cover bank soal metode komputasi -...

BANK SOAL

METODE KOMPUTASI

2006

iv

DAFTAR ISI

Halaman

Bio Data Singkat Penulis …………………………………………………………….. i

Kata Pengantar ………………………………………………………………………… iii

Daftar Isi ………………………………………………………………………………… iv

Pengantar ............................................................................................................ 1

Kesalahan Bilangan Pendekatan ......................................................................... 6

Akar-akar Persamaan Tidak Linier ………………………………..........………….. 13

Metode Faktorisasi Persamaan Polinomial …………………....….……................. 34

Persamaan Linier Serentak …………………………………………………………… 49

Persamaan Tidak Linier Serentak (PTLS) .…………….……...…….…................. 58

Integrasi Numerik …………………………………...……….…..…….………........... 74

Diferensiasi Numerik ………………………………………………………………….. 85

Daftar Pustaka …………………………………………………………….…………… v

Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

BANK SOAL METODE KOMPUTASI

PENGANTAR

1. Perlihatkan perbedaan perhitungan analitik dan numerik pada kasus Terjun

Payung (Falling Parachute) !

a. Perhitungan Analitik

.

U DU D

U D

FF m a am

F FF F F a

mF Fdv dv mg cva

dt dt m m

= → =

+= + → =

+ −= → = =


2

Dimana :

( )gaya ke bawah gravitasigaya ke atas

D

U

F mg

F cv

= →

= − →

Dari manipulasi rumus di atas, akan diperoleh persamaan matematika

sebagai berikut :

( ) 1c tmdv c gmg v v t e

dt m c

−

= − → = −

Dengan parameter massa ( ) 68 10,m kg= , koefisien hambat (drag

coefficient) ( ) 12 50,detkgc = , konstanta gravitasi ( ) 29 80,

detmg = dan

2 dett∆ = . Dari iterasi yang dilakukan diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke- t e(t) v(t)

1 0 0.00000 0.00000 2 2 0.30726 16.40498 3 4 0.52012 27.76929 4 6 0.66757 35.64175 5 8 0.76971 41.09528 6 10 0.84047 44.87314 7 12 0.88949 47.49019 8 14 0.92345 49.30312 … … … … 44 86 1.00000 53.39039 45 88 1.00000 53.39039 46 90 1.00000 53.39040 47 92 1.00000 53.39040 48 94 1.00000 53.39040 49 96 1.00000 53.39040 50 98 1.00000 53.39040 51 100 1.00000 53.39040


3

Tampak pada tabel di atas bahwa ( )v t akan tetap (tidak berubah) pada

t = ∞ dengan ( ) 53 39,detmv ∞ = sedang untuk ( ) 53 39040,

detmv t =

diperoleh pada 90t = .

b. Perhitungan Numerik

Digunakan pendekatan Finite Divided Difference dengan persamaan

matematika sebagai berikut :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

11 1

1

i i

i i

i ii i i i i i

i i

v t v tdv vdt t t t

v t v t c cg v t v t v t g v t t tt t m m

+

+

++ +

+

−∆≅ =∆ −

⇓

− = − → = + − − −

Dengan parameter yang sama dilakukan iterasi dan diperoleh hasil

sebagai berikut :

Iterasi ke- t v(ti) v(ti+1)

1 0 0.00000 19.60000 2 2 19.60000 32.00470 3 4 32.00470 39.85554 4 6 39.85550 44.82429 5 8 44.82430 47.96897 6 10 47.96900 49.95922 7 12 49.95920 51.21883 … … … … 35 68 53.39040 53.39039 36 70 53.39040 53.39040 37 72 53.39040 53.39040 … … … … … … … …


4

Tampak pada tabel di atas bahwa ( )v t akan tetap (tidak berubah) pada

t = ∞ dengan ( ) 53 39,detmv ∞ = sedang untuk ( ) 53 39040,

detmv t =

diperoleh pada 70t = .

Perhatikan tabel di bawah ini dan amati perbedaannya.

t v(t) - analitik v(ti+1) - numerik

0 0.00000 19.60000 2 16.40498 32.00470 4 27.76929 39.85554 6 35.64175 44.82429 8 41.09528 47.96897

10 44.87314 49.95922 12 47.49019 51.21883 14 49.30312 52.01603 16 50.55899 52.52057 … … … 68 53.39020 53.39039 70 53.39026 53.39040 72 53.39030 53.39040 74 53.39033 53.39040 … … … 86 53.39039 53.39040 88 53.39039 53.39040 90 53.39040 53.39040 92 53.39040 53.39040 94 53.39040 53.39040 96 53.39040 53.39040 98 53.39040 53.39040

100 53.39040 53.39040

Tabel Perbandingan Komputasi Analitik dan Numerik


5

Untuk Kasus Falling Parachute

v(t) Analitik vs v(ti+1) Numerik

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

t

v(t)

dan

v(ti+

1)

v(t)v(ti+1)


6

KESALAHAN DAN BILANGAN PENDEKATAN

1. Sebutkan macam error dalam Metode Komputasi !

a. ROUND-OFF ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa

komputer hanya mampu merepresentasikan suatu kuantitas dgn jumlah digit

terhingga (round-off = pembulatan) atau bila bilangan mempunyai significant

figure terbatas utk merepresentasikan bilangan eksak. Contoh : 1,2346 1,235→

dibulatkan ke 3 digit di belakang koma.

b. TRUNCATION ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa

Metode Komputasi menggunakan aproksimasi utk merepresentasikan suatu

operasi matematika eksak dan kuantitas (truncation = pemotongan). Contoh :

1,2346 1,234→ dipotong ke 3 digit di belakang koma.

2. Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai xe dengan 0 5,x = pada suku ke-8

dimana 0 5 1 648721271, ,e = .

2 3 4

12 3 4

.......................! ! ! !

nx x x x xe x

n= + + + + + +

*eE p p= − ; 100%e

eE xp

ε = ; ( ) ( )

( )

1

1100 100* *

* *% %n n

a n

p px xp pδε

+

+

−= =


7

dimana :

eE → Kesalahan absolut.

p → Nilai eksak. *p → Nilai perkiraan.

eε → Kesalahan relatif (dalam bentuk persentase).

aε → Kesalahan nilai perkiraan terbaik (dalam bentuk persentase).

Dari hasil iterasi diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke- Aproksimasi Ee Ea

1 1.00000000 39.34693404 0.00000000 2 1.50000000 9.02040106 33.33333000 3 1.62500000 1.43876781 7.69231000 4 1.64583333 0.17516227 1.26582000 5 1.64843750 0.01721158 0.15798000 6 1.64869792 0.00141651 0.01580000 7 1.64871962 0.00010026 0.00132000 8 1.64872117 0.00000624 0.00009000 9 1.64872127 0.00000036 0.00001000

10 1.64872127 0.00000004 0.00000000 11 1.64872127 0.00000002 0.00000000

Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan 0 5,e hingga suku ke-8

menghasilkan nilai perkiraan 1 64872117, dengan kesalahan relatif,

0 00000624, %eε = dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, 0 00009, %aε = .


8

3. Bila diketahui 0,4 1,491824698e = , hitung aproksimasinya menggunakan deret 2 3 4 5 6 7

12! 3! 4! 5! 6! 7!

x x x x x x xe x= + + + + + + + (8 suku) dengan ketelitian hingga 9 digit di

belakang koma.

Perhitungan Analitik

c. Suku pertama *1xe p= → , maka :

100%

1,491824698 1 100%1,491824698

32,97%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

d. Suku kedua *1 1,4xe x p= + = → , maka :

100%

1,491824698 1,4 100%1,491824698

6,16%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *1

*1

100%

1,4 1 100%1,4

28,57%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=

e. Suku ketiga ( )22 0 4

1 1 0 4 1 482 2 1

*,, ,

! .x xe x p= + + = + + = → , maka :

100%

1,491824698 1,48 100%1,491824698

0,79%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *1

*1

100%

1,48 1,4 100%1,48

5,41%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=


9

f. Suku keempat

( ) ( )2 32 3 0 4 0 41 1 0 4 1 490666667

2 3 2 1 3 2 1*, ,

, ,! ! . . .

x x xe x p= + + + = + + + = → , maka :

100%

1,491824698 1,490666667 100%1,491824698

0,0776%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *1

*1

100%

1,490666667 1,48 100%1,490666667

0,7156%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=

g. Suku kelima ( ) ( ) ( )

2 3 4

2 3 4

12 3 40 4 0 4 0 4

1 0 4 1 4917333342 1 3 2 1 4 3 2 1

*

! ! !, , ,

, ,. . . . . .

x x x xe x

p

= + + + +

= + + + + = →

,

maka :

100%

1,491824698 1,491733334 100%1,491824698

0,00612%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *1

*1

100%

1,491733334 1,490666667 100%1,491733334

0,0715%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=


10

h. Suku keenam ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 50 4 0 4 0 4 0 4

1 0 42 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

1 491818667 *

! ! ! !, , , ,

,. . . . . . . . . .

,

x x x x xe x

p

= + + + + +

= + + + + +

= →

, maka :

100%

1,491824698 1,491818667 100%1,491824698

0,000404%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *1

*1

100%

1,491818667 1,491733334 100%1,491818667

0,00572%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=

i. Suku ketujuh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

12 3 4 5 60 4 0 4 0 4 0 4 0 4

1 0 42 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

1 491824356 *

! ! ! ! !, , , , ,

,. . . . . . . . . . . . . . .

,

x x x x x xe x

p

= + + + + + +

= + + + + + +

= →

,

maka :

100%

1,491824698 1,491824356 100%1,491824698

0,000023%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=


11

* *1

*1

100%

1,491824356 1,491818667 100%1,491824356

0,00038%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=

j. Suku kedelapan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7

12 3 4 5 6 70 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4

1 0 42 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1

1 491824681 *

! ! ! ! ! !, , , , , ,

,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

x x x x x x xe x

p

= + + + + + + +

= + + + + + + +

= →

,

maka :

100%

1,491824698 1,491824681 100%1,491824698

0,0000011%

ee

Ex

p

x

ε =

−=

=

* *

1*

1

100%

1,491824681 1,491824356 100%1,491824681

0,000022%

n na

n

p px

p

x

ε +

+

−=

−=

=

Dari data perhitungan analitik di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan 0 4,e

hingga suku ke-8 menghasilkan nilai perkiraan 1 491824681, dengan kesalahan

relatif, 0 0000011, %e =ε dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, 0 000022, %a =ε .


12

Perhitungan Numerik (program komputer)

Dari hasil iterasi Numerik diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke- Aproksimasi Ee Ea 1 1.000000000 32.96799541 0.00000000 2 1.400000000 6.15519358 28.57143000 3 1.480000000 0.79263321 5.40541000 4 1.490666667 0.07762516 0.71556000 5 1.491733333 0.00612436 0.07151000 6 1.491818667 0.00040429 0.00572000 7 1.491824356 0.00002295 0.00038000 8 1.491824681 0.00000116 0.00002000 9 1.491824697 0.00000007 0.00000000

10 1.491824698 0.00000003 0.00000000

Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan 0 4,e hingga suku ke-8

menghasilkan nilai perkiraan 1 491824681, dengan kesalahan relatif,

0 00000116, %e =ε dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, 0 00002, %a =ε .


