csabina, zoltánné
TRANSCRIPT
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematika példatár 3.
Deriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a hibaszámításban.
Csabina, Zoltánné
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematika példatár 3.: Deriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés , Ágnes Phd.
Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült.
A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta.
v 1.0
Publication date 2010 Szerzői jog © 2010 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar
Kivonat
Ez a modul a differenciálszámítást foglalja össze.
Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.
iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
3. MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak
alkalmazása a hibaszámításban. .......................................................................................................... 1 1. 3.1 Bevezetés ........................................................................................................................ 1 2. 3.2 Differenciálszámítás ........................................................................................................ 1
2.1. 3.2.1 A differenciálhányados fogalma ...................................................................... 1 2.2. 3.2.2 Differenciálási szabályok ................................................................................. 3 2.3. 3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat,
normális ........................................................................................................................... 8 2.4. 3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör .............. 11 2.5. 3.2.5 L’Hospital-szabály ......................................................................................... 15 2.6. 3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás ..................................................... 18 2.7. 3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás ............................... 22
3. 3.3 Megoldások ................................................................................................................... 28
1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. fejezet - MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban.
1. 3.1 Bevezetés
A feladatgyűjtemény a matematikai analízis tantárgy gyakorlatainak tananyagát öleli fel a NyME
Geoinformatikai Kar mérnöki szakán. A feladatgyűjtemény külön fejezetekben tárgyalja az egyes
anyagrészeket.
Minden fejezet elején megtalálhatók a legfontosabb definíciók és tételek bizonyítás nélkül, amelyek ismerete
elengedhetetlen a feladatok megoldásához. Minden fejezetben találhatók részletesen kidolgozott példák,
amelyek az egész tananyagot felölelik, és segítik annak megértését.
Minden fejezet végén feladatok találhatók, amelyeket további gyakorlás és az önálló munkára való szoktatás
céljából készültek. A feladatok részben saját összeállításúak, továbbá más forrásból átvettek, illetve
átdolgozottak.
A fejezetek tananyagai egymásra épülnek, ezért érdemes a feldolgozott sorrendben haladni a tanulásban.
A feladatgyűjtemény célja hallgatóink munkájának, tanulásának könnyítése, matematika tanulásának
elmélyítése.
A fokozatosság elvén alapuló feladatok pedig fejlesztik a matematikai gondolkodásukat, valamint a szaktárgyak
és alapozó tárgyak elsajátításához szükséges ismeretek elmélyítését, a feladatmegoldó készséget, jártasságot.
A hallgatók, olyan alapokra tesznek szert, amelyek felhasználásával képessé válnak a gyakorlatban felmerülő
problémák modelljeinek felállítására, és azok megoldására.
A feladatok megoldásával szakmájához szükséges konvertibilis és tovább építhető matematikai ismeret
birtokába jut.
2. 3.2 Differenciálszámítás
2.1. 3.2.1 A differenciálhányados fogalma
Definíció: Legyen x0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f
függvény differenciálható az x0 pontban, ha a (x) differencia-hányados-függvénynek az x0 pontban létezik
véges határértéke. A
számot az f függvény x0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük. Ha a fenti
határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban nem differenciálható.
Az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa, az f függvénygörbe A(x0,f(x0)) pontbeli érintőjének az
iránytangense.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1. példa: Vizsgáljuk meg, hogy az f(x) = 4x2 függvény differenciálható-e a 2 pontban!
Megoldás:
Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel:
x ⊂ R\{2}
Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét:
.
A 2 pontban van véges határérték, tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban.
2. példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányados
határértékeként!
Megoldás:
Tehát f ’(1) = 5.
3. példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x3 függvény derivált függvényét, x ⊂ R!
Megoldás:
Legyen x0 ⊂ R tetszés szerinti. Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x0 helyen:
Az x0 pontot tetszőlegesen választottuk, ezért az f függvény bármely x ⊂ R pontban differenciálható, és f ’(x) =
3x2.
4. példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x0 = 2 pontban?
Megoldás:
Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x0 = 2 pontban:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát az f függvény az x0 = 2 pontban nem differenciálható.
1. ábra
A függvénynek az x0 = 2 pontban töréspontja van.
