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Controllo dei Sistemi Robotici

Cristian Secchi Pag. 1

CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICICONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICIINTRODUZIONEINTRODUZIONE

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

Controllo di Sistemi RoboticiControllo di Sistemi Robotici

• Testi consigliati:

• Rinaldi S., Teoria dei Sistemi, CLUP 1977

• M G T i d i Si t i d l C t ll Z i h lli 1989• Marro G., Teoria dei Sistemi e del Controllo, Zanichelli 1989

• Sciavicco L., Siciliano B., Robotica Industriale – Modellistica e Controllo dei manipolatori, Mac Graw-Hill Libri Italia, 2000

• “Utili” nozioni e concetti dei corsi di:• A li i t ti t i

Introduzione -- 2Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici

• Analisi matematica e geometria • Fisica generale • Controlli Automatici• Modellazione Cinematica e Dinamica delle Macchine



Controllo di Sistemi RoboticiControllo di Sistemi Robotici

• Orario:

Martedì: 11-13 Aula 0.4Mercoledì : 11-13 Aula 0.4Gi dì 14 17 A l 0 4Giovedì: 14-17 Aula 0.4

• Ricevimento: Mercoledì dalle 9 alle 11 durante il periodo delle lezioni, altrimenti su appuntamento da fissare via mail

• Esami: Orale.


• Lucidi: I lucidi proiettati a lezione possono essere scaricati dal sito http://www.automazione.ingre.unimore.it/ selezionando, alla voce corsi, il corso di Controllo dei Sistemi Robotici.

Programma del CorsoProgramma del Corso

• Introduzione ai sistemi• Sistemi lineari e robot cartesiani• Robot antropomorfi

• Analisi dei sistemi lineari• L t bilità d L• La stabilità secondo Lyapunov

• Teoria generale• Caso dei sistemi lineari

• Proprietà di Controllabilità e di Raggiungibilità• Problema del controllo

• Proprietà di osservabilità• Osservatori dello stato

• Sintesi del controllore mediante retroazione dell’uscita


• Sintesi del controllore mediante retroazione dell uscita• Controllo di Robot Industriali

• Regolazione e tracking di robot antropomorfi• Robotica avanzata

• Interfacce haptics, sistemi di telemanipolazione, algoritmi di presa per mani robotiche.



RoboticaRobotica

• Un robot è un sistema complesso costituito da• Un sistema meccanico per l’interazione con l’ambiente• Un sistema di attuazione per l’esecuzione di compiti• Un sistema sensoriale per l’acquisizione delle informazioni• Un sistema di governo per il controllo e la programmazione

Un robot è un sistema meccatronico


Per costruire e controllare un robot occorrono competenze in vari campi della scienza

Applicazioni della RoboticaApplicazioni della Robotica

• Primi dispositivi robotici negli anni ’50 per la manipolazione di materiali radioattivi ( Telemanipolazione)

• Robot “moderni” a partire dagli anni ’70

• Inizialmente diffusi solo in ambito industriale (saldatura, assemblaggio,…)

• Oggi diffusi in vari campi• Medicina• Training


g• Applicazioni Spaziali• Intrattenimento• Applicazioni militari• …



Robot nell’industriaRobot nell’industria

http://www.abb.com


Problematiche: Controllo traiettoria, velocità di esecuzione

http://www.reisrobotics.de

Robot nell’industriaRobot nell’industria




Robot nella medicinaRobot nella medicina


Problematiche: Elevata precisione, interazione con l’uomo

http://www.intuitivesurgical.com

Robot nello spazioRobot nello spazio

Grossi bracci robotici per svolgere attività extra-veicolari sia in autonomia che in collaborazione con gli astronautigli astronauti

Problematiche: Precisione di posizionamento, assenza di gravità


Canadarm 2

http://www.space.gc.ca/



Robot nello spazio e RoverRobot nello spazio e Rover

NASA JPL Sojourner (1998)http://mpfwww.jpl.nasa.gov/default.html

NASA JPL Opportunity (2004)http://marsrovers.jpl.nasa.gov/home/

Problematiche: navigazione, SLAM (Self Localization and Map Building )


Robot nello spazio e RoverRobot nello spazio e Rover




Haptics e TelemanipolazioneHaptics e Telemanipolazione


Problematiche: Ritorno di forza (telepresenza), stabilità, precisione di posizionamento

Haptics e TelemanipolazioneHaptics e Telemanipolazione




ManipolazioneManipolazione

DLR Hand UB-Hand III


Problematiche: Grasping, controllo di forza, manipolazione dell’oggetto.

