crecimiento endogeno 3.1

8/16/2019 Crecimiento Endogeno 3.1

1/71

CRECIMIENTO ENDÓGEN

Y OTRAS EXTENSIONES


2/71


3/71

i) Rendimientos constantes a escala.

Prueba:

Propiedades de la función AK

0 AK Y o 001 Y K AY

ii) Rendimientos positivos pero no decrecientes del capital.

Prueba:

La productividad marginal del capital es constante y positiva.

0)( A K Pmg

iii) No satisface las condiciones de INADA.

K K

A A Limite K Pmg te

K K

A A Limite K Pmg te

0)(lim

00

0)(lim


4/71


5/71

Modelo de Solow-Swan con tecnología AK

La renta de los agentes se dedica a consumir o a ahorrar:

de lo que se deduce que en la economía descrita en este modelo la inversión es ig

t t t S C Y (2)

t t S I

Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan la ecuación (2) p

como:

(3)

Despejando de la ecuación (3) tenemos la ecuación que describe el comporta

del stock de capital:

(4) Ecuación que describe el comport

stock de capital agregado.

t t t K K Y sY )1(

K

t t K sY K


6/71

Modelo de Solow-Swan en términos per cáp

Dividimos la expresión (4) por el número de trabajadores:

definimos el stock de capital per cápita como:

Despejamos de la ecuación (6) y tenemos: (7)

Sustituimos (7) en (5): (8)

(9) Ley de evolución del capital per cápita

Sustituimos la tecnología AK en la ecuación (8):

(9)

L

K

L

sY

L

K t t

L

K k

L

K

L

L

L

K

L

L

L

K

LL

L K L K k

nk k L

K

k synk k

k n syk )(

k n sAk k )(

)( n sAk

k

k


7/71


8/71

La tasa de crecimiento del capital per cápita es constante. Comprobamos aho

modelo la producción y el consumo per cápita crecen todos a la misma tasa

capital per cápita que es:

(i) Tasa de crecimiento del PIB per cápita.

(ii) Tasa de crecimiento del consumo per cápita.

Modelo de Solow-Swan en términos per cápita

)( n sAk

k

k

Ak y k A y

)( n sA Ak

k A

y

yk y

Ak sc )1( k A sc )1(

)()1(

)1(

n sA

Ak s

k A s

c

ck c


9/71

Calculamos ahora la tasa de crecimiento del stock de capital, producción y consu

agregados.

(i) Tasa de crecimiento del stock de capital agregado.

(ii) Tasa de crecimiento del PIB agregado.

(iii) Tasa de crecimiento del consumo.

Modelo de Solow-Swan en términos per cápita

K sA K .

. sA K

K K

AK Y K AY

sA AK

K AY

Y K Y

AK sC )1( K A sC )1(

sA

AK s

K A s

C

C K C

)1(

)1(


10/71

Diferencias del Modelo AK respecto al Modelo de So

1) En el modelo AK, el PIB per cápita crece a una tasa positiva, sin necesid

crecimiento tecnológico exógeno.

2) Implicaciones del modelo AK respecto al crecimiento económico.

El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son los de

crecimiento económico. Según este modelo las economías con mayor tasa de aho

más a largo plazo. Así pues, las políticas económicas encaminadas a fomentar eefectos positivos sobre el crecimiento a largo plazo de una economía. Además, t

economías con un nivel de desarrollo tecnológico mayor (A) tenderán a crecer m

que las economías con menor desarrollo tecnológico. El tamaño de la p

negativamente a la tasa de crecimiento, luego, según este modelo las polít

encaminadas a controlar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento

)( n sA

k

k

k


11/71

(3) En este modelo la economía carece de transición hacia el estado estacionario

crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de capital qu

(4) Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB

depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del

Esto implica que el modelo AKNO PREDICE CONVERGENCIA

entre países. Este m

dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que los países más ricos, (con

crecen menos que los países pobres (con menor capital).

