cours de modelisation mse 2013

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INTRODUCTION A LA MODELISATION MACROECONOMETRIQUE

Amen Tayo Philémon DOVOEDO

Table des matières

Chapitre 1

Généralités sur la modélisation économique et l‟évolution de la

modélisation macroéconométrique

I. Définition d‟un modèle économique

II. Objectifs de la modélisation économique

III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique

Chapitre 2

Modélisation macroéconométrique classique ou structurelle

I.Terminologie relative aux modèles économétriques à

équations simultanées et écriture matricielle de ces modèles

II. Construction des modèles macroéconométriques

II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la

comptabilité nationale

II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard

- 2 -

Chapitre 3

Analyse et évaluation des modèles macroéconométriques

I. Analyse des modèles macroéconométriques

I.1. Simulation historique et prévision

I.2.Définition et calcul des multiplicateurs d‟un

modèle macroéconométrique

I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles

I.4. Simulation stochastique

II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques

II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles :

les statistiques d‟erreur prévisionnelle

II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle

Objectif du cours : initiation à la modélisation macroéconométrique structurelle

en vue de la prévision et de la simulation des politiques économiques.

Volume horaire : 30 heures, dont 22 pour le cours et les exercices d‟application,

et 8 heures de Travaux Pratiques (construction, estimation et simulation du

modèle I de L. Klein).

Chargé du cours : Amen Tayo P. Dovoédo, docteur en économie mathématique

et économétrie et Ingénieur Statisticien Economiste.

- 3 -

Introduction

La modélisation macroéconométrique a été lancée par les travaux de Tinbergen

qui a construit le premier modèle destiné à l‟étude des cycles économiques aux

Etats Unis dans les années 30. L‟approche de Tinbergen a ensuite été reprise et

développée par L. Klein à partir des années 40 et conduisit à la généralisation de

la construction de modèles reposant essentiellement sur la théorie keynésienne

dans les années 60.Ces modèles étaient destinés à la prévision économique et à

l‟analyse des politiques économiques. Ils ont été l‟objet de critiques et ont été

remis en cause après le premier choc pétrolier, suite aux erreurs de leurs

prévisions. D‟autres approches ont alors vu le jour et entrent depuis en

concurrence avec la modélisation macroéconométrique classique. Il s‟agit

notamment de la modélisation autorégressive vectorielle (VAR), lancée par

Sims et Sargent et des modèles DGSE (Equilibre Général Dynamique et

Stochastique). Ces nouvelles approches ne seront pas développées dans ce cours

introductif.

- 4 -

Modélisation, A.Dovoédo

CHAPITRE 1

Généralités sur la modélisation économique et l’évolution de la

modélisation macroéconométrique.

Ce premier chapitre expose brièvement les généralités relatives à la modélisation

économique quantitative et les principales étapes du développement de la

modélisation macroéconométrique.

I. Définition d‟un modèle économique

Il s‟agit d‟une représentation schématique de la réalité économique et sociale,

sous la forme d‟une équation ou d‟un groupe d‟équations traduisant ou

explicitant un « comportement », c'est-à-dire une décision d‟un groupe d‟agents

économiques (décision de consommer, d‟épargner, d‟investir, de produire, etc.),

ou une relation de définition ou d‟équilibre entre plusieurs variables

économiques.

Chaque équation de « comportement » reflète les a priori théoriques du

modélisateur, et s‟insère dans un cadre comptable qui décrit les opérations

économiques des différents agents économiques, lorsqu‟il s‟agit d‟un modèle

macroéconomique.

Le fondement théorique des équations de comportement est le plus souvent

l‟hypothèse de recherche d‟un optimum par les agents individuels, c'est-à-dire

- 5 -


l‟hypothèse de « rationalité » : recherche du maximum de satisfaction ou

d‟utilité pour le consommateur, et du maximum de profit pour la firme.

L‟interaction de ces comportements conduit à un état d‟équilibre de l‟économie,

où l‟offre et la demande sur les différents marchés s‟ajustent soit par

l‟intermédiaire des mouvements de prix, soit par rationnement quantitatif.

L‟équilibre des différents marchés peut être perturbé par l‟action de l‟état ou du

gouvernement qui est supposé agir de façon autonome (politique économique

discrétionnaire).

Les objectifs de la modélisation économique se situent à deux niveaux : d‟une

part, l‟analyse formalisée des comportements isolés d‟agents économiques, et

d‟autre part l‟analyse de l‟interaction de ces comportements individuels et la

compréhension des mécanismes de fonctionnement global de l‟économie.

II. Objectifs de la modélisation économique

II.1. Analyse des comportements isolés

Il s‟agit dans ce cas de comprendre et de prévoir le comportement d‟un groupe

donné d‟agents économiques (consommateurs, entreprises, etc). Les

économistes s‟appuient alors généralement sur un ou plusieurs modèles

théoriques qui proposent une description formalisée du comportement étudié.

Ces modèles théoriques, fondés sur l‟observation de la réalité, mettent en avant

- 6 -


des variables explicatives plausibles du comportement analysé, et précisent les

effets attendus de ces variables. Ainsi, par exemple, on s‟attend qu‟une

augmentation de leur revenu réel disponible conduise les ménages à augmenter

leurs dépenses de consommation, et qu‟une hausse du chômage les incite au

contraire à les réduire et à constituer une épargne de « précaution ».

Mais il arrive qu‟un modèle théorique soit incapable de prédire le signe exact de

l‟effet d‟une variable explicative. Par exemple, on sait que la hausse du niveau

général des prix (c‟est à dire l‟inflation) a deux effets antagonistes sur la

consommation des ménages : d‟une part elle conduit les ménages à réduire leur

consommation et à augmenter leur épargne pour compenser la perte du pouvoir

d‟achat de leurs actifs financiers (effet de « reconstitution de l‟encaisse

réelle ») ; d‟autre part, elle les incite aussi à augmenter leur consommation de

biens dont ils pensent que le prix va croître rapidement. L‟ordre de grandeur de

chacun de ces deux effets contraires n‟est pas connu a priori et ne peut qu‟être

estimé à partir de données concrètes et l‟estimation d‟une fonction de

consommation.

La modélisation des comportements isolés par la spécification et l‟estimation

d‟une équation ou d‟un petit groupe d‟équations vise ainsi plusieurs buts :

- Vérifier tout d‟abord l‟adéquation du modèle théorique proposé à la

réalité, supposée correctement représentée par les données statistiques relatives

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aux variables retenues dans le modèle. L‟estimation économétrique du modèle

théorique ne saurait cependant apporter la preuve formelle de la justesse ou de

l‟inadéquation de ce modèle. Une estimation statistiquement correcte du modèle

permet de ne pas le rejeter, mais n‟est pas un gage de son adéquation définitive

et intemporelle à la réalité. Par contre, une estimation non significative est le

signe que le modèle est certainement inapproprié.

- Le deuxième but de la modélisation des comportements est l‟estimation

précise des effets des variables économiques qui influencent le comportement

étudié. Exemple : chiffrer la valeur exacte de la propension à consommer les

revenus salariaux et celle à consommer les revenus non salariaux, pour pouvoir

comprendre et prévoir les fluctuations de la consommation.

- Le troisième but de la modélisation des comportements individuels est de

lever l‟incertitude relative au signe de l‟effet de certaines variables sur le

comportement étudié, signalée plus haut (cas de l‟effet de l‟inflation sur la

consommation des ménages).

II.2. Analyse du fonctionnement global de l‟économie

Le fonctionnement d‟ensemble de l‟économie résulte de l‟interaction de

nombreux comportements isolés, modélisables chacun par une équation ou un

groupe d‟équations. Il est donc schématisé par ce systèmes d‟équations

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interdépendantes : la consommation est liée au revenu, qui est liée à la

production qui, elle-même est un déterminant de l‟investissement. Ce modèle de

fonctionnement global de l‟économie se caractérise donc par des simultanéités,

et peut de ce fait être de grande taille et très complexe.

La justification d‟un modèle global complexe est de mettre en évidence et de

permettre une estimation plus efficace de la simultanéité des comportements

isolés des différents agents économiques. Le modèle est donc un instrument

indispensable, qui doit être cependant sans cesse amélioré et remis en question,

compte tenu des présupposés théoriques des constructeurs lors de la

spécification des différentes équations de comportement, mais aussi de

l‟incertitude liée à l‟estimation des coefficients des variables explicatives.

III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique

La dernière partie de ce chapitre introductif est consacré à un bref historique de

la modélisation macroéconométrique.

