contact problem for porous elastic strip

10
Contact problem for porous elastic strip Antonio Scalia * Dipartimento di Matematica, Universit a di Catania, 6 Viale A. Doria, 95125 Catania, Italy Received 12 February 2001; received in revised form 12 March 2001; accepted 4 June 2001 Abstract This paper is concerned with the static problem about a contact of the rigid punch above a linear porous elastic strip based on a rigid half-plane. By using Fourier transform along the strip, the problem is reduced to an integral equation with respect to contact pressure, whose kernel possesses a logarithmic singularity, like in classical mixed boundary value problems. The kernel contains two dimensionless parameters, related to porosity and relative width of the punch. For arbitrary porosity a numerical co-location technique is developed, that permits analysis of the contact pressure versus physical and geometrical parame- ters. Ó 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved. 1. Introduction A theory of contact problems for elastic foundations is very important for strength analysis of materials, in civil engineering, soil mechanics and many other ®elds. Many fundamental works, since classical papers of Hertz, were devoted to analytical methods applied to contact problems for linear homogeneous elastic media, that permitted explicit-form solutions of various problems see, for instance [1,2]). Afterwards asymptotic methods were proposed for semi-in®nite and bounded domains that aimed at ecient approximate solutions in dierent ranges of variation of physical and geometrical parameters a good survey see, for example, in [3]). Recently, with a rapid progress of computing science, certain direct numerical methods, like ®nite dierence, ®nite element, a co-location technique, etc., were applied to contact problems for elastic, viscoelastic and plastic bodies under classical and complex conditions along the contact surface ± e.g., contact with Coulomb friction, contact with friction and sliding, contact with adhesion, and so on. However, for granular materials there were no appropriate theory, which adequately described a stress±strain behaviour of such media. The fact is that in Sadowsky contact problem the International Journal of Engineering Science 40 2002) 401±410 www.elsevier.com/locate/ijengsci * Tel.: +39-095-738-3010; fax: +39-095-330-094. E-mail address: [email protected] A. Scalia). 0020-7225/02/$ - see front matter Ó 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII:S0020-722501)00070-2

Upload: antonio-scalia

Post on 15-Jul-2016

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

������� ����� �� ������ ������ �����

������� ����� �

���������� �� �������� �� ���������� �� ������� � ����� �� ����� ����� ������� �����

�������� �� ������� ����� �������� �� ������� ��� �� ����� ����� �������� � ��� ����

��������

!��� ����� �� ��������� "��� ��� ������ ����� ���� � ������� � ��� ��#�� ����� ���� � ����� ������������ ����� ���� �� � ��#�� �� $����% &� ����# ������� ����� ��� ���# ��� �����' ��� ����� �� ��������� �� ����#�� �(������ "��� ������� �� ������� ��������' "���� )���� ��������� � �#�������� ���#������'�)� �� ������� ��*�� ������� ���� ������% !�� )���� �������� �"� ������������ ����������' �������� �������� ��� ������� "���� � ��� �����% ��� �������� �������� � �������� ��$������� ������(�� ����������' ���� ������� ������� � ��� ������� �������� ������ ������� ��� #��������� ������$����% � ���� +������ ������� &%,% � ��#��� ��������%

� ���� ������

� ������ � ������� ������ �� ������ ���������� �� ���� ��������� �� �����#�� ������� � ��������' �� ���� ��#�������#' ��� ��������� ��� ���� ����� -���% ���� ��������� "��)�'����� ������� ������ � .���/' "��� ������� �� �������� ������� ������ �� ������� ������ �� ����� ����#������ ������ �����' ���� ��������� �*�����$ ��� �������� � ������� ������0���' �� �������� 1�'�23% � ���"���� ���������� ������� "��� �������� �� ����$��-���� ��������� ������� ���� ����� �� �4����� �����*����� �������� �� ��5����� ���#�� � ��������� � ������� ��� #��������� ���������� 0� #��� ������ ���' �� �*����' �� 1623% �������' "��� ������ ���#���� � ��������# �������' ������� ������ �������� �������' �)� -���� ��5������' -����������' � ��$������� ������(��' ���%' "��� ������ �� ������� ������ �� ������' �������������� ������ ����� ����� ������� ��� �����* ���������� ���# ��� ������� ��� ��� 7 �%#%' �������"��� ����� �������' ������� "��� ������� ��� �����#' ������� "��� ��������' ��� �� ��%

