1

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique

Université HADJ LAKHDAR Batna

Faculté des sciences Département des sciences de la matière

Corrections d’hadronisation aux jets QCD dans l’algorithme de Cambridge-Aachen

Mémoire élaboré en vue de l’obtention du diplôme de MASTER LMD

Option : Physique des rayonnements

Rapporteur : Réalisé par :

Année Universitaire 2012/2013

2

Remerciements

Certaines personnes ont eu un rôle déterminant durant mon parcours universitaire pour me donner confiance et me soutenir dans des moments difficiles qu’elles en soient chaleureusement remerciées. Je ne saurai oublier ceux que j’ai côtoyés et ont su rendre ces années aussi agréables qu’enrichissantes. Ainsi que ceux qui, par leur amitié et leur soutien m’ont aidé à mener à bien ce travail.

Je tiens à rendre hommage à monsieur DELENDA auquel revient le mérite d’avoir encadré mes modestes travaux et qui m’a fait bénéficier tout au long de mon mémoire ses larges compétences scientifiques. Je ne sais comment le remercier pour sa grande patience, son esprit critique et sa rigueur.

J’adresse enfin mes remerciements à ma famille qui m’a toujours soutenu et encouragé.

3

A ma grand-mère,

A tonton Hamid

Et à Ahmed Hamza.

4

5

Liste des figures : Figure-1.1 Les propagateurs et vertex fondamentaux en QCD ................................................................ 5

Figure-1.2 Les corrections virtuelles au propagateur du gluon ................................................................ 7

Figure- 1.1 L'évolution du couplage à partir de l'équation de groupe de renormalisation. ........................11

Figure-2.1 Potentiel de QCD en fonction de la distance entre les partons. ...............................................15

Figure-2.2 Deux représentations schématiques et naïves du processus de fragmentation (hadronisation)

[11] . .......................................................................................................................................................16

Figure-2.3 Exemple de situation sensible aux effets infrarouges. Le cône représente le jet reconstruit,

tandis que les flèches représentent les partons primaires.. .....................................................................17

Figure-2.4 Exemple de situation sensible aux effets colinéaires. Le cône représente le jet reconstruit,

tandis que les flèches représentent les partons primaires... ....................................................................17

Figure-2.5 Diagramme de l'algorithme kt... ..............................................................................................23

Figure-2.6 Itération de kt sur un exemple simple. Les flèches blanches représentent les preclusters, tandis

que les noires représentent les jets. L’astérisque labelle les preclusters intéressants à chaque étape.... .25

Figure-3.1Diagramme de Feynman illustrant l'annihilation d'un électron avec un positron en une paire

quark anti-quark avec l'émission d'un gluon[LaTeXDraw].... ....................................................................28

1.1 Diagrames de Feynman pour une émission à deux gluons avec des boucles[LaTeXDraw]...................28

Liste des tableaux Tableau-3.1 Les valeurs de ��� en fonction de la séparation angulaire entre partons. .............................. 1

Tableau-3.2 Tableau comparatif entre les valeurs ��� de entre les différents algorithmes ......................56

6

Tableau-A.1 Comparaison entre les coefficients non-inclusifs des différents algorithmes .......................62

7

Table des matières Introduction ............................................................................................................................................ 1

1 Introduction à la QCD ......................................................................................................................... 4

1.1 Postulats de la chromodynamique quantique ................................................................................. 5

1.2 L’équation de groupe de renormalisation ...................................................................................... 6

1.2.1Le principe du développement perturbatif ........................................................................... 6

1.3 L’évolution du couplage ................................................................................................................10

1.4 Le modèle DMW (hadronosation analytique) ................................................................................13

2 Les jets ................................................................................................................................................14

2.1 Les jets en physique de haute énergie ...........................................................................................14

2.2 Les jets dans les collisionneurs hadroniques ..................................................................................16

2.3 Propriétés des algorithmes de jets .................................................................................................17

2.4 Les attentes de l’algorithmes du point de vue théorique ................................................................18

2.5 Les attentes de l’algorithmes du point de vue expérimental ..........................................................18

2.6 L’algorithme de la famille cône ......................................................................................................18

2.6.1 Le fonctionnement général ................................................................................................19

2.7 Les algorithmes de regroupement ................................................................................................20

2.7.1 L’algorithme kt ...................................................................................................................21

2.7.2 Les preclusters ...................................................................................................................24

2.7.3 L’algorithme anti-kt ............................................................................................................25

8

2.7.4 L’algorithme de Cambridge-Achen .....................................................................................26

3 Calcul analytique des corrections d’hadronisation : Emission d’un gluon unique ...............................27

3.1 Introduction ..................................................................................................................................27

3.2 Une estimation analytique pour les corrections d’hadronisation ....................................................27

3.3 Conclusion .....................................................................................................................................35

4 Calcul analytique des corrections d’hadronisation : Emission de deux gluons ....................................36

4.1 Introduction ..................................................................................................................................36

4.2 Cinématique et dynamique de l’émission d’un gluon .....................................................................36

4.2.1 Calcul de tPδ avec la désintégration d’un gluon............................................................37

4.3 Calcul dispersif...............................................................................................................................41

4.3.1 Résultat naïf et correction inclusive ...................................................................................41

4.3.2 Résultat naïf .......................................................................................................................43

4.4 Correction inclusive .......................................................................................................................45

4.5 Correction non-inclusive ................................................................................................................46

4.5.1 Fonction trigger non-inclusive ............................................................................................46

4.5.2 tPδ dans l’algorithme de Cambridge-Achen ......................................................................47

4.5.3 L’intégrale α ....................................................................................................................51

4.6 Comparaison avec les algorithmes de kt et anti-kt ..........................................................................56

4.7 Conclusion

6 Conclusion générale ............................................................................................................................57

Appendice ..............................................................................................................................................59

Références .............................................................................................................................................64

9

10

We calculate the hadronisation corrections to the transverse momentum (pt) of a QCD jet defined using

the Cambridge Aachen algorithm up to two-loop level. At one-loop we compute the full dependence of

the change in the jet pt due to the non-perturbative emission of a single gluon in the Dokshitzer-Webber

model as a series expansion in the radius parameter. We then proceed to the two-gluon emission and

use the dispersive approach to compute the hadronisation corrections using the Cambridge-Aachem

algorithm for small radii. We compare our findings with the results obtained using the kt and anti-kt

algorithms and thus point out the optimal jet algorithm that minimises theoretical uncertainties in non-

perturbative corrections.

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Introduction

Les particules élémentaires interagissent fortement, tels que le proton et le neutron, ne sont pas en fait élémentaires : ce sont des états liés de quarks, fermions de spin 1/2, et de gluons, bosons de jauge de spin 1. Cette interaction forte est décrite par une théorie des champs, appelée Chromodynamique Quantique (QCD pour Quantum ChromoDynamics). Les quarks et les gluons sont confinés dans les hadrons en permanence. Il n’est pas possible d’isoler un quark à une distance macroscopique d’un antiquark. Au contraire, à courte distance, la constante de couplage de la QCD devient faible et il est alors possible de comparer les résultats expérimentaux avec des prédictions théoriques faisant appel à la théorie des perturbations. Physiquement, cela signifie que lorsque le moment de transfert relatif entre les quarks est élevé, ces derniers se comportent les uns vis-à-vis des autres comme s’ils étaient libres : c’est la liberté asymptotique. Aux grandes distances, les observations nous montrent que les états liés de la théorie sont les hadrons. Aux petites distances par contre, les interactions sont décrites en utilisant les états propres de la théorie libre : les partons. Ce terme désigne maintenant indifféremment les quarks et les gluons. La compréhension actuelle de la QCD étant basée sur des approches perturbatives, le confinement est décrit essentiellement par des modèles, tels que des modèles de potentiel effectif, le modèle des tubes de flux de couleur, des modèles de cordes. Implémentés dans des programmes informatiques tels que PYTHIA ou HERWIG , ces modèles peuvent être utilisés pour simuler l'hadronisation de manière relativement précise.

Au LHC (Large Hadron Collider), le plus grand accélérateur de particules du monde à ce jour, a

effectué les premières collisions proton+proton à une énergie dans le centre de masse de √� =900�� .Le LHC atteint des énergies dans le centre de masse des collisions encore jamais égalées. Grâce à ses capacités exceptionnelles de nouveaux domaines de la physique vont pouvoir être explorés. La compréhension des interactions fortes fait partie des intérêts du LHC, en effet les collisions menées au sein du LHC permettent de vérifier les prédictions théoriques de la QCD et d’extraire les propriétés des jets, ces gerbes de particules produites lors des collisions.

Les processus QCD mettant en jeu l’interaction de partons à courte distance sont toujours accompagnés d’effets non-perturbatifs prenant place à grande distance. Ces derniers assurent le confinement de la couleur au sein des particules initiales et/ou finales. La comparaison d’une mesure avec une prédiction théorique requiert l’emploi d’une observable, définie expérimentalement et théoriquement, peu affectée par les effets à grandes distances. Comme nous le verrons, les jets de hadrons constituent de telles observables. Ils proviennent de l’hadronisation des partons présents dans l’état final des processus à courte distance et l’observation de ces jets offre la possibilité de tester la dynamique de la QCD.

Le LHC sera également une usine à quark top. Avec une section efficace de 830 pb, la production de 2 paires de quark top aura lieu toutes les secondes lors de la période dite de basse luminosité (2 1033 cm-2 s-1) et de 5 fois plus lors de la période de haute luminosité (2 1034 cm-2 s-1). Ce

12

processus devrait permettre de comprendre plus précisément le secteur de Yukawa du Modèle Standard et en particulier de comprendre sa connexion avec le mécanisme de Brout-Englert-Higgs. Ici aussi, une fois produite, la paire tt se désintègre pratiquement toujours en W-W+ ,bb. Les quarks b créent chacun un jet, et les W se désintègrent deux fois sur trois en deux jets. Dès lors, le signal tt donne naissance à 2,4 ou 6 jets. De plus, dans 50 % des cas, la paire tt est produite simultanément avec un ou plusieurs jets durs. Ainsi, une mesure de précision, par exemple de la masse du quark top, ne peut être effectuée que si les jets sont reconstruits et identifiés avec une grande précision. Un autre objectif crucial est de mettre en évidence d'éventuels processus au-delà du Modèle Standard comme la Super Symétrie ou l'existence de bosons (ou états excités) très massifs qui seraient le reflet de théories de grande unification ou de l'existence de dimensions spatiales supplémentaires. Les signatures caractéristiques de ces signaux comprennent le plus souvent un grand nombre de jets (avec éventuellement de l'énergie transverse manquante) et/ou des jets de très grande énergie transverse. C'est par exemple le cas pour les processus faisant intervenir la production de paires des quarks très massifs suivi de leur désintégration ou encore de la production directe de Z0 ayant une masse supérieure à 600 GeV. En plus de la complexité des états finaux produits directement au niveau de l'élément de matrices et des désintégrations des particules, la reconstruction des événements sera dégradée par la présence d'événements sous-jacents, et par la présence de l'empilement de plusieurs collisions dans chaque événement. Les événements sous-jacents, créés par les fragments des protons qui ont interagi, ont pour effet la création de jets vers l'avant du détecteur mais induisent aussi des radiations plus centrales. L'empilement des collisions, créées par l'interaction de plusieurs protons du même paquet, produit également des jets additionnels dans tout le détecteur. L'ampleur de ce dernier est donc directement proportionnel à la luminosité et peut mener jusqu'à environ 20 collisions supplémentaires pour la période de haute luminosité. Enfin, en plus de la difficulté liée à la reconstruction des différents signaux présentés ci-dessus, les signaux recherchés auront des sections efficaces de plusieurs ordres de grandeur inférieurs aux processus de bruit de fond issus de la chromodynamique quantique (QCD). Ces derniers (comme les collisions qui contribuent à l'empilement) sont principalement créés par échange de gluons entre les partons des protons et ont des sections efficaces d'environ 70 mb, gigantesques en comparaison de celles responsables de la production de Higgs (~10 pb) ou de tt. Il est dès lors possible qu'un événement QCD avec une topologie particulière soit accepté par le système de déclenchement en ligne et par les critères de sélection du signal recherché. La raison d'être d'un algorithme de reconstruction de jets est de pouvoir retrouver l'énergie et la direction des partons produits au niveau des éléments de matrice du processus étudié. Étant donné que les jets sont composés d'un grand nombre de particules d'énergie très variables, et qui ne sont pas forcément toutes issues du parton initial, l'utilisation d'algorithmes de reconstruction sophistiqués est indispensable. De plus, un parton identifié au niveau des éléments de matrice ne constitue pas une observable en soi. En réalité, ces partons doivent être considérés comme des particules virtuelles qui même proches de leur couche de masse, ne sont pas des observables à cause du phénomène du confinement. Un algorithme de jet permet donc également de créer des ensembles d'observables tant au niveau théorique (jet de partons) qu'au niveau expérimental, permettant ainsi une comparaison entre les prédictions théoriques et les données expérimentales.