13

AKAR-AKAR PERSAMAAN TIDAK LINIER

1. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Grafik

a. 4 3 2 0x x− − = . Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya

adalah :

4

1

2 3 2y xy x=

= +

Iterasi ke- x y1 y2 Selisih

1 -1.00 1.00 -1.000 2.000 2 -0.80 0.41 -0.400 0.810 3 -0.60 0.13 0.200 -0.070 4 -0.40 0.03 0.800 -0.770 5 -0.20 0.00 1.400 -1.400 6 0.00 0.00 2.000 -2.000 7 0.20 0.00 2.600 -2.600 … … … … … 11 1.00 1.00 5.000 -4.000 12 1.20 2.07 5.600 -3.530 13 1.40 3.84 6.200 -2.360 14 1.60 6.55 6.800 -0.250 15 1.80 10.50 7.400 3.100 16 2.00 16.00 8.000 8.000 17 2.20 23.43 8.600 14.830

Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah 1 0 60,x = − dan 2 1 60,x = dengan

interval 0 20,x∆ = . Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, gunakan

interval yang lebih rapat misal : 0 01,x∆ = akan diperoleh 1 0 62,x = − dan

2 1 62,x = .


14

b. 3 2 0x x− − = . Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya

adalah :

3

1

2 2y xy x=

= +


1 1.00 1.00 3.000 -2.000 2 1.10 1.33 3.100 -1.770 3 1.20 1.73 3.200 -1.470 4 1.30 2.20 3.300 -1.100 5 1.40 2.74 3.400 -0.660 6 1.50 3.38 3.500 -0.120 7 1.60 4.10 3.600 0.500 8 1.70 4.91 3.700 1.210 9 1.80 5.83 3.800 2.030

10 1.90 6.86 3.900 2.960 11 2.00 8.00 4.000 4.000 12 2.10 9.26 4.100 5.160

Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah antara 1 1 50,x = dan 2 1 60,x =

dengan interval 0 10,x∆ = . Akar persamaan di atas cenderung mendekati nilai

1 1 50,x = karena mempunyai selisih yang lebih kecil yakni 1 2 0 120,y y− = .


15

2. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Tabulasi

a. 3 2 1 0x x x− − + =

3

12

2 1

y x

y x x

=

= + −


1 -2.000 -8.000 1.000 -9.000 2 -1.800 -5.830 0.440 -6.270 3 -1.600 -4.100 -0.040 -4.060 4 -1.400 -2.740 -0.440 -2.300 5 -1.200 -1.730 -0.760 -0.970 6 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 7 -0.800 -0.510 -1.160 0.650 … … … … … 15 0.800 0.510 0.440 0.070 16 1.000 1.000 1.000 0.000 17 1.200 1.730 1.640 0.090 18 1.400 2.740 2.360 0.380 19 1.600 4.100 3.160 0.940 20 1.800 5.830 4.040 1.790

Dari pendekatan kasar, ditemukan bahwa fungsi y bernilai 0 (mutlak) bila

1x = ± sehingga tidak perlu dilakukan proses untuk mendapatkan x yang

lebih akurat. Dalam hal ini ( )1 0f ± = .


16

b. 3 2 0e x− − =

3

1

2 2y ey x=

= +

16awalx =

0 2,Interval =

Iterasi ke- x y1 y2 Selisih 1 16.000 20.090 18.000 2.090 … … … … … 10 17.800 20.090 19.800 0.290 11 18.000 20.090 20.000 0.090 12 18.200 20.090 20.200 -0.110 13 18.400 20.090 20.400 -0.310

Diperoleh 18 00,approksx = dengan selisih 1 2 0 090,y y− = . Ambil data iterasi

ke-10 – ( 17 800,x = ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya

dengan interval ( )0 1, yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang

lebih akurat.

Iterasi ke- x y(x) 1 17.800 0.286 2 17.900 0.186 3 18.000 0.086 4 18.100 -0.014 5 18.200 -0.114

Diperoleh 18 100,x = dengan kesalahan (error) atau nilai fungsi

( )18 100 0 014, ,f = −


17

c. 2 3 0sinx x− + =

1

2 3 2siny x

y x=

= −

2awalx = −

0 2,Interval =


1 -2.00 -0.03 -8.00 7.97 2 -1.80 -0.03 -7.40 7.37 … … … … … 12 0.20 0.00 -1.40 1.40 13 0.40 0.01 -0.80 0.81 14 0.60 0.01 -0.20 0.21 15 0.80 0.01 0.40 -0.39 16 1.00 0.02 1.00 -0.98 17 1.20 0.02 1.60 -1.58

Diperoleh 0 60,approksx = dengan selisih 1 2 0 21,y y− = . Ambil data iterasi

ke-13 – ( 0 40,x = ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya


lebih akurat.

Iterasi ke- x y

1 0.400 0.807 … … … 5 0.600 0.210 6 0.650 0.061 7 0.700 -0.088 … … … 9 0.800 -0.386

12 0.950 -0.833

Diperoleh 0 650,x = dengan error atau nilai fungsi ( )0 650 0 061, ,f =


18

d. 3 4 6 0x x+ − =

3

1

2 4 6y xy x=

= − +

0 8,awalx =

0 1,Interval =


1 0.800 0.510 2.800 -2.290 2 0.900 0.730 2.400 -1.670 3 1.000 1.000 2.000 -1.000 4 1.100 1.330 1.600 -0.270 5 1.200 1.730 1.200 0.530 6 1.300 2.200 0.800 1.400 7 1.400 2.740 0.400 2.340 8 1.500 3.380 0.000 3.380 9 1.600 4.100 -0.400 4.500

10 1.700 4.910 -0.800 5.710

Diperoleh 1 100,approksx = dengan selisih 1 2 0 270,y y− = − . Ambil data

iterasi ke-3 – ( 0 100,x = ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya


lebih akurat.

Iterasi ke- x y

1 1.000 -1.000 2 1.050 -0.642 3 1.100 -0.269 4 1.150 0.121 5 1.200 0.528 6 1.250 0.953

Diperoleh 1 150,x = dengan kesalahan atau nilai fungsi ( )1 150 0 121, ,f =


19

3. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Bolzano.

a. 210 2 100 0x x+ − =

Batas atas dan bawah 0 11 000 6 000, ; ,x x= =

Akar Real adalah 3 064,x =

Dengan Iterasi sebanyak 34 kali

Iterasi ke- x(i) fx(i) interval x(i) 1 3.500 24.62500000 [1.000,6.000] 2 2.250 44.87500000 [1.000,2.250] … … …. …. 33 3.064 0.00000001 [3.064,3.064] 34 3.064 0.00000001 [3.064,3.064]

b. 3 2 2 1 0x x x− − + =



Dengan Iterasi sebanyak 27 kali

Iterasi ke- x(i) fx(i) interval x(i) 1 1.500 -0.87500000 [2.000,1.000] 2 1.750 0.20312500 [1.500,1.750] … … …. …. 26 1.802 0.00000003 [1.802,1.802] 27 1.802 0.00000000 [1.802,1.802]


20

c. 2 21 0xe x− + =

Silahkan cari sendiri hasilnya …………

d. 3 9 1 0x x− + =

Perhitungan Analitik

1) Pilih dua nilai 0 1,x x x→ dimana ( ) ( )0 1. 0f x f x < . Dipilih

0 12; 4x x= = sehingga ( ) ( )0 1. 0f x f x < .

0x 1x x

2 00, 4 00, ( )f x 9 00,− 29 00,

2) Cari 0 12

2 4 32 2

x xx

+ += = = . ( ) ( )0 2. 0f x f x < , maka ada akar di

antara 0x dan 2x .

0x 2x 1x x

2 00, 3 00, 4 00, ( )f x 9 00,− 1 00, 29 00,

3) Cari 0 23

2 3 2 52 2

,x x

x+ +

= = = . ( ) ( )2 3. 0f x f x < , maka ada akar di

antara 2x dan 3x .


21

3x 2x x

2 50, 3 00, ( )f x 5 875,− 1 00,

4) Cari 2 34

2 5 3 2 752 2

, ,x x

x+ +

= = = . ( ) ( )2 4. 0f x f x < , maka ada akar

di antara 2x dan 4x .

3x 4x 2x x

2 50, 2 75, 3 00, ( )f x 5 875,− 2 953,− 1 00,

5) Cari 2 45

2 75 3 2 8752 2

, ,x xx

+ += = = . ( ) ( )2 5. 0f x f x < , maka ada akar

di antara 2x dan 5x .

4x 5x 2x x

2 75, 2 875, 3 00, ( )f x 2 953,− 1 111,− 1 00,

6) Cari 2 56

2 875 3 2 9382 2

, ,x x

x+ +

= = = . ( ) ( )2 6. 0f x f x < , maka ada

akar di antara 2x dan 6x .

5x 6x 2x x

2 875, 2 938, 3 00, ( )f x 1 111,− 0 082,− 1 00,


22

Dari hasil perhitungan analitik diperoleh bahwa akar x persamaan di atas

terletak antara 2 938,x = dan 3 00,x = pada iterasi ke-5 dengan error

absolute sebesar 0 082, .

Perhitungan Numerik (program komputer)



Dengan Iterasi sebanyak 27 kali dengan error sebesar 0 00000001,

Iterasi ke- x(i) fx(i) interval x

1 3.000 1.00000000 [2.000,4.000] 2 2.500 5.87500000 [2.000,2.500] 3 2.750 2.95312500 [2.500,2.750] 4 2.875 1.11132812 [2.750,2.875] 5 2.938 0.09008789 [2.875,2.938] … … … … 20 2.943 0.00000785 [2.943,2.943] 21 2.943 0.00000834 [2.943,2.943] 22 2.943 0.00000024 [2.943,2.943] 23 2.943 0.00000380 [2.943,2.943] 24 2.943 0.00000178 [2.943,2.943] 25 2.943 0.00000077 [2.943,2.943] 26 2.943 0.00000026 [2.943,2.943] 27 2.943 0.00000001 [2.943,2.943]



23

4. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Regula-Falsi.

a. ( )1 0tanx x+ − =

( )1

2

1tan

y xy x= +

=

1 1,bawahx = − dan 1 0,atasx = −

Diperoleh akar persamaan 1 018,x = −

Dengan error 0 0000000000000009,y =

pada iterasi ke-21

Iterasi ke- x y1 y2 selisih

1 -2.00 -1.00 -0.03 -0.97 2 -1.90 -0.90 -0.03 -0.87 … … … … … 9 -1.20 -0.20 -0.02 -0.18

10 -1.10 -0.10 -0.02 -0.08 11 -1.00 0.00 -0.02 0.02 12 -0.90 0.10 -0.02 0.12 13 -0.80 0.20 -0.01 0.21

Iterasi ke- x3 fx3 fx3 (16 digit) Error Aproksimasi

1 -1.018 0.00000 -0.0000000080697414 2 -1.018 0.00000 -0.0000000000000009

Diperoleh 1 018,x = − dengan kesalahan atau nilai fungsi

( )1 018 0 000, ,f − =

b. 3 22 4 2 5 0x x x+ − − =

3

1

22

2

4 2 5

y x

y x x

=

= − + +

1 1,bawahx = dan 0 8,atasx =

Diperoleh akar persamaan 1 078,x =


24

Dengan error 0 0000000000000008,y =

pada iterasi ke-9

Iterasi ke- x y1 y2 selisih 1 -1.00 -2.00 -1.00 -1.00 … … … … … 6 0.50 0.25 5.00 -4.75 7 0.80 1.02 4.04 -3.02 8 1.10 2.66 2.36 0.3 9 1.40 5.49 -0.04 5.53

