C Números Imaginários

1i

1

03 4i

00

4i

23 4iy xi

z

Axiomas

“Um axioma é uma sentença ou proposição que

não é provada ou demonstrada, é considerada

como óbvia, um consenso inicial necessário para a

construção ou aceitação de uma teoria!”

Axiomas para os números Reais

1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma

soma, ou seja:

a – b = a + (– b)

2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma

multiplicação, ou seja:

= a ÷ b = a· ab

1b( )


3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de

dois números reais são únicos.

4. Lei Comutativa:

a) a + b = b + a

b) a·b = b·a

““A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”


5. Lei Comutativa:

a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c

b) (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c

““A ordem em adições e multiplicações sucessivas é A ordem em adições e multiplicações sucessivas é

irrelevante!”irrelevante!”


6. Lei Distributiva:

a) a·(b + c) = a·b + a·c

b) b·(a + c) = b·a + b·c

c) c·(a + b) = c·a + c·b

““A multiplicação é distributiva em relação a adição!”A multiplicação é distributiva em relação a adição!”


7. Lei de Identidade:

a) Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro

número qualquer X é igual a X, ou seja:

X + 0 = 0 + X = X

b) Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele

com outro número qualquer x é igual a x, ou seja:

1·X = X·1 = X


8. Lei de Inverso:

a) Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que:

X + (–X) = (–X) + X = 0

b) Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X-1 tal

que:

X·(X-1) = (X-1)·X = 1


9. Lei do fator zero:

a) Para qualquer número Real X:

X·0 = 0

b) Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0,

então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.


10. Lei do número negativo:

a) (–1)·a = – a

b) (–1)·(–a) = – (–a) = a

c) (–a)·(–b) = a·b

d) –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)


11. Lei dos Quocientes:

– a a=

– b b

a – a a – a– = = =–

b

a)

b)

b –

b

– b

*

a c= a d = b c

b d

a k a= k R

b

c) se e somente se

d) para qualquer

k b


12. Lei do número absoluto:

Qualquer número Real tem um número absoluto

correspondente, tal que:

Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a

Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a

| – a | = | a | = a


13. Lei da ordem das operações:

“Em uma expressão, uma soma ou uma subtração só

deve ser realizada após todas as operações de

multiplicação e divisão já terem sido efetuadas, ao

menos que elas apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.

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