Filmato

Robot con gambeRobot con gambe


Problematiche: Controllo dell’equilibrio, interazione con l’ambiente e con l’uomo.



Robot con gambeRobot con gambe


Robotica a Reggio Emilia Robotica a Reggio Emilia –– HapticsHaptics per per AutomotiveAutomotive

Maggior numero di servizi e funzionalità

Necessità di inserire dati o prestare attenzione anche durante la guida

Minore attenzione alla strada


IDEA: Utilizzare un dispositivo haptics che faciliti l’inserimento di dati utilizzando delle virtual fixtures, diminuendo l’attenzione visiva richiesta al driver.




E’ stata costruita un'interfaccia virtuale (es.: per l'inserimento di località in un navigatore satellitare) con la quale interagire con il robot Phantom OMNI. L'interfaccia è dotata di un sistema di guide virtuali che aiutano il driver a inserire i dati (compito secondario) mentre sta guidando (compito primario) minimizzando in tal modo la distrazione.






Robotica a Reggio Emilia: Robotica a Reggio Emilia: VisualVisual ServoingServoing per mosaiciper mosaici

GOAL: Costruire un isola robotica dotata di un robot antropomorfo per la composizione automatica di un mosaico

Introduzione -- 21

Robotica a Reggio Emilia: Robotica a Reggio Emilia: VisualVisual ServoingServoing per mosaiciper mosaici




Robotica a Reggio Emilia: Robotica a Reggio Emilia: TelemanipolazioneTelemanipolazione BilateraleBilaterale

Un sistema di telemanipolazione è costituito da due (o più) robot interconnessi tramite un canale di comunicazione caratterizzato da un certo ritardo. L’utente, tramite un dispositivo robotico locale (master), controlla i

Introduzione -- 23

movimenti di un robot remoto (slave) che, a sua volta, deve trasmettere al dispositivo locale la forza derivante dall’interazione con l’ambiente remoto che verrà riprodotta sul master in modo da dare all’operatore la sensazione di interagire con l’ambiente remoto. Sono stati sviluppati algoritmi che hanno ottenuto riconoscimenti a livello internazionale. Prossimamente si implementerà un setup sperimentale su cui testare tali algoritmi

Robotica a Reggio Emilia: Programmazione Robot IndustrialiRobotica a Reggio Emilia: Programmazione Robot Industriali




RoboticaRobotica a Reggio Emilia: Multia Reggio Emilia: Multi--Robot Robot systems e systems e SwarmsSwarms

Gruppi di creature

Utilizzare robot low cost (con limitate capacità)

Introduzione -- 25

Gruppi di creature semplici e con limitate capacità possono ottenere compiti complessi riunendosi in sciami

per costruire un gruppo che consenta di implementare una data serie di comporamenti complessi

ApplicazioniApplicazioni

• Copertura sensoriale: • Esplorazione di ambienti sconosciuti• Condivisione di informazioni

• Rendez-vous• Portare in modo ottimale tutti i robot in un punto• Coordinare il movimento del gruppo

• Flocking e Swarming• Portare e muovere il gruppo in una data formazione e far

mantenere la formazione anche in caso di disurbi e/o ostacoli che il gruppo deve aggirare

• Esplorazione e manutenzione di ambienti angusti e/o troppo piccoli

Introduzione -- 26

Esplorazione e manutenzione di ambienti angusti e/o troppo piccoli• Nanorobotica e applicazioni mediche (drug delivering)• Applicazioni low cost distribuite (irrigazione, applicazioni agricole)



RoboticaRobotica a Reggio Emilia: Multia Reggio Emilia: Multi--Robot systems e SwarmsRobot systems e Swarms

PROBLEMI CHE STIAMO STUDIANDO: Sviluppo e test di algoritmi per il formation control quando i robot scambiano dati tramite canali con ritardo e perdita di pacchetti

Utilizziamo robot molto semplici (LEGO NXT)

Introduzione -- 27

Robotica a Reggio Emilia: Coordinazione di AGVRobotica a Reggio Emilia: Coordinazione di AGV

Controllare in maniera distribuita i singoli robot ff èaffinchè tutti portino a termine

le loro missioni nel tempo minimo e senza collisioni.