(5) El modelo AK predice que los efectos de una recesión temporal serán permane

(6) Con la tecnología AK, no puede haber demasiada inversión en el sentido de q

no puede encontrarse en una zona dinámicamente ineficiente.

Diferencias del Modelo AK respecto al Modelo de So


12/71

Demostración:

Zona de ineficiencia dinámica:

, con la tecnología AK, la productividad marginal del capital es igual a . D

**

yr

)(k pmg r Ar

y la tasa de crecimiento de la producción per cápita es:

)(* n sA y

Para que haya ineficiencia dinámica, es decir: se tiene que cumplir que:**

yr

r

y eso NO puede ocurrir.

A pesar de su simplicidad, el modelo AK que acabamos de desarrollar es muy

constituye la base sobre la que se construye toda la teoría del crecimiento endóge

Como vamos a ver a continuación la mayor parte de los modelos de creci

esconden, en alguna parte, algún supuesto que hace que la tecnología relevante t


13/71

Veamos ahora dos funciones de producción para las cuales se obtiene

crecimiento del PIB constante, y obtenemos por tanto las mismas conclusi

obtenidas en el modelo AK.

1)

Función de producción que incorpora externalidades del capital:

donde Krepresenta el stock de capital agregado y representa la ext

capital. es el parámetro que indica la importancia de la externalidad del c

2)

Función de producción donde incluimos como factor de producción

gasto público: , donde Krepresenta el stock de capital ag

gasto público.

t AY

t B

1t t t G AK Y


14/71

El modelo de Romer 1986): externalidades del

Paul Romer, introdujo una función de producción con externalidades del capita

es la siguiente: cuando una empresa aumenta su stock de capital a través de l

solo aumenta su propia producción, si no que aumenta también la producción dque le rodean. La razón apuntada por Romer es que las empresas que invie

experiencia o conocimientos. Estos conocimientos también pueden ser uti

demás empresas y de ahí que el producto de estas también aumenta.

t t t t k L AK Y 1

Una función de producción que refleja

las externalidades que acabamos dedescribir es la siguiente:

donde:

: representa la producción ag

: capital agregado en t

: trabajo agregado en t

: representa la externalidad

: es un parámetro que mide

de la externalidad

t Y

t K

t L

t


15/71

¿Qué es ?

* Según Romer, esta variable es el capital agregado de la economía, , dado q

de cualquier empresa ayuda a aumentar el stock de conocimientos de todas las

* Según Lucas, esta variable es el capital per cápita.

t

Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas

Siguiendo a Lucas identificamos la externalidad con el capital per cápita de la

esta forma la función de producción es la siguiente:

donde representa el capital per cápita.

t t t t k L AK Y

1

t

t t t t

L

K L AK Y 1

t K


16/71

Si expresamos la función de producción en términos per cápita, tenemo

expresión:

Función de producicón agregada

con externalidades del capital

)(1 t t t L AK Y

)(1

)(1

t

t

t

t

t

t

L

L

L

K A

L

Y

t t

t t Ak

L

Y y

Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)


17/71

Sustituimos la función de producción per cápita con externalidades de capit

evolución de capital que recordemos viene dada por la siguiente expresión:

Tasa de variación del capital:

(1)

Función de producicón per cápita

con externalidades del capital

t t Ak y


)( n syk

)()( n sAk k

)(1)( n sAk k

k k


18/71

El comportamiento de la economía depende de si la suma de los parámetros

menor o superior a la unidad.

Analizamos los tres casos:

- Caso 1.

- Caso 2.

- Caso 3.

1

1

1



19/71

CASO 1.

Consideramos el caso en que hay externalidades, por eso que , pero ést

importantes, de tal forma que .