.�"����' �� #������ �������� ����� "��� �� ����������� ������' "���� ���(����� ��������� ������7������ �������� � ���� �����% !�� ��� �� ���� �� ����"�)� ������� ����� ���

8����������� ����� � +�#�������# ������� �� 0����3 ���7���"""%�������%���9�����9�:��#���

�!�%; <6=$�=>$?6@$6���� �*; <6=$�=>$66�$�=�%

������ ������� �����A���%�����%�� 0�% �����3%

����$?��>9��9B $ ��� ���� ������ � ���� +������ ������� &%,% � ��#��� ��������%

C88; �����$?��>0��3���?�$�

����������� � ��� ������� ��������' "��� ������ �� #������ �������� ���������# �����' ��5������������ ��� ��� ������� DD�������EE ���#���' �� �� ��"� ��� �*��������� ����%

!��� �� ��� � ��� ������� "�� ��� ��" ������ � ������ ����� "��� �����' �������� �� ����#������ �������� ����� ��� �=?�� 0��� 1�'>23' ��)�� ����������% ���������� �� ���������� � �������������� ������ ��� ��� ������ ������' �� ��� ��)�� ���� ������� ��� �����* ����� �������-��' ���� �� � ��" ��)��"� ������� ��������� �5�����# ��� ������7������ �����% � #����� �������� �������� �� �����' ��"���� �� �� ����� ������ � �������� � �������� ������% � ���������# � ���� �� ������� �� 1�2% !�� "��)� 1>'F2 �������� "����' ��������� ��� ��� ���' ����-���� #������ �����%

� ������� ����� �� ����� ����#������ ������ ������ �� $���� ��� ��� ������� �� ����������� "��) 1?2% G� �������#��� ���� ���������� � ��� ���� �������������� ��������% !��� "������� ��� ������� ����� �� �� ����#�� �(������ ��� ����� ���� ��� ������� ���#� � ��� )������ ��#��� �� ��� �������� ����$�*��' ���� #��������� ��#������ � ��� �������' ������� ��� ��$������ � ��� ����� ��#��%

8� ��� ������� "��) "� ������ �� �������� �������� �� � ������ ������� ����� ���� � ��#������� ���� ��� #������ �����' ���� �� ���� �� � ��#�� ��������� "������ �������% &� ����#������� ����� ���' ��� ����� �� ������� �� �� ����#�� �(������ "��� � ���������� )���������# ���� ��� ������� ����% !��� "� ���� � ��$������� ������(�� �� ���� ���� �(������' �������� ��� ����������� � ��� ������� �������� #����# ���� �*����� �� ��������� ����� � ������� ��� #��������� ����������%

� ������� ���� ��������� ������� ��� ��� ������ �����

H�� !"�# � � -*�� ������ � � ������#��� ��������� �����������% � ����� ����$������ ���$������� ����� �� ����#������ ��� ��������� ������ �������� �� ��������' �� ��� ���� � ����$������ �����' � ��� ��"��# �(������� "��� ������� �� ��� ����������� ������ � ��� ���������� ����#� �� ��� ����� ������� -�� � 1�'>2;

�������

� ���������

� ��� ��� ����

����� �

����

� ��

�������

� ���������

� ��� ��� ����

����� �

����

� ��

���������

�� ���

���

�� �������� ���

��

�� ���

��

�� ��

�����

!�� ���������� � ��� ������ ������ ��� �*������� �����#� ��� �������� � ��� � �� ��"�;

���

�� ��� ���

��� ��� ���� ���

��� ���

���

�� ��� ��� ���� ���

��� ���

��� ���

����

� �����

� �����

�����

��� �� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+

"����

�� � ��� ��

� � � ��� ��

� ��� ���� ��� �

��� ���6�

� ��� � ��� ������ �����' �' � ��� � ��� ��� ��������� ��������� "��� ��� �������� � ��� �������%I������' � � � �' ���� � � �' ��� ��� -��� �"� �(������� �� ������ 0�%�3 ����� ������������� ��� ����� ���% !���� ���' �� ���� ������# ���� ��� ������7������ ����� �� ��� ���� �� �� ������������ ������ ������% 8� ����� � ��� ����� ���� ���������� ��� / ��� ������������' ������������ �� ��� �� ���� ��������� � ��#��%

