cours dimensionnement structures

7/30/2019 cours dimensionnement structures

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Dimensionnement desstructures

Antoine Legay

Matre de confrence

2012-2013

Cnam-Paris


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Table des matires

I Sollicitations simples sur les poutres 1I.1 Hypothses de poutre 1

I.2 Poutre dans son environnement 3

I.3 Torseur de cohsion 4I.3.1 Dfinition 4

I.3.2 Dtermination 4

I.3.3 Classification des sollicitations 5

I.4 Traction 6I.4.1 Torseur de cohsion 6

I.4.2 Contrainte normale 6

I.4.3 Allongement et dformations 7

I.4.4 Relation contrainte-dformation 7

I.4.5 Dplacement 8

I.4.6 Relation entre effort normal et chargement 8

I.5 Torsion 9I.5.1 Torseur de cohsion 9

I.5.2 Moment quadratique polaire de la section 10

I.5.3 Contrainte tangentielle 10

I.5.4 Dformation et rotation des sections 11


I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement 12

I.6 Flexion 12I.6.1 Torseur de cohsion 12

I.6.2 Moment quadratique de section 13

I.6.3 Contrainte normale 14I.6.4 Dplacement 15



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ii

I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement 16

II Calcul de treillis 19II.1 Hypothses et critres de dimensionnement 19

II.1.1 Hypothses sur les liaisons 19II.1.2 Rgles de construction dun treillis 20

II.1.3 Critre de dimensionnement 22

II.2 Mthode des nuds 22

II.3 Flambage des poutres droites 22II.3.1 Introduction 22

II.3.2 Charge critique de flambage 23

II.3.3 Critre de dimensionnement 25

II.3.4 Autres conditions aux limites 25

III Contraintes et dformations 27

III.1 Introduction 27III.2 Caractrisation des contraintes et des dformations tridimensionnelles 28

III.2.1 Oprateur des contraintes et des dformations 30

III.2.2 Thorme de superposition 31

III.3 Problme plan 31III.3.1 Hypothses 31

III.3.2 Etat de contraintes planes 32

III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carr non align avec x et y 33

III.3.4 Expressions des dformations dun carr non align avec x et y 35

III.3.5 Relation entre les contraintes et les dformations dun carr non align avec x et y 36

III.3.6 Directions principales 36

III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes 37

IV Critres de dimensionnement 41IV.1 Objectifs 41

IV.2 Matriaux ductiles : critre de Tresca 41

IV.3 Matriaux ductiles : critre de Von Mises 43

IV.4 Comparaison des critres de Tresca et de Von Mises 44

IV.5 Fatigue des matriaux 44

V Initiation au calcul lments finis 47V.1 Etude de llment de barre 47

V.1.1 Equilibre de llment barre 47

V.1.2 Exemple dapplication 49

V.1.3 Remarques sur la mthode des lments finis 49

V.2 Etude de deux barres 49V.2.1 Assemblage des matrices de rigidit lmentaires 49

V.2.2 Mise en uvre pratique 51

V.3 Elment barre pour le calcul des treillis 52

V.4 Elment de poutre pour le calcul des portiques 54

VI Moyens exprimentaux 57

VI.1 Jauges de dformation 57VI.1.1 Principe 57VI.1.2 Pont de Wheatstone 58


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iii

VI.1.3 Utilisation du boitier 60

VI.1.4 Diffrents montages 60

VI.1.5 Capteurs jauges 62

VI.1.6 Exploitation dune rosette de 3 jauges 45o 62

VI.2 Photolasticit 63VI.2.1 Principes 63VI.2.2 Mise en quation 66

VI.2.3 Rseaux de courbes caractristiques 68


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I Sollicitations simples sur les poutres

I.1 Hypothses de poutre

Hypothses gomtrique

La figure I.1 montre un assemblage de poutres permettant de construire une charpente

mtallique. Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres.

Figure I.1 Charpente constitue dun assemblage de poutres

Dun point de vue plus gomtrique, une poutre est un solide engendr par une surface

plane appele section droite constante ou lgrement variable dont le plan reste ortogonal

une courbe de grand rayon appele ligne moyenne dcrite par le centre de surface O

de la section droite (Fig. I.2). La plus grande dimension transversale est petite devant la

longueur de la fibre moyenne (rapport de 5 10 au moins).

Dans le cadre de ce cours, on ne sintresse quaux poutres droites, cest dire celles

dont la ligne moyenne est une droite. De plus, dans la majorit des cas, on ne prend que

des sections constantes.


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2 Sollicitations simples sur les poutres

MO

O

s

1

1

2

Figure I.2 Modle de poutre et coupure fictive en deux parties.

F

F2

F2

Figure I.3 Principe de Saint-Venant.

Hypothses sur le matriau

On suppose que le matriau est :

homogne : les proprits sont les mmes en tout point,

isotrope : les proprits sont les mmes dans toutes les directions, ce qui nest pas le

cas dun matriau composite,

continu : le matriau ne contient pas dasprits, il y a continuit de la matire.

Hypothses sur les dformations et les dplacements

On suppose que les dformations sont petites et restent dans le domaine lastique. De plus

le dplacement est aussi considr petit devant la taille de la poutre, cela permet de faire

tous les calculs sur la configuration initiale et non dforme de la poutre.

Hypothses sur le chargement

Le chargement est appliqu progressivement, on nglige les effets dinertie et on ne sintresse

qu la configuration finale statique.

Principe de Saint-Venant

Les contraintes et les dformations dans une rgion loigne du point dapplication des

efforts ne dpendent que du torseur des efforts de cohsion au point considr (Fig. I.3).


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I.2 Poutre dans son environnement 3

Figure I.4 Hypothse de Bernoulli.

y

A1

xB1 B2 An Bm

Figure I.5 Poutre dans son environnement.

Autrement dit, la faon dont on applique le chargement na pas dinfluence loin de

lapplication de la charge.

Hypothse de Bernoulli

Une section de la poutre initialement plane et perpendiculaire la ligne moyenne reste plane

et perpendiculaire la ligne moyenne aprs dformation (Fig. I.4).

I.2 Poutre dans son environnement

La poutre dans son environnement subit des actions mcaniques extrieures (Fig. I.5). Ces

actions sont partages en deux groupes : actions des liaisons et actions des efforts extrieurs.

La poutre est en liaison avec lextrieur aux points Ai :

torseurs des actions mcaniques notsLAi

ces actions sont inconnues

Les efforts extrieurs sont appliqus aux points Bi

torseurs des actions mcaniques nots

Bi

ces actions sont connues

Dans le plan (x , y ), les liaisons classiquement rencontres sont :

encastrement : xy

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 Mz

articulation : xy

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 0

appui simple :x

yL =

0 Mx

Fy 00 0


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1

O

T

(M,

n

)

nO

Figure I.6 Vecteur contrainte.

I.3 Torseur de cohsion

I.3.1 Dfinition

Une poutre est coupe en deux parties par une section fictive de centre de section

O (Fig. I.2). Le torseur de cohsion est le torseur des actions mcaniques de 2 sur 1

travers la surface exprim en O.

Laction surfacique de 2 sur 1 travers la surface est une force surfacique appele

"vecteur contrainte" pour la direction normale n ; cette action surfacique est noteT (M, n ) (Fig. I.6). Le torseur de cohsion est la somme sur la surface de T (M, n ) on est le vecteur tangent laxe de la poutre en O.

La rsultante vaut :s =

T (M, n )d.

Le moment au point O de vaut :

MO =

OM T (M, n )d.

Finalement le torseur de cohsion en O vaut :

KO

=

sMO

O

I.3.2 Dtermination

La dtermination du torseur de cohsion se fait en crivant lquilibre de 1 ou de 2. On

utilise les notations suivantes :L : torseur des actions mcaniques inconnues sur la poutre provenant des liaisons,

: torseur des actions mcaniques connues sur la poutre ,L 1 : torseur des actions mcaniques inconnues sur la partie 1, 1 : torseur des actions mcaniques connues sur la partie 1,L 2 : torseur des actions mcaniques inconnues sur la partie 2, 2 : torseur des actions mcaniques connues sur la partie 2,2 1 = KO : torseur des actions mcaniques de 2 sur 1, cest dire le torseur

de cohsion.

Lquilibre de la poutre scrit L

+

=

0

.


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I.3 Torseur de cohsion 5

x x xN Mt Mfz

TyTorsion FlexionTraction

Figure I.7 Diffrentes sollicitations pour les poutres.

Ceci permet de dterminer le torseur inconnuL

dans le cas ou le problme est isostatique.

Lquilibre de la partie 1 scritL 1

+

1

+

2 1

=

0

o

2 1

est le torseur de cohsionKO

. On en dduit que le torseur de cohsion vaut

KO = L 1 1.Lquilibre de la partie 2 scrit

L 2

+

2

+

1 2

=

0

o

1 2

=

2 1

= KO

daprs le thorme des actions mutuelles. On en

dduit que le torseur de cohsion vaut

KO = L 2 + 2.I.3.3 Classification des sollicitations

Dans le cas dune poutre droite, on utilise habituellement le repre orthonorm (x , y , z )o x est suivant la ligne moyenne et les vecteurs y et z sont dans les directions transver-sales. Dans ce repre, le torseur de cohsion vaut

KO

=

N Mt

Ty Mfy

Tz Mfz

O

o

N est leffort normal,

Ty est leffort tranchant suivanty ,

Tz est leffort tranchant suivantz ,

Mt est le moment de torsion,

Mfy est le moment de flexion autour dey (flexion dans le plan (x , z )),

Mfz est le moment de flexion autour dez (flexion dans le plan (x , y )).

La figure I.7 prsente graphiquement ces diffrents cas. Les sollicitations simples tudies

dans la suite du cours sont rpertories dans le tableau I.1. Un rsum rcapitulant les

formules savoir est prsent dans le tableau I.2.