On peut identifier plusieurs phases dans l‟évolution de la construction des

modèles macroéconométriques.

- La phase de lancement, qui va des années 30 au début des années 60. On

considère que l‟économiste hollandais Jan Tinbergen est l‟initiateur de la

modélisation macroéconométrique, avec la publication en 1937 de son ouvrage

- 9 -


consacré à la modélisation de l‟économie américaine en vue de l‟analyse des

cycles économiques. Il s‟appuie pour ce faire, sur les travaux de T. Haavelmo,

qui est considéré comme le fondateur de l‟économétrie moderne pour avoir été

le premier à formuler de façon probabiliste l‟estimation des relations

économiques. Tinbergen a, quant à lui, inspiré Lawrence Klein qui a construit

dans les années 50 le premier modèle macroéconométrique de l‟économie

américaine, destiné à la prévision et à la simulation de politiques économiques.

Cet économiste a également participé activement aux travaux de la „Cowles

Commission‟ portant sur la mise au point et au développement des méthodes

statistiques rigoureuses d‟estimation et de tests nécessaires à la construction de

ces modèles.

- La phase de généralisation de la construction de ces modèles dans

l‟ensemble des pays développés, dans les années 60 et la première moitié des

années 70. Plusieurs modèles concurrents sont construits pour l‟économie

américaine par des instituts de prévision privés, académiques ou affiliés à la

Réserve Fédérale (Wharton E.F.A., Chase Econometrics, Université du

Michigan, etc.). Cette activité de modélisation s‟étend rapidement aux pays

européens tels que la France, l‟Angleterre, les Pays Bas, etc., mais en se

cantonnant surtout aux administrations publiques (ministères de l‟Economie et

des finances, instituts de Statistique comme l‟INSEE en France). Ces modèles

- 10 -


reposaient essentiellement sur la théorie kéynésienne ou la synthèse néo

classique pour certaines équations.

- La phase de critique, de contestation théorique et de renouvellement

méthodologique, qui commence au milieu des années 70, avec le premier choc

pétrolier qui mit en évidence les insuffisances prévisionnelles de la plupart de

ces modèles. Cette phase débute par des tentatives d‟amélioration des

fondements théoriques des modèles, par une représentation plus affinée des

comportements des agents et un renforcement des liens de la modélisation

macroéconomique avec la théorie microéconomique. Elle se caractérise ensuite

par la formulation de critiques virulentes à l‟encontre des modèles

macroéconométriques, suite à leurs mauvaises performances prévisionnelles

pendant le premier choc pétrolier en 1973. Le chef de file de cette remise en

cause est Robert Lucas (prix Nobel), dont la fameuse critique, fondée sur la

théorie des anticipations rationnelles, démontrait l‟impossibilité de mise en

œuvre de politiques économiques efficaces à l‟aide de ces modèles, en raison du

lien entre les paramètres de ces modèles et les variables de politique

économique. Bien que la plupart des constructeurs de modèles jugent cette

critique « exagérée » ou même non pertinente pour l‟économie américaine peu

sujette à l‟époque à des changements structurels significatifs, bon nombre

d‟entre eux essaient d‟en tenir compte dans la spécification des équations de

- 11 -


leurs modèles, en introduisant des variables d‟anticipation, c'est-à-dire des

projections futures de certaines variables endogènes importantes (prix, offre de

monnaie, etc.). Cette démarche a donné naissance aux modèles à anticipations

rationnelles et à la mise au point de méthodes d‟estimation spécifiques requises

par ces modèles.

Une autre critique des modèles macroéconométriques « traditionnels », faite par

Christopher Sims, est la classification arbitraire des variables de ces modèles en

variables endogènes et exogènes. Les variables endogènes sont expliquées et

déterminées par le modèle, tandis que les variables exogènes sont déterminées

en dehors du modèle. Cette classification se traduit par l‟adoption de critères

d‟identification arbitraires et dépourvus de crédibilité, selon cet économiste

(prix Nobel 2011) qui lance dans les années 70 et 80 la modélisation

autorégressive vectorielle (VAR en anglais), dans laquelle les variables non

déterministes sont toutes endogènes et interagissent les unes avec les autres.

Cette approche conduit à la réduction du nombre de variables endogènes et donc

de la taille des modèles, puisque chaque variable est expliquée par ses propres

valeurs retardées et celles des autres variables, ce qui conduit à l‟augmentation

démesurée du nombre de paramètres inconnus à estimer.

La quatrième phase de l‟histoire de la modélisation macroéconométrique se

caractérise par une mise en cause théorique plus radicale et une sophistication

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accrue des fondations microéconomiques de ces modèles, qui permettent

l‟émergence des modèles RBC (modèles des cycles réels) puis des modèles

d‟Equilibre Général Dynamiques et Stochastiques (« DSGE models » en

anglais). Ces modèles essaient d‟intégrer les rigidités nominales et les

nombreuses imperfections de marchés présentes dans les économies

industrialisées mais ignorées dans les modèles macroéconométriques

traditionnels.

Notons pour clore ce bref chapitre introductif que la modélisation économique

quantitative ne se cantonne pas à la sphère macroéconomique. Depuis plusieurs

décennies, des modèles microéconométriques décrivant et formalisant les

dépenses de consommation des ménages et exploitant les données fournies par

les enquêtes budget-consommation, ont été construits dans plusieurs pays. Ces

modèles expliquent la demande individuelle ou simultanée des différents biens

de consommation (courbes d‟Engel, systèmes linéaires ou log-linéaires des

dépenses, etc.). De même plusieurs modèles sectoriels agricoles décrivant le

comportement de production et d‟investissement des agriculteurs ont été

construits dans quelques pays en développement dans les années 70 par la

Banque mondiale et des universités américaines. Enfin signalons également le

développement de la modélisation des marchés d‟actifs financiers qui a donné

- 13 -


lieu à la naissance d‟outils d‟estimation économétrique spécifiques (modèles

ARCH et GARCH) introduits par les travaux de Engle (1987).

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CHAPITRE 2

MODELISATION MACROECONOMETRIQUE CLASSIQUE OU STRUCTURELLE

Ce chapitre est une introduction à la modélisation macroéconométrique

classique ou structurelle. Il comprend deux parties : la première partie aborde la

terminologie et l‟écriture matricielle des modèles macroéconométriques, tandis

que la deuxième examine la formulation théorique de ces modèles en s‟appuyant

sur l‟exemple de maquette proposé par l‟un des pionniers de la modélisation

macroéconométrique, L. Klein, prix Nobel d‟économie, dans l‟un de ses

ouvrages consacrés à ce sujet ( Lectures in Econometrics (1983)).

I. Terminologie relative aux modèles économétriques à équations

simultanées et écriture matricielle de ces modèles

I.1. Terminologie

Les variables

Les variables d‟un modèle (macroéconométrique) à équations simultanées

sont de deux types : les variables endogènes, expliquées et déterminées

conjointement par le modèle, et les variables exogènes, qui contribuent à

l‟explication des variables endogènes, mais qui ne sont pas expliquées par

elles. Les variables exogènes elles mêmes sont classées en variables de

contrôle, ou de décision, ou instruments, qui sont, comme leur nom

l‟indiquent, fixées et contrôlées par un décideur, et en variables

d‟environnement qui ont une évolution autonome.

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Dans un modèle à équations simultanées, les variables dites endogènes sont

des variables à la fois expliquées et explicatives. Les variables endogènes

décalées ont le même statut que les variables exogènes. L‟ensemble des

variables exogènes et des variables endogènes décalées d‟un modèle

constitue les variables qualifiées de « prédéterminées »

Les équations

Les équations constituant un modèle reposant sur une théorie économique

sont dites « structurelles ». Par définition, une équation structurelle peut

inclure plusieurs variables endogènes et plusieurs variables exogènes. Les

variables du modèle exclues d‟une équation structurelle peuvent être

considérées comme présentes dans cette équation avec des coefficients nuls

(cette convention est utile pour l‟écriture matricielle d‟un modèle à équations

simultanées).

Le nombre d‟équations d‟un modèle doit être égal à son nombre de variables

endogènes.

On distingue 4 types d‟équations structurelles :

1. Les équations de comportement : elles expliquent les comportements des

agents économiques (demande et offre d‟un bien, comportement

d‟investissement des entreprises, etc.).

2. Les équations « technologiques » : elles décrivent en particulier la

combinaison productive des facteurs de production (fonctions de

production).