H�� � -����$"���� ����� �� �� �' �� � � � � � � ������� "��� ����� � ����� "������ ������� ���� �� ������� ��#�� ���% !�� ����� ������� � ��� ����� �� ��:����� �� � ������������� ���% !��� ��� ������� ���������� �� ��� ��5������� �(������� 0�%�3 ��� 0�%�3 ��� ��� ��"��#;

��� � ������

� �� ��� � ��� �� � ���� � � � ���

��� � ������

� �� �� � � �� � ���� � � � ��������

!�� ������� ��������� �� ��� ������� � �� +(% 0�%�3 ��"� ��� � ����� �������� 1@2%H�� �� ���� ��� ������� ����� ��� ���# ��� "$�*�� �� +(�% 0�%�3 ��� 0�%�3 ��� ��� �������

���������� 0�%�3' ���� ���������� � �������������� ��"��� ���#��� ��� ��� ��� ������� ���#�� ��� �� ��"�;

� ��� �� �

�� ���������� ��� � �

��

� �

��� �������� ��� ���>�

I������' ��� ���������� ���� "��� ������� �� " �� �(������� �� ������� ���#�� �� ������������� � ������� �����' ��� ��� ������$����� ���������� ������ ������� ��� ������� ���% !��� ��������� ���������� "��� ������� �� � ������ � ������� �������� ����������%

!�� ������ 0�%�3 �� ������� ���#�� ��

�� ��� � �� � � ��� �������� �

� � ��� � ��

��� �������� �� � ��

� � ���� � � �� � ��

�� � � �� � ���

�� � ������

�� ����

� � �

���F�

��� ��� ������� ���������� 0�%�3;

� � � � �� � �� � � �� � � �� � � ��

� � � � �� � �� � � �� � � �� ��� ��������� � � �

� � � � � ����� ��

���?�

�� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+ ��6

"���� �������� ����������� ��� ������ "��� ������� �� ��� ������ � ��� � ��� �� ��� ������������ ��� � ��� ������� ���%

8� �� ���"� �� �������* � ���� #����� ������� � ��� ������ 0�%F3' ����� ���# ��� ������������� ���������� 0�%?3 �� ��� ����� � � �' �� 0�� ��� �� ��� �������� ���� ��� ������'�����������3

��

�� � ��

������ ������� ��

��� ������������

��

��� ��

� �������������

��

��� �6

������

���������� ������ � �� ������� ������

����

��������� ������

���

���

���� ��� � �� �

�� ���@�

"���� � #��������� ������� ��� ��� ���������� � ��� ����������� ������ ��� ������ �� ���(������� ��% J�"' �� ��-�� ��� ����� ��)��"� ��������� ��' ��' �6' "� ����� ����� � ���������� ��������� ���� ��� ���� ��� ��� � � � �� � �����' �%�%' ��� ������ �(������ 0�%?3% !������� �� ��� ��"��# ����� �#����� ������;

����� �

�������� � � �������� � �� �� � �� ��

�������

� �������� �6 � ��

� �������� � ��������� � � ��� �������6 � ��

���

�� ��������� � ��������� � ��

� � �� ��������

�� �� ������

�6 � � ����

���

���=�

"���� ������� �� #���� ��;

�� � � ������

������

���� � � ��� ��������

�� � � ������

� ������ �� �� � �� ��

��������

� �������� � �������

��� ����� � � ��� ������ ��������

�6 � ������

�� ������ ������� ������

� �� ��� �������

� � ������������ ������ � ������ ��������� ����� � � ���

� � ������ ������ � � ��������������

&� ����������# 0�%��3 ���� 0�%@3 ��� ������ ��� ��"��# �*�������� �� ��� ����� ������# 0����� � �������� �����#���3

��� �� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+

� � � � � � ��������� ���

�����

� ���� � ���� ������ ��� ����������� �

���� � ������������� � ����� ����� � � ��� � ������� ������ � �������� ������ �������������

