culegere de probleme_maticiuc_am ii

ANALIZA MATEMATICA.CALCUL INTEGRAL

Culegere de probleme

Lucian Maticiuc

Cuprins

1 Integrala definita. Primitive 1

2 Extinderea notiunii de integrala 27

3 Integrale curbilinii 43

4 Integrala dubla 49

5 Integrale de suprafata 57

6 Integrala tripla 71

7 Ecuatii diferentiale 83

Capitolul 1

Integrala definita. Primitive

1. Sa se arate ca

aaf (x) dx =

2 a

0f (x) dx , daca f este functie para,

0 , daca f este functie impara.

Rezolvare:

Astfel avem conform proprietatii de aditivitate ca aaf (x) dx =

0af (x) dx+

a0f (x) dx.

Acum daca f este para, adica

f (x) = f (x) , x [a, a] ,

atunci n prima integrala fac schimbarea de variabila

x = y y = x

De aici obtinem ca dx = dy precum si noile limite de integrare: dacax = a atunci y = a si daca x = 0 atunci y = 0.Deci integrala devine, conform schimbarii de variabila, 0af (x) dx =

0af (y) (dy) =

0af (y) (dy) =

0af (y) dy

1

2 1. Integrala definita. Primitive

Dar, conform unei conventii baf (x) dx =

abf (x) dx

deci 0af (x) dx =

a0f (y) dy =

a0f (x) dx

de unde obtinem ca aaf (x) dx =

0af (x) dx+

a0f (x) dx = 2

a0f (x) dx.

Daca f este impara, adica

f (x) = f (x) , x [a, a] ,atunci n prima integrala fac aceeasi schimbarea de variabila

x = y y = xDe aici obtinem dx = dy si limitele de integrare devin: daca x = aatunci y = a si daca x = 0 atunci y = 0.

Deci integrala devine, conform schimbarii de variabila, 0af (x) dx =

0af (y) (dy) =

0af (y) (dy) =

0af (y) dy

= a

0f (y) dy =

a0f (x) dx

deci 0af (x) dx =

a0f (y) dy =

a0f (x) dx.

Obtinem deci ca aaf (x) dx =

0af (x) dx+

a0f (x) dx = 0

2. Aratati, folosind paritatea functiei de sub integrala, ca

a)

11

arctgx

ex + exdx = 0 , b)

1/21/2

(cosx) ln1 + x

1 xdx = 0 ,

3c)

pi/4pi/4

sinxtg2x = 0 , d) 11

x3

1 + x2dx = 0

Rezolvare:

Aplic exercitiul anterior. Astfel vom arata ca functiile care se inte-greaza sunt impare.

Pentru aceasta folosim paritatea functiilor trigonometrice:

sin (x) = sinx , cos (x) = cosxtg (x) = tgx , arctg (x) = arctgx

a) Notam cu f : [1, 1] R, f (x) = arctgxex+ex .

f (x) = arctg (x)ex + e(x)

=arctgxex + ex

= f (x)

b), c), d) Tema (se va folosi si faptul ca ln y1 = ln y , y > 0).3. Fie f : R R, o functie continua si periodica de perioada T > 0. Sa

se arate ca are loc a+Ta

f (x) dx =

T0f (x) dx , a R

si apoi sa se calculeze:

a)

2npi0|sinx| dx , n N , b)

2npi0|cosx| dx , n N

Rezolvare:

Functia f periodica nseamna ca f (x+ T ) = f (x) , x R. Avemconform proprietatii de aditivitate ca a+T

af (x) dx =

0af (x) dx+

T0f (x) dx+

a+TT

f (x) dx

In ultima integrala fac schimbarea de variabila

x = y + T y = x TDe aici obtinem dx = dy si limitele de integrare devin: daca x = Tatunci y = 0 si daca x = a + T atunci y = a. Deci integrala devine,conform schimbarii de variabila, a+T

Tf (x) dx =

a0f (y + T ) dy =

a0f (y) dy =

0af (y) dy

5e)

dxx

, f)

dx

xx

, g)

dx5x 2 , h)

dx

a x ,

i)

dx

3x2 + 5, j)

dx

7x2 8 , k)

2 3xdx , l)

xdxx2 + 1

,

m)

dx

7 5x2 , n)

3

5x2 + 7dx.

5. Sa se calculeze urmatoarele integrale (folosind metoda de integrareprin parti):

a)

(x2 + 5x

)e2xdx , b)

eax sin (bx) dx , c)

x2 sinx dx ,

d)

ln3 x dx , e)

x3 ln2 x dx , f)

x2 + adx , a R,

g)

a2 x2dx , h)

lnx

x3dx =

x3 lnxdx =

(x2

2)

lnxdx =. . .

Rezolvare:

Daca f si g sunt functii cu derivatele continue pe domeniul de definitieI atunci are loc formula de integrare prin parti:

f (x) g (x) dx = f (x) g (x)f (x) g (x) dx.

a) Folosim e2x = 12(e2x): (

x2 + 5x)e2xdx =

(x2 + 5x

) 12

(e2x)dx

=(x2 + 5x

) 12e2x 1

2

(x2 + 5x

)e2xdx =

=1

2

(x2 + 5x

)e2x 1

2

(2x+ 5) e2xdx = aplicam nca o data

=1

2

(x2 + 5x

)e2x 1

2

(2x+ 5)

1

2

(e2x)dx

=1

2

(x2 + 5x

)e2x 1

2

((2x+ 5)

1

2e2x 1

2

(2x+ 5) e2xdx

)=

=1

2

(x2 + 5x

)e2x 1

2

(1

2(2x+ 5) e2x 1

2

2e2xdx

)=

=1

2

(x2 + 5x

)e2x 1

4(2x+ 5) e2x +

1

2 1

2e2x + C , C R


b) Folosim eax = 1a (eax):

eax sin (bx) dx =

1

a(eax)

sin (bx) dx

=1

aeax sin (bx)

1

aeax (sin (bx))

dx =

=1

aeax sin (bx) b

a

eax cos (bx) dx = aplicam nca o data

=1

aeax sin (bx) b

a

1

a(eax)

cos (bx) dx

=1

aeax sin (bx) b

a2

(eax cos (bx)

eax (cos (bx))

dx

)=

=1

aeax sin (bx) b

a2

(eax cos (bx) +

beax sin (bx) dx

)=

=1

aeax sin (bx) b

a2eax cos (bx) b

2

a2

eax sin (bx) dx

Deci

eax sin (bx) dx+

b

a2

eax sin (bx) dx

=1

aeax sin (bx) b

a2eax cos (bx) + C , C R

eax sin (bx) dx =

a2

a2 + b

(1

aeax sin (bx) b

a2eax cos (bx)

)+ C, C R

Observatie: putem pleca si de la sin (bx) = 1b (cos (bx)).

c) Tema (folosim sinx = (cosx)).

7d)ln3 x dx =

xln3 x dx = x ln3 x

x(ln3 x

)dx =

= x ln3 x 3x ln2 x

1

xdx = x ln3 x 3

ln2 x dx = aplicam nca o data

= x ln3 x 3xln2 x dx = x ln3 x 3

(x ln2 x

x(ln2 x

)dx

)=

= x ln3 x 3(x ln2 x 2

x lnx

1

xdx

)= x ln3 x 3

(x ln2 x 2

lnxdx

)=

= x ln3 x 3(x ln2 x 2

(x lnx

x (lnx)

dx

))=

= x ln3 x 3 (x ln2 x 2 (x lnx x))+ C , C Re) Tema (folosim x3 = 14

(x4))

f)

I =

x2 + adx = (rationalizare) =

x2 + ax2 + a

dx =

=

x2x2 + a

dx+

a

x2 + adx

=

x(

x2 + a)dx+ a ln

x+x2 + a == a ln

x+x2 + a+ (xx2 + a x2 + adx)= a ln

x+x2 + a+ xx2 + a IDeci

I =

x2 + adx =

1

2xx2 + a+

a

2lnx+x2 + a+ C , C R

g), h), i), j), k) Tema.

6. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale folosind metoda de inte-grare prin parti:


a)

(x3 + 2x

)e5xdx , b)

eax sin (bx) dx , c)

eax cos (bx) dx ,

d)

e3x sin (4x) dx , e)

e4x cos (3x) dx , f)

x3 cosx dx ,

g)

x3 sin (5x) dx , h)

x3 cos (5x) dx , i)

lnxdx ,

j)

x2 ln3 x dx , k)

x2 + 5dx , l)

x2 5dx ,

m)

5 x2dx, n)

ln (lnx)

xdx,

o)

(x2 + 5x+ 6

)cos (2x) dx, p)

(x2 2x+ 3) lnxdx

7. Folosind prima metoda de schimbare de variabila sa se calculeze:

a)

x+ arccosx

1 x2 dx , b)

1

x ln2 xdx , c)

1

x ln5 xdx ,

d)

pi/20

cosx

1 + sin2 xdx , e)

32

6x x2 5 dx , f)

x2 + x+ 1dx

Rezolvare:

Aplic prima metoda de schimbare de variabila:f (u (x))u

(x) dx = F (u (x)) + C, C R,

unde F este o primitiva a lui functiei f.

De asemenea are loc si n cazul integralei definite:

baf (u (x))u

(x) dx =

u(b)u(a)

f (y) dy = F (y)|y=u(b)y=u(a)= F (u (b)) F (u (a)) .

9a) Observ ca 11x2 = ( arccosx)

, decix+ arccosx

1 x2 dx =

x1 x2dx+

arccosx

1 x2dx

= (

1 x2)dx+

arccosx ( arccosx) dx =

=

1 x2

arccosx (arccosx) dx

=

1 x2

arccosx d (arccosx) .

Acum daca notam

ynot= arccosx dy = (arccosx) dx

deci integrala devinex+ arccosx

1 x2 dx =

1 x2 ydy =

=

1 x2 y2

2+ C =

1 x2 (arccosx)

2

2+ C , C R

b) Observ ca 1x = (lnx)

si voi nota y not= lnx dy = (lnx) dx1

x ln2 xdx =

1

ln2 x(lnx)

dx =

1

y2dy =

y2dy =

= y33 + C =

(lnx)33 + C , C R

c) Tema

d) Observ ca cosx = (sinx) si voi nota y not= sinx dy = (sinx) dxsi limitele de integrare devin: daca x = 0 atunci y = sin 0 = 0 si dacax = pi/2 atunci y = sinpi/2 = 1 pi/2

0

cosx

1 + sin2 xdx =

pi/20

1

1 + sin2 x(sinx) dx =

10

1

1 + y2dy

= arctgy|10 = arctg1 arctg0 = pi/4 0e) Folosim forma canonica a trinomului de gradul 2

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2+4a


unde = b2 4ac.Deci

6x x2 5 = x2 + 6x 5 = (x+ 62

)2+ (3620)4

= (x 3)2 + 4 = 4 (x 3)2

si 32

6x x2 5dx =

32

4 (x 3)2dx =

32

4 (x 3)2 (x 3) dx =

Notez y not= x 3 dy = (x 3) dx si limitele de integrare devin:daca x = 2 atunci y = 1 si daca x = 3 atunci y = 0. 3

2

6x x2 5dx =

01

4 y2dy

Pentru a calcula ultima integrala vezi exercitiile precedente.

f) Tema.

8. (Tema) Folosind prima metoda de schimbare de variabila sa se calcu-leze:

a)

cosx

sinxdx , b)

sinx

cosxdx , c)

sinxcosx

dx , d)

cosx

sin3 xdx

e)

xdx1 + x4

, f)x2ex

3dx, g)

3 2x5x2 + 7

dx.

9. (Tema)

(i) Aduceti la forma canonica urmatoarele trinoame de gradul al doi-lea:

a) f (x) = 4x x2 + 5 , b) f (x) = x2 + 3x 5 ,c) f (x) = x2 + 2x+ 3, d) f (x) = 2x2 3x+ 5e) f (x) = 2x2 5x+ 3, f) f (x) = x2 x 1,g) f (x) = 2 + 3x 2x2, h) f (x) = x2 + 2x+ 2,i) f (x) = x2 + 2x+ 5, j) f (x) = 3x2 x+ 1,k) f (x) = 2 + 3x 2x2, l) f (x) = x2 4x+ 5

11

(ii) Calculati diferentialele df (x) ale urmatoarelor functii de o varia-bila:

a) f (x) = sin2 x , b) f (x) = lnx , c) f (x) = ln2 x,

d) f (x) = x3, e) f (x) =x, f) f (x) = cosx,

g) f (x) = e3x, h) f (x) =x2 + a2, i) f (x) =

4 x2,

j) f (x) = tgx .

10. Folosind a doua metoda de schimbare de variabila sa se calculezeintegralele:

a)

cos2xdx , b)

10x2

4 x2dx , c)

a2 x2dx ,

d)

x2 + a2dx

Rezolvare:

Aplic a doua metoda de schimbare de variabila: Daca facem schimba-rea de variabila

x = u (y)

atuncidx = u (y) dy , y = u1 (x)

unde u1 este inversa functiei u, si integrala devine baf (x) dx =

u1(b)u1(a)

f (u (y))u (y) dy

a) Vom notax = y x = y2 deci dx = 2ydy si integrala devine

cos2xdx =

cos2 y 2ydy = 2

y cos2 y dy

Pentru calculul acestei integrale vezi metoda de integrare prin parti.La sfarsit se va nlocui y =

x.

b) Avem substitutiile trigonometrice:

1. Daca integrala contine termenula2 x2 atunci este utila substitutia

x = a sin y sau x = a cos y


2. Daca integrala contine termenulx2 a2 atunci este utila substitutia

x = a chy

3. Daca integrala contine termenulx2 + a2 atunci este utila substitutia

x = a shy

unde

shxdef=

ex ex2

, chxdef=

ex + ex

2si evident avem

ch2x sh2x = 1 , (shx) = chx , (chx) = shx.In cazul nostru este utila substitutia x = 2 sin y (de asemenea e utilasi substitutia x = 2 cos y). Deci

dx = (2 sin y) dy = 2 cos ydy

six = 2 sin y y = arcsinx/2.

