controllo gmv (generalized minimun variance)

Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)

Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati

Prof. S. Bittanti

POLITECNICO DI MILANO_____________________


Esempi e teoria: Progetto a modello di riferimento (Q(z) =

0) Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1)

J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]

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ESEMPI


Controllo GMV 4

Contenuti Esempio 1

(sistema a sfasamento minimo)

Analisi del sistema da controllare Progetto a modello di riferimento Progetto a controllo penalizzato

Controllo GMV 5

Contenuti Esempio 2

(sistema a sfasamento non minimo) Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato

Controllo GMV 6

Contenuti Esempio 3

(sistema complesso a sfasamento non minimo)

Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato



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ESEMPIO 1


Controllo GMV 8

Esempio 1: Sistema da controllare

equazione nel dominio del tempo: y(t) = 0,8y(t – 1) +

+ u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4) + e(t) + 0,6e(t – 1)

e∼WN(0,2)>>> Modello ARMAX (1,1,4)

rappresentazione operatoriale:A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)

conA(z) = 1 – 0,8z⁻¹B(z) = 1 + 1,28z⁻¹ + 0,81z⁻² k = 2C(z) = 1 + 0,6z⁻¹

Controllo GMV 9

Caratteristiche del sistema Guadagno:

B(1) / A(1) = 15,45 Zeri di A(z): poli del sistema

z = 0,8 Zeri di B(z):

z = -0,64 ± 0.63i Zeri di C(z):

z = -0,6

Controllo GMV 10

Posizione delle singolarità nel piano complesso

A(z) x

B(z) •

C(z) ∎

Controllo GMV 11

Simulazione in a.a.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0

Controllo GMV 12

Progetto a modello di riferimento Sistema da controllare:

A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,2)

Caratteristiche del sistema di controllo Q(z) = 0 P(z) a scelta del progettista

Cifra di merito J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²]

Controllo GMV 13

Progetto a modello di riferimento Polinomi del controllore

F(z) = F˜(z) G(z) = PD(z)B(z)E(z) H(z) = C(z)PD(z)

E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea PN(z)C(z) = PD(z)A(z)E(z) + z-kF˜(z)

(lunga divisione di PNC per PDA per k passi)

Controllo GMV 14

Scelta del modello di riferimento M(z) = (Sistema con n poli in e guadagno 1)

Risposta a gradino Tempo di assestamento al 90% (la tabella indica il numero di passi necessari perché

il sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a scalino, in funzione di e di n)

(1 - )ⁿ(1 - z⁻¹)ⁿ

Controllo GMV 15

Scelta del modello di riferimento

n = 1 n = 2 n = 30.1 1 2 20.2 2 3 30.3 2 3 40.4 3 4 50.5 4 6 70.6 5 8 100.7 7 11 140.8 11 17 23

0.85 15 28 320.9 22 37 50

0.95 45 76 1310.99 230 387 500

Controllo GMV 16

Scelta del modello di riferimento Modello di riferimento: sistema del

secondo ordine, con guadagno unitario e con 2 poli coincidenti (n = 2)

M(z) =

Tempo di assestamento al 90% Scelta: = 0.4 ⇒ sono necessari 4 passi per raggiungere la

soglia del 90%

(1 - )²(1 - z⁻¹)²

Controllo GMV 17

Determinazione di P(z) Il modello di riferimento è quindi:

M(z) =

P(z) = M(z)⁻¹

P(z) = 2.78 – 2.22z⁻¹ + 0.44z⁻²

(1 - 0.4)²(1 – 0.4z⁻¹)²

Controllo GMV 18

Calcolo dei polinomi del controllore Effettuare 2 passi della lunga divisione

E(z) = 1 + 2,68z⁻¹ + 2,60z⁻² +1,13z⁻³ F˜(z) = 1,12

Si ottengono così: F(z) = 0,44 + 0,27z⁻¹ G(z) = 2,77 + 5,22z⁻¹ + 4,38z⁻² + 1,35z⁻³ H(z) = 1 + 0,6z⁻¹

Controllo GMV 19

Schema a blocchi del sistema di controllo

H(z)

F(z)

1 / G(z) 1 / A(z)z⁻ B(z)

C(z)

yº(t) + u(t)

e(t)

y(t)

- +

+

C

S

k

Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)PN(z)

Controllo GMV 20

Simulazione in a.c.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0

Controllo GMV 21

Simulazione in a.c.:risposta a gradino

Andamento dell’ingresso u(t) con 2 = 0

Funz. Trasfer. da yo a u:

P(z)A(z)/B(z)

Controllo GMV 22

Progetto a controllo penalizzato Sistema da controllare:

A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,2) 2 = 0

Caratteristiche del sistema di controllo P(z) = 1 Q(z) a scelta del progettista

Cifra di merito J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]

Controllo GMV 23

Progetto a controllo penalizzato Polinomi del controllore

F(z) = F˜(z)QD(z) G(z) = B(z)QD(z)E(z) + C(z)QN(z) H(z) = C(z)QD(z)

E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea C(z) = A(z)E(z) + z-kF˜(z)

(lunga divisione di C per A per k passi)

Controllo GMV 24

Progetto a controllo penalizzato Funzione di trasferimento da y° a y

S(z) =

Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z))

z⁻

1 + Q(z)A(z)B(z)

k

Controllo GMV 25

Progetto a controllo penalizzato Polinomio caratteristico

(z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) Poli del sistema di controllo

