controldigital 1

INSTITUTO TECNOLGICO DE NUEVO LEN

CONTROL DIGITAL 1 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ

Introduccin



Introduccin

La figura representa un esquema clsico de control digital. La seal a controlar ty , es muestreada a travs de un convertidor analgico digital A/D y comparada con el valor de referencia (o set-point) nTr almacenado en una posicin de memoria de la computadora en la cual se implementa el controlador digital. La informacin que resulta de esta comparacin (seal de error discreta), es procesada por la

computadora, que mediante un algoritmo recursivo, genera una seal de manipulacin discreta nTu que es convertida en analgica a travs de un convertidor digital-analgico D/A. Esta secuencia de operaciones es realizada cada T segundos, siendo T el perodo de muestreo.

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La computadora en el control de procesos

COMPUTADORA COMO RECOLECTORA DE DATOS

CONTROL DIGITAL DIRECTO (DDC)

CONTROL SUPERVISORIO



COMPUTADORA EN CONTROL JERARQUICO



Naturaleza de las seales discretas

Tipos de seales

Seal Continua Seal Cuantificada

Seal de Datos Muestreados Seal Digital Una seal analgica o Continua es una seal definida en un intervalo continuo de tiempo cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. Una seal en tiempo discreto es una seal definida slo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t est cuantificada). Una seal de datos muestreados es aquella seal en que la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo. Una seal de datos muestreados se puede generar muestreando una seal analgica en valores discretos de tiempo. Una seal digital es una seal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha seal se puede representar mediante una secuencia de nmeros, por ejemplo, en la forma de nmeros binarios. Tipo de seales Analgica, x(t): Amplitud y tiempo continuos Muestreada, xs[n]: Tiempo Discreto, Amplitud continua. Cuantizada xQ(t): : Tiempo Continuo, Amplitud discreta. Digital, xQ[n]: Tiempo y Amplitud discretos.

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Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto. Los sistemas en tiempo continuo, cuyas seales son continuas en el tiempo, se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas en tiempo discreto, los cuales involucran seales de datos muestreados o seales digitales y posiblemente seales en tiempo continuo, se pueden describir mediante ecuaciones en diferencias despus de la apropiada discretizacin de las seales en tiempo continuo. Proceso de muestreo. El muestreo de seales en tiempo continuo reemplaza la seal en tiempo continuo por una secuencia de valores en puntos discretos de tiempo. El proceso de muestreo se emplea siempre que un sistema de control involucra un controlador digital, puesto que son necesarias una operacin de muestreo y una de cuantificacin para ingresar datos a ese controlador. El proceso de muestreo es seguido por un proceso de cuantificacin. En el proceso de cuantificacin, la amplitud analgica muestreada se reemplaza por una amplitud digital (representada mediante un nmero binario). Entonces la seal digital se procesa por medio de la computadora. La salida de la computadora es una seal muestreada que se alimenta a un circuito de retencin. La salida del circuito de retencin es una seal en tiempo continuo que se alimenta al actuador. Sistemas de control digital La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control digital que presenta la configuracin del esquema de control bsico. En el sistema se incluye el control realimentado y el prealimentado.



La figura muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital. Mostrando las diferentes tipos de seales.

Diagrama de bloques de un sistema de control digital que muestra las diferentes tipos seales

La Salida de la planta es una seal en tiempo continuo. La seal de error se convierte a forma

digital mediante el circuito de muestreo y retencin y el convertidor analgico-digital. La

conversion se hace en el tiempo de muestreo. La computadora digital procesa las secuencias de

nmeros por medio de un algoritmo y produce nuevas secuencias de nmeros. En cada instante

de muestreo se debe convertir un nmero codificado (en general un nmero binario que consiste

en ocho o mas dgitos binarios) en una seal fsica de control, la cual normalmente es una seal

en tiempo continuo o analgica. El convertidor digital-analgico y el circuito de retencin

convierten la secuencia de nmeros en cdigo numrico a una seal continua por secciones. El

reloj en tiempo real de la computadora sincroniza los eventos. La salida del circuito de retencin,

una seal en tiempo continuo, se alimenta a la planta, ya sea de manera directa o a travs de un

actuador, para controlar su dinmica.