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Il est donc important de comprendre les effets induits par ces algorithmes de jets sur les observables physiques. Le but principal de ce travail est d’étudier les différents algorithmes de reconstruction de jet et d’en déterminer l’optimal à partir de calculs analytiques, en calculant des quantités importantes de jets tel que le changement du moment transverse δpt . Ce mémoire est divisé en cinq chapitres, le premier chapitre donne une brève introduction à la QCD j’y expose le Lagrangien de la QCD et les diagrammes de Feynman. Le Second chapitre traite les principaux algorithmes de reconstructions des jets ainsi que leur fonctionnement. Le troisième chapitre concerne le calcul du changement du moment transverse d’un processus d’hadronisation résultant de l’annihilation d’un électron et d’un positron avec l’émission d’un gluon de basse impulsion transverse. Le quatrième chapitre traite de l’émission d’un gluon lors d’un processus d’annihilation qui se divise en deux autres gluons, nous ferons appel à un algorithme de reconstruction de jet, Algorithme de CA, pour traiter un terme du changement de l’impulsion transverse. Et enfin comme dernier chapitre, en l’occurrence le cinq comportera une conclusion générale où on y exposera les points importants abordé durant ce mémoire.

14

CHAPITRE

Le model standard décrit les interactions électromagnétique véhiculée par les photons les

particules chargées, faible véhiculée par les bosons 0,Z W± entre les fermions et forte véhiculée

par les gluons entre les quarks. Exprimé en langage de la théorie quantique des champs, la densité lagrangienne associée à ces interactions, qui s’écrit :

SM EW QCD Higgs= + +L L L L (1.1)

Est invariante sous une transformation de jauge locale (2) (1) (3)L Y CSU U SU⊗ ⊗ . Le lagrangien

EWL est celui de l’interaction électrofaible invariante sous une symétrie locale (2) (1)L YSU U⊗ .

Elle se brise spontanément aux énergies inferieures à l’échelle électrofaible(~ 100 )GeV par le

mécanisme dit de Higgs en symétrie (1)QU de l’électromagnétisme1. Le lagrangien de Higgs,

HiggsL , contient alors les termes de masse des fermions et des bosons Z et W sous forme de

couplage au potentiel de Higgs. Le lagrangienQCDL , invariant sous une symétrie de jauge locale

(3)CSU est celui de la chromodynamique quantique(QCD) qui est la théorie fondamentale de

l’interaction forte. Elle a été développée au début des années 1970 par analogie avec la QED mais possède des propriétés bien différentes comme nous allons le voir.

1 Les indices Y, Q et C font référence à l’hypercharge faible, à la charge électrique et à la charge de couleur

respectivement

1 Introduction à la QCD

Nature is simple in its essence

Hidaky Yukawa

15

1.1- Postulats de la chromodynamique quantique :

La QCD décrit l’interaction entre des fermions appelés quarks qui s’assemblent pour constituer

des hadrons. Le choix d’une symétrie de jauge(3)CSU est motivé d’un part par la

nécessité de distinguer la charge de couleur du quark de celle de son antiparticule et d’autre part de permettre l’existence d’un état complètement antisymétrique singulet à trois quarks2 .

Le lagrangien de la QCD s’écrit :

1

4a q

QCD a qF F i Dµν µµν µψ γ ψ= +L (1.2)

Où les indices répétés indiquent les sommations. Les six champs de quarksqψ , indicés en

fonction de leur saveur respective ( , , , , , )q u d s c b t= , sont les produits tensoriels de spineurs de

Dirac et d’un vecteur complexe en 3 dimensions dans l’espace des couleurs :

( ).q rouge bleu vertψ ψ ψ ψ= (1.3)

La dérivée covarianteDµ correspond à :

s a aD ig T Aµ µ µ= ∂ − (1.4)

2 L’exemple d’un tel état et le baryon ++∆ avec la projection du spin 3 3 / 2J = + . Il est formé par trois quarks u

avec des états de spin identiques 3 1/ 2J = ce qui implique une fonction d’onde électromagnétique symétrique sous

permutation des quarks. Par conséquent le principe de Pauli exige pour les fermions une fonction d’onde de couleur à 3 quarks antisymétrique.

16

Où aT représentent les huit générateurs de groupe de transformation unitaires dans l’espace des

couleurs (avec une représentation fondamentale sous forme de matrice 3 3× ). Chaque générateur

est associé au potentiel vecteur de masse nulleaA , appelé gluon. Le tenseur d’intensités de

champs aF µν contient la cinématique et la dynamique des seuls gluons :

a a a aa s abcF A A g f A Aµν

µ ν µ µ µ ν= ∂ − ∂ − (1.5)

Où sg est la constante de couplage fort et abcf dénote les constantes de structure de l’algèbre de

Lie du groupe SU(3).

Le lagrangien QCD se décompose formellement en :

2 3 4" " " " " " " " " "QCD s s sqq g qqA A g A g A= + + + +L (1.6)

Où chaque terme est associé (dans l’ordre) aux diagrammes de Feynman représentés sur la figure 1.1. Les deux premiers termes de (1.6) proviennent de la première composante de (1.2) qui est

analogue au lagrangien QED. On retrouve le propagateur du quark " "qq et le couplage quark-

gluon " "sg qqA , avec une intensitésg . Les trois derniers termes de (1.6) proviennent du

développement de la seconde composante de (1.2). On retrouve le propagateur du gluon2" "A ,

mais aussi deux types de couplage à 3( 3" "sg A ) et 4( 4" "sg A ) gluons. L’auto-couplage du champ

fort est un effet propre aux jauges non abéliennes (théories de Yang-Mills) relié formellement à la non-commutativité de l’algèbre des générateurs. La tendance de l’évolution du couplage fort est inverse de celle de la constante de structure fine en QED : liberté asymptotique à courte distance et confinement à longue distance. C’est une conséquence directe de la présence des termes d’auto-couplage des gluons.

1.2- L’équation du groupe de renormalisation :

1.2.1- Le principe du développent perturbatif

Une observable typique R en QCD correspond à une section efficace( ou un rapport de sections efficaces) de production d’un certain nombre de partons (quarks et gluons) avec des caractéristiques données (énergie, impulsion, angle) à partir d’un état initial donné. L’exemple le plus simple est la production de paires quark-antiquark dans les annihilations électron-positron (

e e qq− + → ) par exemple en fonction de l’angle azimutalϕ de la paireqq par rapport à l’axe

de collisione e− + . On peut décomposer R en une série perturbative de la constante de couplage 2 / 4s sgα π= :

17

0

jj s

j

R M α∞

=

=∑ (1.7)

La contribution de la série à l’ordre n, nM , est calculée à partir des amplitudes complexes ,n iA ,

représentée chacune par un diagramme de Feynman qui se compose de propagateurs et de

vertices fondamentaux réprésentés sur la figure 1.1. Chaque vertex contribue à l’ordre sα à

l’amplitude3 et à l’ordre sα à la section efficace. La somme cohérente des amplitudes ,n iA ayant

un état final identique est intégrée sur tout l’espace des phases disponible, puis le carré de leur

modules est sommé pour obtenir le terme perturbatif nM .

Pour un état final de partons(quarks et gluons) l’ordre dominant du calcul perturbatif (LO

pour Leading Order) est défini comme la puissance minimale en sα contribuant à

l'obsevable et contient uniquement des diagrammes en « arbre », c’est-à-dire sans boucle internes. A des ordres supérieurs du développement perturbatif, toutes les observables reçoivent des contributions de diagrammes incluant des boucles internes. Un exemple de telles corrections au propagateur du gluon (avec des corrections de gauche à droite de1,2,3,4 boucles) est donné sur la figure 1.2. Cependant les intégrales portant sur les impulsions internes des boucles divergent

lorsque p →∞ ce qui rend impossible à priori l’utilisation directe des coefficients

perturbatifs. Ces divergences, dite ultraviolettes(UV), peuvent être isolées et soustraites par une procédure de régularisation et de renormalisation.

La procédure de régularisation n’est pas définie de façon unique et son choix est d’une importance centrale pour les calculs perturbatifs. Elle doit d’une part préserver autant de symétrie fondamentales de la théorie originale que possible et d’autre part rendre le calcul et la manipulation des intégrales dans les boucles aussi simple que possible. La méthode de régularisation la plus intuitive, dite cut-off regularization procedure (régularisation par coupure

en impulsion), consiste à imposer d’une borne supérieure cut offµ − aux impulsions dans les

boucles. Cependant elle ne permet pas de préserver l’invariance de Lorent car la valeur de la coupure est dépendante du référentiel utilisé.

3 A l’exception du vertex à 4 gluons qui contribue à l’ordre sα aux amplitudes. Ce vertex intervient à l’ordre le plus

bas dans les diagrammes de collision de deux hadrons.

18

Parmi les nombreuses méthodes disponibles la régularisation dimensionnelle [27] préserve l’invariance de Lorentz ainsi que l’invariance de jauge sans introduire de limites dans les intégrales de boucles. L’idée consiste à modifier la dimension de l’espace dans lesquelles les intégrales divergentes sont évaluées de 4 à 4 2d ε= − . Les singularités ultraviolettes sont isolées comme des pôles de la forme 1/ε qui peuvent alors être absorbés dans la constante de couplage

sα et dans les masses des quarks via une procédure de renormalisation. Les grandeurs

renormalisées sont appelés effectives, par opposition aux constantes du lagrangien appelées nues(bare). La soustraction est appliquée selon un schéma donné, qui est une prescription arbitraire indiquant la quantité finie à soustraire en plus du pôle infini. Le modified Minimal

Substraction Scheme ( MS , [28]) est le schéma de soustraction le plus communément utilisé.

Le choix du schéma de soustraction introduit une nouvelle échelle ayant la dimension

d’une énergie rµ , appelée échelle renormalisation. Celle-ci peut-être considérée comme l’échelle

d’énergie à laquelle la procédure de soustraction a été appliquée. Dans le cas d’une régularisation

dimensionnelle, rµ peut être interprété comme l’énergie de coupure ultraviolette, cut offµ − .

Dans une procédure MS l’échelle d’énergie MS

µ est introduite indirectement pour préserver la

nature adimensionnelle du couplage fort lorsque la dimension est différente de 4 :

( )s sMSg gεµ→ .

Par cette procédure la constante de couplage ( )s rα µ acquiert une dépendance à l’échelle

de renormalisation, de même que les observables calculées à un ordre fini de la série perturbative

n. Compte tenu de la valeur arbitraire du paramètre rµ la valeur de l’observable physique

nR =R (calculée à tous les ordres de la série perturbative) doit en être indépendante. On

exprime mathématiquement ce postulat par une équation, appelée l’équation du groupe de renormalisation :

2 2 22 2 2

0.sr r r

r r r s

d

d

αµ µ µµ µ µ α

∂∂ ∂= + = ∂ ∂ ∂

RR (1.8)

En substituant la variable adimensionnelle 2

2ln r

Z

Lm

µ =

l’équation (1.8) se réécrit sous la forme :

0s

sL L

αα

∂∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ R = (1.9)

19

L’équation (1.9) implique la dépendance de toute observable physique de l’échelle de

renormalisation est compensée par celle de la constante de couplage ( )s rα µ . La dépendance

fonctionnelle ( )s rα µ , appelée l’évolution de la constante de couplage (pour running strong

coupling), est contrôlée par une fonction universelle β :

( )ssL

α β α∂ =∂

(1.10)

L’équation différentielle (1.10) se résout itérativement en développant ( )sβ α en série

perturbative :

2 3 4 50 1 2 3( ) ...β α β α β α β α β α= − − − − − (1.11)

Où nous avons utilisé pour simplifier l’écriture la notation / 4sα α π= . La valeur des coefficients

perturbatifs iβ dépend du nombre et de la nature des boucles internes qui déterminent la

renormalisation de la charge (cf. fig.1.2). Les coefficients 0β [29] et 1β [30] sont universels, c’est-

à-dire indépendants du schéma de renormalisation alors que 2β [31] et 3β [32] ont été calculés

avec le schéma de soustraction MS :

0

211

3 fnβ = − (1.12)

1

38102

3 fnβ = − (1.13)

2

2857 5033 325

2 18 54fnβ = − + (1.14)

2 33 3 3

149753 1078361 6508 50065 6472 10933564

6 162 27 162 81 729f f fn n nβ ζ ζ = + − + + + +

(1.15)

Avec 3( 1.20206)ζ ζ ≈ la fonction de Riemann et fn le nombre de saveurs de quarks actifs

(présents dans les boucles radiatives).

1.3- L’évolution de la constante de couplage :

En partant d’une condition initiale 0( )sα µ la solution de l’équation d’évolution (1.11) à l’ordre

4[33] s’écrit :

20

0

0

( )( )

1 ( )r A

α µα µα µ

=+

(1.16)

Avec

( )( ) ( ) ( )

20

0 120

2 3 2 22 1 0 3 1 2 1 0

( )ln ln

( )

( ) ( ) / 2 / 2 ( ) ( ) .

sr

r

s r r

A b

b b b b b b

α µµβµ α µ

α µ α µ α µ α µ

= + +

− − + − + − (1.17)

Où nous avons utilisé la notation 0/ ( 1,2,3...).N Nb Nβ β= = La constante de couplage effective

( )rα µ , n’est plus de fait le paramètre nu du Lagrangien QCD, mais une grandeur physique qui

évolue avec un paramètre d’échellerµ . A ce niveau de discussion on peut considérer 2 2r Qµ = (le

choix typique en QED) où 2Q est le carré du transfert d’impulsion entre les particules en

interaction et 21/d Q= la distance caractéristique qui les sépare.