Iterasi ke- x3 f(x3) f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi 1 1.073 -0.074054 -0.0740542165284570 … … …. …. 8 1.078 0.000000 -0.0000000000000008 9 1.078 0.000000 -0.0000000000000008


c. ( )3 0cosx x− =

( )1

2

3cos

y xy x=

=



Dengan error 0 0000000000000001,y =

pada iterasi ke-3


1 -1.00 -3.00 1.00 -4.00 2 -0.90 -2.70 1.00 -3.70 … … … … … 13 0.20 0.60 1.00 -0.40 14 0.30 0.90 1.00 -0.10 15 0.40 1.20 1.00 0.20 16 0.50 1.50 1.00 0.50


25

Iterasi ke- x3 fx3 fx3 (16 digit) Error Aproksimasi

1 0.333 0.000000 -0.0000003383007839 2 0.333 0.000000 -0.0000000000011447 3 0.333 0.000000 -0.0000000000000001


d. ( ) 20lnxe x− =

( )1

2 20ln

xy ey x=

= +



Dengan error 0 0000000000000017- ,y =

pada iterasi ke-13

Iterasi ke- x y1 y2 selisih 1 2.00 7.39 20.69 -13.00 2 2.20 9.03 20.79 -12.00 … … … … … 5 2.80 16.44 21.03 -5.00 6 3.00 20.09 21.10 -1.00 7 3.20 24.53 21.16 3.00 8 3.40 29.96 21.22 9.00

Iterasi ke- x3 f(x3) f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi 1 3.046 -0.077948 -0.0779482712623064 2 3.050 -0.005823 -0.0058227448073664 … … …. …. 12 3.050 0.000000 -0.0000000000000297 13 3.050 0.000000 -0.0000000000000017



26

e. 2 3 0xe x− − = pada 0 60,x =

1

2

23

xy ey x=

= +



Dengan error 0 0000000000000066,y =

pada iterasi ke-7


1 0.000 2.000 3.000 -1.000 2 0.300 2.700 3.300 -0.600 3 0.600 3.640 3.600 0.040 4 0.900 4.920 3.900 1.020 5 1.200 6.640 4.200 2.440 6 1.500 8.960 4.500 4.460 7 1.800 12.100 4.800 7.300 8 2.100 16.330 5.100 11.230 9 2.400 22.050 5.400 16.650

10 2.700 29.760 5.700 24.060

Iterasi ke- x3 f(x3) f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi 1 0.582 -0.003 0.0025779513543233 2 0.583 0.000 0.0000301113116195 3 0.583 0.000 0.0000003513483735 4 0.583 0.000 0.0000000040995954 5 0.583 0.000 0.0000000000478347 6 0.583 0.000 0.0000000000005580 7 0.583 0.000 0.0000000000000066



27

5. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Newton-Rhapson.

a. ( )3 0cosx x− =

( )( )

( )

3

3

cos

' sin

'' cos

y x x

y x

y x

= −

= +

=

Tebakan awal 0 5,x =


Dengan error 0 00000000,y =

pada iterasi ke-5

Iterasi ke- x y 1 0.5 0.622 2 0.6 0.975 3 0.7 1.335

Iterasi ke- x y(x) dy y/dy 1 0.321 0.622 3.479 0.1789000000 2 0.317 0.014 3.316 0.0044000000 3 0.317 0.000 3.311 0.0000000000 4 0.317 0.000 3.311 0.0000000000 5 0.317 0.000 3.311 0.0000000000

b. 3 2 3 3 0x x x+ − + =

3 2

2

3 33 2 36 2

'''

y x x xy x xy x

= + − +

= + −= +

Tebakan awal 5x = −


Dengan error 0 00000000,y = pada iterasi ke-5

Iterasi ke- x y 1 -5 -82.000 … … … 13 -2.6 -0.016 14 -2.4 2.136


28

Iterasi ke- x y(x) dy y/dy 1 -2.599 -0.016 12 -0.00130000 2 -2.599 0.000 12 0.00000000 3 -2.599 0.000 12 0.00000000 4 -2.599 0.000 12 0.00000000 5 -2.599 0.000 12 0.00000000

c. 23 0xe x− =

23

66

'''

x

x

x

y e xy e xy e

= −

= −

= −

Tebakan awal 2x = −



pada iterasi ke-5

Iterasi ke- x y 1 -2 -11.865000… … …. 7 -0.8 -1.471000 8 -0.6 -0.531000 9 -0.4 0.190000

Iterasi ke- x y(x) dy y/dy 1 -0.462 0.190000 3 0.06200000 2 -0.459 -0.010000 3 -0.00300000 3 -0.459 0.000000 3 0.00000000 4 -0.459 0.000000 3 0.00000000 5 -0.459 0.000000 3 0.00000000


29

d. 2 34 5y x x= + −

2 3

2

4 510 310 6

'''

y x xy x xy x

= + −

= −= −




pada iterasi ke-5

Iterasi ke- x y

1 1.0 8.000 2 1.5 11.875 3 2.0 16.000 4 2.5 19.625 5 3.0 22.000 6 3.5 22.375 7 4.0 20.000 8 4.5 14.125 9 5.0 4.000

10 5.5 -11.125 11 6.0 -32.000 12 6.5 -59.375 13 7.0 -94.000

Iterasi ke- x y dy y/dy

1 5.160 4.000 -20.000 -0.160 2 5.151 -0.260 -20.000 0.009 3 5.151 -0.001 -20.000 0.000 4 5.151 0.000 -20.000 0.000 5 5.151 0.000 -20.000 0.000


30

6. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Iterasi ( )x g x= .

a. 3 3 1 0x x− + =

( )

( )

3

3

2

3 11

3 3'

x xxg x

g x x

= +

= +

=




Iterasi ke- x = g(x) f(x)

1 0.34233300 0.01311877 2 0.34670600 0.00155714 3 0.34722500 0.00018746 4 0.34728800 0.00002260 5 0.34729500 0.00000273 6 0.34729600 0.00000033 7 0.34729600 0.00000004 8 0.34729600 0.00000000

b. 3 29 18 6 0x x x+ + − =

( )

( )

3 2

3 2

2

18 9 61

18 2 3

6'

x x xx xg x

xg x x

= − − +

= − − +

= − −





31


1 -0.01511100 14.67200000 2 0.33321900 -6.26994834 3 0.27576000 1.03426363 4 0.29414600 -0.33095195 5 0.28865800 0.09878622 6 0.29033500 -0.03018466 7 0.28982600 0.00915999 8 0.28998100 -0.00278560 9 0.28993400 0.00084657

10 0.28994800 -0.00025733 11 0.28994400 0.00007822 12 0.28994500 -0.00002378 13 0.28994500 0.00000723 14 0.28994500 -0.00000220 15 0.28994500 0.00000067 16 0.28994500 -0.00000020 17 0.28994500 0.00000006 18 0.28994500 -0.00000002 19 0.28994500 0.00000001

c. ( )2 0sinxe x− − =

( )( ) ( )( )

2

2

2

11 4

sin

arcsin

'

x

x

x

x e

g x e

g xe

−

−

−

=

=

=+

Tebakan awal x =

Diperoleh akar persamaan x =

Dengan error y =

Silahkan cari sendiri hasilnya ………….


32

d. 3 0xe x− =

( )

( )

3

3

3'

x

x

x

x eeg x

eg x

=

=

=





1 0.81986800 -0.18940363 2 0.75673300 -0.13889727 3 0.71043400 -0.09642787 4 0.67829100 -0.06436621 5 0.65683600 -0.04182772 … … … 33 0.61906100 -0.00000007 34 0.61906100 -0.00000004 35 0.61906100 -0.00000003 36 0.61906100 -0.00000002 37 0.61906100 -0.00000001 38 0.61906100 -0.00000001 39 0.61906100 0.00000000 40 0.61906100 0.00000000 41 0.61906100 0.00000000 42 0.61906100 0.00000000

e. 3 29 18 6 0x x x− + − =

( )

( )

3 2

3 2

2

18 9 61

18 2 3

6'

x x xx xg x

xg x x

= − + +

= − + +

= − +





33


1 0.45138889 0.38320400 2 0.43009978 0.15648599 3 0.42140611 0.06189662 4 0.41796741 0.02416013 5 0.41662518 0.00938074 6 0.41610403 0.00363477 7 0.41590210 0.00140724 8 0.41582392 0.00054466 9 0.41579366 0.00021078

10 0.41578195 0.00008157 11 0.41577742 0.00003156 12 0.41577566 0.00001221 13 0.41577499 0.00000473 14 0.41577472 0.00000183 15 0.41577462 0.00000071 16 0.41577458 0.00000027 17 0.41577457 0.00000011 18 0.41577456 0.00000004 19 0.41577456 0.00000002 20 0.41577456 0.00000001


34

METODE FAKTORISASI PERSAMAAN POLINOMIAL

1. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi ( )3P x

a. 3 22 4 1 4 6 8 0, , ,x x x− − − =

3 0 1

2 1 2

1 0 3

0 1

1 2

0 3

2 4 2 934 2 9341 4 1 923 2 7626 8 2 317 0 839

0 477 0 4775 334 2 667 2 67214 252 2 667 2 672

, , ,, , ,, , ,

, ,, , ,, , ,

A b xA a xA a x

b xa x ia x i

= − = = −

= − = − =

= − = − = −

= − =

= − = −

= = +

diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-33 dan 34 untuk masing-masing

parameter.

iterasi b0 a1 a0 1 0.000 -2.400 -1.400 2 -0.201 -7.257 33.849 … … … … 33 2.934 -1.923 -2.317 34 -0.477 -5.334 14.252 35 2.934 -1.923 -2.317 36 -0.477 -5.334 14.252


35

b. 3 2 3 3 0x x x+ − + =

3 0 1

2 1 2

1 0 3

0 1

1 2

0 3

0 1

1 2

0 3

1 2 453 2 4533 1 924 0 5043 1 223 2 428

0 548 0 5483 453 1 726 1 5785 471 1 726 1 578

0 924 0 9240 452 1 5903 248 2 042

, ,, ,

, ,

, ,, , ,, , ,

, ,, ,

, ,

A b xA a xA a x

b xa x ia x i

b xa xa x

= = − =

= − = =

= = − = −

= = −

= = − +

= = − −

= − =

= =

= − = −

diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-11, 12 dan 13 untuk masing-

masing parameter

iterasi b0 a1 a0 1 0.000 1.000 -3.000 2 -3.000 2.000 -1.000 … … … … 15 0.548 3.453 5.470 16 -0.924 0.452 -3.248 17 -2.453 1.924 -1.223 18 0.548 3.453 5.471 19 -0.924 0.452 -3.248 20 -2.453 1.924 -1.223 21 0.548 3.453 5.471


36

c. 3 28 80 384 0x x x− − + =

3 0 1

2 1 2

1 0 3

8 4 480 4 12384 96 8

A b xA a xA a x

= − = − =

= − = − =

= = − = −

iterasi b0 a1 a0 1 0.000 -8.000 -80.000 2 -4.027 -3.200 -95.360 3 -4.000 -3.973 -95.999 4 -4.000 -4.000 -96.000 5 -4.000 -4.000 -96.000

d. 3 22 2 0x x− + =

3 0 1

2 1 2

1 0 3

202

A b xA a xA a x

= − = =

= = =

= = =

tidak valid karena iterasi menghasilkan ∞

Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan

diperoleh sebagai berikut : 1 2 31 419 0 607 0 84, , , ; ,x i x= ± =

Alternatif lain adalah asumsikan x dengan persamaan lain semisal

1x y= + .