Limitele de integrare devin: daca x = 0 atunci y = arcsin 0 = 0 sidaca x = 1 atunci y = arcsin 1/2 = pi/6. Atunci integrala devine 1

0x2

4 x2dx = pi/6

04 sin2 y

4 4 sin2 y2 cos ydy =

= 16

pi/60

sin2 y

1 sin2 y cos ydy = 16

pi/60

sin2 y cos2 ydy

Avem formulele

sin2 y + cos2 y = 1

sin (2y) = 2 sin y cos y sin y cos y = sin 2y2cos (2y) = 2 cos2 y 1 cos2 y = 1+cos 2y2cos (2y) = 1 2 sin2 y sin2 y = 1cos 2y2

Deci 10x2

4 x2dx = 16 pi/6

0(sin y cos y)2 dy = 4

pi/60

sin2 2ydy =

= 4

pi/60

1 cos 4y2

dy = 2

pi/60

dy 2 pi/6

0cos 4ydy

=

(2y 2sin 4y

4

)pi/60

=pi

3

3

4

13

c) Tema.

d) In acest caz este utila substitutia x =ey ey

2. Deci

dx =

(aey ey

2

)dy = a

ey + ey

2dy

si

x2 + a2 =

(aey ey

2

)2+ a2 = a2

(e2y + e2y 2

4+ 1

)= a2

e2y + e2y + 24

=

(aey + ey

2

)2.

Deci x2 + a2dx =

aey + ey

2aey + ey

2dy =

a2

4

(ey + ey

)2dy

=a2

4

(e2y + e2y + 2

)dy =

a2

4

(e2y

2+e2y

2 + 2y)

+ C , C R

11. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii ce contin un trinomde gradul al doilea:

a)

dx

2x2 5x+ 7 , b)

dx2 + 3x 2x2 , c)

x+ 3

x2 + 2x+ 3dx ,

d)

a2 x2dx , e)

a+ x2dx , f)

1 2x x2dx ,

g)

dx

3x2 x+ 1 , h)

3x 2x2 4x+ 5dx.

12. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

a)

1

x adx , b)

1

(x a)dx , 6= 1, c)

1

ax bdx ,

d)

1

(ax+ b)dx, e)

1

2x2 4x+ 8dx, f)

1

2x2 5x+ 3dx,

g)

4x 5

x2 2x+ 10dx, h) x+ 5x2 + x 2dx ,

i)

x2 3x+ 3x3 2x2 + xdx =

(ax

+b

x 1 +c

(x 1)2)dx ,


j)

3x2 + x 4

x3 + 5x2 + 9x+ 5dx =

( ax+ 1

+bx+ c

x2 + 4x+ 5

)dx.

13. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

a)

x4

x4 1dx , b)

1

x3 + 1dx , c)

1

x3 2x2 + xdx ,

d)

1

x3 + 6x2 + 11x+ 6dx

Rezolvare:

Daca integrala este dintr-o functie rationala atunci:

Pasul I: daca gradul numaratorului este mai mare decat gradul nu-mitorului atunci mai ntai se mpart polinoamele pana se ajunge cagradul numaratorului sa fie mai mic strict decat gradul numitoru-lui.

Pasul II: apoi se vor cauta divizorii numitorului si se va descom-pune fractia n fractii simple.

a)x4

x41 =x41+1x41 =

x41x41 +

1x41 = 1 +

1(x21)(x2+1) =

= 1 + 1(x21)(x2+1) = 1 +

1(x1)(x+1)(x2+1)

Descompunerea n fractii simple nseamna sa cauta constantele a, b, c, da.. sa aiba loc

1(x1)(x+1)(x2+1) =

ax1 +

bx+1 +

cx+dx2+1

Aducand la acelasi numitor obtin

1(x1)(x+1)(x2+1) =

a(x+1)(x2+1)+b(x1)(x2+1)+(cx+d)(x1)(x+1)(x1)(x+1)(x2+1)

1 = a (x+ 1) (x2 + 1)+ b (x 1) (x2 + 1)+ (cx+ d) (x 1) (x+ 1) 1 = (a+ b+ c)x3 + (a b+ d)x2 + (a+ b c)x+ (a b d)

a+ b+ c = 0a b+ d = 0a+ b c = 0a b d = 1

15

Rezolvand sistemul obtin a = 1/4, b = 1/4, c = 0, d = 1/2 deci areloc

1(x1)(x+1)(x2+1) =

14

(1

x1 1x+1 2x2+1)

adica

x4

x4 1dx =dx+

1

(x 1) (x+ 1) (x2 + 1)dx

= x+1

4

(1

x 1 1

x+ 1 2x2 + 1

)dx =

= x+1

4(ln (x 1) ln (x+ 1) 2arctgx) + C

b)

1x3+1

= 1(x+1)(x2x+1) =

ax+1 +

bx+cx2x+1

1 = a (x2 x+ 1)+ (x+ 1) (bx+ c) 1 = (a+ b)x2 + (a+ b+ c)x+ (a+ c)

a+ b = 0a+ b+ c = 0a+ c = 1

Rezolvand sistemul obtin a = 1/3, b = 1/3, c = 2/3 deci are loc

1

(x+ 1) (x2 x+ 1) =1/3

x+ 1+1/3x+ 2/3x2 x+ 1

adica

1

x3 + 1dx =

1

3

(1

x+ 1 x 2x2 x+ 1

)dx

=1

3ln (x+ 1) 1

3

x 2

x2 x+ 1dx

Acum avem

x2x2x+1dx =

x

x2x+1dx

2x2x+1dx. Pentru acestea

doua se vor face calcule standard. Mai ntai, pentru prima, se for-


meaza la numarator derivata numitorului adicax

x2 x+ 1dx =1

2

2x

x2 x+ 1dx =

1

2

2x 1 + 1x2 x+ 1dx =

=1

2

2x 1

x2 x+ 1dx+1

2

1

x2 x+ 1dx

=1

2

(x2 x+ 1)x2 x+ 1 dx+

1

2

1

x2 x+ 1dx =

=1

2ln(x2 x+ 1)+ 1

2

1

(x 1/2)2 + 3/4dx

=1

2ln(x2 x+ 1)+ 1

2

1

(x 1/2)2 + (3/2)2dx == 12 ln

(x2 x+ 1)+ 12 13/2arctgx1/23/2 + C.

c) Tema: 1x32x2+x =

1x(x22x+1) =

1x(x1)2 =

ax +

bx1 +

c(x1)2 unde

a, b, c trebuie determinati...

d) Tema: Radacinile ntregi ale lui x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0 se gasescprintre divizorii termenului liber...

(Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

a)

1

(x3 1)2dx , b)

1

(x 1)2 (x+ 1)3dx , c)

xdx

(x 1) (x+ 1)2 ,

d)

dx

x (x+ 1)2, e)

dx

(x2 4x+ 3) (x2 + 4x+ 5) ,

f)

5x2 + 6x+ 9

(x 3)2 (x+ 1)2dx , g)

dx

(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)

14. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii irationale:

a)

x+ 1 + 2

(x+ 1)2 x+ 1dx , b)

x 13x+ 1

dx ,

c)

1

x+ 1 + 3x+ 1

dx , d)

1

(2 x)1 xdx

Rezolvare:

17

Fie integralele de formaR

(x,(ax+bcx+d

) p1q1 ,(ax+bcx+d

) p2q2 , ...

)dx unde

R este o expresie rationala. Aceste integrale se reduc la integralerationale cu ajutorul substitutiei

ax+ b

cx+ d= ts

unde s este cel mai mic multiplu comun al numitorilor q1, q2, ...

a) Apare termenulx+ 1 = (x+ 1)1/2 deci este utila substitutia

x+ 1 = t2 x = t2 1 dx = 2tdtdeci integrala devine

x+ 1 + 2

(x+ 1)2 x+ 1dx =

t+ 2

(t2)2 t2tdt =

= 2

t2 + 2t

t4 t dt = 2

t+ 2

t3 1dt = 2

t+ 2

(t 1) (t2 + t+ 1)dt

si am ajuns la integrala dintr-o functie rationala. Descompunem nfractii simple

t+ 2

(t 1) (t2 + t+ 1) =a

t 1 +bt+ c

t2 + t+ 1

cu a, b, c determinati aducand la acelasi numitor si identificand coeficientii.Obtin a = 1.b = 1, c = 1 si integrala se reduce la integrale simple.