AssociazioniAssociazioni

http://www.ifr.org/ International Federation of Roboticshttp://www.robotics.org USAhttp://www.jara.jp/e/index.html Giapponehttp://www.robosiri.it/ Italia: SIRI – ASS. IT. DI ROBOTICAhttp://www.cs.uow.edu.au/isase/ara/ Australiahttp://www.cs.uow.edu.au/isase/ara/ Australiahttp://www.bara.org.uk/ Inghilterra: Robotica & Automazionehttp://www.euron.org/ Robotica in Europa (ricerca)http://www.robotics-in-europe.org/ Robotica in Europa (tutti)

http://www.robocup.org/http://www.fira.net/


Struttura e componenti di un robotStruttura e componenti di un robot

Un robot è un sistema costituito da:

Una parte meccanica, detta manipolatore

Un sistema per la sua programmazione e controllo

detta manipolatore.

Teach-pendant




Il sistema di controlloIl sistema di controllo

Il sistema di controllo di un robot è il “cervello” del sistema. Esso decide quali movimenti deve compiere il manipolatore in base alle informazioni che gli arrivano dai sensori e agli algoritmi di controllo che implementa.

E’ un sistema molto complesso, in generale multiprocessore, collegato in rete con altri dispositivi di controllo, monitoraggio e immagazzinamento dati.

Le funzioni base che esso deve implementare sono:

• Interazione con l’operatore


• Interazione con l operatore• Immagazzinamento dati• Pianificazione dei movimenti del manipolatore• Controllo in tempo reale del moto dei giunti• Interazione con altri dispositivi• Monitoraggio dei sensori

Il sistema di movimentazioneIl sistema di movimentazione

E’ la parte che interagisce con il mondo esterno. Il manipolatore è costituito da:

• una serie di corpi rigidi, detti link• una serie di snodi attuati detti giunti

PolsoEnd-effector

• una serie di snodi attuati, detti giunti

Il manipolatore ha una base che può essere fissata nell’ambiente di lavoro oppure posta su una piattaforma mobile.

All’estremità del manipolatore è posto l’end-effector, cioè l’attrezzo con cui è eseguito il lavoro. Esistono vari


Base

tipi di end-effector: pinze, saldatori, mani,…

L’end-effector è collegato al manipolatore tramite uno snodo, il polso, che che consente di orientarlo arbitrariamente.



Strutture meccaniche per i robotStrutture meccaniche per i robot

Per la costruzione di robot, vengono adottate diverse strutture meccaniche. Tra le più comuni si hanno:

Configurazione Cartesiana Configurazione Cilindrica


Configurazione SCARA Configurazione Antropomorfa


Configurazione Cartesiana Configurazione Cilindrica


Configurazione SCARA Configurazione Antropomorfa




Le strutture più diffuse sono la struttura cartesiana e quella antropomorfa.

• La struttura cartesiana è molto robusta. E’ molto adatta per compiti in cui ci siano pesi molto elevati da trasportare ed ha buone caratteristiche di ripetibilità (cioè capacità di riportarsi in posizioni predefinite). Lo svantaggio di questa configurazione è l’ingombro e la scarsa destrezza.

• La struttura antropomorfa è poco robusta e può sollevare solo pesi non molto elevati Tuttavia essa è di poco ingombro ed ha un’elevata


non molto elevati. Tuttavia essa è di poco ingombro ed ha un elevata destrezza, cioè può raggiungere punti anche molto distanti dalla base.

Spazio di lavoro di un robotSpazio di lavoro di un robot

Lo spazio di lavoro di un robot è l’insieme dei punti raggiungibili dall’end-effector del robot. Esso dipenda dalle dimensioni dei link, dal tipo di giunti e dal loro limite di movimento.




Tipi di giuntoTipi di giunto

Ci sono due tipi fondamentali di giunto:• giunto prismatico, il cui moto è una traslazione (giunto T)• giunto rotoidale, il cui moto è una rotazione (giunto R)

Giunti prismatici

Giunti rotoidali


Giunti più complessi (sferici, elicoidali, …) possono essere ottenuti mediante opportune combinazioni di giunti rotoidali e giunti prismatici.

Tipi di giuntoTipi di giunto

TTT RT


RRT RRR



Gradi di libertà (GDL o DOF) di un manipolatoreGradi di libertà (GDL o DOF) di un manipolatore

I gradi di libertà di un manipolatore sono il numero dei suoi giunti. Se un manipolatore ha n giunti allora ha n gradi di libertà. Intuitivamente i gradi di libertà di un manipolatore rappresentano la dimensione dello spazio in cui si può muovere l’end-effector.