FELADATOK:
1.) Határozzuk meg az f(x) = x2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányados
határértékeként!
2.) Tekintsük az f(x)= x2 -5 függvény görbéjének az A(3,4) pontját. Mivel egyenlő az A pontban húzott érintő
iránytangense?
3.) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az függvény derivált függvényét!
4.) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon?
5.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen?
6.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen?
7.) Legyen f(x)= . Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen?
8.) Számítsuk ki az függvény differenciálhányadosának értékét az helyen (ha
létezik).
9.) Az függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen?
2.2. 3.2.2 Differenciálási szabályok
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
4 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1. ,
1. 3.
4.
5.
Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni.
Elemi függvények deriváltjai:
Logaritmikus deriválás:
, ez egy olyan függvény, amelynek az alapja és a kitevője is függvény. Vegyük mindkét oldal
logaritmusát, majd deriváljuk mindkét oldalt.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
5 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának és
deriváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát
önállóan végezze el!
1.
.
1. f(x) = (lnx2) tg x
.
1.
A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett,
h(x) = 2x
g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x
f (g(h(x))) =
Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva:
z’(x) = (esin2x)’ = esin2x (cos2x) 2
Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges, hiszen a konkrét függvény alapján látható a
függvény összetétele, s így a szabály közvetlenül alkalmazható.
1.
1.
.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
6 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.
.
7.
Logaritmikus deriválás:
.
8.)
Logaritmikus deriválás:
.
9.)
Implicit függvény deriválása:
.
10.)
Implicit függvény deriválása:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
.
Feladatok:
Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg, mely
valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények!
1. 11.)
2. 13.)
3. 15.)
4. 17.)
5. 19.)
6. 21.)
7. 23.)
8. 25.)
9. 27.)
10. 29.)
11. 31.)
12. 33.)
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
8 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
13. 35.)
14. 37.)
2.3. 3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális
Az érintő egyenlete:
A P0 (x0; f(x0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete:
y= m(x – x0) + f(x0),
a P0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete:
m = tgα = f ’(x0)
y= f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre.
A normális egyenlete:
y= (x – x0) + f(x0), m = tg = .
Az f ’(x0) ≠ 0, mert különben a képlet nem alkalmazható.
2. ábra
Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott
érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög.
3. ábra
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
9 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, 0 ω ≤
ha f ’(x0)g’(x0) ≠ –1. Abban az esetben, ha f ’(x0)g’(x0) = –1, akkor ω = .
6.példa: Határozzuk meg az f(x) = ex + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 0 abszcisszájú
pontjában.
Megoldás:
Az érintési pont: E (0;3). A derivált függvény: , amiből az érintő iránytangense: f ’(x0) = e0 = 1. A
normális iránytangense: = –1
Az érintő egyenlete: y = 1(x – 0) + 3 vagyis y = x + 3
A normális egyenlete: y = –1(x – 0) + 3 vagyis y = –x + 3
4. ábra
7.példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x2 görbék hajlásszögét.
Megoldás:
Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját.
A metszéspont M(1;1)
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
10 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. ábra
és g(x) = x2, deriváltjaik: és g’(x) = 2x
f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 2
, ebből α = 71°34’.
8.példa: Határozzuk meg grafikusan az és y = ln x + 1 görbék metszéspontját, majd számítsuk ki, hány
fokos szögben metszik egymást.
Megoldás:
A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1)
6. ábra
és , f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 1
Ekkor f ’(x0)g’(x0) = –1·1 = –1, tehát ω = 90°.
Feladatok:
38.)Keressük meg az függvény görbéjének érintőjét és normálisát az
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
11 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
x0 = 4,5 helyen.
39.)Írjuk fel az parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban.
40.)A egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjában
van 45°-os irányszögű érintője?
41.)Mutassuk meg, hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott
metszéspontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással.
42.)Adott az x⊂R függvény. Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt, amelyik
áthalad az origón?
43.)Adjuk meg az egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az
x+4y=3 egyenesre.
44.) Határozzuk meg a függvény azon pontjait, amelyekhez húzott érintő
párhuzamos az y=x+4 egyenessel.
45.) Mekkora az görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(2,1) pontban?
46.)Keressük meg az függvénnyel megadott görbének azon pontjait,
amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel.