I = 2

t+2(t1)(t2+t+1)dt = 2

(1t1 t+1t2+t+1

)dt =

= 2(

ln (t 1) t+1t2+t+1

dt)

Mai ntai t+ 1

t2 + t+ 1dt =

t

t2 + t+ 1dt+

1

t2 + t+ 1dt

iar acestea se fac prin calcule standard. La sfarsit se va nlocui t =(x+ 1)1/2 .

b) Tema: Aparex = x1/2 si 3

x = x1/3 deci se va face substitutia

x = t6 unde 6 este cel mai mic multiplu comun al numitorilor 2 si 3.

c), d) Tema.


15. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii irationale (integralebinome):

a)

x(1 + 3x)2dx , b)

(1 + 3

x)

3

4x5

dx , c) 31 + 4x

xdx , d)

1

x 3

1 + x5dx ,

e)

x

1 + 3xdx , f)

dx

4

1 + x4, g)

dx

x2 (2 + x3)5/3

Rezolvare:

Fie integralele de formaxm (a+ bxn)p dx unde m,n, p Q. Aceste

integrale se reduc la integrale rationale doar n urmatoarele treisituatii (cu ajutorul substitutiilor respective):

i) Daca p este numar ntreg.

ii) Dacam+ 1

neste numar ntreg si n acest caz este utila substitutia

a+ bxn = ts unde s este numitorul lui p.

iii) Dacam+ 1

n+p este numar ntreg si n acest caz este utila substitutia

a+ bxn

xn= ts unde s este numitorul lui p.

a)x (1 + 3

x)

2= x1/2

(1 + x1/3

)2deci m = 1/2, n = 1/3, p = 2 deci

suntem n prima situatie si, evident, merge substitutia x = t6 dx =6t5dt deci integrala devine

x(1 + 3x)2dx =

(t6)1/2 (

1 +(t6)1/3)2

6t5dt =

=

(t6)1/2 (

1 +(t6)1/3)2

6t5dt =

t3(1 + t2

)26t5dt =

=

t3(1 + t2

)26t5dt

si obtin integrala dintr-o functie polinomiala...

b) Tema: (1+ 3x)

3

4x5

= x5/4(1 + x1/3

)3deci m = 5/4, n = 1/3, p = 3

deci suntem n prima situatie si merge substitutia x = ... dx = ...dtdeci integrala devine...

19

c)3

1+ 4x

x= x1/2

(1 + x1/4

)1/3deci m = 1/2, n = 1/4, p = 1/3 si

m+ 1

n=1/2 + 1

1/4= 2 Z

deci suntem n a doua situatie si merge substitutia

1+x1/4 = t3 x1/4 = t31 x = (t3 1)4 dx = 4 (t3 1)3 3t2dtdeci integrala devine 31 + 4x

xdx =

x1/2

(1 + x1/4

)1/3dx =

=

((t3 1)4)1/2 (t3)1/3 12t2 (t3 1)3 dt =

= 12

(t3 1)2 tt2 (t3 1)3 dt = 12 (t3 1) t3dt =

= 12

(t6 t3) dt = 12 (t7/7 t4/4)+ C

si acum se nlocuieste t cu(1 + x1/4

)1/3.

d), e) Tema, suntem n situatia ii).

f), g) Tema, suntem n situatia iii).

16. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii trigonometrice:

a)

sin2 x cos3 xdx , b)

sin3 x

cos4 xdx , c)

1

sinx+ tgxdx , d)

1

1 + sin2 xdx

,

e)

1

cos4 xdx , f)

1

1 + sinx+ cosxdx

Rezolvare:

Fie integralele de formaR (sinx, cosx) dx unde R (a, b) este o ex-

presie rationala n a si b. Aceste integrale se reduc la integralerationale cu ajutorul urmatoarelor substititutii:

i) DacaR ( sinx, cosx) = R (sinx, cosx) atunci este utila substitutiacosx = t.


ii) DacaR (sinx, cosx) = R (sinx, cosx) atunci este utila substitutiasinx = t.

iii) DacaR ( sinx, cosx) = R (sinx, cosx) atunci este utila substitutiatgx = t.

iv) Substitutia universala tgx2 = t.

In cazul integralelor din functii trigonometrice sunt utile urmatoareleformule trigonometrice

sin2 x+ cos2 x = 1,

sinx cosx = sin 2x2 , sin2 x = 1cos 2x2 , cos

2 x = 1+cos 2x2 ,

sinx = 2t1+t2

, cosx = 1t2

1+t2, unde t = tgx2 ,

sinx = t1+t2

, cosx = 11+t2

, unde t = tgx .

a) Avem ca R (sinx, cosx) = sin2 x cos3 x deci

R (sinx, cosx) = sin2 x ( cosx)3 = sin2 x cos3 x = R (sinx, cosx)

adica suntem n cazul ii). Este utila substitutia sinx = tsin2 x cos3 xdx =

sin2 x cos2 x cosxdx =

=

sin2 x cos2 x (sinx)dx =

sin2 x

(1 sin2 x) d (sinx)

deci sinx = t dt = d (sinx) = (sinx) dx adica

I =

t2(1 t2) dt = (t2 t4) dt = t3/3 t5/5

unde t trebuie nlocuit cu sinx

b) Tema: R (sinx, cosx) = sin3 x

cos4 xeste impara n sinx, deci cazul i)

c) R (sinx, cosx) = 1sinx+tgx . In acest caz vom folosi substitutia uni-versala (n cazul integralelor trigonometrice):

tgx

2= t x

2= arctgt x = 2arctgt dx = 2

1 + t2dt

21

Deci, folosind si formulele trigonometrice respective, are loc

1

sinx+ tgxdx =

1

sinx+ sinxcosxdx =

1

2t1+t2

+2t

1+t2

1t21+t2

2

1 + t2dt =

=

1

2t1+t2

+ 2t1t2

2

1 + t2dt =

1

2t(

1t2+1+t2(1t2)(1+t2)

) 21 + t2

dt =

=

1

t 21t2

dt =

1 t2

2tdt =

1

2tdt

t

2dt =

1

2ln t 1

4t2 + C =

= 12 ln(tgx2) 14 (tgx2)2 + C

d) e) Tema: suntem n cazul iii).

f) Tema: suntem n cazul iv).

17. Sa se calculeze urmatoarele integrale folosind metoda de integrareprin parti:

a)

arctgx dx , b)

xarctgx dx , c)

x2arctgx dx

d)

arcsinx dx, e)

x arcsinx dx , f)

arcsin2 x dx.

18. Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

dx

x2 + a2, b)

xdx

x2 + a2, c)

xdx

(x2 + a2)2, d)

dx

(x2 + a2)2,

e)

xdx

(x2 + a2)3, f)

1

(x2 + a2)3dx , g)

1

sinn xdx , n {1, 2, 3, 4, ...} .