En este caso, la curva de ahorro ( ) será una función decreciente c

capital. Para algún la función de ahorro cortará a la recta ( ), y ese s

capital de estado estacionario. El PIB per cápita crecerá a una tasa n

estacionario. Obtendremos por tanto los mismos resultados que obtuvimos co

producción Cobb-Douglas.


1

0

)(1 sAk *k

n *k

)(0 1)( n sAk k

1

)(1)( n sAk


20/71

stock de capital per cápita de estado estacionario.


)(1

1

*

)(

n

sAk

Curva de ahorro

k

+ n

k

k *

)(1

k

sA

En un modelo donde tenemos externalidades del capital, pero éstas son pequeña

mismos resultados que obteníamos con la función de producción neoclásica.


21/71

CASO 2.

En el caso en el que , la economía crecerá a una tasa constante, al ig

función de producción K

La tasa de crecimiento del capital es la siguiente:

El stock de capital crece a una tasa constante. Resultados similares en términos

y convergencia que los obtenidos con el modelo AK.


1

1

Tasa de crecimiento del capital

per cápita

)( n sAk


22/71

CASO 3.

En este caso, la tasa de crecimiento del capital vendrá dada por la expresión sigu

En este caso la curva de ahorro es creciente y habrá un stock de capital ( )

economía a largo plazo crecerá a un ritmo constante. Para niveles de cap

mayores a , la economía crecerá indefinidamente. Sin embargo, para niv

inferiores a el crecimiento será negativo ya que la economía destruirá ca

progresiva.


1

)(1)( n sAk k

0)1( 2)(

sAk dk

d k

k ~

k ~

k ~


23/71

El interés del modelo de Romer es que la existencia de externalidades es una mane

que la tecnología de nuestra economía podría tener una forma K. El problema prin

que para que la tecnología se convierta en K, hace falta que existan externalid

suficientemente fuertes y además que sean tales que la suma de los componentes q

del capital en la economía más la importancia de la externalidad sean igual a la unidad

el tamaño de la externalidad debe ser tan grande como la suma de las rentas de todo

de la economía, supuesto que parece poco razonable.


Curva de ahorro

k

+ n

k

k *

Crecimiento positivo

Crecimiento

negativo


24/71

Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiend

Seguimos a Romer y suponemos que la variable se identifica con el capital a

economía. De esta forma la función de producción es la siguiente:

Calculamos la función de producción en términos per cápita.

Ley de evolución del stock de capital:


t t t t K L AK Y

1

L Ak yt )(

k n L sAk k )()(

)(1)( n L sAk k

k k


25/71

Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiendo a Romer)

1) En el caso particular en que , la tasa de crecimiento del stock de capital

vendrá dada por la expresión siguiente:

supuesto que la población no crece (n=0):

1 )( n sALk


per cápita

)( sAL

En este caso el capital crece a una tasa constante, que será tanto mayor cuant

tamaño de la población. Si cada una de las economías del mundo se pudiera demodelo la predicción sería que los países con mayor población como China e

crecer a tasas mayores con los países con menor población.

La tasa de crecimiento también nos indica porque hemos supuesto que la

constante. Si la población no creciese a un ritmo constante entonces las tasas de

la población sería cada vez mayor, lo cual no parece concordar con los datos seg

tasa de crecimiento de la población a largo plazo es mas o menos constante.


26/71


2) En el caso particular en que , calcular el stock de capital per cápita d

estacionario.


Si la población no crece:

1

)()1(

n L sAk

k k

)(1

1

*)1(0)(

n

sALn L sA

k

k k

)(1

1

*

sAL

k

(Si i d )


27/71


Observamos que el stock de capital per cápita de estado estacionario depende d

la población. Ello significa que el PIB per cápita, y consumo per cápita a largo pla

del tamaño de la población. Así, este modelo predice que países con más poblaciy la India, deberán ser más ricos que países con menor población, tipo Bélgica,

Suiza. El hecho que el stock de capital per cápita por persona de estado estacio

función positiva de L, también nos muestra que si dejamos que la población crez

constante el crecimiento de la población hará crecer las variables per cápita lo cu

en el modelo neoclásico.