- 16 -


3. Les équations institutionnelles : ce sont des relations ou des règles définies

par les administrations fiscales, financières ou autres, d‟un pays (par exemple

la liaison entre les différents impôts et taxes et le revenu des imposables).

4. Les identités, qui définissent certaines variables, ou qui sont des égalités

comptables entre certaines variables.

I.2. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées

Soit Z le vecteur-colonne contenant les g variables endogènes d‟un

modèle à équations simultanées, et X le vecteur-colonne des k variables

exogènes. On suppose que le décalage maximal des variables endogènes est égal

à un. On peut écrire ce modèle dynamique d‟ordre un sous la forme matricielle

suivante en omettant pour l‟instant le vecteur des erreurs :

1100 ttt ZAXBZA

Avec : A0 = matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes

courantes ;

A1= matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes

décalées ;

B0= matrice (gxk) des coefficients structurels des variables exogènes

courantes ;

- 17 -


Exemple

Soit le modèle keynésien simplifié :

)4(

)3(

)2()(

)1()(

10

110

10

tttt

tt

ttt

ttt

GICY

YT

YYI

TYC

Avec : C = dépenses de consommation ; I = investissement ; T = impôts ;

Y = revenu ; G = dépenses publiques (exogènes).

Les variables endogènes de ce modèle bien connu sont : Ct, It, Tt, et Yt.

Les variables prédéterminées sont Gt (exogène) et Yt-1 (revenu décalé).

On peut réécrire les équations du modèle en déplaçant à gauche du signe

«= » les variables endogènes, et à droite les constantes et les variables

prédéterminées :

tttt

tt

ttt

ttt

GICY

YT

YYI

YTC

01

1101

011

D‟où l‟écriture matricielle du modèle :

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

11

0000

0000

000

0000

1

10

0

0

0

1011

100

010

01

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Y

T

I

C

G

Y

T

I

C

- 18 -


C'est-à-dire avec les notations introduites plus haut :

1100 ttt ZAXBZA , A0 étant la matrice (4x4) des coefficients des 4

variables endogènes courantes regroupées dans le vecteur Zt, A1, la

matrice des coefficients des

variables endogènes décalées Zt-1, et B0 la matrice des termes constants et

du coefficient de la variable exogène Gt.

D‟une façon générale, un modèle macroéconométrique à équations

simultanées comportant g variables endogènes courantes rassemblées dans

le vecteur Zt, avec un décalage maximum d‟ordre p de ces variables

endogènes , k variables exogènes courantes regroupées dans le vecteur Xt

et ayant des décalages jusqu‟à l‟ordre q, s‟écrit sous la forme matricielle

suivantes :

,...... 0110 qtqtptptt XBXBZAZAZA les lettres A0, …, Ap,

B0,…, Bq désignant les matrices des coefficients, Zt, …,Zt-1, désignant les

vecteurs des variables endogènes courantes et décalées, et Xt, …, Xt-q les

vecteurs des variables endogènes courantes et décalées.

I.3. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées avec prise en

compte des erreurs aléatoires des équations institutionnelles et de

comportement

Reprenons l‟exemple du modèle keynésien simplifié donné ci-dessus et

introduisons des termes d‟erreur aléatoire dans les deux équations de

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comportement et l‟équation institutionnelle, comme il se doit. On a :

)8(

)7(

)6()(

)5()(

310

2110

110

tttt

ttt

tttt

tttt

GICY

YT

YYI

TYC

Substituons l‟identité comptable (8) définissant le revenu Yt dans les 3

premières équations du modèle. On obtient pour l‟équation de

consommation :

)9()1()( 101111110 ttttttttttt TGICTGICC

De même les équations (6) et (7) deviennent :

)10()1( 20111111111 ttttttt GICGIC

)11(30111 ttttt GTIC

L‟écriture matricielle du nouveau modèle (à 3 équations) ainsi obtenu est

donc :

Avec :

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t etG

X

T

I

C

Z

BBAA

3

2

1

11

10

10

10

0111

11

11

111

0

,1

,

00

0

00

,,

000

0

000

,

1

01

1

- 20 -


Le modèle obtenu par substitution de l‟identité comptable dans les autres

équations est entièrement stochastique et comporte évidemment moins

d‟équations que le modèle initial.

A l‟instar de ce modèle, la plupart des modèles macroéconométriques sont

dynamiques, c'est-à-dire spécifiés sous forme autorégressive. Autrement

dit, ils possèdent des variables endogènes décalés dans la liste de leurs

variables explicatives. Le modèle kéynésien simplifié présenté ci-dessus

est un modèle dynamique d‟ordre 1. On peut le généraliser facilement à

un modèle dynamique d‟ordre p, c'est-à-dire autorégressif d‟ordre p.

,...... 0110 tqtqtptptt XBXBZAZAZA

Cette écriture générale repose sur la théorie économique et constitue la

forme « structurelle » du modèle. Chacune des équations institutionnelles

ou de comportement fournit, en général, la valeur de l‟une des variables

endogènes en fonction des valeurs courantes des autres variables, des

valeurs décalées de l‟ensemble des variables endogènes, des variables

exogènes courantes et décalées, et d‟un terme d‟erreur aléatoire.

La forme réduite du modèle est celle dans laquelle chaque variable

endogène s‟exprime en fonction des variables endogènes retardées, des

variables exogènes, et d‟un terme d‟erreur. Elle existe lorsque la matrice

A0 des coefficients structurels des variables endogènes est inversible. La

forme réduite est alors égale à :

tqtqtptptt AXBXBZAZAAZ 10011

1

0 )......(

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Si les éléments du vecteur d‟erreurs structurelles et sont supposés non

correlés, il en sera de même pour le vecteur d‟erreurs tA 10

de la forme

réduite. Toute la dynamique du système, c'est-à-dire l‟effet du passé sur le

présent, est alors résumé dans les matrices des coefficients réduits

.1,,1, 1

0

1

0 qàjBAetpàiAA ji

Exercice :

Soit le modèle keynésien simplifié avec investissement exogène et sans

dépenses étatiques :

)3(

)2(

)1(1

tt

ttt

ttt

YR

ICY

dbCaRC

Commenter ce modèle. L‟écrire sous forme matricielle et donner sa forme

réduite.

Les 3 relations définissent la forme structurelle du modèle. La relation (1)

est une équation de comportement (fonction de consommation

macroéconomique). La relation (2) est une égalité comptable ou une

relation d‟équilibre entre la demande (Ct+It) et l‟offre (la production) Yt.

Enfin, la relation (3) définit le revenu Rt en l‟assimilant à la production.

Variables endogènes du modèle : Ct, Yt, Rt.

Variable exogène : It

Ecriture matricielle du modèle : ce modèle peut se réduire à une équation

par substitution dans (1) des relations d‟équilibre et de définition (2) et

(3). Mais on l‟écrira plutôt sous forme matricielle en conservant les deux

relations non stochastiques, ce qui donne :

- 22 -


0

01

00

10

0

000

000

00

010

001

00

1

1

1 t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t u

I

d

R

Y

Cb

R

Y

Ca

R

Y

C

On en déduit que :

Soit formellement ,0110 tttt XBZAZA avec

t

t

t

t

R

Y

C

Z ,

t

tI

X1

, et

0

0

t

t

u

, A0 étant la matrice des coefficients de Zt, A1 celle de Zt-1 et B0

celle de Xt.

Le déterminant de A0 est égal à 1-a. A0 est donc inversible si a est

différent de 1. L‟inverse de A0 est égal à :

111

11

1

1

11

0 a

aa

aA

La forme réduite du modèle s‟écrit : tttt AXBAZAAZ 100

1

011

1

0

Tous calculs faits, on trouve :

t

t

t

ttt

u

u

u

aX

d

aZ

b

b

b

aZ

1

1

11

11

0

1

1

00

00

00

1

11

- 23 -


Les équations réduites du modèle s‟en déduisent :

tt

ttt

tttt

Ra

u

a

dI

aC

a

bY

a

u

a

dI

a

aC

a

bC

111

1

1

1111

1

1

II. Construction des modèles macroéconométriques

II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la comptabilité

nationale

Un modèle économique est une représentation schématique de la réalité

économique et une tentative d‟explication du fonctionnement de cette réalité. Il

doit donc s‟appuyer sur une description de cette réalité. Dans le cas d‟un modèle

économique national, une description pertinente de la réalité est celle de la

comptabilité nationale. Le système simplifié de comptabilité nationale considère

que l‟économie est constituée d‟agents qui effectuent des opérations qu‟on peut

résumer dans des comptes. Dans ce système, quatre types d‟agents économiques

sont identifiés : les Ménages, les Entreprises, l‟Etat ou le Gouvernement, et

l‟Extérieur.