e. 3 21 2 4 4 8 0, ,x x x+ − − =


37

3 0 1

2 1 2

1 0 3

1 2 4 1 24 4 24 8 96 2

, ,

,

A b xA a xA a x

= = − = −= − = − == − = − = −

diperoleh pada iterasi berulang ke-2.

iterasi b0 a1 a0

1 0.000 1.200 -4.000 2 1.200 0.000 -4.000 3 1.200 0.000 -4.000

f. 3 24 4 0x x x+ − + =

3 0 1

2 1 2

1 0 3

0 1

1 2

0 3

4 1 11 3 14 4 4

1 15 14 4

A b xA a xA a x

b xa xa x

= = − =

= − = =

= = − = −

= = −

= = −

= = −

diperoleh pada iterasi berulang ke-73 dan 74 untuk masing-masing

parameter

iterasi b0 a1 a0 1 0.000 4.000 -1.000 2 0.129 8.000 31.000 … … … … 71 -1.000 3.000 -4.000 72 1.000 5.000 4.001 73 -1.000 3.000 -4.000 74 1.000 5.000 4.000


38


a. 4 3 27 6 0x x x x− − + + =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

1 1 17 0 11 1 36 6 2

A b xA b xA a xA a x

= − = − =

= − = = −

= = − =

= = − = −

diperoleh pada iterasi ke-10

iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 -1.000 -7.000 2 -0.857 -0.020 -0.980 -6.163 … … … … … 9 -1.000 0.000 -1.000 -6.001

10 -1.000 0.000 -1.000 -6.000 11 -1.000 0.000 -1.000 -6.000

b. 4 3 25 3 7 2 0x x x x+ + − − =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

5 0 268 13 0 732 0 2687 5 732 22 7 464 3 732

,, ,

,, ,


= = − =

= = − = −

= − = = −

= − = = −



39

iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 5.000 3.000 2 -0.667 -1.222 6.222 11.272 … … … … … 54 -0.268 -0.732 5.732 7.465 55 -0.268 -0.732 5.732 7.464 56 -0.268 -0.732 5.732 7.464

c. 4 3 3 2 0x x x+ + + =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

1032


= = =

= = =

= = =

= = =

tidak valid karena iterasi menghasilkan ∞

Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan

diperoleh sebagai berikut :

1 2 3 40 625 1 655 0 645 1 218,, ; , ; , ,x x x i= − = − = − ±

d. 4 3 21 5 2 5 2 1 0, , ,x x x+ − − =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

1 5 0 616 0 115 0 7762 5 0 230 0 115 0 7760 1 270 1 3172 1 3 408 2 587

, , , ,, , , ,

, ,, , ,

A b x iA b x iA a xA a x

= = = − +

= − = = − −

= = =

= − = − = −



40

iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 1.500 -2.500 2 0.840 0.504 0.996 -3.842 … … … … … 10 0.616 0.230 1.270 -3.410 11 0.616 0.230 1.270 -3.408 12 0.616 0.230 1.270 -3.408

e. 4 3 28 39 62 50 0x x x x− + − + =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

8 0 616 1 139 0 230 1 162 1 270 3 450 3 408 3 4

,,,

,

A b x iA b x iA a x iA a x i

= − = = −= = = += − = = −= = − = +


iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 -8.000 39.000 2 1.282 -1.327 -6.673 28.864 3 1.732 -1.852 -6.148 26.334 4 1.899 -1.950 -6.050 25.470 5 1.963 -1.983 -6.017 25.169 6 1.987 -1.994 -6.006 25.061 7 1.995 -1.998 -6.002 25.022 8 1.998 -1.999 -6.001 25.008 9 1.999 -2.000 -6.000 25.003

10 2.000 -2.000 -6.000 25.001 11 2.000 -2.000 -6.000 25.000 12 2.000 -2.000 -6.000 25.000


41

f. 4 3 25 3 5 93 5 069 7 161 0, , , ,x x x x− + + − =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

5 3 1 1 1 15 93 0 1 15 069 5 2 3 17 161 6 51 2 1

, , ,, ,, , ,

, , ,


= − = − =

= = − = −

= = − =

= − = =


iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 -5.300 5.930 2 -1.208 -0.224 -5.076 5.998 … … … … … 22 -1.100 -0.100 -5.200 6.509 23 -1.100 -0.100 -5.200 6.510 24 -1.100 -0.100 -5.200 6.510

g. 4 3 23 2 0x x x+ + + =

3 0 1

2 1 2

1 1 3

0 0 4

1 0 725 0 179 0 8323 0 357 0 179 0 8320 1 357 0 679 1 5162 2 759 0 679 1 516

, , ,, , ,

, , ,, , ,

A b x iA b x iA a x iA a x i

= = = −

= = − = +

= = = − +

= = = − −


iterasi b0 b1 a1 a0 1 0.000 0.000 1.000 3.000 2 0.667 -0.222 1.222 2.605 … … … … … 10 0.725 -0.357 1.357 2.758 11 0.725 -0.357 1.357 2.759 12 0.725 -0.357 1.357 2.759


42


a. 5 4 3 23 5 15 4 12 0x x x x x+ − − + + =

4 0 1

3 1 2

2 0 3

1 1 4

0 0 5

3 1 35 0 115 3 14 0 212 4 2

A b xA b xA a xA c xA c x

= = − = −= − = == − = = −= = == = − = −


iterasi b0 b1 a0 c1 c0 1 0.000 0.000 0.000 3.000 -5.000 2 -0.800 2.520 3.000 -2.520 2.150 … … … … … … 8 -0.999 0.001 3.000 -0.001 -4.001 9 -1.000 0.000 3.000 0.000 -4.000

10 -1.000 0.000 3.000 0.000 -4.000

b. 5 4 3 23 5 8 5 29 75 14 0625 49 21875 0, , , , ,x x x x x− − + + − =

4 0 1

3 1 2

2 0 3

1 1 4

0 0 5

3 5 3 75 48 5 1 2 529 75 1 5 1 514 0625 1 3 549 21875 8 75 2 5

, ,, ,, , ,. ,

, , ,


= − = − == − = − == = − = −= = − == − = − = −



43

iterasi b0 b1 a0 c1 c0 1 0.000 0.000 0.000 -3.500 -8.500 2 -2.801 1.064 -2.067 -2.497 -6.005 … … … … … … 14 -3.751 -0.999 -1.500 -1.001 -8.749 15 -3.750 -1.000 -1.500 -1.000 -8.750 16 -3.750 -1.000 -1.500 -1.000 -8.750

c. 5 3 268 42 1 075 1 050 0. .x x x x− + + − =

4 0 1

3 1 2

2 0 3

1 1 4

0 0 5

0 25 168 0 542 1 51 075 1 61 050 42 7

..


= = − == − = == = − = −= = == − = − = −


iterasi b0 b1 a0 c1 c0 1 0.000 0.000 0.000 0.000 -68.000 2 -15.441 0.368 -1.000 0.632 -51.791 … … … … … … 28 -25.000 0.000 -1.000 1.000 -42.001 29 -25.000 0.000 -1.000 1.000 -42.000 30 -25.000 0.000 -1.000 1.000 -42.000

d. 5 10 0x + =

Error floating point !

Alternatif lain adalah asumsikan x dengan persamaan lain semisal

1x y= + .


44

e. 5 3 1 0x x+ + =

4 0 1

3 1 2

2 0 3

1 1 4

0 0 5

0 0 01 0 00 0 00 0 01 1 0

A b xA b xA a xA c x iA c x i

= = == = == = == = = += = = −


iterasi b0 b1 a0 c1 c0 1 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 2 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 3 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 … … … … … …

f. 5 4 3 227 146 120 0x x x x x− − + + + =

4 0 1

3 1 2

2 0 3

1 1 4

0 0 5

1 25 11 0 327 1 2146 1 0 5 4 44409721120 42 0 5 4 44409721

, ., .

A b xA b xA a xA c x iA c x i

= = − == − = == − = − = −= = = −= = − = +


iterasi b0 b1 a0 c1 c0 1 0.000 0.000 0.000 -1.000 -27.000 2 -5.407 0.163 0.822 -1.985 -19.771 … … … … … … 11 -6.001 -1.000 1.000 -1.000 -19.999 12 -6.000 -1.000 1.000 -1.000 -20.000 13 -6.000 -1.000 1.000 -1.000 -20.000


45

4. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Metode Bairstow (asumsi

1r s= = − )

a. 3 26 66 13 5331 8 2057 0, , ,x x x− + − =

1 1

2 2

3 1 3

4 2

3

1 3 304 2 1856 66 2 445 1 11913 5331 1 2 3608 2057 3 36

0

, ,, , ,, ,, ,

a r xa s xa b xa b

b

= = == − = − == = == − = −

=

diperoleh pada iterasi ke-8.

i dR dS r s 1 3.27000000 8.12100000 2.27 7.121 2 -0.87800000 -12.55200000 1.391 -5.431 .. …. …. … … 7 -0.00100000 -0.00100000 3.304 -2.445 8 0.00000000 0.00000000 3.304 -2.445

b. 3 2 19 29 0x x x− − + =

1 1

2 2

3 1 3

4 2

3

1 0 609 3 9511 18 019 4 5619 1 1 61029 1 61

0

, ,, ,

,,

a r xa s xa b xa b

b

= = − =

= − = = −

= − = =

= = −

=



46

Bila menggunakan metode Faktorisasi ( )3P x diperoleh akar-akar

1 2 31 609 3 951 4 56, ; , ; ,x x x= = = −

i dR dS r s 1 -0.20000000 17.40000000 -1.200 16.400 2 0.78000000 2.61300000 -0.420 19.013 … …. …. … … 5 0.00000000 -0.00100000 -0.609 18.019 6 0.00000000 0.00000000 -0.609 18.019

c. 4 3 21 1 2 3 0 5 3 3 0, , , ,x x x x− + + + =

1 1

2 2

3 1 3

4 2 4

5 3

1 0 0 45 0 947364771 1 1 0 45 0 947364772 3 1 1 00 1 414213560 5 2 1 00 1 414213563 3 3

, ,, , ,

, , ,, , ,,

a r x ia s x ia b x ia b x ia b

= = = − −= − = − = − += = = −= = − = += =


i dR dS r s 1 0.110 -0.063 -0.890 -1.063 2 -0.010 -0.037 -0.900 -1.100 3 0.000 0.000 -0.900 -1.100 4 0.000 0.000 -0.900 -1.100


47

d. 4 3 24 21 4 20 0x x x x+ + + + =

1 1

2 2

3 1 3

4 2 4

5 3

1 04 121 1 2 44 4 2 420 20

a r x ia s x ia b x ia b x ia b

= = = += = − = −= = = − += = = − −= =


i dR dS r s 1 1.00800000 0.94600000 0.008 -0.054 2 -0.01600000 -0.89900000 -0.008 -0.953 3 0.00800000 -0.04700000 0.000 -1.000 4 0.00000000 0.00000000 0.000 -1.000

e. 4 3 28 16 7 2 0x x x x+ + + − =

1 1

2 2

3 1 3

4 2 4

5 3

1 1 808 0 1938 0 385 2 00316 1 17 6 19 5 1872 5 19

, ,, ,

, ,,

a r xa s xa b xa b xa b

= = − == = = −= = = −= = = −= − =


i dR dS r s 1 -0.04400000 1.34100000 -1.044 0.341 2 0.38700000 -0.19400000 -0.657 0.146 3 -0.13600000 0.04900000 -0.793 0.195 4 -0.01400000 -0.00300000 -0.807 0.193 5 0.00000000 0.00000000 -0.807 0.193


48

f. 4 22 18 0x x x− − =

1 1

2 2

3 1 3

4 2 4

5 3

1 2 874 2 8740 0 02 1 1 435 2 0518 2 87 1 435 2 050 6 26

, ,

, ,, , ,,

a r xa s xa b x ia b x ia b

= = == = == − = = − += − = = − −= =


i dR dS r s 1 2.13000000 -8.56500000 1.130 -9.565 2 -1.20000000 8.70800000 -0.069 -0.857 … …. …. … … 12 0.00000000 -0.00300000 2.874 0.000 13 0.00000000 0.00000000 2.874 0.000


49

PERSAMAAN LINIER SERENTAK

1. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Invers

Matriks atau Matriks Augmented.

a. Perhatikan PLS berikut ini :

4 3 112 4 12 2 1

x y zx y z

x y z

− + =+ − = −+ − =

27A =

4 3 1 112 1 4 11 2 2 1

- ;A H−

= = − −

6 00 0 00 3 004 00 9 00 11 00

11 00 18 00 10 00

. . . - . - . - .