.����' ������� ��������� � 0�%��3' "��� ��� ��� � ��� ���������� �������

� ��� � � ��� ��� ���� � ����� ����

� �

�� ��� �������� � � �������� ������

#���� �� �*����� �������������� � ��� ������# �� ��� ����� �������� �������$���� �����;

� � � � ���� � �

����� ���� �

�������

� �

��

�����

�*������� ����� ����6�

������ 0�%�63 ��"� ��� �� "���� ��� �� (���������� ��� -�� ��� � ��� ������ ����� ����� ������ ������ ����% ����' � ��� ������ ����� ��� ��� � � �� ��� ���� ���������� ������� ��#���� � � �' ���� +(% 0�%�63 ������� 0� � ����3

� � � � ���� � �

���� ���� �

��

������

������� �*��������� ������

���� ���������� ��� ����� � ��� ����� ��� ��� ����� ������ ���%

� ������� �������� �� ��� ������� �������

H�� �� ������� ��#�� ����� � ��� "���� �� � ����� ���������� ���� ��� ������ ����� �� ����0��� ��#% �3% 8 ��� ������# � ��� ����� �� ��' ���� ��� ������� �� ��� ������� /��� �� �����' ��� �������� � ��� ����� ��� �� ����' ���� �� +(% 0�%�63 ��� ������� �� � � � ����� ������ )��"����� ��� ������� ���� 0���� ���� � #�������� (���������' �������# �� ��� ������ �� ��3' �� �������� ������� �������� �� �� ��)��"� ������� �� ��� ������� /���' ���# �(�� �� /��� �� ��� ��� ��� ���' ������� ��� ������� ����% !���� ���' +(% 0�%�63 ������� ��� ��"��# ����#���(������ � ��� -��� )���' "��� ������� �� ������� ���;

��#% �% ��#�� ����� ���� ��� ������ ���� � � -���� ����)����%

�� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+ ��>

� �

��������� ���� � ������ ����� � � �� � � �

��� ���� �

� �

�����

���������� �6���

H�� �� ����� �������� ���������� � ��� )���� ����% ����� � �' "� ����� ���� ��� ������������ ��� )���� ������� ���#�' ��� ������� ����' ����� �������� �� ��� ��� ����$�*��% !�� ���� ������ ���� ��� ��������� ��� � � 0��� 1>23 "���� �)� �� 1?2 ��� � ��������; ��� � �� ��'���� ������ ��� ��� ���)��� ��� �� ��� ��� � � ��� �� � ��������% !�� -��� ������� ���*�������� �� ���� �� ���� ��������% G��� ������# �� ��� ������ �������' �� ����� � ����������� ������ �� � ����������� ���������# �������' ����� ������� � �������' �� �� �� � � �% !������ �*�������� �� ��� �(���� ���)���

� ������ � �������� ������ � � ������ � �������� ������ � �� � �������� � ��

��� ��� ������ ������� �� �"��� �������� ���%J�"' �� �� ��"���� ��� )���� � ��� ���� ����#�� �(������ �� ��� ��"��# "�� 162;

���� � � � � � ������ ����� �� �

����� � � ������� � �*���������� �6���

8� ���� ����� �������� "� ���� ���� ��� ���� � ��� ����#��

� �

������� � �*����� ���� � � � � �6�6�

I������' ��� )���� ����� �� ��#��� �� �������� ��� " 0�� ����' ���$���� ��5��������3%����' ���� �� ��#��� �� � � � � � �' ���� ���� � ��I������ ��� �� ���� � � � I������ ��� � �' ��� -���' ���� � I��� �� � � �' �*����� � ������� � I��� �� � � �% !���� ���' +(%06%�3 �� ��� ������� ����#�� �(������ � ��� -��� )��� "��� � "��) 0�#��������3 ���#������'�%�%' �� ���#� �� � �������� ���� � ������� ����#�� �(������� � ��� ������� ��������������%

