cours3

Cours deMaths 4:ProbabilitStatistiques

MohamedCHERFI

Caractristiquesde positionLe modeLa mdiane

CaractristiquesdedispersiontendueLa varianceLecoefficientde variation

Cours de Maths 4: ProbabilitStatistiquesSance 3 - Statistique descriptive

Mohamed CHERFI

Universit Hassiba BenboualiChlef

18 dcembre 2014


MohamedCHERFI



Calcul du mode pour des donnes regroupes en classes

Une classe modale est une classe du caractre ayant le plus grand effectif. Une sriestatistique peut avoir plusieurs classes modales.On caclule le mode en utilisant la formule suivante :

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai

avec

ei := Borne infrieure de la classe modale1 := ni ni12 := ni ni+1ni := Effectif de la classe modale

ni1 := Effectif de la classe prcdenteni+1 := Effectif de la classe suivanteai := Amplitude de la classe modale


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai = 740 + 54 30(54 30) + (54 20) 40 = 756.55


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai =

740 + 54 30(54 30) + (54 20) 40 = 756.55


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai = 740 +

54 30(54 30) + (54 20) 40 = 756.55


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai = 740 + 54 30(54 30) + (54 20)

40 = 756.55


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai = 740 + 54 30(54 30) + (54 20) 40 =

756.55


MohamedCHERFI



Classes ni[ 700; 740 [ 30[ 740; 780 [ 54[ 780, 820 [ 20[ 820, 860 [ 46[ 860, 900 [ 50Total 200

Mo := ei1 +1

1 + 2 ai = 740 + 54 30(54 30) + (54 20) 40 = 756.55


MohamedCHERFI



Calcul de la mdiane pour des donnes regroupes en classes

Par le calcul, on cherche la classe dans laquelle se trouve la mdiane. On lit dans letableau

Me := ei1 +

N2 Ni1ni

aiavec

ei := Borne infrieure de la classe mdianeNi1 := Effectif cumul des classes prcdentes

ni := Effectif de la classe mdianeai := Amplitude de la classe mdiane


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.

Classes ni Nj [ 700; 740 [ 30 30[ 740; 780 [ 54 84[ 780, 820 [ 20 104[ 820, 860 [ 46 150[ 860, 900 [ 50 200Total 200

Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai = 780 + 100 8420 40 = 812


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.


Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai =

780 + 100 8420

40 = 812


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.


Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai = 780 +

100 8420

40 = 812


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.


Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai = 780 + 100 8420

40 = 812


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.


Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai = 780 + 100 8420 40 =

812


MohamedCHERFI



On a N2

= 100.


Me := ei1 +

N2 Ni1ni

ai = 780 + 100 8420 40 = 812


MohamedCHERFI



Dans le cas de rpartition par classes, la mdiane peut tre value graphiquement.Lhistogramme des effectifs cumuls croissants :

Classes

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200


MohamedCHERFI



Classes

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200

700 750 800 850 900

050

100

150

200


MohamedCHERFI



Ltendue

Ltendue : indicateur de la variabilit, de lparpillement dun ensemble de donnes.

E := xmax xmin.


MohamedCHERFI



La variance

La variance est un indicateur de dispersion de la variable statistique.

VX := 2X =1N

pi=1

ni (xi x)2 = 1N

pi=1

nixi 2 x2

Pour revenir lunit de lchantillon initial, on dfinit finalement : Lcart-type, quiest un indicateur de dispersion, et il est gal la racine carre de la variance :

X =VX

Si on opre un changement de variable affine yi = axi + b avec (a R et b R)alors on a : VY = a2VX et Y = |a|X .Gomtriquement on peut caractriser de manire assez gnrale lcart-type commetant le rayon (autour de la moyenne) de la cloche de la distribution des rsultatsenglobant environ les 2

3des donnes.


MohamedCHERFI



La variance


VX := 2X =1N

pi=1

ni (xi x)2 = 1N

pi=1

nixi 2 x2


X =VX

Si on opre un changement de variable affine yi = axi + b avec (a R et b R)alors on a : VY = a2VX et Y = |a|X .

Gomtriquement on peut caractriser de manire assez gnrale lcart-type commetant le rayon (autour de la moyenne) de la cloche de la distribution des rsultatsenglobant environ les 2

3des donnes.