47.) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f függvény minden valós x-re differenciálható
legyen.
48.) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az parabola felső ágát?
49.) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az -et.
50.) Az a milyen értékénél metszi 45°-ban az x tengelyt?
51.)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az görbétől?
52.) Az egyenes milyen messze van az től.
2.4. 3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör
Definíció: Ha f differenciálható a H1 halmazon (H1 = Df ’) és ennek f ’ deriváltfüggvénye differenciálható a
H2 H1 halmazon, akkor az f ’ deriváltfüggvényét – amelyet f ”-vel jelölünk – nevezzük az f függvény második
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
12 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
deriváltjának (H2 = Df ”). Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához, amit az f
függvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük.
Definíció: Ha az f függvény az x0 pontban n-szer differenciálható, akkor képezhetjük a
polinomot, amelyet az f függvény x0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk. Ha x0 = 0, akkor a
Tn(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük.
Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x0 pontjában akárhányszor
differenciálható. Ekkor az
hatványsort az f függvény x0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük.
Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x0 pontban az a kör, amellyel a görbe legalább
másodrendben érintkezik.
Ha az f(x) és g(x) függvények, valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x0 helyen
rendre megegyeznek, azaz
f(x0) = g(x0), f ’(x0) = g’(x0),... f (n)(x0) = g(n)(x0), f (n+1)(x0) ≠ g (n+1)(x0),
akkor azt mondjuk, hogy az f(x) és a g(x) görbék az x0 helyen n-edrendben érintkeznek.
Definíció: Egy görbe görbülete az x0 pontban az x0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka: .
A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk: .
9.példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x ⊂ R+) függvény harmadik deriváltjának az x0 = 1 helyen vett
helyettesítési értékét.
Megoldás:
A deriváltak:
, f ”’(1) = 2
10.példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját.
Megoldás:
f ’(x) = cos x, f ”(x) = –sin x, f ”’(x) = –cos x, f (4) (x)= sin x, f (5) (x)= cos x ...
Látható, hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
13 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ezért f (28) (x) = sin x, x ⊂ R.
11. példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját, ahol 0 x 2.
f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0
f ’(1) = 1
f ”(1) = –1
f ”’(1) = 2 = 2!
f 4(1) = –6 = –3!
f 5 = 24 = 4!
Μ Μ
f(n)(1) = (–1)n+1 (n – 1)!
12. példa: Határozzuk meg parabola x0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)),
és e helyen a parabola görbületét!
Megoldás:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. ábra
= f(x) f(2) = –1 = g(2)
= f ’(x) f ’(2) = –1 = g’(2)
= f ’’(x) f ’’(2) = = g’’(2)
Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban, kétszer deriváljuk, majd behelyettesítjük a konkrét
értékeket. Az u, v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk:
(2 + 2)2 + (–1 + 5)2 = r2 , ahonnan r = 4 .
Ez azt jelenti, hogy a vizsgált egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült, mint
egy 4 ≈ 5,6 egység sugarú kör vonala. (A kör görbültsége minden pontjában azonos, a parabola görbültsége
pontonként változik.) A simulókör egyenlete: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 32
A parabola görbülete az x0 = 2 helyen: .
FELADATOK:
53.) Határozzuk meg az f(x) = 4x3 – 2x2 + 5x + 6 függvény összes f (n)(x) deriváltját!
54.) Határozzuk meg az függvény deriváltját, majd az függvény 15-dik
deriváltját!
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
15 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
55.)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét:
a.)f(x)= xarctg(x) b.)
i. d.)f(x)=tgx
56.) Az függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az
f (n)(x) függvényt.
57.) Írjuk fel a polinomot (x+1) hatványai szerint!
58.) Írjuk fel az f(x)=cosx, függvény pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját!
59.) Írjuk fel az függvény pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját!
60.) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját!
a.) b.) c.) f(x)=tgx
61.) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát!
62.) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln1,5 közelítő értékét.
63.) Az függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét és
görbületét.
64.) Mekkora az y=sinx görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének
egyenletét!
65.) Mekkora az görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó
simulókörének egyenletét!
66.) Adjuk meg a következő függvények görbületét az pontban!
a. b.)