Les comptes de chaque groupe d‟agents enregistrent leurs emplois et ressources

selon le principe de la partie double : les ressources d‟un groupe d‟agents sont

les emplois (ou les dépenses) d‟un autre groupe. Les soldes des comptes

d‟agents (Emplois – Ressources) constituent l‟épargne de ces agents. Les 4

comptes d‟agents sont complétés par le compte d‟utilisation des ressources (ou

de capital).

- 24 -

L‟examen d‟un modèle simplifié de l‟économie nationale fait apparaître les

équations suivantes :

1. Des équations comptables exprimant l‟équilibre des quatre comptes

d‟agents et l‟équilibre du compte d‟utilisation des ressources.

2. Des équations de comportement de certains agents, des équations

relatives aux institutions (fiscalité et autres), et des équations

technologiques exprimant par

exemple la combinaison optimale des facteurs de production dans le

processus productif

Une liste non exhaustive de ces équations comprend :

- La fonction de consommation agrégée, qui explique les dépenses de

consommation courantes des ménages.

- L‟équation de taxation directe des ménages, qui explique le niveau des

impôts sur le revenu perçus par l‟Etat (l‟administration fiscale).

- L‟équation de taxation directe des entreprises par l‟Etat.

- L‟équation d‟importation, qui lie le volume des importations à la

demande intérieure résultant de l‟activité et de la compétitivité des

entreprises nationales.

- L‟équation d‟exportation, si cette variable est considérée comme

endogène.

- L‟équation de dépréciation du capital.

- L‟équation d‟investissement des entreprises (FBCF) et des ménages

(investissement en logement).

Cette liste non exhaustive des équations d‟un modèle macroéconométrique

montre l‟importance des variables du système de comptabilité nationale dans la

spécification des équations de ce type de modèle. Il existe un lien inextricable

- 25 -


entre la modélisation macroéconométrique et le système de comptabilité

nationale. Toutes les variables utilisées concrètement dans ou fournies par

l‟élaboration des comptes et essentielles à la modélisation des comportements

des agents économiques, notamment les variables de marché telles que les prix

des biens, les taux d‟intérêt, les taux de salaire, etc, sont indispensables à la

construction des modèles macroéconométriques. La spécification des équations

de ces modèles s‟efforce de prendre en compte certains types de non linéarité

inévitables, de même que la dynamique des comportements des agents. Cette

dynamique des comportements est modélisée grâce à l‟introduction de variables

endogènes décalées dans la liste des variables explicatives, justifiée

théoriquement par une hypothèse d‟ajustement partiel des variables endogènes à

un niveau désiré, ou plus rigoureusement, à partir des années 80, par la

cointégration de certaines variables endogènes conduisant à la spécification d‟un

modèle à correction d‟erreurs (théorème de représentation de Granger (1987)).

Les implications d‟une spécification dynamique fondée sur la théorie de la

cointégration ne seront pas développées dans ce cours introductif (voir le cours

d‟Econométrie). Nous présenterons et commenterons de préférence ici une

maquette classique d‟un modèle macroéconométrique, développée par Lawrence

Klein dans l‟un de ses ouvrages.

II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard

Identités comptables ou de définition

- Définition du PNB

)1()( tttttt XIMEGIC

- 26 -


- Réconciliation entre le PNB et le revenu national

)2(321 rttttttttt TTTYDpTXp

-Définition du revenu national

)3(32 rttttttt TTTYPLw

-Définition du stock de capital

)4(1 tttt DIKK

Relations technologiques et équations de comportement

-Fonction de consommation

)5()( 11210 ttttt uCpYC

-Fonction d‟investissement

- )6(213210 ttttt uKrXI

-Fonction d‟exportation

)7()()( 313210 tttwttt uEppWTE

-Fonction d‟importation

)8()()()( 413210 ttmtttt uIMppXIM

- 27 -


-Fonction de production

)9()ln()ln()ln()ln( 5131210 ttttt uLKXL

-Equation de formation des prix

)10()/( 6210 tmttttt upXLwp

-Equation de salaire

)11()ln()])/(()[()ln( 7210 tttttt upLLFLFw

-Taux de participation de la main d‟œuvre (taux d‟activité)

)12()/(])/())[((/)( 8210 tttttttt upwLFLLFNLF

-Equation d‟offre de monnaie

)13()ln()/ln( 9210 tttttt uprMXp

-Equation de dépréciation du capital

)14(101 ttt uKD

- 28 -


Equations institutionnelles

-Equation de taxation indirecte

)15()( 11101 tttt uXpT

-Equation de taxation directe personnelle

)16(12102 ttt uYT

-Equation de taxation directe des entreprises

)17(13103 ttt uPT

Equation de transfert

)18())(( 14210 ttttrt uwLLFT

Variables endogènes ou dépendantes

Ct = Dépenses réelles de consommation

Yt=Revenu nominal disponible des ménages

pt = Niveau général des prix

It = Formation Brute de Capital Fixe (Investissement)

Xt = PNB réel

rt = Taux d‟intérêt nominal

- 29 -


Kt = Stock réel de capital en fin de période

Et = Exportations réelles

(IM)t = Importations réelles

Lt = Emploi

wt = Taux de salaire

(LF)t = Main d‟œuvre

Dt = Consommation réelle de capital (dépréciation)

T1t = Taxes indirectes nominales

T2t = Taxes directes nominales sur les personnes

T1t = Taxes directes nominales sur les entreprises

Trt = Transferts nominaux aux ménages

Pt = Profits (revenu non salarial nominal)

Variables exogènes ou indépendantes

Gt = Dépenses publiques réelles en bien et services

(WT)t = Volume réelles du commerce mondial

pwt = Prix du commerce mondial

pmt = Prix des importations

Nt = Population

- 30 -


Mt = Offre nominale de monnaie

Commentaire des principales équations non comptables de cette maquette

1. La fonction de consommation (équation (5))

La consommation réelle courante Ct est une fonction linéaire du revenu réel

courant (Yt/pt) et de la consommation réelle de la période écoulée Ct-1. La

présence de la consommation décalée Ct-1 dans la liste des variables

explicatives équivaut, en fait, à la spécification de Ct comme une fonction à

retards échelonnés des revenus réels courant et passés, soit :

0

121

2

0 ),19()/()(1 i

titit

i

t pYC

avec l‟hypothèse que l‟erreur suit un processus autorégressif d‟ordre un, soit :

.11121 ttt u

Dans cette spécification, on suppose que 102 , ce qui exprime la

consommation Ct comme une fonction linéaire affine de la somme pondérée

infinie des revenus courant et passés, les pondérations suivant une progression

géométrique décroissante.

La somme

0

2 )/()(i

itit

i pY s‟interprète comme un indicateur de la valeur de

long terme du revenu.

- 31 -


Pour montrer que la spécification (19) équivaut à la spécification autorégressive

(5), il suffit de calculer 12 tC en utilisant (19) et de soustraire cette quantité de

Ct. On a :

1

1121

0

11

1

2121

1

2

2012

)/()()/()(

)/(1

)1(

i

tt

i

itit

i

itit

i

tttt

pYpY

pYCC

= ttt upY 110 )/(

Ce qui donne bien la spécification (5).

La fonction d‟investissement (6)

Il s‟agit d‟une version de l‟accélérateur flexible. Sa dérivation théorique repose

sur l‟hypothèse que la variation Kt du stock de capital est proportionnelle à

l‟écart entre le stock courant de capital désiré par les entrepreneurs et le stock de

capital effectif de la période écoulée, soit :

)1()( 1

*

1 HKKKKK ttttt

Le coefficient représente la « vitesse d‟ajustement » du stock effectif de

capital au stock désiré.

On suppose ensuite que le stock désiré de capital est une fonction linéaire du

PNB réel Xt et du taux d‟intérêt nominal rt, soit :

- 32 -


)20(*

2

*

2

*

1

*

0

*

tttt urXK

Cette relation découle de l‟hypothèse que la production utilise une technologie

de type Cobb-Douglas. On montre en effet que dans ce cas, une condition de

maximisation du profit brut (c'est-à-dire avant impôt), à long terme, est :

),()( *

ttttt XpKrp c'est-à-dire que la valeur optimale du capital

(charges courantes d‟intérêt *

ttt Krp plus les charges d‟amortissement )( *

tt Kp )

est proportionnelle à la valeur de la production.

