MECANICA DE FLUIDOS I

MECANICA DE FLUIDOS ICONTINUIDAD EN FLUIDOS

14/05/2015F.I.C.S.A

ECUACIN DE CONTINUIDAD DE FLUIDOS

INTRODUCCION:

Laecuacin de continuidades un importante principio fsico muy til para la descripcin de los fenmenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en lahidrodinmica. Para la formulacin de la ecuacin de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenmenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuacin es clave para la interpretacin de los fenmenos reales, los clculos derivados de su uso sern siempre una aproximacin a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

MARCO TEORICO

Antes de entrar en el tema que nos ocupa debemos definir algunos conceptos importantes y tiles para la comprensin:

Lneas de corriente:Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen comolneas de corriente.Flujo laminar:Cuando las lneas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujolaminar. En el flujo laminar siempre las lneas de corriente marchan en la misma direccin que la velocidad del flujo en ese punto.Flujo turbulento:En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lneas de corriente pueden cruzarse y se producen cambios en la magnitud y direccin de la velocidad de estas.Viscosidad:Este trmino se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y est asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Fluidos idealesEl movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripcin consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas caractersticas son las siguientes:1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la friccin interna entre las distintas partes del fluido2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

ENTRANDO EN LA ECUACIN DE CONTINUIDAD

La ecuacin de continuidad parte de las bases ideales siguientes: El fluido es incompresible. La densidad es constante. La temperatura del fluido no cambia. El flujo es continuo, es decir su velocidad y presin no dependen del tiempo. El flujo es laminar. No turbulento. No existe rotacin dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional. No existen prdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

ecuacin integral del movimiento de los fluidos

Las cantidades integrales de inters primordial en la mecnica de fluidos estn contenidas en tres leyes bsicas: la ley de la conservacin de la masa, la primera ley de la termodinmica y la segunda ley de newton.Estas leyes bsicas son expresadas mediante una descripcin lagranguiana en funcin de un sistema, un conjunto fijo de partculas de un materialEjemplo de un sistema en mecnica de fluidos:Si se considera un flujo a travs de un tubo, se podra identificar una cantidad fija de fluido en el instante t como el sistema, este sistema entonces se movera gracias a la velocidad de ubicacin de corriente abajo en el instante

CONSERVACION DE LA MASALa ley que establece que la masa debe conservarse

La masa de una partcula de fluido es , donde es el volumen ocupado por la partcula y su densidad. Sabiendo que la densidad puede cambiar de un punto a otro en el sistema, la conservacin de la masa puede ser expresada en forma integral como

Donde se utiliza puesto que se est siguiendo un grupo especfico de partculas de un material, un sistema.

CONSERVACION DE LA MASAUn sistema es un conjunto dado de partculas de fluido, por consiguiente su magnitud permanece fija

Nsist representa la masa del sistema, por lo que simplemente n=1.de este modo la conservacin de la masa, de acuerdo con la ecuacin se vuelve

O si prefiere

Si el flujo es continuo, el resultado es

Para un flujo uniforme con una entrada y una salida, adopta la forma

Si la densidad es constante en el volumen de control. La ecuacin de continuidad se reduce entonces a:

Antes de presentar algunos ejemplos definiremos definiremos dos medidas que son tiles para especificar la cantidad de flujo:El flujo de masa o la velocidad de flujo de masa

Y tiene unidades de kg/s (slug/seg); Vn es la componente normal de la velocidad.

La velocidad de flujo Q o la velocidad de flujo de volumen es:

Tomemos un tubo imaginario de seccin variable formado por un racimo de lneas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Un fluido en movimiento con las lneas de corriente a lo largo de un tubo imaginario de seccin variable.

En un intervalo pequeo de tiempot, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distanciax1=v1tsiendov1la velocidad del fluido en esa zona. Si A1es el rea de la seccin transversal de esta regin, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo esM1= 1A1x1=1A1v1t,dondees la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempottiene la masaM2=2A2 v2t. Como la masa debe conservarse y debido tambin a que el flujo es laminar, la masa que fluye a travs del fondo del tubo en la seccinA1, en el tiempot,ser igual a la que fluye en el mismo tiempo a travs deA2. Por lo tantoM1=M2, o:

1A1v1t =2A2v2t (ecuacin 1)Si dividimos porttenemos que:1A1v1=2A2v2 (ecuacin 2)

La ecuacin 2 se conoce comoecuacin de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces1=2y la ecuacin de continuidad se reduce a:

A1v1=A2v2

Es decir, el rea de la seccin transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El productoAv, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce comocaudal.

Cuando un fluido fluye por un conducto de dimetro variable, su velocidad cambia debido a que la seccin transversal vara de una seccin del conducto a otra.

En todo fluido incompresible, con flujo estacionario (en rgimen laminar), la velocidad de un punto cualquiera de un conducto es inversamente proporcional a la superficie, en ese punto, de la seccin transversal de la misma.La ecuacin de continuidad no es ms que un caso particular del principio de conservacin de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conduccin.

Dado que el caudal es el producto de la superficie de una seccin del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubera se debe cumplir que:

Que es la ecuacin de continuidad y donde:

S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto.v es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubera.Se puede concluir que puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la seccin disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporcin y viceversa.

En la imagen de la derecha puedes ver como la seccin se reduce de A1 a A2. Teniendo en cuenta la ecuacin anterior:

Es decir la velocidad en el estrechamiento aumenta de forma proporcional a lo que se reduce la seccin.

Cambio de velocidad en un estrechamiento de tubera

EJERCICIO DE APLICACIN:Un caudal de agua circula por una tubera de 1 cm de seccin interior a una velocidad de 0,5 m/s. Si deseamos que la velocidad de circulacin aumente hasta los 1,5 m/s, qu seccin ha de tenertubera que conectemos a la anterior?

Aplicando la ecuacin de continuidad:

Sustituyendo por la expresin de la superficie del crculo:

Simplificando y despejando:

Sustituyendo:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3

Ejemplo 4

1)En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmsfera. Para un flujo msico de 15 kg/s, determine la presin en el manmetro.MECANICA DE FLUIDOS I

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