• Per un manipolatore il numero di gradi di libertà n può essere• Per un manipolatore, il numero di gradi di libertà n può essere qualsiasi. La dimensione dello spazio di lavoro al massimo è m=6.

• Un caso molto comune è m=n, cioè il manipolatore ha tanti gradi di libertà quanto la dimensione dello spazio di lavoro. In tal modo l’end-effector può essere portato in qualsiasi punto dello spazio di lavoro.

• Se n<m, allora si parla di manipolatori difettivi, cioè tali per cui


, p p , pl’end-effector non può essere portato in ogni punto dello spazio di lavoro.

• Se n>m, allora si parla di manipolatori ridondanti, cioè tali per cui l’end-effector può essere portato in ogni punto dello spazio di lavoro in più modi.

Spazio di giunto e spazio di lavoroSpazio di giunto e spazio di lavoro

• Solitamente ogni giunto è motorizzato ed è, quindi, possibile controllare la posizione di ogni giunto.

• Ad ogni giunto è associata una variabile di giunto qi che rappresenta la posizione relativa del giunto i-esimo rispetto a quello pp p g p qi-1-esimo

Tutte le possibili configurazioni che può assumere un robot costituiscono lo spazio di giunto

Un robot può avere in general n giunti e, quindi, lo spazio in cui vivono le variabili di giunto è in generale Rn


variabili di giunto è in generale Rn



Spazio di giunto e spazio di lavoroSpazio di giunto e spazio di lavoro

La parte del robot che interessa controllare (cioè quella che compie lavoro) è l’end-effector.

Posizione e orientamento dell’end-effector sono funzioni in generale NON LINEARI delle variabili di giunto.


Determinare la configurazione dell’end-effector a partire dalla configurazione dei giunti e viceversa è un problema cinematico.

Problematiche in roboticaProblematiche in robotica

• Problemi cinematici• Cinematica diretta

Modellazione cinematica e• Cinematica inversa• Cinematica differenziale

• Problemi dinamici• Modellistica dinamica di un robot

• Controllo di un robot• Controllo di posizione• Controllo di Forza

Modellazione cinematica e dinamica delle macchine

Controllo di sistemi robotici




Controllo di sistemi roboticiControllo di sistemi robotici

Controllare un robot significa fare in modo che evolva verso un comportamento o una configurazione desiderata.

Per controllare un robot è prima necessario modellare il suo comportamento in assenza di controllo.

Un robot è un particolare sistema dinamico e il suo comportamento può essere descritto da un sistema di equazioni differenziali, in generale non lineari.


Esistono svariati modelli dinamici per i robot (Eulero-Lagrange, Newton-Eulero,…) ciascuno con i suoi pregi e i suoi difetti. Il più generale e utilizzato nel controllo di robot è il modello di Eulero-Lagrange.

Esempi di robot cartesiani a antropomorfiEsempi di robot cartesiani a antropomorfi




Modelli dei robotModelli dei robot


Possiamo usare le tecniche di Controlli Automatici?Possiamo usare le tecniche di Controlli Automatici?

)(sY

Nel corso di Controlli Automatici modellavamo il plant mediante una funzione di trasferimento

)()()(

sUsYsG =

Il controllore era dato da un’altra funzione di trasferimento che legava l’ingresso di controllo all’errore di regolazione E(s)=R(s)-Y(s). Avevamo che:


)()()(

sEsUsC =




R(s)C(s) G(s)

Y(s)E(s) U(s)

-

+



Funzioni di Trasferimento

Robot Antropomorfi Robot Cartesiani

Vicoli su ingressi e Un solo ingresso ePiù ingressi (le coppie ai giunti) e più uscite

Più ingressi (le coppie ai giunti) e più usciteVicoli su ingressi e

usciteUn solo ingresso e una sola uscita

ai giunti) e più uscite (es.: posizioni e/o velocità ai giunti)

ai giunti) e più uscite (es.: posizioni e/o velocità ai giunti)

Vincoli su modello ingresso uscita del sistema

Descritto da un’equazione differenziale lineare

Descritto da un’equazione differenziale non lineare

Descritto da un’equazionedifferenziale lineare

Controllori Legano duegrandezze scalari

Legano duegrandezze vettoriali

Legano duegrandezze vettoriali


Non è possibile utilizzare i concetti di controlli automatici né per modellare né per controllare un sistema robotico.