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Traction Torsion Flexion pure Flexion simple

(plan (x , y )) (plan (x , y ))

KO = N 0

0 00 0O

0 Mt

0 00 0O

0 0

0 00 MfzO

0 0

Ty 00 MfzO

Tableau I.1 Sollicitations simples.

x

O

A

l

x

xO

yz O O

yz

Fx

Fx

Figure I.8 Poutre en traction.

I.4 Traction

I.4.1 Torseur de cohsionOn suppose une poutre daxe x soumise un chargement de traction : Fx lextremitdroite en A et Fx lextrmit gauche en O (Fig. I.8). Laire de la section est note S.

En appliquant la formule suivante pour calculer le torseur de cohsion,KO

=L 2

+

2

avec L 2

=

0

et

2

=

Fx |0

O

on a KO = Fx |0 O

donc leffort normal N vaut ici F.

I.4.2 Contrainte normale

On suppose que le vecteur contrainte dans une section de la poutre (perpendiculaire la

ligne moyenne) est port par x et quil est uniforme sur toute la surface . On note levecteur contrainte x ou est la contrainte normale de traction.

Le torseur de cohsion en O centre de la section vaut :

TO

=

sMO

O


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I.4 Traction 7

avecs =

x d = Sx

et

MO =

(yy + zz ) x d = 0car y et z sont des fonctions impaires intgres sur des intervalles symtriques. Finalement :

TO

=

Nx0

O

o N est leffort normal qui vaut N = S ou encore

=N

S.

On parle de traction lorsque N et sont positifs, on parle de compression quand N et sont ngatifs.

I.4.3 Allongement et dformations

Lorsque la poutre est soumise de la traction, le matriau tant dformable, elle sallonge.

Cet allongement, not l, a une unit (millimtre ou mtre). La valeur de l, pour un

mme matriau et une mme section S, dpend de la longueur l. Afin de pouvoir comparer

les rsultats entre eux, on prfre utiliser une grandeur adimensionne que lon note et qui

vaut

= ll

.

On appelle lallongement axial unitaire.

La dformation axiale entraine pour la plus part des matriaux des dformations dans

les directions transversales y et z notes y et z. Elles valent

y = z = .

Le coefficient est appell coefficient de Poisson, il caractrise le rtrcissement transversal

dune poutre sollicite en traction. Ce coefficient a t caractris par Simon Denis Poisson

(franais, 1781-1840).

I.4.4 Relation contrainte-dformation

Les essais montrent que et sont proportionnels et obissent la loi

= E

dans le domaine lastique du matriau (voir aussi la figure IV.1 dans la partie sur le critre

de Tresca). Cette constante E ne dpend que du matriau, cest le module de Young ou

module dlasticit longitudinal. Ce module a t caractris par Thomas Young (anglais,

1773-1829).

Son unit est le Pascal.


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u(x)

x

u(x + x)

x + x

x

u(x + x) u(x) + x

Figure I.9 Dformation dun tronon de poutre en traction

I.4.5 Dplacement

La section fictive situe labscisse x (OO = xx ) se dplace dans la direction axiale xdun vecteur u(x)x . Autrement dit, le vecteur u(x)x est le vecteur dplacement du pointO.

On montre quil existe une relation entre et u(x) donne par

=du(x)

dx.

Preuve On isole un petit tronon de poutre de longueur x compris entre les abscisses x et x+x (Fig. I.9).

Lextrmit de gauche se dplace dune valeur u(x), la section de droite se dplace dune valeur u(x + x).

La longueur finale du tronon est u(x+x)u(x)+ x, son allongement est u(x+x)u(x). La dformation

du tronon est alors

= u(x + x) u(x)x

En faisant tendre x vers 0, on obtient exactement la dfinition de la drive :

limx0

u(x + x) u(x)

x=

du(x)

dx

On a bien

=du(x)

dx

La dformation est la drive du dplacement par rapport x.

En remplaant par son expression en fonction de , puis de N, on a

= E

= NES

,

soit la relation entre le dplacement et leffort normal

du(x)

dx=

N(x)

ES(x).

I.4.6 Relation entre effort normal et chargement

On tudie un tronon de poutre qui nest soumis qu un effort axial linique px . Par

exemple, pour une poutre verticale o laxe x est vers le bas, cette force linique vautp = gS


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I.5 Torsion 9

x x + x

x

N(x + x)N(x) p

Figure I.10 Equilibre dun tronon de poutre en traction

o est la densit du matriau conposant la poutre, g est la gravit et S est laire de la

section de la poutre.

Dans ce tronon, on montre que lon a la relation suivante entre leffort normal et la

charge linique :dN

dx+p = 0.

Preuve On isole un petit tronon de poutre de longueur x compris entre les abscisses x et x + x (Fig.

I.10). Lextrmit de gauche subit la force N(x) car la matire est droite et, par convention, leffort

normal est laction de la partie de droite sur la partie de gauche (en supposant que laxe positif soit vers la

droite). Lextrmit de droite subit la force N(x + x). Le tronon subit la force linique p, soit la rsultante

px. Lquilibre du tronon scrit

N(x) + N(x + x) + px = 0

soit en divisant par xN(x + x)N(x)

x+ p = 0

En faisant tendre x vers 0, on obtient exactement la dfinition de la drive :

limx0

N(x + x)N(x)

x=

dN(x)

dx

On a biendN(x)

dx+ p = 0

I.5 Torsion

I.5.1 Torseur de cohsion

On suppose une poutre de section circulaire daxe x , encastre son extrmit gauche Oet soumise un moment Cx son extrmit droite A (figure I.11).


=L 2

+

2

avec L 2

=

0

et

2

=

0 | Cx

O

on a

KO = 0 | Cx O

donc le moment de torsion Mt vaut ici C.


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Ox

z

e

M

er

y

Cxr

M

y

er

z

e

Figure I.11 Poutre sollicite en torsion.

I.5.2 Moment quadratique polaire de la section

Le moment quadratique polaire de la section dabscisse x est not I0(x). Il peut dpendrede x si la section de la poutre varie, son expression est :

I0(x) =

S(x)

r2dS

Pour une section circulaire de rayon R (diamtre D = 2R), le calcul est le suivant :

I0 =

r=Rr=0

=2=0

r2(r d dr) = 2R4

4=

D4

32

Pour une section circulaire creuse de diamtre extrieur De et de diamtre intrieur Di,

le moment quadratique polaire vaut

I0 =

32

D4e D4i

.

I.5.3 Contrainte tangentielle

On utilise le repre cylindrique (er , e , x ) pour reprer un point M de la poutre, ainsiOM = xx + re r. Le vecteur contrainte au point M appartenant une section de lapoutre et pour la direction axiale x est port par e et quil est proportionel r :

T (M, x ) = e

On peut montrer que la contrainte tangentielle en un point M de la poutre vaut :

(x, r) =Mt(x)

I0(x)r

o I0(x) est le moment quadratique polaire en O de la section.

Preuve On suppose que la rpartition de contrainte tangentielle est proportionnelle r :

(x, r) = maxr

R

o max est la valeur de la contrainte sur la peau de la poutre et R est la rayon de la poutre. Le moment

du torseur de cohsion

M

O vautMO =

OM

T(M,n ) d


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I.5 Torsion 11

z

y

x x + x

x

r

(x + x) (x)

x

(x)

a

(x)

(x)

(x + x)

a

r

Figure I.12 Dformation et rotation des sections

soit iciMO =

rer maxr

Re d =

max

R

r2dx =

max

RI0x

Donc on a

Mt =I0

Rmax

soit aussi

max =R

I0Mt

En remplaant dans lexpression de , on a bien le rsultat attendu.

I.5.4 Dformation et rotation des sections

Une section dabscisse x tourne dun angle (x) sans se dformer. La dformation est une

distorsion angulaire entre deux sections trs proches caractrise par (x). Elle est propor-

tionnelle r et la variation de (x), soit

= rd

dx.

Preuve Deux sections distantes de x tournent respectivement des angles (x) et (x + x). La rotation

relative entre les deux sections est de (x + x) (x) (Fig. I.12). Cette rotation relative provoque ladistorsion angulaire (x) qui caractrise la dformation en torsion. La relation entre (x) et (x) est

tablie gomtriquement en dessinant deux triangles rectangles :

un triangle dans le plan tangent au cylindre, qui fait apparaitre langle (x) ( gauche sur la figure

I.12),

un triangle dans le plan de la section, qui fait apparaitre langle (x + x) (x) ( droite sur la

figure I.12).

Ces deux triangles partagent un cot de longueur a. On peut crire dans le triangle faisant intervenir (x)

que

tan (x) =a

x

et dans le triangle faisant intervenir (x) que

tan((x + x) (x)) =a

rLes angles tant petits, on a

tan (x) (x)


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et

tan((x + x) (x)) (x + x) (x)

En crivant lgalit de a, on a

(x) x = r((x + x) (x))

En divisant par x et en faisant tendre x vers 0, on a la dfinition de la drive

(x) = r limx0

(x + x) (x)

x

On a bien

(x) = rd

dx.


La contrainte tangentielle est proportionnelle la dformation et au module dlasticit

transversal G :

= G.

En remplaant par son expression en fonction de , on a

= rGd

dx.

En utilisant lexpression de en fonction du moment de torsion, on a donc

d(x)

dx=

Mt(x)

GI0(x).

I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement

On tudie un tronon de poutre qui nest soumis qu une rpartition linique de moment

cx .Dans ce tronon, on peut montrer que lon a la relation suivante entre le moment de

torsion et la rpartition linique de moment :

dMtdx

+ c = 0.

I.6 Flexion

I.6.1 Torseur de cohsionOn suppose une poutre daxe x , encastre son extrmit gauche O et soumise unchargement transversal Fy son extrmit droite A (Fig. I.13).