La forme générale de la variation du couplage effectif avec 2Q est donnée par les

corrections à une boucle (avec la définition / 4sα α π= ) :

21

02

0 0 20

( )( )

1 ( ) ln

QQ

α µαα µ β

µ

=

+

(1.18)

Des ajustements significatifs sont apportés à (1.18) par les corrections à 2-boucles, alors que l’impact des ordres supérieurs (3-boucles et plus) reste marginal. Deux comportements opposés

se manifestent en fonction du signe de 0β :

0 0:β < ( )Qα décroit avec la distance d’interaction et croît avec l’impulsion transférée jusqu’au

pôle de Landau Λ où elle diverge : α → ∞ si 2 2Q → Λ . Dans le cas du groupe de symétrie

(1)QU en QED, seules boucles de fermions représentées par le diagramme 1.4.a contribuent à la

valeur de 0β et on obtient 0 4 / 3β = − . Compte tenu de la relative faiblesse du couplage

électromagnétique, le pôle de Landau QEDΛ est plusieurs ordres de grandeur supérieur à l’échelle

électrofaible. L’évolution de EMα s’interprète dans une approche semi-classique comme

l’écrantage croissant avec la distance de la charge centrale par les paires virtuelles des particules-antiparticules issues du vide polarisé.

0 0:β > dans ce cas( )Qα montre un comportement inverse du précédent. Elle décroît avec

l’impulsion de transfert et croît avec la distance d’interaction jusqu’au pôle de Landau où elle

22

diverge. Dans le cas du groupe de symétrie (3)CSU en QCD, aux boucles de fermions dans la

figure 1.4.b s’ajoutent des boucles de gluons 1.4.c. Ainsi il est possible de réécrire la relation (1.12) en séparant les deux contributions [29] :

{ {

0

11 2

3 3C f

gluons quarks

N nβ = − (1.19)

Avec le nombre de couleurs 3CN = et de saveurs 5fn = . Si l’effet d’écrantage produit par les

paires quark-antiquark reste similaire à celui produit par les paires de fermions chargés en QED, l’effet inverse est produit par les boucles de gluons. Dans un univers avec moins de 17 saveurs de

quarks, l’effet d’anti-écrantage des gluons reste prédominant de que0 0.β > La structure du

potentiel QCD entre deux quarks séparés par une distance r, mis en évidence notamment par les calculs de QCD sur réseau, prend la forme (où e et k sont deux constantes) :

...qq

eV k r

r ≈ + + ⋅

(1.20)

L’évolution du couplage fort définit deux régimes limites :

La liberté asymptotique caractérise l’interaction entre les quarks à grand transfert d’impulsion (et donc à petite distance). Dans ce régime le couplage tend asymptotiquement vers

0 : 2( ) 1s Qα . Aux énergies typiques de notre analyse (entre 5 et 100 GeV), la force du

couplage varie entre 0.1 et 0.1 (cf. fig.1.3). Les quarks (et les gluons) peuvent être considérés comme faiblement liés, leur interaction pouvant être traitée de manière perturbative.

Le confinement caractérise l’interaction entre les quarks à faible transfert d’impulsion (et

donc à grande distance). Dans ce régime, le couplage 2( )s Qα est grand et diverge lorsque Q

approche le pôle de Landau ~ 200 300QCD GeVΛ − , les deux étant reliés par la relation (à une

boucle) :

2

0 2

1( )

lns

QCD

QQ

αβ

= Λ

(1.21)

Le comportement du couplage au voisinage de QCDΛ invalide l’approche perturbative. Toutefois

elle ne constitue pas une preuve formelle du confinement des quarks en hadrons neutres de couleur (blanc) : soit des mésons formés d’une paires quark-antiquakrs (couleur-anticouleur), soit des baryons formés de 3 quarks(rouge-bleu-vert). Historiquement, l’interaction entre baryons- la force nucléaire forte- a été conçue comme un échange de mésons notamment de pions

23

π . A la lumière de la QCD, la cohésion des noyaux est plutôt l’expression de l’équivalent QCD de la force de Van-der-Waals entre les hadrons neutres de couleur.

Une particularité du régime de confinement est que les quarks ne peuvent exister à l’état

libre à des distances supérieures typiquement à ( ) 11 1 ~ 0.1pm GeV fm−− ≈ . Une image dynamique

du confinement peut se construire à partir de la forme du potentiel (1.20) dominé à grande distance par le terme linéaire en k r⋅ . Lorsque deux quarks se séparent, il se crée un tube de flux de tension k de plus en plus énergétique qui brise en donnant existence aux paires virtuelles de quarks-antiquark à partir des fluctuations du vide. Les quarks initiaux « s’habillent » ainsi d’autres quarks pour créer des hadrons neutres de couleur, par un processus appelé hadronisation.

Faire des calculs perturbatifs n’a plus de sens à longue distance et c’est ici qu’on fait appelle à des modèles fiable capable de mener des calculs dans ce régime.

1.4- Le modèle DMW(Hadronisation analytique) :

Dans le modèle de Dokshitzer, Marchesini, Weber (DMW), les corrections d’hadronisation sont prédites en étudiant la sensibilité des observables au rayonnement de gluons soft. Le

comportement inconnu de sα dans la région non-perturbative est décrit par l’intermédiaire d’un

couplage effectif effα ajusté à une échelle infrarouge choisie par convention 2 .I GeVµ =

Le couplage effectif peut se ramener à un seul paramètre universel 0α qui contient toute

l’information sur la région infrarouge :

( )0

0

1 I

sI

k dkµ

α αµ

= ∫ (1.22)

La valeur de 0 0.5α ≈ a été mesurée expérimentalement, notamment avec les event shapes.

L’hadronisation analytique est un domaine de développement actif et des calculs sont désormais disponibles pour de nombreuses observables dont notamment les sections efficaces inclusives jet.

L’une des importantes prédictions de ce modèle est que 0α est indépendant des observables.

24

CHAPITRE

L’identification des jets issus de l’hadronisation des quarks est nécessaire dans une expérience de physique à haute énergie telle qu’ATLAS pour l’étude d’un large spectre de phénomènes. Parmi eux : la sélection de lots très purs de quarks lourds( top), la recherche des bosons de Higgs du

modèle standard qui se désintègrent préférentiellement en paires bb à basse masse, ou encore

l’élimination du bruit de fon dominant à de nombreuses analyses physiques tt , la recherche de nouvelle physique.

Dans ce chapitre nous allons exposer les outils nécessaires à ces études, nous aborderons d’abord les jets ensuite nous nous focaliserons sur les algorithmes de reconstruction de jets.

2.1- Les jets en physique de haute énergie :

Le potentiel de QCD va comme ...qq

eV k r

r ≈ + + ⋅

, où r est la distance entre les particules, la

courbe du potentiel est tracée sur la Fig. 2.1 A grande distance, le premier terme est négligeable est V k r≈ ⋅ . Dès lors, quand les particules sont libres (r = ∞ ) le potentiel est infini (V = ∞ ), il faut donc que le système ait une énergie infinie, ce n’est pas possible. C’est pourquoi les particules colorées doivent rester proches l’une de l’autre. Or, les quarks et gluons portent une charge de couleur, ils sont donc confinés et ne peuvent être détectés.

2 Les Jets

« Les hommes, d’habitude, voient les choses telles qu'elles sont et disent: « Pourquoi ? ». Je rêve de choses qui ne sont pas et je me demande: « Pourquoi pas ? ».

G. B. Shaw

25

Figure-2.1- Potentiel de QCD en fonction de la distance entre les partons

Un jet est une gerbe collimatée de particules, principalement des hadrons, créées par hadronisation des partons [10]

Deux effets chromodynamiques sont à l’origine des jets. Le premier est le processus de création de gerbe partonique (parton shower). Etant colorés, les partons du processus fondamental peuvent spontanément radier des gluons. Ceux-ci peuvent être irradiés avant (initial state radiation, ISR) ou après l’interaction dure (final state radiation, FSR). Une partie des ces gluons

va ensuite engendrer une série de quarks par création de pairesqq . La gerbe partonique augmente

donc considérablement le nombre de partons.

Le second effet est l’hadronisation (Fig. 2.2). Si les deux partons confinés doivent aller dans des directions différentes à cause de la conservation de l’énergie/impulsion, l’énergie potentielle entre les deux partons devient de plus en plus grande. Lorsque celle-ci est plus grande que l’énergie de masse de deux quarks, le système va basculer dans l’état qui minimise l’énergie en créant des quarks. Ce processus de création de quarks peut se répéter encore et encore tant que l’énergie potentielle du système est supérieure à l’énergie de masse de deux quarks. Grâce à ces nouveaux quarks, les partons vont pouvoir former des objets de couleur blanche, des hadrons. Ceci diminue fortement l’énergie potentielle du système car les hadrons ne sont pas soumis au potentiel de QCD, de plus ils sont libre et observables. Cet effet est parfois appelé la fragmentation.

26

La combinaison et l’itération de ces deux effets créent des gerbes d’hadrons, les jets.

Par construction, une grande partie des hadrons créés sont des mésons légers (,Kπ ).

La différence d’impulsion transverse entre hadrons provenant d’un même parton est de l’ordre de 1 GeV, les particules créées sont donc bien collimatées.

Bien que le principe de création des jets soit bien compris, ce phénomène n’est pas calculable en chromodynamique quantique perturbative, car le régime de l’hadronisation n’est pas perturbatif. Les seuls modèles d’hadronisation sont donc des modèles effectifs. Ils sont inspirés par QCD mais ils ont un grand nombre de paramètres libres qui doivent être ajustés dans le but de reproduire les données expérimentales.

Figure 2.1 Deux représentations schématiques et naïves du processus de fragmentation (hadronisation) [11]

Notons que des particules non-hadroniques peuvent se trouver dans un jet car certains des

hadrons créés se désintègrent rapidement. C’est par exemple le cas des 0π qui désintègrent en 2 photons.

Comme les jets proviennent des partons, il est possible d’obtenir des informations sur ceux-ci en étudiant les jets.

2.2- Les jets dans les collisionneurs hardoniques :

Le LHC étant un collisionneur d’hadron, il y aura des jets à presque chaque collision. Ceux-ci peuvent venir du pile-up ou de la destruction des protons qui ont interagi. La reconstruction des jets permet d’obtenir des informations sur le parton qui a initié le jet. Dans bien des cas, c’est d’ailleurs le seul moyen d’en savoir plus sur les partons ou sur la particule de laquelle ils proviennent.

Les jets sont par exemple indispensables pour mesurer la masse du quark top, car celui-ci se désintègre presque systématiquement en un quark b, et en un W. contrairement au W, le quark b va toujours créer un jet. La reconstruction des jets est très importante au LHC car elle est également liée à la mesure de l’énergie transverse manquante, et ainsi à la mise en évidence de neutrinos ou de nouvelles particules prédites par des modèles au-delà du modèle standard.

27

Etant donné la complexité des jets, principalement due au nombre de particules impliquées, l’utilisation d’algorithmes est indispensable.

2.3- Propriétés des algorithmes de jets :

Commençons par définir deux notions liées aux calculs théoriques en QCD, qui seront utilisées par la suite [34] :

Une observable est dite insensible aux effets infrarouges (infrared safe) si elle est insensible à l’émission de particules de basse énergie. Etant colorés, les partons peuvent toujours irradier des gluons peu énergétiques. L’observable doit être la même, que le parton ait radié un gluon ou non. La Fig. 2.3 représente une situation où l’observable est différente en fonction de la radiation ou non d’un gluon.

Figure-2.3- Exemple de situation sensible aux effets infrarouges. Le cône représente le jet reconstruit, tandis que les flèches

représentent les partons primaires.

Une observable est dite insensible aux effets colinéaires (collinear safe) si deux particules colinéaires sont équivalentes à une particule de même impulsion totale (Fig. 2.4).

Les partons sans masse étant de simples vecteurs, un vecteur peut être remplacé par deux demi-vecteurs colinéaires ; mathématiquement, les deux sont identiques.

Figure 2.4- Exemple de situation sensible aux effets colinéaires. Le cône représente le jet reconstruit, tandis que les flèches

représentent les partons primaires.

28

2.4- Les attentes de l’algorithme du point de vue théorique :

Ces propriétés sont désirables/indispensables du point de vue théorique :

- Complètement spécifié : Le processus de sélection, les variables cinématiques du jet ainsi que les différentes corrections appliquées par l’algorithme doivent être clairement et complètement définis. Si l’algorithme utilise des processus de pré-groupement (pre-clustering), de fusion (merging) et/ou de division (splitting), ils doivent aussi être décrits.

- Bon comportement théorique : L’algorithme doit être infrared safe et collinear safe sans utiliser des paramètres de groupement ad hoc.

- Invariance sous transformation de Lorentz (boost) - Indépendance par rapport au détecteur : L’algorithme doit être indépendant de la taille

des cellules du détecteur, ainsi que de leur nombre, et de leur type. - Indépendance par rapport au niveau d’observation : L’algorithme doit s’appliquer au

niveau partonique, hadronique ou au niveau du détecteur.

Les deux premiers critères doivent être satisfaits pour tout algorithme. Les deux derniers sont probablement impossibles à satisfaire mais ils doivent être approximativement corrects.