Muestreo o discretizacin es la operacin que transforma las seales en tiempo continuo en datos en tiempo discreto. Retencin de datos es la operacin que transforma datos en tiempo discreto en una seal de tiempo continuo. Muestreador retenedor es un circuito que recibe como entrada una seal analgica y mantiene dicha seal en un valor constante durante un tiempo especfico.

Cesar CoriaResaltado





Convertidor analgico-digital (ADC). Un convertidor analgico-digital, tambin conocido como codificador, es un dispositivo que convierte una seal analgica en una seal digital, usualmente una seal codificada numricamente. Convertidor digital-analgico (DAC). Un convertidor digital-analgico, tambin denominado decodificador, es un dispositivo que convierte una seal digital (datos codificados numricamente) en una serial analgica. Planta o Proceso. Es cualquier objeto fsico a ser controlado Transductor. Es un dispositivo que convierte una seal de entrada en una seal de salida de naturaleza diferente. Cuantificacin. Es la transformacin de una seal continua en un conjunto de estados discretos. Codificacin de la amplitud. El proceso de representar una seal continua mediante un nmero finito de estados discretos. Codificacin. Es el proceso de representar el valor de una muestra mediante un cdigo numrico. Cuantificacin: Es el proceso de representar una seal continua mediante un nmero finito de estados discretos. Nivel de cuantificacin Q se define como el intervalo entre dos puntos adyacentes de decisin.

n

FSRQ

2

FSR es el intervalo a escala completa

n

FSRLSB

2

El bit menos significativo es el nivel de cuantificacin Puesto que el nmero de bits en la palabra digital es finito, la conversin A/D da como resultado una resolucin finita. Esto es, la salida digital puede solamente adoptar un nmero finito de niveles y por lo tanto un nmero analgico se debe redondear al nivel digital ms cercano, por consiguiente toda conversin A/D involucra un error de cuantificacin, dicho error de cuantificacin vara entre 0 y Q.







bitsn 8 2562 n para FSR=10 25610

bitsn 10 10242 n 102410

bitsn 12 40962 n 409610

Sistemas de adquisicin, conversin y distribucin de datos

Los sistemas de adquisicin de datos como los de distribucin se han convertido en una parte importante de todo sistema de control. La conversin de seales que tiene lugar en el sistema de control digital involucra las siguientes operaciones:

1. Multiplexacin y demultiplexacin 2. Muestreo y retencin 3. Conversin analgico-digital (cuantificacin y codificacin) 4. Conversin digital-analgico (decodificacin)



Diagrama de bloques de un sistema de adquisicin de datos

Diagrama de bloques de un sistema de distribucin de datos

Tipos de convertidores analgico-digital El convertidor A/D ejecuta las operaciones de muestreo y retencin, cuantificacin y codificacin En un sistema digital un reloj genera un pulso cada perodo de muestreo T y el convertidor A/D enva una seal digital (nmero binario) al controlador digital cada vez que el pulso llega. Tipo de convertidores A/D ms comunes:

1. Tipo aproximaciones sucesivas 2. Tipo integracin 3. Tipo contador 4. Tipo paralelo

Cada tipo tiene sus ventajas y desventajas. En cualquier aplicacin particular la velocidad de conversin, precisin, longitud de palabra y el costo son las principales factores a considerar en la eleccin del tipo de convertidor A/D. El convertidor A/D tipo aproximaciones sucesivas es uno de los ms rpidos.