Poli fissi: zeri di C(z) Poli mobili: zeri di B(z)QD(z) +

A(z)QN(z) La stabilità del sistema di controllo

dipende dai poli mobili

Controllo GMV 26

Scelta di Q(z) Scelte tipiche di Q(z) sono:

Q(z) = costante

Q(z) = (1 - z⁻¹)

Q(z) = 1 - z⁻¹1 – z⁻¹

Controllo GMV 27

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) =

Poli mobili: B(z) + A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) → ∞ : zeri di A(z)

Controllo GMV 28

Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di B(z) + A(z)

= 0 ≃ 8,57

→ ∞

Controllo GMV 29

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0

Controllo GMV 30

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2

= 0

Controllo GMV 31

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 8,57) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0

Controllo GMV 32

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 8,57) Andamento dell’ingresso u(t) con 2

= 0

Controllo GMV 33

Guadagno del sistema di controllo

S(1) =

≠ 0 ⇒ errore a transitorio esaurito

non nullo

1

1 + A(1)B(1)

Controllo GMV 34

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹)

Poli mobili: B(z) + (1 - z⁻¹)A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)

Controllo GMV 35

Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)

= 0 → ∞

Controllo GMV 36

Guadagno del sistema di controllo

S(z) =

valutato per z = 1 vale 1 In questo caso è garantito un

guadagno unitario per il sistema di controllo

1

1 + (1 - z⁻¹)

A(z)B(z)

Controllo GMV 37


Controllo GMV 38


= 0

Controllo GMV 39


Controllo GMV 40


= 0

Controllo GMV 41

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0.9z⁻¹)

Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)

Controllo GMV 42


Luogo delle radici di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)

→ ∞

= 0

Controllo GMV 43


Controllo GMV 44


= 0

Controllo GMV 45


Controllo GMV 46


= 0

Controllo GMV 47

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0.8z⁻¹)


Controllo GMV 48


Luogo delle radici di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)

= 0

→ ∞

Controllo GMV 49


Controllo GMV 50


= 0

Controllo GMV 51

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’uscita y(t) con 2=

10-4

Controllo GMV 52

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2=

10-4



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ESEMPIO 2


Controllo GMV 54

Esempio 2:sistema a sfasamento non minimo Modello ARMAX (1,2,3)

A(z) = 1 - 0,5z⁻² B(z) = 1 – 2z⁻¹ + 2z⁻² + z⁻³ k =

1 C(z) = 1 – 1,4z⁻¹ + 0,7z⁻²(rappresentazione operatoriale): A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)

Controllo GMV 55

Caratteristiche del sistema Guadagno

B(1) / A(1) = 4 Zeri di A(z): poli del sistema

z = 0,71 z = -0,71

Zeri di B(z): z = -0,35 z = 1,18 ± 1,20i

Zeri di C(z): z = 0,70 ± 0,46i

Controllo GMV 56


A(z) x

B(z) •

C(z) ∎

Controllo GMV 57

Simulazione in a.a.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0

Controllo GMV 58

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0,5z⁻¹)


Controllo GMV 59

Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 – 0.5z⁻¹)B(z) + (1 -

z⁻¹)A(z)

→ ∞

Controllo GMV 60


Controllo GMV 61


= 0

Controllo GMV 62


Controllo GMV 63


= 0

Controllo GMV 64


Controllo GMV 65


= 0

Controllo GMV 66

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’uscita y(t) con 2=

10-4

Controllo GMV 67

Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’ingresso u(t) con 2=

10-4



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ESEMPIO 3


Controllo GMV 69

Esempio 3:sistema complesso a sfasamento non minimo L’esempio viene costruito a partire

dalle singolarità desiderate dei polinomi A(z) B(z) C(z)

Si impone sfasamento non minimo (zeri esterni alla regione di stabilità) e comportamento oscillante (poli con parte reale negativa vicini al bordo della regione di stabilità)

Controllo GMV 70

Singolarità Zeri di A(z): poli del sistema

z = - 0,95 ± 0,1i z = -0,5 ± 0,6i

Zeri di B(z): z = 1 ± i z = 0,2 ± 0,6i

Zeri di C(z): z = -0,7

Controllo GMV 71

Modello ARMAX Modello ARMAX (4,1,4)

A(z) = 1 + 2,9z⁻¹ + 3,422z-2 + 2,072z-3 + 0,557z-4

B(z) = 1 – 2,4z-1 + 3,2z-2 – 1,6z-3 + 0,8z-4

C(z) = 1 + 0,7z⁻¹ ritardo ingresso/uscita: k = 1

Equazione nel dominio del tempo y(t) = -2,9y(t-1) - 3,422y(t-2) - 2,072y(t-3) - 0,557y(t-4) +

+ u(t-1) - 2,4u(t-2) + 3,2u(t-3) - 1,6u(t-4) + 0,8u(t-5) ++ e(t) + 0,7e(t-1)

e∼WN(0,2) 2 = 0

Controllo GMV 72


A(z) x

B(z) •

C(z) ∎

Controllo GMV 73

Simulazione in a.a.:risposta a gradino

Andamento dell’uscita y(t) con 2=0

Controllo GMV 74

Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹)/(1 + 0,3z-1)

Poli mobili: = 0 : zeri di (1 + 0,3z-1)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)

Controllo GMV 75

Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 + 0,3z-1)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)

→ ∞

= 0

Controllo GMV 76


Controllo GMV 77


= 0



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