construccion drone cuadrator

5/28/2018 Construccion Drone Cuadrator

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ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACION

Titulacion :

INGENIERO INDUSTRIAL

Ttulo del proyecto:

MODELADO, DISENO, CONSTRUCCION Y CONTROL

BORROSO DE UN HELICOPTERO QUADROTOR

Carlos Mikel Esparza Martinez de Luco

Jorge Elso Torralba

Mara Jose Perez-Ilzarbe Serrano

Pamplona, 24 de febrero de 2012


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Indice general

I Antecedentes y objetivos 7

1. Vehculos aereos no tripulados 9

2. El quadrotor 11

3. Objetivos 13

II Modelado y simulacion del quadrotor 15

4. Sisitema fsico 17

5. Fundamentos teoricos de mecanica 195.1. Fundamentos de mecanica del solido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2. Fundamentos de mecanica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Rotacion y traslacion del quadrotor 236.1. Orientacion del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.2. Traslacion del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7. Calculo de los tensores de inercia 277.1. Tensor de inercia del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2. Tensor de inercia de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8. Aplicacion de los teoremas vectoriales 318.1. Teoremas vectoriales en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2. Teoremas vectoriales en la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9. Fuerzas y momentos aerodinamicos 339.1. Fuerzas asociadas a traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.2. Momentos asociados a rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.Ecuaciones de estado 3710.1. Vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.Linealizacion 3911.1. Linealizacion en torno a un punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2. Matrices jacobianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3. Obtencion de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.4. Punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.5. Matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12.Desacoplo del sistema 4712.1. Matriz de desacoplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12.2. Matriz de transferencia global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


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4 Indice general

13.Simulacion del modelo 5113.1. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5113.2. Modelo linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513.3. Animacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Descripcion del sistema 61

14.Motorbrushless 6314.1. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2. Eleccion para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15.Control electronico de velocidad. ESC 6715.1. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6715.2. Eleccion para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.3. Programacion del control electronico de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16.Bateras 7116.1. Comparativa entre bateras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.2. Especificaciones relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.3. Bateras LiPo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.4. Eleccion para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17.Sensores 7517.1. Sensores de altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.2. Sensores angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.3.AHRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

18.Comunicaciones 83

18.1. Estacion de control-quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8318.2. Inter-integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

19.Diseno del circuito 8919.1. Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8919.2. Diseno del layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

20.Diseno de la estructura 9120.1. Brazos de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9120.2. Placas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

21.Implementacion en CCS 9521.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

21.2. Rutinas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9521.3. Libreras de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9521.4. Comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10621.5. Programa disenado para la identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10821.6. Programacion final del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

22.Construccion del quadrotor 123

IV Identificacion 125

23.Elementos disenados para la identificacion 12723.1.Encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

23.2. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


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Indice general 5

24.Identificacion del motor Eskaycon el ESC Skyartec 13324.1. Identificacion del regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13324.2. Identificacion del regimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13324.3. Modelo completo del conjunto motor-ESC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

24.4. Modelo linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

25.Identificacion del motor EMAX con el ESC Flyfun 14125.1. Identificacion del regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14125.2. Identificacion del regimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14325.3. Identificacion con la toolbox Ident deMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14325.4. Modelo completo del conjunto motor-ESC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

26.Identificacion de coeficientes aerodinamicos 14726.1. Obtencion de los coeficientes b y kT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.2. Intensidad demandada en funcion del empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14826.3. Revoluciones del rotor para alcanzar el equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14826.4. Aceleraciones maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

27.Identificacion de los sensores 15127.1. Sensor de altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15127.2. Sensores angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

V Control Automatico 153

28.PD borroso. Modelo de Mandami 15528.1. Control de altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15528.2. Control de guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15728.3. Control de alabeo y cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

29.Rechazo de perturbaciones 16529.1. Rechazo de perturbaciones del PD borroso disenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16529.2. Obtencion del error en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

30.Controladores lineales 16930.1. PID para rechazo de perturbaciones. Alabeo y cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16930.2. PD para rechazo de perturbaciones. Alabeo y cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

VI Conclusiones 177

31.Resumen de resultados 17931.1. Modelado y simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17931.2. Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17931.3. Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18031.4. Sistema embebido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18031.5. Control automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

32.Lneas futuras 18132.1. Modelado y simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18132.2. Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18132.3. Sistema embebido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18132.4. Control automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


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6 Indice general


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Parte I

Antecedentes y objetivos


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Captulo 1

Vehculos aereos no tripulados

Los sistemas autonomos de control de vuelo han despertado un gran interes en los ultimos anosdebido al interes en el desarrollo de vehculos aereos no tripulados (en ingles UAV, Unmanned AerialVehicles), as como el logro de un pilota je mas sencillo e intuitivo de los mismos.

Este tipo de vehculo puede verse tanto en el ambito militar como en el civil, con aplicaciones desa-rrolladas para tareas de busqueda y rescate, vigilancia comercial, espionaje, filmacion cinematografa,inspeccion en situaciones donde se realicen vuelos en condiciones hostiles, as como la realizacion demaniobras acrobaticas, entre otras.

Hasta hace poco tiempo, desarrollar un vehculo aereo en escala miniatura y controlado de maneraautonoma era un sueno de muchos investigadores. Fue a partir de la Primera y la Segunda GuerraMundial cuando comenzo decididamente el desarrollo de losUAVcon el Denny Righter RP750de losingleses o elV1 Buzz bomb de los alemanes (figura 1.1), pero estaban limitados por las restriccionesimpuestas por el hardware existente hasta entonces. Lo que ha hecho posible la construccion de

robots aereos autonomos han sido los recientes avances tecnologicos en actuadores y sensores enescala reducida (MEMS, Micro Electromechanical Systems), en el almacenamiento de energa y en elprocesamiento de datos.

Figura 1.1: UAV en la segunda Guerra Mundial. a) Denny Righter RP750 para entrenamiento detiradores. b)V1 Buzz bomb o bomba voladora.

Por otro lado, el desarrollo de sistemas de control para este tipo de vehculos no es trivial, debidoprincipalmente a la compleja dinamica inherente en los sistemas aerodinamicos, los cuales son multi-variables, subactuados y ademas presentan diversas caractersticas no lineales. Esto significa que lasleyes clasicas de control lineal de sistemasSISO(sistemas de una entrada y una salida, del inglesSingleInput, Single Output) pueden tener muy limitada su rango de aplicacion, provocando inestabilidadescuando se opera en condiciones no muy lejanas a las de equilibrio.

Para aumentar tanto la fiabilidad como las prestaciones de estos sistemas, se suele requerir es-trategias de control avanzadas que permitan tener en cuenta, por una parte, la complejidad de estossistemas, y por otra, las incertidumbres propias de cualquier modelado. Tales requisitos pueden ser


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posibles utilizando tecnicas de modelado no lineal y de teora de control no lineal moderna, lo quepermite alcanzar un alto desempeno en vuelos autonomos, y en distintas condiciones de vuelo (vueloestacionario, vuelo en punto fijo, aterrizaje/despegue, etc.). Los sistemas de control de vuelo puedenclasificarse en tres categoras, cada una con ob jetivos diferentes en funcion de la autonoma que alcance

el sistema:

Sistema para incrementar la estabilidad, (del inglesSAS, Stability Augmentation Systems).Este tipo de sistemas persigue ayudar al pilotaje del vehculo estabilizando el sistema con uncontrol de ba jo nivel. As se evita que el piloto deba actuar en base al comportamiento dinamicode un sistema, que una vez alejado de cierto punto de equilibrio o en ciertos sistemas no esintuitivo para el razonamiento humano.

Sistemas para incrementar el comportamiento, (del ingles CAS, Control AugmentationSystems). Estos sistemas estan en un nivel jerarquico superior a los SAS. As, ademas de esta-bilizar al vehculo, estos sistemas deben ser capaces de proporcionar una respuesta con ciertasprestaciones a referencias que de el piloto, es decir, deben tener un buen seguimiento de lareferencia.

Sistemas de pilotaje automatico, (del ingles Autopilot). Constituyen el nivel de controljerarquicamente superior. Son sistemas de control totalmente automaticos que son capaces derealizar por s solos ciertos tipos de maniobras, como por ejemplo, el despegue, el aterrizaje, ovuelo estacionario a cierta altura.


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Captulo 2

El quadrotor

Uno de los conceptos que normalmente se utilizan para desarrollar UAV es el VTOL, del inglesVertical Take-Off and Landing, un tipo de aeronave que actualmente esta siendo muy referenciadaen la configuracion de quadrotor. En comparacion con los aeroplanos este tipo de aeronave poseeuna mayor agilidad para maniobrar, sin embargo, su control se hace mucho m as complejo entre otrosmotivos por la mayor inestabilidad de su dinamica.

Este tipo de helicoptero consigue un vuelo estacionario estable y preciso a traves del balance delas fuerzas de propulsion ejercidas por las cuatro helices accionadas por sus respectivos motores. No sedebe caer en el error de creer que es un diseno reciente, pues dos anos antes del exitoso vuelo de Juande la Cierva con su autogiro (primera aeronave de despegue vertical plenamente funcional), en 1921en Estados Unidos el doctor George De Bothezat se elevo 1.8 metros con el quadrotor de la figura 2.1.

Figura 2.1: Maquina voladora del doctor ruso George De Bothezat, 1921.


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No obstante, ha sido necesario un cierto desarrollo tecnologico para su completo desarrollo, y demomento unicamente comoUAV, aunque existen proyectos militares y civiles de su uso como vehculotripulado (figura 2.2). Son muchas las ventajas que tienen este tipo de helic optero con respecto a unoconvencional, entre las cuales se pueden citar las siguientes:

El aumento de la capacidad de carga debido a la suma de los empujes generados por los cuatrorotores. Se obtiene el mismo area de barrido con cuatro rotores de la mitad de diametro quesi se emplea un unico rotor, esto reduce las complicaciones en el diseno de las palas, elementocrtico por las fuerzas a las que se ven sometidas.

