conjuntos numéricos ii: números racionais, 3 irracionais e
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Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais
Ricardo Ferreira Paraizo
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Meta
Apresentar os conjuntos numéricos racionais,
irracionais e reais.
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
1. identificar e representar na reta numerada os
números racionais;
2. determinar a fração geratriz de uma dízima
periódica;
3. reconhecer os números irracionais;
4. relacionar os conjuntos numéricos já estudados
com o conjunto dos números reais;
5. reconhecer e representar intervalos numéricos.
Pré-requisitos
Para melhor compreensão desta aula, você deverá
rever os conceitos sobre conjuntos e operações com
números inteiros. É importante também ter em mãos
uma calculadora básica.
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53Conhecendo mais alguns números
Na aula passada, trabalhamos com os conjuntos dos números naturais e inteiros,
você se lembra? A quantidade de animais criados na fazenda do Zé e o número de
lâmpadas da sua casa são representados por números naturais ¥. Já a temperatura
do congelador e o saldo ou débito de uma conta corrente são representados em
números inteiros ¢.
Será que podemos resolver todos os nossos problemas só com os números
naturais e inteiros? Não saberíamos calcular, por exemplo, o preço de 1,5 litro
de gasolina ou o preço de 2,5 kg de batata. A temperatura passaria de 38ºC para
39ºC, não teríamos 38,5°C de febre. Talvez não existisse o minuto, que é uma parte
da hora. Por isso o homem sentiu a necessidade de desenvolver outros conjuntos
numéricos.
Raciocinando em conjunto com os racionais
Pense em algo do seu cotidiano que é fracionário. Você já imaginou o caos
que seria o mundo se o homem não tivesse criado o conceito de frações para
representar quantidades que nem o conjunto ¥ nem o ¢ podiam representar?
Como pode ver, a descoberta dos números racionais veio a calhar no nosso
cotidiano. Você pode falar, por exemplo: “Comi metade de uma maçã” ou “Comi
um quarto de uma pizza.”
Fonte: www.sxc.hu
Figura 3.1: Os alimentos também ajudam a entender a
matemática.
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Sim
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55Os números inteiros, em conjunto com os fracionários, são chamados de racionais
(). O termo racional significa que esses números são razões entre números
inteiros. Ou seja, todo número racional pode ser escrito na forma de uma razão
entre dois números inteiros. Simbolicamente temos:
= {x/x =pq
, p, q ∈ ¢, q ≠ 0}
Lê-se: um número racional é qualquer x, tal que x é igual à RAZÃO entre p e q, onde
p e q pertencem ao conjunto dos números inteiros, com q diferente de zero.
Vamos pensar nas frases a seguir:
(i) Todo número natural é racional.
(ii) Todo número inteiro é racional.
No caso (i), podemos exemplificar com o número 7, que é um número natural, mas
também podemos representá-lo pela razão 142
ou 284
. Assim, é possível escrever
todos os números naturais em forma de fração. Portanto, todo número natural é
racional.
No caso (ii), podemos pensar no número – 12, que é um número inteiro e que
também é representado pela razão − 363
ou − 726
. Com isso, podemos escrever
todos os números inteiros em forma fracionária.
Com essas informações, você vai perceber que os conjuntos dos naturais e inteiros
estão contidos no conjunto dos números racionais.
RAZÃO
Divisão entre dois números inteiros.
¢
¥
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55Mas será que os conceitos usados para os números naturais e inteiros também
podem ser aplicados no conjunto dos números racionais? Preste atenção na
conversa do Eugênio com o professor e veja as novidades.
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57Então, descobriu alguma novidade? Você saberia representar o conjunto dos
números racionais não negativos? É importante saber que também podemos usar
essa representação para os números inteiros. Os conjuntos dos números inteiros
não negativos e não positivos são representados por ¢+ e ¢-, respectivamente.
Agora, veja os números racionais dispostos na reta:
Fonte: www.sxc.hu
Figura 3.2. Uma ferramenta
muito útil!