Il s‟ensuit que :

t

tt

r

XK * , relation dont la linéarisation conduit à l‟expression (20), au

terme d‟erreur près.

On obtient, en substituant (20) dans l‟hypothèse H1 :

*

21

*

2

*

1

*

0 tttt uKrXK

Par ailleurs, en tenant compte de l‟identité (4) et de l‟équation de dépréciation

du capital (14), on peut écrire :

*

21

*

2

*

1

*

0 tttttt uKrXDIK

C'est-à-dire :

- 33 -


ttttt uKrXI 213210 , en posant :

.;;;; 10

*

223

*

22

*

11

*

00 ttt uuu

Remarquons enfin le caractère simplificateur de l‟utilisation d‟un prix unique

(niveau général des prix) pour valoriser la production et les composantes de la

demande. Cette démarche élimine en effet les prix de l‟équation

d‟investissement. Le rôle des prix peut néanmoins être pris en compte dans cette

équation en remplaçant le taux d‟intérêt nominal par le taux d‟intérêt réel.

3.Equations du commerce extérieur

3.1. Exportations

Elles sont liées au niveau d‟activité mondiale, représenté par le volume du

commerce mondial, aux prix relatifs des biens produits à l‟extérieur par rapport

aux biens intérieurs, exprimés en unité monétaire locale (par application du taux

de change), et à la valeur décalée des exportations, qui traduit la lenteur de la

réaction des exportations aux variations de prix et aux autres chocs qui affectent

le commerce mondial. Notons que le niveau d‟activité mondiale aurait pu être

mesuré par la production réelle mondiale, mais celle-ci est plus difficile à

estimer que le volume du commerce mondial.

- 34 -


3.2. Importations

Elles dépendent d‟une part du niveau d‟activité intérieure, assimilé à la

production intérieure Xt, ce qui semble plus approprié pour les biens industriels

que pour les biens de consommation. L‟importation de ces derniers dépendrait

plutôt du revenu réel disponible qui serait une meilleure mesure de l‟activité

intérieure. D‟où la pertinence de l‟estimation de deux fonctions d‟importation au

moins, une pour les biens d‟équipement industriels, et une pour les biens de

consommation.

Elles dépendent d‟autre part du prix relatif des produits intérieurs par rapport

aux produits importés (p/pm), le prix pm des importations étant exprimé en

unités monétaires locales via le taux de change. Enfin la prise en compte des

importations décalées dans l‟explication des importations courantes se justifie de

la même façon que pour les exportations, à savoir la lente réaction de cette

variable aux modifications de prix et autres chocs qui affectent l‟activité

intérieure (d‟où la formulation autorégressive retenue pour l‟équation).

4. Fonction de production

Cette fonction est introduite pour décrire les conditions physiques de l‟offre (la

production réelle Xt). Elle n‟est cependant pas écrite sous la forme traditionnelle

de la fonction Cobb-Douglas classique, soit :

- 35 -


tttt uKALX 1

En effet, d‟une part, il a été procédé à la re-normalisation de cette formulation de

façon à exprimer le facteur travail Lt nécessaire à la production comme variable

dépendante. Bien qu‟équivalente mathématiquement à la formulation

traditionnelle, la formulation retenue est différente notamment du point de vue

du sens de la causalité. Si la production Xt et le stock de capital Kt-1 peuvent

être déterminés par d‟autres équations du modèle, la fonction de production re-

normalisée sert uniquement à calculer la force de travail nécessaire à l‟activité

productive.

Par ailleurs cette formulation représente la fonction de production de court

terme, ou plus exactement le processus d‟ajustement de la production aux

variations du seul facteur variable à court terme, à savoir le travail.

5. Equation de formation des prix

Il s‟agit d‟une relation empirique entre le niveau général des prix, le coût

unitaire de la main d‟œuvre, et le prix unitaire des importations. Le coût unitaire

de la main d‟œuvre est égal au ratio du taux de salaire wt et de la productivité du

travail (Xt/Lt). La relation entre le prix et le coût unitaire du facteur travail peut

être considérée, sur le long terme, comme une conséquence de la condition de

- 36 -


maximisation du profit avec une technologie de type Cobb-Douglas. Dans ce cas

en effet, on sait que :

t

t

t

t

p

w

L

X

: rémunération du travail à sa productivité marginale en valeur, c'est-à-

dire :

.t

t

t

t

p

w

L

X

On en déduit que : t

ttt

X

Lwp

Remarquons que la prise en compte du prix pm des importations dans l‟équation

des prix se justifie par la présence, dans les produits importés, de biens

intermédiaires et de biens d‟équipement utilisés dans le processus de production.

6. Equations de salaire et de participation de la main d‟œuvre

L‟équation de salaire explique la variation du taux de salaire par la variation du

niveau général des prix et l‟inverse du taux de chômage (relation de Philips).

Le taux d‟activité de la population est quant à lui lié au taux de chômage et au

taux réel de salaire.

- 37 -


7. Equation d‟offre de monnaie

En raison des fluctuations de la vitesse de circulation de la monnaie, la théorie

quantitative de la monnaie est généralement inappropriée pour expliquer la

détermination du revenu national et le niveau absolu des prix (de plein emploi).

L‟équation proposée lie la variation de la vitesse de circulation de la monnaie

positivement au taux d‟intérêt nominal et au taux d‟inflation et découle de la

théorie keynésienne et de certaines théories des cycles.

8. Equation de dépréciation du capital

Cette relation, purement technique, permet de lier le stock courant de capital à la

chronique des investissements bruts passés.

En effet, en remplaçant Dt par sa valeur dans cette équation, on obtient la

relation de récurrence suivante :

tttt uKIK ,101)1(

Cette relation dit que le stock actuel de capital est la somme du capital non

déclassé (1-)Kt-1 et des nouveaux achats d‟équipement (investissement brut).

Le développement de cette relation de récurrence donne la formule :

it

i

t IK )1( vt

- 38 -


avec : vt=(1-)vt-1-u10,t

Le stock courant de capital Kt est donc bien la somme pondérée des

investissements bruts courants et passés, le poids (1-)i des investissements étant

une fonction décroissante de leur ancienneté i et du taux de dépréciation du

capital, .

9. Les équations institutionnelles

Elles sont relatives aux variables fiscales et aux transferts qui interviennent dans

la définition des principaux agrégats relatifs à la production et au revenu

national (produit national aux prix du marché, revenu national aux coûts des

facteurs, revenu des ménages avant impôts, revenu disponible des ménages).

Elles sont supposées dépendre linéairement du niveau d‟activité économique.

D‟autres variables spécifiques reflétant les particularités institutionnelles

nationales (par exemple les exemptions fiscales particulières et les niveaux

minima imposés à certains transferts) peuvent être introduites dans la

spécification de ces équations, si nécessaire.

En raison de leur grande instabilité due aux changements réguliers de la

législation, ces équations doivent être souvent réestimées ou corrigées en

fonction des informations hors modèle disponibles.

- 39 -


Enfin, il est à noter que ces équations sont en général nominales, à la différence

des équations de comportement telles que l‟équation de consommation ou

d‟investissement.

- 40 -


CHAPITRE 3

ANALYSE ET EVALUATION DES MODELES MACROECONOMETRIQUES

Ce chapitre présente les principales notions nécessaires à l‟analyse et à

l‟évaluation des modèles macroéconométriques.

I. Analyse des modèles macroéconométriques

I.1. Simulation historique et prévision

Un modèle macroéconométrique à équations simultanées est généralement

spécifié sous forme dynamique, c'est-à-dire que certaines de ses variables

explicatives sont des variables endogènes décalées. Une fois estimé, ce modèle

peut être résolu par rapport à ses variables endogènes, en annulant le vecteur des

résidus et en se donnant des valeurs initiales pour les variables endogènes,

lorsqu‟on connaît les valeurs des variables exogènes.

Définition

La simulation d‟un modèle dynamique est la résolution de ce modèle sur

une période de temps donnée, pour des valeurs initiales connues des variables

endogènes et des valeurs observées ou fixées des variables exogènes. La

simulation est qualifiée d‟historique ou de rétrospective lorsqu‟elle est relative à

la période d‟estimation du modèle.

Motivation de la simulation : les motifs de la simulation d‟un modèle sont

divers : test de la qualité et évaluation du modèle sur la période d‟estimation,

test de la qualité prévisionnelle, analyse des politiques économiques. C‟est

l‟objectif visé par la simulation qui détermine l‟horizon temporel de celle-ci.