En resumen, la existencia de externalidades de capital agregado introduce efec

que tienden a no ser validados por los datos.


28/71

Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del

En el contexto del modelo de Solow-Swan, pero con una función de producc

vamos a estudiar los efectos que el gasto público y los impuestos necesarios pa

gasto tienen sobre la economía y mas concretamente sobre el crecimiento econ

La función de producción con la que trabajamos es la siguiente:

donde K representa el stock de capital agregado, y G el gasto público.

Suponemos que el nivel de producción depende del stock de capital y del f

públicos suministrados por el gobierno. Para financiar ese gasto el gobierno

impuesto. Para simplificar se supone que el impuesto es proporcional y el ti

denotado por , es constate en el tiempo.

1t t t G AK Y


29/71

Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno

La renta disponible de los agentes se calcula como:

La renta disponible en términos per cápita

donde ,representa el gasto público per cápita.

t d t Y Y )1(

1)1( t t d t G AK Y

1

)1(t

t

t

t d t

L

G

L

K A y

1)1( t t d t g Ak y

g


30/71


Mantenemos el supuesto de que los agentes ahorran una proporción constant

Bajo ese supuesto, y manteniendo el resto de supuestos que establecimos en

Solow-Swan, la ley de evolución del capital per cápita vendrá dada por la expres

y la tasa de crecimiento del capital per cápita

nk k syk d

k n g Ak sk )()1( 1

)()1( 11 n g Ak sk


31/71


Analizamos ahora el efecto que sobre la tasa de crecimiento del capital tiene u

gasto público y de los impuestos:

(1) Un aumento del gasto público hace que aumente la tasa de crecimiento dcápita:

(2) Un aumento de los impuestos provoca una caída de la tasa de crecimiento

per cápita.

estos resultados no son rigurosamente ciertos, ya que han sido obtenidos supo

nivel de gasto público no afecta a los impuestos.

0)1()1( 1

g Ak s

dg

d k

0)1(11

g Ak sd

d k



32/71

Para analizar rigurosamente el efecto que el tipo impositivo tiene sobr

crecimiento del capital per cápita hay que tener en cuenta la restricción pres

gobierno.

despejamos de la ecuación anterior el gasto público per cápita y tenemo

expresión:

lo que implica que , lo que nos lleva a

cos públiingresosY G público gasto t t

1 g Ak L

Y

L

G g

t

t

t

t t

Ak

g

g t 1

Ak g t A g t

1


33/71


Llevamos la expresión anterior a la tasa de crecimiento del capital per cápita

siguiente:

)()1(1/1/11

nk A Ak sk

)()1(

11

n A sk


per cápita

)()1(

11

n A sk



34/71

Veamos ahora como afecta a la tasa de crecimiento del capital per cápita la ta

de la economía, el nivel de desarrollo tecnológico, la tasa de crecimiento de la

tasa de depreciación.

(1) Tasa de ahorro de la economía. La tasa de ahorro afecta positivamente

crecimiento del capital per cápita.

(2) Nivel de desarrollo tecnológico. El nivel de desarrollo tecnológico afect

positiva a la tasa de crecimiento del capital per cápita.

(3) Tasa de crecimiento de la población. La tasa de crecimiento de la pobla

negativamente a la tasa de crecimiento del capital per cápita.

0)1(

11

A s

k

0)1(1

11

A s

A

k

01n

k

→Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno


35/71

(4) Tasa de depreciación del capital. Afecta negativamente a la tasa de cre

la economía.

Una vez que tenemos la tasa de crecimiento del capital per cápita, calculamos

de crecimiento del gasto público per cápita y la tasa de crecimiento del PIB per

a) Tasa de crecimiento del gasto público per cápita:

El gasto público crece a la misma tasa que el capital per cápita.