La alta maniobrabibilidad, que permite el despegue y el aterrizaje con perfecta verticalidad,as como vuelos en entornos complicados.

La sencillez del diseno mecanico, que proporciona el control del movimiento a traves de ac-cionamiento directo de los rotores variando sus velocidades. En un helicoptero convencional,la velocidad de giro de las helices suele ser constante, controlando el movimiento mediante lavariacion de los angulos de ataque de las palas (cclico y colectivo). Esto requiere transmisiones

entre los rotores, ademas de elementos mecanicos de precision para poder variar los mencionadosangulos.

El uso de motores electricos en lugar de motores de combustion, lo que hace de estos helicopterosun vehculo especialmente interesante para su uso en el interior de edificios, ya que no contaminanel aire con residuos de la combustion.

Como desventajas, este tipo de helicoptero presenta un aumento de peso y un aumento en elconsumo de energa debido al aumento del numero de motores.

Desde el punto de vista de control, la construccion de este tipo de helicoptero miniatura esta lejos desimplificar el problema: mas bien sucede lo contrario. Esto se debe a que los pares y fuerzas necesariospara controlar el sistema son aplicados no solo a traves de efectos aerodinamicos, sino tambien a travesdel efecto de acoplamiento que aparece entre la dinamica de los rotores y la del cuerpo del quadrotor,

como consecuencia del principio de accion-reaccion originado en la aceleracion y desaceleracion de losgrupos motor-helice, efecto que no aparece en el control con velocidad de helices con velocidad angularconstante.

El interes por el desarrollo de controladores para el helicoptero quadrotor en escala reducida quedademostrado por el amplio numero de publicaciones que han aparecido en los ultimos anos sobre lacuestion.

Figura 2.2: Quadrotor como vehculo tripulado. a) Proyecto e-volo. b)Bell-Boeing Quad Tilt Rotor.


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Captulo 3

Objetivos

Este proyecto tiene como objetivo el desarrollo de un helicoptero quadrotor en todas sus etapas,desde el modelado del sistema hasta la implementacion final de los algoritmos de control.

Inicialmente se realizara un estudio de la dinamica basado en las leyes fsicas con la finalidadde obtener un modelo que represente de la forma mas fiel posible el comportamiento dinamico delquadrotor. El resultado sera un modelo multivariable y no lineal, por lo que habra que adaptarlo paraaplicar las tecnicas conocidas de control automatico.

Una vez obtenido el modelo y con la posibilidad de realizar simulaciones, habra que realizar deforma paralela a su construccion una serie de ensayos que identifiquen los parametros clave parael diseno, y en concreto sera necesario identificar los actuadores como elemento determinante de ladinamica. Con esta identificacion podra iniciarse la construccion del quadrotor.

A continuacion, se acomete el diseno e implementacion del sistema embebido encargado del manejode la aeronave. Se disenara el circuito de gobierno incluyendo sensores, comunicaciones y entradas y

salidas de control. Habra que decidir que tipo de sensores utilizar, como establecer las comunicacionesy sobre que soporte electronico realizar la programacion (FPGA, microcontrolador, etc.).

Una vez se disponga del sistema embebido a emplear, sera necesario crear una serie de librerasadaptadas al sistema empotrado empleado que permitan no solo obtener la lectura de los sensores,transmitir la accion de control y establecer las comunicaciones, sino tambien hacer pruebas con dife-rentes tipos de controladores de una forma agil.

Finalmente habra que desarrollar los algoritmos de control e incorporarlos al quadrotor. Por lanaturaleza del sistema se van a emplear controladores con logica borrosa que permitan hacer frentea las no linealidades y aplicar por otra parte los conocimientos del comportamiento del sistema. Elnivel de control que se va a adoptar es el CAS (Control Augmentation Systems), tratando de obtenerun seguimiento ante cambios de referencia en los grados de libertad manejados por un piloto dehelicoptero convencional: alabeo, cabeceo, guinada y altura del aparato.


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Parte II

Modelado y simulacion delquadrotor


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Captulo 4

Sisitema fsico

En este captulo se presenta una descripcion del sistema fsico del quadrotor. La figura 4.1 muestraun croquis de la aeronave, a falta de determinar sus dimensiones, que depender an de los resultadosobtenidos en los analisis llevados a cabo en los siguientes captulos.

Figura 4.1: Croquis de la estructura del quadrotor.

La figura 4.2 muestra un esquema del sistema din amico del quadrotor. Se pueden apreciar labase asociada al quadrotor (B) con sus respectivos vectores directores (xL, yL, zL), las fuerzas desustentacion (F1, F2, F3, F4) y la base de referencia inercial (I) con sus vectores directores asociados(x, y, z). es el vector de posicion del centro de masa del quadrotor y , y son los angulos dealabeo, cabeceo y guinada (del ingles roll, pitchy yaw) respectivamente.


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Figura 4.2: Sistemas de referencia en el modelado dinamico del quadrotor.

De acuerdo con dicho esquema, las distancias desde el centro de gravedad del quadrotor a los puntosen los que se aplica la fuerza (parte superior central de los rotores) vienen dadas por los vectores

dN=

ldCIL20

hR+ a2

, dS=

ldCIL2

0hR+

a2

,

dE=

0 ldCIL2hR+

a2

y dO =

0ldCIL

2hR+

a2

.

(4.1)


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Captulo 5

Fundamentos teoricos de mecanica

5.1. Fundamentos de mecanica del solido rgido

5.1.1. Ecuaciones de Newton-Euler

La cantidad de movimiento de la mecanica newtoniana viene dada por la expresion de la cantidadde movimiento lineal

p= mVcdg (5.1)

y la expresion de la cantidad de movimiento angular

H=Jcdg . (5.2)

Para encontrar la derivada con respecto al tiempo de estos vectores es necesario realizar unaderivada en base movil de estas expresiones, dado que ambos vectores estan asociados a la base fija alquadrotor(B), que realiza un movimiento de rotacion-traslacion con respecto a la base de referenciainercial(I).

Dado un sistema fijo F, otro movil My un vector cualquiera rM expresado en la base M1 que

vara con el tiempo, se define el operador derivada en base movil

d

dtrM

F

= d

dtrM

M

+ rM . (5.3)

Del resultado de derivar en base movil las expresiones de la cantidad de movimiento lineal yangular se obtienen las ecuaciones de Newton-Euler de la dinamica del solido rgido. Estas describen ladinamica combinada de traslacion y rotacion. A continuacion se muestran en su formulacion matricial2.

mI3x3 0

0 J3x3

V

+

mV J3x3

=

F

(5.4)

5.1.2. Relacion entre la velocidad angular y la matriz de cambio de base

Se va a obtener la relacion existente entre la velocidad angular y la matriz de cambio de base. Seauun vector arbitrario y seanM yF dos bases con orientaciones distintas, a partir de la expresion de

1

Por simplificar la notacion, se va a considerar siempre que cada base tiene una unica orientacion asociada.2I3x3 es la matriz identidad de orden 3.


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20 5.1. Fundamentos de mecanica del solido rgido

la derivada en base movil (ecuacion 5.3), premultiplicando todos terminos por la matriz de rotacion[R]FMse obtiene la relacion

[(M(F))] =

[R]F

MTd

dt[R]F

M

. (5.5)

Por otro lado, el desarrollo que conduce a la expresi on 5.5 demuestra que el tensor velocidadangular es antisimetrico, en concreto de la forma

[(M(F))] =

0 w3 w2w3 0 w1w2 w1 0

F

, (5.6)

por lo que la tupla velocidad angular es

{M(F)}F = w1

w2w3

F

. (5.7)

5.1.3. Tensor de inercia y teorema de Steiner

La mayora de los tensores de inercia de solidos elementales estan tabulados respecto a su centrode gravedad. Sin embargo, es habitual que esa no sea el punto respecto al cual se desea calcular. Elteorema de Steiner permite trasladar el momento cinetico de un solido entre un punto arbitrario yel centro de gravedad. El teorema demuestra que el momento cinetico de SOLk respecto al punto Bdado por

[HSOL K (B)] = [HSOLK (GSOLK )] + [HSOLK (B)], (5.8)donde

[HSOL K (B)] = [PGSOLk ] mSOL k VGSOLk (5.9)

es el momento cinetico de una partcula de igual masa que S OLk situada en el centro de gravedaddel solido.

A partir de estas ecuaciones es facil comprobar que

[JSOL k (B)] = [JSOL k (GSOLK )] + [JSOLk (B)], (5.10)

con[JSOL k (B)] = mSOL k (PGSOLk)(PGSOLk). (5.11)

La expresion 5.11 es el tensor de inercia en B de una partcula de masa igual a la masa del solidoque estuviera situada en el centro de gravedad del s olido. Evidentemente, el tensor anterior proyectadoen la misma base se expresara como

[JSOLk (B)] =mSOLk

x22+ x23 x1x2 x1x3x2x1 x21+ x23 x2x3

x3x1 x3x2 x21+ x22

. (5.12)

Generalmente la orientacion del solido es la de la base empleada, y el punto B es fijo respectoal mismo, de modo que la expresion 5.12 tiene componentes constantes. Por ello, en adelante sesupondra que el tensor esta expresado en la base asociada al s olido rgido, y se denotaraISOLk .


21/183

5. Fundamentos teoricos de mecanica 21

5.2. Fundamentos de mecanica de fluidos

5.2.1. Resistencia y sustentacion de cuerpos sumergidos

Cuando un cuerpo de geometra arbitraria se sumerge en una corriente fluida, el fluido ejerce sobreel fuerzas y momentos en los tres ejes coordenados. Es habitual elegir uno de dichos eje coordenadosparalelo a la corriente no perturbada, positivo aguas abajo. La fuerza sobre el cuerpo segun este eje sedenomina resistencia (aerodinamica o hidrodinamica), y se corresponde con una perdida de cantidadde movimiento [2].

Una segunda componente de la fuerza que normalmente equilibra al peso se denomina sustentacion(lift, en ingles) y es ortogonal a la fuerza de resistencia (dragen ingles).

Cuando el cuerpo es simetrico con respecto al plano formado por los ejes de sustentacion y resis-tencia el problema de fuerzas tridimensionales se reduce a las fuerzas mencionadas.