67.)Írjuk fel az függvény E(3,3) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét!
2.5. 3.2.5 L’Hospital-szabály
Vannak olyan határértékszámítási problémák, amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem
lehetséges, vagy ha igen, akkor csak nagyon körülményesen. Ilyenek például a és a típusú határértékek,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
16 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
valamint az ezekre visszavezethetők. Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási
szabályokat L’Hospital-szabályoknak szokás nevezni.
A véges helyen vett és típusú.
Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:
1.) , vagy
2.) f és g x0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali)
3.) x0 környezetében
és 4.) létezik a
akkor a határérték is létezik, és .
13. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket!
A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk.
1. .
2. .
3. .
Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:
1.) vagy
2.) f és g függvény az (a;∞) intervallumon differenciálható
3.) g’(x) ≠0 ezen az intervallumon
és 4.) létezik a
akkor a határérték is létezik, és .
14. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
17 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1. .
2. .
3.
Megemlítjük még a ∞ –∞ , ∞ ·0, ∞0, 1∞, 00 típusú határértékeket. E határértékek kiszámítását a vagy a
alakra vezetjük vissza, és ezekre alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.
15. példa: (∞ – ∞) típus
.
Megoldás:
Közös nevezőre hozva a helyettesítési érték lesz, alkalmazható a L’Hospital szabály:
mivel ez újból alakú, újra alkalmazzuk a L’Hospital-szabályt:
,
tehát .
16. példa: (∞ ·0) típus
.
Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk
, így alkalmazható a L’Hospital szabály:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
18 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
.
FELADATOK:
A következő határértékek kiszámításához használjuk a L’Hospital-szabályt.
1. 69.)
2. 71.)
3. 73.)
4. 75.)
5. 77.)
6. 79.)
7. 81.) .
2.6. 3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás
Tétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható.
Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill. fogyó, ha f ’(x) ≥ 0, illetve
f ’(x) ≤ 0 teljesül minden x ⊂ (a;b)-re.
Tétel: Ha az f függvény az x0 hely valamely környezetében differenciálható, f ’(x0) = 0, és az f ’
deriváltfüggvény az x0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az x0 pontban van lokális szélsőértéke.
a. Ha f ’ az x0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális minimuma
van.
b. Ha f ’ az x0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális maximuma
van.
Annak megállapítására, hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke, és ha létezik milyen, néha célszerű
magasabbrendű deriváltakat is felhasználni. Tétel: Ha az f függvény az x0 pontban kétszer differenciálható,
továbbá
f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
19 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
akkor a függvénynek az x0 helyen lokális maximuma van. Ha pedig
f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0,
akkor a függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van.
17. példa: Határozzuk meg az f(x) = x4 – 2x2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit.
Megoldás:
f ’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)
f ’(x) = 0, ha 4x3 – 4x = 0, 4x(x2 – 1) = 0, ha x = –1; 0; 1.
Az f ’ zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát.
8. ábra
Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is. Ahol az első derivált pozitív (–
1 x 0 és x 1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő, ahol a derivált negatív (x –1 és 0 x 1), ott a
függvény szigorúan monoton csökkenő.
9. ábra
18. példa: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!
Megoldás:
Mivel a függvény minden x⊂R differenciálható, ezért lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus:
, f ’(x) = 0 ha x = –1, 1
A szélsőérték létezéséhez elengedő, ha az első derivált zérushelyein az f ” függvény értéke nem nulla. Ez
esetben:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
20 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f ”(–1) = 3 0
f ”(1) = –3 0
Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az x = –1 helyen lokális minimuma van, amelynek értéke f(–1) = –3, és az
x = 1 helyen lokális maximuma van, amelynek értéke f(1) = 3.
Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex (illetve
konkáv) legyen, szükséges és elégséges, hogy f ”(x) ≥ 0 (illetve f ”(x) ≤ 0) legyen az egész [a;b] intervallumon.
Tétel: Ha f függvény az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f ”(x0) = 0, valamint az f ”
függvény az x0 helyen előjelet vált, akkor f-nek az x0 helyen inflexiós pontja van.
Tétel: Ha f az x0 helyen háromszor differenciálható, valamint f ”(x0) = 0 és f ’”(x0) ≠ 0, akkor f-nek az x0-ban
inflexiós pontja van.