8� �� "� )��"� 0���' �� �������� 1=23 ���� � ���� ������� � +(% 06%�3 ��� 06%�3 ��� ������������ ��������� � � ��$������� ������(��' � ��� ��� ���� �*��� �*����� ����#������ � ��� ���#���' �#��������' ���� � ��� )���� ���� � ��� ���� ��������% H�� ��� ������� ���� ��� ������� ���� ��� �(�� ��$��������' ��� ��� ���� ����� � ��)�� �� ��� ������ ������ � ���� �������' "��� ��� ��"��# �����������; �� � ��� ��� ��>��' � � ����% !���� ����������� � ���� �� ��$������� �����' "���� ��� � �$ ��� ��� ��#��$���� ����� � +(% 06%�3 ���� ��� ��� �(�� �� ���� �����% !�� ���� ����� �� � ��� ��� ��>�� ��� ���� "��� "� ������ �������#�� � ��� ��#��� ������� �� +(% 06%�3 � � -���� ���% !�)��# ���� ������� ��� ���� � �������#��

� �����>�

�����>�

� �� �� �� � ����� �� ��>��� �� �� ��> �� � �

� ��� �� ��>��� �� �� ��> �� � ��� ��

��� �6���

��F �� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+

��� ��� ��$"���� +(% 06%�3 �� ��� ��"��# �������� ���;

��

���

���� � ������ ����� � � �� � � � � �� ��� � ����� � ������ � ���� � � ����� �6�>�

"���� �� �� ��� � ����� �#����� ������ "��� ������� �� ��� ����� � ��� ��)��"� ��������������� ��� �� ��� ���� �����%

�� �*���� � ���������� �� ����������� � ��� ������� �������� �� ���"� �� ��#% �' ��������� ������� "���� � ��� �����% 8� ����� � ����� ���� ��� ������ ���� � ��� ���� ����)������ ��)�� �� ��#�' ���� �� ��� ���� � ���������# ������ ��� DD������EE ���������� 0�%�%' � � �3 ������ #����� "��� ��������� �������� �� ���� �����' ������ �� ���� ���� 0DD������� ����� �������� $����EE3 ��� ������� �������� �� �� ���������� "��� ��� ����"�)� �" ��

�� � ��

����� ����

��� ������ ���� ��� "���� � ��� �����% ��� ������ ������' �� ��� � ���� ��� ��#% �' ���������� �������� ����������� ������� ���������� � ��� "���� 0% ��#% � ������������ ���� "������ ����� "���� 0 ���������# ��� ������� ���#��� ������ ���� ��� ���% �����#� �� ������� 8�� ��� ���� �� �������� � �*��������� ������' ����� ���������� � � ����� ������ ����� ���� ��� �� � #��� �#������� "��� ��� ������� ����� � ���"%

��#% 6 ������������ ���������� � ��������� � ��� ������ ����� ������ ������' "���� 1 ����� ������ ����

� �� �

������� �6�F�

���� ��� ������� ��������� 2' �� ���� ����� � ��������� 0% I������' "��� ��� �����������������# ��� ��������� � ��� ����� ��������� ��������� ���%

��#% �% K���������� � ��� ������� �������� �� ��5����� ����� � ��� ������� "���� � ����� � � ����; � � ���' � � >'

�� � ��6>%

�� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+ ��?

� �����������

�% !�� ������� � ��� �������� �������$���� ����� �� ������ ������ �����' "��� ��� ��� � ���������� ����� ��� ������ ���# ����/���� �*��' ��� � ����������� �� (����������' �)� �� ������� � ������� ����� ������ �������%

�% !�� ������� ����� 0"���� �� �� ��� � �������$���� ����� "��� ��*�� ������� �����$�����3 ��� � ������� �� � ������� ����#�� �(������ � ��� -��� )���% !�� )���� � ���� ��$��#�� �(������ ��� � "��) ���#������ � �#�������� ����% !��� �� ������ ����������������� � ������� ������ �������' ���� �������� ���� ������������ � ��� ������� ����$����%

6% ���� ��� ������� ����� � ���"' ��� ����������� � ��� ������� �������� �� ���� ���� � #��$������� ��� ������� ���������� �� (���������� ������ �� ���� �� ����#��� ������� �����0"��� � � �3% .�"����' (������������ ����� ��� ���������� ��5�� ��� ��� ������� ����% !����5������ #��"� "��� ���������� 2 ��� �� ���������#% K��������� ���� ��������� � ��� ��$����� "���� � ��� ����� �� ���� �����*%