2.5- Les attentes de l’algorithme du point de vue expérimental

Une fois que le jet entre dans le détecteur, les effets de gerbes électromagnétiques, de réponse du détecteur, de bruit et de pile-up viennent affecter les performances de l’algorithme. Idéalement, l’algorithme employé doit limiter les corrections qui devront être appliquées. Dans ce but, une série de critères, souhaitables du point de vue de l’expérimentateur, peuvent être rajoutés :

- Minimisation du biais angulaire et de la dégradation de la résolution - Stabilité à la luminosité (peu sensible au pile-up) - Ne nécessite pas de nombreuses ressources informatiques - Efficacité de reconstruction maximale - Facilité de calibration et d’utilisation

2.6- L’algorithme de la famille cône :

Le principe des algorithmes de cette famille est que les jets ont une forme à peu près conique. Le jet est donc considéré comme un cône de rayon R dans l’espaceη φ− . L’énergie et l’impulsion du

jet sont calculées en recombinant les particules ou dépôt d’énergie à l’intérieur du ce cône. La

particule/le dépôt i est dans le cône centré en ( ),C Cη φ et de rayon R si :

( ) ( )2 2: i C i Ci C Rη η φ φ⊂ − + − ≤ (2.1)

29

Décrivons d’abord les différents modèles de recombinaison qui peuvent être utilisés par les algorithmes cônes. J/C sont les indices faisant référence au jet/cône.

1. Le modèle original de Snowmass :

J iT T

i C

E E⊂

=∑

1J i iTJ

i CT

EE

η η⊂

= ∑

1J i iTJ

i CT

EE

φ φ⊂

= ∑

(2.2)

Jη et Jφ sont calculés par simple moyenne pondérée par l’énergie transverse. JTE est la somme des impulsions transverses de chaque particule.

2. Le modèle E ou la recombinaison des quadrivecteurs énergie/impulsion :

( )

( ) ( )2 2

1

( , ) , , ,

1ln

2

tan

JJ J i i i ix y z

i C

J J JT x y

J JJ JJ z

J J J Jz

JyjJx

p E p E p p p

p p p

y pour une particule sans masseE py

E p y pour une particule massive

p

p

ηη

φ

⊂

−

= =

= +

=+= − ≅

=

∑ur

(2.3)

Ce modèle a l’avantage d’être très naturel, et de prendre automatiquement en compte les particules massives.

2.6.1- Le fonctionnement général

Comme cela a été dit précédemment, l’algorithme cône forme un jet en associant des particules qui sont contenues à l’intérieur d’un cône de rayon R dans l’espace η φ− .

L’algorithme commence par placer un cône de rayon R à un endroit défini. Ensuite, le centroïde

( ),C Cη φ du cône est calculé en faisant la moyenne pondérée par l’énergie transverse du η et du

φ de toutes les particules contenues dans le cône.

Ce point ( ),C Cη φ est utilisé comme centre d’un nouveau cône de rayon R. Le processus est itéré

jusqu’à ce que le centre du cône coïncide avec le centroïde du cône. Quand un cône stable a été

30

déterminé, il ne reste plus qu’à calculer les paramètres du jet en utilisant un modèle de recombinaison. Bien sûr, plutôt qu’utiliser des particules proprement dites, cet algorithme peut aussi utiliser des dépôts d’énergie provenant du détecteur.

Naïvement, cet algorithme semble extrêmement simple car il suffit de choisir un rayon pour le cône, un modèle de recombinaison et de balayer le détecteur pour trouver tous les cônes stables. En pratique, cet algorithme est incomplet. Le début de l’algorithme pose problème car il est difficile de savoir où mettre le premier cône. Alors que les jets reconstruits par l’algorithme dépendent de l’emplacement de ces cônes initiaux.

Une première solution est de mettre un cône initial partout où cela est possible. Par exemple au centre de chacune des tours calorimétriques. Evidement cette solution nécessite un temps long de calcul. Afin de diminuer le nombre de cône initiaux, et donc de diminuer le temps de calcul, la notion de graine (seed) a été introduite. Plutôt que de mettre un cône initial sur chaque tour, seules les quelques tours qui ont une énergie supérieure à une certaine valeur portent un cône initial. Ces tours sont appelées seeds. Il y a donc deux variantes possibles de l’algorithme cône : cône avec seeds et cône sans seeds.

Il existe un autre problème inhérent à la famille cône. Il est tout à fait possible que deux cônes se superposent, ce qui implique qu’un dépôt d’énergie ou qu’une particule soit simultanément inclus(e) dans deux cônes. Dès lors, l’énergie du dépôt/de la particule est compté(e) deux fois( une fois dans chaque jet). Afin d’éviter ce double comptage, une dernière étape du fusion/division est rajoutée à l’algorithme.

Les cônes qui partagent plus qu’une fraction fixée f de leur énergie, en général 50%, sont fusionnés pour ne former qu’un seul jet, tandis que les autres sont divisés en deux. Les dépôts d’énergie/particules se trouvant dans le recouvrement sont associés au jet le plus proche dans l’espaceη φ− .

2.7- Les algorithmes de regroupement

Le principe de l’algorithme de regroupement est très simple et semble assez naturel. Il consiste à prendre les deux particules/dépôts les plus proches, au sens d’une certaine distance, et à les fusionner. Les deux particules sont donc remplacées par une particule. En général, le modèle E est utilisé pour combiner/fusionner les particules. Cette recombinaison est itérée tant qu’il reste des particules proches l’une de l’autre, c’est-à-dire, tant que la distance entre deux particules est en dessous d’un certain seuil.

Un grand avantage des algorithmes de regroupement est qu’un dépôt/une particule ne peut être associé(e) qu’à un seul jet, ce qui évite tous les problèmes de recouvrement de jets et donc la complication de l’algorithme à cause de l’étape fusions/divisions des jets. Dans la section

suivante, Tk , l’algorithme de regroupement le plus utilisé, sera détaillé.

31

2.7.1- L’algorithme Tk

Contrairement à l’algorithme MidPointCone, aucun clustring n’est nécessaire avant de lancer

l’algorithme. En effet, l’algorithmeTk commence avec une lise de preclusters qui ne sont rien

d’autre que des dépôts calorimétriques, des particules ou des partons. Au niveau du détecteur, à chaque precluster est associé un quadrivecteur d’énergie-impulsion en supposant que la particule est non-massive :

( ) ( ), 1,cos sin ,sin sin ,cosE p E φ θ φ θ θ=ur

(2.4)

Où E est l’énergie associée au precluster de position angulaire( ),θ φ .

Pour chaque precluster, calculons encore 2 .Tp et y

2 2 2 2 2sin

1ln

2

T x y

z

z

p p p E

E py

E p

θ= + =

+=−

(2.5)

L’algorithme, détaillé à la Fig. 2.5, commence avec deux listes : une liste avec les preclusters et une liste vide qui contiendra les jets.

1. Pour chaque precluster i dans la liste calculons 2

,i T id p=

Pour chaque paire (i,j) de preclusters ( )i j≠ , calculons

( ) ( ) ( )2

2 22 2 2, , 2

min , ijij T i T j ij i j i j

Rd p p avec R y y

Dφ φ

∆= ∆ = − + −

Où 1D ≅ est un paramètre de l’algorithme.

Si 21 1,ij ijD et R d= ∆ < est le carré de l’impulsion transverse relative minimale ( Tk )

d’un vecteur par rapport à l’autre.

2. Le minimum parmi tous les i ijd et d est recherché et est notémind .

3. Si mind est un ijd , les preclusters i et j sont retirés de la liste et remplacés par un

nouveau precluster de quadri-impulsion ( ),ij ijE puur

.

ij i j ij i jE E E et p p p= + = +uur uur uur

32

4. Si mind est un id , le precluster i correspondant n’est plus fusionnable, car il n’y a pas

d’autre precluster à proximité de lui. Il est donc retiré de la liste des preclusters rajouté à la liste des jets.

5. S’il reste des preclusters dans la liste, l’algorithme recommence à partir de l’étape 1.

Figure 2.5- Diagramme de l'algorithme kt

Par construction, l’algorithme produit une liste de jets qui sont séparés par une distance supérieure à D dans le planη φ− . Des variantes de cet algorithme existent, mais en général, seul

33

le modèle de recombinaison et la manière de terminer l’itération change. Le modèle de recombinaison E est généralement utilisé pour sa simplicité.

Il y a deux manières d’arrêter le processus itératif de l’algorithme :

1. La méthode inclusive qui a été détaillée précédemment. L’algorithme continue jusqu’à ce qu’il n’y ait plus aucun preclusters dans la liste. L’algorithme ne dépend dès lors que d’un seul paramètre D, qui est l’équivalent du paramètre R dans les algorithmes de la famille cône.

2. Une autre manière est la méthode exclusive, où un nouveau paramètre cutd est introduit.

L’itération continue tant quemin cutd d< . Lorsque cette condition n’est plus vérifiée,

l’algorithme s’arrête, et tous les preclusters restant avec 2,T i cutp d> sont considérés comme

de jets durs provenant de l’interaction. Ce nouveau paramètre cutd peut être constant ou

éventuellement (re)calculé événement par événement en fonction des propriétés des preclusters. Il est aussi possible d’utiliser le mode exclusif pour reconstruire exactement N jets. L’itération s’arrête donc lorsqu’il ne reste que N jets.

Notons aussi que par construction, l’algorithme est insensible aux effets infrarouges et colinéaires. La Fig. 2.6 montre, sur un exemple simple, ce que l’algorithme fait à chaque étape. Notons que l’algorithme, qui a été détaillé ci-dessus, n’est pas optimisé ; en effet à chaque étape,

tous les i ijd et d sont recalculés, alors qu’une grande partie de ceux-ci n’a pas changé, par

exemple les kld avec k et l deux preclusters qui n’ont pas changé à l’étape précédente. Dans la

version optimisée, seul un id est recalculé, et N ijd si N est le nombre de preclusters.

2.7.2- Les preclusters :

Comme cela a été dit précédemment, l’algorithme commence avec une liste de preclusters indépendamment du niveau d’observation ou du détecteur. Mais les preclusters, eux, en dépendent forcément. Idéalement, les preclusters devraient être indépendants à la fois du détecteur et du niveau d’observation. En pratique, cette indépendance est très difficile à atteindre. Par exemple, si une particule atteint le calorimètre entre deux tours, deux dépôts d’énergie seront mesurés. Un autre exemple est la situation contraire : si deux particules colinéaires atteignent le calorimètre sur la même tour, un seul dépôt d’énergie sera mesuré.

Les preclusters au niveau du détecteur sont donc choisis de façon à diminuer autant que possible les effets du détecteur : bruit électronique, granularité, répartition de l’énergie entre les deux calorimètres, etc.

34

Figure 2.6- Itération de kt sur un exemple simple. Les flèches blanches représentent les preclusters, tandis que les noires

représentent les jets. L’astérisque labelle les preclusters intéressants à chaque étape.

2.7.3- L’algorithme anti- Tk

Le principe de cet algorithme est le même que celui de l’algorithme Tk sauf que dans celui-ci la

recherche séquentielle commence à partir des objets ayant une haute impulsion transverse. Le

principe de fonctionnement de l’algorithme anti-Tk est le suivant :

Pour chacun des éléments de la liste des préclusters, la grandeur id :

2,

1i

T i

dp

=

Avec ,T ip l’impulsion transverse de l’élément i.

Pour chaque couple i, j on détermine ,i jd tel que :

( ) ( )2

2 222 2 2

, ,

1 1min , ij

ij ij i j i jT i T j

Rd avec R y y

p p Dφ φ

∆= ∆ = − + −

Le minimum mind parmi tous les id et ,i jd est recherché.

On se retrouve alors face à deux cas :

- Si le minimum est un id : l’élément i est retiré de la liste et est considéré comme un jet

car son impulsion transverse est grande et il est suffisamment éloigné des autres objets.

35

- Si le minimum est un ,i jd : les éléments i et j sont regroupés et remis dans la liste

ensemble.

Le processus se poursuit jusqu’à ce que la liste des préclusters soit vide.

2.7.4- L’algorithme de Cambridge-Achen (CA) :

L’algorithme CA est une variante de l’algorithmeTk , la recherche séquentielle ne prend pas en

compte les quadri-impulsions des objets dans la liste, elle est basée seulement sur les distances géométriques concernant les objets.

L’algorithme CA sera l’objet d’étude dans le cadre de ce mémoire.

Nous pouvons écrire les algorithmes cités précédemment en un seul bloc, en introduisant un paramètre n qui nous permettra de les distinguer.

2,n

i T id p=

( )2

2 2, , 2

min , ijn nij T i T j

Rd p p

D

∆=

(2.6)

Avec 1,0,1n = −

Pour :

- 1n = − les formules ci-dessus correspondent à l’algorithme anti- Tk

- 0n = l’algorithme correspondant est CA.

- 1n = les formules correspondent à l’algorithmeTk

36

CHAPITRE

Introduction :

Dans ce chapitre nous allons étudier la cinématique d’un gluon issu d’un état final hadronique lors d’une collision leptonique. Nous nous pencherons plus exactement sur l’étude d’une variable cinématique qu’est l’impulsion transverse, qui sera l’objet de cette étude durant ce mémoire, et son changement lors de ce processus.