Rezolvare:


d) 1

(x2 + a2)2dx =

1

a2

a2

(x2 + a2)2dx =

1

a2

x2 + a2 x2(x2 + a2)2

dx =

=1

a2

x2 + a2

(x2 + a2)2dx 1

a2

x2

(x2 + a2)2dx

=1

a2

1

x2 + a2dx 1

a2

x

x

(x2 + a2)2dx =

=1

a21

aarctg

x

a 1a212

x

(1

x2 + a2

)dx

=1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2

11

x2 + a2dx

)=

=1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2

11

x2 + a2dx

)=

1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2 1a

arctgx

a

)+ C.

g) Pentru n = 1 :1

sinxdx =

sinx

sin2 xdx =

1

1 cos2 x ( cosx) dx = (subst. cosx = t)

=

1

t2 1dt =1

2ln

t 1t+ 1+ C = 12 ln

cosx 1cosx+ 1+ C.

sau, folosind substitutia universala

tgx

2= t x

2= arctgt x = 2arctgt dx = 2

1 + t2dt

obtinem1

sinxdx =

12t

1+t2

2

1 + t2dt =

1

tdt = ln |t|+ C = ln

tg(x2

)+ C.Pentru n = 2, folosind tabelul obtinem:

1

sin2 xdx = ctgx+ C

23

sau, folosind substitutia universala, obtinem1

sin2 xdx =

1(

2t1+t2

)2 21 + t2dt = 12

1 + t2

t2dt =

1

2

(1t

+ t

)+ C

=1

2

t2 1t

+ C =1

2

(tgx2)2 1

tgx2+ C = = ctgx+ C.

Pentru n = 3 :1

sin3 xdx =

sinx

sin4 xdx =

1

(1 cos2 x)2 ( cosx) dx = (subst. cosx = t)

=

1(1 t2)2dt = =

(a

1 t +b

1 + t+

c

(1 t)2 +d

(1 + t)2

)dt = .

sau, folosind substitutia universala, obtinem1

sin3 xdx =

1(

2t1+t2

)3 21 + t2dt = 14 (

1 + t2)2

t3dt = .

19. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

2x+ 1

x2 + x+ 1dx , b)

2x+ 1

(x2 + x+ 1)2dx , c)

1

x2 + x+ 1dx ,

d)

1

(x2 + x+ 1)2dx , e)

x

(x2 + x+ 1)2dx .

20. Calculati aria figurii plane cuprinsa ntre curbele (date explicit) y2 =2px si x2 = 2py.

Particularizati pentru p = 1/2.

Rezolvare: Daca suntem n cazul n care curbele care dau domeniulsunt date explicit iar domeniul este deci

D = {(x, y) : a x b , f1 (x) y f2 (x)}atunci aria domeniului D este data de

A (D) = ba

[f2 (x) f1 (x)] dx


21. Calculati volumul sferei. Calculati volumul elipsoidului (acestea seobtin prin rotatia unui semicerc si respectiv a unei semielipse n jurulaxei Ox).

Rezolvare: Daca volumul V R3 este obtinut prin rotatia multimiiF = {(x, y) : a x b , 0 y f (x)} atunci volumul este dat de

V (F ) = pi baf2 (x) dx

In cazul nostru sfera este data de rotatia domeniului (semidiscului)

F ={

(x, y) : r x r, 0 y r2 x2

}respectiv dat de rotatia domeniului (semielipsei)

F =

{(x, y) : a x a, 0 y b

a

a2 x2

}.

22. Determinati volumul corpului de rotatie dat de f : [0, 1/2] R ,f (x) = arcsinx

23. Determinati lungimea graficului functiei f : [3, 8] R , f (x) = 23xx

Rezolvare: Daca suntem n cazul n care curba este data explicit de(C) : y = f (x) , a x b atunci lungimea curbei este data de

L (C) = ba

1 + (f (x))2dx.

24. Determinati lungimea graficului functiei f : [pi/3, pi/2] R , f (x) =ln (cosx).

25. Determinati lungimea curbei data parametric{x = a cos3 ty = a sin3 t

, t [0, pi/2]

Rezolvare: Daca suntem n cazul n care curba este data curba este n

plan si este data parametric de (C) :{x = x (t)y = y (t)

, a t b atuncilungimea curbei este data de

L (C) = ba

(x (t))2 + (y (t))2dt

25

26. Determinati lungimea curbei din spatiu data parametric

x = a cos t

y = a sin t

z = ct, t [0, pi] .

Rezolvare: In cazul n care (C) :

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

, a t b (adica n ca-

zul n care curba este data curba este n spatiu si este data parametric)lungimea curbei este data de

L (C) = ba

(x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2dt.

27. Determinati aria discului.

28. Determinati lungimea cercului.

Capitolul 2

Extinderea notiunii de integrala

1. Studiati, folosind definitia, convergenta urmatoarelor integrale impro-prii de specia I:

a)

e

dx

x (lnx)3/2, b)

1

exdx

ex 1 , c)

0e2x sin 3x dx ,

d)

0

e3x cos 4x dx, e)

1

dx

x, > 0 , f)

dx

1 + x2,

g)

0

dx

(1 + x)2.

Rezolvare:

a)

e

1

x (lnx)3/2dx = (subst. lnx = y) =

1

y3/2dy =y1/2

1/2

y=

y=1

=1

2y

y=y=1

=1

2.

b) 1

ex

ex 1dx = (subst. ex = y) =

e

1

y 1dy = ln |y 1| |y=y=e

= ln (+) ln |e 1| = +.

27

28 2. Extinderea notiunii de integrala

c) aplicam de doua ori metoda de integrare prin parti pentru a calcula pri-mitiva

F (x) =

e2x sin 3x dx =

12e2x sin 3x+

3

4e2x cos 3x 3

2

3

2F (x)

F (x) = 134

(12e2x sin 3x+

3

4e2x cos 3x

) F (x) = 2 sin 3x+ 3 cos 3x

22 + 32 e2x.

Deci 0

e2x sin 3x dx = F (x) |x=+x=0 = F (+) F (0) .

Dar F (0) = 322+32

iar

F (+) def= limx+ ()

2 sin 3x+ 3 cos 3x

22 + 32 e2x = 0

deoarece 2 sin 3x+ 3 cos 3x22 + 32 = 2 sin 3x+ 3 cos 3x22 + 32

|2 sin 3x|+ |3 cos 3x||22 + 32|

2 + 3

22 + 32

(adica este marginit) iar

limx+ e

2x = e = 0

Am folosit rezultatul:

Lema 2.1 Fie f, g : I R unde I este un interval. Presupunem ca limxa f (x) =0 si |g (x)| M , x I . Atunci

limxa [f (x) g (x)] = 0

(adica produsul dintre o cantitate care tinde la zero si o cantitate marginita este ocantitate care tinde la zero).

Prin urmare 0

e2x sin 3x dx = F (+) F (0) = 322 + 32

.

29

2. Studiati, folosind definitia, convergenta urmatoarelor integrale impro-prii de specia II:

a)

11

dx1 x2 , b)

ba

dx

(x a) , > 0 ,

c)

10

ex

ex 1dx , d) 1

0

dx

x, > 0 , e)

e1

1

x (lnx)3/2dx.

3. Studiati, folosind criteriul de convergenta n, convergenta urmatoarelorintegrale improprii:

a)

0

xx5 + 1

dx , b)

0

1

2x+ 5 + 3x2 + 1

dx , c)

1

arctgxx

dx ,

d)

1

1

x

1 + x4dx , e)

0

dx3

1 + x3 + x6.

