Corso di laurea in Ingegneria Elettrica AA 2012/13 Prova scritta di Fisica I del 14/gennaio/2014 IV°APPELLO

RISOLVERE PRIMA ANALITICAMENTE E POI NUMERICAMENTE I PROBLEMI – SCRIVERE IN MODO CHIARO – SINTETICAMENTE, GIUSTIFICARE IL PROCEDIMENTO E COMMENTARE I PASSAGGI – USARE GLI STESSI SIMBOLI DEL TESTO – SCRIVERE I RISULTATI CON LE UNITÁ DI MISURA

3) Una mola, il cui momento d'inerzia vale Im = 0.3 kg m2, ruota con velocità angolare costante ωO=300rad/s. Dall'istante t=0s,

alla mola viene applicata una coppia frenante di momento costante Mf =3Nm. Calcolare:

a) il tempo tA impiegato dalla mola ad arrestarsi;

b) il numero di giri ng che compie prima di fermarsi;

c) il lavoro totale Lf compiuto dalla coppia frenante.

2) Una particella puntiforme di massa m=1 kg si muove strisciando su un gradino alto

h=35cm scabro. La velocità iniziale della particella è v=3 m/s, il coefficiente di attrito

dinamico del gradino pari a µd=0.172. Dopo aver percorso, una distanza L=45 cm, la

particella urta una seconda particella di egual massa ferma in B alla fine del gradino, ed in

modo perfettamente anelastico. Si calcoli:

a) la velocità vB della particella immediatamente prima dell'urto.

b) la lunghezza D del tratto CH, dove H è il punto dove le due particelle cadono al

suolo.

(utilizzare g=10m/s2)

1) Un velocista corre i 100m piani in un tempo T=10s. Si approssimi il moto considerando una accelerazione costante per i primi 15m

e una percorrenza a velocità costante per i restanti 85m. Si calcoli:

a) il tempo necessario t1 a percorrere i primi 15m e il modulo della accelerazione a;

b) la velocità finale vf dell’atleta.

4) Un contenitore a forma di parallelepipedo di sezione rettangolare di area A=0,1m2, è contenuta

dell’acqua il cui livello si innalza di ∆h =2cm quando in essa viene immerso un corpo che galleggia

senza toccare il fondo del contenitore.

Determinare la massa m del corpo.

5) Calcolare il rendimento η del ciclo reversibile illustrato nella figura, svolto da un

gas perfetto monoatomico. Il ciclo é composto da due trasformazioni isoterme (AB e

CD) e da due trasformazioni isocore (BC e DA). (T2 / T1= 3/4, VC /VD = 2)

Sezione TEORIA

Rispondere facolativamente alle seguenti domande (verrà valutata l'esattezza, la chiarezza, la completezza e la sintesi delle risposte). Le risposte debbono essere redatte esclusivamente sul foglio fornito dal docente che assiste alla prova. L'uso corretto e la scrittura dei simboli utilizzati sarà oggetto di valutazione. Si raccomanda inoltre di scrivere in modo ordinato e con calligrafia chiara e comprensibile. Elaborati non conformi alle indicazioni riportate saranno valutati negativamente. T1. Enunciare e dimostrare il teorema di Koenig per un sistema di punti materiali. T2. Determinare l’espressione dell’Entropia S per n moli di un gas perfetto.

p

V

A

B

C

D T1

T2

H

• •BA

C

L

h

D

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA AA 2012/13 SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DI FISICA I DEL 14/gennaio/2014

1) Il moto del velocista è nel suo complesso un moto vario costituito però dall’unione di due moti notevoli: un moto uniformemente accelerato e un moto uniforme. L’equazione oraria si ottiene quindi unendo le equazioni orarie nei due tratti ed imponendo la continuità della soluzione. Detti D=100m e x1=15m si può scrivere:

𝑥 𝑡 =        12𝑎𝑡!                                        𝑝𝑒𝑟  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡!

𝑥! + v!(𝑡 − 𝑡!)    𝑝𝑒𝑟  𝑡! ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

dove v1 rappresenta la velocità alla fine della accelerazione e coincide anche con la velocità finale. Le incognite v1 e t1 si ricavano dalle seguenti relazioni:

𝑥! = 𝑥 𝑡! =12𝑎  𝑡!!  

v! = 𝑎  𝑡!                                            𝐷 = 𝑥! + v!(𝑇 − 𝑡!)

Eliminando a dalle prime due relazioni si ottiene:

2𝑥! = v!  𝑡! e sostituendo nell’ultima si ricava:

v!=v! =𝐷 + 𝑥!𝑇

=  11,5  m/s

t! =2𝑥!v!