5.2.2.

Area caractersticaLos coeficientes de resistencia CD y sustentacion (CL) dependen del area caracterstica A, que

puede variar dependiendo de la forma del cuerpo, la fuerza correspondiente Fi y la densidad del fluido. Dichos coeficientes vienen dados por

CD = FD12

V2A CL =

FL12

V2A . (5.13)

El factor 1/2 de los denominadores es un tradicional tributo a Euler y Bernoulli. A la hora dedefinir el area A, se suele optar por una de estas definiciones [2]:

1. Area frontal: area del cuerpo que se ve mirando la direccion de la corriente; apropiada paracuerpos gruesos tales como esferas, cilindros, coches, etc.

2. Area de la forma de la planta: area del cuerpo que se ve mirando desde arriba; apropiada paracuerpos anchos y planos tales como alas e hiroalas.

3. Area mojada: area en contacto con el fluido; se acostumbra a usar en barcos y lanchas.

5.2.3. Resistencia y sustentacion en helices

Reordenando la ecuacion 5.13, se obtiene el valor de las fuerzas de resistencia y sustentacion

FD =1

2CDAV

2 FL =1

2CLAV

2 . (5.14)

El problema en este punto reside en la eleccion del area caracterstica y el calculo de los coeficientesde resistencia y sustentacion. El calculo de dichos coeficientes aerodinamicos es bastante complicado,pero por suerte para los perfiles estandar estos estan tabulados y no es necesario su calculo. Noobstante, en el caso de no estarlo es posible realizar pruebas experimentales para determinar su valoren torno al punto de operacion.

Como se puede apreciar, la ecuacion 5.14 es funcion unicamente de la velocidad lineal, pues el restode terminos, salvo cambios significativos en la densidad del aire, se mantienen constantes. Si bien estaforma de expresar las fuerzas es valida para movimientos lineales, en el caso de cuerpos rotatorioses mas interesante expresarlas en funcion de la velocidad angular. Para hacer el cambio es necesariorealizar una integral a lo largo del radio de la helice, como


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22 5.2. Fundamentos de mecanica de fluidos

Fi =

R0

1

2CiV

2dA=

R0

1

2Ci(r)

2(2r)dr=1

4CiR

42 =1

4CiAR

22 , (5.15)

en la que se ha empleado por convenio como area caracterstica la superficie de barrida de las palas[5]. Realizando la misma integral para el momento creado por dicha fuerza en el eje de rotaci on, elresultado es

Mi=

R0

dFir=

R0

1

2Ci

2(2r)r3dr=1

5CiAR

32 . (5.16)

5.2.4. El numero de Reynolds

El numero de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimension tpica de un flujoen una expresion adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinamica de fluidos. Dichonumero o combinacion adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el

flujo pueda considerarse laminar (numero de Reynolds pequeno) o turbulento (numero de Reynoldsgrande). Desde un punto de vista matematico el numero de Reynolds de un problema o situacionconcreta se define por medio de

Re=vsD

, (5.17)

o de forma equivalente

Re=vsD

, (5.18)

donde es densidad del fluido, vs la velocidad caracterstica del fluido, D el diametro de la tuberaa traves de la cual circula el fluido o longitud caracterstica del sistema, la viscosidad dinamica delfluido y la viscosidad cinematica del fluido.

Las perdidas de energa en un fluido estan relacionadas con el numero de Reynolds, por tanto elcalculo de los coeficientes aerodinamicos CD y CL tambien lo estaran [3]. Estas cuestiones se verancon mas detalle en el captulo 9.


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Captulo 6

Rotacion y traslacion del quadrotor

6.1. Orientacion del quadrotor

En esta seccion se trata la orientacion de la base asociada al quadrotor respecto de la referenciainercial.Esta se obtendra mediante los giros de Euler siguiendo la convencion xyz, muy utilizada enla industria aeroespacial, en la que los angulos de Euler se conocen como angulos como angulos deTait-Bryan.

Como todo angulo de Euler los angulos de Tait-Bryan son un modo de describir una rotaci ongeneral en el espacio eucldeo tridimensional a traves de tres rotaciones sucesivas en torno a los ejesdel sistema movil en el cual estan definidos. As, la configuracion de la rotacion de un solido rgido enel espacio queda definida a traves de tres rotaciones sucesivas, expresadas en las siguientes matrices1

1. Rotacion segun x de : el primer giro es el correspondiente al angulo de rollo de alabeo, ,

y se realiza alrededor del eje x.

x1y1z1

F

=

1 0 00 cos sin

0 sin cos

xLyLzL

(6.1)

2. Rotacion segun y de : el segundo giro se realiza alrededor del eje y a partir del nuevo ejeyL, con el angulopitcho angulo de cabeceo, para dejar el eje zL en su posicion final.

x2y2z2

=

cos 0 sin 0 1 0

sin 0 cos

x1y1z1

(6.2)

3. Rotacion segun z de : el tercer giro y ultima rotacion corresponde al angulo de guinada oyaw,, alrededor del eje z a partir del nuevo eje zL para llevar el helicoptero a su posicion final.

xyz

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

x2y2z2

(6.3)

El inconveniente de esta rotacion es que presenta una singularidad en = 2 [7]. No obstanteeste angulo de alabeo es impensable, salvo en el caso de vuelos acrobaticos y por tanto no se leprestara atencion de momento. Por otro lado, en y se permite un giro de 360. La figura 6.1representa las tres rotaciones, cada una de las cuales se asocia, de acuerdo con 6.1, 6.2 y 6.3, con una

1Se ha simplificado la notacion respecto a la de la seccion 5.1.2 de tal manera queRF

M

se expresa como RM.


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24 6.1. Orientacion del quadrotor

de las matrices de rotacion que representan la orientacion del solido rgido rotando alrededor de cadaeje, es decir,

R(x, ) = 1 0 0

0 cos sin 0 sin cos

R(y, ) =

cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos

R(z, ) =

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

(6.4)

Figura 6.1: Rotacion de los angulos de Tait-Bryan del sistema de coordenadas inercial al sistema decoordenadas fijado al helicoptero.

En consecuencia, la matriz de rotacion completa deB respecto aI, llamada Matriz Coseno Directa[7], viene dada por la ecuacion

RI=R(z, )R(y, ) R(x, ) = (6.5)

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos

1 0 00 cos sin

0 sin cos

=

=

cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos + sin sin sin cos sin sin sin + cos cos sin sin cos cos sin

sin cos sin cos cos

.

(6.6)

Esta matriz expresada en el sistema de coordenadas B es la inversa de RI, que por su propiedad


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6. Rotacion y traslacion del quadrotor 25

de ortonormalidad equivale a su traspuesta, con lo que viene dada por

RB =

cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin sin + cos cos cos sin cos sin cos + sin sin sin sin cos cos sin cos cos

. (6.7)

Si ahora se define

=

pqr

(6.8)

como el vector de velocidades angulares en el sistema de coordenadas fijado al solido rgido y siendo

S() =

0 r qr 0 p

q p 0

(6.9)

su tensor de velocidad angular asociado, segun lo definido en la ecuacion 5.5 obtenemos

RI=RI S() (6.10)

Despejando del sistema de ecuaciones dado en 6.10 las variables , y , y realizando simplifica-ciones obtenemos

=

p + r sec tan + (qcos r sin )tan tan qcos r sin

sec (r cos + qsin )

, (6.11)

o lo que es lo mismo, expresado en forma matricial,

=

1 sin tan cos tan 0 cos sin

0 sin sec cos sec

pqr

. (6.12)

As, si se quiere expresar el vector de velocidad angular en el sistema de coordenadas fijado al solidorgido en funcion de los angulos de Tait-Bryan y su derivada, basta con multiplicar por la izquierdaambos miembros por la inversa de dicha matriz. Por tanto, el vector velocidad angular en la base Bviene dado por

pq

r

=

1 0 sin 0 cos sin cos 0 sin cos cos

. (6.13)

6.2. Traslacion del quadrotor

Si ahora se quiere analizar el movimiento de traslacion del quadrotor, hay que encontrar las com-ponentes de la velocidadVI en la referencia inercial I. Esta velocidad se relaciona con VB (expresadaen la referencia asociada al quadrotor B ) por

VI=RI VB u

vw =RI

uL

vLwL . (6.14)


26/183

26 6.2. Traslacion del quadrotor

Para relacionar la posicion del origen de la base B respecto al origen de referencia inercial con suvelocidad, se recurre a la velocidad expresada en esta misma base, con lo que quedan relacionadas deforma sencilla como

=VI . (6.15)


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Captulo 7

Calculo de los tensores de inercia

7.1. Tensor de inercia del rotor

Cada uno de los cuatro rotores se van a modelar como un disco de altura hR y diametro dR ymasa mR. De este modo el tensor de inercia respecto a su centro de masas asociado al rotor queda,considerando como eje z el que define el sentido axial,

JR =1

4mR

d2R4 +

h2R3 0 0

0 d2R

4 + h2R

3 0

0 0 d2R

2

. (7.1)

7.2. Tensor de inercia de la estructuraA continuacion, se va a analizar la estructura del quadrotor, que como se ha visto en la figura 4.1 de

la pagina 17, cuenta con unos prismas cuadrados centrales: uno superior de dimensiones lPsup1 ,lPsup1 ylPsup3 y otro inferior de dimensiones lPinf1 ,lPinf1 ylPinf3 con masasmPsup y mPinf respectivamente.De los anteriores salen cuatro perfiles de aluminio cuadrados de lado a, espesor e y densidad Al,otorgandole un diametro total a la aeronave (sin tener en cuenta las helices)l. Los cilindros que alojanlos rotores estan situados en los extremos de la misma, con un diametro exteriordCI L, una alturahRy diametro interior dR.