4. Studiati, folosind criteriul de convergenta n , convergenta urmatoarelorintegrale improprii:

a)

10

14

1 x4dx , b) 3

0

13x+ 2 4

x+ x3

dx ,

c)

10

1

x3 5x2dx , d) 2

1

1

xx 1dx

e)

32

x2

5

(3 x)2 (x 2)

dx , f) 5

2

1

3

(2 x)4 (x4 + x2 + 1)

dx

5. Studiati convergenta urmatoarelor integrale improprii:

a)

1

x2 2x+ 3dx , b) 11

15x3dx ,

c)

x2e|x|dx , d)

1

1 + x2dx , e)

x

1 + x2dx

Indicatie: se scrie fiecare integrala ca suma de alte doua integrale. Eventual

se poate folosi si paritatea functiei de sub integrala si faptul ca aaf (x) dx ={

2 a

0 f (x) dx , f este functie para

0 , f este functie impara



a)

1

(pi 2arctg (x)) dx , b)

1

x+ cosx

x3 + sinxdx , c)

1

lnx

xdx ,

d)

2

1

x (lnx)dx , R , e)

21

1

x (lnx)dx , R , f)

21

lnx

xdx .

Rezolvare:

a) Avem f (x) = pi 2arctg (x). Trebuie sa determinam astfel ncat saexiste limita lim

xxf (x).

limxx

f (x) = limx (x

(pi 2arctg (x))) = (nedeterm. 0)

= limx

pi 2arctg (x)1x

= (aleg = 1 si aplic LHospital)

= limx

0 2 11+x2

1x2

= limx

2x2

1 + x2= 2.

Deci pentru = 1 1 obtin limxx

f (x) = 2 (0,) deci 1 (pi 2arctg (x)) dxeste (D).

b)

limxx

f (x) = limxx

x+ cosxx3 + sinx

= (aleg = 2) = limx

x3 + x2 cosx

x3 + sinx

= limx

x3(1 + cosxx

)x3(1 + sinx

x3

) = limx

1 + cosxx1 + sinx

x3

=1 + 0

1 + 0= 1.

Am folosit calimx

cosx

x= 0 si lim

xsinx

x3= 0,

c)

limxx

f (x) = limxx

lnxx

= (aleg = 1) = limx lnx = + > 0

deci limita este > 0 iar 1, prin urmare integrala este divergenta (Con-form Criteriului n ).

d) Calculam primitiva1

x (lnx)dx =

(lnx) (lnx) dx = (pp. 6= 1 si fac subst. lnx = t)

tdt =

t+1

+ 1 + C =(lnx)+1

+ 1 + C.

31

Daca = 1, atunci1

x lnxdx =

1

lnx(lnx) dx = (subst. lnx = t) =

1

tdt

= ln t+ C = ln |lnx|+ C.

Prin urmare, pentru 6= 1, 2

1

x (lnx)dx =

(lnx)+1

+ 1x=x=2

=1

1 (

limx (lnx)

+1 (ln 2)+1)

=1

1 (

(ln (+))+1 (ln 2)+1)

=

1

1(

+ (ln 2)+1)

= +, daca < 1,1

1(

1(+)1

1(ln 2)1

)= 11

1(ln 2)1

, daca > 1.,

Pentru = 1, 1

1

x lnxdx = ln |lnx|

x=x=1

= limx ln |lnx| ln |ln 1| = ln ln (+) ln 0+

= ln (+) () = +.

7. Studiati convergenta urmatoarelor integrale improprii (calculandu-le,eventual, n prealabil):

a)

0

dx

1 + x3, b)

1

lnx

x3dx , c)

1

x

(1 + x)2dx ,

d)

0

x3dx

(1 + x3)2, e)

1

x lnx

(1 + x2)2dx .

Rezolvare:

a) Mai ntai,

1

1 + x3=

a

1 + x+

bx+ c

1 x+ x2 1 = (a+ b)x2 + (a+ b+ c)x+ (a+ c)

a = 1/3, b = 1/3, c = 2/3


si deci

dx

1 + x3=

1

3

1

1 + xdx+

1

3

x+ 21 x+ x2dx

=1

3ln |1 + x|+ 1

3

1

22x 4

1 x+ x2dx

=1

3ln |1 + x|+ 1

3

1

2

2x 1 31 x+ x2dx

=1

3ln |1 + x| 1

6

(1 x+ x2)1 x+ x2 dx

1

6

31 x+ x2dx

=1

3ln |1 + x| 1

6ln1 x+ x2+ 1

2

1(

x 12)2

+(

32

)2dx ==

1

3ln |1 + x| 1

6ln1 x+ x2+ 1

2

13/2

arctgx 1/2

3/2+ C

=1

6

(2 ln |1 + x| ln 1 x+ x2)+ 1

3arctg

x 1/23/2

+ C

=1

6ln

|1 + x|2|1 x+ x2| +

1

2arctg

x 1/23/2

=1

6lnx2 + x+ 1

x2 x+ 1 +13

arctgx 1/2

3/2+ C .

Integrala improprie este atunci

0

dx

1 + x3=

1

6lnx2 + x+ 1

x2 x+ 1x=x=0

+13

arctgx 1/2

3/2

x=x=0

=1

6limx ln

x2 + x+ 1

x2 x+ 1 1

3ln

02 + 0 + 1

02 0x+ 1 +13

limx arctg

x 1/23/2

13

arctg0 1/2

3/2

=1

3ln 1 1

3ln 1 +

13

arctg () 13

arctg1/2

3/2=

13

pi

2+

13

arctg13

=pi

2

3+

pi

6

3=

2pi

3

3.

33

b) Calculam mai ntai primitivalnx

x3dx =

x3 lnxdx =

(x2

2)

lnxdx

=x2

2 lnxx2

21

xdx =

x2

2 lnx+1

2

x3dx =

1

2lnx

x2+

1

2

x2

2 + C.

Integrala improprie este atunci 1

lnx

x3dx =

12

lnx

x2

x=x=1

14

1

x2

x=x=1

=12

limx

lnx

x2 1

2

ln 1

12 1

4limx

1

x2+

1

4

1

12=

1

4.

deoarece

limx

lnx

x2= (LHospital) = lim

x1/x

2x= 0.

c) Calculam mai ntai primitiva facand substitutia

x = t2 t = x dx = 2tdt(vezi Integrale din functii irationale):

x

(1 + x)2dx =

t

(1 + t2)22tdt.

Dar

t

(1 + t2)2=

1

2

(1 + t2

)(1 + t2)2

=1

2

(1 + t2

)2 (1 + t2

)=

1

2

((1 + t2

)11

)= 1

2

(1

1 + t2

)deci

x

(1 + x)2dx = 2

t

(12

1

1 + t2

)dt

= 2t

(12

1

1 + t2

) 2

1

(12

1

1 + t2

)dt = t

1 + t2+ arctgt+ C

= x

1 + x+ arctg

x+ C.



x

(1 + x)2dx =

x

1 + x

x=x=1

+ arctgxx=x=1

= limx

x

1 + x+

1

1 + 1+ limx arctg

x arctg

1 =

1

2+pi

2 pi

4=

1

2+pi

4.

d) Observam mai ntai ca

x2

(1 + x3)2=

1

3

(1 + x3

)(1 + x3)2

=1

3

(1 + x3

)2 (1 + x3

)=

1

3

((1 + x3

)11

)= 1

3

(1

1 + x3

)deci

x3

(1 + x3)2dx =

x

x2

(1 + x3)2dx =

x

(1

3

1

1 + x3

)dx

= x

(1

3

1

1 + x3

)

1

(1

3

1

1 + x3

)dx

= 13

x

1 + x3+

1

3

1

1 + x3dx

Integrala improprie este atunci (vezi si punctul a)) 0

x3dx

(1 + x3)2= 1

3

x

1 + x3

x=x=0

+1

3

0

1

1 + x3dx

= 13

limx

x

1 + x3+

1

3

0

1 + 03+

1

3

2pi

3

3=

2pi

9

3.

e) Observam mai ntai ca

x

(1 + x2)2=

1

2

(1 + x2

)(1 + x2)2

=1

2

(1 + x2

)2 (1 + x2

)=

1

2

((1 + x2

)11

)= 1

2

(1

1 + x2

)deci

x lnx

(1 + x2)2dx =

lnx

(1

2

1

1 + x2

)dx = lnx

(1

2

1

1 + x2

)

1

x

(1

2

1

1 + x2

)dx = 1

2

lnx

1 + x2+

1

2

1

x (1 + x2)dx.