. . .Adj A

=

1

0 22 0 00 0 110 15 0 33 0 410 41 0 67 0 37

-

. . . - . - . - .

. . .

AdjA AA

= =

0 22 0 15 0 410 00 0 33 0 670 11 0 41 0 37

. - . .

. - . .

. - . .

TA =

,

[ ]

0 22 0 15 0 41 11 000 00 0 33 0 67 1 000 11 0 41 0 37 1 00

.

. - . . .

. - . . - .

. - . . .

T

xy A H iz

xyz

=

=

diperoleh 3 00 1 00 2 00= . ; . ; = .x y z=


50

b. Perhatikan PLS berikut ini :

62 3 144 9 36

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

2A =

1 1 1 61 2 3 141 4 9 36

;A H = =

6 00 6 00 2 005 00 8 00 3 00

1 00 2 00 1 00

. . . - . . - .

. . .Adj A

− = −

1

3 00 3 00 1 002 50 4 00 1 500 50 1 00 0 50

-

. . . - . . .

. . .

AdjA AA

− = = − −

3 00 2 50 0 503 00 4 00 1 001 00 1 50 0 50

. - . .- . . - .

. - . .

TA =

,

[ ]

3 00 2 50 0 50 6 003 00 4 00 1 00 14 001 00 1 50 0 50 36 00

.

. - . . .- . . - . .

. - . . .

T

xy A H iz

xyz

=

=

diperoleh 1 00 2 00 3 00= . ; . ; = .x y z=


51

c. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 82 2 5

2 42 4 5

x x x xx x x xx x x x

x x x x

− + − =

− + − =

− + + − =

+ + − =

1 1 1 2 82 1 2 1 51 1 2 1 41 2 4 1 5

;A H

− − − = = − − −

1 1 1 2 82 1 2 1 51 1 2 1 41 2 4 1 5

1 000 1 000 1 000 2 000 8 0000 000 1 000 1 000 1 000 3 0000 000 0 000 3 000 3 000 12 0000 000 0 000 0 000 10 000 36 000

. - . . - . .. - . . . - .. . . - . .. . . . - .

AH

AH

− − − − = − − −

⇓

=

diperoleh 1 2

3 4

0 200 0 2000 400 3 600. ; - .. ; - .

x xx x= =

= =

d. Perhatikan PLS berikut ini :

3 6 172 8 16 425 21 45 91

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =


52

1 3 6 172 8 16 425 21 45 91

;A H = =

1 3 6 172 8 16 425 21 45 91

1 000 3 000 6 000 17 0000 000 2 000 4 000 8 0000 000 0 000 3 000 18 000

. . . .. . . .. . . - .

AH

AH

=

⇓

=

diperoleh 1 2 35 000 16 000 6 000. ; . ; - .x x x= = =

e. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 13 4 8 0

3 5 1

x x xx x x

x x x

− + =

− + =

+ + = −

1 1 2 13 4 8 01 3 5 1

- - ;

-A H

= =

1 000 1 000 2 000 1 0003 000 4 000 8 000 0 0001 000 3 000 5 000 1 000

1 000 1 000 2 000 1 0000 000 1 000 2 000 3 0000 000 0 000 11 000 14 000

. - . . .. - . . .. . . - .

. - . . .. - . . - .. . . - .

AH

AH

=

⇓

=

diperoleh 1 2 34 000 0 455 1 273. ; . ; - .x x x= = =


53

2. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode

Elimininasi Gauss.

a. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

9 3746 3 0416 2 4371 9 23333 0416 6 1832 1 2163 8 20492 4371 1 2163 3 4429 3 9330

, , , ,, , , ,

, , , ,

x x xx x x

x x x

+ − =

+ + =

− + + =

9 3746 3 0416 2 4371 9 23333 0416 6 1832 1 2163 8 20492 4371 1 2163 3 4429 3 9330

9 375 3 042 2 437 9 2330 000 5 196 2 007 5 2090 000 0 000 2 040 4 321

. . - . .H . . . .

- . . . .

. . - . .H . . . .

. . . .

A

A

=

⇓

=

diperoleh 1 2 31 476 0 184 2 118. ; . ; .x x x= = =

b. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 7634 0 9265 1 7532 4 12872 1524 6 3754 1 8174 10 28530 7232 5 9176 2 3146 5 1287

, , , ,, , , ,, , , ,

x x xx x xx x x

+ + =

+ + =

− + = −

0 7634 0 9265 1 7532 4 12872 1524 6 3754 1 8174 10 28530 7232 5 9176 2 3146 5 1287

. . . . . . . .

. - . . - .A H

=

⇓


54

0 763 0 926 1 753 4 1290 000 3 763 3 126 1 3560 000 0 000 4 991 11 488

. . . . . . - . - .

. . - . - .A H

=

diperoleh 1 2 31 761 1 552 2 302- . ; . ; .x x x= = =


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1 4 5 2 0 19 073 0 2 5 4 3 3 126 0 3 5 2 5 18 25

, , , ,, , , ,

, , , ,

x x xx x x

x x x

− − =

+ + =

− + + = −

2 1 4 5 2 19 073 2 5 4 3 3 126 3 5 2 5 18 25

2 100 4 500 2 000 19 0700 000 8 929 7 157 24 1230 000 0 000 4 286 10 955

. - . - . . . .

. . .

. - . - . . . . . - .

. . . .

A H

A H

= − −

⇓

=

diperoleh 1 2 31 335 4 750 2 556. ; - . ; .x x x= = =

d. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11 2 14 5 33 2 25 154 4 5 56 3 12 88 1244 1 23 51 32 85 66 25

, , , ,, , , ,, , , ,

x x xx x xx x x

− + =

− + =

+ − =


55

11 2 14 5 33 2 25 154 4 5 56 3 12 88 1244 1 23 51 32 85 66 25

11 2000 14 5000 33 2000 25 10000 0000 64 8686 158 1371 33 79430 0000 0 0000 32 9215 9 4105

. - . . . . . . .

. . . .

. - . . . . . - . - .

. . . .

A H

A H

= − −

⇓

=

diperoleh 1 2 31 6214 0 1759 0 2858. ; . ; .x x x= = =

e. Perhatikan PLS berikut ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 41 1 23 1 09 4 722 71 2 14 1 29 3 101 89 1 91 1 89 2 91

, , , ,, , , ,, , , ,

x x xx x xx x x

+ − =

+ − =

− − =

3 41 1 23 1 09 4 722 71 2 14 1 29 3 101 89 1 91 1 89 2 91

3 4100 1 2300 1 0900 4 72000 0000 1 1625 0 4238 0 65110 0000 0 0000 2 2306 1 1576

, , , , , , , ,

, , , ,

, , , , . . - . - .

. . - . - .

A H

A H

− = − − −

⇓

− =

diperoleh 1 2 31 6838 0 3709 0 5190. ; - . ; .x x x= = =


56

3. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Gauss-

Seidel

a. Perhatikan tabel PLS berikut ini :

1x 2x 3x c

3,5 2,8 6,2 9,8999 2,7 8 3 -6,1744 -4 -3,6 -2,8 5,6512

Hasil komputasi konvergen. Oleh karena itu digunakan metode Invers

Matriks sehingga diperoleh 1 2 33 0347 1 1904 3 8475- . ; - . ; . x x x= = =

b. Perhatikan tabel PLS berikut ini :

1x 2x 3x c 1,02 -0,05 -0,1 0,705 -0,11 1,03 -0,05 0,849 -0,11 -0,12 1,04 1,398

iterasi ke- x1[i] x2[i] x3[i] 1 0.77941 0.90751 1.53138 2 0.83891 0.9882 1.54699 3 0.84302 0.9894 1.54756 4 0.84308 0.98943 1.54757 5 0.84309 0.98943 1.54757 6 0.84309 0.98943 1.54757 7 0.84309 0.98943 1.54757 8 0.84309 0.98943 1.54757 9 0.84309 0.98943 1.54757 10 0.84309 0.98943 1.54757 11 0.84309 0.98943 1.54757 12 0.84309 0.98943 1.54757

diperoleh 1 2 30 84309 0 98943 1 54747. ; . ; .x x x= = = dan stabil pada iterasi

ke-12.


57


27 6 856 15 2 72

54 110

x y zx y z

x y z

+ − =+ + =+ + =

( )

( )

( )

1 85 6271 72 6 2151 11054

x y z

y x z

z x z

⇓

= − +

= − −

= − +

iterasi ke- x[i] y[i] z[i] 1 3.14815 3.54074 1.91317 2 2.43217 3.57204 1.92585 3 2.42569 3.57294 1.92595 4 2.42549 3.57301 1.92595 5 2.42548 3.57302 1.92595 6 2.42548 3.57302 1.92595 7 2.42548 3.57302 1.92595 8 2.42548 3.57302 1.92595 9 2.42548 3.57302 1.92595

10 2.42548 3.57302 1.92595 11 2.42548 3.57302 1.92595 12 2.42548 3.57302 1.92595 13 2.42548 3.57302 1.92595 14 2.42548 3.57302 1.92595

diperoleh 2 42548 3 57302 1 92595. ; . ; .x y z= = = dan stabil pada iterasi

ke-14.


58

PERSAMAAN TIDAK LINIER SERENTAK (PTLS)

1. Mencari akar-akar persamaan tidak linier serentak menggunakan Metode Newton-Rhapson. Akar-akar yang diperoleh dapat berbeda untuk setiap tebakan.