Por simplicidad en el modelo se va a considerar el centro de gravedad de la aeronave en el puntomedio de la cruceta formada por los dos perfiles. Teniendo en cuenta esta premisa, la inercia de laestructura se calcula por composicion de la inercia de las formas geometricas basicas que la componen

respecto a este punto, del siguiente modo:

Cilindros: La inercia respecto a su centro de masas es

Jxx =1

8mCI L

1

6(3d2CI L+ 3d

2R+ 4l

2R)

Jyy =1

8mCI L

1

6(3d2CI L+ 3d

2R+ 4l

2R

Jzz =1

8mCI L

d2CI L2

,

(7.2)

siendo el resto de terminos nulos.

Teniendo en cuenta que la posicion de cada uno respecto al centro de gravedad es


28/183

28 7.2. Tensor de inercia de la estructura

dN =

ldCIL20

a+hR

2

, dS=

ldCIL20

a+hR

2

, (7.3)

dE =

0 ldCIL2

a+hR2

y dO =

0ldCIL

2a+hR

2

, (7.4)

se puede obtener el tensor de inercia respecto al centro de gravedad de los cilindros aplicandoel teorema de Steiner (seccion 5.1.3) y el principio de superposicion siendo todos los terminosnulos salvo los elementos diagonales, lo que da lugar a

Jxx = 1

12mCI L(3d

2CI L+ 3d

2R+ 6(a + hR)

2+

+ 6((l d2CI L+ (a + hR)2) + 4l2R),Jyy = Ixx y

Jzz =1

2mCI L(2(l dCI L)2 + d2CI L)c .

(7.5)

Perfiles: La inercia respecto a su centro de masas considerando el eje x normal a la seccion delperfil es

Jxx =1

6All(a

4 (a 2e)4) ,

Jyy =1

3Alle(a e)(2a2 4ae + 4e2 + l2), (7.6)

Jzz =1

3Alle(a e)(2a2 4ae + 4e2 + l2),

siendo el resto de terminos del tensor nulos.

En el caso del perfil cuya seccion transversal es normal al eje y, el tensor es el mismo solo queintercambiando los terminos Ixxy Iyy . Ademas de esto dado que en la interseccion hay que cortaruno de los perfiles (el que esta alineado con el eje y), hay que restar la inercia correspondientea esta, con lo que se obtiene

Jxx =1

3Alae(3a

3 7a2e + 8ae2 4e3),

Jyy =1

6Ala(a

4 (a 2e)4) y (7.7)

Jzz =1

3 Alae(3a3 7a2e + 8ae2 4e3).

El tensor de inercia total de los perfiles tras aplicar el principio de superposici on queda

Jxx =1

3Ale(3a4 + a3(7e + 6l) 2a2e(4e + 9l)

el(12e2 + l2) + a(4e3 + 24e2l+ l3)),Jyy = 1

3Ale(4a

4 6a3(2e + l) + 2a2e(8e + 9l)++ el(12e2 + l2) a(8e3 + 24e2l+ l3)) y (7.8)

Jzz =1

3Ale(a(3a3 + 7a2e 8ae2 + 4e3)+

+ 2(a e)l(2a2 4ae + 4e2 + l2)),


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7. Calculo de los tensores de inercia 29


(7.9)

Prismas centrales: La inercia respecto a su centro de masas de un prisma de base cuadrada es

Jxx = 1

12mP RI(l

21+ l

23) ,

Jyy = 1

12mP RI(l

21+ l

23) y (7.10)

Jzz =1

6mP RIl

21 ,


Si ahora se obtienen los tensores de inercia de los prismas respecto al centro de gravedad de la

estructura aplicando el teorema de Steiner, resulta

Jxx = 1

12mP RI(l

2Psup1

+ l2Psup3+1

4(a + lPsup3 )

2),

Jyy = 1

12mP RI(l

2Psup1

+ l2Psup3+1

4(a + lPsup3 )

2)), (7.11)

Jzz =1

6mP RIl

2Psup1

,

Jxx = 1

12mP RI(l

2Pinf1

+ l2Pinf3+1

4(a + lPinf3 )

2)),

Jyy = 1

12mP RI(l

2Pinf1

+ l2Pinf3+1

4(a + lPinf3 )

2)) y (7.12)

Jzz =1

6

mP RIl2Pinf1

.

A partir de todos estos tensores calculados, se puede obtener el momento de inercia de toda laestructura respecto al centro de gravedad del quadrotor, dada por

JExx =1

12(12a4eAl+ 28a3e2 32a2e3Al+ 16ae4Al+ 24a3elAl

72a2e2lAl+ 96ae3lAl 48e4lAl+ 4ael3Al 4e2l3Al++ mCI L(24ldCI L+ 15d

2CI L+ 3d

2R+ 48ahR+ 28h

2R)+ (7.13)

+ 3mPinf(a + 4l2Pinf1

+ 5l2Pinf3 ) + mPsup(3a + 12l2Psup1

+

+ 15l2Psup3 ) + mR(3d2R+ 4h

2R)),

JEyy =112(16a4eAl+ 48a3e2Al 64a2e3Al+ 32ae4Al+ 24a3elAl

72a2e2lAl+ 96ae3lAl 48e4lAl+ 4ael3Al 4e2l3Al++ mCI L(24a

2 + 12l2 24ldCI L+ 15d2CI L+ 3d2R+ 48ahR+ 28h2R)+ (7.14)+ 3mPinf(a + 4l

2Pinf1

+ 5l2Pinf3 )+

+ mPsup(3a + 12l2Psup1

+ 15l2Psup3 ) + mR(3d2R+ 4h

2R)),

JEzz =1

6(2e(a(3a3 + 7a2e 8ae2 + 4e3)+

+ 2(a e)l(2a2 4ae + 4e2 + l2))Al+ 6(l dCI L)2mCI L+ (7.15)+ 3(2(l dCI L)2 + d2CI L)mCI L++ l2

Pinf1mPinf+ l

2

Psup1mPsup+ 3d

2

R

mR).


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Captulo 8

Aplicacion de los teoremasvectoriales

8.1. Teoremas vectoriales en el rotor

Al estar su centro de masas fijado en cuanto a desplazamientos se desprecia el termino del torsorde inercia relativo a las fuerzas (de sustentacion, de friccion y gravitatoria), pudiendo suponerse todasestas aplicadas sobre la estructura como fuerzas de enlace de la misma. Al analizar la derivada enbase movil de la cantidad de movimiento del disco del rotor que gira a una velocidad i respecto a laestructura obtenemos

JR i+

JRi= R , (8.1)

siendo la velocidad angular entre el rotor y la estructura de cada rotor

i=

00

i

. (8.2)

El vector de momentos resultantes es la suma de los momentos actuantes: el momento transmitidoal eje, M, y el momento de arrastre del rotor T. Queda por tanto

R = M+ T (8.3)

R = M kTi|i|e3 (8.4)

Despejando de la expresion 8.4 el momento transmitido al eje e incluyendolo en la ecuacion 8.1obtenemos

Mi =JR i+ JRi+ kTi|i|e3 , (8.5)

expresion en la que el primer termino es el momento producido por la variacion de la velocidadangular del rotor, el segundo es el llamado efecto giroscopico y el tercero es el momento aerodinamicodel motor. Este sera el momento de enlace transmitido a la estructura.

Tanto en la ecuacion 8.4 como en 8.5 no se ha incluido 2i

para mantener el signo segun el sentidode rotacion. La razon para esto es que, como se aprecia en la figura 4.2 los rotores 1 y 2 giran ensentido negativo y 3 y 4 en sentido positivo.


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32 8.2. Teoremas vectoriales en la estructura

8.2. Teoremas vectoriales en la estructura

Aplicando las ecuaciones de Newton-Euler a la estructura obtenemos

mI3x3 0

0 JE

V

+

mV JE

=

FE

E

. (8.6)

Se van a analizar las fuerzas y momentos externos que actuan sobre la estructura de forma analogaa lo hecho con el rotor, es decir, se van a hallar los terminosF y de la ecuacion 8.6. Hay que teneren cuenta todos los momentos de enlace con los cuatro rotores y los momentos de rozamiento viscosoconsecuencia de las rotaciones. En cuanto a las fuerzas aplicadas sobre la estructura estan la fuerzade la gravedad que no crea momento, y las fuerzas de sustentacion de los rotores, cuya diferencia demagnitud s crea un momento. Finalmente estan presentes las fuerzas viscosas consecuencia de losdesplazamientos. De este modo, se llega a

E= Aerod+ F+4

i=1

(JR i+ JR i+ kTi|i|e3) , (8.7)

FE= FAerod+4

i=1

(Fi)mqr ge3 , (8.8)

siendo el termino tauF

F =

4i=1

Fi di =

(l dCI L)(F4 F3)/2(l dCI L)(F2 F1)/2

0

. (8.9)

La fuerza de sustentacion Fi no es perfectamente vertical [4], y viene dada por una expresion deltipo

Fi= b2i

sin a1sicos a1si sin b1sicos b1si cos a1si

(8.10)

y relacionada con el efecto del flapping [4].

No obstante, se va a considerar esta desviacion como una perturbacion, dada la complejidad de calculoy la escasa influencia que tiene en el modelado. As siendo a1si=0

y b1si=0 , todos los miembros de

la ecuacion 8.10 pasan a ser constantes, excepto i. El resultado es que F

iqueda como una funcion

del tipo

Fi= b2i e3 . (8.11)

Todos los terminos de las ecuaciones 8.7 y 8.8 son conocidos, excepto las fuerzas y momentosaerodinamicos. La mayora de la bibliografa desprecia estos terminos tomandolos como simples per-turbaciones [1], pero esta suposicion limita ciertos conceptos como por ejemplo la velocidad lmitede la aeronave, por ello en la seccion 9 se hace una aproximacion un tanto burda a partir de ciertassimplificaciones.


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Captulo 9

Fuerzas y momentos aerodinamicos

En esta seccion se pretende encontrar las fuerzas aerodinamicas o de rozamiento con el aire en losmovimientos de la aeronave durante sus maniobras. Para referirse a estas, se emplea el subndice D(del ingles drag). Todos los calculos derivan de lo estudiado en la seccion 5.2.

