CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneEstensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite di continuità e di limite alle funzioni di più variabilialle funzioni di più variabiliDerivate direzionali Derivate direzionali e derivate parzialie derivate parzialiDifferenziale di una Differenziale di una

funzione funzione di più variabilidi più variabili

Continuità di funzioni

f : A Rn R

f : A Rn R

è continua in x0 = (x0

1, x02 ,… x0

n)T

se per ogni V intorno di f (x0)

esiste U intorno di x0

x UA è f(x) V

Rn

f(x0)

R

X0 A

V

U

Limite di funzioni

f : A Rn R

f : A Rn R

ha limite l per x che tende a x0 = (x0

1, x02 ,… x0

n)T

se per ogni V intorno di lesiste U intorno di x0

x UA è f(x) V

Una funzione

ma con restrizione

di due variabilinon continua in (0,0)T

ad ogni rettaper l’origine continua

f (x,y)0 se (x,y)T(0,0)T,x y

x2yse x2y0.

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova

f ( t, t )=0 se t=0,2 t+

se 2 t2 + t 0•• ••

•• t••••

limt 0

f( t,t)0f (0,0)Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette

per l’origine è continuaper l’origine è continua

Ma la restrizione all’iperbole

per l’origine

y = k x2/(x -k), con k ≠ 0,

ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

Anche il limite della funzione

La funzione non è continua in (0,0)T.

preso lungo l’iperbole

vale k ≠ 0 = f(0,0).

-0.5-0.5-1-1

-1.5-1.5

-2-2

Caso k = 211 -0.5-0.5 00 0.50.5 11

0

200

100

0

-100

-200

y

00

-0.5

-1

-1.5

-2

x0

2

1

0

-1

-2

Derivate Derivate direzionali direzionali e derivate e derivate

parzialiparziali

(x0, y0)T

A

∂f∂x xx0

f(x, y0)-f(x0,y0)x- x0

=(x0,y0) lim _____________

∂f∂y

(x0,y0) = limyy0

_____________f(x0, y)-f(x0,y0)y- y0

Più in generale

∂f∂xk

(x10 ,..,xk

0,.., xn0) =

f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk

0,.., xn0)____________________________lim

xk - xk0xkxk

0=

Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia

x(t)= x0+ t una retta passante per x0

e avente direzione .

La derivata di f in direzione , nel punto x0 è data da

∂f∂ =(x1

0 ,..,xk0,.., xn

0) f(x0+ t)- f(x0)limt0

____________t

FunzioneFunzione

non continuanon continua

con tutte le derivatecon tutte le derivate

direzionalidirezionalinulle in (0,0)nulle in (0,0)

ff ((xx,,yy))

00 sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT,,

xx 22 yyxx 44

yy 22

22

sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT..

SiaSia = = (cos (cos , sen, sen ))TT ee tt una retta per l’origineuna retta per l’origine

per t ≠ 0, e si ha

))22ff(cos(cos t, sent, sen

coscos44 sensen22 tt(cos(cos44 tt22++sensen22 t)t)

limt 0

f(cost,sen t) f(0,0)t

limt 0

cos4 sen2t

cos4t2 sen2 ( )2 0.

Ma Ma f(x,y)f(x,y) non è continua non è continua nell’origine. nell’origine.

Infatti la restrizione Infatti la restrizione alle parabole passanti alle parabole passanti

per l’origine per l’origine y =y =xx22 ( ( ≠ 0) ≠ 0) ha valore costante: ha valore costante:

f(x,x2)=2/(1+ 2)

0

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

y0

2

1

0

-1

-2x0

2

1

0

-1

-2

Differenziale Differenziale di una funzione di una funzione di più variabilidi più variabili

f : A Rn R

si dice differenziabile in x0 = (x0

1, x02 ,… x0

n)T

se esiste un’ applicazione

lineare L : Rn R tale che

f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+(x)|x- x0|

con (x) 0 se x x0.