3.1- Une estimation analytique pour les corrections de hadronisation :

Pour être concret, choisissons un processus et une observable. Considérons une production de jet

unique et inclusif proche de la limite partonique dans une collision leptonique(e e qq+ − → ).

Définissons un seuil dans lequel l’impulsion transverse est ajustée à l’échelle �� = 2�� √�� et qui

s’approche d’une limite cinématique�� = 1, alors toute l’énergie des collisions est convertie en impulsion transverse. Nous prendrons en compte la distribution en rapidité, qui est une bonne approximation dans la limite des valeurs nulles de la distribution des rapidités [5]. Nous travaillerons alors dans le repère de centre de masse partonique, et nous placerons le jet trigger à une rapidité nulle.

Dans l’approximation au niveau de Born nous avons la cinématique suivante :

�� = √�2 �1,0,0,1�

�� = √�2 �1,0,0, −1� ����� = ���1,1,0,0� �� = �� = ���1, −1,0,0�

(3.1)

3 Calcul analytique des corrections d’hadronisation : Emission d’un gluon unique

“ Nous sommes tous ignorants. Mais nous n'ignorons pas tous les mêmes

choses. ”

Albert Einstein

37

Où :

Pj est la quadri-impulsion du jet trigger et Pt son impulsion transverse

Pr est la quadri-impulsion du jet de recul.

Dans l’approximation au niveau de Born les deux jets correspondent à des particules sans masse ce qui nous permet d’écrire :

�� = √�2 (3.2)

Considérons maintenant le changement en �� induit par l’émission d’un gluon soft. On doit considérer séparément deux scénarios alternatifs : L’un où l’émission du gluon soft est recombinée par l’algorithme de reconstruction du jet avec le parton dur associé avec le jet trigger ou elle ne l’est pas, dans ce cas le jet mesuré reste sans masse dans cet ordre.

Le modèle de recombinaison que nous choisissons ici est le modèle utilisé communément dans l’étude des jets au Tevatron, connu sous le nom du « modèle E », ou la quadri-impulsion du jet est obtenue par l’addition des quadri-impulsions de ses partons constituants.

Dans ce cas où la recombinaison a eu lieu, la cinématique de l’état final devient :

�� = ����� + ��, ��, 0,0� �� = ���1, −1,0,0�

(3.3)

Où le jet trigger a maintenant une masse, tandis que le jet du recul reste un parton dur sans masse.

En utilisant la conservation d’énergie on a :

�� + ���� + �� = √� (3.4)

En développant au premier ordre en ��(depuis que le gluon recombiné avec le jet a été considéré

comme soft)

�� = √�2 �1 − ��� � (3.5)

38

Le changement en �� dans l’approximation au niveau de Born est donné par :

���!�"� = − ��2� = ��. "√� (3.6)

Où l’indice + désigne le cas ou le gluon est recombiné avec le jet, et nous écrivons la masse du jet comme �� = ��� + "�� = 2��. "

Avec �� la quadri-impulsion du parton dur sans masse initiant le jet, et k celui du gluon soft.

Quand le gluon n’est pas recombiné, le système de recul est massif et de façon similaire on trouve :

���$�"� = − ��2� = ��. "√� (3.7)

Où ��désigne la quadri-impulsion du parton dur sans masse ayant subi un recul contre le jet trigger.

Paramétrant la quadri-impulsion du gluon soft comme suit :

"% = "��cosh * , cos + , sin + , sinh *� (3.8)

Où "� , * �. + sont respectivement l’impulsion transverse, la rapidité et l’azimut définis par rapport à l’axe de collision, il est facile de voir qu’au premier ordre dans les petites valeurs de "� on a :

���±�"� = "�2 �cosh * ± cos +� (3.9)

Pour obtenir la valeur moyenne du changement en �� due aux émissions soft, on multiplie (9) par la probabilité d’avoir une émission d’un gluon soft et on intègre sur l’espace des phases.

Dans l’approximation eikonal, qui est appropriée aux émissions soft, la probabilité (éléments de matrice au carré) pour une émission d’un gluon avec une impulsion " par un ensemble de partons

39

durs d’impulsions �0 peut-être exprimée comme la somme sur les contributions de tous les dipôles de couleurs possibles

| |� = | 2|� 3 40�50��"��0,�� (3.10)

Où la somme est sur tous les dipôles.

50��"� est un facteur cinématique donné par :

50��"� = 67�8�,0��2 9 �0����0. "���� . "� (3.11)

Où 67 est défini dans le modèle de Bremsstrahlung[24], et son argument est une quantité

invariante 8�,0�� = 2 �:;.<��:=.<�:;:= , qui n’est rien d’autre que l’impulsion transverse par rapport à

l’axe du dipôle, dans le repère du dipôle au repos.

Dans notre cas, nous avons un seul dipôle formé par le jet de recul et le jet trigger. L’expression (3.10) prend la forme suivante :

| |� = | 2|� 4>5� ��"� (3.12)

En assemblant tous ces résultats on peut exprimer le changement moyen de l’impulsion transverse du jet comme suit :

( )( ) ( )

,( )( )

2 2i js t ij

t F t t t

i j

PPdP C dk k d P k

P k P k

α κφδ η δπ π

=⋅ ⋅∫ (3.13)

Où nous avons effectué l’intégration sur l’espace des phases du gluon soft et nous avons défini :

( ) ( ) ( )t t in t outP k P k P kδ δ δ+ −= Θ + Θ (3.14)

Avec inΘ qui est égale à un lorsque le gluon est à l’intérieur du jet et elle est nulle s’il est en

dehors du jet. Pour extraire la partie de la contribution soft qu’on peut associer avec les effets

40

d’hadronisation non-perturbatifs, t hPδ , on considère simplement dans l’équation 3.12 la région

,t ij Iκ µ< , avec Iµ l’échelle de factorisation infrarouge. La constante de couplagesα , qui est

divergente dans cette région, est maintenant remplacée par une quantité universelle, définie non-perturbativement. En outre il faut retirer la contribution à l’équation 3.12 qui serait incluse dans les contributions perturbatives à un ordre fixé, de sorte que l’on obtient le terme de l’hadronisation pure, qui peut être combiné avec la théorie des perturbations à un ordre fixé sans double comptage.

Dans l’équation (3.13) on remplace alors le couplage sα par ( ) ( ) ( )PTs t s t s tδα κ α κ α κ= − , avec

( )PTs tα κ le couplage perturbatif standard.

Notons qu’au niveau des calculs dans le cas d’une émission d’un seul gluon, tous les algorithmes de reconstruction des jets sont identiques, de sorte que le gluon soft est associé avec le parton dur

(et 1inΘ = ) si 2 2 2Rδη δφ+ < . Dans notre situation nous avons fixé le jet trigger à 0η φ= = , le

gluon est dans le jet si2 2 2Rη φ+ < .

D’après ce qui a été mentionné précédemment on peut écrire :

( )( )( ) ( ) ( )( ),( )

2 2i js t ij

t F t t t in t outhi j

PPdP C dk k d P k P k

P k P k

δα κφδ η δ δπ π

+ −= Θ + Θ⋅ ⋅∫ (3.15)

Pour évaluer l’intégrale ci-dessus nous devons d’abord calculer l’expression de l’impulsion transverse par rapport à l’axe du dipôle :

( )( )( )

2,

22

i j

t ijij i j

P k P k

W P Pκ

⋅ ⋅= =

⋅

( )( )

( )2, 2

j r

t jr

j r

P k P k

P Pκ

⋅ ⋅=

⋅ (3.16)

Remplaçons dans l’équation précédente les expressions de ,j rP P et k pour aboutir au résultat

suivant :

( )2 2 2 2, cosh ( ) cos ( )t jr tkκ η φ= − (3.17)

41

Pour exprimer l’intégrale précédente en fonction de l’impulsion transverse définie par rapport à l’axe du dipôle, effectuons le changement de variable suivant :

( )

( ) ( )

2 2

32 22 2 2

cosh ( ) cos ( )

cosh ( ) cos ( ) cosh ( ) cos ( )

t t t t

t t tt

t

d k dk

d ddk

k

κ κ η φ

κ κ κη φ η φ

= −

= =− −

( )3

2 2 2cosh ( ) cos ( )

tt

ddk

κ

η φ=

−

(3.18)

En remplaçant aussi les expressions de t tP et Pδ δ+ − on obtient :

( )( )

( )(

( ) )

32 2 2

cosh( ) cos( )4

cosh ( ) cos ( )

cosh( ) cos( )

Ft I inh

out

C d dP

η φδ µ η φπ η φ

η φ

= − − Θ +−

+ − Θ

∫A

(3.19)

Où ( )IµA est définie comme suite :

( ) ( )

0

1 I

I t s tdµ

µ κ δα κπ

= ∫A (3.20)

L’intégration sur la direction du gluon soft peut être effectuée en faisant un changement de coordonnées dans le planη φ− , ainsi nous avons les nouvelles variables suivantes :

2 2 2

1tan

ρ η φηαφ

−

= +

=

(3.21)

42

L’intégrale devient :

( )( )

((

) ( ))( )

( )((

) ( ))

32 2 2

2 2

32 2 2

2 2

cosh( cos( ))4

cosh ( cos( )) cos ( sin( ))

cos( sin( ))

cosh( cos( ))4

cosh ( cos( )) cos ( sin( ))

cos( sin( ))

Ft Ih

in

FI

out

C d dP

R

C d d

R

ρ ρ αδ µ ρ απ ρ α ρ α

ρ α ρ

ρ ρ αµ ρ απ ρ α ρ α

ρ α ρ

= − −−

+ Θ −

− −−

+ Θ −

∫

∫

A

A

(3.22)

Ecrivons l’expression précédente sous la forme suivante :

in out

t h h hP P Pδ δ δ= +

(3.23)

Où :

( )( )

((

) ( ))

32 2 2

2 2

cosh( cos( ))4

cosh ( cos( )) cos ( sin( ))

cos( sin( ))

in FIh

in

C d dP

R

ρ ρ αδ µ ρ απ ρ α ρ α

ρ α ρ

= − −−

+ Θ −

∫A

(3.24)

et

43

( )((

) ( ))

32 2 2

2 2

( ) cosh( cos( ))4

cosh ( cos( )) cos ( sin( ))

cos( sin( ))

out FIh

out

C d dP

R

ρ ρ αδ µ ρ απ ρ α ρ α

ρ α ρ

= − −−

+ Θ −

∫A

(3.25)

Développons l’intégrant en série(le développement s’effectue sur la variable radiale), pour évaluer les expressions précédentes :

( ) ( ) ( )3

5 2 2125 171cos(4 )1 5cos(2 )( )

4 2 24 5760in F

I inh

CP d d R

α ρα ρδ µ ρ ρ α ρ ρπ ρ

+= − − + + Ο Θ −

∫A

et :

( )

3

35 2 2

2 5cos(2 ) (5 7cos(4 ))( )

4 2 160

( 1323cos(2 ) 869cos(6 ))( )

241920

out FIh

out

CP d d

R

α α ρδ µ ρ ρ απ ρρ

α α ρ ρ ρ

+= − − +

− −+ + Ο Θ −

∫A

Effectuons l’intégration des deux termes :

( ) ( ) 35

0

125 171cos(4 )1 5cos(2 )( )

4 2 24 5760

Rin F

Ih

CP d d

π

π

α ρα ρδ µ ρ ρ α ρπ ρ

+

−

+= − − + + Ο

∫ ∫A

57( ) 5

( )4 576

in F It h

C RP R R

µ πδ ππ

−= + + Ο

A (3.26)

( )sin( )

30

35

2 5cos(2 ) (5 7cos(4 ))

4 2 160

( 1323cos(2 ) 869cos(6 ))( )

241920

out FIh

CP d d

παπ

π

α α ρδ µ ρ ρ απ ρ ρ

α α ρ ρ

+

−

+= − − +

− −+ + Ο

∫ ∫A

44

( ) ( )3 725600 214

4 1228800out F

Ih

R RCP

R

ππδ µπ

− − = − +

A (3.27)

En assemblant les termes calculés ci-dessus on obtient :

3 5 791 5 7

( ) ( )4 192 2304 1638400t F Ih

R R R RP C R

Rδ µ

= − − + − + + Ο

A (3.28)

Notons que nous aurions pu utiliser la propriété suivante des fonctions étapes :

( ) ( ) 1in outk kΘ + Θ = (3.29)

Et remplacé ( )out kΘ par son expression dans l’équation (3.14) comme dans [14], seulement nous

aurions rencontré une divergence au niveau de l’intégrale dans la partie ne contentant pas la fonction étape et il aurait fallu introduire un cut-off pour supprimer cette divergence. Nous avons choisi d’utiliser les fonctions étapes car les calculs sont directs et simples, le seul inconvénient c’est qu’ils sont longs.

Au premier ordre l’équation (3.28), qui exprime la moyenne du changement de l’impulsion transverse dans la région non-perturbative (hadronisation), vraie en fonction de 1/ R qui est le terme dominant, terme qui reflète le fait que, comme le jet est étroit, le manque, du à

l’hadronisation, en tP augmente et ce qui explique aussi le signe négatif du terme dominant.

