croissance et extremums
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Croissance et extremums. Jacques Paradis Professeur. Plan de la rencontre. Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f’ - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Croissance et extremums
Jacques ParadisProfesseur
2Département de mathématiques
Plan de la rencontre
Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f’ Exemples et exercices
3Département de mathématiques
Éléments de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction
représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique
Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique
Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction au signe de sa dérivée
Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance
Déterminer les maximums et minimums de f Construire un tableau de variation relatif à f’ Utiliser le test de la dérivée première Donner une esquisse du graphique de f
4Département de mathématiques
Croissance et décroissance (1 de 2) Soit une fonction f
définie sur un intervalle I
f est croissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) < f (x2)
f est décroissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) > f (x2)
5Département de mathématiques
Croissance et décroissance (2 de 2)
Croissance et décroissance et signe de la dérivée première f ’ (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) croissante sur [a,b] f ’ (x) < 0 sur ]a,b[ f (x) décroissante sur [a,b]
m<0
m>0
6Département de mathématiques
Maximum et minimum relatifs Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du
domaine d’une fonction f, alors f(c) est un 1) maximum relatif ssi f(c) f(x) x I 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x I
Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour)
•
••
•
•max relatif
min relatif
max relatif
min relatif
min relatif
(c , f(c)
(c , f(c)
7Département de mathématiques
•
••
•
•max rel et absolu
min rel et absolu
max rel
min rel
min rel
Maximum et minimum absolus Soit une fonction f définie sur son domaine D,
alors f(c) est un1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x D2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x D
Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de maximum ou minimum absolu.
(c , f(c)
(c , f(c)
8Département de mathématiques
Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors :
f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas
Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)*
Maximum / minimum et dérivée
m=0
Pas de dérivée(La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui n’est pas un minimum absolu)
max rel
min rel
9Département de mathématiques
Définitions Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0.
Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe autour de x = c.
Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes.
10Département de mathématiques
Test de la dérivée première Soit f une fonction continue sur un intervalle
ouvert I et c I, un nombre critique de f (f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas),
1) Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f.
2) Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f.
11Département de mathématiques
Test de la dérivée première (Illustration)
Soit une fonction f définie sur [a , b]
Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas.
12Département de mathématiques
Tableau de variation relatif à f’
x
f’(x)f(x)
Valeurs de x
Valeurs de f’(x)
Valeurs de f(x)
Borne inférieure Borne supérieure
max ou min
Nombres critiques
Pour une fonction définie sur un intervalle : ------
13Département de mathématiques
Exemple 1 Déterminer les intervalles de croissance, de
décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f
x - -4 4
f’(x) + 0 0 +
f(x) 128 -128
max min
14Département de mathématiques
Exemple 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de
maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie sur [-4 , 3].
x -4 -3 1 2 3
f’(x) 0 + 0 0 +
f(x) -60 -113 15 12 31
max min max min max
15Département de mathématiques
Exercice 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de
maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1.
x - 0 3
f’(x) 0 + 0 +
f(x) 1 28
min
16Département de mathématiques
Exemple 3 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,
les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = 23 x 4x .
x - 0 2 4
f’(x) 0 + +
f(x) 0 -1,6 0
min
17Département de mathématiques
Exercice 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,
les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = 2x x 6 3.
x - -3 2
f’(x) +f(x) -3 -3
min min
18Département de mathématiques
Devoir Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3.
1b) f sur - ; -0,41] [2,41 ; ; f sur [-0,41 ; 2,41];max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31)
1d) f sur - , 3] ; f sur [3 , ;max. : aucun; min. rel. : (3 , 4).
1f) f sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5];max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14).
1h) f sur [-2 , -1] [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1];max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3).