=L 2

+

2

avec L 2

=

0

et 2

=Fy | 0

A

=Fy | OA(Fy )

O

=Fy | (lx)x (Fy )

O


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I.6 Flexion 13

v(x)

Fy

x

y

O O A

x

y

M(x, y)

x

y

0 Variation de la contrainte normale travers lpaisseur

x

yallongement des fibres, traction

rtrcissement des fibres, compression

L

y

z

Dforme de la section(coefficient de Poisson)

Figure I.13 Poutre sollicite en flexion.

2

=

Fy |(x l)Fz

O

on a KO = Fy |(x l)FzO

donc leffort tranchant Ty et le moment de flexion Mfz valent ici :

Ty = F ; Mfz = (x l)F.

I.6.2 Moment quadratique de section

Le moment quadratique autour de laxe (O,z ) de la section dabscisse x est not I(O,z )(x).

Il peut dpendre de x si la section de la poutre varie, son expression est :

I(O,

z )(x) = S(x) y2dS

On dfinit le moment quadratique autour de laxe (O,y ) comme :

I(O,y )(x) =

S(x)

z2dS.

Pour une section rectangulaire dpaisseur h suivant y et de largeur b suivant z , lecalcul est le suivant :

I(O,z )(x) =

h2

h2

b2

b2

y2dzdy = b

h2

h2

y2dy = by3

3

h2

h2

=bh3

12.

De mme, on a :

I(O,y )(x) =hb3

12.


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y

z

I =(D4 d4)

64

d

D

y

za

a

I =a4

12

y

z

I =D4

64

D

y

z

I =bh3

12

b

h

y

za

b

h

section en I

Figure I.14 Moments quadratiques des sections courantes.

Le thorme de transport de Huygens permet de calculer le moment quadratique dune

section plus complexe :

I = I + Sd2

o I est le moment quadratique autour dun axe passant par le barycentre de la section, S

est laire de la section et d est la distance entre les deux axes et . Le calcul de I pour

la section en i scrit :

I =b(a h)3

12+ 2bh

3

12+ bha2

2Pour les sections les plus courantes, les moments quadratiques sont donns sur la figure

I.14.

I.6.3 Contrainte normale

Une poutre en flexion subit des contraintes normales la section et des contraintes tan-

gentielles . Dans le cas tudi, les fibres suprieures sont tires et les fibres infrieures

sont comprimes. La fibre moyenne ne subit pas de contraintes normales.

On peut montrer que la contrainte normale en un point M(x, y) de la poutre vaut :

(x, y) = Mfz(x)I(x)

y


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I.6 Flexion 15

o I(x) est le moment quadratique de la section.

De plus, mme si la contrainte tangentielle nest pas uniforme dans une section, une

bonne approximation de sa valeur est

(x) = T(x)S(x)

.

La contrainte tangentielle est gnralement trs petite devant la contrainte normale, elle est

donc souvent nglige.

Ces relations sont dmontres en exercices dirigs.

I.6.4 Dplacement

La poutre se dforme sous laction du chargement. Les points de la ligne moyenne se dpla-

cent suivant y de la valeur v(x). Autrement dit, le vecteur v(x)y est le vecteur dplacementdu point O.

Ce dplacement est reli au moment de flexion par la formule

EI(x)d2v(x)

dx2= Mf(x)

ou encored2v(x)

dx2=

Mf(x)

EI(x)

o E est le module dYoung du matriau et

d2v(x)

dx2 est la drive seconde de v(x) par rapport x.

La drive premire de v(x) reprsente la rotation de section dabscisse x autour de z .En notant (x) langle de rotation de section autour de z , on a

(x) =dv(x)

dx

soit la relationd(x)

dx=

Mf(x)

EI(x).


Ltat de contrainte tant quivalent de la traction-compression, la dformation est un

allongement unitaire dans la direction axiale. Son expression en fonction du dplacement

est :

(x, y) = d(x)dx

y = d2v(x)

dx2y.

La relation entre la contrainte normale et lallongement unitaire suivant x est

= E

o E est le module dYoung.


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I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement

On tudie un tronon de poutre qui nest soumis qu un effort transversal linique py .Par exemple, pour une poutre horizontale o laxe y est vers le haut (gravit vers le bas),

cette force linique vautp = gS

o est la densit du matriau composant la poutre, g est la gravit et S est laire de la

section de la poutre.

Dans ce tronon, on peut montrer que lon a la relation suivante entre leffort tranchant

et la charge linique :dTydx

+ p = 0.

On peut aussi montrer que lon a la relation suivante entre le moment de flexion et leffort

tranchant :dMfz

dx+ Ty = 0.


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25/77

II Calcul de treillis

II.1 Hypothses et critres de dimensionnement

II.1.1 Hypothses sur les liaisons

Un treillis est une structure compose de barres rotules entre elles (Fig. II.1). Les barres

sont connectes entre elles par des nuds, centres des liaisons rotules. Les articulations sont

supposes parfaites. Cette simplification permet de rsoudre relativement facilement le prob-

lme. Mme si les liaisons ne sont pas rellement des rotules mais des liaisons boulonnes,

on peut considrer dans une premire approche la structure comme un treillis de barres

rotules. Cela permet de trouver une bonne approximation des efforts normaux dans les

barres et donc de dimensionner.

La barre AB est connecte aux nuds A et B. Le torseur des actions mcaniques de A

sur la barre vaut en A TA

A=

FA|0

B

A

barre AB

FA

FB

Figure II.1 Structure de type treillis de barres


26/77

20 Calcul de treillis

De mme, le torseur des actions mcanique de B sur la barre vaut en B

TB

B=

FB|0

Lquilibre de la barre scrit en AFA | 0

A

+

FB | AB FB

A=

0 | 0

SoientFA = FB

etAB FB = 0

Leffort extrieur FB est donc port par laxe de la barre. En notant i le vecteur unitaireallant de A vers B, on a

i =

AB

AB et

FB = FA = NABi

o NAB est leffort normal dans la barre AB.

Une barre rotule ses deux extrmits ne subit que de la traction-compression. Chaquebarre reste un segment de droite aprs dformation, la figure II.1 montre la dforme globale

dun treillis (barres en tirets).

Si lon veut considrer les liaisons comme des encastrements, des moments sont alors

transmis et de la flexion apparat dans les barres ainsi que de la torsion dans le cas dune

structure tridimensionnelle : cest un portique. La modlisation dune structure comme un

treillis rotul a longtemps tait utilise dans les bureaux dtudes avant larrive des moyens

de calculs informatiques.

II.1.2 Rgles de construction dun treillisTreillis plan isostatique

Le systme le plus simple est constitu par un triangle, soient 3 barres et 3 nuds (Fig.

II.2a). En notant n le nombre de nuds et b le nombre de barres, partir dun triangle

(n = 3, b = 4), chaque ajout de x nuds impose lajout de 2x barres, soit

n = 3 + x ; b = 3 + 2x ; 2n = 3 + b

Le nombre de barres b est li au nombre de nuds n pour que le systme soit isostatique. Il

faut de plus que les encastrements du treillis nimposent pas dhyperstatisme la structure.


27/77

II.1 Hypothses et critres de dimensionnement 21

a) n=3 ; b=3 b) n=4 ; b=5Treillis hyperstatiquesTreillis isostatiques

Figure II.2 Construction dun treillis

Figure II.3 Treillis avec mobilit interne

Treillis plan hyperstatique

Si 2n < 3 + b alors le treillis est hyperstatique, la mthode de rsolution des efforts normaux

prsente ensuite ne suffit pas dterminer elle seule les efforts dans les barres (Fig.

II.2b)). Il faut rsoudre le problme en crivant que les allongements des barres ne sont pas

indpendants pour que les barres restent articules entre elles.

Treillis plan avec mobilit interne

Si 2n > 3 + b alors il y a Indtermination des efforts normaux et des mouvements sont

possibles sans efforts extrieurs (Fig. II.4).

Treillis tridimensionnel

Le treillis tridimensionnel le plus simple est compos de 4 nuds et de 6 barres. A chaque

nouveau nud, il faut ajouter 3 nouvelles barres pour garder lisostatisme. La rgle dun

treillis isostatique tridimentionnel est alors :

n = 4 + x ; b = 6 + 3x ; b = 3n 6

n = 4

b = 6

n = 4 + 1

b = 6 + 3

Figure II.4 Treillis tridimensionnel


28/77


x

y

u () (1)

(2)(n)

n

1

2

F

Figure II.5 Mthode des nuds, quilibre dun nud.

II.1.3 Critre de dimensionnement

Les barres tant en tat de traction (NAB>0) sont dimensionnes la traction (Section I.4),

les barres tant en tat de compression (NAB


29/77

II.3 Flambage des poutres droites 23

quilibre instable

quilibre stable

Figure II.6 Equilibre stable, quilibre instable

F < Fcr

F = Fcr

N = FMf = 0

N = FMf

= 0

aprs flambageavant flambage

Figure II.7 Poutre en compression

en quilibre instable au sommet dune montagne. Par analogie, lquilibre est dit stable si

la structure revient sa position dquilibre aprs une petite perturbation de sa position.

II.3.2 Charge critique de flambage

Une poutre droite en compression garde sa forme droite tant que leffort normal N est

infrieur la charge critique de flambage Fcr (Fig. II.7).

Ltude se fait sur la configuration dforme (Fig. II.8). Un point O de la ligne moyenne

avant dformation devient le point O

aprs dformation.

On note le dplacement de ce point v(x) :

OO

= v(x)yLe torseur de cohsion en O

est laction de (2) sur (1), en isolant (1), on a :

{K} = {Text(1)} = {Fx |0 }0

{K} = {Fx |O

O (Fx )}0

Fx xO

: (x, v(x))

v(x)

y

(1) (2)O : (x, 0)

Figure II.8 Etude sur la configuration dforme.