Remarquons aussi le coefficient du terme linéaire en R est numériquement inférieur de 25% par rapport au coefficient du terme en 1/ R, ceci veut dire que le comportement en 1/ R devrait être une bonne approximation du résultat total sur une large gamme des valeurs de R.

L’absence du terme 2R [14] montre que ce processus est une hadronisation pure, et que les événements sous-jacent n’interviennent pas dans des collisions lépontiques.

3.2- Conclusion :

Nous avons vu dans ce chapitre que la moyenne du changement de l’impulsion transverse est une quantité qui nous permet de tirer un bon nombre d’informations, nous avons vu que cette dernière varie en fonction de R et qu’à l’ordre dominant dans une collision lépontique le terme en 1/ R caractérise une hadronisation.

45

CHAPITRE

Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps étudier la cinématique d’un gluon qui subira par la suite une désintégration en deux autres gluons soft fils et introduirons un nouveau formalisme, formalisme de Sudakov, qui nous permettra de faciliter les calculs auxquels nous ferons face. Enfin nous appliquerons l’algorithme de CA pour déterminer le changement de l’impulsion transverse dans le cas d’une émission de deux gluons.

4.1- Cinématique et dynamique de l’émission d’un gluon :

Commençons d’abord par introduire certaines formules et notations qui vont nous permettre de faciliter les calculs [20]. A cette fin introduisons les vecteurs de Sudakov définis par rapport à la direction du jet trigger, qui lui-même est considéré comme étant à quatre-vingt-dix degrés par rapport à l’axe de collision comme cas limite :

� = √�2 �1,1,0,0� �? = √�2 �1, −1,0,0�

(7.1)

Et on paramètre le vecteur quadri-impulsion du parton émis comme dans [20] :

"0 = 60� + @0�? + "�0

(7.2)

Avec "�AAAB l’impulsion transverse par rapport à la direction du jet.

4 Calcul analytique des corrections d’hadronisation : Emission de deux gluons

46

Pour des patrons sans masse nous avons "0 = 0 ou 60@0 = "�0² /�. Nous négligeons aussi l’effet de recul des partons durs contre les impulsions des partons soft, nous pouvons identifier � et �? avec les quadri-impulsions des partons durs à l’état final.

Nous allons aussi avoir besoin de la valeur de ��� due à l’émission des partons soft trouvée dans le chapitre précédent, où nous avons montré que les partons émis sont recombinés avec le parton

dur trigger et contribuent à ��� en prêtant la masse �� au jet. Les partons soft non recombinés

avec le jet prêtent de la masse au jet ayant subi un recul impliquant le recul de parton dur qui n’est pas trigger.

Nous avons :

��� = �� − √�2 = −� ��2√� + ��2√�� (7.3)

Exprimons l’équation (4.3) en fonction des paramètres de Sudakov définis plus haut :

��2√� = 12√� �� + 3 "00∈� �� = √�2 3 @00∈� (7.4)

Où la somme est sur toutes les recombinaisons avec le parton dur trigger, pour former le jet trigger, et nous négligeons tous les termes quadratiques de l’impulsion transverse du parton soft émis incluant ceux qui donnent un recul négligeable au parton dur.

La masse du système de recul est également donné par :

��2√� = √�2 3 600∈� (7.5)

Où la somme est sur toutes les non-recombinaisons avec le jet j. Nous allons utiliser ces résultats dans les sections qui suivent.

4.1.1- Calcul de tPδ avec la désintégration d’un gluon :

Ici nous allons considérer le changement en �� dérivé plus haut, ensemble avec les éléments de matrice pour la production et la désintégration d’un gluon pour obtenir la moyenne de ��� Nous considérons le cas d’une émission à deux boucles Ο�67�� et par conséquent nous aurons besoin de prendre en compte l’émission d’un gluon unique, et sa correction virtuelle ainsi que l’émission de deux partons corrélés.

47

Pour être précis on peut écrire [20,21] :

( ) ( ){ }22

2 2

2 1 2

²0 4

4 Γ ( , )4 2!

tFt s t

t

sF t

d kC dP k

k

MC d P k k

αδ α πχπ π α

α δπ

= + +

+

∫

∫

(7.6)

Où le premier terme représente la contribution de l’émission d’un gluon sans masse réel et la correction virtuelle à une émission unique parG. Le second terme est la contribution de l’émission de deux partons corrélés avec le carré de l’élément de matrice au carré � de la désintégration d’un gluon, contenant à la fois la désintégration d’un gluon en une paire de gluons ainsi que la contribution Abélienne à partir d’un branchement de gluon à une paireHH?.

IΓ�Est l’espace de phase de phase de désintégration et ����"�, "�� est le changement en �� induit par l’émission de deux partons.

Il faut mentionner que l’expression (4.6) est en fait un résultat de deux boucles vêtues, où un ensemble infini de graphiques d’ordre supérieur perturbatif sont implicitement intégrés dans le propagateur du gluon. Ces graphiques, sont au moins dans la limite Abélienne [9], qui conduisent à l’échelle de couplage de la virtualité du gluon "� appelant de ce fait les contributions non-

perturbatives de la région infrarouge"�~ΛMNO� . Puisque pour un gluon réel la virtualité "� est

nulle, on a la quantité, dont le comportement est inconnu dans cette région, 67�0� apparaissant ci-dessus, tandis que dans le cas de la désintégration d’un gluon l’argument de 67est "� = P².

D’abord nous tentons de traiter ��� comme une quantité inclusive, ce qui correspond au traitement fait dans le chapitre précédent. Ensuite nous identifions qu’il y a des corrections non-nulles nécessaires pour le traitement inclusive que nous allons calculer. A cette fin nous écrivons :

����"�, "�� = ����"�, "�� + ����"� + "�� − ����"� + "�� (7.7)

Où le terme ����"� + "�� correspond à un traitement inclusif où la véritable valeur de ����"�, "�� est remplacée par la valeur de ��� qui serait obtenue juste en considérant l’émission d’un gluon parent massif "� + "� avec �"� + "��� = P²

Remplaçons (4.7) dans (4. 6) :

48

( ) ( ){ }

( )

22

2 2

2 1 2

²0 4

4 Γ4 2!

tFt s t

t

nisF t t

d kC dP k

k

MC d P k k P

αδ α πχπ π α

α δ δπ

= +

+ + +

∫

∫

(7.8)

Où nous avons séparé la correction non-inclusive de l’approximation inclusive telle que :

⟨���⟩ST = 44> V W6749X� IΓ� �2! Z����"�, "�� − ����"� + "��[

(7.9)

Pour ce qui suit nous aurons besoin de l’espace des phases pour deux partons (désintégration d’un gluon) :

IΓ��"�, "�� = \ I6060I�"�09 = I66 I²"�9 I�H9 ]�1 − ]�I]�

0�� (7.10)

Avec 6 = 6� + 6� paramètre de Sudakov défini précédemment, "�AAAB = "��AAAAAB + "��AAAAAB impulsion transverse du gluon parent massif, z la fraction 6�/6 et q l’angle transverse relatif de la paire. Ainsi nous avons :

6� = ] 6 6� = �1 − ]�6 "�AAAB = "��AAAAAB + "��AAAAAB HB = <^_AAAAAAB` − <^a�$`AAAAAB

A partir des expressions ci-dessus on peut exprimer la masse du gluon parent comme suit :

P² = ]�1 − ]�H² (7.11)

Ce qui nous permet d’écrire :

IΓ��"�, "�� = \ I6060I�"�09 = I66 I�"�9 I+29 IP²I]�

0�� (7.12)

Où + est l’angle entre HB et "�AAAB

49

Notons que la quantité � est invariante sous les boosts dans la direction longitudinale impliquant son indépendance de la variable6 , ce qui nous permet d’effectuer l’intégral sur 6 explicitement.

Définissons le résultat de l’intégral 6 par une fonction trigger Ω nous pouvons écrire la partie inclusive comme suit :

( ) ( ){ }2 20 t2

2 222

0 t

²0 4 Ω (k )

4 ² Ω (k m²)4 2! 2

i tFt s t

t

s tF

d kCP k

k

d kM dC dm dz

δ α πχπ π

α φπ π π

= + +

+ +

∫

∫

(7.13)

Avec la fonction trigger qui devient :

Ω2�kd� + m�� = V I66 ����6, @ = �kd� + m²�/sα���gha!i²�/j (7.14)

Similairement pour Ω2�kd�� qui correspond à l’émission d’un gluon réel sans masse, et l’indice supérieur i désigne la partie inclusive. Dans ce qui a précédé nous avons utilisé le fait que ��� dépend de 6 et de @ et que

@ = �kd� + m²�/sα dans le cas massif et �kd��/sα dans le cas d’une émission réelle sans masse.

Pour une contribution non-inclusive une fonction trigger peut-être définie comme suit :

⟨���⟩TS = 44> V W6749X� �2! I�"�9 I+29 IP²I]Ωkl (7.15)

Avec :

Ωkl = V I66 �����"�, "�� − ����"� + "�����gha!i²�/j (7.16)

Nous examinerons d’abord les termes impliquantΩ2, les fonctions trigger pour des émissions massives et des émissions de gluon unique sans masse, et ensuite nous nous focaliserons sur les termes non-inclusifs.

50

4.2- Calcul dispersif :

Dans cette section nous allons montrer comment les principaux termes non-perturbatifs peuvent-être extraits en utilisant la représentation dispersive du couplage mobile [18].

Nous commençons par le traitement inclusif, ensuite nous calculons les fonctions trigger pertinentes et nous finirons par le terme de désintégration du gluon non-inclusif.

4.2.1- Résultat naïve et correction inclusive :

Considérons les termes dans (4.13) impliquant Ω2�kd�� et Ω2�kd� + m²�, l’intégral de l’élément de matrice de désintégration � à une valeur fixe de "�donne [20,21] :

2 22

2 2 2 2

02 2 40

²4 2! 2

( )²2 ln

²( ) 4

s t

s t tA

t

d kM ddm dz

k m kdmC

m m k m

α φπ π π

α βπ

∞

=

+ − + +

∫

∫

(7.17)

Qui contient un terme proportionnel à @2 ainsi qu’un terme singulier ou la singularité est associée à la division collinaire du gluon. Dans ce que nous avons écrit ci-dessus nous avons fait usage, comme dans les références [18,20,21], de la convergence ultraviolette de l’intégral afin d’étendre la limite supérieure à l’infini de l’intégration sur m², puisque nous sommes concernés ici par la région infrarouge "�, P~Λmno. La singularité colinéaire s’annule avec une autre semblable dans

la fonction G[20,21] :

G�"���"�� = V Iμ²μ²�μ� + "���∞2 W6�49X2 r−24stu ".2 Wμ2 + ".2Xμ4 v + 2w W6�49X2

(7.18)

Ici S est une constante qui dépend du régime.

Après avoir intégré sur l’espace des phases de désintégration IΓ�, l’expression (4.13) peut-être écrite comme une somme de deux termes :

0i inc

t t tP P Pδ δ δ= + (7.19)

Décrivons le terme ⟨���⟩x qui s’écrit [21] :

( )( ) ( ) ( )

22 20 2 2 20

0 t22 2

04 Ω k m

4 4st s

t F

t

dm dkP C m

mm k

α β αδ δπ π

= − + + ∫

51

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 2 2 20 t2 2 2

0 0

2 202

0

Ω k m

²Ω m

Q

tFeff

t

Feff

dkC ddm m

dm m k

C dmm

m

απ

απ

∞

∞

−= ++

=

∫ ∫

∫

( ) ( )0 2 202

0

²Ω mF

t eff

C dmP m

mδ α

π

∞

= ∫ (7.20)

Où nous avons écrit y² ≈ � comme limite supérieur de l’intégrale de "�, qui est superflue ici puisque nos résultats finaux proviennent du régime infrarouge.

Le résultat ci-dessus implique aussi le couplage effectif relié à 67 par l’intégral suivant :

67�"��"² = V IP² 6{||�P���P� + "��²}2 (7.21)

De sorte que l’on a :

II ln P² 6{||�P��49 = −@2 W6749X� + ⋯ , 6{||�0� = 67�0� (7.22)

Pour arriver à la dernière ligne de l’équation (4.20) on a substitué 67 par le couplage effectif en utilisant l’équation (4.22) et on a intégré par partie. Le terme correspondant à ⟨���⟩x est celui

produit en ignorant l’effet à deux boucles excepté ceux qui sont inclus par le couplage mobile .Ainsi il correspond au traitement naïf d’un gluon unique et donc sera appelé le terme naïf.

C’est le terme qui est lié à l’étude de l’émission d’un seul gluon dans le chapitre précédent.

Le terme ⟨���⟩TS est un reste de l’annulation des singularités entre la fonction G et la partie divergente colinéaire du résultat de l’intégral de ² [20,21], que nous appellerons correction inclusive du résultat naïf :

⟨���⟩TS� = 84�4s@0 � IP²P² ������a��� �� �k �² � �<aZ�a!<a[ tu <a��a!<a��� Ω0���kd� + m�� Ω0���kd� + m�� ≡ Ω2�kd� + m�� − Ω2�kd��

(7.23)

52

La correction inclusive vient de la différence entre la fonction trigger d’un gluon massif et les fonctions trigger d’un gluon sans masse que l’on note par Ω0�� et est le premier signe des effets à deux boucles qui ne figure pas dans l’utilisation du couplage mobile.