Uma ferramenta
Byro
n Ha
rdy
Observe que entre dois números racionais existem infi nitos outros números
racionais. Ou seja, entre 0 e 13
existem, por exemplo, 16
, 15
0,22222..., 14
e
outros. Ainda, considerando o zero como origem, podemos verifi car a simetria dos
racionais. Por exemplo, o simétrico de − 45
é 45
.
Mas o número 0,22222... está no lugar errado, você não acha? Cuidado! 0,22222...
é uma dízima periódica. O que é dízima periódica?
Um número racional diferente
Como já vimos anteriormente, os números como 1,5; 3,7; 8,9 e –15,25 são
números decimais exatos. Todos podem ser escritos em forma de fração ab .
E o número 0,5555... é racional? Será que podemos escrever esse número em
forma de fração? Veja outros números interessantes:
0,77777... 0,88888... 0,12121212...
Será que são também números racionais? Antes de tirar qualquer conclusão,
pegue uma calculadora e divida 5 por 9, 7 por 9, 8 por 9 e 12 por 99. O que está
notando nos resultados?
–1,35 ... 45– ... 0,35 ... 0 ...
13 ... 1 ...
54 ...
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57Você viu que:
59
= 0,55555... 89
= 0,88888...
79
= 0,777777... 1299
= 0,12121212...
Os números como 0,555555... e todos os outros citados anteriormente são
chamados de dízimas periódicas. O algarismo ou grupo de algarismos que se
repete é chamado de período da dízima. Nos casos anteriores temos:
0,5555... → O período é 5.
0,77777... → O período é 7.
0,88888... → O período é 8.
0,12121212... → O período é 12.
Toda dízima periódica pode ser escrita na forma pq
. Podemos afirmar, então, que
toda dízima periódica é um número racional. A fração que origina uma dízima
periódica é denominada fração geratriz da dízima. Assim, 59
é a fração geratriz de
0,555555... Também é muito comum representar uma dízima periódica colocando
um traço sobre o período do número, ou seja, 0 4, é equivalente a 0,4444444...
Determinando a fração geratriz
Nada melhor que um exemplo para explicar o processo de determinação da fração
geratriz, a partir de uma dízima periódica. Vamos determinar a fração geratriz do
número 1,231313131... Preste bastante atenção:
1º passo: vamos chamar de x o número 1,23131313131...
2º passo: decompor esse número como uma soma de infinitos números decimais
da forma: x = 1,2 + 0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...
3º passo: manipule a soma infinita como se fosse um número comum, passando a
parte que não se repete para o primeiro membro da igualdade, obtendo: x – 1,2 =
0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...
4º passo: multiplique a soma infinita por 100; o período tem 2 algarismos. Se
o período tivesse 3 algarismos, multiplicaríamos por 1000, e assim por diante,
obtendo: 100 (x – 1,2) = 100 (0,031 + 0,00031 + 0,0000031+ ...) e, com isso,
temos: 100x – 120 = 3,1 + 0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...
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595º passo: observe que, nos passos 3 e 4, as expressões em destaque são iguais.
Agora, tome a equação encontrada no 4º passo e subtraia membro a membro
da equação encontrada no 3º passo: (100x – 120) – (x – 1,2) = (3,1 + 0,031 +
0,00031 + 0,0000031 + ...) – (0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...)
Manipulando a equação: 100x – 120 – x + 1,2 = 3,1 + (0,031 + 0,00031 +
0,0000031 + ...) – (0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...)
E ainda: 100x – x – 120 + 1,2 = 3,1
Para obter: 99x – 118,8 = 3,1
6º passo: para evitar os números decimais, multiplicamos toda a equação por dez:
10 (99x – 118,8) = 10 (3,1)
Com isso, temos: 990x – 1188 = 31
Manipulando: 990x = 31 + 1188
E, ainda, 990x = 1219
Para obter a fração geratriz: x = 1219990
E, para finalizar, verifique, usando sua calculadora, se essa fração gera mesmo o
número 1,231313131...
Precisa de mais um exemplo? Então, vamos mostrar por que a fração geratriz do
número 0,3333333... é 13
.
1º passo: seja S a dízima periódica 0,3333333... Observe que o período tem apenas
1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infinitos números
decimais da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...