30/77


n = 2

n = 1

n = 3

n = 4

Figure II.9 Flambage dune poutre droite articule pour diffrentes valeurs de n.

O

O (Fx ) = (xx v(x)y ) (Fx ) = v(x)FzFinalement

{K} = {Fx | v(x)Fz}O

donc le moment de flexion vaut Mf = v(x)F, or le moment de flexion vaut aussi Mf =EI v(x) donc

EI v(x) + v(x)F = 0.

Cette quation diffrentielle a pour solution

v(x) = sin x + cos x avec v(0) = 0 et v(L) = 0.

Cela entraine que = 0 et que sin L = 0 donc =n

Lo n est un entier. Finalement,

lexpression de v(x) est

v(x) = sinn

Lx, donc v(x) =

n

Lcos

n

Lx, et v(x) = n

22

L2sin

n

Lx.

En remplaant dans lquation diffrentielle de dpart, il vient

EI

n22

L

2sin

n

L

x + F sinn

L

x = 0.

En simplifiant par sin nL

x, on trouve lexpression de F qui assure une solution lquation

diffrentielle :

F = EIn22

L2.

Si F est tel quil existe un n entier qui satifasse cette dernire quation alors la configuration

dquilibre peut tre de la forme v(x) = sin nL

x.

Dans la pratique, la charge augmente en commenant par 0. Ds que la charge est gale

EI2

L2, cest dire la premire valeur de n entier (ici n = 1), alors la poutre prend la

configuration "courbe". La valeur de ntant pas donne, cette valeur peut devenir trs

grande et conduire la ruine de la poutre.

La figure II.9 montre les dformes pour diffrentes valeurs de n.


31/77

II.3 Flambage des poutres droites 25

Poutre lance, grand

Poutre courte, petit

Figure II.10 Elancement dune poutre droite.

II.3.3 Critre de dimensionnement

La contrainte critique de flambage pour n = 1 vaut

cr =Fcr

S=

EI 2

L2S.

En posant r =

IS

, rayon de giration et = Lr

, llancement, on a

cr =E2

2.

Llancement caractrise la flxibilit de la poutre : plus est grand plus la poutre est

lance, plus est petit plus la poutre est courte (Fig. II.10).

En notant Re la limite lastique du matriau, il y a risque de ruine par flambage si

cr < Re, soit encore :

Si cr < Re, ruine par flambage : la charge critique de flambage est atteinte avant la

limite lastique, dimensionnement au flambage,

Si Re < cr, ruine par compression : la limite lastique est atteinte avant la charge

critique de flambage, dimensionnement en compression.

Ce choix de dimensionnement peut se faire en comparant llancement critique cr

pour le lequel cr = Re :

cr = Re E2

2cr= Re cr =

E2

Re

Cette valeur ne dpend que du matriau, par exemple pour un acier dusage gnral :

E = 200GPa ; Re = 240MPa cr = 90 Si < cr ( 100 pour lacier) alors on dimensionne en compression : la critre scrit

= |NS

| < Res

o s est le coefficient de scurit

Si > cr ( 100 pour lacier) alors on dimensionne au flambage : le critre scrit|N| < Fcr

so s est le coefficient de scurit

Si est proche de cr des mthodes danalyse plus fines existent mais ne sont pas

dtailles ici.

II.3.4 Autres conditions aux limites

Pour dautres appuis aux extrmits, les formules restent valables en remplaant la longueur

L par une longueur quivalente Le. Le tableau II.1 donne Le suivant les cas, L dsigne la

longueur relle de la poutre. La charge critique de flambage vaut alors :

Fcr = EI2

L2e


32/77


extrmit 1 extrmit 2 Le

rotul rotul L

libre encastr 2L

encastr encastr 0, 5 L

encastr rotul 0, 7 L

n = 2

rotul rotul 0, 5 L

Tableau II.1 Longueurs quivalentes suivant les conditions aux extrmits.


33/77

III Contraintes et dformations

III.1 Introduction

Le solide est en quilibre sous laction de forces extrieures (Fig. III.1).

Pour connaitre ltat de contrainte lintrieur du solide, on isole un petit cube d. Les

objectifs sont de :

Caractriser les forces agissant sur le petit cube : ce sont des forces internes la matire

qui sont vues par le cube comme des forces surfaciques (Pa ou MPa) agissant sur les

6 faces ; ces forces surfaciques sont appelles contraintes,

Caractriser les dformations du petit cube : le cube sallonge (ou se rtrci) dans

chaque direction et les angles initialement de 90o entre les arrtes du cube changent,

Etablir les relations entre les contraintes et les dformations,

Proposer un critre de dimensionnement.

d

Figure III.1 Solide en quilibre sous laction de forces extrieures.


34/77

28 Contraintes et dformations

d

x

x

x

xz

y

Figure III.2 Traction suivant x du petit cube.

III.2 Caractrisation des contraintes et des dformations tridimen-

sionnelles

On isole le petit cube d en tudiant plusieurs tats simples : 3 tats de traction dans les 3 directions x , y et z , 3 tats de cisaillement dans les 3 plans.

Le repre (x , y , z ) est align avec les arrtes du cube. La superposition de ces 6 tatsdonne ltat de contrainte gnral dans lequel peut se trouver un petit lment de matire.

Etat de traction suivant xLtat de traction suivant x (Fig. III.2) est caractris par des forces surfaciques xx et

x

x appliques sur les 2 faces ayant pour normales x et

x . Il est facile de vrifier quele cube est bien en quilibre. On a les relations suivantes :

x = Ex ; y = x ; z = x

o E est le module dYoung, le coefficient de Poisson, x est la contrainte normale ap-

plique suivant x et x, y et z sont les allongements unitaires suivant x , y et z . Cesrelations sont celles issues de la traction dune poutre. Le coefficient de Poisson entraine

des dformations dans les directions transversales. La contrainte x a pour unit le Pa, les

dformations sont sans dimension.

On peut alors crire les dformations en fonction des contraintes :

x =1

Ex ; y =

Ex ; z =

Ex

Etat de traction suivant yDe la mme faon, ltat de traction suivant y donne les relations suivantes :

y = Ey ; x = y ; z = y

et on peut alors crire les dformations en fonction des contraintes :

x = E

y ; y =1

Ey ; z =

Ey


35/77

III.2 Caractrisation des contraintes et des dformations tridimensionnelles 29

x

y

2

Figure III.3 Cisaillement dans le plan (x, y) du petit cube.

Etat de traction suivant zEnfin, ltat de traction suivant z donne les relations suivantes :

z = Ez ; x = z ; y = z

et on peut alors crire les dformations en fonction des contraintes :

x = E

z ; y = E

z ; z =1

Ez

Cisaillement dans le plan (x , y )On applique sur le cube les forces surfaciques suivantes (Fig. III.3) :

y sur la face de normale x x sur la face de normale y y sur la face de normale x x sur la face de normale y

Lquilibre en rsultante est facile vrifier. Lquilibre en moment est vrifi en crivant

la somme des moments au centre du cube.

La contrainte tangentielle engendre une distorsion angulaire du cube : langle de 2avant dformation devient un angle de 2 . La relation entre et scrit :

= G

o G est le module dlasticit transversale exprim en Pa. La contrainte de cisaillement

(ou tangentielle) a pour unit le Pa, est sans dimension. Lexpression de G en fonction

de E et est :

G =E

2(1 + )

Etant donn que cet essai est effectu dans le plan (x , y ), on utilise alors les notationssuivantes :

xy = Gxy

ou encorexy =

1

Gxy


36/77


Cisaillement dans le plan (x , z )En faisant simplement une permutation des indicea xy en xz, on a

xz = Gxz

ou encore

xz =1

Gxz

Cisaillement dans le plan (y , z )En faisant simplement une permutation des indicea xy en yz, on a

yz = Gyz

ou encore

yz =1G

yz

Superposition des 6 tats

En supposant que lon applique en mme temps les 6 sollicitations simples au petit cube,

on a alors en ajoutant les contributions de chaque chargement aux dformations :

x =1

Ex

Ey

Ez

y

=

E

x+

1

E

y

E

z

z = E

x E

y +1

Ez

xy =1

Gxy ; xz =

1

Gxz ; yz =

1

Gyz

On rappelle que

G =E

2(1 + )

III.2.1 Oprateur des contraintes et des dformations

Afin de simplifier les notations et de regrouper dans un mme objet les 6 contraintes dune

part et les 6 dformations dautres part, on pose les deux matrices suivantes :

On appelle oprateur des contraintes, la matrice S dfinie par

S =

x xy xz

xy y yz

xz yz z

(x ,y ,z )

Les quantits sont appeles les contraintes normales, les quantits sont appeles

les contraintes de cisaillement.


37/77

III.3 Problme plan 31

y

x

hz

S : plan moyen

d

Figure III.4 Plaque sollicite dans son plan.

On appelle oprateur des dformations, la matrice E dfinie par

E =

xxy

2

xz

2

xy

2y

yz

2

xz

2

yz

2z

(x ,y ,z )

Les quantits sont appeles les allongements unitaires, les quantits sont appeles

les distorsions angulaires.

III.2.2 Thorme de superpositionSoit le chargement 1 donnant ltat de contrainte S 1. Soit le chargement 2 donnant ltatde contrainte S 2.

Ltat de contrainte S associ la somme des deux chargements et la somme des deux

oprateurs des contraintes :

S1 =

1x

1

1 1y

(x ,y )

S2 =

2x

2

2 2y

(x ,y )

S = S 1 + S 2 = 1x + 2x 1 + 2

1 + 2 1y + 2

y

(x ,y )

Il existe exactement le mme thorme pour loprateur des dformations.

III.3 Problme plan

III.3.1 Hypothses

On sintresse aux contraintes et dformations dune plaque mince charge dans son plan

(Fig. III.5). On attache la plaque un repre (x , y , z ) o z est perdendiculaire laplaque et x et y sont dans le plan Dans cette configuration, rien ne dpend de z.