Concetto di SistemaConcetto di Sistema

Cos’è un sistema?

Nell’ambito della modellistica e del controllo, un sistema è un ente la cui ècaratteristica principale è quella di evolvere nel tempo. Per questa loro

caratteristica i sistemi vengono detti anche sistemi dinamici.

Nel caso più generale, si rappresenta un sistema come un ente sul quale agisce un ingresso u, la causa, e dal quale, come reazione a tale causa, viene fornita una certa uscita y, l’effetto.


u y

ingresso uscita

SSistema


Ad ogni sistema è associato un insieme ordinato T, detto insieme dei tempi, tale che per ogni t ∈ T sono definiti un ingresso u(t) e un’uscita y(t) entrambi appartenenti al rispettivo insieme di ingresso U e di uscita Y.

T

u(t)U

Y

t


Yy(t)




In generale, il modo di evolvere nel tempo delle funzioni u e y non è del tutto libero e, quindi, anche le funzioni di ingresso e di uscita sono costrette ad appartenere a due prefissati insiemi di funzioni, rispettivamente indicati con Ω e Γ

Notazione: Con u(·) indicheremo la funzione di ingresso mentre con u(t) intenderemo il valore che tale funzione assume all’istante t. La stessa cosa vale per y(·) e y(t).



Si consideri il seguente circuito

RI

Cu y

R=1 ΩC=1 F





Condensatore Scarico (Ep=1/2Cq2=0 J) Condensatore Carico (Ep=1/2Cq2=1 J)



Nonostante forniamo al sistema lo stesso ingresso le uscite nei due casi sono diverse. Perché?

Sia q la carica sul condensatore:

Legge di Kirchhoff sulla maglia

Legge costitutiva del condensatore


L’uscita dipende dal segnale in ingresso E dalla carica sul condensatore




In generale, l’uscita all’istante t NON può essere determinata dal valore assunto dall’ingresso allo stesso istante. L’uscita è frutto dell’intera storia subita dal sistema e non è, quindi, semplicemente legata all’ingresso.

Esiste una grandezza, detta stato, che racchiude sinteticamente in séEsiste una grandezza, detta stato, che racchiude sinteticamente in sé l’informazione sul passato e sul presente del sistema. Il valore x(t) assunto dallo stato all’istante t deve essere sufficiente, eventualmente assieme all’ingresso u(t), alla determinazione dell’uscita all’istante t. Inoltre, l’informazione contenuta in x(t) deve essere sufficiente per determinare l’andamento futuro sia della stessa variabile di stato che dell’uscita per istanti successivi a quello considerato. Pertanto, noto x(t1) e u(·) nell’intervallo [t1,t2], deve essere possibile calcolare x(t2) e y(t2) per ogni t ≥ t


t2 ≥ t1.

Concetto di sistemaConcetto di sistema

Lo stato di un sistema è l’informazione che occorre in ogni istante per poter predire l’effetto della storia passata del sistema sul suo comportamento futuro.

Lo stato può possedere varie componenti, dette variabili di stato. Ogni i bil di i d ll i d l i L’i i di li


variabile di stato riassume parte della storia del sistema. L’insieme di tali variabili racchiude tutte le informazioni necessarie per poter determinare il comportamento del sistema e forma lo stato.



Scelta delle variabili di statoScelta delle variabili di stato

Quali variabili devono essere scelte come variabili di stato?

Nei sistemi fisici la condizione del sistema è determinata da accumuli di i tità di t i di ò tenergia, quantità di moto o massa e, quindi, può essere opportuno

scegliere come variabili di stato quelle variabili da cui questi accumuli dipendono. Ad esempio:

• Tensioni ai capi del condensatore (Ec=0.5CV2)• Correnti negli induttori (EL=0.5Li2)• Velocità di una massa (Ek=0.5mv2)• Posizione di una massa (Ep=mgx)


Posizione di una massa (Ep mgx)

Tuttavia esistono infiniti modi di scegliere le variabili di stato. Altre scelte, rispetto a quelle suggerite,potrebbero essere migliori. Il problema va affrontato caso per caso. Spesso la scelta suggerita è un buon punto di partenza per la modellazione di sistemi fisici.