2º passo: multiplicando essa soma “infinita” por 10 (o período tem 1 algarismo),
obtemos:
10S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
3º passo: observe que as duas últimas expressões, que aparecem em destaque nos
passos 1 e 2, são iguais! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da
última, obtemos:
10S – S = 3
Daí, 9S = 3
Simplificando, temos: S = 39
13
=
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59Observou que, no segundo exemplo, só usamos 3 passos? Primeiro, porque a
dízima é mais simples; o período tem apenas 1 algarismo. E também, no final do
processo, não precisamos usar o 6° passo para evitar os números decimais.
Agora, depois de tantas informações sobre os números racionais, pratique um
pouco nas próximas atividades. A construção do seu conhecimento, em relação ao
conteúdo estudado até aqui, é de fundamental importância para o entendimento
de tudo o, que ainda vem pela frente.
Atende ao Objetivo 1Atividade 1
Dentre os números a seguir, identifique e represente na reta os números
racionais:
− 102
– 2,98654... – 0,8 0,3333... 62
5,299 8,01001...
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atende ao Objetivo 2Atividade 2
Você é capaz de determinar a fração geratriz do número 0,7777777...? Tenho
certeza que sim! Mãos à obra!
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O que não é racional é irracional
Avançando um pouco na história da matemática, vamos chegar ao famoso Teorema
de Pitágoras. Calma! Ainda não é o momento de estudarmos a fundo esse teorema.
Posso adiantar que, lançando mão de tal conhecimento, é possível determinar o
comprimento de um dos lados de qualquer TRIÂNGULO RETÂNGULO.TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Polígono de três lados que possui um ângulo igual a 90° (ângulo reto) e os outros dois ângulos são menores que 90° (ângulos agudos).
cateto1
cateto 2 hipotenusa
ângulo reto 90 graus
Saiba mais...
O Teorema de Pitágoras
É provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado
pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos,
estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um
triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se “a” designar o comprimento da hipotenusa (o maior lado) e “b”
e “c” os comprimentos dos catetos (os outros dois lados), o teorema
afirma que:
a2 = b2 + c2
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Depois dessa breve explicação, imagine um triângulo retângulo com os catetos
medindo 1 metro (m) de comprimento. Usando o Teorema de Pitágoras, calculamos
que o terceiro lado, a hipotenusa, vale 2 .
E quanto é 2 ? Não podemos dizer exatamente. O que sabemos é que não é
possível representá-lo em forma de fração, pois há infinitas casas depois da
vírgula e não é uma dízima periódica.
Com isso, houve a necessidade de criar mais um conjunto, o Conjunto dos Números
Irracionais. Tal conjunto é formado por todos os números que, ao contrário dos
racionais, não podem ser representados por uma fração. Simbolizamos esse
conjunto por .
Observe que a hipotenusa é o lado do quadrado maior; o mesmo acontece com
os outros dois lados do triângulo ABC. Portanto, a área do quadrado maior é
igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. Essa figura ilustra bem o
Teorema.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b a
c
10 11 12 13
14 15 16 17
18 19 20 21
22 23 24 25
C
A B
12
34
5
67
89
10
1112
1314
15
1617
1819
20
2122
2324
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Como você pode perceber, se um número for racional, não pode ser irracional, e
vice-versa. Por isso, representamos os conjuntos separados. Números como π e
raízes não exatas, como 2 , 3 e 5 , são irracionais. A representação deles é
infinita e não periódica.
¥
¢
Saiba mais...
O π virou número
O π é a 16ª letra do alfabeto grego e corresponde ao som fonético “p” no alfabeto
latino. Ele é, também, a inicial da palavra grega periphéreia, que significa
circunferência. Por isso, passou a ser usado para designar a divisão (razão) entre
o comprimento (C) da circunferência e o seu diâmetro (d), que é o comprimento
da reta que atravessa o seu centro.
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Se pegarmos vários objetos circulares (moedas, botões, pratos), medirmos
com uma corda o tamanho da sua circunferência e dividirmos pelo diâmetro do
objeto, sempre vamos obter um número bastante próximo a 3,14159. Assim, o
comprimento da circunferência é obtido pela aplicação da fórmula C = π.d.