4.2.2- Résultat naïf :

Dans le but de nous focaliser sur la contribution non-perturbative on peut diviser 67 = 67:� + �67

avec �67 une modification non-perturbative à la définition perturbative de 67ce qui entraine la modification du couplage effectif �6{||.

Nous pouvons aussi prendre à la limite des petites valeurs de m² de la fonction trigger Ω2�m²� de sorte que la contribution non-perturbative devient :

⟨��.⟩TS�: = 4>P V IP�P� �6����P2�}2 Ω0Zm²[ (7.24)

La modification non-perturbative �6 doit s’annuler dans la région perturbative de sorte que le couplage 6{|| correspond au couplage perturbatif. Ainsi l’intégral ci-dessus, représentant la

contribution non-perturbative, n’est valide que sur une gamme limitée de m² jusqu’à une valeur ajustée à une échelle perturbative correspondanteμ�. A partir de maintenant nous omettrons de mettre l’indice NP, nous nous référerons toujours à la contribution non-perturbative.

Calculons maintenant la fonction trigger naïve Ω2�kd� + m��dans le but d’évaluer l’intégrale (4.24) ceci est donné par :

Ω2�kd� + m�� = V I66 ����"���gha!i²�/j (7.25)

Où " = "� + "�est l’impulsion transverse du gluon parent massif. En utilisant (4.3) et (4.5) nous avons :

����"� = ���+ + ���−

= − √�2 @Θlk�"� − √�2 6Θ��d�k� (7.26)

Où Θlk et Θ��d sont les fonctions étape indiquant si le gluon est à l’intérieur ou à l’extérieur du jet.

53

Dans tous les algorithmes de reconstruction de jet, le regroupement d’une particule individuelle au parton dur trigger est basé sur le critère de distance�*² + �+², avec �* et �+ les séparations en rapidité et en azimut entre la particule considérée et le parton dur. Dans les petits angles cela est juste�², où � est le petit angle entre le gluon soft et la parton dur déclenché. Ainsi dans le cas d’un seul gluon, le gluon soft est combiné avec le parton dur si �² < �², et il ne l’est pas si la réciproque est vraie.

De plus en utilisant la relation �² = 4@/6 nous avons :

Θ��d�k� = Θ W��� − ��X = Θ �2 �gha!ia

�√7 − 6� (7.27)

Où nous avons utilisé6@ = �kd� + m²�/s, est inversement pour Θlk�"�.

Considérons d’abord Θ��d�k� = 1 , le cas où le gluon n’est pas recombiné avec le jet. La contribution de la fonction trigger est :

Ω2�kd� + m�� = − √�2 V I66 6�gha!iaj Θ �2 �kd� + m��√� − 6� (7.28)

En effectuant l’intégration on arrive à :

Ω2�kd� + m�� = − �kd� + m�� (7.29)

Où nous avons seulement retenu le terme de l’ordre dominant Ο�<� �que nous souhaitons calculer,

négligeant les termes en kd� provenant de la limite inférieure de l’intégrale. Ainsi le comportement en 1/� est associé à l’émission soft quasi-colinéaire tel que 1 ≫ 6 ≫ @ , où 1 ≫ 6 correspond à une émission soft, tandis que 6 ≫ @ est dans le régime colinéaire. Notons que la convergence de l’intégration sur 6 peut-être utilisée pour étendre la limite supérieure de l’intégrale jusqu’à l’infini, tandis que la limite inférieure peut-être posée zéro comme dans [20,21].

Nous avons mentionné que le terme avec le gluon soft recombiné avec le jet,���!, ne contribue pas au résultat de 1/�.

La raison physique pour ceci est simple : la contribution au jet ��� à partir de ce terme est proportionnelle à @, qui disparait dans la limite colinéaire responsable du comportement en 1/�. Ainsi seulement les gluons non-recombinés au jet dur nous donne une correction d’hadronisation variant en 1/�.

54

Remplaçons (4.29) dans (4.24) pour obtenir le résultat naïf :

⟨���⟩x = − 1� 4>29 V IP�P� P �6���ZP2[}2 (7.30)

Ce résultat peut-être écrit sous la forme :

⟨���⟩x = − 2s�� (7.31)

Où nous avons introduit un moment de couplage non-perturbatif s� : s� = 4>29 V IP�P� P �6���ZP2[}

2 (7.32)

4.3- Correction inclusive :

Nous allons traiter le terme de la correction inclusive. Ici la fonction trigger est juste la différence entre l’espace des phases du gluon massif et du gluon sans masse :

Ωlk¡ = − √�2 V I66∞0 Θ �2 �kd� + m��√� − 6�

+ √�2 V I66∞0 Θ ¢2 "��√� − 6£

= − 1� ¤�kd� + m� − "�¥

(7.33)

En substituant (4.33) dans (3.7) et en introduisant �6{||�P�� comme avant, on obtient :

⟨��.⟩0�� = ⟨��.⟩x ¦u§ (7.34)

Avec :

¦�0 = 24@2 V �I�1 + �² ln [���1 + ���]� + �1 + �² ≈ 3.299 4@2∞

2 (7.35)

Où nous avons défini � = "�/P comme dans [20,21]

Nous avons terminé avec les parties naïve et inclusive il ne nous reste plus que la correction non-inclusive.

55

4.4- Correction non-inclusive :

Pour le terme de la correction non-inclusive nous allons suivre un traitement similaire mais avec une fonction trigger appropriée. L’équation (4.15) devient [20,21] :

⟨��.⟩TS = 44> V IP2P2 �6{||�P��49 II ln P²∞

0 ¬V I+29290 V I]1

0 V I"�� P� �2! 1@2 Ωkl­ (7.36)

Où nous avons utilisé l’équation (4.22) et intégré par partie (4.15).

Nous allons nous concentrer sur le terme entre accolades qui nous amène à un comportement linéaire en m correspondant à la première correction non-perturbative (hadronisation). Dans le but de le calculer nous aurons besoin d’évaluer la fonction trigger non-inclusive :

V I66 �����"�, "�� − ����"� + "���}2 (7.37)

Le terme ����"�, "�� représente la contribution de l’émission de deux partons, qui dépend de si les partons fils sont à l’intérieur ou à l’extérieur du jet après avoir appliqué l’algorithme de reconstruction de jet.

4.4.1- Fonction trigger non-inclusive :

Nous allons commencer par examiner l’algorithme de CA. Rappelons brièvement comment cet algorithme fonctionne.

D’abord on calcule la distance I0� entre deux objets i et j , I0� = �*² + �+² , où �* et �+

représentent la séparation entre i et j en rapidité et en azimut mesuré par rapport à l’axe de collision, et nous utilisons aussi 8� l’impulsion transverse par rapport à la direction de l’axe de collision.

Dans l’approximation d’un angle petit qui est appropriée à notre travail, nous avons juste �*� + �+� = �0�� , où �0� qui est l’angle entre i et j. On calcule aussi la distance entre I0® entre chaque

objet et l’axe de collision définie par �², avec R le paramètre de rayon sélectionné.

Ensuite, si I0® est la plus petite parmi les différentes distances, l’objet i est un jet et est supprimé de la liste des objets à être regroupés. Si la plus petite distance est I0�alors i et j sont combinés en

un seul objet et la procédure se répète jusqu’à ce que tous les objets soient supprimés. Le schéma de recombinaison utilisé ici est l’addition des quadri-impulsions de sorte que l’objet résultant de la combinaison de i et de j a une quadri-impulsion�0 + ��.

56

Notons que nous n’avons pas conservé les notations du deuxième chapitre et que nous avons introduit un nouveau paramètre I0®.

Notons à partir des expressions (4.3) à (4.5) que ����"�, "�� est additive sur la contribution de "� et "� : ����"�, "�� = ����"�� + ����"��= ���!�"��Ξlk�"�� + ���$�"��Ξ��d�"��+ ���!�"��Ξlk�"�� + ���$�"��Ξ��d�"��

(7.38)

Où nous avons exprimé ��� en termes de contributions de "� et "� . Nous avons aussi distingué les cas ou les partons fils sont à l’intérieur ou à l’extérieur des jets comme les contributions sont différentes dans les deux cas :

���!�"0� = − √�2 @0 ���$�"0� = − √�2 60

(7.39)

Où ���! exprime la contribution d’un parton recombiné et ���$ pour une émission non-recombinée. Les conditions Ξ lk/��d expriment les contraintes pour les partons d’être à l’intérieur

ou à l’extérieur des jets et ne sont pas aussi simples que les fonctions étape dans le cas d’un gluon individuel, et doivent être obtenues en appliquant l’algorithme complet et en incluant la possibilité de regrouper les partons soft l’un à l’autre.

4.4.2- °±² dans l’algorithme de CA :

Commençons par appliquer l’algorithme de CA à ����"�, "�� dans les différentes situations. Considérons les partons soft "� et "� et leurs distances du patron dur trigger « jet » que nous notons j. A cette fin définissons les fonctions étapesΘ³´ = Θ�R� − �²¶·�, tel que si les deux partons ont une séparation angulaire inférieure à R� la fonction étape est égale à l’unité sinon elle est nulle. Ensuite nous pouvons diviser l’espace des phases entier en des régions déterminées, qui représentent tous les cas possibles pour les séparations angulaires (voir le tableau). Pour chaque ligne du tableau, chacune des combinaisons possiblesΘ³´, il est possible d’obtenir une valeur pour ����"�, "��.

Dans le tableau nous avons écrit ���!!�"�, "�� = ���!�"�� + ���!�"�� pour indiquer la

contribution quand "� et "� sont éventuellement combinés au jet, tandis que ���!$�"�, "��=

57

���!�"�� + ���$�"�� indique la situation où "� est recombiné et "� ne l’est pas. Montrons comment les entrées de tableau sont obtenues.

Le scénario : Θ�� = 1, Θ¸� = 1, Θ¸� = 1, considérons le cas décrit dans la première ligne du

tableau. Les distances dont nous avons besoins pour cette discussion sont les suivantes :

I�® = I�® = �� I�� = �*��² + �+��² I�� = *�� + +�� I�� = *�� + +��

(7.40)

Dans cette situation, il est impossible que les I0® soient les plus petites séparations. Ainsi les

partons "� et "� sont regroupés l’un à l’autre et combinés au jet trigger, et on obtient ���!!

Le scénario : Θ�� = 1, Θ¸� = 1, Θ¸� = 0, on considère la case décrite dans la seconde ligne du

tableau, dans cette situation il est impossible que I0® et I�� soient les plus petites séparations.

Ainsi soit I�� ou I��est la plus petite.

Si I�� est la plus petite alors "� et "� sont regroupés l’un à l’autre en premier. Il en résulte deux sous-scénarios : le jet soft résultant peut tomber à l’intérieur ou à l’extérieur de la porté du parton

dur. Si le jet soft est recombiné avec le parton dur la contribution résultante est���!!, sinon elle est ���$$.

Alternativement si I��est la plus petite séparation, la particule "� est combinée avec le jet en

premier et la particule "� forme un jet séparé. Alors la contribution est ���!$�"�, "��. On peut résumer tout le scénario par le résultat suivant :

Cas I�� < I�� :

����"�, "�� = ΘZI�� − I��[¹ΘZ�� − ��<�[���!! + ΘZ−�� + ��<�[���$$º Où ��<� est l’angle entre le jet soft( le gluon parent) " = "� + "�et le parton dur.

Cas I�� > I�� : dans ce cas la particule "� est associée au jet et la particule "� est laissée à

l’extérieur :

����"�, "�� = ΘZI�� − I��[���!$�"�, "��

Le scénario : Θ�� = 1, Θ¸� = 0, Θ¸� = 1 (troisième ligne du tableau)

58

Ce scénario est le même que le précédent avec "� et "� inter changées.

Le scénario : Θ�� = 1, Θ¸� = 0, Θ¸� = 0. Ici la plus petite quantité est I�� et les partons soft sont

regroupés les uns aux autres en premier. Le jet soft résultant peut-être ou pas recombiné avec le parton dur. Nous avons donc dans cette région :

����"�, "�� = ΘZ�� − ��<�[���!! + ΘZ−�� + ��<�[���$$

Où les fonctions étape spécifient si le parton soft est au sein d’une distance angulaire R du parton dur ou pas.

Les autres scénarios sont résumés dans le tableau avec leur valeurs de ��� Θ�� Θ¸� Θ¸� ����"�, "�� 1 1 1 ���!! 1 1 0 Discuté ci-dessus 1 0 1 Discuté ci-dessus 1 0 0 Discuté ci-dessus 0 1 1 ���!! 0 1 0 ���!$ 0 0 1 ���$! 0 0 0 ���$$

Maintenant nous sommes en mesure d’écrire l’expression de ��� au niveau de deux partons. Nous l’exprimons comme suit :

����"�, "�� = ���!!�"�, "��Θ0��"��Θ0��"��+ ���$$�"�, "��Θ¼½��"��Θ¼½��"��[1 − Θ���"�, "��+ Θ���"�, "��Θ¼½��"�]+ ���!!�"�, "��Θ¼½��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��Θ0��"�+ ���!!�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI��− I��[Θ0��"�+ ���!!�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI��− I��[Θ0��"�+ ���$$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI��− I��[Θ¼½��"�+ ���$$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI��− I��[Θ¼½��"�+ ���!$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[+ ���!$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[+ ���!$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"���1 − Θ���+ ���!$�"�, "��Θ0��"��Θ¼½��"���1 − Θ���

(7.41)

59

Dans l’expression ci-dessus Θ0��"0� = ΘZ�� − �0�� [ et Θ0� + Θ¼½� = 1 montrent si le parton "0 est à l’intérieur ou à l’extérieur d’une séparation � du parton dur, tandis que

Θ�� = Θ��� − ����� est la contrainte des partons soft d’avoir une séparation inférieure à �.