MohamedCHERFI



La variance


VX := 2X =1N

pi=1

ni (xi x)2 = 1N

pi=1

nixi 2 x2


X =VX

Si on opre un changement de variable affine yi = axi + b avec (a R et b R)alors on a : VY = a2VX et Y = |a|X .Gomtriquement on peut caractriser de manire assez gnrale lcart-type commetant le rayon (autour de la moyenne) de la cloche de la distribution des rsultatsenglobant environ les 2

3des donnes.


MohamedCHERFI



Le coefficient de variation

Il exprime la dispersion par rapport la moyenne. Il sagit dune caractristique sansdimension, exprime en %.

CV := Xx 100.

sil est < 5%, la population est trs (trop ?) homogne.sil est entre 5% et 20%, la population est homogne.sil est entre 20% et 60%, pas grand chose dire ?sil est > 80%, la population est trs htrogne (constitue de 2sous-populations diffrentes ?).


MohamedCHERFI





CV := Xx 100.

sil est < 5%, la population est trs (trop ?) homogne.

sil est entre 5% et 20%, la population est homogne.sil est entre 20% et 60%, pas grand chose dire ?sil est > 80%, la population est trs htrogne (constitue de 2sous-populations diffrentes ?).


MohamedCHERFI





CV := Xx 100.

sil est < 5%, la population est trs (trop ?) homogne.sil est entre 5% et 20%, la population est homogne.

sil est entre 20% et 60%, pas grand chose dire ?sil est > 80%, la population est trs htrogne (constitue de 2sous-populations diffrentes ?).


MohamedCHERFI





CV := Xx 100.

sil est < 5%, la population est trs (trop ?) homogne.sil est entre 5% et 20%, la population est homogne.sil est entre 20% et 60%, pas grand chose dire ?

sil est > 80%, la population est trs htrogne (constitue de 2sous-populations diffrentes ?).


MohamedCHERFI





CV := Xx 100.

sil est < 5%, la population est trs (trop ?) homogne.sil est entre 5% et 20%, la population est homogne.sil est entre 20% et 60%, pas grand chose dire ?sil est > 80%, la population est trs htrogne (constitue de 2sous-populations diffrentes ?).


MohamedCHERFI



Exemple

Votre oncle du Canada se plaint du climat. Il doit supporter une temprature moyennede 41 degrs Fahrenheit avec un cart-type de 27 degrs. Traduire ces caractristiquesen degr Celsius.On sait que 0C (temprature de fusion de la glace) correspond 32F et que 100C(bullition de leau) correspondent 212F.


MohamedCHERFI



Le changement de variable est le suivant :

TC =TF 32

1.8

La temprature moyenne se transforme de la mme manire (on rappelle queax + b = ax + b) :

xC =xF 32

1.8= 41 32

1.8= 5C.

Alors que lcart-type est seulement divis par 1.8 (on rappelle queVar(ax + b) = a2Var(x)), donc :

C =F1.8

= 271.8

= 15C.

On trouve donc une moyenne de 5 degrs Celsius avec un cart-type de 15 degrs.Le climat chez votre oncle est plutt froid, mais avec dnormes carts detemprature. Des carts de 2 carts-types au moins doivent se produire de temps autre, ce qui correspond des tempratures de 35C ou bien 25C.


MohamedCHERFI




TC =TF 32

1.8


xC =xF 32

1.8= 41 32

1.8= 5C.


C =F1.8

= 271.8

= 15C.

On trouve donc une moyenne de 5 degrs Celsius avec un cart-type de 15 degrs.

Le climat chez votre oncle est plutt froid, mais avec dnormes carts detemprature. Des carts de 2 carts-types au moins doivent se produire de temps autre, ce qui correspond des tempratures de 35C ou bien 25C.


MohamedCHERFI




TC =TF 32

1.8


xC =xF 32

1.8= 41 32

1.8= 5C.


C =F1.8

= 271.8

= 15C.

On trouve donc une moyenne de 5 degrs Celsius avec un cart-type de 15 degrs.Le climat chez votre oncle est plutt froid, mais avec dnormes carts detemprature. Des carts de 2 carts-types au moins doivent se produire de temps autre, ce qui correspond des tempratures de 35C ou bien 25C.

Caractristiques de positionLe modeLa mdiane

Caractristiques de dispersiontendueLa varianceLe coefficient de variation

cours3

Documents