Fonte: www.sxc.hu
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n W
oehl
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O matemático Arquimedes (cerca de 280 a.C. a 211 a.C.) foi o primeiro a
estabelecer o valor do π. O que ele não conseguiu descobrir é que era um
número irracional, ou seja, tem um número indefinido de casas decimais (sabe-
se hoje que passam de duas mil). Quem descobriu isso foi o cientista alemão
Johann Heinrich Lambert, em 1766.
(Adaptado da revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.)
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Conjunto dos números reais
Observe a representação dos conjuntos estudados até aqui.
Atende ao Objetivo 3Atividade 3
Descubra qual é a regra de formação usada para escrever cada um dos números
a seguir e continue escrevendo, no mínimo, mais seis algarismos para cada
número:
a. 0,010010001 ......................................................................................
b. 0,1020030004 .....................................................................................
c. 0,202200303300404400 .......................................................................
Agora responda indicando uma alternativa correta. Os números que você acabou
de completar são:
( ) Naturais
( ) Inteiros
( ) Dízimas periódicas
( ) Nenhuma das alternativas anteriores
¥
¢
¡
Agora, organize os conhecimentos adquiridos até aqui e faça a próxima atividade.
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65Você percebeu que há um novo conjunto envolvendo os racionais e irracionais?
É o conjunto dos números reais, simbolizado por ¡. O conjunto dos reais é a
união do conjunto dos números racionais () com os irracionais ( ). Podemos
representar assim: ¡ = ∪ . Em outras palavras, o conjunto dos reais é formado
por todos os números que estudamos até aqui, ou seja, os naturais, inteiros,
racionais e irracionais. Também podemos representá-lo sem o zero (¡*), assim
como podemos representar apenas o conjunto dos reais não negativos (¡+) e o
conjunto dos reais não positivos (¡-).
Saiba mais...
A raiz quadrada de um número negativo é real?
Consegue descobrir a 16– ? Cuidado! Existe algum número x que, elevado ao
quadrado (x2), seja igual a –16? Vamos pensar um pouco! Elevar um número ao
quadrado é o mesmo que multiplicar esse número duas vezes, ou seja, 32=3.3=9;
42=4.4=16.
Você pode até pensar em elevar ao quadrado o –4. Vejamos: (–4)2=(–4).(–4).
Como é uma multiplicação de números inteiros, temos de usar a regra de sinal.
Assim, (–4)2=(–4).(–4)=16, e não –16. Com isso, 16– não pertence ao
conjunto dos números reais.
Será que o mesmo acontece com a 3 8– ? Observe que (–2)3=(–2).(–2).(–2)=–8.
Com isso, é possível determinar a 3 8– , que é igual a –2.
Portanto, podemos dizer que uma raiz de índice par de qualquer número
negativo não pertence ao conjunto dos números reais. Por exemplo: 44 e 16 IR IR ou 2n x– IR, onde n, x ∈ ¥.
Mas como você representaria um subconjunto dos números reais? Lembre-se de
que entre dois números inteiros existem infinitos números racionais. Os números
inteiros e racionais fazem parte do conjunto dos reais. Com isso, concluímos que
entre dois números reais também existem infinitos números reais.
E então, tem alguma idéia de como representar um subconjunto dos reais?
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O conjunto dos números reais, assim como todos os outros conjuntos estudados
até aqui, também pode ser ordenado em uma reta. E, para representar os
subconjuntos dos reais, podemos trabalhar com intervalos numéricos.
-2 -1 0 1 2
-0,6 0,73
Atende ao Objetivo 4Atividade 4
Veja o conjunto L = [–10; 9] representado na régua a seguir:
x ≥ -10 x ≤ 9
Responda os seguintes itens:
a. Escreva os elementos deste conjunto em ¥:
b. Escreva os elementos deste conjunto em ¢:
c. Cite 5 elementos pertencentes ao conjunto dos números reais (¡):
2
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Intervalos numéricos
Um exemplo bem simples, que faz parte do seu dia-a-dia, é a previsão do
tempo. O repórter informa a previsão do tempo para o dia seguinte: “Amanhã, a
temperatura mínima será de 19,2°C e a máxima de 29°C.” Isso quer dizer que a
temperatura pode oscilar entre 19,2°C e 29°C.