Esempi di Sistemi Esempi di Sistemi –– Semplice Circuito ElettricoSemplice Circuito Elettrico

R1

R2

A E

C

u y

x

B F


L’ingresso è la tensione tra i morsetti A e B e l’uscita è la tensione tra i morsetti C e D. Lo stato x è la tensione ai capi del condensatore C. Si noti che x è associato al fenomeno di accumulo di energia potenziale nel condensatore.



Esempi di Sistemi Esempi di Sistemi –– Sistema MeccanicoSistema Meccanico

x1 x2

km

x2u

y

b


L’ingresso u è la forza applicata alla massa e l’uscita y è la posizione della massa. Ci sono due variabili di stato: x1 è la sovraelongazione della molla (associata all’immagazzinamento di energia potenziale meccanica) e x2 è la velocità della massa (associata all’immagazzinamento di energia cinetica. E’ presente, inoltre, l’attrito tra la massa e il terreno.

Esempi di Sistemi Esempi di Sistemi –– Robot antropomorfo a 2 gdlRobot antropomorfo a 2 gdl

Il sistema ha 2 ingressi, le coppie τ1 e τ2 applicate ai giunti. L’uscita y è la


1 2posizione dell’end-effector. Ci sono 4 variabili di stato: x1 e x2 rappresentano la configurazione dei link (associate all’immagazzinamento di energia potenziale gravitazionale) mentre x3 e x4 rappresentano la velocità dei link (associate all’immagazzinamento di energia cinetica)



Definizione di sistemaDefinizione di sistema

Un sistema dinamico è definito dai seguenti oggetti:

• Un insieme ordinato dei tempi T

• Un insieme di valori di ingresso U• Un insieme di valori di ingresso U

• Un insieme Ω di funzioni di ingresso ammissibili del tipo u(·)∈ Ω | u(·): T → U

• Un insieme di valori di stato X

• Un insieme di valori di uscita Y


• Un insieme Γ di funzioni di uscita ammissibili del tipoY(·) ∈ Γ | y(·):T → Y

E dalle seguenti funzioni:


• Funzione di transizione dello stato:

x(t)=φ(t,t0,x(t0),u(·))Dove

1) t0 ∈ T è l’istante iniziale1) t0 ∈ T è l istante iniziale2) t ∈ T è l’istante attuale3) x(t0) ∈ X è lo stato iniziale4) x(t) ∈ X è lo stato attuale 5) u(·) ∈ Ω è la funzione che definisce la sequenza dei valori di ingresso nell’intervallo [t0,t]

• Funzione di uscita:


y(t)=η(t,x(t),u(t))Dove

1) t ∈ T è l’istante attuale 2) x(t) ∈ X è lo stato attuale3) u(t) ∈ U è l’ingresso attuale




Se la funzione di uscita non dipende dall’ingresso u(t), cioè se

il sistema viene detto strettamente proprio (o puramente dinamico)

Se T=R il sistema è a tempo continuo,menre se T=Z il sistema è a tempo discreto.


Durante il corso verranno studiati i sistemi a tempo continuo

Proprietà della funzione di transizione dello statoProprietà della funzione di transizione dello stato

La funzione di transizione dello stato gode delle seguenti proprietà:

• Consistenza

• Irreversibilità (o orientamento nel tempo)


La funzione φ è definita ∀ t ≥ t0 t,t0 ∈ T



Proprietà della funzione di transizione dello statoProprietà della funzione di transizione dello stato

• Composizione

Dati: x(t3)=φ(t3, t2, x(t2), u(·), x(t2)=φ(t2,t1,x(t1),u(·) allora:

∀ x ∈ X e ∀ u(·) ∈ Ω, ∀ t1<t2<t3

• Causalità


Implica

Proprietà di scomposizioneProprietà di scomposizione

E’ possibile scomporre in sistema in due parti distinte:

u(·) x(t) y(t)

Parte dinamica Parte algebrica

u(t)

• Parte dinamica del sistema: la funzione di transizione permette di riassumere la storia passata del sistema nelle sue variabili di stato ad un


riassumere la storia passata del sistema nelle sue variabili di stato ad un certo istante t

• Parte algebrica del sistema: La funzione di uscita esprime l’uscitautilizzando le grandezza note all’istante t



Movimento, traiettoria ed equilibrioMovimento, traiettoria ed equilibrio

• Definiamo evento la coppia tempo-stato:

• Definiamo movimento (o moto) considerato nell’intervallo t ∈ [t t ]• Definiamo movimento (o moto), considerato nell intervallo t ∈ [t0,t1], l’insieme degli eventi definiti dalla funzione di transizione, cioè:

Il movimento è, quindi, definito in T × X

• Definiamo traiettoria l’immagine in X della funzione di transizione


gnell’intervallo t ∈ [t0,t1], cioè

La traiettoria è, quindi, definita in X


x0

(t0,x0)(t1,x1)

x1 x2

(t2,x2)

X

T

Traiettoria

Movimento


(t3,x2)

(t4,x2)

Movimento




Tra i vari movimenti sono di interesse quelli costanti, caratterizzati, quindi, da un unico stato x detto stato di equilibrio. Uno stato x è di equilibrio quando si ha la possibilità di agire sul sistema mediante un ingresso in modo che partendo dallo stato iniziale x(t0)=x si possa rimaneremodo che partendo dallo stato iniziale x(t0) x si possa rimanere indefinitamente in x. Formalmente, è possibile dare la seguente definizione:

Uno stato x ∈ X si dice di equilibrio se per ogni t0 ∈ T esiste una funzione u(·) ∈ Ω tale che :


Sistemi regolariSistemi regolari

Un sistema si dice a dimensioni finite se U, X, e Y sono spazi vettoriali a dimensioni finite.

Un sistema si dice regolare se:

• Gli insiemi U, Ω, X, Y e Γ sono spazi vettoriali

• La funzione di transizione φ è continua in tutti i suoi argomenti e la sua derivata rispetto al tempo esiste ed è continua rispetto a t


• La funzione di uscita è continua nei suoi argomenti



Rappresentazione di Sistemi regolariRappresentazione di Sistemi regolari

Il movimento x(t)=φ(t,t0,x(t0),u(·)) è la soluzione di un’equazione differenziale vettoriale del tipo

C id i il di i t l i bili di t t


Consideriamo il caso di un sistema regolare con n variabili di stato, m ingressi e p uscite. Esso è rappresentabile dalle seguenti equazioni:

Rappresentazione di Sistemi RegolariRappresentazione di Sistemi Regolari





I vettori

sono, rispettivamente, i vettori di

• Stato: x(t) ∈ X, X=Rn

• Ingresso: u(t) ∈ U, U=Rm


g esso u(t) ∈ U, U

• Uscita: y(t) ∈ Y, Y=Rp

all’ istante t ∈ T=R


Compattando la notazione, scriveremo le equazioni che rappresentano un sistema regolare come:

dove x(t), u(t) e y(t) sono vettori e f e g sono vettori di funzioni. f è detta funzione di stato mentre g è detta funzione di uscita


Il sistema descritto da queste equazioni è detto di dimensione n con m ingressi e p uscite.



Esempio: Manipolatore a n gradi di libertàEsempio: Manipolatore a n gradi di libertà

Le variabili di stato sono le posizioni e le velocità di giunto. Se


sono i vettori delle variabili di giunto e delle coppie, la dinamica del manipolatore è data da:

Esempio: Manipolatore a n gradi di libertàEsempio: Manipolatore a n gradi di libertà

Ponendo

le equazioni dinamiche del sistema possono essere riscritte come




Tipologie di sistemi regolariTipologie di sistemi regolari

Si possono distinguere, in base al numero di ingressi e di uscite, i seguenti tipi di sistema:

• MIMO (Multiple Input Multiple Output): sistema con m (>1) ingressi e p (>1) uscite

• MISO (Multiple Input Single Output): sistema con m (>1) ingressi e un’uscita sola (p=1)

• SIMO (Single Input Multiple Output): sistema con un solo ingresso (m=1) e p (>1) uscite


(m=1) e p (>1) uscite

• SISO (Single Input Single Output): sistema con un solo ingresso (m=1) e una sola uscita (p=1)

Tipologie di sistemi regolariTipologie di sistemi regolari

I sistemi dinamici possono essere classificati in base alla struttura delle equazioni che li rappresentano.

Sistemi lineari: Le equazioni Robot Cartesiani, qdifferenziali sono lineari nell’ingresso e nello stato

Sistemi non lineari: Le equazioni differenziali non sono lineari

,sistemi elettrici, sistemi idraulici, ecc.

Altri tipi di robot (es.: antropomorfo), sistemi molto complessi, ecc.


Il problema del controllo è in buona parte risolto per sistemi lineari mentre è ancora aperto per sistemi non lineari generici. Esistono tuttavia algoritmi di controllo per i robot, particolari sistemi non lineari.



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