01

k

k A g 11

k A g

11

k

k

A

A

g

g

11

11

k

k

g

g



36/71

b) Tasa de crecimiento del gasto público per cápita:

1t t t g Ak y g g y

k k

y yt

g g Ak k Ak g yt )1(11

g

g g Ak

k

k Ak g yt

11 )1(

g g

k k

y y

t

t )1(

k t

t

k

k

y

y

El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el


37/71

público per cápita

Las variables agregadas crecen a una tasa igual a la suma de la variable per cápita

de crecimiento de la población.

; ;

Demostración:

(1) Tasa de crecimiento del capital agregado

nY

Y

Y t

t

n K

K

K t

t

nC

C C

t

t

;

L

K k

n

L

K

L

K

LL

L K L K k

n L

K k

L

K

Knk L K

nk K

L

K

K

nnk

k K

K k

1

El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el gasto público per cápita


38/71

(2) Tasa de crecimiento del PIB agregado

dado que

entonces, El PIB agregado crece a la misma tasa que el capital per cápit

1t t t G AK Y

GG AK K G AK Y t t t )1(11

G

GG AK

K

K G AK Y t t t

11 )1(

G

G

K

K

Y

Y

t

t

)1(

G

G

K

K

K

K

Y

Y

t

t



39/71

(3) Tasa de crecimiento del gasto público agregado:

=

−

, el gasto público agregado crece a la misma tasa que el capital.

En este modelo todas las tasas de crecimiento son constantes en todo momen

que comparte con el modelo AK.

La explicación de esta similitud es que el modelo descrito en este apartado es e

modelo AK.

t t Y G

t t AK G

t t K AG

11

t t K AG

11

t

t

t

t

K A

K A

G

G

11

.11

t

t

t

t K K

GG


40/71



41/71

La novedad que caracteriza la tasa de crecimiento de la economía cuando e

públicos productivos financiados con impuestos sobre la renta es que el tipo im

al crecimiento económico y lo hace de dos maneras distintas. En primer luga

afecta negativamente a la tasa de crecimiento del capital a través de .

hecho de que los impuestos reducen la renta disponible y con ello el ahorro y

la economía. Esto reduce el crecimiento.

Por otro lado, el tipo impositivo afecta positivamente a la tasa de crecimient

través del término . Esto refleja el hecho de que un mayor tipo imposi

gobierno proporcionar un mayor nivel de gasto público productivo, lpositivamente a la producción y a la capacidad de ahorrar e invertir.

El efecto agregado de un aumento en el tipo impositivo es ambiguo depende

negativo domina al positivo o viceversa.

)1(

/)1(



42/71

Vamos a analizar la relación que hay entre el tipo impositivo y la tasa de cr

capital per cápita.

Primero, consideramos el caso de que . En este caso el gobierno no recau

lo tanto no puede suministrar bien público. En este caso la producción es cer

inversión. En esta situación el capital per cápita se deprecia a una tasa .

Segundo, consideramos el caso en que . El gobierno se apropia del 100%

las familias por lo que estas no tienen renta disponible. Al no tener renta dispon

ahorro ni inversión. Una vez más el capital per cápita cae a un ritmo constante e

Para valores intermedios de , tenemos una relación entre la tasa de crecimien

el tipo impositivo en forma de U invertida, con un máximo en .

0

)( n

1

*

TIPO IMPOSITIVO ÓPTIMO

í f li l l i i i i i l i


43/71

En este epígrafe analizamos cual es el tipo impositivo optimo, aquel que maxim

crecimiento del capital y por consiguiente del PIB per cápita. Para calcularlo

resolver el siguiente problema de optimización:

Max. )()1(

11

n A sk

0

k

01

)1(12111

A s A sk

121111

)1( A s A s

1(21

1

1(

211

1)1(

1)

11(

1*

∗

Tipo impositivo óptimo


44/71

Hemos mostrado que el gobierno tiene dos caras. Por un lado, suministra bi

deseables para los agentes privados de la economía, y por otro utiliza im

financiar estos bienes deseables. El primer aspecto es deseable para la econo

que el segundo es negativo. La batalla entre las dos fuerzas nos permite alcan

óptimo del gobierno.