19. példa: Határozzuk meg az függvény inflexiós pontjait!
Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f ” függvény előjelét: f ’(x) = x2 – 2x –
3 és f ”(x) = 2x – 2. Az f ”(x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1. A második derivált előjelváltásait foglaljuk
táblázatba:
10. ábra
Ahol f ” pozitív (x 1), ott konvex, ahol f ” negatív (x 1), ott konkáv az f függvény. Az x = 1 helyen f ” előjelet
váltva 0, ezért az inflexiós pont. (f ’’’(x) = 2, így f ’’’(1) = 2 ≠ 0, tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont.)
A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat, amikor is csak a szélsőértékek
meghatározása a cél. Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt, azt a
feladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani.
20. példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb, amelynek a térfogata 32 m3. Hogyan kell megválasztani a
hasáb adatait, hogy a felszín minimális legyen?
Megoldás:
1. Ha az alapél „a” és a magasság m, akkor a felszín:
A = a2 + 4am.
2. A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével.
V = 32 m3, V = a2m = 32, m = ,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
21 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A = a2 + 4a Df : a 0
1. A felszínnek ott lehet szélső értéke, ahol A’(a) = 0. Az „a” szerint differenciálva:
, ha a = 4
1.
ez pedig azt jelenti, hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van.
1. A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai:
a = 4 és m = . A minimális felszín: Amin = 16 + 4·4·2 = 48 m2.
FELADATOK:
82.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, szélsőérték szempontjából (helye, nagysága, minősége).
Határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton!
a. b.) .
83.) Határozza meg az függvény szélsőértékét! Határozza meg
az pontba húzható érintő egyenletét!
84.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét. Írja fel a függvénygörbékhez az pontban
húzható érintők egyenletét!
a. b.) .
85.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetve
konkáv. Határozza meg a függvény inflexiós pontját, és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét!
a. b.)
i. d.) .
86.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait!
a. b.)
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
22 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
87.) A intervallumon hol konvex, ill. konkáv a következő függvény?
.
88.)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot, és ábrázoljuk a függvényt!
a. b.) .
89.) Húsz méter hosszú drótszövetünk van. Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait, ha maximális
területet akarunk körülhatárolni, és az egyik oldalon már van kerítés?
90.) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki. Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a, 2a oldalú
téglalap), hogy a térfogat maximális legyen?
91.) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy,
hogy az egyik csúcs az adott egyenesen, 2-2 csúcsa pedig az x ill. y tengelyen van. Hogyan kell megválasztani a
csúcsok koordinátáit, ha maximális területű téglalapot szeretnénk?
92.) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 . Hogyan kell megválasztani a henger sugarát és
magasságát, hogy a felszín minimális legyen?
93.) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy, hogy az egyik résznek a negyedik hatványa, és a másik rész
hetedik hatványának szorzata maximális legyen!
94.) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát, magasságát és térfogatát!
95.) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez, mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet, majd
a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk. Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala, hogy a
doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei, és mekkora a maximális
térfogat?
96.) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el, amelynek sugara megegyezik a henger
sugarával. Az így kapott test térfogata . Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy az
üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen?
97.) Egy termék árbevételi függvénye , ahol x az előállított termék darabszámát jelöli.
Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel?
2.7. 3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás
Definíció: Legyen z = f(x,y) egy kétváltozós függvény, amely értelmezve van a P0(x0;y0) pont valamely
környezetében. A határértéket az f(x,y) függvény x szerinti parciális
differenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P0(x0;y0) pontban. Az x szerinti parciális
derivált jelölése: .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
23 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az x indexszel azt emeljük ki, hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre, állandó y mellett.
Hasonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja.
Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvény differenciálhányadosa.
Ebből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok
alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megtanultunk.
A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: a
z = f(x,y) felület és az y = y0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az x
tengelyre vonatkozóan. Hasonlóan: az a z = f(x, y) felület és az x = x0 sík metszésvonala
(x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan.
11. ábra
Tegyük fel, hogy a z = f(x, y) függvény
parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában. Ezen függvények parciális
differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(x,y) függvény másodrendű parciális
differenciálhányadosainak nevezzük:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
24 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az és differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük.
