Continuità delle funzioniContinuità delle funzioni

Funzione continua in un punto

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0 un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta:

lim f(x) = f(x0)

0xx

Deduzioni

• Esiste il valore della funzione nel punto x0

• Esiste ed è finito il limite della funzione per

• Il limite coincide con il valore assunto dalla

funzione nel punto

0xx

Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma:

lim f(x0 +h) = f(x0)0h

Se una funzione f(x) è continua in un punto x0

il calcolo del limite per x tendente a x0

si ottiene ponendo nella funzione x = x0

Esempi di funzioni continue

a) La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim k = k0xx

Esempi di funzioni continue

b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim x = x0

0xx

Esempi di funzioni continue

c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim xn = 0xx

nx0

Esempi di funzioni continue

d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante;

cioè

)(*)(*lim 0xfkxfk 0xx

Esempi di funzioni continue

e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0

lo sono pure:

f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)

)(

)(

xg

xf ) 0 ) ( (0 x g con

Esempi di funzioni continue

f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) = n x

È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari

È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) =

è continua in ogni x

xa (con a>0)

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) =

è continua in ogni x>0

)1,0(log aaxa

Esempi di funzioni continue

f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx

sono continue in ogni x

Funzione continua in un intervallo

Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.Teorema di Weirstrass

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimoassoluti. Teorema di Bolzano

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervalloassume valori di segno opposto, essa si annulla inalmeno un punto interno all’intervallo. Teorema

Funzioni monotone

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).

Se per ogni coppia di punti x1 e x2 dell’intervallo, con x1 < x2

risulta:

)()( 21 xfxf allora f(x) è crescente

)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf

)()( 21 xfxf

non decrescente

decrescente

non crescente

MONOTONA

Funzioni limitate

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).

Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente

Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente

I valori h e k possono non appartenere al codominioI valori h e k possono non appartenere al codominio.

Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.

Funzione di funzione

Sia z=g(x) una funzione definita in un intervallo (a,b);

Sia inoltre y=f(z) una funzione della variabile z, definita per ogni valore della variabile z che si ricava dalla funzione z=g(x) al variare di x nell’intervallosuddetto.

Dicesi funzione di funzione o funzione composta la funzione

y=f[g(x)]

esempio

642 xxZ

Z ylog

Forme indeterminate di limiti

0

0

*0

Limiti notevoli

1lim x

senx

0x

exx )1lim( 1

x

1)1log(

lim x

x

0x

11

lim x

ex

ox

Punti di discontinuità di una funzione

Discontinuità di prima specie

La funzione è discontinua di prima specie in x0 quando in tale punto esistono finiti e diversi il limite sinistro e destro.

)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx

La differenza

)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx

Si chiama salto della funzione in x0

Discontinuità di seconda specie

La funzione è discontinua di seconda specie in x0 quando in tale punto o non esiste o non è finito uno dei limiti sinistro e destro..

)(lim;)(lim xfxf 0xx 0xx

Discontinuità di terza specie

La funzione è discontinua di terza specie in x0 quando in tale punto esiste finito

)(lim xf0xx

ma la f(x) non è definita in tale punto

o il suo valore è diverso da detto limite.

La discontinuità di terza specie è eliminabileperché si può sostituire ad f(x0 ) il valore del limite.

esempi

Asintoti

La retta x=x0 si dice asintoto verticale della funzione y=f(x) se:

)(lim xf 0xx

oppure

)(lim xf 0xx

Asintoti

La retta y=l si dice asintoto orizzontale della funzione y=f(x) se:

lxf )(limx

Asintoti

La retta y=mx+q si dice asintoto obliquo della funzione y=f(x) se:

0)]()lim xfqmxx

con

x

xfm

)(lim

x

e

])([lim mxxfq x

Infinitesimi

Una funzione f(x) si dice infinitesimoper x che tende a x0 se:

0)(lim xf0xx

Se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x che tende a x0 e se esiste un intorno di talepunto tale che in tutti i punti dell’intornorisulti g(x) diverso da zero allora si potrà avere:

0)(

)(lim)

xg

xfa

0xx

f(x) è un infinitesimo di ordine superiorea g(x); cioè tende a zero più velocemente.

)(

)(lim)

xg

xfb

0xx

f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore

a g(x); cioè tende a zero meno velocemente.

0)(

)(lim) l

xg

xfc

0xx

f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g(x); cioè tende a zero con la stessa velocità.

esistenonxg

xfd

)(

)(lim)

0xx

f(x) e g(x) non sono confrontabili.

Per confrontare più infinitesimi spesso si fa riferimento ad un medesimo infinitesimo chiamato infinitesimo principale che sarà:

)(x

f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto all’infinitesimo principale se:

0)]([

)(lim l

x

xfn

0xx

Infinito

Una funzione f(x) si dice infinitoper x che tende a x0 se:

)(lim xf0xx

Infiniti