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Cours deMaths 4:ProbabilitStatistiques

MohamedCHERFI

Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules

Mthodede Sturges

Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane

Cours de Maths 4: ProbabilitStatistiquesSance 2 - Statistique descriptive

Mohamed CHERFI

Universit Hassiba BenboualiChlef

11 dcembre 2014


MohamedCHERFI


Mthodede Sturges


DfinitionQuand les valeurs dun caractre quantitatif sont ranges dans lordre croissant,

Leffectif cumul croissant dune valeur est la somme des effectifs des valeursinfrieures ou gales cette valeur ; leffectif cumul croissant de la valeur xjquon note Nj est gal Nj = n1 + n2 + + nj .La frquence cumule croissante dune valeur est la somme des des frquencesdes valeurs infrieures ou gales cette valeur ; la frquence cumule croissantede la valeur xj quon note Fj est gale Fj = f1 + f2 + + fj et on aFj = Nj N .

De la mme manire, on dfinit leffectif cumul dcroissant dune valeur comme lasomme des effectifs des valeurs suprieures ou gales cette valeur, et la frquencecumule dcroissante dune valeur comme la somme des frquences des valeurssuprieures ou gales cette valeur.


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Mthodede Sturges


On construit donc un tableau de la forme :

Valeurs Effectifs Nj x1 n1 n1x2 n2 n1 + n2...

......

xp np NTotal N

Table 1: Distribution deffectifs


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Mthodede Sturges


On construit donc un tableau de la forme :

Valeurs Effectifs Nj x1 n1 Nx2 n2 n2 + + np...

......

xp np npTotal N

Table 2: Distribution deffectifs


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Mthodede Sturges


Enfin, Lorsque le caractre tudi est quantitatif et lorsque les modalits sontregroupes en classes, on peut effectuer la courbe des frquences cumules(croissantes ou dcroissantes) appele aussi polygone des frquences cumules.

DfinitionLe polygone des effectifs cumuls ou frquences cumules est form de segments dedroite joignant les points :

dabscisses : la borne suprieure dune classe pour le polygone des effectifscumuls croissants(la borne infrieure dune classe pour le polygone des effectifscumuls dcroissants)dordonnes : leffectif cumul dune classe.


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Mthodede Sturges


Classes ni Nj [ 700; 740 [ 30 30[ 740; 780 [ 54 84[ 780, 820 [ 20 104[ 820, 860 [ 46 150[ 860, 900 [ 50 200Total 200

Table 3: Tableau des effectifs et effectifs cumuls


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Mthodede Sturges


Lhistogramme des effectifs cumuls :

Classes

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200


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Mthodede Sturges


Regroupement des donnes en classes en utilisant la rgle de Sturges

La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal

k ' 1 + 3.222 log10 N.

Le choix des bornes e0 et ek doit tre fait de faon respecter une certainehomognit des largeurs de classes. Un choix frquent est

e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)

Le choix le plus frquent est celui de lhistogramme pas fixe, o les classes sontde mme largeur

a := ek e0k

.

Dans ce cas, la hauteur dun rectangle est proportionnelle leffectif de sa classe.


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Mthodede Sturges


Table 4: Effectif N de lchantillon et nombre k de classes10 < N < 35 35 N < 70 70 N < 90 90 N < 150 150 N < 300 300 N < 620

5 6 7 8 9 10

La premire ligne donne leffectif de lchantillon tudi et la deuxime ligne, lenombre correspondant k de classes.


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Mthodede Sturges


RemarqueSi au contraire, on commence par dfinir lamplitude des classes, on ne doit paschoisir cette amplitude trop faible, le nombre de classes est alors trop lev ; ni tropgrande, le nombre de classes est alors trop petit par rapport celui que donne laformule de Sturges.


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Mthodede Sturges


ExempleLa srie statistique suivante, reprsente la concentrations dazote total (mg/L) dansla rivire Yamaska 19 stations diffrentes :

0.85 ; 1.35 ; 1.13 ; 0.48 ; 1.17 ; 1.55 ; 1.04 ; 1.37 ; 1.29 ; 0.87 ; 2.14 ; 1.10 ; 1.12 ; 2.43 ;1.01 ; 0.60 ; 2.02 ; 0.93 ; 1.98


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Mthodede Sturges


ExempleVoici la srie statistique ordonne :

0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.

Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :

e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)=

0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43

etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)

=

2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48

3 Le choix de lamplitude

a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43


Cela donne k = 5 pour N = 19.

2 Le choix des bornes e0 et ek :e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)

=

0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43


=

2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43



e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)

=

0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43


=

2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43



e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48)

= 0.43et

ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)=

2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43



e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43


=

2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43



e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43


= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48)

= 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43



e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43


= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48


a := ek e0k

= 2.48 0.435

= 0.41


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni

[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [

2

[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2

[ 0.84, 1.25 [ 9

[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [

9[ 1.25, 1.66 [ 4

[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9

[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2

[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [

4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2

Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4

[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [

2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2

[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [

2Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2

Total 19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total

19


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Mthodede Sturges



0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43

Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19


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Mthodede Sturges


Construire un tableau des frquences et frquences cumules.

Classes ni xi fi Fj [ 0.43, 0.84 [ 2 0.64 0.11 0.11[ 0.84, 1.25 [ 9 1.04 0.47 0.58[ 1.25, 1.66 [ 4 1.46 0.21 0.79[ 1.66, 2.07 [ 2 1.86 0.11 0.89[ 2.07, 2.48 [ 2 2.27 0.11 1Total 19 1

Table 5: Tableau des frquences


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Mthodede Sturges


Lhistogramme

Histogramme

Classes

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

02

46

810

Figure 1: Histogramme


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Mthodede Sturges


Caractristiques de position

Quelles soient non groupes ou au contraires groupes par valeurs ou par classes, lesvariables quantitatives peuvent tre utilement rsumes par des caractristiquesprivilgient les valeurs principales de la distribution, au dtriment par exemple de ceuxqui caractrisent la dispersion ou la concentration des valeurs dune srie.