Diagrama esquemtico de un convertidor del tipo de aproximaciones sucesivas



Errores en convertidores A/D Los convertidores A/D reales difieren de los convertidores ideales en que los primeros siempre tienen algunos errores tales como errores de nivel, de linealidad y de ganancia. Tambin las caractersticas entrada-salida cambian con el tiempo y con la temperatura.



Procesos de muestreo Representacin matemtica de un muestreador.

La salida del muestreador es un tren de impulsos cuyas magnitudes son numricamente iguales a los valores de la funcin continua en los respectivos instantes de muestreo.

ttXtX T*

Para representar un muestreador matemticamente es necesario representar un tren de impulsos

unitarios, tT

0k

TT kTtt

t es la funcin impulso unitario en 0t kTt es la funcin impulso unitario en kTt

Por lo tanto

0

*

k

kTttXtX

Como la funcin kTt es cero en cualquier valor de t excepto en kTt , solamente los valores de tx necesarios son los que suceden en kTt . Esto nos da

0

*

k

kTtkTXtX

Transformando en Laplace

0

**

k

kTsekTXsxtx

Entrada Continua

Salida Muestreada



Funcin de transferencia de un retenedor de orden cero La funcin del dispositivo retenedor es la de reconstruir la seal continua a partir de los datos discretos. El esquema del dispositivo retenedor es mostrado en la figura

El dispositivo retenedor convierte la seal de entrada de impulsos a una seal continua por extrapolacin de los impulsos de entrada, tal que la seal de entrada pueda ser aproximadamente reproducido. La funcin del tiempo extrapolada entre dos instantes de muestreos consecutivos kT y (k+1)T depende de los valores en los instantes de muestreo precedentes kT, (k-1)T, (k-2)T, y puede generalmente ser descrito por una expansin en series de potencia de la salida entre el intervalo t=kT y t=(k+1)T, si y(t) es la salida y yk(t) es el valor entre los instantes de muestreo kT y (k+1)T.

Esto es: tytyk TktkT 1

nn

k kTtn

kTykTt

kTykTtkTykTyty

!!2

22

1

Donde

tyk es el valor de ty en kTt

nTyn es el valor de la n-esima derivada de ty evaluada en kTt Cuando un dispositivo retenedor aproxima la funcin del tiempo entre dos instantes de muestreo consecutivos por un polinomio de orden cero, es referido como un retenedor de orden cero.

kTytyk TktkT 1 Cuando un dispositivo retenedor aproxima la funcin del tiempo entre dos instantes de muestreo consecutivos por un polinomio de primer orden, es referido como un retenedor de primer orden.

kTtkTykTytyk 1

T

TkykTykTy

11



Esquema de un retenedor de orden cero

Para el primer intervalo

Durante el primer intervalo de tiempo la salida del retenedor de orden cero puede ser expresado como

Para el segundo intervalo

Para el segundo intervalo de tiempo la salida sera

tM 0

tx

ty

0M

TtutuMty 0

tx

TtM 1

tMtx 00

TtMtx 11



Por lo que el tren de impulsos de entrada puede ser expresado por

kTtMtxk

k

0

Y la salida por

0

1k

k TktukTtuMty

Transformando en Laplace

kTsk

keMsX

0

0

1

k

TskkTs

ks

e

s

eMsY

0

11

k

TskTsk eeM

ssY

0

1

k

kTsk

Ts

eMs

esY

sXs

esY

Ts

1

ty

1M

TtuTtuMty 21

s

e Ts1

sX sY



Funcin pulso transferencia Representacin en series de Fourier complejas de un muestreador