Supposons que le modèle a été estimé sur la période [1960, 1990] et qu‟on

se situe en t>1990.

- 41 -


La simulation est dite historique si elle concerne la période d‟estimation, comme

on l‟a déjà dit. Les valeurs des variables endogènes observées sur la période

antérieure à 1960 sont utilisées comme valeurs initiales, et les observations des

variables exogènes sur la période

[1960, 1990] sont utilisées dans la résolution du modèle par rapport aux

variables endogènes courantes. Au-delà de 1960, les solutions calculées reposent

sur les solutions obtenues pour les années antérieures : d‟où le terme

« simulation », c'est-à-dire calcul enchaîné des solutions successives en utilisant

les solutions des années précédentes.

La comparaison des solutions de simulation historique et des véritables valeurs

des variables endogènes permet de tester la validité du modèle.

Pour évaluer les scénarios de politique économique à l‟aide du modèle, on

procède à une simulation dite « ex-post ». Ceci peut se faire en modifiant la

valeur de certains coefficients estimés ou de certaines variables instruments de

politique économique (taxes, dépenses publiques), et en calculant les nouvelles

solutions du modèle après ces modifications, que l‟on peut comparer aux

solutions du modèle non modifié. Les conséquences économiques d‟une

modification des dépenses publiques, des impôts et taxes directes, ou de l‟offre

de monnaie, peuvent ainsi être déterminées à l‟aide de simulations ex-post.

Lorsque la simulation du modèle concerne une période postérieure à la période

d‟estimation, on parle de prévision. Lorsque la prévision est effectuée à un

moment où les valeurs des variables exogènes sont disponibles pour la période

ciblée par cette prévision, c‟est à dire lorsque l‟horizon prévisionnel est inférieur

- 42 -


à la date où on se situe et que les vraies valeurs des exogènes sont disponibles,

on parle de prévision ex-post ou inconditionnelle. La prévision ex-post vise à

tester la précision prédictive du modèle. Lorsque par contre la prévision est

effectuée pour une date future, c'est-à-dire postérieure à la date actuelle, elle

nécessite l‟estimation ou la projection préalable des valeurs futures des variables

exogènes. On parle de prévision « ex ante » ou conditionnelle.

A l‟instar de la simulation historique, la prévision est utilisable pour l‟analyse de

différents scénarios de politique économique relatifs aux variables exogènes

contrôlées par les autorités et au calcul de leurs effets sur les valeurs futures des

variables endogènes.

La simulation et la prévision à l‟aide des modèles macroéconométriques sont

réalisées aisément grâce aux divers logiciels économétriques actuellement

disponibles (Eviews, RATS, etc) qui utilisent des méthodes de résolution

numérique des modèles, notamment l‟algorithme de Gauss-Seidel qu‟on

présentera ultérieurement. La résolution ne peut se faire analytiquement que

pour les modèles de petite taille.

Exemple :

Considérons le modèle standard du multiplicateur-accélérateur :

Ct=a1+a2Yt-1 (1)

It=b1+b2(Yt-1-Yt-2) (2)

Yt=Ct+It+Gt (3)

C=consommation ; I=investissement ; Y=produit national brut ;

G=dépenses publiques (variable exogène).

- 43 -


Par substitution, on trouve l‟équation de récurrence d‟ordre 2 en Y :

Yt-(a2+b2)Yt-1+b2Yt-2=(a1+b1)+Gt (4)

Connaissant les valeurs estimées des coefficients ai et bi, 2 valeurs initiales pour

Y et la valeur de la variable exogène, cette équation de récurrence se résout

facilement (voir plus loin,à la sous-section I.3). Les solutions obtenues pour Y

servent ensuite à calculer C et I.

I.2. Définition et calcul des multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique

Les différents types de multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique

dynamique sont définis dans le cas d‟un modèle simple à deux équations puis

dans le cas d‟un modèle dynamique plus général.

Cas le plus simple :

Soit le modèle suivant :

Ct=aYt-1+b

Yt=Ct+At

Ct=Consommation ; Yt=PIB ; At=autres composantes de la demande, supposées

exogènes.

En substituant l‟équation de consommation dans l‟identité comptable, on peut

écrire les égalités successives :

Yt=aYt-1+b+At

aYt-1=a2Yt-2+ab+aAt-1

a2Yt-2=a

3Yt-3+ a

2b+a

2At-2

…………………………

- 44 -


En sommant et en simplifiant les deux membres de ces égalités successives, on

obtient la forme réduite de Yt :

Yt=(At+aAt-1+a2At-2+…)+b(1+a+a

2+…)=

a

bAa it

i

i

10

On peut définir les différents types de multiplicateurs à partir de cette forme

réduite.

Multiplicateur d‟impact :

C‟est la variation instantanée de Yt résultant d‟une variation unitaire de la

variable exogène At. C‟est donc : 1

t

t

A

Y

Multiplicateur décalé d‟ordre un :

C‟est l‟impact d‟une variation unitaire de At-1 sur Yt, soit : aA

Y

t

t

1

Multiplicateur décalé d‟ordre i :

C‟est la variation courante de Y, résultant d‟une variation unitaire de A survenue

i période plus tôt, soit : i

it

t aA

Y

Multiplicateur de longue période ou de long terme

C‟est le cumul des multiplicateurs décalés et du multiplicateur d‟impact, soit :

aa

i

i

1

1

0

en supposant que a]-1, 1[ .

C‟est l‟impact à long terme sur le revenu d‟une variation unitaire de la variable

exogène.

- 45 -


Généralisation

Considérons l‟expression matricielle d‟un modèle à équations simultanées, à

structure autorégressive d‟ordre 1, en omettent le vecteur des erreurs.

ttt BXZAZA 110 où Zt est le vecteur des variables endogènes courantes,

Zt-1 le vecteur des variables endogènes décalées d‟une période, Xt le vecteur des

variables exogènes courantes, A0, A1, et B des matrices de coefficients.

La forme réduite de ce modèle s‟écrit comme on le sait :

ttttt XZBXAZAAZ 211

1

011

1

0

avec 1

1

01 AA et BA 1

02

Définition

La matrice t

t

X

Z

2 représente la matrice des multiplicateurs d‟impact du

modèle. C‟est la matrice des variations instantanées de toutes le variables

endogènes suite à une variation unitaire de chaque variable exogène.

Développons la forme réduite du modèle. On a les égalités successives

suivantes :

nt

n

nt

n

nt

n

nt

n

nt

n

nt

n

ttt

ttt

ttt

XZZ

XZZ

XZZ

XZZ

XZZ

211

1

11

12

1

111

1

1

22

2

13

3

12

2

1

1212

2

111

211

.........................................

En sommant et en simplifiant ces égalités, on trouve l‟équation matricielle

- 46 -

1

1

12122

2

11212 ...

nt

n

nt

n

tttt ZXXXXZ

Les définitions générales suivantes résultent de l‟équation donnée ci-dessus :

Définition

La matrice des multiplicateurs décalés d‟ordre i des variables endogènes par

rapport au variables exogènes est la dérivée partielle du vecteur des variables

endogènes courantes par rapport au vecteur des variables exogènes décalées i

fois, soit : 21

i

it

t

X

Z. Elle donne l‟impact sur toutes les variables endogènes

d‟une variation unitaire de chaque variable exogène, survenue i périodes plus

tôt.

Définition

La matrice des multiplicateurs de longue période des variables endogènes par

rapport aux variables exogènes est la somme de la matrice des multiplicateurs

d‟impact et des matrices des multiplicateurs décalées d‟ordre i, i variant de 1 à

l‟infini, soit :

0

2

1

121

0

)(i

i

i it

t IX

Z , en supposant que la matrice (I- 1) est

inversible, I étant la matrice identité dont l‟ordre est égale au nombre de

variables endogènes.

Cette matrice mesure l‟impact à long terme sur les variables endogènes d‟une

variation unitaire de chaque variable exogène.