38/77


x

d y

d

y

x-x x

-

-

y

-y

Figure III.5 Petit carr isol.

III.3.2 Etat de contraintes planes

On isole un petit cube d de la plaque, dpaisseur h, align avec les axes x et y . Ce cubene subit aucune contraintes sur la faces de normales z et z , par consquent : z = 0,xz = 0, yz = 0.

Afin de simplifier les notations :

on note = xy,

on reprsente le cube de dessus comme un carr dans le plan (x , y ), on reprsente les contraintes sur les cots du carr par une seule flche au centre de

larrte.

Le dessin de la figure III.5 reprsente un carr isol de la plaque.Le carr subit les contraintes suivantes :

contrainte normale x dans la directionx ,

contrainte normale y dans la directiony ,

contrainte de cisaillement dans les directions x et y .Loprateur des contraintes dans le plan (x , y ) est not

S =

x

y

(x ,y )

La figure III.6 montre le carr dform suite au chargement appliqu sur ses 4 cots.

Lallongement du carr dans la direction x est caractris par lallongement unitaire x.Lallongement du carr dans la direction y est caractris par lallongement unitaire y. Ladistorsion angulaire du carr est caractris par .

A partir des relations tridimensionnelles entre les contraintes et les dformations, et en

utilisant le fait que z = 0, xz = 0, yz = 0, on obtient :

x =1

E

x

E

y

y = E

x +1

Ey


39/77


y

x

2

y

x

Figure III.6 Dformations du petit carr.

x

yy

--

-y

y

x

d-x

x

d

y

x-x x

-

-

y

-y

Figure III.7 Contraintes sur un petit carr non align x et y.

=1

G

Soit en inversant les quations (rsolution dun systme de 2 quations 2 inconnues) :

x =E

1 2

x + y

y =E

1 2

x + y

= G

On rappelle queG =

E

2(1 + )

Ces relations sont valables dans le cas prsent des contraintes planes.

III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carr non align avec x et y

Tous les dveloppements prcdents sont faits sur un carr align avec les axes x et y .Pourtant rien nempche disoler un carr non align avec ces axes. On isole par exemple sur

la figure III.7 un carr d align avec les axesx et

y inclins dun angle par rapport

x et

y .

Ce carr subit les contraintes suivantes :

contrainte normale x dans la directionx ,


40/77


--y

y

xM-x-

x

ly

lx

l

x

Figure III.8 Petit triangle en quilibre autour de M.

contrainte normale

y dans la direction y

, contrainte de cisaillement dans les directions

x et

y .

On note S loprateur des contraintes dans la base (x ,

y ) comme

S =

x

y

(

x ,

y )

Il existe des relations S et S. Afin de trouver ces relations, on isole autour du point M un

petit triangle dpaisseur h (Fig. III.8). On suppose que ltat de contrainte est le mme entout point du triangle.

Le bilan des actions mcaniques agissante sur les 3 faces du triangle est

sur la face de normale x : F1 = xhlyx hlyysur la face de normale y : F2 = yhlxy hlxxsur la face de normale

x :

F3 =

xhlx + hl

y

Les relations entre les longueurs des cots sont

ly = cos l,lx = sin l.

Lquilibre en rsultante donne

F1 +

F2 +

F3 =

0 ,

soit aussi en simplifiant par h

xlyx lyy ylxy lxx + xlx + l

y =

0 ,

soit en remplaant lx et ly par leurs expressions en fonction de l puis en simplifiant par l :

x cos x cos y y sin y sin x + xx +

y =

0 ,


41/77


De plus, les directionsx et

y scrivent dans la base (x , y ) sous la forme

x = cos x + sin y

y

= sin x + cos yOn a finalement

x cos x cos y y sin y sin x +x cos x +x sin y sin x + cos y =0

qui scrit aussi

x cos sin = x cos + sin et

x sin + cos = cos + y sin

Ce systme de 2 quations 2 inconnues donne les contraintes subies par le carr inclin de en fonction des contraintes subies par le carr non inclin :

x = x cos 2 + y sin

2 + 2sin cos

= (y x)sin cos En utilisant les formules trigonomtriques suivantes

cos2 =1 + cos 2

2; sin2 =

1 cos22

; 2 cos sin = sin 2

on a alors :

x =

x

y2 cos2 + sin2 +

x +

y

2

= x y2

sin2 + cos2

En isolant un triangle tourn dun angle de 2 par rapport celui utilis, on en dduit que

y = x y

2cos2 sin2 + x + y

2

III.3.4 Expressions des dformations dun carr non align avec x et y

Le carr non align avec x et y se dforme suite aux contraintes x,

y et qui lui sont

appliques. La figure III.9 montre le carr dform suite au chargement appliqu sur ses 4cots. Lallongement du carr dans la direction

x est caractris par lallongement unitaire

x. Lallongement du carr dans la directiony est caractris par lallongement unitaire y.

La distorsion angulaire du carr est caractris par .

Les relations entre les dformations (x,

y, ) et (x, y, ) sont similaires celle obtenues

pour les contraintes :

x =x y

2cos2 +

2sin2 +

x + y2

y =

x y2

cos2

2

sin2 +x + y

2

2= x y

2sin2 +

2cos2


42/77


x

yy

x

y

x

2

y

xy

2

x

Figure III.9 Dformations du carr non align x et y.

III.3.5 Relation entre les contraintes et les dformations dun carr non align

avec x et y

Les relations entre les contraintes et les dformations dun carr inclin dun angle sont

les mmes que celles pour le carr non inclin :

x =1

Ex

Ey

y =

Ex +

1

Ey

=1

G

ou encorex =

E

1 2

x +

y

y =

E

1 2

x +

y

= G

On rappelle que

G =E

2(1 + )

III.3.6 Directions principales

On dit que les directionsx et

y sont directions principales si le carr inclin ne subit pas

de cisaillement, autrement dit, si = 0 (Fig. III.10). Les directions principales sont notes

dans la suite n1 et n2, elles sont orthogonales.Langle 0 tel que

= 0 soit nul vrifie lquation

x y2

sin20 + cos20 = 0

soit

0 =1

2arctan

xy

2

Les directions principales n1 et n2 sont alorsn1 = cos 0x + sin 0y


43/77


x

yy

--

-y

y x

d-x

x x

y

d

2

-2

1

-1

x = n1

y = n2

0

Figure III.10 Directions principales.

n2 = sin

0

x+ cos

0

y

Les contraintes principales 1 et 2 valent

1 =

x(0) et 2 =

y(0)

soient

1 =x y

2cos20 + sin20 +

x + y2

2 = x y2

cos20 sin20 + x + y2

III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes

Lorsque varie, cest dire lorsque lon fait vari linclinaison du petit carr isol, x et

voluent. Le but est de reprsenter les contraintes normale et tangentielle sur un graphique

quand varie en portant x en abscisse et en ordonne dans un repre orthonorm.

Pour donn, on a

x x + y

2=

x y2

cos2 + sin2

=

x y

2

sin2 + cos2

soit aussi en ajoutant les carrs des deux expressions prcdentes

x

x + y2

2+

2= R2

avec

R =

x y2

2+ 2

Ceci est lquation dun cercle dans le repre (x, ), de centre ( x+y2 , 0) et de rayon R.

Le cercle peut tre trac la rgle et au compas (Fig. III.11) :

le centre C est le milieu du segment [x y] sur laxe des abscisses

un point du cercle a pour coordonnes (x, )


44/77


20

x

R

C

x+y2

xy2

d

x

2

y

x

1x

y

Figure III.11 Cercle de Mohr des contraintes

Ce cercle reprsente lensemble des points (

x,

) possibles dans le repre (x

, y

) quand varie.

Les contraintes normales principales 1 et 2 sont les points dintersections du cercle avec

laxe des abscisses car la contrainte tangentielle est nulle en ces deux points. On appelle

1 langle caractrisant la direction principalen1 et 2 langle caractrisant la direction

principale n2. On sait que langle 0 tel que soit nul vrifie

tan20 =

x y2

=cot oppos

cot adjacent

Graphiquement, on mesure langle 20 comme langle reliant dans cet ordre les trois points(x, 0), C puis (x, ). Le sens positif est le sens trigonomtrique.

Dans tous les cas, par convention, on prend 1 droite et 2 gauche.

Si y < x (Fig. III.12) alors 1 = 0 et 2 = 0 +2 ,

Si x < y (Fig. III.13) alors 1 = 0 +2 et 2 = 0.


45/77


C

x

20C

xy x

202 1 2 1

0 > 0 0 < 0

y x

Figure III.12 Cas o y < x : 1 = 0 et 2 = 0 + 2

C

xC

xxx yy

2 1 2 1x

0 > 0 0 < 0

20

20

y

Figure III.13 Cas o x < y : 1 = 0 + 2 et 2 = 0


46/77


47/77

IV Critres de dimensionnement

IV.1 Objectifs

Le but est de vrifier que les contraintes dans la structure restent acceptables pour ne pas

engendrer de rupture en fonctionnement. Pour les matriaux ductiles, les critres utiliss

couramment imposent que le matriau reste dans le domaine lastique en tout point de

la structure, cest le cas des critres de Tresca et de Von Mises. De plus, le phnomne

de fatigue est le critre de dimensionnement prendre pour les pices subissant un grand

nombre de cycles de chargement.

IV.2 Matriaux ductiles : critre de Tresca

Ce critre est d Henri Edouard Tresca (1814-1885) qui fut professeur titulaire de la chaire

de mcanique du Cnam. Il a observ que le facis de rupture dune prouvette casse suite un chargement de traction tait inclin 45o par rapport laxe de traction pour les

matriaux ductiles. Or le cisaillement tant maximal pour cet angle, il en a dduit que la

rupture se fait par glissement engendr par les contraintes de cisaillement. Le critre est

donc bas sur le cisaillement maximal.