Como ya se ha visto en las ecuaciones 5.14 y 5.15 todas las fuerzas dependeran del cuadradode la velocidad lineal en traslaciones o angular en rotaciones. Por otro lado, para el c alculo de lasfuerzas asociadas a las traslaciones y los momentos asociados a rotaciones se supone que se cumple elfenomeno de superposicion y se analizaran por separado los esfuerzos en cada uno de los ejes.

Con el objetivo de simplificar los calculos que se realizaran, se aproxima la geometra central a unasimilar. Para el desplazamiento en el eje z y los momentos se considera que es un prisma de altura hPy ladol siendo estos

hP =lPsup3 + a + lPinf3 , (9.1)

lP

=max(lPsup1

, lPinf1

) . (9.2)

Por otro lado las fuerzas aerodinamicas se van a referir a la base B, y por ello su expresion en lareferencia inercial quedara

FDxI=F

Dx(,,,F DxB , FDyB , FDz B )

FDxI=cos cos FDxB+ ( cos sin + cos sin sin )FDy B ++ (sin sin + cos cos sin )FDz B

FDy I=F

Dy(,,,F DxB , FDyB , FDz B ) (9.3)

FDy I=sin cos FDxB+ (cos cos + sin sin sin )FDy B+

( sin cos + cos sin sin )FDz BFDz I=F

Dz

(,,F Dx , FDy , FDz )

FDz I= sin FDxB+ cos sin FDy B+ cos cos FDz B

9.1. Fuerzas asociadas a traslaciones

El calculo de la fuerza de arrastre se centra en hallar el area y el coeficiente de arrastre de laecuacion (5.14). Para determinar el area a tener en cuenta se acude al principio del captulo 4. Enel caso de los desplazamientos en los ejes x e y, esta sera el alzado de la de la figura 4.1. Del mismomodo, en el caso de los desplazamientos en el ejez, el area a tener en cuenta sera la planta de la figura4.1.

Como la estructura se configura en diferentes elementos geometricos tales como los prismas cen-trales, los perfiles o los rotores, y cada uno tiene diferente coeficiente de arrastre, se realizar a unaponderacion en areas de los mismos. As, la fuerza de rozamiento en cada uno de los ejes es


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34 9.2. Momentos asociados a rotaciones

FDx =1

2

2dCI LhRCDCIL + lPsup1 lPsup3 CDPsup +

lPinf1 lPinf3 CDPinf+ l acDperfil

V2

x ,

FDy =1

2

2dCI LhRCDCIL + lPsup1 lPsup3 CDPsup +

lPinf1 lPinf3 CDPinf+ l acDperfil

V2y y

FDz =1

2

d2CI LCDCIL

+ (lP)2CDP + 2a(l lP 2dCI L)CDperfil

V2z .

(9.4)

Por simplicidad, en adelante los momentos aerodinamicos se denotaran

FDx =C1u|u| ,FDy =C2v|v| ,FDz =C3w|w| .

(9.5)

Para la estimacion de los coeficientes de arrastreC1,C1yC1se debe recurrir a tablas de coeficientesaerodinamicos a bajos numeros de Reynolds de las geometras elementales mencionadas [2], por lo que,suponiendo los coeficientes

CDCIL = 0,9 ,

CDPsup = 2,1,

CDPinf = 2,1 ,

CDperfil= 2,1 ,

(9.6)

se van a aproximar por

C1 = 0,007,

C2 = 0,007,

C3 = 0,009.

(9.7)

9.2. Momentos asociados a rotaciones

Para el calculo de los momentos se procede de forma similar al anterior caso, teniendo en cuenta laecuacion 5.16. Si bien dicha ecuacion es correcta, tanto el coeficiente de arrastre como el area varan

con el radio para el caso de la estructura, y por ello sera necesario realizar la integral a trozos

D =1

22

max(ePsup, ePinf)CDP

12 l

P

0

r3 dr+

+eperf ilCDperfil

l2dCIL

12 l

P

r3 dr+

+erotorCDrotor

l2

l2dCIL

r3 dr

,

(9.8)

con ei el espesor de cada elemento de la estructura visto en alzado. Al igual que en el caso de lasfuerzas, hay que calcular areas y coeficientes de arrastre.


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9. Fuerzas y momentos aerodinamicos 35

En el primer miembro de la ecuacion 9.8, el correspondiente a los prismas, presenta problemas enel calculo al ser una geometra compleja, tanto en la integracion como en el calculo del coeficiente dearrastre. Dada su complejidad y su baja influencia (las velocidades lineales causadas por una rotaciontan cerca del eje son despreciables) se ignora este termino, por lo que la solucion de las integrales

conduce a

D =1

82

Aperf ilCDperfil

d l

2

4 (lP)4

+

+ArotorCDrotor

l4 1

16(l 2dCI L)4

,

(9.9)

dondeAperf il se refiere a la parte vistapor el flujo de aire del perfil, y as Aperf il y Arotor quedancomo

Aperf il= a

l

2 dCI L lP

,

Arotor=1

4d2CI L .

(9.10)

Por simplicidad, en adelante los momentos aerodinamicos se denotaran

Dx =C4p|p| ,Dy =C5q|q| ,Dz =C6r|r| .

(9.11)

Para la estimacion de los coeficientes de arrastreC4,C5yC6se debe recurrir a tablas de coeficientesaerodinamicos a bajos numeros de Reynolds de las geometras elementales mencionadas [2], por lo que,suponiendo los coeficientes

CDrotor= 0,9 y

CDperfil= 2,1, (9.12)

se aproxima por

C4 = 2,6105

,C5 = 2,610

5 ,

C6 = 9,6105 .

(9.13)


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37/183

Captulo 10

Ecuaciones de estado

Llegados a este punto ya esta modelado por completo el sistema fsico, si bien para continuar elanalisis conviene expresar las anteriores ecuaciones en una unica expresion conocida como las ecuacio-nes de estados, muy utilizadas en teora de control, que son un conjunto de ecuaciones diferenciales deprimer orden que describen por completo la dinamica del sistema. En su forma general, las ecuacionesdel espacio de estados de un sistema no lineal son

x(t) = f[x(t), u(t), t]

y(t) = g[x(t), u(t), t] . (10.1)

10.1. Vector de estados

El vector de estados que se va a definir para nuestro sistema es

x(t) = {x,y,z,u,v,w,,,,p,q,r}T , (10.2)

y las ecuaciones de estado se van a obtener agrupando las expresiones que relacionan la posici on conla velocidad (ecuacion 6.15), la aceleracion con las fuerzas (ecuacion 8.8), los angulos de Tait-Bryancon la velocidad angular expresada en la referencia asociada al quadrotor (ecuaci on 6.11), las querelacionan esta con los momentos (mostradas en la expresion 8.7) y despejando de la ecuacion 8.6.

Si se tiene en cuenta la ecuacion 8.11 se ve que nuestro sistema tiene 8 entradas de control: 1,

2, 3 y 4 y sus correspondientes derivadas. Estas velocidades angulares se van a emplear a partirde ahora en valor absoluto, denotandose c i y teniendo en cuenta el signo en las expresiones

4i=1

i = c 1 c 2+ c 3+ c 4 , (10.3)

4i=1

i|i| = (c 1)2 (c 2)2 + (c 3)2 + (c 4)2 , (10.4)

4i=1

2i = 2c 1+

2c 2+

2c 3+

2c 4 , (10.5)

y las aceleraciones angulares se denotaran i pudiendo ser tanto positivas como negativas.


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38 10.1. Vector de estados

Por simplificar la notacion a la hora de referirse a los momentos creados por las fuerzas, se empleala constante

kMF = b(l dCI L)

2

(10.6)

As, finalmente se obtienen las ecuaciones del sistema

x= u ,

y= v ,

z= w ,

u= b

m(cos sin cos + sin sin )

4i=1

2iFDxI

m ,

v= b

m(sin sin cos cos sin )

4

i=12i

FDyI

m ,

w= g+ bm

cos cos 4

i=1

2iFDz I

m

= p + qsin tan + r cos tan , (10.7)

= qcos r sin ,= sec (r cos + qsin ) ,

p=JEyy JEzz

JExxq r+

JRzzJExx

q4

i=1

i+kM F(

24 23)

JExx Dx

JExx,

q=JEzz JExx

JEyyp r JRzz

JEyyp

4

i=1 i+kMF (

22 21)

JEyy Dy

JEyy,

r=JExx JEyy

JEzzp q+

JRzzJEzz

4i=1

i+ kTJEzz

4i=1

i|i| DzJEzz

.

Por otro lado, se definen el vector de entrada

u(t) = {c 1, c 2, c 3, c 4, 1, 2, 3, 4}T (10.8)

y el vector de salida

y(t) = {u,v,w,,,}T (10.9)

de nuestra representacion en el espacio de estados del sistema, la cual cuenta con 10 grados de libertad(6 de la posicion y orientacion espacial del quadrotor mas los 4 grados de libertad de posicion de losrotores). En principio, de acuerdo con esto el sistema debera tener 20 estados, pero para reducirsu numero se han considerado las aceleraciones angulares como una entrada sin relacion con lasvelocidades, dejando as a estas fuera del modelo.

(10.10)


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Captulo 11

Linealizacion

Para poder alcanzar las matrices de transferencia, es necesario en primer lugar obtener una reprsen-tacion lineal en el espacio de estados del sistema. Un modelo de espacio de estados lineal tiene la formageneral

x(t) = A(t) x(t) + B(t)u(t)y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

, (11.1)

dondex(t) es el vector de estados, y(t) es llamado vector de salida, u(t) es llamado vector de entradaso de control, A(t) es la matriz de estados, B (t) es la matriz de entrada, C(t) es la matriz de salida yD(t) es la matriz de transmision directa, generalmente nula1.

Para llegar a dicha representacion, se linealiza el sistema en torno a un punto de operacion [8]. Parapequenas desviaciones respecto al punto de operacion, el sistema linealizado tendra un comportamiento

similar al original.