A pesar del interés que reporta este análisis existe un aspecto del sistema im

no puede ser analizado en un modelo con tasa de ahorro e inversión constant


= 1



45/71

En general los impuestos reducen la rentabilidad neta de las inversiones a

gobierno una parte del ingreso generado por la inversión. Esta reducción de l

reduce los incentivos de los agentes a invertir, y esto tiene repercusio

crecimiento económico.

Estas cuestiones ciertamente importantes deben estudiarse en contexto

empresas deciden óptimamente la inversión que desean realizar como re

diferentes rentabilidades. Por esta razón es interesante estudiar el papel de

modelos con inversión óptima.


46/71

recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produ

y el papel de las condiciones de Inada


47/71

b)

Presenta rendimientos positivos del capital y del trabajo

Analizamos a continuación las propiedades de la función:

a)

Presenta rendimientos constantes a escala ),(),( L K F L K F

1)()()(),( L K B K A L K F

11 )()()(),( L K B AK L K F

1)()()(),( L K B AK L K F

0)1(

t t L BK L

Y

0)( 11

t t L BK K

Y

recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produc



48/71

d) Comprobamos si cumple las condiciones de Inada

d.1 Veamos que cumple esto

c) Rendimientos decrecientes del capital y del trabajo

0)1( )1(

2

2

t t L BK L

Y

0)1( )1(2

2

2

t t L BK K

Y

L

L

Y

ite 0lim

L

L BK L

Y ite t t 0)1(lim



49/71




0

lim

L

L

Y ite

0

)1(lim

L

L BK L

Y ite t t

0

lim

k K

Y ite

0

lim 11

K

a L BK A K

Y ite t t



50/71


d.4 Veamos que NO cumple esto

k K

Y ite 0lim

K

A L BK A K

Y ite t t 0lim

11

El Modelo de Solow-Swan con la Función de Pro


51/71

de Sobelow

En el modelo de Solow-Swan, la ecuación que describe el comportamiento

cápita viene dada por la siguiente expresión:

Sustituimos en la expresión anterior la producción per cápita y calculam

crecimiento del capital per cápita:

k n syk )(

1t t t t L BK AK Y

1

1

t

t

t

t

t

t

t

t

L

L

L

K B

L

K A

L

Y

t t t

t t Bk Ak

L

Y y

Tasa de crecimiento del c

1 sBk sAk

k


52/71

El Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Sobelow


53/71

CASO 1. sAn )(

B

A

sB

nk

)(1

1

1

)(

B

A

sB

nk

1

1

sB

sAnk

1

1

*

sAn

sBk

• Si el stock de capital es inferior a , entonces

• Si el stock de capital es inferior a , entonces

En los dos casos la economía converge al estado estacionario.

k *

k 0k

k *k 0k



54/71

CASO 1. sAn )(

0k

sA

CD

CA

Tasa de crecimiento a

Corto plazo Tasa de crecimiento

a largo plazo

Si A es lo suficientemente grande > + las curvas de ahorro y de depreciación nunca se c

el crecimiento siempre es positivo

En el largo plazo, la curva de ahorro converge a la recta sA, por lo que la tasa de crecimiento es po



55/71

CASO 2. sAn )(

0k

sA CA

CD

Tasa de crecimiento a

Corto plazo

Tasa de crecimiento

a largo plazo

*k

La tasa de crecimiento decrece a lo largo de la transición hasta que el capital converge al nivel

estacionario *k



56/71

Resumen de resultados

• La tecnología Sobelow nos sirve para demostrar que el factor determinante

crecimiento endógeno, no es que la tecnología no exhiba rendimientos decrec

sino que incumpla la condición de Inada. Es decir que el producto marginal del c

acotado a un nivel suficientemente alto en este caso al nivel

> ( + )aumente el stock de capital.