Ltat de contrainte la limite lastique dune prouvette de traction daxe x est

S =

Re 0 0

0 0 0

0 0 0

(x ,y ,z )

Le cercle de Mohr associ cet tat de contrainte (Fig. IV.2) donne le cisaillement maximal

max =Re

2. Le critre de Tresca est


48/77

42 Critres de dimensionnement

zonezoneplastique

xx

45o

xx

zone

lasti

que

xx

zone utile de lprouvette

xx

dcrouissage

facis de rupture 45o

zone

de

striction

Figure IV.1 Essai de traction rupture.

Re2

max =Re2

Re

x

Figure IV.2 Cercle de Mohr la limite lastique pour un essai de traction.

max u1 alors la barre est en traction,

Si u2 < u1 alors la barre est en compression,

Le torseur de cohsion en O

peut scrire de deux faons :

KO

=

ext. 2

N = F2


54/77

48 Initiation au calcul lments finis

Figure V.1 Exemple de calcul par lments finis dun pylne lectrique (lments barres).

x

y

1

u1 u2

2Avant dformation :

Aprs dformation :

F1x F2x

O

Figure V.2 Elment barre 2 noeuds.

ou KO

=

ext. 1

N = F1

La relation entre N, u1 et u2 pour une poutre en traction est

N =ES

ll N = ES

l(u2 u1)

En remplaant N par F2 puis par F1, on a alors

F1 = ES

l (u2 u1) F1 =ES

l (u1 u2)

F2 = ESl

(u2 u1) F1 = ESl

(u1 + u2)

Ces deux dernires relations scrivent sous la forme matricielle suivante :F1

F2

=

ES

l

1 1

1 1

u1

u2

La matrice

k =

ES

l 1

1

1 1 est appelle la matrice de rigidit de llment barre.


55/77

V.2 Etude de deux barres 49

V.1.2 Exemple dapplication

On prend une poutre encastre gauche (u1 = 0), et on applique un effort F lextrmit

droite (F2 = F). Le systme matriciel rsoudre est le suivant :

ES

l

1 1

1 1

u1

u2

=

F1

F2

qui devient ici

ES

l

1 1

1 1

0

u2

=

F1

F

o les inconnues sont le dplacement de lextrmit droite u2 et la force de raction de

lextrmit gauche F1. Ce systme de 2 quations 2 inconnues donne la solution

u2 =

F l

ES

et

F1 = F

Leffort normal est dtermin par

N =ES

l(u2 u1) = ES

l(

F l

ES 0) = F

V.1.3 Remarques sur la mthode des lments finis

La mthode des lments finis est base sur lcriture de lquilibre des lments. La rsolu-

tion dun problme par lments finis permet de dterminer les inconnues defforts de liaisons

(rsolution du problme de statique) et les inconnues de dplacements et defforts normaux

(rsolution du problme de r.d.m.) ; que le problme soit isostatique ou hyperstatique.

V.2 Etude de deux barres

V.2.1 Assemblage des matrices de rigidit lmentaires

On suppose deux barres de longueurs, de modules dYoung et de sections diffrentes colles

bout bout et soumises de la traction (Fig. V.3). Les barres sont numrotes I et II, elles

sont relies trois nuds 1, 2 et 3. Ces trois nuds subissent les forces extrieures F1x ,

F2x et F3x . Lquilibre global scrit

F1 + F2 + F3 = 0.

A lquilibre, lensemble des deux barres sest dform, les nuds 1, 2 et 3 se sont dplacs

respectivement de u1x , u2x et u3x (u1 < u2 < u3 si les deux barres sont en traction).

Les diffrentes quations scrivent :

quilibre du nud 1 (mthode des nuds)

F1 + N1 = 0 N1 = F1


56/77


IIN2x N2x

F3xN2x 3

1 2 3I II

F1x N1x1

I N1x

N2x2

N1x

N1xF2

x

u1x u2x u3xtat dform

E2, S2E1, S1

Figure V.3 Deux barres en traction.

quilibre de la barre I (section prcdente)k1 k1

k1 k1

u1

u2

=

N1N1

avec k1 =E1S1

l1. Ce systme scrit aussi

k1 k1 0k1 k1 0

0 0 0

u1

u2

u3

=

N1N1

0

quilibre du nud 2F2 N1 + N2 = 0 N1 N2 = F2

quilibre de la barre II k2 k2

k2 k2

u2

u3

=

N2N2

avec k2 =E2S2

l2. Ce systme scrit aussi

0 0 0

0 k2 k20 k2 k2

u1

u2

u3

= 0

N2N2


57/77

V.2 Etude de deux barres 51

quilibre du nud 3

F3 N2 = 0 N2 = F3En ajoutant les deux systmes dquations prcdents dcrivant les quilibres des deux

barres, on a : k1 k1 0

k1 k2 + k1 k20 k2 k2

u1

u2

u3

=

N1N1 N2

N2

En utilisant enfin les rsultats provenant des quilibres des nuds : N1 = F1, N1N2 = F2et N2 = F3, il vient :

k1 k1 0k1 k2 + k1 k2

0

k2 k2

K

u1

u2

u3

Q

=

F1

F2

F3

F

Cette opration est lopration dassemblage des matrices de rigidit lmentaires, la matrice

K est appele matrice de rigidit de la structure, le vecteur Q est le vecteur des inconnues

de dplacements et le vecteur F est le vecteur des forces extrieures :

KQ = F

V.2.2 Mise en uvre pratique

La premire tape consiste crire les deux matrices de rigidit des deux lments

k1 =

u1 u2 k1 k1 u1

k1 k1 u2et k2 =

u2 u3 k2 k2 u2

k2 k2 u3

en reprant les lignes et les colonnes de chaque matrice par les inconnues de dplacements

associes. On range ensuite dans la matrice de rigidit K de la structure chaque terme des

deux matrices la ligne et la colonne correspondante :

K=

u1 u2 u3k1 k1 0 u1k1 k1 + k2 k2 u2

0 k2 k2 u3

Le systme rsoudre est alors KQ = F.

La deuxime tape consiste faire le bilan des dplacements et des forces connus et

inconnus. En prenant un encastrement lextrmit gauche et en appliquant une force F

lextrmit droite, on a :

Q =

u1

u2

u3

= 0, connu

inconnu

inconnu

F =

u1

u2

u3

inconnu, raction lencastrement

= 0, connu

= F, connu


58/77


u1Y

u1X

u2

X

1

u2Y x

X

Y

2

Figure V.4 Elment barre dans une base globale.

Si le dplacement est connu en un nud alors la force est inconnue, si la force est connue

alors le dplacement est inconnu.

La troisime tape est la rsolution du systme dquations complet afin de dterminertoutes les inconnues

k1 k1 0

k1 k2 + k1 k20 k2 k2

0

u2

u3

=

F1

0

F

Une toutes les inconnus trouves, on peut calculer les efforts normaux dans chaque barre :

N1 =E1S1

l1(u2 u1

=0)

etN2 =

E2S2

l2(u3 u2).

V.3 Elment barre pour le calcul des treillis

Dans leur environnement, les barres composant un treillis sont positionnes arbitrairement

dans lespace et font des angles diffrents avec le repre global de la structure (X ,

Y ) (Fig.

V.4).

On note langle entre laxeX du repre global et laxe x du repre local la barre.

Le vecteur dplacement dun point de la barre scrit dans le repre localu = ux .

Il scrit dans le repre globalu = uXX + uYY .

En projetant les deux quations prcdentes sur x il vient

u = uX cos + uY sin .

En notant u1X et u1Y les dplacements suivant

X et

Y du nud 1 de la barre dans le repre

global, et en appliquant la formule prcdente au nud 1, on a

u1 = u1X cos + u

1Y sin .


59/77

V.3 Elment barre pour le calcul des treillis 53

En utilisant les mmes notations pour le nud 2, on a

u2 = u2X cos + u

2Y sin .

Ceci peut scrire sous la forme matricielle suivante

u1

u2

=

cos sin 0 0

0 0 cos sin

=T

u1X

u1Y

u2X

u2Y

=Q

soit

q = TQ

o Q est le vecteur des inconnus de dplacements aux nuds de llment dans le repre

global et T est la matrice de transformation passant du repre global au repre local.

Il est possible dcrire les mmes relations pour les forces extrieures agissant aux nuds

de llment :

F1 = F1

x = F1XX + F1Y

Y et

F2 = F2

x = F2XX + F2Y

Y

donc

F1X = F1x X = F1 cos et F1Y = F1x

Y = F1 sin

de mme,F2X = F2 cos et F

2Y = F2 sin

ce qui scrit sous forme matricielle

F1X

F1Y

F2X

F2Y

=

cos 0

sin 0

0 cos

0 sin

=TT

F1

F2

La matrice qui apparait pour les forces est la transpose de celle prsente dans les relationsdes dplacements. Finalement, lquilibre de la barre crit en fonction des dplacements et

des forces dans le repre local la barreF1

F2

=

ES

l

1 1

1 1

u1

u2

devient en fonction des dplacements et des forces dans le repre global

F1X

F1Y

F2X

F2Y

=

cos 0

sin 0

0 cos

0 sin

ES

l 1 11 1 cos sin 0 00 0 cos sin

u1X

u1Y

u2X

u2Y


60/77


I

II

III

IV

V

Figure V.5 Exemple de portique discrtis par des lments poutres

y

x0 l

(x)

w(x)

2

1w2w1

x

Figure V.6 Elment de poutre en flexion

Tous calculs faits, lquilibre de la barre en deux dimensions scrit

ES

l

cos2 cos sin cos2 cos sin cos sin sin2 cos sin sin2 cos2 cos sin cos2 cos sin

cos sin sin2 cos sin sin2

=kg

u1X

u1Y

u2X

u2Y

=

F1X

F1Y

F2X

F2Y

o la matrice kg est la matrice de rigidit de llment barre en deux dimensions.