11.1. Linealizacion en torno a un punto de equilibrio

Para la linealizacion en torno al punto de equilibrio se parte de la ecuaci on 11.1. Considerandopequenos desplazamientos en torno a un punto nominal (x0(t), u0(t)) de tal forma que

x(t) = x0(t) + x(t)u(t) = u0(t) + u(t)

, (11.2)

siempre que se cumpla que (x)i


40/183

40 11.2. Matrices jacobianas

As, de las ecuaciones 11.3 se obtienen las ecuaciones linealizadas

x = Ax + Bu

y = Cx + Du . (11.5)

11.2. Matrices jacobianas

A partir de lo definido en la ecuacion 11.4, se van a calcular las matrices jacobianas de las ecuacionesde estado 10.7 respecto al vector de estados, al vector de entradas y al vector de salidas.

A(t): Al tener 12 estados (ecuacion 10.2) la matriz de estados tiene es de dimension R12x12, dandolugar a una matriz de bastante complejidad y de la forma

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 a4,4 a4,5 a4,6 a4,7 a4,8 a4,9 0 0 00 0 0 a5,4 a5,5 a5,6 a5,7 a5,8 a5,9 0 0 00 0 0 a6,4 a6,5 a6,6 a6,7 a6,8 0 0 0 00 0 0 0 0 0 a7,7 a7,8 0 1 a7,11 a7,120 0 0 0 0 0 a8,7 a8,8 0 0 a8,11 a8,120 0 0 0 0 0 a9,7 a9,8 0 0 a9,11 a9,120 0 0 0 0 0 0 0 0 a10,10 a10,11 00 0 0 0 0 0 0 0 0 a11,10 a11,11 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a12,11 a12,12

, (11.6)

donde los terminos ai,j son

a4,4 = 2

m|u0| cos 0cos 0C1

a4,5 = 2

m|v0|( cos 0sin 0+ cos 0sin 0sin 0)C2

a4,6 = 2

m|w0|(sin 0sin 0+ cos 0cos 0sin 0)C3

a4,7 = b

m(cos 0sin 0 cos 0sin 0sin 0)(2c 1 0+ 2c 2 0+ 2c 3 0+ 2c 4 0)

a4,8 = b

mcos 0cos 0cos 0(

2c 1 0+

22+

23+

24)

a4,9 = b

m(cos 0sin 0 cos 0sin 0sin 0)(2c 1 0+ 2c 2 0+ c 3 0+ 24)

a5,4 = 2

m|u0| cos 0sin 0C1

a5,5 = 2

m|v0|(cos 0cos 0+ sin 0sin 0sin 0)C2

a5,6 = 2

m|w0|( cos 0sin 0+ cos 0sin 0sin 0)C3

a5,7 = bm

(cos 0cos 0+ sin 0sin 0sin 0)(2c 1 0+

2c 2 0+

2c 3 0+

2c 4 0)

a5,8 = b

mcos 0cos 0sin 0(

2c 1 0+ c 2 0+ c 3 0+

2c 4 0)

a5,9 =

b

m (sin 0sin 0+ cos 0cos 0sin 0)(2c 1 0+

2c 2 0+

2c 3 0+

2c 4 0)


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11. Linealizacion 41

a6,4 = 2m|u0| sin 0C1

a6,5 = 2m|v0| cos 0sin 0C2

a6,6 = 2

m|w0| cos 0cos 0C3

a6,7 = bm

cos 0sin 0(2c 1 0+

2c 2 0+

2c 3 0+

24)

a6,8 = bm

cos 0sin 0(2c 1 0+

2c 2 0+

2c 3 0+

24)

a7,7 = (q0cos 0 r0sin 0)tan 0a7,8 = sec

20(r0cos 0+ q0sin 0)

a7,11 = sin 0tan 0

a7,12 = cos 0tan 0

a8,7 = r0cos 0 q0sin 0a8,11 = cos 0

a8,12 = sin 0

a9,7 = sec 0(q0cos 0 r0sin 0)a9,8 = sec 0(r0cos 0+ q0sin 0)tan 0

a9,11 = sec 0sin 0

a9,12 = cos 0sec 0

a10,10 =2|p0|C4

JExx

a10,11 =JRzz (c 1 0 c 2 0+ c 3 0+ c 4 0)

JExx

a11,10 = JRzz (c 1 0 c 2 0+ c 3 0+ c 4 0)JEyya11,11 =

2|q0|C4JEyy

a12,11 =JRzz (1 0 2 0+ 3 0+ 4 0)

JEzz

a12,12 =2|r0|C4

JEzz.

B(t): Al tener aparecer 8 entradas (ecuacion 10.8) la matriz de entradas es de dimension R12x8,dando lugar a una matriz de la forma


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42 11.2. Matrices jacobianas

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

b4,1 b4,2 b4,3 b4,4 0 0 0 0b5,1 b5,2 b5,3 b5,4 0 0 0 0b6,1 b6,2 b6,3 b6,4 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

b10,1 b10,2 b10,3 b10,4 0 0 0 0b11,1 b11,2 b11,3 b11,4 0 0 0 0b12,1 b12,2 b12,3 b12,4 b12,5 b12,6 b12,7 b12,8

, (11.7)

donde los terminos bi,j son

b4,1 =2b

m(sin 0sin 0+ cos 0cos 0sin 0)c 1 0

b4,2 =2b

m(sin 0sin 0+ cos 0cos 0sin 0)c 2 0)

b4,3 =2b


b4,4 =2b


b5,1 =2b

m( cos 0sin 0+ cos 0sin 0sin 0)c 1 0)

b5,2 = 2bm

( cos 0sin 0+ cos 0sin 0sin 0)c 2 0)

b5,3 =2b


b5,4 =2b


b6,1 =2b

mcos 0cos 0c 1 0

b6,2 =2b

mcos 0cos 0c 2 0

b6,3 =

2b

mcos 0cos 0c 3 0

b6,4 =2b

mcos 0cos 0c 4 0

b10,1= q0JRJExx

b10,2= q0JRJExx

b10,3= q0JRJExx

2 kM FJExx

c 3 0

b10,4=

q0JR

JExx +

2 kM F

JExx c 4 0


43/183


b11,1 = p0JRzzJEyy

2 kMFJEyy

c 1 0

b11,2 = p0JRzzJEyy

+2 kMF

JEyyc 2 0

b11,3 =p0JRzz

JEyy

b11,4 =p0JRzz

JEyy

b12,1 = 2kTc 1 0JEzz

q0JRzzJEzz

b12,2 = 2kTc 2 0

JEzz q0JRzz

JEzz

b12,3 =2kTc 3 0

JEzz+

q0JRzzJEzz

b12,4 =2kTc 4 0

JEzz+

q0JRzzJEzz

b12,5 = q0JRJEzz

b12,6 = q0JRJEzz

b12,7 = q0JRJEzz

b12,8 = q0JRJEzz

.

C(t): Al aparecer 6 salidas (ecuacion 10.9) la matriz de salida es de dimension R6x12, dando lugar a

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

. (11.8)

11.3. Obtencion de la transformada de Laplace

A partir de las ecuaciones de estado del sistema linealizado en torno a un punto es posible realizarla transformada de Laplace para obtener la funcion de transferencia del sistema. Dadas las ecuacionesde estado de la ecuacion 11.1 y aplicando la transformada de Laplace se tiene que

s X(s) x(0) =A X(s) + B U(s) , (11.9)Y(s) = C X(s). (11.10)


44/183

44 11.4. Punto de equilibrio

Despejando X(s) de la ecuacion 11.9 y sustituyendolo en 11.10 resulta, expresado en forma defuncion de transferencia definida para condiciones iniciales nulas

Y(s)

U(s) =P(s) = C(sIA)1

B , (11.11)

que tambien se puede expresar como

P(s) =C Adj(sIA)TB

Det(sI A) . (11.12)

(11.13)

La ecuacion 11.12 se denomina la funcion de transferencia mnima, ya que en ella se cancelan depolos y ceros hasta que numerador y denominador son primos entre s. Obviamente para cada una de

las 8 entradas habra 6 funciones de transferencia, una por cada salida del sistema por tratarse de unsistemaMIMO, del ingles Multiple Input, Multiple Output.

11.4. Punto de equilibrio

Para calcular los puntos de equilibrio del sistema hay que de buscar los valores de las variables deestado que hacen nulo el vector de estados. Para lograr esto se iguala el vector de estados a cero y seresuelve el sistema de ecuaciones. Una vez hecho esto se obtiene el conjunto de soluciones o conjuntode puntos de equilibrio

xeq = x0 x0 R , yeq =y0 y0 R , zeq =z0 z0 R ,ueq = 0 , veq = 0, weq = 0 , (11.14)

eq = 2n n N, eq = 2n n N , eq = 0 0 R ,peq = 0 , qeq = 0, req = 0 ,

y las velocidades y aceleraciones angulares de entrada que dan lugar a estos puntos

c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 12

g m

b ,

1= 2 = 3 = 4 = 0. (11.15)

11.5. Matriz de transferencia

Si se realiza el calculo simbolico de la matriz P(s) a partir de las matrices 11.6, 11.7 y 11.8calculadas en la seccion 11.2 para cualquier punto de equilibrio el costo computacional es inmenso,por ello se presenta la funcion de transferencia particularizada en el punto de equilibrio de vueloestacionario, es decir, con las condiciones mostradas en la ecuacion 11.14.

Analizando las funciones de transferencia de las salidas en funci on de las entradas correspondientesy expresado el resultado en forma matricial tenemos que2

2

En adelante, para el modelo linealizado se va a simplificar el vector de entradas unicamente a las velocidadesangulares y de este modo la matriz anterior se reduce a una R6x4.


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x(s)y(s)z(s)(s)(s)(s)

=

g3mb

kMF

JEyy s4

g3 m

b kMF

JEyy s4 0 0 0 0 0 0

0 0g3m

b kMFJExx s

4 g3m

b kMFJExx s

4 0 0 0 0g

s2

gmb

g

s2

g mb

g

s2

g mb

g

s2

gmb

0 0 0 0

0 0

g3 mb

kMF

s2JExx

g3 m

b kMF

s2JExx0 0 0 0

g3mb

kMF

s2JEyy

g3 m

b kMF

s2JEyy0 0 0 0 0 0

g3 mb

kT

s2JEzz

g3 mb

kT

s2JEzz

g3 m

b kT

s2JEzz

g3 m

b kT

s2JEzz0 0 0 0

c 1

c 2c 3c 41234

.