Oleh karena itu lakukan substitusi ke persamaan untuk meyakinkannya !

a. 2 2 16x y+ = dan 2 2 4x y− =

( )( )

2 2

2 2

16

4

2 2

2 2

,

,

F x y x y

G x y x y

F Gx xx xF Gy yy y

= + −

= − −

∂ ∂= =

∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂

tebakan awal 0 02 0 3 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 2.00000000 4.00000000 4.00000000 -16.00000000 1.5000000000000000 -1.2500000000000000 2 3.50000000 2.75000000 3.81250000 0.68750000 -0.3214285714285710 -0.2840909090909090

… … … … … 5 3.16227766 2.44948974 0.00000001 0.00000000 -0.0000000002757569 -0.0000000006099501 6 3.162277660 2.449489743 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000003 0.0000000000000002

Maka akan diperoleh 6 63 162277660 2 449489743, ; ,x y= = , dengan

koreksi


59

0 00000000000000030 0000000000000002

- , ,

hk==

error_limit adalah 0 000000000000001,

b. 2 11x y+ = dan 2 4 0x y+ − =

( )( )

2

2

11

4

2 1

1 2

,

,

F x y x y

G x y x y

F Gxx xF G yy y

= + −

= + −

∂ ∂= =

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

tebakan awal 0 02 0 5 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 2.000000000 5.000000000 -2.000000000 23.000000000 1.1025641025641000 -2.4102564102564100 2 3.102564103 2.589743590 1.215647600 5.809335963 -0.0156424169683466 -1.1185843975363200

… … … … … 7 3.176909961 0.907243098 0.000000000 0.000000001 0.0000000000717555 -0.0000000004739865 8 3.176909961 0.907243098 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000


koreksi

0 00000000000000000 0000000000000000

, ,

hk==


60

c. 2 2 1x x y+ − = dan ( )2 0siny x− =

( )( ) ( )

( )

2 2

2

1

2 1 2

2 1

,

, sin

sin

F x y x x y

G x y y x

F Gx xx xF Gyy y

= + − −

= −

∂ ∂= + = −

∂ ∂∂ ∂

= − =∂ ∂

tebakan awal 0 01 0 2 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 1.000000000 2.000000000 -3.000000000 1.498632034 -1.0468887989429700 -1.5351665992072200 2 -0.046888799 0.464833401 -1.260760330 0.464828574 0.9128398379011440 -0.4663223625729950

.. . … … … … 15 0.624098831 0.116611240 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000345 0.0000000000003328

16 0.624098831 0.116611240 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000023 0.0000000000000217

17 0.624098831 0.116611240 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000001 0.0000000000000014


koreksi

0 00000000000000010 0000000000000014,,

hk==


61

d. ( ) 2 2 3sin ,x x xy+ = dan 2 1 8856,x y y− =

( ) ( )( )

( )

2

2

2

2

2 3

1 8856

2

2 1

, sin ,

, ,

cos

F x y x x xy

G x y x y y

F Gx x y xyx xF Gxy xy y

= + −

= − −

∂ ∂= + =

∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂

tebakan awal 0 02 0 1 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k

1 4.000000000 2.000000000 13.978973343 28.114400000 -1.7638830385974600 0.0071819078373003

2 2.236116961 2.007181908 6.796053210 6.143567335 -0.5036034610579960 -0.4057095418805120

… … … … … 26 1.610461741 1.183242570 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000009 0.0000000000000020

27 1.610461741 1.183242570 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000002 -0.0000000000000006

28 1.610461741 1.183242570 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000001 0.0000000000000002


koreksi

0 00000000000000010 0000000000000002- ,

,hk==


62

e. 22 1 112 6, xx x x e−= + dan 2

2 1 1 24 0 3 3ln ,x x x x+ + =

( )( )

2

2

2

1 2 1

22 1 1 2

2 1 21 1

11 1

2 2 2 2

12 6

4 0 3 3

2 3

342

, ,

, ln ,

x

x

x

F x y x e x x

G x y x x x x

F Ge x x xx x

xF Gx e xx x x x

−

−

= − +

= + + −

∂ ∂= − = −

∂ ∂

∂ ∂= − − = −

∂ ∂

Misalkan tebakan awal ( )0 01 24 0 3 0, ; ,x x= =

Iterasi – 1

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 31 2

20 01 2

4 3 4 12 6 0 799148274

4 3 4 0 3 3 4 3 0 090160536

, . ,

, ln . .

F x x e

G x x

−= − − =

= + + − = −

Nilai turunan-turunannya adalah :

( ) ( )

( )( )

2

2

32

1

31 1

2

1 21

1

2 2 2

3 2 9590212932

4 4 4 199148273

2 3 2 4 3 3 2 803847577

3 434 4 2 13076828232 2 3

,

,

,

,

x

x

F e x exF x x e exG x xx

xGx x x

− −

− −

∂= − = − =

∂

∂= − − = − − = −

∂

∂= − = − =

∂

∂= − = − = −

∂


63

i ke- x1 x2 Fx Gx koreksi h koreksi k

1 4.000000000 3.000000000 0.799148274 -0.090160536 0.1152490693511090 0.1093409779565700 2 4.115249069 3.109340978 -0.012047526 0.003262659 -0.0020951293353404 -0.0013088331325797 3 4.113153940 3.108032145 -0.000002707 0.000002184 -0.0000007926091429 -0.0000000649815125 4 4.113153147 3.108032080 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000001358 0.0000000000000843 5 4.113153147 3.108032080 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000

Maka akan diperoleh 5 51 24 113153147 3 10803208, ; ,x x= = , dengan

koreksi

0 00000000000000000 0000000000000000,,

hk==

Catatan :

Pada program komputer, error_limit dibatasi pada 1610− atau

0 0000000000000001, .

f. 4 4 17 6625,x xy+ = dan 2 2 7 41,y xy+ =

( )( )

4

2

3

4 17 6625

2 7 41

4 4 2

4 2 2

, ,

, ,

F x y x xy

G x y y xy

F Gx y yx xF Gx y xy y

= + −

= + −

∂ ∂= + =

∂ ∂∂ ∂

= = +∂ ∂


64

tebakan awal 0 03 0 6 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 3.000000000 6.000000000 135.337500000 64.590000000 -0.7441733870967740 -3.0922177419354800 2 2.255826613 2.907782258 34.470724704 14.164102865 -0.4211196444749540 -1.1343863077302800 3 1.834706968 1.773395950 6.683111165 2.242257012 -0.1561807141057320 -0.2339618018894320 4 1.678526254 1.539434148 0.611449220 0.127818767 -0.0218688089002542 -0.0093984352421978 5 1.656657445 1.530035713 0.008836725 0.000499396 -0.0003937204504255 0.0001106816551952 6 1.656263725 1.530146395 0.000002378 -0.000000075 -0.0000001163171119 0.0000000676104512 7 1.656263609 1.530146462 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000095 0.0000000000000064 8 1.656263609 1.530146462 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 -0.0000000000000001


koreksi

0 00000000000000000 0000000000000001,

,hk== −

g. 4 2 1x x y+ − = dan ( )2 0siny x− =

( )

( ) ( )( )

( )

4 2

3

11 1 22

4 1 2

2 1

,

, cos

sin

F x y x x y

G x y y x

F Gx xx xF Gyy y

= + − −

= − −

∂ ∂= + = −

∂ ∂∂ ∂

= − =∂ ∂


65

tebakan awal 0 04 0 2 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 4.000000000 2.000000000 255.000000000 1.995135867 -1.0295060713441600 -2.1383885660263900 2 2.970493929 -0.138388566 79.811392173 -0.141073040 -0.7613996565092520 0.0622798720011739 3 2.209094272 -0.076108694 25.018653380 -0.077593960 -0.5802940415417320 0.0328991123780410

… … … … … 79 0.724491969 0.000159821 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000033 0.0000000000000002

80 0.724491969 0.000159821 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000023 -0.0000000000000001

81 0.724491969 0.000159821 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000015 0.0000000000000001

Maka akan diperoleh 81 810 724491969 0 000159821, ; .x y= = , dengan

koreksi

0 00000000000000150 0000000000000001,,

hk==

h. ( ) 0 41534cos ,x y xy− = dan 2 2437,xye xy− =

( ) ( )( )

( )

( )

0 41534

2 2437

12

12

, cos ,

, ,

cos

sin

x

x

x

F x y x y xy

G x y ye xy

F G yy y yex x x

F G xy x ey y y

= − −

= − −

∂ ∂= − = −

∂ ∂

∂ ∂= − − = −

∂ ∂


66

tebakan awal 0 08 0 3 0, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 8.000000000 3.000000000 -16.426299587 8935.731269558 -0.3482631008394370 -1.9533854072063100 2 7.651736899 1.046614593 -0.773298693 2197.314716493 -0.9067845334851400 -0.0952905007863129 3 6.744952366 0.951324092 -0.087952685 803.619065435 -0.9733320810350020 -0.0199948756541192 4 5.771620285 0.931329216 -0.019760489 294.448079780 -0.9694631407026090 -0.0148942944500605

… … … … … 15 1.512382397 0.725293597 0.000000000 0.000000000 0.0000000000008801 -0.0000000000006793

16 1.512382397 0.725293597 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000057 -0.0000000000000044

17 1.512382397 0.725293597 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000001 0.0000000000000000


koreksi

0 00000000000000010 0000000000000000,,

hk==

i. ( ) 23 0logx x y+ − = dan 21 2 5 0x xy x+ + − =

( ) ( )( )

( )

2

2

3

1 2 5

31 4 5

2

, log

,

log

F x y x x y

G x y x xy x

F Ge x yx x xF Gy xy y

= + −

= + + −

∂ ∂= + = + −

∂ ∂∂ ∂

= − =∂ ∂


67

tebakan awal 0 01 60 5 20, ; ,x y= =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 1.600000000 5.200000000 -24.827640052 6.440000000 -0.3809152581543940 -2.4537245601131200 2 1.219084742 2.746275440 -6.064842363 1.224853992 0.0393449129111594 -1.0893750712423200 3 1.258429655 1.656900369 -1.187402345 -0.039765323 0.1991791908355560 -0.2359852200649350 4 1.457608846 1.420915149 -0.070468028 0.032341355 0.0011799137341786 -0.0240103882875551 5 1.458788759 1.396904760 -0.000576925 -0.000025546 0.0001014692921717 -0.0001377442295186 6 1.458890229 1.396767016 -0.000000022 0.000000007 0.0000000015335058 -0.0000000068809239 7 1.458890230 1.396767009 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 -0.0000000000000001


koreksi

0 00000000000000000 0000000000000001,

,hk== −

j. 2 22 1 4x x− = dan 1

2 1xe x+ =

( )( ) 1

1

2 22 1

2

11 1

22 2

4

1

2

2 1

,

, x

x

F x y x x

G x y e x

F Gx ex xF Gxx x

= + −

= + −

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂


68

tebakan awal 0 03 0 6 0, ; ,x y= − =

i ke- x y Fx Gx koreksi h koreksi k 1 -3.00000000 6.00000000 41.00000000 5.04978707 -2.9704598300205300 -4.9018965816769300 2 -5.97045983 1.09810342 32.85222170 0.10065649 2.7314348339496700 -0.1076300221120800 3 -3.23902500 0.99047340 7.47232047 0.02967550 1.1308520345716300 -0.0740072679711272 4 -2.10817296 0.91646613 1.28430340 0.03792580 0.2736641773681610 -0.0711649657696085 5 -1.83450878 0.84530116 0.07995653 0.00499309 0.0181557077581688 -0.0078924081682528 6 -1.81635308 0.83740875 0.00039192 0.00002648 0.0000890053443775 -0.0000409534581494 7 -1.81626407 0.83736780 0.00000001 0.00000000 0.0000000021819721 -0.0000000009990004 8 -1.81626407 0.83736780 0.00000000 0.00000000 -0.0000000000000001 0.0000000000000000

Maka akan diperoleh 8 81 21 81626407 0 83736780- , ; ,x x= = , dengan

koreksi

0 00000000000000010 0000000000000000

,,

hk= −=


69

2. Mencari akar-akar persamaan nonlinier serentak menggunakan Metode Iterasi

( ), , , ..x F x y z=

a. 4 4 17 6625,x xy+ = dan 2 2 7 41,y xy+ =

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

14 4

12 2

14

1

12

2

17 6625 4 17 6625 4

7 41 2 7 41 2

17 6625 4

7 41 2

, ,

, ,

, ,

, ,

x xy x xy

y xy y xy

F x y xy

F x y xy

= − → = −

= − → = −

= −

= −

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

31 4

34

31 4

34

12 2

12

12 2

12

1 4 17 6625 44 17 6625 4

1 4 17 6625 44 17 6625 4

1 2 7 41 22 7 41 2

1 2 7 41 22 7 41 2

. ,,

. ,,

. ,,

. ,,

F yy xyx xy

F xx xyy xy

F yy xyx xy

F xx xyy xy

−

−

−

−

∂= − − = −

∂ −

∂= − − = −

∂ −

∂= − − = −

∂ −

∂= − − = −

∂ −

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.f. di atas.