L’expression (4.41) résume le contenu du tableau. Par exemple la somme des éléments se trouvant dans la première et cinquième ligne du tableau n’est que la première ligne de l’expression (4.41).

Nous pouvons aussi écrire l’expression (4.41) en terme de contributions individuelles de "� et "� puisque ��� est additive sur les contributions individuelles des partons :

����"�, "�� = ����"�� + ����"��= ���!�"��Ξlk�"�� + ���$�"��Ξ��d�"��+ ���!�"��Ξlk�"�� + ���$�"��Ξ��d�"��

(7.42)

Où nous avons séparé les contributions de chaque parton fils en ses composantes + et – de sorte que si le parton est recombiné avec le jet ou pas.

Notons que le terme 1/� intéressé se trouve uniquement dans les partons non-recombinés au jet.

Les partons recombinés avec le jet contribuent à ��� par ���!�"0� ∝ @0. L’intégration sur l’espace des phases I6/6 produit seulement des termes réguliers en � comme dans le cas d’un gluon individuel. Ainsi pour calculer le terme 1/� , ����"�, "�� peut s’exprimer comme :

����"�, "�� = ���$�"����d�"�� + ���$�"����d�"�� (7.43)

A partir de l’expression (4.41), on peut déterminer Ξ��d�"�� à partir des termes ou "� n’est pas dans le jet :

Ξ��d�"�� = Θ¼½��"��Θ¼½��"��[1 − Θ���"�, "�� + Θ���"�, "��Θ¼½��"�] + +Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ¼½��"� + +Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ¼½��"� + +Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[ + +Θ0��"��Θ¼½��"���1 − Θ���

(7.44)

60

Expression qui peut-être simplifié en utilisant la propriétéΘ0� + Θ¼½� = 1, on obtient alors :

Ξ��d�"�� = Θ¼½��"��[1 − Θ¼½��"��Θ���"�, "��Θ¼½��"�] + +Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ¼½��"� + −Θ¼½��"��Θ0��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ0��"�

(7.45)

Qui représente toutes les possibilités d’avoir "� à l’extérieur du jet après application de l’algorithme de CA. Nous obtenons, en suivant la même démarche, une expression similaire pour "�.

4.4.3- L’intégrale ¿ : Après avoir déterminé l’expression de ����"�, "�� en utilisant l’algorithme de CA, nous allons effectuer l’intégration sur 6 de l’équation (4.16).

Ωkl = V I66 Z���$�"��Ξ��d�"�� + ���$�"��Ξ��d�"�� − ���$�"�Θ¼½��"�[ = − √�2 V I66 Z6�Ξ��d�"�� + 6�Ξ��d�"�� − 6Θ¼½��"�[

= − √�2 V I6Z]Ξ��d�"�� + �1 − ]�Ξ��d�"�� − Θ¼½��"�[ = Ω� + Ω� − Ω�

(7.46)

Où

Ω� = − √�2 ] V I6{Θ¼½��"��[1 − Θ¼½��"��Θ���"�, "��Θ¼½��"�]+ Θ0��"��Θ¼½��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ¼½��"�− Θ¼½��"��Θ0��"��Θ���"�, "��ΘZI�� − I��[Θ0��"�}

(7.47)

Avec :

Θ¼½��"�� = ΘZ���� − ��[

Nous avons aussi utilisé ���$�"0� = − √7� 60 , avec 6� = ]  et 6� = �1 − ]� Â. Nous donnerons

les expressions de Ω� et Ω�en temps voulu.

61

Afin de calculer cette intégrale nous allons exprimer les angles entre partons en termes des variables de Sudakov. A cette fin nous définissons :

H�AAAB = <^_AAAAAAB` , H�AAAAB = <^a�$`AAAAAB et HB = H�AAAB − H�AAAAB

L’angle entre le parton soft "� et le parton dur j est juste (en supposant60 ≫ @0 , qui est

l’approximation colinéaire) ���� = 4@�/6� = 4 "�,�� /�6�� et similairement nous avons

���� = 4 "�,�� /�6��. Puisque 6� = ]  et 6� = �1 − ]�  nous pouvons écrire :

���� = 4H��/�6² et ���� = 4H��/�6²

L’angle entre le jet soft ", formé par la combinaison de "� et "�, et le parton dur à (toujours dans le cadre de l’approximation colinéaire) est donné par :

�<�� = 4 "��/�6² Et enfin l’angle entre "� et "� est :

���� = 4 H²/�6²

Pour extraire la dépendance en 1/� qui nous concerne effectuons le changement de variable √��6/2 → 6. Ainsi nous écrivons :

Ω� = − 1R z V dα{Θ�q� − α�[1 − Θ�q� − α�Θ�α − q�Θ�α − kd� ]+ Θ�α − q��Θ�q� − α�Θ�α − q�Θ�kd − α�Θ�q�� − q��− Θ�q� − α�Θ�α − q��Θ�α − q�Θ�α − kd�Θ�q�� − q��}= − 1� ]{q�− �min[q�, q�] − max[H, "�]�Θ�min[q�, q�] − max[H, "�]�+ �min[q�, "�] − max[q�, q]�Θ�min[q�, "�]− max[q�, q]�Θ�q�� − q��− �q� − max[q�, q, "�]�Θ�q� − max[q�, q, "�]�Θ�q�� − q��}

(7.48)

Définissons une nouvelle fonction Ψ��� telle que :

��� = ���� (7.49)

Et qui remplit les conditions :

62

ËΨ��� = � �§ � > 0Ψ��� = 0 �§ � < 0

Ce qui nous permet d’écrire Ω�sous la forme suivante :

Ω� = − 1R z{q� − Ψ�min[q�, q�] − max[H, "�]� + Ψ�min[q�, "�] − max[q�, q]�× Θ�q� − q� + Ψ�q� − max[q�, q, "�]� × Θ�q� − q�} (7.50)

On obtient un résultat similaire pour la contribution de ����"��

Ω� = − 1R �1 − z�{q� − Ψ�min[q�, q�] − max[H, "�]� + Ψ�min[q�, "�]− max[q�, q]� × Θ�q� − q� − Ψ�q� − max[q�, q, "�]�× Θ�q� − q�} (7.51)

Et Ω� n’est que la fonction trigger naïve calculé auparavant :

Ω� = − 1R �"�� + P� (7.52)

Le résultat final de la fonction trigger non-inclusive est donné par la combinaison des

termes� , � et � et prend la forme :

Ωkl = − 1R �"�� + "�� − �"�� + P� + ��H�, H�� (7.53)

Introduisons les rapports sans dimensions Í�et Í� : ÍÎAAAB = HÎAAABH

Définissons la fonction de déclenchement ΩÏ�Í�, Í�� de sorte que

Ωkl�H�, H�� = −q/RΩÏ�Í�, Í�� et en additionnant les fonctionsΩ�, Ω� et Ω� on arrive à :

63

ΩÏ�Í�, Í�� = ]Í� + �1 − ]Í�� − �]Í�� + �1 − ]�Í��− Ψ ¤min[u�, u�] − max Ñ1, �]Í�� + �1 − ]�Í�� − ]�1 − ]�Ò¥+ z ¬Ψ ¤min Ñu�, �]Í�� + �1 − ]�Í�� − ]�1 − ]�Ò− max[Í�, 1]¥ × Θ�u� − 1�− Ψ ¤Í� − max Ñu�, 1, �]Í�� + �1 − ]�Í�� − ]�1 − ]�Ò¥× Θ�u� − 1�­+ �1 − z�{Ψ ¤min Ñu�, �]Í�� + �1 − ]�Í�� − ]�1 − ]�Ò− max[Í�, 1]¥ × Θ�u� − 1�− Ψ ¤Í� − max Ñu�, 1, �]Í�� + �1 − ]�Í�� − ]�1 − ]�Ò¥× Θ�u� − 1�}

(7.54)

Où nous avons utilisé les relations suivantes pour certains passages :

@ = @� + @� = kd� + m�sα , @� = kd��sα� = ]�α q��, @� = kd��sα� = 1 − ]�α q�� , m² = z�1 − z�q² Ce qui implique :

�gha!ia�Óa = ]Í�� + �1 − ]�Í�� Après avoir calculé la fonction triggerΩkl, on la remplace dans l’équation 3.20 pour obtenir le

résultat de < ��� >TS . Pour y remédier nous avons besoin d’intégrer sur l’espace des phases de désintégration incluant l’élément de matrice au carré M² décrivant la désintégration du gluon. Les détails de calcul sont mentionnés en appendice et nous obtenons un résultat analogue à l’équation (4.8) de la référence [21] :

⟨���⟩0� = ⟨���⟩2¦�0 (7.55)

où pour l’algorithme de CA nous avons trouvé un résultat pour ¦�0 sous la forme suivante :

¦�0 = 2@2 Z−1.8374 + 0.5154 − 0.087u|[ (7.56)

64

¦�0 = 1@2 Z−3.6744 + 1.0384 − 0.174u|[ (7.57)

Où les termes dans l’expression (4.56) correspondent respectivement aux contributions des gluons soft, gluons durs et aux quarks durs [20,21] .

Les résultats pour les algorithmes kt et anti-kt sont donnés respectivement par [20,21] :

¦�0 = 2@2 Z−2.1454 + 0.6104 − 0.097u|[ (7.58)

¦�0 = 2@2 Z−1.2274 + 0.3654 − 0.052u|[ (7.59)

En combinant le résultat obtenu pour ¦�0 avec celui du terme inclusif (expression 4.34) et avec celui du résultat naïf (expression 4.31) on obtient le résultat total pour les jets définis dans l’algorithme de CA :

⟨���⟩ = −2s�� �1 + ¦0� + ¦�0�

= −2s�� �1.16� (7.60)

Ici nous avons u| = 3 (nombre de saveurs) puisque nous sommes dans une région non-

perturbative.

Comparaison avec les algorithmes de kt et anti-kt :

On présente dans le tableau ci-dessous une comparaison entre les résultats de ⟨���⟩ : Algorithmes Kt CA Anti-kt −⟨���⟩�2s�

1.01 1.16 1.49

4.5- Conclusion

Dans ce chapitre nous avons étudié le changement de l’impulsion transverse dans le cas où nous avons affaire à un gluon qui se divise en deux autres gluons soft, situation où nous avons du avoir recours à l’algorithme de CA pour calculer la moyenne du changement de l’impulsion transverse.

65

CHAPITRE

A la fin de chaque chapitre nous avons présenté une conclusion. Dans le présent chapitre nous allons essayer de faire une synthèse des points importants à partir de l’étude présentée dans ce mémoire.

Du à l’environnement complexe présente dans les grands collisionneurs, comme le LHC, de nouvelles découvertes en physique ne sont réalisables sans la compréhension détaillée du modèle standard et de la QCD, en particulier les interactions fortes qui constituent en grande partie toutes les interactions possibles. Au LHC la compréhension de la QCD est accessible via l’étude des jets, qui sont le produit final des interactions fortes et qui occupent une place importante au sein de ce collisionneur.

L’état final hadronique dans les collisions e+e- fournit un champ d’étude parfait pour tester la QCD perturbative, en particulier sa structure de jauge avec les facteurs de couleur du quark CF et du gluon CA ainsi que l’évolution du couplage fort.

L’impulsion transverse Pt possède des caractéristiques remarquables ce qui la rend idéale pour des analyses perturbatives et non-perturbative.

La production de jets hadroniques est un outil privilégié pour la mesure d’une multitude de

paramètre comme la constante du couplage fort et la constante universelle0α . Bien évidemment

l’étude de ces jets se fait à travers des algorithmes, appelés algorithmes de reconstruction de jets. Ces algorithmes jouent un rôle important au sein du LHC.

Dans ce mémoire nous avons présenté les diverses familles des algorithmes de reconstruction de jets et nous avons porté une attention particulière aux algorithmes de reconstruction séquentielle.

6 Conclusion

66

Lors de l’étude du changement de l’impulsion transverse tPδ , nous avons vu que cette dernière

n’est pas affectée par l’algorithme utilisé dans la situation où nous avons affaire à l’émission d’un seul gluon, ce qui nous laisse à dire que tous les algorithmes de reconstruction de jets sont équivalents lors de l’émission d’un gluon unique. Tandis que dans le cas où nous avons affaire à une émission à deux gluons, le changement de l’impulsion transverse change en fonction de l’algorithme de reconstruction de jets utilisé. En effet nous avons vu que le traitement de la partie

non-inclusive de tPδ varie d’un algorithme à un autre.

Bien que l’algorithme de CA ne prend pas en compte l’énergie des gluons, ce dernier diffère de l’algorithme anti-kt par un facteur de 1.16, facteur qui a une grande importance, puisque ce dernier nous permet de définir le rayon de jet R optimal et joue un rôle dans la minimisation de l’hadronisation( l’incertitude).