(11.16)


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Captulo 12

Desacoplo del sistema

Para hacer mas intuitivo para el control el sistema, se va a proceder a su desacoplo. No resultanevidentes las relaciones existentes entre las entradas actuales (las velocidades angulares de los cuatrorotores) y las salidas, pero es posible realizar un cambio de variable de tal manera que cada una secorresponda con un grado de libertad, relacionando de este modo 4 entradas y 4 grados de libertad.

Las nuevas entradas de control van a estar relacionadas con el empuje vertical y los momentos dealabeo, cabeceo y guinada, de forma similar a como se hace en una aeronave convencional.

Empuje vertical: estara relacionado con el desplazamiento en el eje z de la base asociada a laaeronave y es la suma del cuadrado de las velocidades angulares de los cuatro motores

U1 =

4

i=1

(c i)2 = (c 1)

2 + (c 2)2 + (c 3)

2 + (c 4)2 . (12.1)

Alabeo: estara relacionado con el giro en el eje x en el sistema asociado a la aeronave y es ladiferencia del cuadrado de las velocidades angulares de los motores tres y cuatro

U2 = (c 4)2 (c 3)2 . (12.2)

Cabeceo: estara relacionado con el giro en el eje y en el sistema asociado a la aeronave y es ladiferencia del cuadrado de las velocidades angulares de los motores uno y dos

U3 = (c 2)2

(c 1)

2 . (12.3)

Guinada: estara relacionado con el giro en el eje z en el sistema asociado a la aeronave y es lasuma del cuadrado de las velocidades angulares, pero teniendo en cuenta el sentido de giro enel signo

U4 =4

i=1

c i|c i| = (c 1)2 (c 2)2 + (c 3)2 + (c 4)2 . (12.4)

Estas son las acciones de control mas comunes en la mayora de las aeronaves de estas carac-tersticas, y facilitara el diseno del controlador. De este modo, despejando del sistema formado porlas ecuaciones anterior para obtener la relacion inversa, se obtienen cuatro soluciones al sistema. Deestas soluciones la unica cuyos terminos son todos positivos o cero es


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48

c 1= 12

U1 2U3 U4 ,

c 2= 12

U1+ 2U3

U4 ,

c 3= 12U1 2U2+ U4 ,c 4=

12

U1+ 2U2+ U4 .

(12.5)

En la ecuacion 12.5 se observa que la solucion unicamente sera real en los casos en los que elinterior de los radicales sean mayores o iguales que cero, esto da lugar a cuatro inecuaciones que vana restringir el espacio de acciones de control posibles

U1 2U3+ U4U1 2U3+ U4U1 2U2 U4U1 2U2 U4

(12.6)

(12.7)

Como puede verse, esto restringe al resto de grados de libertad es la accion de control del empuje.Esto es evidente ya que cualquier accion que se ejecute requiere el giro de los rotores y esto se traduceen un empuje, directamente relacionado con la accion de control U1. En la figura 12.1 se muestra elespacio de trabajo en tanto por unidad respecto a la entrada de control U1.

Figura 12.1: Espacio de trabajo de las acciones de control desacopladas definidas en tanto por unidadrespecto a la accion de control de empuje U1.

Las relaciones mostradas en las ecuaciones 12.5 pueden expresarse matricialmente viendo la relacionentre Uiy (c i)

2 y realizando posteriormente la raz cuadrada de cada elemento para facilitar el calculo(ecuacion 12.8)


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12. Desacoplo del sistema 49

2c 12c 22c 3

2c 4

=1

4

1 0 2 11 0 2 11 2 0 11 2 0 1

U1U2U3

U4

. (12.8)

Realizando este desacoplo se ha conseguido convertir unas entradas difcilmente entendibles a unasde facil comprension, relacionando una entrada con una salida. Esto facilitar a la labor del expertohumano a la hora del diseno del controlador borroso.

Los puntos de equilibrio en los que se puede trabajar han sido obtenidos en la seccion 11.4. Apartir de las entradas a emplear vistas en la seccion 12, elevando cada c i al cuadrado y haciendo laoperacion inversa a la mostrada en la ecuacion 12.8 se obtiene

U1U2U3U4

=

1 1 1 10 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

g m4 b

g m4 b

g m4 b

g m4 b

. (12.9)

Ahora, resolviendo 12.9 se obtienen las acciones de control desacopladas que dan lugar al punto deequilibrio desacoplado, dado por

U1 =g m

bU2 = U3 = U4 = 0 (12.10)

Es facil comprobar mediante las inecuaciones mostradas en 12.6 o graficamente en la figura 12.1que este vector de acciones de control se encuentra dentro del espacio de trabajo de las acciones decontrol, de hecho en el punto mas alejado de la frontera. En este punto las m aximas entradas que sepueden aplicar a las entradas de control pueden extraerse de las mismas inecuaciones y son

U2 g m2 b, g m2 b

U3 g m2 b, g m2 b

U4 g m

b , g m

b

(12.11)

12.1. Matriz de desacoplo

Al tratarse de un desacoplo no lineal, nuevamente se debe proceder a linealizar la matriz de des-acoplo del mismo modo que se ha procedido anteriormente. Si se consideran pequenos desplazamientosen torno a un punto nominal 0(t), y tambien que (t) es funcion det y U(t), se tiene

(t) = 0(t) + (t)

=f[U(t), t] =f[U0(t), t] + fUU(t) + O(||U||2

)

, (12.12)

dondefU(t) es la matriz Jacobiana denominada matriz de desacoplo linealizada y definida por

fU(t) = f

U

U0

, (12.13)

es decir,

fU(t) =

14

U1 02U3 0U4 0 0 1

2

U1 02U3 0U4 0 1

4

U1 02U3 0U4 01

4

U1 0+2U3 0U4 0 0 1

2

U1 0+2U3 0U4 0 1

4

U1 0+2U3 0U4 01

4

U1 02U2 0+U4 0 1

2

U1 02U2 0+U4 0 0 1

4

U1 02U2 0+U4 01

4

U1 0+2U2 0+U4 0

12

U1 0+2U2 0+U4 00 1

4

U1 0+2U2 0+U4 0

.

(12.14)


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50 12.2. Matriz de transferencia global

Si ahora se sustituyen las acciones de control desacopladas que dan lugar al punto de equilibrio seobtiene

fU(t) = 14

g mb

1 0 2 11 0 2 11 2 0 11 2 0 1

. (12.15)

que como se puede observar es exactamente la matriz de desacoplo (ecuaci on 12.8) multiplicada porla constante

g m

b . De este modo ya se puede relacionarU(t) conY(t) considerandoY(t) el vector

de salida del sistema.

12.2. Matriz de transferencia global

Si se post-multiplica la matriz de desacoplo linealizada (ecuacion 12.15) a la matriz de transferencia

del sistema en el punto de equilibrio se el siguiente sistema

x(s)y(s)z(s)(s)(s)(s)

= 1

s2

0 0 g kMFJEyy s

2 0

0 g kMFJExx s

2 0 0b

m 0 0 0

0 kMFJExx

0 0

0 0 kMFJEyy

0

0 0 0 kTJEzz

U1(s)U2(s)U3(s)U4(s)

, (12.16)

que como se aprecia cuenta con un desacoplo total y permite controlar cada una de las salidas escogidassin repercutir en el resto de variables. Ya no va a ser considerado un sistema multivariable sino cuatrosistemas SISO (del ingles Single Input, Single Output) que pueden controlarse con controladoresindividuales.


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Captulo 13

Simulacion del modelo

En el presente captulo se va a mostrar como realizar la simulacion del modelo. Las ventajas de lasimulacion en el diseno de sistemas y su control es evidente:

A traves de un estudio de simulacion, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externosdel sistema haciendo alteraciones en el modelo y observando los efectos de esas alteraciones enel comportamiento del mismo.

Una observacion detallada del sistema que se esta simulando puede conducir a un mejor enten-dimiento del sistema y por consiguiente a seguir estrategias que mejoren el comportamiento delmismo. Cuando este es complejo, puede ayudar a entender mejor la operacion del mismo, a de-tectar las variables mas importantes que interactuan en el y a entender mejor las interrelacionesentre estas variables.

La tecnica de simulacion puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones sobre lascuales se tiene poca o ninguna informacion. A traves de esta experimentacion se puede anticiparmejor a posibles resultados imprevistos.

Para la simulacion se emplea la toolbox de MATLAB Simulink. En esta, para simplificar el dia-grama de bloques dado la complejidad del modelo, se utiliza un bloque especfico para introducir demanera sencilla y transparente el modelo en el caso no lineal, la S-function. Asimismo se trabajara conel modelo linealizado y sus correspondientes bloques de Simulink. Sera importante comprobar las di-ferencias existentes entre ambas simulaciones para ver si la linealizacion se ha llevado a cabo de formacorrecta.

13.1. Modelo no lineal

13.1.1. S-function

El bloque implementado mediante la S-functiones, como se deca en la introduccion, el que va arepresentar de manera mas fiel el comportamiento del modelo real. A continuacion se explica que in-cluye laS-functiondel modelo del quadrotor. El programa se ha fraccionado en las figuras 13.1, 13.2,13.3, 13.4.

Cuando se trabaja con S-functionslo primero que hay que hacer es configurar la misma. Como seve en la figura 13.1, lneas 5 a 14, deben configurarse: el numero de estados continuos, 12 en el sistemabajo estudio; el numero de estados discretos, valor que se deja a cero por no contar el modelo conninguno; el numero de salidas, 6, correspondientes a la posicion y orientacion y finalmente el numerode entradas, 8 en este caso, 4 velocidades angulares y sus respectivas aceleraciones angulares.


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52 13.1. Modelo no lineal

1 function [sys,x0,str,ts] = sfuncont qr(t,x,u,flag,xinicial,vector k)

2

3 switch flag

4 case 0

5 sys = [12, % number of continuous states

6 0, % number of discrete states

7 6, % number of outputs

8 8, % number of inputs

9 0, % reserved must be zero

10 0, % direct feedthrough flag

11 1]; % number of sample times

12 x0 = xinicial;

13 str = [];

14 ts = [0 0]; % sample time: [period, offset]

Figura 13.1: S-functioncorrespondiente al modelo no lineal del quadrotor.