Leffort normal est dtermin par

N =ES

l(u2 u1) = ES

l

(u2X u1X)cos + (u2Y u1Y)sin

V.4 Elment de poutre pour le calcul des portiques

Un portique est constitu dun ensemble de poutre assembles entre elles par des liaisons

encastrements (Fig. V.5).

Soit un lment de poutre de longueur l, de section S, de module dYoung E et de

moment dinertie de section I (Fig. V.6). Les deux extremits de la poutre sont les nuds

1 et 2 dabscisses respectives 0 et l.

On utilise les notations suivantes :

w(x) : dplacement suivant y de la section dabscisse x, (x) : rotation de la section dabscisse x,

w1 : dplacement suivanty de la section au nud 1,

w2 : dplacement suivanty de la section au nud 2,

1 : rotation de la section au nud 1,

2 : rotation de la section au nud 2,

F1 : force extrieure suivanty au nud 1,


61/77

V.4 Elment de poutre pour le calcul des portiques 55

F2 : force extrieure suivanty au nud 2,

M1 : moment extrieur suivantz au nud 1,

M2 : moment extrieur suivantz au nud 2.

En suivant la mme dmarche que pour llment barre, on peut montrer que lquilibre

dun lment scrit

2EI

l3

6 3l 6 3l3l 2l2 3l l26 3l 6 3l3l l2 3l 2l2

k

w1

1

w2

2

q

=

F1

M1

F2

M2

q


62/77


63/77

VI Moyens exprimentaux

VI.1 Jauges de dformation

VI.1.1 Principe

Le principe utilis par les jauges de dformation est que la rsistance lectrique de certains

fils varie lorsquils sont tirs (fig. VI.1). La jauge est colle la surface de la pice, la

dformation de la pice est alors relie directement la variation de rsistance lectrique de

la jauge. En notant R et L la rsistance lectrique nominale et la longueur initiale, et R

et L leurs variations, on a la relation suivante :

R

R= k

L

L= k

o k est le facteur de jauge et est la lallongement unitaire dans la direction de la jauge.

allongement du fil

avant dformation

aprs dformation L

Figure VI.1 Jauge de dformation.


64/77

58 Moyens exprimentaux

V

Ra

Rb

Rc

RdS

i1

i1i2

i2

Va

Vd

Vc

Vb

i

i

Figure VI.2 Pont de Wheatstone.

VI.1.2 Pont de Wheatstone

Le pont de Wheatstone est un montage de quatre rsistances pour lequel on impose la

tension dentre V et on mesure la tension de sortie S (Fig. VI.2) :

Va = Rai1 ; Vb = Rbi2 ; Vc = Rci2 ; Vd = Rdi1V = Reqi

avec1

Req=

1

Ra + Rd+

1

Rb + Rc.

i = i1 + i2S = Va VbS = Vc Vd

V

Req = i1 + i2 (1)S = Rai1 Rbi2 (2)S = Rci2 Rdi1 (3)

(1) i1 = VReq

i2

En remplaant dans (2) :

S = Ra V

Req i2

Rbi2 = Ra

ReqV (Ra + Rb)i2

i2 = RaReq

V S 1Ra + Rb

En remplaant dans (3) :

S =Rc

Ra + Rb

RaReq

V S

Rd VReq

+Rd

Ra + Rb

RaReq

V S

S

1 +Rc

Ra + Rb+

Rd

Ra + Rb

=

V

Req

RaRcRa + Rb

Rd + RaRdRa + Rb

SRa + Rb + Rc + Rd

Ra + Rb= V

Ra + Rb + Rc + Rd(Ra + Rd)(Rb + Rc)

RaRc + RaRd RaRd RbRdRa + Rb

Finalement

S = VRaRc RbRd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)


65/77

VI.1 Jauges de dformation 59

Le pont est dit quilibr si S = 0, cest dire si RaRc = RbRd ou encore si

Ra

Rd=

Rb

Rc.

On suppose le pont quilibr et on cherche quelle est la variation de tension de sortieS quand les rsistances varient respectivement de Ra, Rb, Rc et Rd. On sait que

au premier ordre on a

S =S

RaRa +

S

RbRb +

S

RcRc +

S

RdRd.

Le calcul des drivs donne

S

Rd= V

Rb(Ra + Rd)(Rb + Rc)

+ (RaRc RbRd) Rb Rc(Ra + Rd)2(Rb + Rc)2

mais comme le pont est quilibr, on aR

aR

c R

bR

d = 0 ce qui donneS

Rd= V

Rb(Ra + Rd)(Rb + Rc)

.

De mmeS

Ra= V

Rc(Ra + Rd)(Rb + Rc)

,

S

Rb= V

Rd(Ra + Rd)(Rb + Rc)

,

S

Rc= V

Ra

(Ra + Rd)(Rb + Rc).

Finalement

S =V

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

RbRd + RcRa RdRb + RaRc

.

Pour simplifier les calculs dans la suite, on prend les mmes rsistances nominales pour

les quatres rsistances :

R = Ra = Rb = Rc = Rd.

Ceci se justifie car les jauges branches sur le pont de wheatstone sont gnralement les

mmes. La valeur de S se simplifie

S =V

4

Rd

R+

RaR

RbR

+Rc

R

.

En remarquant que

RaR

= ka ;Rb

R= kb ;

RcR

= kc ;Rd

R= kd ;

o k est le facteur de jauge, il vient

S =V

4k

d + a b + c

,

ou encore 4S

kV= a b + c d.


66/77


rglage du facteur de jauge

quilibrage du pont

Figure VI.3 Boitier contenant le montage en pont de Wheatstone.

a

cd

b

Figure VI.4 Exemple de montage en pont complet : essai de traction.

VI.1.3 Utilisation du boitier

Le boitier utilis permet de faire le montage du pont de Wheatstone et dafficher sur lcran

la grandeur caractristique de la variation de tension (Fig. VI.3). Dans le cas o moins de4 jauges sont utilises, il est possible de les remplacer par des rsistances prsentes dans

le boitier et ayant des valeurs de rsistance nominales quivalentes aux jauges branches.

Aprs branchement des jauges, il faut indiquer le facteur de jauge k et quilibrer le pont.

Le boitier impose une tension V de 2 Volts.

La mesure affiche sur lcran la valeur A

A =4S

kV.106

soit aussi

A = (a b + c d).106 .

Le facteur daffiche 106 est due au fait que les dformations sont souvent comprises entre

106 et 103.

VI.1.4 Diffrents montages

Exemple dun pont complet

Les 4 jauges sont actives. En quipant judicieusement une prouvette de traction de 4 jauges

montes en pont complet (Fig. VI.4), on peut corriger les effets suivants :

dilatation due la temprature,

flexion parasite.


67/77

VI.1 Jauges de dformation 61

b

a

Figure VI.5 Exemple de montage en demi-pont : essai de flexion.

On note t la dformation due la traction, f la dformation due la flexion sur la face

suprieure et f sur la face infrieure, enfin d est la dformation due la dilatation.La disposition des jauges est la suivante :

a : face suprieure, direction de traction a = t + f + d b : face suprieure, direction transversale

b =

t + d

c : face infrieure, direction de traction c = t f + d d : face infrieure, direction transversale d = t + dlaffichage indique alors

A =4S

kV.106 = a b + c d = 2(1 + )t

si k est le facteur de jauge. Si lon souhaite que laffichage donne t, il suffit de multiplier k

par k de faon avoir :

A =4S

kk V.106 =

2(1 + )

kt = t

cest dire k = 2(1 + ). Le rglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k(1 + ).

Exemple dun demi-pont

Seulement 2 jauges sont actives. En quipant judicieusement une prouvette de flexion de

2 jauges montes en demi-pont (fig. VI.5), on peut corriger les effets suivants :

dilatation due la temprature,

traction parasite.

On note t la dformation due la traction, f la dformation due la flexion sur la face

suprieure et

f sur la face infrieure, enfin d est la dformation due la dilatation.

La disposition des jauges est la suivante :

a : face suprieure, direction axiale a = t + f + d b : face infrieure, direction axiale b = t f + dlaffichage indique alors

A =4S

kV.106 = a b = 2f

si k est le facteur de jauge. Si lon souhaite que laffichage donne f, il suffit de multiplier k

par k de faon avoir :

A =4S

kk V .106 =

2

k f = f

cest dire k = 2. Le rglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k.


68/77


Figure VI.6 Capteur de force dune balance de cuisine.

Quart de pont

Une seule jauge est active. Les 3 autres rsistance doivent avoir les mmes valeurs nominales

de rsistance que la jauge. Si seule la jauge a est active, laffichage indique

A =4S

kV .106 = a.106

Laffichage donne directement lallongement unitaire de la jauge a en m/m si k est le facteur

de jauge. Lutilisation dune seule jauge ne permet pas de corriger les effets parasites comme

linfluence des variations de temprature.

VI.1.5 Capteurs jauges

En vue de mesurer des grandeurs physiques (forces, acclrations, pressions ...), il est possible

de les faire agir sur un corps dpreuve dont les dformations sont proportionnelles la

grandeur mesure. La figure VI.6 montre un capteur de force utilis dans une balance de

cuisine.

Ce type de capteur est prcis, fidle et permet une certaine souplesse demploi. On

trouve ces capteurs dans des applications comme la pese, la mesure de pression, la mesure

de force, la mesure de couple. Les domaines dapplications sont vastes : automobile, mdical,

instruments de mesures...

Suivant les applications, les montages en quart de pont, demi-pont ou pont complet

peuvent tre utiliss.

VI.1.6 Exploitation dune rosette de 3 jauges 45o

Une rosette 45o est constitue de 3 jauges colles en un mme point et mesurant les

allongements unitaires dans 3 directions distinctes 45o lune de lautre (Fig. VI.7).