Exemple

Considérons la version suivante du modèle du multiplicateur-accélérateur, sans

terme constant et avec une fonction d‟investissement ayant comme variable

explicative la variation courante du revenu :

- 47 -

tttt

ttt

tt

GICY

YYbI

YaC

)( 12

12

On suppose que a2=0,5 et b2=2

Ecriture matricielle du modèle :

t

t

t

t

t

t

t

G

Y

I

C

Y

I

C

1

0

0

000

200

5,000

111

210

001

1

1

1

, soit ttt BXZAZA 110

avec : A0=

111

210

001

A1=

000

200

5,000

B=

1

0

0

Le déterminant de A0 est égal à -1, donc A0 est inversible et son inverse est égal

à :

111

212

0011

0A

La forme réduite du modèle s‟écrit : ttt XZZ 211 , avec :

5,100

100

5,000

000

200

5,000

111

212

001

1

1

01 AA

1

2

0

1

0

0

111

212

0011

02 BA : c‟est le vecteur des multiplicateurs

d‟impact.

Calculons les multiplicateurs décalés d‟ordre 1 et 2.

- 48 -

Multiplicateurs décalés d‟ordre 1 1 2=

5,1

1

5,0

1

2

0

5,100

100

5,000

Multiplicateurs décalés d‟ordre 2 :

25,2

5,1

75,0

5,1

1

5,0

5,100

100

5,000

1

2

0

5,100

100

5,000

5,100

100

5,000

2

2

1

Multiplicateurs de long terme : 2

1

1)( I

5,000

110

5,001

1I ;

200

210

101

100

15,00

5,005,0

5,0

1)( 1

1I

Donc :

2

0

1

1

2

0

200

210

101

)( 2

1

1I

Remarque : les formules matricielles de calcul des différents types de

multiplicateurs données ci-dessus ne sont évidemment valables que pour les

modèles linéaires et ne sont concrètement utilisables que pour les modèles de

petite taille. Lorsque le modèle est de grande taille et/ou non linéaire, les

multiplicateurs décalés ou dynamiques doivent être calculés par simulation. On

fait varier chaque variable exogène d‟une unité en maintenant inchangées les

- 49 -

autres variables exogènes, et on résout le modèle. La comparaison de ces

nouvelles solutions aux solutions de référence (i.e. avant modification) permet

de calculer les multiplicateurs de tous ordres. Notons que pour les modèles non

linéaires, les multiplicateurs dynamiques dépendent aussi des valeurs initiales

des variables endogènes pour la période de simulation.

I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles

Les modèles à équations simultanées sont censés décrire les interactions

dynamiques entre les différentes variables représentatives de l‟activité

économique. Il est donc primordial de connaître le comportement dynamique de

ces modèles, et d‟étudier leur stabilité, pour apprécier leur adéquation à la réalité

et leur pertinence.

L‟étude de la dynamique ou de la stabilité des modèles repose sur la résolution

d‟équations aux différences (ou de récurrence), vérifiées par les variables

endogènes du modèle. La résolution de ces équations permet d‟établir les

conditions de stabilité ou d‟instabilité des solutions des modèles dynamiques à

équations simultanées. La détermination de ces conditions sera effectuée à l‟aide

du modèle classique du multiplicateur-accélérateur (Samuelson) donné à la page

2. Ce modèle linéaire se ramène à une équation de récurrence par substitution de

la consommation et de l‟investissement dans l‟identité comptable. Cette

équation, appelée équation dynamique fondamentale, s‟écrit :

tttt GbaYbYbaY )()( 1122122

Il s‟agit d‟une équation de récurrence d‟ordre 2.

L‟étude de la dynamique du modèle se ramène à la résolution de l‟équation

homogène associée à l‟équation précédente, qui s‟écrit :

0)( 22122 ttt YbYbaY

- 50 -

La résolution de cette équation se fait, rappelons le, en supposant qu‟une

solution particulière générale s‟écrit sous la forme t

t AY .En reportant cette

solution dans l‟équation homogène, on obtient l‟équation caractéristique du

modèle :

0)( 222

2 bba

Les solutions de l‟équation caractéristiques, appelées racines caractéristiques,

déterminent les propriétés dynamiques du modèle. Ces solutions s‟écrivent :

2

)( 221

ba et

2

)( 222

ba , avec 2

2

22 4)( bba

Les solutions de l‟équation homogène sont donc

t

t AY 11 et tAY 222 , où A1 et A2 sont des constantes qui dépendent des

valeurs initiales de Yt. Il en résulte que la solution générale de l‟équation

homogène est la somme de ces deux solutions particulières : tt

t AAY 2211 .

La stabilité ou la dynamique du modèle repose sur la valeur des racines 1 et2

de l‟équation caractéristique. Les différents cas suivants sont à envisager :

1. Les racines caractéristiques sont réelles, c'est-à-dire >0 ( 222 2 bba ) :

Dans ce cas soit les solutions Yt évolueront de manière stable et non

oscillatoire , si les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1 en

valeur absolue, et a2 et b2 sont alors compris entre 0 et 1, soit ces solutions

suivront une trajectoire explosive et non oscillatoire si l‟une au moins des

racines caractéristiques est supérieure en valeur absolue à 1 , et dans ce

cas, a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient à [1,4] (représenter

graphiquement la courbe d‟équation 222 2 bba ).

- 51 -

2. Les racines caractéristiques sont complexes, c'est-à-dire<0, soit

222 2 bba

Dans ce cas, soit la trajectoire des solutions sera stable et oscillatoire

(sinusoïdale) si les coefficients a2 et b2 sont compris entre 0 et 1, soit cette

trajectoire explosive et oscillatoire si a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient

à [1, 4].

3. L‟équation caractéristique a une racine réelle double, c'est-à-dire =0, soit

222 2 bba

Cette racine double est égale à 222

12

bba

. Les deux solutions de

l‟équation de récurrence homogène sont donc tA 11 et t

tA 12 , et leur somme est

la solution générale de cette équation. La trajectoire des solutions de l‟équation

générale sera instable (explosive) si 11 , c'est-à-dire si b2>1. Elle sera

convergente et stable au bout d‟une période de temps plus ou moins longue dans

le cas contraire.

Notons que cette résolution analytique de l‟équation de récurrence qui décrit la

trajectoire des solutions d‟un modèle dynamique n‟est possible que si le

décalage maximum des variables endogènes du modèle est inférieur à 3.

Lorsque l‟ordre de l‟équation de récurrence est élevé, sa résolution doit se faire

numériquement, ce qui se fait aisément à l‟aide de la plupart des logiciels

économétriques disponibles actuellement.

Exemple d‟étude de la stabilité d‟un modèle

Reprenons le modèle du multiplicateur-accélérateur étudié plus haut.

Supposons que a2=0,6 et b2=0,1. Alors, 1=0,35+0,15=0,5 et2=0,35-0,15=0,20.

- 52 -


Donc les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1, et la trajectoire des

solutions est stable et non oscillatoire (non cyclique).

Supposons maintenant que a2=0,6 et b2=0,8. Alors =1,96-3,2=-1,24<0. Les

racines caractéristiques sont donc complexes et s‟écrivent :

1=0,7+0,56i et 2=0,7-0,56i

Par ailleurs le module de ces racines est inférieur à 1. Les solutions du modèle

suivent donc dans ce cas une trajectoire amortie et cyclique, c'est-à-dire stable.

I.4. Simulation stochastique

La simulation historique ou les prévisions formulées à l‟aide d‟un modèle sont

des solutions déterministes de ce modèle, c'est-à-dire des solutions obtenues en

annulant le vecteur des résidus du modèle.

Si le modèle est dynamique d‟ordre p, on peut l‟écrire de la façon suivante :

F(Zt,…,Zt-p, Xt, a)=ut , où F est un vecteur de fonctions représentant la

partie déterministe des équations, Zt, …, Zt-p, désignant les vecteurs des variables

endogènes courantes et décalées, Xt désignant le vecteur des variables exogènes,

a étant un vecteur regroupant l‟ensemble des coefficients du modèle, et ut étant

le vecteur des perturbations aléatoires associées aux équations stochastiques du

modèle. Une fois le vecteur a estimé par â à l‟aide de toute méthode appropriée,

on peut calculer le vecteur des résidus ût en soustrayant tZ et son estimation,

obtenue en supposant dans un premier temps que ût est nul, c'est-à-dire en

résolvant le système :

F(Zt,…,Zt-p, Xt, â)=0

- 53 -


Les solutions ainsi obtenues sont dites déterministes. Elles sont entachées

d‟erreurs, en raison du caractère imparfait de l‟estimation â de a, et de

l‟hypothèse de nullité retenue pour les résidus d‟estimation. Il importe donc de

pouvoir estimer l‟incertitude relative aux solutions déterministes du modèle,

c'est-à-dire leur précision.