Tétel: Ha a z = f(x,y) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x0,y0) pontban
folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással:
.
Definíció: A z = f(x,y) függvény teljes differenciálja a P0(x0;y0) pontban:
.
A teljes differenciált a hibaszámításban használják.
Abszolút hiba:
Relatív hiba: , vagy .
34. példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait!
a.) f(x,y)= 3x2y + xy2
b.)
c.) .
Megoldás:
a.) (y-t konstansnak vesszük),
(x-et konstansnak vesszük)
b.)
.
c.)
.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
25 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
35.feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait:
a.)
b.)
Megoldás:
a.)
b.) ,
,
.
36. feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit , -nek mértük. A fenti
adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója?
Megoldás:
a0=5, b0=12,
.
37. feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával és
, a köztük lévő szög .Számítsuk ki a háromszög területét és
állapítsuk meg a hibakorlátokat!
Megoldás:
a0=83,56, b0=52,25, ,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
26 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
,
relatív hiba: ,
.
abszolút hiba: .
Tehát a terület:
FELADATOK:
98.) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait!
1. 2.)
3./ 4./
1. 6.)
2. 8.)
3. 10.)
4. 12.)
5. 14.)
6. 16.)
7. 18.)
8. 20.) .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
27 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9. 22.) .
99.) Tekintse az kétváltozós függvényt. Határozza meg az összeget a
legegyszerűbb alakban!
100.)Adott az kétváltozós függvény, ahol állandók. Határozza meg a
hányadost a legegyszerűbb alakban!
101.) Bizonyítsuk be, hogy , ha .
102.) Igazoljuk, hogy a függvény eleget tesz az differenciálegyenletnek.
103.) Mekkora „ a ” értéke, ha az függvény megoldása a
differenciálegyenletnek?
104.) Megmérve egy henger m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=2,5m
± 0,01m; m=4,0m ± 0,2m. Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát!
105.) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk. A számított terület :
, a=35,1m. Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát?
106.) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények
adódnak: r=10,0cm ± 0,1cm; m=20cm ± 0,05cm. Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor
fellépő abszolút és relatív hibát!
107.) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek, alapélét méternek mérték.
Becsülje meg, hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat!
108.) Egy háromszög két szöge és , az egyik oldala pedig b=41,32m
± 0,01m. Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját!
109.) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m, a köztük levő szög pedig .
Mekkora a háromszög harmadik, c oldala, és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög
ezen oldala?
110.)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 0,15cm, tárgytávolsága t=35cm ± 0,2cm. Milyen határok
között ingadozik a képlettel számított k értéke?
111.) Egy golyó sugara r=2cm ± 0,001cm, tömege m=14g ± 0,02g. Mekkora a sűrűség, és annak abszolút és
relatív hibája?
112.) Adott egy P pont polárkoordinátáival, P(t,α): t=215,64m ± 0,06m és . Számítsuk
ki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(x,y)), és ezek abszolút és relatív hibáit!
113.) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét, ha méréskor az időt 8% relatív hibával
mértük, és s=2m-t Δs=0,5cm abszolút
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
28 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
hibával tudtuk mérni.
3. 3.3 Megoldások
1.
Tehát f ’(2) = 5.
2.
3.
Tehát x≠3.
4. Az x0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot.
, tehát az f függvény az x0 = 4 pontban nem differenciálható, és így a [0;5] intervallumon sem.
Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon, ha minden belső pontban, továbbá
a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható.
5.
.
A 0 helyen nem differenciálható, mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak az
egyik véges.
6.
A függvény differenciálható az x=1 helyen.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
29 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
12. ábra
7.
Mivel ezért differenciálható az x=0 helyen, és .
8. 9.
Az f függvény így is megadható:
13. ábra
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
30 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Mivel és , ezért x=-3, x=1 helyeken nem differenciálható a függvény. Míg
x=0 helyen , ezért itt differenciálható.
10. , .
11. . .
12. . .
13. . 14. .
15. .
16. .
17. .
18.
19. .
20. . 21. .
22. .
23. .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
31 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
24. . 25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. . .
31. . .
32. .
1.
.
34. .
35. .
36. .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
32 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
37. .