On place le repre (x , y ) de telle manire aligner x et y avec les jauges perpendic-ulaires. On note 0, 45 et 90 les allongements unitaires mesurs par les 3 jauges. Donc on

a les relations suivantes :

0 = x

90 = y

ainsi que

45 = ( = 45o)

45 =x y

2cos(2 45o) + xy sin (2 45o) + x + y

2


69/77

VI.2 Photolasticit 63

0 = x

45 x

y

3 jauges 0o, 45o et 90o

45o90

o

0o

90 = y

Figure VI.7 Rosette de 3 jauges 45o.

Figure VI.8 Dispositif de photolasticit

45 = xy +x + y

2

On peut finalement en dduire les dformations au point de mesure dans la base (x , y ) enfonction des allongements mesurs :

x = 0

y = 90

xy = 45 0 + 902

On peut ensuite en dduire loprateur des contraintes au point de mesure.

VI.2 Photolasticit

VI.2.1 Principes

La photolasticit permet dtudier les contraintes dans des pices planes en polymre trans-

parent par un systme optique. La photo VI.8 prsente le dispositif disponible au Cnam.


70/77


lumire quelconque

polariseur 1 polariseur 2lumirepolarisedirection

d 1

lumire polariseSortie :

card 1

d 2

d 1d 2

lumire quelconque

polariseur 1 polariseur 2lumirepolarisedirection

d 1

extinctionSortie :

card 1

d 2

d 1

d 2

Figure VI.9 Filtres polarisants.

Dfinition lectromagntique de la lumire

Les phnomnes lumineux peuvent, selon la thorie lectromagntique, tre considrs comme

lis la propagation simultane dun champ lectrique E et dun champ magntique H,

constamment perpendiculaires entre eux ainsi qu la direction de propagation, et dont les

valeurs sont des fonctions sinusodales du temps.

Lumire polarise

Un filtre polarisant possde la proprit de ne laisser passer quune composante du champ

parallle une direction fixe dite axe de polarisation. Deux filtres polarisants successifs

axes parallles laissent passer la lumire ; sils ont croiss, cest dire axes perpendiculaires,

ils ne laissent pas passer la lumire, le faisceau polaris par le premier ayant une composante

nulle suivant laxe du second (Fig. VI.9).

Birfringence accidentelle

Une lumire plane se prsentant suivant une direction de polarisation quelconque par rapport

aux axes dun corps birfringent se dcompose en deux composantes parallles b 1 et b 2 ces axes (Fig. VI.10), chacune dentre elles se comportant comme une onde plane autonome

progressant une vitesse propre sa direction.

La plupart des corps transparents isotropes deviennent birfringents lorsquils sont soumis

des contraintes; cette birfringence accidentelle est telle que les axes de birfringence co-

incident avec les directions principales des contraintes.

En plaant le milieu birfringent entre deux polariseurs croiss (Fig. VI.10), on observe

alors une extinction de lumire lorsque les axes de birfringence sont parallles aux axes des

polariseurs : ce sont les isoclines.

De plus, chaque onde se propageant dans le milieu birfringent suivant chacune des

directions de birfrinceb 1 et

b 2 se propage avec une vitesse diffrente (Fig. VI.11). Londe


71/77


lumire quelconque

polariseur 1 milieu birfringent

d 1

b 2

polariseur 2

d 2

Sortie :extinction

lumire quelconquepolariseur 1 milieu birfringent

d 1

b 1

b 2

polariseur 2

d 2

Sortie :lumire polarise

b 1

b 1 estdirection principale

z

y x

Figure VI.10 Phnomne de birfringence accidentelle.

effet de la traverse de la lame dans la directionb 1

lumire dans le vide

effet de la traverse de la lame dans la directionb 2

retard

Milieubirfringent

Figure VI.11 Diffrence de phase entre les deux ondes qui sortent du milieu birfringent.


72/77


suivantb 1 se propage la vitesse c1 et celle suivant

b 2 se propage la vitesse c2. Les

longueurs donde 1 et 2 des deux ondes sont diffrentes dans le milieu birfringent, mais

sont identiques dans lair aprs la traverse du milieu. Ce retard induit une extinction de la

lumire telle que (loi de Maxwell) :

1 2 = N ce

o 1 et 2 sont les contraintes principales, N est lordre de frange, est la longueur donde,

c est la vitesse de la lumire et e est lpaisseur du milieu birfringent.

Le lieu des points o la lumire est teinte due au retard sont les isochromatiques. Lordre

de frange N est la composante de la lumire teinte en lumire blanche. Il y a extinction

totale en lumire monochromatique. Lobservation des couleurs permet de dterminer N.

Ordre N couleur visible

1 passage rouge-bleu2 passage rouge-vert

n passage rouge-vert

Dans la pratique, leffet des isoclines perturbe lobservation des isochromatiques. On

ajoute alors dans le montage deux lames quart-donde pour faire disparaitre les isoclines

(lexplication du fonctionnement des lames quart-donde nest pas donne ici).

VI.2.2 Mise en quation

En sortie du polariseur 1 le vecteur lumineux est parallle d 1 =

x :L = a x sin 2

T

t z

c

.

Le vecteur x se dcompose suivant b1 et b2 comme :x = cos b1 sin b2 .

Donc le vecteur lumire se prsentant lentre du milieu birfringent vaut :

L = a cos

b1 sin

2

T

t z

c

a sin b2 sin 2

T

t z

c

.

Pendant la traverse du milieu birfringent dpaisseur e, la lumire se propage la vitesse

c1 suivant b1 et c2 suivant b2 . Les temps de traverse suivant chaque direction valent :

t1 =e

c1et t2 =

e

c2.

Le retard par rapport au temps quaurait mis chaque onde pour traverser le mileu est :

1 = c(t1 tvide) = c e

c1 e

c

= e

cc1

1

et

2 = c(t2 tvide) = e c

c2 1

.

On appelle n1 et n2 les indices du milieu birfringent tels que :

n1 =c

c1et n2 =

c

c2.


73/77


Les retards 1 et 2 deviennent alors :

1 = e (n1 1) et 2 = e (n2 1).

A la sortie du milieu birfringent, le vecteur lumire a pour expression :L = a cos

b1 sin

2

T

t z

c 1

c

a sin b2 sin 2

T

t z

c 2

c

,

soit :

L = a cos

b1 sin

2

T

t z+ (n1 1)e

c

a sin b2 sin 2

T

t z+ (n2 1)e

c

.

En effectuant le changement de variable :

z = z+ (n1 1)e

on peut crire :

z+ (n2 1)e = z+ (n1 1)e + (n2 1)e (n1 1)e = z + (n2 n1)e = z

avec = e(n1 n2) qui est le retard entre les deux composantes du vecteur lumire la sortie du milieu birfringent. En remplacant dans lexpression du vecteur lumire, son

expression devient :

L = a cos

b1 sin

2

T

t z

c

a sin b2 sin 2

T

t z

c

Lanalyseur (ou polariseur 2) a pour direction de polarisation y . Le vecteur lumire lasortie de lanalyseur vaut :

L = a cos sin y sin 2

T

t z

c

a sin cos y sin 2

T

t z

c

car

b1 .y = sin et b2 .y = cos

En simplifiant, on a :

L = y a cos sin sin

2

T t z

c sin2

T t z

c avec :

sinp sin q = 2 cos p + q2

sinp q

2

on a : L = y a sin2 cos 2

T

t z

c+

2c

sin

2

T

2c

Lamplitude de sortie du vecteur lumire vaut :

A = a sin2 sin

T c

En introduisant la longueur donde = c T, on a :

A = a sin2 sin


74/77


Cette amplitude vaut zro dans deux cas diffrents :

sin2 = 0 ou sin

= 0.

Le premier cas sin 2 = 0 correspond aux isoclines, en effet ceci est quivalent = 0ou = 2 .

Le deuxime cas correspond aux isochromatiques :

sin

= 0

= N = N

or la loi de Maxwell tant :

n1 n2 = c(1 2)et = (n1 n2)e, on a :

1

2 =

N

c eDans le cas dune lumire monchromatique, on observe une extinction de lumire (bande

noire). Dans le cas dune lumire blanche, seule la radiation correspondante

c e (1 2)

= N

est teinte.

VI.2.3 Rseaux de courbes caractristiques

Isoclines

Lieu des points du plan ou les contraintes principales ont une direction constante, chaqueisocline est accompagne dune cote donnant cette orientation.

Exemple dapplication :

Sur lisocline dessine pour langle 30o, les directions principales des contraintes pour

tous les points de cette isocline sont 30o et 30 + 90 = 120o.

Isochromatiques

Lieu des points du plan pour lesquels la diffrence des contraintes principales est constante,

proportionnelle N : 1

2 = kN.

Exemple dapplication :

On tudie une pice rectangulaire troue en son milieu, sur laquelle on applique un effort

de traction (fig. VI.12). On peut considrer que loin du trou, ltat de contrainte est celui

dune pice en traction. Cela entraine que 2 = 0 et donc par consquent 1 = kN. Si de

plus, on place le premier passage rouge-bleu (N = 1) dans cette partie de la pice, alors

1 = k, ou encore k = o est la contrainte de traction applique loin du trou.

Le long du trou, au point A, les directions principales des contraintes sont x et y . Lacontrainte principale yy est nulle car aucun effort extrieur nest appliqu en ce point. On

a donc en ce point :

xx = kN = N


75/77


y

x

loin du trou, la pice est en tat de traction

Isochromatique N=1

A

Figure VI.12 Plaque troue en "traction".

En connaissant le numro de lisochromatique passant par ce point, on connait N, et par

consquent la valeur de xx. Si le point A est situ entre les isochromatiques 4 et 5, on en

dduit que

4 < xx < 5

ou encore

4

cours dimensionnement structures

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