Ces valeurs centrales sont les moyennes, la mdiane et le mode. Nous exposerons leurmthode de calcul et leur signification en distinguant pour chacune delles le cas desdonnes non groupes et le cas des donnes regroupes (soit par valeurs, soit parclasses).


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Mthodede Sturges


Caractristiques de position

Quelles soient non groupes ou au contraires groupes par valeurs ou par classes, lesvariables quantitatives peuvent tre utilement rsumes par des caractristiquesprivilgient les valeurs principales de la distribution, au dtriment par exemple de ceuxqui caractrisent la dispersion ou la concentration des valeurs dune srie.Ces valeurs centrales sont les moyennes, la mdiane et le mode. Nous exposerons leurmthode de calcul et leur signification en distinguant pour chacune delles le cas desdonnes non groupes et le cas des donnes regroupes (soit par valeurs, soit parclasses).


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Mthodede Sturges


Calcul de la moyenne sur la srie brute

La moyenne est le rsum statistique le plus souvent utilis pour caractriser laposition de la variable X . On la note x . Pour calculer la moyenne, on fait la sommedes valeurs observes et on divise par leffectif total :

x := 1N

Ni=1

xi

ExempleOn a obtenu les rsultats de la rsistance la compression dun ciment (mesure surdes prismes de bton fabriqus partir dun chantillon du ciment).

273 ; 272 ; 285 ; 318 ; 311 ; 290 ; 315 ; 259 ; 300 ; 298

On trouve que la moyenne de la rsistance la compression du ciment est de :

x =

273 + 272 + + 29810

= 292.1


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Mthodede Sturges


Calcul de la moyenne sur la srie brute

La moyenne est le rsum statistique le plus souvent utilis pour caractriser laposition de la variable X . On la note x . Pour calculer la moyenne, on fait la sommedes valeurs observes et on divise par leffectif total :

x := 1N

Ni=1

xi

ExempleOn a obtenu les rsultats de la rsistance la compression dun ciment (mesure surdes prismes de bton fabriqus partir dun chantillon du ciment).

273 ; 272 ; 285 ; 318 ; 311 ; 290 ; 315 ; 259 ; 300 ; 298

On trouve que la moyenne de la rsistance la compression du ciment est de :

x = 273 + 272 + + 29810

= 292.1


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Mthodede Sturges


Calcul de la moyenne dans le cas de regroupement deffectifs

On a un tableau de la forme :Intervalles

(cas continu)[ei1, ei [

Valeur(ou centre)

xi

Effectifsni

Frquencesfi

[e0, e1[ x1 n1 f1...

......

...[ei1, ei [ xi ni fi

......

......

[ek1, ek [ xk nk fkDans ce cas on effectue une moyenne pondre par les effectifs :

x = 1N

ki=1

nixi =ki=1

fixi .


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PropositionSoit X une variable statistique et soient a et b deux nombres rels. Considrons lanouvelle variable Y = aX + b, on a alors

y = ax + b = ax + b

On peut utiliser cette proposition pour calculer la moyenne de X en utilisant unchangement de variable. Cela permet de simplifier les calculs.


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Mthodede Sturges


Soient N valeurs de la variable. Si cette variable prend p valeurs disctinctes (p n),x1, , xp , deffectifs respectifs n1, , np alors

La moyenne gomtrique

G =

[ pi=1

xnii

] 1N

.

La moyenne harmonique

H = Npi=1

nixi

.


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Mthodede Sturges


Le Mode

Le ModeLe mode : donne qui se prsente avec la plus grande frquence, cest la valeurdistincte correspondant leffectif le plus lev.


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Mdiane

La MdianeLa mdiane : valeur du milieu dun ensemble de donnes ordonn en ordre croissantdes grandeurs.

La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :

x(1) x(2) . . . x(N)

Si N est pair, alors

Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)

2.

Si N est impair,alorsMe := x( N+1

2

).


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Mthodede Sturges


Mdiane


La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.

Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :

x(1) x(2) . . . x(N)


Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)

2.


2

).


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Mthodede Sturges


Mdiane


La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :

x(1) x(2) . . . x(N)


Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)

2.


2

).


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Mthodede Sturges


Calcul du mode pour des donnes regroupes en classes

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai

avec

ei := Borne infrieure de la classe modale1 := ni ni12 := ni ni+1ni := Effectif de la classe modale

ni1 := Effectif de la classe prcdenteni+1 := Effectif de la classe suivanteai := Amplitude de la classe modale


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Mthodede Sturges


Calcul de la mdiane pour des donnes regroupes en classes

Dans le cas de rpartition par classes, la mdiane peut tre value soitgraphiquement, soit par interpolation affine laide dun polygne des effectifscumuls. Par le calcul, on cherche la classe dans laquelle se trouve la mdiane. On litdans le tableau : On fait lhypothse que les effectifs sont uniformment rpartis dansles classes. On procde alors une interpolation linaire daprs le thorme de Thals.

Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai

avec

ei := Borne infrieure de la classe mdianeNi1 := Effectif cumul des classes prcdentes

ni := Effectif de la classe mdianeai := Amplitude de la classe mdiane

Effectifs et frquences cumulsCourbe des frquences cumules

Mthode de SturgesCaractristiques de positionModeMdianeLe modeLa mdiane

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