Multimídia
Se você gosta de filmes, aproveite a nossa sugestão e conheça o poder dos
números em nossa vida.
Pi
O filme Pi conta a história de um jovem gênio da
matemática e da computação, chamado Max (Sean
Gullette), que vive escondido da luz do sol, que
lhe causa constantes dores de cabeça, e evita
o contato com outras pessoas. Max conseguiu
construir um supercomputador que lhe permitiu
descobrir o número completo do Pi (π), o que fez
ainda com que compreendesse toda a existência
da vida na Terra.
Se você quiser assistir a este filme, procure-o em
uma locadora e alugue o DVD. Você não vai se arrepender!
Assim, um intervalo numérico é o espaço intermediário, contendo todos os números
reais, entre os limites numéricos (superior e inferior). No caso da previsão do tempo
para o dia 01/10, o limite inferior é 19,2°C e o limite superior é 29°C.
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69Você sabe representar um intervalo númerico? Existem alguns detalhes importantes.
Veja os intervalos representados na reta:
a.
b.
Saiba mais...
Cuidados com os intervalos numéricos
Quando um conjunto numérico é representado por um intervalo, no qual o
mesmo é um subconjunto dos números reais, signifi ca que existem infi nitos
números reais entre os limites superior e inferior. Observe a reta:
Em primeiro lugar, quando os limites do intervalo estão cheios (pintados), signifi ca
que pertencem ao intervalo. Quando estão vazios (não pintados), não pertencem
ao referido intervalo.
-2 1
2 105
-2 1
Você já sabe que esse é um intervalo fechado, ou seja, os extremos 2 e 10 fazem
parte do conjunto. A fi gura também mostra o número 5, que está entre o 2 e o
10, por isso pertence ao intervalo. E como se lê 2 < 5 < 10?
Podemos ler de duas maneiras:
(i) 2 é menor que 5 e 5 é menor que 10;
(ii) 5 é maior que 2 e 5 é menor que 10.
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69E como representar intervalos em linguagem matemática? Os exemplos anteriores
podem ser representados da seguinte maneira:
Exemplo (a)
{x ∈¡/–2 ≤ x ≤ 1}
Vamos chamar este conjunto de A.
Leitura do conjunto A: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é
maior ou igual a –2 e x é menor ou igual a 1.
Esse conjunto pode ser imaginado numa régua numerada com números positivos
e números negativos. Veja a representação do conjunto A = {x∈¡/–2 ≤ x ≤ 1} em
uma régua especial:
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Relembrando a aula anterior, você saberia representar o conjunto dos números
naturais (¥) contido nesse intervalo? É fácil!
No conjunto dos números naturais (¥) → E = {0, 1}.
E o conjunto dos números inteiros, saberia representá-lo?
No conjunto dos números inteiros (¢) → F = {–2, –1, 0, 1}.
Já no conjunto dos números reais (¡) seria impossível situar todos os elementos
do conjunto A na régua, mas poderíamos representar alguns elementos desse
conjunto, dentre os quais:
G = − − − − −2149
32
114
014
12
7,... ,... ,... ,..., ,... ,..., ,..., ,...,
991,...,
.
O conjunto A também pode ser representado da seguinte forma: [–2,1], onde os
colchetes voltados para os números indicam um intervalo fechado, ou seja, os
números –2 e 1 estão incluídos no conjunto.
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71Exemplo (b)
{x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1}
Vamos chamar este conjunto de B.
Leitura do conjunto B: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é
menor ou igual a –2 ou x é maior do que 1.
Vamos ver a representação do conjunto B = {x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1} na régua:
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−∞ +∞
Neste caso, teríamos de imaginar uma régua infinitamente grande, pois quando
escrevermos x ≤ –2 a reta não vai parar em –10, como está aparecendo na régua;
teremos outros números menores, como –11, –12, –1000, –10000, –12678909
etc.
O conjunto B = {x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1} também pode ser representado da seguinte
forma: ]-∞ , –2] ∪]1 , +∞[ , onde o colchete voltado para o número significa um
intervalo fechado (aqui o número –2 está incluído no conjunto) e os colchetes
contrários aos números indicam intervalos abertos. No exemplo, o elemento 1 não
faz parte do conjunto.