70

b. 4 2 1x x y+ − = dan ( )2 0siny x− =

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 4

2

2 41

2

11 1 22 2

11 1 22 2

sin cos

,

, cos

x y x

y x x

F x y y x

F x y x

= − +

= = −

= − +

= −

( ) ( ) ( )

31

1

2

2

4

2

1 2 2 22

0

. sin sin

F xxF yyF x xxFy

∂= −

∂∂

=∂∂

= − = −∂∂

=∂

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.g. di atas.


71

c. 2 22 1 4x x− = dan 1

2 1xe x+ =

( )

( ) ( )( )

1

1

12 2

1 2

2

12 2

1 1 2 2

2 1 2

4

1

4

1

,

,

x

x

x x

x e

F x x x

F x x e

= − −

= −

⇓

= − −

= −

( )

1

1 1 21

21 2 22

2 2

1 2

04

0x

F F xx x

x

F Fex x

∂ ∂= = −

∂ ∂−

∂ ∂= − =

∂ ∂

Tebakan awal 0 01 21 8 0 8, ; ,x x= − = , maka :

1 1

1 2

2 2

1 2

0 0 436436

0 165299 0

- ,

- ,

F Fx xF Fx x

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= =

∂

Syarat 1 1

1 2

0 436436 1- ,F Fx x∂ ∂

+ = <∂ ∂

dan 2 2

1 2

0 165299 1- ,F Fx x

∂ ∂+ = <

∂ ∂ dipenuhi.

Iterasi – 1

( ) ( ) ( )( )( ) 1

1121 21 2 2

1 1 2

1 1 1 82 2

4 4 0 8 1 83303028

1 1 0 83470111,

, - ,

,

n

n x

x x x

x x e e

+

+ −

= = − − = − − =

= = − = − =

Iterasi – 2

( )( )1

2 221

2 1 833030282

4 0 83470111 1 81749114

1 0 84007179- ,

, - ,

,

x

x e

= − − =

= − =


72

iterasi ke- x1 x2

1 -1.83303028 0.83470111 2 -1.81749114 0.84007179 3 -1.81501498 0.83756724 4 -1.81617211 0.83716453 5 -1.81635777 0.83735284

10 -1.81626411 0.83736789 … … … 23 -1.81626407 0.83736780 24 -1.81626407 0.83736780 25 -1.81626407 0.83736780 26 -1.81626407 0.83736780 27 -1.81626407 0.83736780

Maka akan diperoleh 27 271 21 81626407 0 83736780- , ; ,x x= = , dengan

iterasi sebanyak 27 kali. Bandingkan dengan jawaban soal No. 1.j. di

atas.

d. ( ) 0 41534cos ,x y xy− = dan 2 2437,xye xy− =

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

1

2

0 415340 41534

2 2437

0 41534

2 2437

,cos ,cos

,

,,cos

,,

x

x

x y y xy y

xyy

e

F x yy y

xyF x y

e

− = → =−

+=

=−

+=


73

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1

212

12

22

12

22

0

0 41534 10 41534 1

1 12 2437 2 24372 2

1 12 2437 2 24372 2

, sin, sin cos

cos

. , ,

. , ,

x x

x x

x x

x x

Fx

yF y y yy y y

yx y e xy e xyF xx e e

xy x e xy e xyyF

y e e

−

−

−

∂=

∂+∂

= − − − − =∂ −

− + − +∂ = =

∂

− + − + ∂ = =∂

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.h. di atas.

e. 23 0logx x y+ − = dan 21 2 5 0x xy x+ + − =

( )

( )

2

2

21

2

2

35 2 1

3

5 2 1

log

, log

,

x y xx xy

x

F x y y x

x xF x yx

= −

− −=

= −

− −=

( ) ( )

1

1

2 22

2 2

2

3

2

5 4 5 2 1 1 1 2

0

log

.

F ex xF yy

x x x xF xx x xFy

∂= −

∂∂

=∂

− − − −∂ −= =

∂∂

=∂

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.i. di atas.


74

INTEGRASI NUMERIK 1. Menentukan luas daerah dari table data menggunakan Metode Trapezoidal.

a. Perhatikan Tabel Data berikut :

x u(x) 0.1 1.0300 0.2 1.7103 0.3 1.6388 0.4 1.6093 0.5 1.6179 0.6 1.6612 0.7 1.7366

Dengan batas bawah = 0 10, , atas = 0 70, dan interval 0 10, , diperoleh

Luas daerah kurva L adalah 0 9621,

b. Perhatikan Tabel Data berikut :

x u(x) 0.1 11.4862 0.2 11.1310 0.3 10.9164 0.4 10.8280 0.5 10.8536 0.6 11.9836 0.7 11.2098


Luas daerah kurva L adalah 6 7061,


75

c. Dapatkan luas kurva fungsi ( ) 2u x x= dengan batasan 0 10x≤ ≤

u(i) x u(x) Sum u(x)1 1.0 1.0 1.0 2 2.0 4.0 5.0 3 3.0 9.0 14.0 4 4.0 16.0 30.0 5 5.0 25.0 55.0 6 6.0 36.0 91.0 7 7.0 49.0 140.0 8 8.0 64.0 204.0 9 9.0 81.0 285.0

( )

( )

( )

0 1 9 1021 0 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 10021 0 2 285 10026702335 00

......

,

hL u u u u = + + + +

= + + + + + + + + + +

= + +

=

=

Diperoleh Luas daerah kurva L adalah 335 00,

d. Perhatikan Tabel Data berikut :

x u(x) 0.1 54.8011 0.2 53.9722 0.3 53.4717 0.4 53.3653 0.5 53.3252 0.6 53.6284 0.7 54.1562


76


Luas daerah kurva L adalah 32 2241, .

e. Perhatikan Tabel Data berikut :

x u(x) 0.0 23.0 0.5 19.0 1.0 14.0 1.5 11.0 2.0 12.5 2.5 16.0 3.0 19.0 3.5 20.0 4.0 20.0

u(i) x u(x) Sum u(x) 1 0.50 19.00 19.00 2 1.00 14.00 33.00 3 1.50 11.00 44.00 4 2.00 12.50 56.50 5 2.50 16.00 72.50 6 3.00 19.00 91.50 7 3.50 20.00 111.50

( )

( )

0 5 23 2 19 14 11 12 5 16 19 20 2020 5 0 2 111 5 1002266266 50

, ,

, ,

,

L = + + + + + + + +

= + +

=

=




77

2. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Simpson 1/3.

a. 7

2

3

lnx x dx∫

u(i) x u(x) 0 3.0 9.89 1 3.5 15.35 2 4.0 22.18 3 4.5 30.46 4 5.0 40.24 5 5.5 51.57 6 6.0 64.50 7 6.5 79.08 8 7.0 95.35

iterasi ke- u(x) L1(x) L2(x) 1 15.35 15.35 0.00 2 22.18 15.35 22.18 3 30.46 45.80 22.18 4 40.24 45.80 62.42 5 51.57 97.37 62.42 6 64.50 97.37 126.92 7 79.08 176.46 126.92

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

0 1 3 5 7 2 4 6 84 23

9 89 4 15 35 30 46 51 57 79 080 53 2 22 18 40 24 64 50 95 35

0 5 9 89 4 176 46 2 126 92 95 353532 463

177 4867

, , , , ,,, , , ,

, , , , ,

,

,

hL u u u u u u u u u = + + + + + + + +

+ + + +=

+ + + +

= + + +

=

= analitik

Dengan batas bawah = 3 0, , atas = 7 0, dan interval 0 50, , diperoleh Luas

daerah kurva L adalah 177 4836, (numerik)


78

b. 5

3

1

2 lnx x dx∫

u(i) x u(x) 0 1.0 0.00 1 1.5 2.74 2 2.0 11.09 3 2.5 28.63 4 3.0 59.33 5 3.5 107.42 6 4.0 177.45 7 4.5 274.12 8 5.0 402.36


daerah kurva L adalah 424 9559 ,

c. Perhatikan Tabel Data berikut :

x u(x) 0.0 23.0 0.5 19.0 1.0 14.0 1.5 11.0 2.0 12.5 2.5 16.0 3.0 19.0 3.5 20.0 4.0 20.0

iterasi ke- u(x) L1(x) L2(x) 1 19.00 19.00 0.00 2 14.00 19.00 14.00 3 11.00 30.00 14.00 4 12.50 30.00 26.50 5 16.00 46.00 26.50 6 19.00 46.00 45.50 7 20.00 66.00 45.50


79



d. ( )

5 3

21 1

xx+∫

u(i) x u(x) 0 1.0 0.50 1 1.5 1.04 2 2.0 1.60 3 2.5 2.16 4 3.0 2.70 5 3.5 3.24 6 4.0 3.76 7 4.5 4.29 8 5.0 4.81


daerah kurva L adalah 10 7180,

e. ( )5

1

x x dx+∫

u(i) x u(x) 0 1.0 2.00 1 1.5 2.72 2 2.0 3.41 3 2.5 4.08 4 3.0 4.73 5 3.5 5.37 6 4.0 6.00 7 4.5 6.62 8 5.0 7.24




80

3. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Simpson 3/8.

a. Perhatikan Tabel Data berikut :

u(i) x u(x) 0 2.00 2.7726 1 2.25 4.1053 2 2.50 5.7268 3 2.75 7.6502 4 3.00 9.8875 5 3.25 12.4495 6 3.50 15.3463 7 3.75 18.5872

iterasi ke- u(x) L1(x) L2(x) 1 4.1053 4.1053 0.0000 2 5.7268 9.8321 0.0000 3 7.6502 9.8321 7.6502 4 9.8875 19.7196 7.6502 5 12.4495 32.1691 7.6502 6 15.3463 32.1691 22.9965

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

0 1 2 4 5 3 6 73 3 28

2 7726 3 4 1053 5 7268 9 8875 12 44953 0 258 2 7 6502 15 3463 18 5872

3 0 252 7726 3 32 1691 2 22 9965 18 5872

8122 895075

815 361884375 15 3619

, , , , ,,, , ,

,, , , ,

,

, ,

hL u u u u u u u u= + + + + + + +

+ + + += + + +

= + + +

=

= ≅




81

b. Perhatikan Tabel Data berikut :

u(i) x u(x) 0 1.0 1.449 1 1.3 2.060 2 1.6 2.645 3 1.9 3.216 4 2.2 3.779 5 2.5 4.338 6 2.8 4.898

iterasi ke- u(x) L1(x) L2(x)