Crecimiento endógeno con rendimientos decreci


57/71

capital: función de producción CES

L a función de producción CES:

Ley de evolución del capital per cápita:

1

)1)(1()( LbbK AY

10

10 b

1

k n syk )(

Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: función de prod

C l l l f ió d d ió á i


58/71

Calculamos la función de producción per cápita:

Sustituimos la función de producción per cápita en la ecuación qu

comportamiento del capital per cápita:

1

)1()1()(1

LbbK L

A L

Y y

1

))1()1()((1

LbbK L

A y

1

))1()1()((

L

Lb

L

K b A y

1

))1()1()(( bbk A y

k nbbk sAk )())1()1()((1

Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: función de prod

Y la tasa de crecimiento del capital per cápita:


59/71

p p p

Con una función de producción CES, el stock de capital crecerá a una tasa const

stock de capital sea muy grande.

)())1()1()((11

nbbk sAk k

k

)())1()1()((1

nbbk k sA

k

k

)())1()1((1

nk bb sA

k

k

k

b sAnk bb sAite k /1

1

)())1()1((lim

El modelo de Harrod-Domar

d l d l lá d ll l l


60/71

Antes de que el modelo neoclásico de crecimiento llegase a popularizarse, en la

50, el modelo de crecimiento más utilizado era el de Harrod-Domer, des

Harrod(1939) y Domar(1946). Estos autores intentaron combinar dos de las car

las economías keynesianas - el multiplicador y - el acelerador, en un modelo d

económico a largo plazo.

Supongamos que el aumento del capital que se precisa para aumentar la prod

cuantía dada sea un valor constante. En prtiacular es un valor independiente

capital trabajo. Es decir, .

Una función de producción que cumple el principio del acelerador es la funció

decir, no obstante, que no es factible que Harrod y Domer estuvieran pen

función de este tipo sin trabajo ya que una de sus preocupaciones fundamentarlos efectos del crecimiento económico sobre el empleo a largo plazo.

Otra función de producción que satisface el principio del acelerador y que está m

espíritu de Harrod y Domar es la función de coeficientes fijos de Leontief.

Función de producción de Leontief:

t t AK Y

),min( t t t BL AK Y

Modelo de Solow-Swan con la Función de Produ


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Leontief

En primer lugar expresamos la función de producción en términos per cápita:

),min(t

t

t

t

t

t t

L

L B

L

K A

L

Y y

),min( B Ak y t t

B Ak t A Bk t /


62/71

Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief

Ley de evolución del capital per cápita: knsyk )(


63/71

y p p p

La tasa de crecimiento del capital per cápita:

El comportamiento de esta economía depende de cuáles son los val

parámetros: , , y .

Harrod y Domar señalaron que existen tres combinaciones posibles de los

cada una de las cuales tiene consecuencias radicalmente distintas para el cre

empleo.

A Bk k nk sB

A Bk k n sAk

/~

)(/

/~

)(

A B n

k n syk )(

A Bk k k n sB

A Bk k k n sAk k

/~

)(

/~

)(


sAn )(


64/71

CASO 1.

• Si , la tasa de crecimiento del capital es negativa ( ) y e

economía tenderá a disminuir.

• Si , donde , entonces,

donde , es decir,

sAn )(

Tasa de crecimiento del capita

k k 0

sA

k=B/A

+ n

k'0 B~

0k k 0)( n sAk

0'k k k k

~0' )('

0

nk

sBk

A

Bk 0

'k 0

'


65/71


sAn )(


66/71

CASO 2.

Cuando la tasa de ahorro o la productividad marginal de capital es grande en rela

de depreciación y la tasa de crecimiento de la población, tenemos que la econo

a un estado estacionario donde las variables per cápita crecen a una tasa nula.