El siguiente parametro configurable es el valor de los estados iniciales, como se puede ver en lalnea 12 de la figura 13.1, se ha dejado sin indicar y el valor de la variable (xinicial) sera pasado porreferencia (lnea 1 de la misma figura).

En las lneas 3 y 4 de la figura 13.1 se observa que el funcionamiento del codigo de una S-functionse rige por el cambio de valor de una bandera. Cuando esta vale 0, se procede a informar a Simulinkdel valor de las opciones de configuracion, si bien este proceso solo se realiza al inicio de la simulacion.Los que vienen a continuacion se repiten en cada paso de la simulacion.

Cuando la bandera toma el valor 1, se procede a la actualizacion del valor de los estados continuos.Es en este punto de la S-functionen el que se debe incluir nuestra ecuacion en el espacio de estados.El unico elemento al que realmente atiende es al valor del vector sys (figura 13.3, lneas 11 a 22) en

el cual se define el valor de cada estado, denotando los mismos como x(i), siendo i el valor de cadauno de los 12 estados.

No obstante, y dada la complejidad de algunos terminos, se ha extrado por facilidad de progra-macion y de lectura del codigo el calculo de ciertos valores fuera de este vector. Para este calculo y ladefinicion del vector de estados es necesario el empleo de las constantes definidas para el modelo, porcomodidad a la hora de modificar las mismas estas se obtienen dentro de la S-functiona traves de lavariable pasada por parametrovector k.

En vector k estan agrupadas: las constantes aerodinamicas de la helice (b y Kt), la masa delquadrotor (m), la constante definida en la ecuacion 10.6 para simplificar la expresion del momento defuerzas (Kmf), los coeficientes de las fuerzas y momentos aerodinamicos vistos en el captulo 9 (c), yfinalmente el valor de la inercia en ejes principales de la estructura y la inercia en el eje del rotor vistasen el captulo 7 (Jex,Jey,Jez,Jrz). Como se extraen devector k y la aceleracion de la gravedad (g)

se puede ver en las lneas 4 a 14 de la figura 13.2.El calculo de las fuerzas y momentos aerodinamicos quedo definido en el captulo 9, ecuaciones

9.3 y 9.11. Para el calculo de las fuerzas se define la matriz de rotaci on Ri en las lneas 16 a 18. Loscalculos mostrados en las ecuaciones mencionadas se resuelven finalmente en las lneas 19 a 27.

Como se ha dicho, en las lneas 11 a 22 de 13.3 se actualiza el vector de estadossys, pero puedeapreciarse que antes de que ocurra esto hay un condicional en las l neas 3 a 9 para el calculo del tercerelemento de dicho vector. Su finalidad es simular una superficie de despegue para el quadrotor, mientrasla fuerza de empuje sea inferior al peso, el quadrotor no levantara el vuelo (aunque s podra variarsu posicion angular). Esto se consigue haciendo que en el caso de que el resultado del calculo de laaceleracion en el eje z sea negativa (estado x(6), denotado az) su valor sea sustituido por 0.

No es posible simular el impacto con el suelo dado que por el comportamiento interno de la S-functionno permite variar el valor anterior de un determinado estado. Por este motivo una vez queel quadrotor a levantado el vuelo s podra desplazarse a valores negativos del eje vertical.


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13. Simulacion del modelo 53

1 case 1

2

3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %CONSTANTES % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

4 b=vector k(1); %constante del motor (lift)

5 m=vector k(2); %masa

6 Kmf=vector k(3); %constante para el momento de fuerzas

7 Kt=vector k(4); %constante del motor (drag)

8 c=[vector k(5),vector k(6),vector k(7),vector k(8),vector k(9),vector k(10)];

9 Jex=vector k(11);

10 Jey=vector k(12);

11 Jez=vector k(13);

12 Jrz=vector k(14);

13

14 g=9.81;

15 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %FUERZAS Y MOMENTOS % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

16 Ri=[cos(x(9))*cos(x(8)),cos(x(7))*sin(x(9))+cos(x(9))*sin(x(7)) * sin(x(8)) , ...sin(x(7))*sin(x(9))+cos(x(7))*cos(x(9))*sin(x(8));

17 cos(x(8))*sin(x(9)),cos(x(7))*cos(x(9))+sin(x(7))*sin(x(9)) * sin(x(8)) , ...cos(x(9))*sin(x(7))+cos(x(7))*sin(x(9))*sin(x(8));

18 sin(x(8)),cos(x(8))*sin(x(7)),cos(x(7))*cos(x(8))];19 F=Ri*[c(1)*x(4)*abs(x(4));

20 c(2)*x(5)*abs(x(5));

21 c(3)*x(6)*abs(x(6))];

22 Fx=F(1);

23 Fy=F(2);

24 Fz=F(3);

25 taux=c(4)*x(10)*abs(x(10));

26 tauy=c(5)*x(11)*abs(x(11));

27 tauz=c(6)*x(12)*abs(x(12));


1 az=g+(b/m)*cos(x(8))*cos(x(7))*(u(1)2+u(2)2+u(3)2+u(4)2)(Fz/m);2

3 if (az


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54 13.1. Modelo no lineal

1 case 2

2 sys = [];

3

4 case 3

5

6 sys = [x(1);x(2);x(3);x(7);x(8);x(9)];

7

8 case 9

9 sys = [];

10

11 otherwise

12 DAStudio.error('Simulink:blocks:unhandledFlag' , num2str(flag));

13 end


De las lneas finales de la funcion (figura 13.4), unicamente tiene interes el caso en que la banderatoma el valor 3, en el que se deben especificar cu ales van a ser las seis salidas definidas. Como seha dicho anteriormente, esto sucede en la lnea 8 de la figura 13.1. Estas salidas seran la posicion yorientacion del quadrotor, es decir, los estados: x(1),x(2),x(3),x(7),x(8)y x(9). Los tres primeroscorresponden a la posicion en el sistema de referencia no-inercial y los tres segundos a la orientacionde la base del quadrotor B respecto a la baseI.

13.1.2. Diagrama de bloques

La S-function de Matlab tiene asociado un bloque en Simulink, en la figura 13.5 se muestra lainsercion de este bloque en todo el conjunto necesario para llevar a cabo la simulacion. El sistema sepresenta as con una estructura clasica de control.

Lo primero que se encuentra empezando por la izquierda son las referencias definidas medianteel bloque Repeating Secuence Stair, el cual permite concatenar diferentes escalones definidos por unvector y el tiempo de permanencia de cada valor de la referencia.

La referencia y la realimentacion entran a los respectivos bloques de control de las acciones des-acopladas definidas en el captulo 12. Dentro de este bloque se podra implementar el controlador quese desee, tanto analogico como digital y en cualquier configuracion (parte V).

En la realimentacion se puede ver como hay cuatro bloques en los que definir la din amica de lossensores. Presentan una configuracion abierta para ser modificados en el momento que se decida eltipo de sensor (captulo 27).

Entre los controladores y los actuadores hay una serie de bloques que engloban el desacoplo delsistema. Dado el objetivo de implementacion en un sistema real, y el coste computacional que supone

la realizacion de una raiz cuadrada, se ha empleado el desacoplo lineal. Este comprende por un ladola suma a la salida de los controladores de la accion de control desacoplada que da lugar al puntode equilibrio (ecuacion 12.10) con la constante base, y por otro la matriz de desacoplo linealizada(ecuacion 12.15).

Las salidas de los bloques de desacoplo se corresponden ya con la consigna necesaria para cadamotor, por tanto esta entra en el bloque en el que se define la dinamica de los motores (captulos 24y 25). Como se muestra en la ecuacion 10.8 de la seccion 10.1, estos bloques deben incluir a su salidatanto la velocidad como la aceleracion angular, pues estas son las entradas del modelo en el espaciode estados.

Solo queda por decir que, de las salidas de la S-function, solo los angulos de alabeo, cabeceo yguinada y la posicion en el eje vertical son realimentadas. Sin embargo, todas estas mas las posicionesen los ejes x e y son enviadas al workspacepara llevar a cabo animaciones (seccion 13.3) o presentargraficamente los resultados.


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13. Simulacion del modelo 55

Figura 13.5: Diagrama de bloques del modelo no lineal del quadrotor.

13.2. Modelo linealizado

La implementacion del modelo linealizado es mucho mas sencilla que la del no lineal, pues enel unicamente se debe reflejar los coeficientes de la matriz de transferencia global presentada en laecuacion 12.16 de la seccion 12.2 as como un modelo linealizado de los motores y de la dinamica delos sensores.

No obstante, al tratarse de un modelo linealizado para facilitar el diseno de los controladores,todos los elementos deberan tener funciones de transferencia lineales, y esto incluye los modelos de losmotores y sensores. Por ello, en el caso de que estos presenten una dinamica no lineal, esta debera li-nealizarse. Esto se atendera en la parte IV.

13.2.1. Diagrama de bloques

La construccion en Simulink del diagrama de bloques correspondiente es muy sencilla y puedeverse en la figura 13.6. Al igual que en el diagrama de bloques no lineal se ha incluido en este lasreferencias y un controlador abierto.

De nuevo en la realimentacion se presenta el bloque correspondiente a la dinamica de los sensores,forzosamente lineal en este caso, y a la salida de los controladores la din amica de los actuadores.

La dinamica del sistema se ha querido presentar con apariencia matricial para facilitar su inter-pretacion. La salida del mismo se trata de forma analoga a la seccion anterior enviando parte a la

realimentacion y su totalidad al workspacepara su posterior procesado.

13.3. Animacion

Para que la visualizacion de los datos sea mas atractiva que la que otorgan las graficas temporales,se han creado las funciones quadcopter(ang,pos) (seccion 13.3.2) y repres(pos,ang,t) (seccion13.3.1), que permiten interpretar los resultados median

construccion drone cuadrator

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