�� ��!�� �������

!�� ����� ��� ��� ��������� � 8����� �������� � L��������� 0�%L%�%�%!%3 �����#� ���������� ��� ��� 0F�M3 ���:����%

����� �" �

!�� ������ � �������� ��5������� �(������� "��� �������� ���4������ 0�%F3 ����� ��� �$�"��# �������������� �������� "��� ������� �� ��� �*������ �;

��#% 6% ��������� ������ ��������� 2' �� ������� ����� � ��� ������� ����� "����; � � >' �� � ��6>%

��@ �� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+

���� � �� ��� ��������� ��������� ��������� �� � ���� ��

�� �� ��� �� � �� � ����

� ��������

�������� �� �����

���� �� �(������� �� 0�� � ����' �� � ����3

��F � �� � �� 6������� � ��� �� � 6���������� � �� � �� ������� � �� �����

�� 0 ������ � ����� �� ������������ (��������� �� ��� �� ��� �������3

��� � ������ � ��� �� � �� � �� ���6�

!���� ���' "� ���� � ���� � ���� �������������� ����� ���� ��� � ����� ���� �6;

���� � � � � �6 � ��� � �� �

�� �����

!�� �������' ������������# �� ��� ���� �6' ��� � ������� � �����# ��� �*�������� �����������

��

�� �

���

��

�� �*������ � � �

�� � �� �

����>�

"���

� � ����� � ��

� � � ���� � ��

� � � �� ���F�

!� ��������� � ������� ������ �� ��� ���� ���� � � � � ' ��� ����� �� ����' ������� � 0�%>3'������� ��������������

��

�� �

�� � ����� � ����� � ���

��

�� �*������ ���?�

���� �������' � ��� ����������� ���� ������ ������ 0�%F3 � ���� � ������ ����������� �������;

�� � ���� �� � �� �� � �� �� � �� �� � �� �� � � ���@�

���

�� � �� � � ��

����� � � ��� � �� � ���� �� � �� �� � �� �� � ����

���� � � ��� � �� � �� ���=�

!���' �������# ��� ������ ������' ������ ������� � �*�� � ��' �*��� � �� ��� ��� ����� ������'������ ������� � �*�����' �*�������� �

�� � �� �� �' ��� ��)��# ���� ������� ��� ������

�� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+ ��=

������� ���������� �� ��� ����� � � � 0��� -��� �(������ � 0�%?33' "���� ������������ ���(������� � �� � ��� ��� ��� (��������� �' �� � ���� "��� ������� �� �' ��� ���� ����� �� ����������������� 0�%@3%

#���������

1�2 8%J% �������' ��*�� &������� ,��� C����� �� C������� !�����' J����$.����' G���' ���������' J�"

N��)' �=FF%

1�2 J%8% ���)��������' ���� &���� C����� � ��� ����������� !����� � +��������' J������5' O�����#��' �=>6%

162 ,%�% ��)�������' ���������� ������� �� ������� ������ � ��������� ������' % ���% ����% ����% 6� 0�=F@3

F=�7?�6%

1�2 �%�% ��"��' %G% J��/����' H����� ������ �������� "��� �����' % +�������� �6 0�=@63 ��>7��?%

1>2 C% C���' �%�% ��"��' C��� "���� �� ����� ������ �������� "��� �����' % +�������� �> 0�=@>3 �F?7�@6%

1F2 K%�% ���������)�������' +5���� � ��� ��� �������� ��� ����� �� �����#� "���� �� �� ������ ����' 8��% % +�#% ���%

�> 0�=@?3 ��>7���%

1?2 �% �����' �%�% ��������' ������� ����� �� ������ ������ �� $���� 0�� �����3%

1@2 �% % ��)��' �%�% ��"��' J% ��*' I� ������� ���������� �� ���� ��������' P��C �@ 0�=??3 ���?%

1=2 C%Q% &����:��' �% &�����-��' &������� +����� ������� �� +�#�������# �������' ��O��"$.�' J�" N��)' �=@�%

��� �� $ ���� % ��������� &'��� ( �)�����) $ �� � *+ ,�++�- *+�.*�+