=  2,61  s

2) a) In base alla conservazione dell’energia si ricava che la velocità della particella, subito prima dell’urto é: 12𝑚v!! =

12𝑚v! − 𝜇!𝑚𝑔𝐿⟹ v! = v! − 𝜇!𝑔𝐿 = 2,73m/s

b) Consideriamo un sistema di riferimento con origine nel punto C, l'asse x orientato verso destra e l'asse y verso l'alto. Dopo l'urto anelastico, il sistema costituito dalle due particelle si muove con una componente di velocità uniforme lungo l'asse x con un valore di velocità che si ricava dalla legge di conservazione della qdm in base alla condizione di urto perfettamente anaelastico:

𝑚  v! +𝑚   ∙ 0 = 2𝑚  v! ⟹ v! =v!2= 1,37m/s

mentre lungo l'asse y ha un moto uniformente accelerato, diretto verso il basso. Quindi il moto delle due particelle è descritto dal seguente sistema:

𝑦 = ℎ −12𝑔  𝑡!  

𝑥 =  v!  𝑡                            

Il sistema delle due particelle tocca il suolo quando y=0. Il tempo necessario a compiere questo spostamento si ricava dalla prima relazione:

𝑡! = 2ℎ/𝑔   = 0,267𝑠 e lo spazio percorso nella direzione x in questo tempo è dato quindi da:

𝐷 =  v!  𝑡! = 36,5cm

3) In base alla II equazione cardinale applicata ai corpi rigidi si ha che:

𝑀! = 𝐼!𝛼⟹ 𝛼 =𝑀!𝐼!

= 10  𝑟𝑎𝑑/𝑠!

dove α è l’accelerazione angolare. Il moto angolare è uniformente decelerato si ha pertanto:

𝜗 𝑡 = 𝜔!𝑡 −12𝛼𝑡!

𝜔 𝑡 = 𝜔! − 𝛼𝑡 a) Il tempo impiegato dalla mola per arrestarsi si ricava dalla condizione che la velocità angolare sia nulla all’istante di arresto:

𝜔 𝑡! = 0 = 𝜔! − 𝛼𝑡! ⟹ 𝑡! =𝜔!𝛼= 30𝑠

b) Il numero di giri si ottiene dalla legge oraria dell’ascissa angolare:

𝑛! =𝜗 𝑡!2𝜋

=12𝜋

𝜔!𝑡! −12𝛼𝑡!! = 716  𝑔𝑖𝑟𝑖

c) In base alla conservazione della energia meccanica il lavoro Lf fatto dalla coppia frenante è pari alla variazione di energia cinetica:

𝐿! = 0 −12𝐼!  𝜔!! = −13,5  𝑘𝐽

Si poteva anche calcolare come il lavoro del momento frenante: 𝐿! = 𝑀!Δ𝜗 = 𝑀!  𝜗 𝑡! = −13,5𝑘  𝐽

4) Detto V=hA il volume occupato dall’acqua prima dell’immersione si deve avere dopo l’immersione:

𝑉 = ℎ𝐴 = ℎ + ∆ℎ 𝐴 − 𝑉! ⟹ 𝑉! = ∆ℎ  𝐴 dove con VS si è indicato il volume immerso. Essendo inoltre il peso della massa d’acqua spostata pari al peso del corpo:

𝜌!!!  ∆ℎ  𝐴  𝑔 = 𝑚𝑔⟹ 𝑚 = 𝜌!!!  ∆ℎ  𝐴 = 2kg

5) Il rendimento di una macchina termica che funziona come motore è per definizione:

𝜂 =𝐿𝑄!""

Il lavoro che che la macchina compie in un ciclo è:

𝐿 = 𝑛𝑅𝑇! ln𝑉!𝑉!+ 𝑛𝑅𝑇! ln

𝑉!𝑉!

= 𝑛𝑅 (𝑇! − 𝑇!)  ln 2

mentre per il calore assorbito:

𝑄!"" = 𝐿!" + ∆𝑈!" = 𝑛𝑅𝑇! ln𝑉!𝑉!+ 𝑛𝑐! 𝑇! − 𝑇! = 𝑛𝑅[𝑇! ln 2 +

32  (𝑇! − 𝑇!)]  

Si ottiene quindi per il rendimento:

𝜂 =𝐿𝑄!""

=ln 2 (𝑇! − 𝑇!)

𝑇! ln 2 +32  (𝑇! − 𝑇!)

=ln 2 (1 − 𝑇!/𝑇!)

ln 2 + 32  (1 − 𝑇!/𝑇!)=1/4 ln 2

ln 2 + 38  = 16,2%

h

p

V

A

B

C

D T1

T2