Cette précision est estimée à l‟aide des techniques de simulation stochastique. Il

s‟agit d‟évaluer l‟écart-type des erreurs des solutions déterministes du modèle en

tirant des pseudo-échantillons d‟erreurs permettant de calculer des échantillons

de solutions non déterministes sur une période donnée. Ces solutions non

déterministes (ût non nul) sont utilisées pour construire une série d‟erreurs de

simulation dont l‟écart-type représente la précision des solutions déterministes

du modèle.

Le tirage aléatoire des pseudo-échantillons d‟erreurs se fait en supposant que le

vecteur ût des résidus d‟estimations suit une loi normale multidimensionnelle de

moyenne le vecteur nul et de matrice de variance-

méthode d‟estimation. Les logiciels économétriques actuellement disponibles

sont d‟un grand secours pour ce genre de tirages. Mais la mise en oeuvre des

techniques de simulation stochastique reste encore une tâche ardue. Le lecteur

intéressé peut se reporter par exemple à Ray C. Fair (1984).

II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques

L‟évaluation de la qualité des prévisions d‟un modèle macroéconométrique est

une autre façon d‟apprécier la pertinence des spécifications retenues pour les

équations du modèle. Les prévisions d‟un modèle peuvent être évaluées de façon

ponctuelle ex post, en déterminant les causes probables de la bonne ou de la

mauvaise qualité de ces prévisions. Cette analyse explicative a posteriori des

causes des erreurs ponctuelles de prévision est cependant insuffisante, et doit

- 54 -

être complétée par une analyse statistique des séries d‟erreurs de prévision

enregistrées sur une période de temps suffisamment longue. Deux approches

sont couramment utilisées pour analyser statistiquement les séries de prévisions

et d‟erreurs de prévision d‟un modèle macroéconométrique : le calcul sur

différentes périodes de statistiques d‟erreurs, et le test de l‟efficacité

prévisionnelle du modèle.

II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles : les

statistiques d‟erreur prévisionnelle.

Soit yt, t=1 à n, la série des observations d‟une variable pour les dates comprises

entre t=1 et t=n, et y*t, la série des prévisions de la même variable effectuées à

l‟aide du modèle en t-l (prévisions à l‟horizon l).

La série des erreurs de prévision à l‟horizon l est égale à : et=yt-y*t, t=1,…, n.

La qualité des prévisions peut être appréciée visuellement en représentant

graphiquement les deux séries (yt) et (y*t) (courbes des observations et des

prévisions de la variable). Si les prévisions sont de bonne qualité, les deux

courbes sont pratiquement confondues. Dans le cas contraire, elles sont

nettement distinctes, voir divergentes. Cette appréciation graphique doit être

vérifiée et complétée par le calcul de quelques statistiques d‟erreur qui résument

la qualité des prévisions analysées. Les statistiques les plus utilisées sont :

L‟erreur quadratique moyenne MSE ou sa racine carrée RMSE

n

t

ten

MSE1

21 ; 2

1

1

2 )1

(

n

t

ten

RMSE

Cette statistique d‟erreur est considérée comme la meilleure statistique d‟erreur

parce qu‟elle est mathématiquement analogue à une fonction de risque

- 55 -

quadratique, préférée dans la plupart des problèmes de décision formalisée, et

utilisée notamment en estimation statistique (critère des moindres carrés).

L‟erreur quadratique moyenne en pourcentage ou sa racine carrée

n

t t

tt

y

yy

nMSE

1

2

*

*

)(1

% et %MSE

L‟erreur moyenne

n

t

ten

EM1

1

Le test de sa nullité correspond au test d‟absence de biais prévisionnel

systématique.

L‟erreur absolue moyenne

n

t

ten

EAM1

1

L‟erreur absolue moyenne en pourcentage

n

t t

tt

y

yy

nEAM

1*

*1

%

Ces statistiques, purement descriptives, sont utiles pour comparer la qualité

prévisionnelle du modèle pour différentes périodes, ou pour comparer les

performances de différents modèles.

II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle

Ce test, proposé par H. Theil, est une autre approche utilisée pour apprécier la

qualité prévisionnelle d‟un modèle. Il consiste à vérifier si la droite d‟ajustement

- 56 -


de la série (At) des observations d‟une variable, à la série (Pt) des prévisions de

cette variable, se confond avec la droite de prévision parfaite, At=Pt.

Il suffit donc d‟estimer la droite d‟équation At=a+bPt, et de tester l‟hypothèse

(a=0 et b=1).

Le non rejet de cette hypothèse par un test usuel de Fisher signifie, d‟après la

terminologie de H. Theil, que les prévisions du modèle sont efficaces.

La validité de ce test repose évidemment sur la stationnarité des séries (Pt) et

(At), ou à défaut, sur leur cointégration.

En plus de ces résumés statistiques et des tests d‟absence de biais et d‟efficacité

prévisionnelle, les prévisions d‟un modèle sont appréciées en comparaison avec

celles d‟autres modèles disponibles ou faciles à construire (modèles

d‟extrapolations naïves ou sophistiquées comme les modèles de Box et Jenkins).

- 57 -


Eléments de Bibliographie

1. Artus P., Deleau M., et P. Malgrange : Modélisation macroéconomique,

Economica, 1986.

2. Daloz J.-P. et C. Goux : Macroéconomie appliquée : du simple au

complexe, Cujas, 1985.

3. Fair, R.: Specification, Estimation and Analysis of Macroeconometric

Models, Harvard University Press, 1984.

4. Klein, L.: Lectures in Econometrics, North Holland, 1983.

5. Pyndick R. S. and D. L. Rubinfeld : Econometric Models and Economic

Forecasts, Mc Graw Hill.

6. Wallis K. F.: “Large Scale Macroeconometric Modeling”, in Handbook of

Applied Econometrics, Vol.1, Pesaran M. H. and M. R. Wickens, ed.,

Blackwell, 1999.

- 58 -


Exercices

Exercice 1 :

Dans un modèle relatif à l’économie américaine (celui de Ray C. Fair), l’équation de la production

nationale repose sur les 3 hypothèses suivantes :

Hypothèse 1 : )log()log( *

tt XV (log=logarithme népérien).

Hypothèse 2 : ))log()(log()log()log( 1

**

tttt VVXY

Hypothèse 3 : ttttt YYYY ))log()(log()log()log( 1

*

1

Avec : Vt=niveau des stocks des entreprises à la fin de la période t.

Xt=niveau des ventes des entreprises pour la période t.

Yt=production des entreprises à la période t.

*

tV et *

tY désignent les niveaux désirés ou anticipés de Vt et Yt, et t est un terme d’erreur

aléatoire. Les lettres , et sont des coefficients.

1. Donner la signification de chacune des trois hypothèses, en précisant la signification

de et

2. Déterminer l’expression de log(Yt) qui résulte de ces hypothèses.

3. Calculer les élasticités de court et de long terme de la production par rapport aux ventes, sachant

que les estimations des coefficients de l’équation de production sont :

683,01 , 243,0 , 88,0)1( .

Exercice 2 :

On propose la spécification suivante pour la demande agrégée de travail des entreprises au niveau

national :

- 59 -

ttttt uLKXL )log()log()log()log( 131210

Avec : Xt=PNB réel de l’année t ; Kt-1=stock réel de capital à la fin de l’année t-1 ;

Lt=demande agrégée de travail à l’année t ; ut=terme d’erreur aléatoire ; les lettres

grecques indicées i sont des coefficients ; log=logarithme népérien.

1. Commenter cette équation.

2. Montrer qu’elle résulte de la renormalisation et de la dynamisation d’une fonction de production

agrégée de type Cobb-Douglas.

Exercice 3 :

On donne le modèle suivant, décrivant une économie fictive fermée :

tt YC 9,0

tttt YYYI 2,0)(5,0 21

tttt GICY

Avec : Ct=consommation en t ; Yt=revenu en t ; It=investissement en t ; Gt=dépenses publiques en t

(exogènes).

1. Commenter succinctement ce modèle.

2. Ecrire le modèle sous la forme matricielle suivante :

tttt BXZAZAZA 22110

Avec:

t

t

t

t

Y

I

C

Z , et Ai, i=0, 1,2 et B désignant les matrices des coefficients.

3. Déterminer la forme réduite du modèle.

4. Calculer les multiplicateurs d’impact, les multiplicateurs décalés d’ordre un, et les

multiplicateurs de long terme des variables endogènes par rapport à la variable exogène.

Commenter les résultats obtenus.

5. Etudier la stabilité du modèle.

cours de modelisation mse 2013

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