Os símbolos +∞ (mais infinito) e –∞ (menos infinito) são usados para indicar que
o conjunto não tem fim, tanto a parte positiva quanto a negativa. E claro que
estes não fazem parte do conjunto, ou seja, ]–∞, 9], [100, +∞[ ou ] –∞, +∞[.
Aqui, mais uma vez, é o momento de testar seus conhecimentos. Faça com muita
calma e atenção a atividade proposta.
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Nesta aula, você aprendeu os conjuntos numéricos que completam os naturais e
inteiros. É importante saber que o estudo sobre os conjuntos numéricos, que foi
bastante explorado, não se esgotou. No entanto, a maior parte das atividades em
agropecuária faz uso dos números reais.
Atende ao Objetivo 5Atividade 5
Representar na régua um intervalo finito que seja simétrico em relação ao ponto
zero, onde os limites estão fora do intervalo.
Depois disso, utilize duas formas matemáticas para representar esse intervalo.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• O conjunto dos números racionais () é constituído por números
inteiros e fracionários (pedaços). Por exemplo: 1 pizza, 18
da pizza...
• Toda dízima periódica é um número racional (), porque pode ser
representada por uma fração, denominada fração geratriz. Por exemplo:
0,333333... é igual a 13
.
• O conjunto dos números irracionais ( ) é formado por todos aqueles
que não podem ser representados por frações, ou seja, números não
racionais. Por exemplo: 17 , 3,141592654...
Resumindo...
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Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos aprender a trabalhar com frações.
• O conjunto dos números reais (¡) é a união dos racionais () e dos
irracionais ( ), ¡ = ∪ .
• O conjunto dos números reais (¡), assim como todos os outros
estudados até aqui, também pode ser representado em uma reta. Como
existem infi nitos números reais, por exemplo, entre 0 e 1, utilizamos
intervalos para representação dos subconjuntos.
Atividade 1Observe que os números –2,98654... e 8,01001... não pertencem ao conjunto dos
racionais. Por isso não foram representados da régua.
Respostas das Atividades
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
62
102
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Atividade 2Para determinar a fração geratriz, basta seguir estes passos:
1º passo: seja D a dízima periódica 0,777777... Observe que o período tem apenas
1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infi nitos números
decimais da forma: D = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ...
2º passo: multiplicando essa soma “infi nita” por 10 (o período tem 1 algarismo),
obteremos: 10D = 7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + ...
-1-1-1
-0,80,3333... 5,299
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733º passo: observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem
em destaque! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última,
obtemos: 10D – D = 7 ⇒ 9D = 7. Portanto, a fração geratriz é D = 79
.
Atividade 3a. 0,010010001000010000010000001...
b. 0,1020030004000050000060000007...
c. 0,202200303300404400505500606600707700...
Percebeu que esses números possuem infinitas casas decimais? Com isso, não
podem ser naturais e nem inteiros; também não são dízimas periódicas, pois não
possuem períodos, ou seja, não são racionais.
Portanto, a resposta é: Nenhuma das alternativas anteriores; todos os números
são irracionais.
Atividade 4a. Os elementos deste conjunto em g: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
b. Os elementos deste conjunto em ¢:
{–10, –9, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
c. Um conjunto com alguns elementos pertencentes ao conjunto dos números
reais (¡) tirados da reta: resposta pessoal. Exemplo: − −
889
2 0 1259
, , , ,
Atividade 5Esta é outra resposta pessoal. Você poderia escolher, por exemplo, um intervalo
em que o limite inferior é igual a –3 e o superior é 3.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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74 Sendo assim, existem duas formas para representar matematicamente esse intervalo:
1. ] –3; 3 [
2. { x∈¡/ –3 < x < 3}
Referências bibliográficas
GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: Ed.
FTD, 2000, v.1, p.102.
MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática – Idéias e desafios. São Paulo:
Ed. Saraiva, 2006, 5ª série.
PAIVA, Manuel. Matemática. São Paulo: Ed. Moderna, 1997, v.1.
Revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.