1 2.060 2.060 0.000 2 2.645 4.705 0.000 3 3.216 4.705 3.216 4 3.779 8.484 3.216 5 4.338 12.822 3.216



c. Perhatikan Tabel Data berikut :

u(i) x u(x) 0 2.00 11.0900 1 2.20 16.7910 2 2.40 24.2050 3 2.60 33.5880 4 2.80 45.2040 5 3.00 59.3250 6 3.20 76.2280 7 3.40 96.1990




82

4. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Weddle.

a. 4

2

3

lnx x dx∫

u(i) x f(x) 0 3.0 9.888 1 3.2 11.559 2 3.3 13.377 3 3.5 15.346 4 3.7 17.468 5 3.8 19.745 6 4.0 22.181



b. 7

31 2

ln x dxx∫

u(i) x f(x) 0 1.0 0.000 1 2.0 0.043 2 3.0 0.020 3 4.0 0.011 4 5.0 0.006 5 6.0 0.004 6 7.0 0.003




83

c. ( )

2 3

21

21

z dxz+∫

u(i) x f(x) 0 1.0 1.000 1 1.2 1.345 2 1.3 1.707 3 1.5 2.077 4 1.7 2.451 5 1.8 2.826 6 2.0 3.200



d. 5 2

4

,

ln x dx∫

u(i) x f(x)

0 4.000 1.3863 1 4.200 1.4351 2 4.400 1.4816 3 4.600 1.5261 4 4.800 1.5686 5 5.000 1.6094 6 5.200 1.6487


84

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6

3 5 6 5103 5 6 5103 0 2

1 3863 5 1 4351 1 4816 6 1 5261 1 5685 5 1 6094 1 648710

18 2785210

1 827852

,, , , , , , ,

,

,

n n n n n n nhL u u u u u u u

h u u u u u u u

− − − − − −= + + + + + +

= + + + + + +

= + + + + + +

=

= analitik


daerah kurva L adalah 1 8278474073, (numerik)

e. ( )4

3

2

xe x dx+∫

u(i) x f(x) 0 2.0 8.389 1 2.3 11.312 2 2.7 15.392 3 3.0 21.086 4 3.3 29.032 5 3.7 40.121 6 4.0 55.598




85

DIFERENSIASI NUMERIK

1. Cari nilai ( )0 1,y persamaan diferensial ( ), dyf x y x ydx

= = + dengan

( ) 00 1 5,y y= = menggunakan Metode Taylor.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 12 31 1

2 3

2 3 10

2 3

0 0 00 1 0 0

2 32 5 2 5 2 51 5 0 1 1 5 0 1 0 1 0 12 3 10

1 6629273

'' '''' ..........

! ! !

'' ''', ' ..........

! ! !, , ,, , , , , .............. ,! ! !

,

nm m mn

m m m

nn

y x y x y xy x y x hy x h h h

n

y y yy y hy h h h

n

− − −− −= + + + + +

⇓

= + + + + +

= + + + + +

=

Data ke- Turunan ke - y[i] Suku Deret ke-

1 1.50 0.15000 2 2.50 0.16250 3 2.50 0.16292 4 2.50 0.16293 5 2.50 0.16293 6 2.50 0.16293 7 2.50 0.16293 8 2.50 0.16293 9 2.50 0.16293

10 2.50 0.16293


86

2. Cari nilai ( )0 1,y persamaan diferensial ( ), dy y xf x ydx y x

−= =

+ dengan

( ) 00 2y y= = menggunakan Metode Euler.

( )

0

1 1 1

1 1

,

n

n n n

n n n

x xxn

y f x y x

y y y− − −

− −

−∆ =

∆ = ∆

= + ∆

Iterasi x[i] dy[i] dx[i] y[i]

1 0.00 0.02000 0.02 2.02000 2 0.02 0.01961 0.02 2.03961 3 0.04 0.01923 0.02 2.05884 4 0.06 0.01887 0.02 2.07771 5 0.08 0.01852 0.02 2.09622

Dengan 0 2,h = dan iterasi 5n = , diperoleh ( )0 1 2 09622, ,y =

3. Cari nilai ( )0 1,y persamaan diferensial ( ), dyf x y y xdx

= = + dengan

( ) 00 1 5,y y= = menggunakan Metode Euler yang dimodifikasi (Modified Euler).

( ) ( )( ) ( ) ( )

01 1 1

11 1 12

0 1 2 31 2 3 4

,

, ,

, , , , ............, , , , ............

n n n n

kkn n n n n n

h x

y y h f x y

hy y f x y f x y

kn

− − −

+− − −

= ∆

= +

= + + ==


87

Iterasi – 1

Iterasi x[i] y[i]

1 0.05 1.578125 2 0.05 1.578203 3 0.05 1.578205 4 0.05 1.578205 5 0.05 1.578205 6 0.05 1.578205 7 0.05 1.578205 8 0.05 1.578205 9 0.05 1.578205

10 0.05 1.578205

Dari proses pertama diperoleh ( )1 0 05 1 578205, ,y y= =

Iterasi – 2

Iterasi x[i] y[i]

1 0.1 1.662901 2 0.1 1.662983 3 0.1 1.662985 4 0.1 1.662985 5 0.1 1.662985 6 0.1 1.662985 7 0.1 1.662985 8 0.1 1.662985 9 0.1 1.662985

10 0.1 1.662985

Dengan ( ) ( )0 00 0 0 1 5; ,x x y y= = = = dan interval 0 05,h = , diperoleh

( )2 0 1 1 662985, ,y y= =


88

4. Cari nilai ( )0 1,y persamaan diferensial ( ), dyf x y y xdx

= = + dengan

( ) 00 1 5,y y= = menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat.

[ ]

( )

( )

1 1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

2 26

2 2

2 2

1 2 3 4

,

,

,

,, , , , ...................

n n

n n

n n

n n

n n

hy y k k k k

k f x y

h hk f x y k

h hk f x y k

k f x h y hk

n

+ = + + + +

=

= + + = + +

= + +

=

Iterasi k1 k2 k3 k4 y[i]

1 1.50000 1.56250 1.56406 1.62820 1.57818 2 1.62818 1.69388 1.69552 1.76295 1.66293

Dengan ( ) ( )0 00 0 0 1 5; ,x x y y= = = = dan interval 0 05,h = , diperoleh

( )2 0 1 1 66293, ,y y= =


89


= = + dengan

menggunakan Metode Adam dengan data dalam tabel sebagai berikut :

Data ke- x[i] y[i] 1 0.2 1.2428 2 0.3 1.3997 3 0.4 1.5836 4 0.5 1.7974

( )1 1 2 355 59 37 924n n n n n nhy y f f f f+ − − −= + − + −

Setelah melalui proses iterasi diperoleh tabel berikut ini :

Data ke- x[i] y[i] f[i] 1 0.2 1.2428 1.4428 2 0.3 1.3997 1.6997 3 0.4 1.5836 1.9836 4 0.5 1.7974 2.2974

Maka :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 10 6 1 7974 55 2 2974 59 1 9836 37 1 6997 9 1 442824

2 04418

,, , , , , ,

,

y = + − + −

=

Dengan interval 0 1,h = diperoleh [ ]0 6 2 04418, ,y =


90


= = + dengan

menggunakan Metode Milne dengan data dalam tabel sebagai berikut :

Data ke- x[i] y[i] 1 0.2 1.2428 2 0.3 1.3997 3 0.4 1.5836 4 0.5 1.7974

Persamaan Prediksi :

( )1 3 2 14 2 23n n n n nhy y f f f+ − − −= + − +

Persamaan Koreksi :

( )1 3 2 14 2 23n n n n nhy y f f f+ − − −= + − +


Data ke- x[i] y[i] f[i]

1 0.2 1.2428 1.4428 3 1nf f− =

2 0.3 1.3997 1.6997 2 2nf f− =

3 0.4 1.5836 1.9836 1 3nf f− =

4 0.5 1.7974 2.2974 4nf f=

Prediksi :

( ) ( ) ( ) ( )( )4 0 10 6 1 2428 2 1 6997 1 9836 2 2 2974

32 04421

,, , , , ,

,

y = + − +

=

Koreksi :

( ) ( )( )0 10 6 1 5836 1 9836 4 2 2974 2 644213

2 04418

,, , , , ,

,

y = + + +

=

Maka ( )0 6 2 04418, ,y = dengan interval 0 1,h = .


91


= = + dengan

menggunakan Metode Adam-Moulton dengan data dalam tabel sebagai berikut :

Data ke- x[i] y[i] 1 0.2 1.2428 2 0.3 1.3997 3 0.4 1.5836 4 0.5 1.7974

Persamaan Prediksi :

( )1 1 2 355 59 37 924n n n n n nhy y f f f f+ − − −= + − + −

Persamaan Koreksi :

( )1 3 1 1 29 19 524n n n n n nhy y f f f f+ − + − −= + + − +


Data ke- x[i] y[i] f[i]

1 0.2 1.2428 1.4428 3 1nf f− =

2 0.3 1.3997 1.6997 2 2nf f− =

3 0.4 1.5836 1.9836 1 3nf f− =

4 0.5 1.7974 2.2974 4nf f=

Prediksi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 10 6 1 7974 55 2 2974 59 1 9836 37 1 6997 9 1 442824

2 04418

,, , , , , ,

,

y = + − + −

=

Koreksi :

( ) ( ) ( ) ( )( )0 10 6 1 7974 9 2 64418 19 2 2974 5 1 9836 1 699724

2 04419

,, , , , , ,

,

y = + + − +

=

Maka ( )0 6 2 04419, ,y = dengan interval 0 1,h = .

v

DAFTAR PUSTAKA

1. ____________, “Metode Komputasi”, Diktat Kuliah Karbol AAU, Skep Gubernur

AAU No.Skep/250/XII/1994 tanggal 23 Desember 2004, AAU, Yogyakarta, 2004.

2. Atkinson, Kendall E., “An Introduction to Numerical Analysis”, 2nd Ed., John

Wiley & Sons Inc., USA, 1989.

3. Basuki, Drs. A. dan Nana R., S.Kom, “Metode Numerik dan Algoritma Komputasi”, Andi Offset, Yogyakarta, 2005

4. Chapra, Steven C. dan Raymond P. Canale, “Numerical Methods for Engineer”, 2nd Ed., McGraw-Hill, USA, 1988.

5. Croft, Anthony; Robert Davison dan Martin Hargreaves, “Engineering Mathematics: A Modern Foundation for Electronic, Electrical and Control Engineers”, Addison-Wesley, USA, 1992.

6. Djojodihardjo, Harijono, “Metode Numerik”, Gramedia, Jakarta, 2000.

7. Kreyszig, Erwin, “Advanced Engineering Mathematics”, 7th Ed., Wiley & Sons

Inc., USA, 1993.

8. Munir, Rinaldi, “Metode Numerik”, Informatika, Bandung, 2003.

9. Rice, John H., “Numerical Methods, Software and Analysis”, McGraw-Hil, USA,

1983.

cover bank soal metode komputasi -...

Documents