• En este caso, cuando el stock de

capital de la economía es menor

a entonces la economía

crecerá a una tasa constante

e igual a:

)(

sA

+ n

k A

B

~

k ~

)( n sAk


• Cuando el stock de capital alcance el nivel ( ) entonces el stock dek~

ABk /~


67/71

Cuando el stock de capital alcance el nivel , ( ) entonces el stock de

seguir creciendo, pero lo va hacer a una tasa cada vez menor hasta llegar a un

que el capital per cápita deja de crecer. es el capital per cápita de estado

y se calcula como:

El estado estacionario es estable, en el sentido de que la economía, esté dondconverger al estado estacionario:

• Si

• Si

• Si

k A Bk /

*k

0k )(/ nk sB

n

sBk

*

*k k 0k *k k *

k k

0k

0k


Con esta función de producción y concretamente con este caso, en estado estac


68/71

Con esta función de producción y concretamente con este caso, en estado estac

exceso de capacidad instalada. Es decir, hay más capital del que se utiliza en

Vamos a comprobar esta última afirmación.

En estado estacionario, donde, , lo que implica que, y por. Teniendo en cuenta que tenemos la siguiente función de

, si entonces, . El stock de capital utilizado

de producción es igual a que es menor al capital agregado de estado estaci

Hay máquinas que no se están utilizando en el proceso de producción.

Más aún, si no cambia en estado estacionario, y sabemos que a largo plazo

crece a la tasa n si las máquinas per cápita no cambian es porque en estado e

están comprando máquinas.

RESULTADO INDESEABLE: El modelo me dice que hay exceso de capacidad instala

a ello las empresas siguen invirtiendo en capital físico.

*~

k k A Bk /

~

*

L

K

A

B

BL AK *

),min( t t t BL AK Y BL AK * t t BLY

t L A

B

k


CASO 3.

sAn )(


69/71

Consideramos un tercer caso donde por azar, la tasa exógena de ahorro y

marginal de capital fueran tales que

• Si la economía tiene un stock de capital

menor a , ( ) entonces la tasa

de crecimiento del capital será nulo,

.

sAn )(

sA

A

B

~

k k ~

k k ~

0k


E t it ió l i li l d ió B

k BLAK


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En esta situación en que , lo que implica que , la producción ser

( ). De ello se deduce que el número de trabajadores empleados es igua

Para estos valores paramétricos tenemos una situación similar a la anterior,

caso hay más trabajadores de los que están siendo empleados. EncontramosRESULTADO INDESEABLE.

• Si la economía tiene un stock de capital igual a , ( ), entonc

crecimiento del capital será nula, .

En esta situación en que , será igual a . En este caso

estacionario será eficiente porque en la producción se están utilizando todos lo

capital y de trabajo.

Ak t t t BL AK

t t AK Y

k k ~

k k ~

0k

A Bk t t AK t BL

Modelo de Soloww-San con la Función de Producción de Leontief

Vemos que dos de las tres combinaciones de parámetros posibles generan equi


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Vemos que dos de las tres combinaciones de parámetros posibles generan equi

plazo en los cuales existen recursos ociosos (ya sea del capital o del traba

situación en la que esto no sucede se puede alcanzar únicamente por una cas

vida puesto que todos los parámetros relevantes vienen dados exógenamente.

Por este motivo con toda probabilidad la economía se verá confinada en

equilibrios indeseables.

En la década de los cincuenta, el enfoque neoclásico que lideran Solow-Swan

como forma de solventar esta propiedad del modelo de Harrod y Doma

transcurrir la economía por “el filo de la navaja” .

La función de producción neoclásica hace posible que se alcance el equilibrio

al permitir que el producto marginal del capital sea una función continu

lugar de una constate exógena.

)( n

crecimiento endogeno 3.1

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