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Corso di Analisi Matematica
Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Universita di Bari
ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30
1 Definizione di successione e di limite di una successione
2 Successioni monotone
3 Il calcolo dei limiti
4 Confronti e stime asintotiche
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Successioni
Funzioni di particolare importanza:
Definizione
Una successione e una legge che associa ad ogni elemento di N un numero
reale cioe una funzione reale definita su N:
f : N→ R f(n) = an n 7→ an.
Si denota con
{an}n∈N {an} an n 7→ an.
Spesso le successioni sono definite da un certo intero n0 in poi, cioe il
loro dominio e del tipo {n ∈ N | n ≥ n0}. In tal caso si scrive
{an}n≥n0 .
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Grafici di successioni:
an = 1/n
an = (−1)n
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Successioni limitate
Definizione
Una successione {an} si dice
limitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che, per ogni n, an ≥ m;
limitata superiormente se esiste M ∈ R tale che, per ogni n, an ≤M ;
limitata se esistono m,M ∈ R tale che, per ogni n, m ≤ an ≤M .
L’operazione di limite consente di studiare il comportamento dei numeri anquando n diventa sempre piu grande.
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Limiti di successioni
Definizione
Una successione {an} possiede definitivamente un proprieta se esiste
N ∈ N tale che an soddisfa quella proprieta per ogni n ≥ N .
Esempi
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Successioni convergenti
Definizione
Una successione {an} si dice convergente se esiste un numero l ∈ R con
questa proprieta: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente
|an − l| < ε.
In altre parole: per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che
|an − l| < ε ∀n ≥ N.
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Limite di una successione
Quindi, se una successione e convergente ad essa e associato un numero l.
Si prova che
l e unico.
Definizione
Sia {an} una successione convergente. Il numero reale l che compare nella
definizione precedente si chiama limite della successione {an}. Si scrive
limn→+∞
an = l
oppure
an → l per n→ +∞.
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Si noti che, dalle proprieta del valore assoluto, la disuguaglianza
|an − l| < ε equivale a
l − ε < an < l + ε.
Dunque la condizione di convergenza significa che, fissata una striscia
orizzontale [l − ε, l + ε] “comunque stretta”, da un certo indice in poi i
punti della successione non escono piu da questa striscia.
Da questa osservazione risulta che:
Ogni successione convergente e limitata.
Esempi
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Successioni divergenti
Definizione
Sia {an} una successione.
Si dice che {an} diverge a +∞ se per ogni M > 0 si ha an > M
definitivamente e si scrive
limn→+∞
an = +∞;
si dice che {an} diverge a −∞ se per ogni M > 0 si ha an < −Mdefinitivamente e si scrive
limn→+∞
an = −∞.
Esempi
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I simboli +∞ e −∞ non sono numeri.
L’insieme dei numeri reali R con l’aggiunta dei due elementi +∞ e
−∞ si indica con R∗:
R∗ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
L’operazione di limite ha completamente significato se ambientata in
R∗: il limite di una successione, se esiste, e un elemento di R∗.Esistono successioni che non sono ne convergenti ne divergenti (per
esempio {(−1)n}). Tali successioni si dicono irregolari o
indeterminate. Per esse l’operazione di limite non e definita.
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Insiemi non limitati
E comodo adottare la convenzione usata per i limiti anche per il sup e
l’inf di insiemi.
Definizione
Sia E ⊆ R.
Se E non e limitato superiormente si dice che
supE = +∞;
se E non e limitato inferiormente si dice che
inf E = −∞.
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Infinitesimi e infiniti
Definizione
Una successione {an} si dice infinitesima se
limn→+∞
an = 0.
Una successione {an} si dice infinita se
limn→+∞
an = ±∞.
Gli infinitesimi (infiniti) non sono numeri ma quantita variabili che tendono
a diventare indefinitamente piccole (grandi).
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Successioni monotone
Definizione
Una successione {an} si dice
monotona crescente se per ogni n an ≤ an+1;
strettamente crescente se per ogni n an < an+1;
monotona decrescente se per ogni n an ≥ an+1;
strettamente decrescente se per ogni n an > an+1.
Esempi
Le successioni monotone non sono mai irregolari.
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Limiti di successioni monotone
Teorema
Sia {an} una successione monotona.
Se {an} e monotona crescente e superiormente limitata allora {an} e
convergente e
limn→+∞
an = sup{an | n ∈ N}.
Se {an} e monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {an}e convergente e
limn→+∞
an = inf{an | n ∈ N}.
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Limiti di successioni monotone
Corollario
Sia {an} una successione monotona.
Se {an} e monotona crescente allora
limn→+∞
an = sup{an | n ∈ N}.
Se {an} e monotona decrescente, allora
limn→+∞
an = inf{an | n ∈ N}.
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Il numero di Nepero
Teorema
La successione definita da
an =
(1 +
1
n
)nn ≥ 1
e convergente.
Si prova che {an} e strettamente crescente e limitata (2 ≤ an ≤ 4).