35

Pentru a calcula integrala

1x(1+x2)

dx , trebuie sa descompunem fractia nfractii simple:

1

x (1 + x2)=a

x+bx+ c

1 + x2 a = 1, b = 1, c = 0.

Decix lnx

(1 + x2)2dx = 1

2

lnx

1 + x2+

1

2

1

xdx+

1

2

x1 + x2

dx

= 12

lnx

1 + x2+

1

2lnx 1

4

2x

1 + x2dx = 1

2

lnx

1 + x2+

1

2lnx 1

4ln(1 + x2

)+ C

= 12

lnx

1 + x2+

1

4lnx2 1

4ln(1 + x2

)+ C = 1

2

lnx

1 + x2+

1

4ln

x2

1 + x2+ C


x lnx

(1 + x2)2dx = 1

2

lnx

1 + x2

x=x=1

+1

4ln

x2

1 + x2

x=x=1

= 12

limx

lnx

1 + x2+

1

2

ln 1

1 + 12+

1

4limx ln

x2

1 + x2 1

4ln

12

1 + 12

= 14

ln1

2=

1

4ln 2,

deoarece

limx

lnx

1 + x2= (LHospital) = lim

x1/x

2x= 0

limx ln

x2

1 + x2= ln lim

xx2

1 + x2= ln 1 = 0.

8. Aratati ca urmatoarele integrale improprii sunt divergente:

a)

+0

cosx dx , b)

+0

sinx dx , c)

+0

x sinx dx .


a)

10

ln (1 x) dx , b) 3

1

dx

4 x2 , c) 3

2

x2dx

5

(3 x)2 (x 2)

,


d)

ba

xdx(x a) (b x) , e)

2

dx

3

(2 x)4 (x4 + x2 + 1)

f)

21

dx

xx 1 , g)

1

dx

1 x2 , h) 1

0

dx

1 x2 , i)

1

5x+ 1

x3 x 6dx.

Rezolvare:

a) Calculam mai ntai primitivaln (1 x) dx = x ln (1 x) x ln (1 x) + C

= (1 x) ln (1 x) x+ C, C R.

Deci 10

ln (1 x) dx = [ (1 x) ln (1 x) x]x=1x=0

= limx1x

37

si obtinem

I =

ba2

ab2

y + a+b2(ba

2

)2 y2dy=

ba2

ab2

y(ba

2

)2 y2dy + ba

2

ab2

a+b2(

ba2

)2 y2dy=

ba2

ab2

()((

ba2

)2 y2)2

(ba

2

)2 y2dy +a+ b

2

ba2

ab2

1(ba

2

)2 y2dy=

(b a

2

)2 y2

x= ba

2

x=ab2

+a+ b

2arcsin

yba

2

x= ba

2

x=ab2

=

e) vom lua = 4/3.f) vom lua = 1/2.g)

dx

1 x2 =

dx

x2 1 = 1

2ln

x 1x+ 1+ C.

Acum 1

dx

1 x2 = 2

1

dx

1 x2 +

2

dx

1 x2 = ()1

2ln

2 12 + 1 lim

a1a>1

() 12

ln

a 1a+ 1

+ limc

() 12

ln

c 1c+ 1 () 12 ln

2 12 + 1

=1

2lima1a>1

ln

a 1a+ 1+ lim

c() 1

2ln 1 =

i) Calculam mai ntai primitiva5x+ 1

x3 x 6dx =

5x+ 1

(x 2) (x2 + 2x+ 3)dx = desc. n fractii simple =

Deci 1

5x+ 1

x3 x 6dx =



a)

pi0

sinx

7 + 6 cosx 2 sinxdx , b) pi/2

0

dx

a2 sin2 x+ b2 cosx,

c)

11

dx

(3 x)1 x2 , d) ba

x2dx(x a) (b x) ,

e)

ba

b xx adx , f)

2pi0

dx

2 sinx+ 3 cosx+ 4

Rezolvare:

a) Subst. tgx2 = t

I =

0

4tdt

(t2 + 1) (t2 4t+ 13) =

b) Subst. tgx = t si formulele sinx = t1+t2

si cosx = 11+t2

. Deci

I =

0

dt

a2t2 + b2=

c) x = sin td) = 1/2 si = 1/2

e) Subst.

bxxa = t

I =

0

2 (b a) t2(t2 + 1)2

dt =

f) Subst. tgx2 = t dar daca x [0, 2pi] x2 [0, pi] iar tangenta nu estedefinita n pi/2. Deci 2pi

0

dx

2 sinx+ 3 cosx+ 4=

pi0

dx

2 sinx+ 3 cosx+ 4+

2pipi

dx

2 sinx+ 3 cosx+ 4

=

0

2dt

t2 + 4t+ 7+

0

2dt

t2 + 4t+ 7=

11. Calculati urmatoarea integrala cu parametru (derivand-o n prealabil)

I (y) =

10

arctg (xy)

x

1 x2 dx

Rezolvare:

39

Derivam

I (y) = 1

0

(arctg (xy)

x

1 x2)y

dx =

10

1

x

1 x2 (arctg (xy))y dx

=

10

1

x

1 x21

1 + x2y2xdx =

10

11 x2

1

1 + x2y2dx

Deoarece apare cantitatea

1 x2 este utila subsitutia x = sin t t =arcsinx si dx = cos tdt. Deci

I (y) = pi/2

0

11 sin2 t

1

1 + y2 sin2 tcos tdt =

pi/20

1

1 + y2 sin2 tdt.

Acum se face subst. tg (t) = r t = arctg (r) dt = 11+r2

dr. Deci,folosind formula sin t = r

1+r2,

I (y) = +

0

1

1 + y2 r2

1+r2

1

1 + r2dr =

+0

1

1 + (y2 + 1) r2dr

=1

y2 + 1

+0

1(1y2+1

)2+ r2

dr

=1

y2 + 1

11y2+1

arctgr1y2+1

r=

r=0

=1y2 + 1

(pi/2 0) = pi2

1y2 + 1

.

DeciI (y) =

pi

2

1y2 + 1

I (y) = pi2

ln(y +

y2 + 1

)+ C

DarI (0) = 0 = C.

12. Calculati urmatoarea integrala cu parametru (derivand-o n prealabil)

I (a) =

pi/20

ln(a2 sin2 x) dx , a > 1

Rezolvare:


Derivam

I (a) = pi/2

0

(ln(a2 sin2 x))

adx =

pi/20

1

a2 sin2 x2adx = 2a pi/2

0

dx

a2 sin2 x.