38. az érintő egyenlete: y = (x – 4,5) + 3 = x + 1,5
A normális egyenlete: y = –3(x – 4,5) + 3 = –3x + 16.5
14. ábra
39. A metszéspontok : , , .
Az érintők egyenlete: -re illeszkedő →y=-x+3; -re illeszkedő →y=x-4.
40. ,
41. Metszéspontok: A(4,0),B(0,2). , tehát párhuzamos.
42.Origón áthaladó érintő: .
43. Érintési pont: E(3,8), érintő egyenlete: y=4x-4.
44. .
45. Az origóban m=1, a P(2,1)-ben pedig m=0.
46. ,
vagy, ha és .
47. x 3 és x 3 –nál a függvény differenciálható. x=3, akkor differenciálható, ha az y=ax+b egyenes az
függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
33 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, tehát E(3,9) illeszkedik az egyenesre. b=-9. Az érintő
egyenlete: y=6x-9.
48. Metszéspont: . , , A képlet nem
használható, .
15. ábra
49. .
50. a=e, y=lnx.
51. , , , E(2,1).
.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
34 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
16. ábra
52. → E(9,-24), d=2.
17. ábra
53. f ’(x) = 12x2 – 4x + 5 f ”(x) = 24x – 4 f ”’(x) = 24 f (4) = 0
és innen adódik, hogy f (n)(x) = 0 ha n ≥ 4.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
35 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
54.
f ’(x) = 2x ln2, f ”(x) = 2x ln2 2, ...f (15) (x)= 2x ln152, x ⊂ R.
Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2x lnn2.
55. a.) ,
b.) ,
c.) ,
d.) , .
56.
57.Meg kell határoznunk az f függvény -hez tartozó Taylor-polinomját.
58. .
59. .
60. a.) b.) c.) .
61.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
36 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Eszerint n≥1 esetén ,
A MacLaurin-sor pedig: .
62. Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel. ln1,5 = ln(1+0,5)
Tehát x=0.5 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba.
vagyis
.
63.
18. ábra
C(-2,3), , .
64. , simulókör: .
65. , , .
66. a.) , , , .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
37 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
b.)
, .
67. ,
C(-7,8), , simulókör: .
1. . 69. .
70. .
II.Megoldás:
71. .
72. .
73. .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
38 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
74. . 75. .
76. .
77. .
78. alakkal állunk szemben. Algebrai átalakítással alakra hozhatjuk, és alkalmazhatjuk a szabályt:
.
79. .
(Vegyük észre: nem használtuk a L’Hospital szabályt!)
80. .
81. , ezért legyen
82. a.) ,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
39 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
19. ábra
b.)
, ,
, a szélsőérték max.
83. , , , ha
20. ábra
,
A keresett érintő egyenlete : .
84.a.) ,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
40 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
21. ábra
, , az érintő egyenlete: .
b.) , , ,
22. ábra
.
Az érintő egyenlete: .
85.a.) , ,
23. ábra
, . Az inflexiós érintő egyenlete: .
b.)
,
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
41 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
24. ábra
. , az inflexiós érintő egyenlete: .
c.) ,
, , ha , vagyis , mivel
.
25. ábra
, . Az inflexiós érintő egyenlete: .
d.)
Az hely környezetében az előjelet vált, tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van. (Lásd az
előző feladatot)
Az inflexiós érintő egyenlet : .
86.a.) Szélsőérték:
, ,
, tehát van szélsőérték, és ez helyi maximum.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
42 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Inflexiós pont: , nincs ilyen valós szám, a függvénynek nincs inflexiós pontja.
b.)
26. ábra
27. ábra
Inflexiós pontok:
Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát!
87.
28. ábra
88.a.) Df : R \{–1;1}, Zérushelye: ha x = 0.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
43 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A függvény páratlan, mert ∀ x⊂R
Határértékei a végtelenben:
és mivel páratlan:
A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek:
x = –1
az y tengellyel párhuzamos
aszimptota
x = 1
az y tengellyel párhuzamos
aszimptota
Ferde (ált. helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b
tehát az egyenlet: y = x
A függvény monotonitási szakaszai, szélsőértékei:
f ’(x) = 0,
(x2 – 1)2 = 1 + x2
x4 – 2x2 + 1 = 1 + x2
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
44 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
x2(x2 – 3) = 0 → . ;
; f(0) = 0
29. ábra
30. ábra
A függvény konvex, illetve konkáv szakaszai, inflexiós pont.