Si scrive
limn→+∞
(1 +
1
n
)n= e.
Il numero di Nepero e e irrazionale e la sua rappresentazione decimale
inizia cosı:
2.7182818284 . . .
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Successione geometrica (di ragione q)
E la successione {qn}, per un fissato q ∈ R.
Si ha
limn→+∞
qn =
+∞ se q > 1;
1 se q = 1;
0 se |q| < 1;
non esiste se q ≤ −1.
Se q > 1, {qn} e monotona crescente, illimitata superiormente.
Se q = 1, {qn} e costante.
Se 0 < q < 1, {qn} e monotona decrescente.
Se q < 0, {qn} non e monotona.
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Limiti e operazioni
Teorema (Algebra dei limiti)
Se an → a, bn → b, con a, b ∈ R allora
an ± bn → a± bKan → Ka per ogni K ∈ Ran · bn → a · banbn→ a
b(bn, b 6= 0).
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Limiti e ordinamento
Teorema (Permanenza del segno, prima forma)
Se an → a e a > 0 allora
an > 0 definitivamente.
Se an → a e a < 0 allora
an < 0 definitivamente.
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Limiti e ordinamento
Teorema (Permanenza del segno, seconda forma)
Se an → a e an ≥ 0 definitivamente allora risulta a ≥ 0.
Se an → a, bn → b e an ≥ bn definitivamente allora risulta a ≥ b.
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Limiti e ordinamento
Teorema (del confronto)
Se an ≤ bn ≤ cn definitivamente ed esiste l ∈ R tale che
an → l, cn → l
allora anche
bn → l.
Corollario
Se |bn| ≤ cn definitivamente e cn → 0 allora anche bn → 0.
Se cn → 0 e bn e limitata bn · cn → 0.
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Esempi
Si dimostra che:
limn→+∞
nα =
+∞ se α > 0;
1 se α = 0;
0 se α < 0.
Applicazione: limiti di successioni che sono scritte come rapporto tra due
successioni, ciascuna costituita da somme di potenze di n.
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Estensione delle operazioni con i limiti
Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞.
a+∞ = +∞ a−∞ = −∞+∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞
Se a 6= 0,
a · ∞ =∞ a
0=∞
(ove il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)a
∞= 0
Si noti che mancano le regole relative alle espressioni
+∞−∞ 0 · ∞ ∞∞
0
0
che, per tale motivo, prendono il nome di forme di indecisione.
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Confronti e stime asintotiche
E utile saper confrontare due successioni entrambe infinite o entrambe
infinitesime per capire quale delle due tenda “piu rapidamente” all’infinito
o a 0.
Siano {an} e {bn} due successioni. Consideriamo il limite del loro
rapporto. Si hanno le seguenti possibilita:
limn→+∞
anbn
=
0
l ∈ R \ {0}±∞non esiste
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Confronto tra infiniti
Se {an} e {bn} sono due infiniti, si dice che
{an} e un infinito di ordine inferiore a {bn} se
limn→+∞
anbn
= 0;
{an} e {bn} sono infiniti dello stesso ordine se
limn→+∞
anbn
= l ∈ R \ {0};
{an} e un infinito di ordine superiore a {bn} se
limn→+∞
anbn
= ±∞;
{an} e {bn} non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non
esiste.
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Confronto tra infinitesimi
Se {an} e {bn} sono due infinitesimi, si dice che
{an} e un infinitesimo di ordine superiore a {bn} se
limn→+∞
anbn
= 0;
{an} e {bn} sono infinitesimi dello stesso ordine se
limn→+∞
anbn
= l ∈ R \ {0};
{an} e un infinitesimo di ordine inferiore a {bn} se
limn→+∞
anbn
= ±∞;
{an} e {bn} non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non
esiste.
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Successioni asintotiche
Definizione
Siano {an} e {bn} due successioni. Se
limn→+∞
anbn
= 1
si dice che {an} e {bn} sono asintotiche e si scrive
an ∼ bn.
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Proprieta delle successioni asintotiche
Proposizione
Se an ∼ bn allora {an} e {bn} hanno lo stesso comportamento: o
convergono allo stesso limite o divergono o entrambe non hanno
limite.
Se an ∼ bn ∼ . . . ∼ cn allora an ∼ cn.
Se an ∼ a′n, bn ∼ b′n, cn ∼ c′n allora
anbncn∼ a′nb
′n
c′n.
Osserviamo inoltre che
an ∼ bn ⇔ an = bn · cn con cn → 1
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Esempio di successioni che non sono asintotiche a {nα} per nessun α > 0:
Proposizione
Per ogni a > 1, α > 0 si ha
limn→+∞
loga n
nα= 0 lim
n→+∞
nα
an= 0.
Questi limiti descrivono la “velocita” con cui i logaritmi (con base > 1), le
potenze, gli esponenziali (con base > 1) vanno all’∞:
i logaritmi piu lentamente di qualsiasi potenza;
le potenze piu lentamente di qualsiasi esponenziale.
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