La salida muestreada est relacionada con la entrada continua por la expresin

txttx T

k

T kTtt

Expresndola en series de Fourier complejas

k

tjkkT

seCt

Donde muestreo de frecuencias

Ts

2

Los coeficientes de Fourier estn dado por

2

2

1 T

T

s dtetT

Ctjk

Tk

2

2

1 T

T

s dtkTteT

Ck

tjkk

2

2

2

2

2

2 1

1111 T

T

s

T

T

s

T

T

s dtkTteT

dtteT

dtkTteT

Ck

tjktjk

k

tjkk

T

eT

dtteT

Ct

tjktjkk

s

T

T

s111

0

2

2

Sustituyendo en la expresin anterior

k

tjkT

seT

t

1

k

tjk setxT

tx1

Entrada contina Salida muestreada



k

sjksXT

sX 1

Desarrollo de la funcin pulso-transferencia

sGsXsY

sss jksGjksXjksY

Por analoga

k

sjksYT

sY 1

sk

s jksXjksGT

sY

1

Pero

sjksX tjk setx

t

Tjk

etx

2

Para kTt

sjksX 22 kjetx

Pero

12sen2cos 2222

kjke kj

Entonces

sjksX sXtx

k

s

k

s jksGT

sXsXjksGT

sY 11

Por analoga

sGsXsY zGzXzY

zXzY

zG



Frecuencia de muestreo Consideraciones sobre la frecuencia de muestreo mnima en sistemas de control de datos muestreados. Si la frecuencia de muestreo se aproxima a infinito el funcionamiento del sistema de datos muestreados se aproxima a un sistema continuo. Por otro lado, si la frecuencia de muestreo es pequea el funcionamiento del lazo de control ser inaceptable. Sin embargo entre esos extremos hay un rango de muestreo mnimo requerido para recuperar la seal original. Para ilustrar la necesidad del rango mnimo, empezaremos con el diagrama esquemtico del muestreador seguido por un circuito retenedor.

La seal continua tx es muestreada cada T segundos. El circuito retenedor reconstruye la seal

continua ty del tren de impulsos tx . Considere una seal tx que tiene un espectrum de frecuencia de amplitud

Tal seal est limitada por una banda, esto significa que jG es cero para toda c y

c . El conocimiento de jx para cada valor de es equivalente al conocimiento de tx para cada valor de t .

El tren de impulsos tx puede ser expresado en el dominio de la frecuencia como

k

skjxT

jx 1

Donde Ts 2 muestreo de frecuencia

El espectrum de frecuencia de amplitud del tren de impulsos es



Note de la figura que 2sc (la frecuencia de muestreo es mayor que dos veces la frecuencia

ms alta de la seal de entrada).

El espectrum de amplitud del tren de impulsos jx consiste en un nmero infinito de

espectras cada uno idntico al de la seal jx pero reducido en amplitud por un factor T1 .

De esta figura vemos que si nosotros reconstruimos ty de tx tal que ty tiene informacin suficiente originalmente contenida en tx , entonces deberemos de eliminar las bandas secundarias.

Qu pasa cuando tx es pasado a travs de un circuito retenedor.

Si seleccionamos un circuito retenedor teniendo un espectrum de amplitud como se muestra en la

figura.

Se puede ver que este circuito actuar igual a un filtro, permite que la frecuencia contenida del

espectro pase a travs de el sin atenuacin para c pero el filtro eliminar completamente la

frecuencia contenida para c .

No es posible construir un dispositivo fsico con ese espectrum de amplitud. Los filtros prcticos

solo pueden aproximar el funcionamiento del filtro ideal.

Si la frecuencia de muestreo es menor que dos veces la frecuencia ms alta de la seal continua

cs 2 como se muestra en la figura.

jGh0

c c



Cuando se muestrea esta seal obtenemos un nmero infinito de espectras como se muestra en la figura

En este caso, puesto que 2sc una parte del espectrum en el intervalo cs 2 traslapa

al espectrum de la banda adyacente, se puede ver que si incluso usamos el filtro ideal, no seremos

capaz de reconstruir la seal original del espectrum de salida. En este caso ser imposible

reconstruir toda la informacin contenida en la seal original.

Teorema de muestreo de Shannons

Si una seal no contiene una frecuencia ms grande que segradc / es completamente caracterizada por el valor de la seal medida en los instantes de tiempo separados por cT

jx

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