, itt a függvénynek maximuma van,
, a függvénynek minimuma van.
31. ábra
. Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos. A görbe
vázlata:
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
45 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
32. ábra
A függvény értékkészlete: R.
b.) R \{7}, zérushely:x=0, pólushely: x=7.
, .
Szélsőérték:
, ha x=-7.
33. ábra
, ha x=-14.
f(x) konvex ⇔ ⇔ x-14, x≠-7
f(x) konkáv ⇔ ⇔ x-14. Inflexiós pont:x=-14-nél.
A függvény értékkészlete: .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
46 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
34. ábra
89. T(a,b)=a·b milyen a,b-re maximális. k=20=2a+b ⇒ b=20-2a, , ha 0 a 10.
, tehát az a=5 lok. maximum, b=10.
90. maximumát keressük a feltétel mellett. K=60=12a+4b ⇒
, értelmezési tartománya 0 a 5.
.
, lok. maximum, b=5.
91.
35. ábra
T(x,y)=x·y maximumát keressük, ha , A feltételből y=6-0,6x, , 0 x 10.
, tehát maximuma van, y=3. A(5;3), B(0;3), C(0;0), D(5;0).
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
47 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
92. minimumát keressük, ha térfogata
, A feltételt kihasználva: , , 0R,
tehát minimuma van, .
93. maximumát keressük, ha 0 x 22.
,
,
, .
94.
36. ábra
,
0 x R, (R0 adott)
Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla, ha
R – 3x = 0, azaz x = .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
48 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A térfogat az helyen maximális. A sugár: .
A kúp magassága:
A maximális térfogat: .
Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának -ede.
95. Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel. Ekkor a keletkezett doboz térfogata: .
Nyilván .
csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak.
, ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van.
A doboz oldalai 8,8 és 2 cm hosszúak, a térfogata pedig 128 .
96. Legyen m a henger magassága, r pedig a sugara. Ezen két test együttes térfogata:
→ minimális legyen.
, tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban, m=3.
97. és vagyis
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
49 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, ha ,
vagyis
37. ábra
a maximális árbevétel.
98. 1.) , .
2.) , .
3.) , .
4.) , .
5.) , ,
.
6.) , .
7.) , .
8.) , .
9.) ,
.
10.) , .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
50 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
11.) , .
12.) , .
13.) , .
14.) , .
15.) , .
16.) , .
17.) , .
18.) , .
19.) ,
.
20.) ,
.
99. .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
51 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
100. .
102. , ,
.
103. .
104. .
,
.
105. , , .
Tehát a=35,1m ± 0,213m.
106. , , .
107. , , .
108. ,
‰.
.
109. ⇒ c=264,575m, , .
110. .
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
52 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A határ, ami között ingadozik: [195,45cm ; 224,55cm].
111. , , .
112. , ‰, .
‰
113. ,
,
. Azaz a g relatív hibája 16,25%.
Irodalomjegyzék
Csabina Z-né: Matematika, NymE Geoinformatikai Kar Jegyzetsokszorosító Részleg, Székesfehérvár, 2002.
Banach, S: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
Bay L.–, Juhász A.–, Szentelekiné Páles I.: Matematikai analízis példatár,
Bárczy B.: Differenciálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970.
Csernyák L.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992.
Denkinger G.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
Denkinger G. – Gyurkó L.: Matematikai analízis, Feladatgyűjtemény,
Kovács J.–, Takács G.–, Takács M.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.
Rejtő M.–, Pach Zs. Pálné–, Révész P.: Matematika, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1972.
Szerényi Tibor: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis, feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.
Varga O.-, Merza J.-, Sebestyén L.: Matematika és példatár I/2, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
Tóth A.: Analízis feladatok, ARÉV Nyomda Kft., Székesfehérvár, 2002.
MATDeriváltak,
differenciálszámítás függvények és
görbék vizsgálatára. Magasabb rendű
deriváltak alkalmazása a
hibaszámításban.
53 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Csikós Pajor G.: Matematikai analízis, Műszaki Főiskola, Szabadka, 2000.