Se face subst. tg (x) = t x = arctg (t) dx = 11+t2

dt. Deci, folosindformula sinx = t

1+t2

I (a) = 2a pi/2

0

dx

a2 sin2 x = 2a +

0

1

a2 t21+t2

1

1 + t2dt

= 2a

+0

1

(a2 1) t2 + a2dt = 2a1

a2 1 +

0

1

t2 +(

aa21

)2dt=

2a

a2 11aa21

arctgtaa21

r=

r=0

=2

a2 1 (pi/2 0) =pia2 1 .

DeciI (a) =

pia2 1 I (a) = pi ln

(a+

a2 + 1

)+ C.

13. Sa se calculeze integrala cu parametru folosind substitutia universala

I (a) =

pi0

1

a+ b cosxdx , a, b > 0

Apoi derivand n raport cu a integrala cu parametru I (a) sa se calculeze pi0

1

(a+ b cosx)2dx ,

pi0

1

(a+ b cosx)3dx

Rezolvare:

I (a) =

pi0

1

a+ b cosxdx =

0

1

a+ b1t21+t2

2

1 + t2dt

=2

a b

0

1(a+bab)2

+ t2dt

=2

a b1a+bab

arctgta+bab

x=

x=0

=2

a2 b2pi

2.

41

Tema: calculati si 2pi

01

a+b cosxdx = pi

01

a+b cosxdx + 2pipi

1a+b cosxdx =

= 2pia2b2

Derivam si obtinem

I (a) = pi

0

(1

a+ b cosx

)a

dx =

pi0

1(a+ b cosx)2

(1 + 0) dx

=

pi0

1(a+ b cosx)2

dx.

Pe de alta parte

I (a) =(

pia2 b2

)a

= pi[(a2 b2)1/2]

a= pi12

(a2 b2)3/2 2a =

14. Sa se calculeze integrala cu parametru

I (a) =

0

1

a+ x2dx

Apoi derivand n raport cu a integrala cu parametru I (a) sa se calculeze 0

1

(a+ x2)2dx ,

0

1

(a+ x2)3dx

15. Sa se calculeze integrala cu parametru

I (a) =

c0

1

a+ x2dx

Apoi derivand n raport cu a integrala cu parametru I (a) sa se calculeze c0

1

(a+ x2)2dx ,

c0

1

(a+ x2)3dx

16. Sa se calculeze integrala

0

sinx

xdx

Capitolul 3

Integrale curbilinii

1. Sa se calculeze integrala curbilinie de primul tip:

I =

(C)

xyds ,

unde (C) este sfertul din primul cadran al elipsei data parametric{x = a cos t,

y = b sin t.


I =

(C)

yds ,

unde (C) este segmentul parabolei y2 = 2px de la originea coordona-telor pana la A (a, b) , a > 0.


I =

(C)

xyzds ,

unde (C) este curba din spatiu

x = t,

y = 13

8t3,

z = 12 t2,

, t [0, 1] .

43

44 3. Integrale curbilinii

4. S a se calculeze urmatoarea integrala curbilinie de primul tip

I =

(C)

yexds

unde (C) : x (t) = ln(1 + t2

), y (t) = 2 arctg t t+ 3, t [0, 1].


I =

(C)

xyds ,

unde (C) este sfertul din primul cadran al elipsei data explicit y =b

a

a2 x2.

6. (Tema) Sa se calculeze integrala curbilinie de primul tip:

I =

(C)

xyds ,

unde (C) : y = x2 , x [1, 1] .

7. (Tema) Sa se calculeze integrala curbilinie de primul tip:

I =

(C)

y5ds ,

unde (C) : x = y4

4 , y [0, 2] .


I =

(C)

(x+ y + z) ds ,

unde (C) :

x = a cos t

y = a sin t

z = bt

, t [0, pi/2] .

45


I =

(C)

(x2 + y2

)ln z ds ,

unde (C) :

x = et cos t

y = et sin t

z = et

, t [0, 1] .

10. Sa se calculeze integrala curbilinie de al doilea tip:

I =

(_OA)

(x2 y2) dx ,

unde (_OA) este segmentul parabolei y = x2 cuprins ntre x = 0 si

x = 2.


I =

(_OA)

2xydx+ x2dy ,

unde (_OA) este

a) parabola y2 = x care uneste O (0, 0) cu A (1, 1) ;

b) (Tema) dreapta y = x care uneste O (0, 0) cu A (1, 1) ;

c) (Tema) curba y = x3 care uneste O (0, 0) cu A (1, 1) .


I =

(_AB)

x2dx+ 2xydy ,

unde (_AB) este jumatatea superioara a elipsei parcursa n sens trigo-

nometric (se vor folosi ecuatiile parametrice ale elipsei).



I =

(_AB)

1 x2dx+ xdy ,

unde (_AB) este curba x2 + y

2

4 = 1 parcursa n sens trigonometric (sevor folosi ecuatiile parametrice ale elipsei).


I =

(_AB)

xdx+ xydy + xyzdz ,

unde (_AB) este curba

x = et,

y = et,

z =

2t,

, t [0, 1] .

15. Calculati urmatoarea integrala curbilinie constatand n prealabil caeste independenta de drum:

I =

(_AB)

xdy ydx(x y)2 ,

unde (_AB) este arcul de curba ce uneste punctulA (0,1) cuB (1, 0) .

Indicatie:

In cazul nostru P (x, y) = y(xy)2 si Q (x, y) =

x(xy)2 . Se verifica mai

ntai conditiile suficiente si apoi se rezolva sistemul care definesteprimitiva F (integrandu-se una din ecuatii). Dupa ce s-a determi-nat primitiva F se aplica formula lui Leibniz-Newton si obtin ca I =F (1, 0) F (0,1) .

47


I =

(_AB)

ydx xdyy2

,

unde (_AB) este arcul de curba ce uneste punctul A (1, 2) cu B (2, 1) .

Indicatie:

In cazul nostru P (x, y) = 1y si Q (x, y) =xy2

. Se verifica mai ntaiconditiile suficiente si apoi se rezolva sistemul care defineste primi-tiva F (integrandu-se una din ecuatii). Dupa ce s-a determinat primi-tiva F se aplica formula lui Leibniz-Newton si obtin ca I = F (2, 1)F (1, 2) .


I =

(_AB)

xdx+ ydy + zdzx2 + y2 + z2

,

unde (_AB) este arcul de curba ce uneste punctulA (1, 1, 1) cuB (3, 4, 5)

Indicatie:

In cazul nostru P (x, y, z) = xx2+y2+z2

, Q (x, y, z) = yx2+y2+z2

si

R (x, y, z) = zx2+y2+z2

. Se verifica mai ntai conditiile suficiente si

apoi se rezolva sistemul care defineste primitiva F (integrandu-seuna din ecuatii). Dupa ce s-a determinat primitiva F se aplica for-mula lui Leibniz-Newton si obtin ca I = F (3, 4, 5) F (1, 1, 1) .

18. Sa se studieze daca urmatoarele forme diferentiale sunt exacte si ncaz afirmativ sa se calculeze o primitiva a lor:

a)(4x3y3 3y2 + 5) dx+ (3x4y2 6xy 4) dy (tema).

b) z(

1x2y 1

x2+z2

)dx+ z

xy2dy +

(x

x2+z2 1xy

)dz


19. Sa se determine constanta ciclica a urmatoarei integrale curbilinii nraport cu punctul singular (0, 0)

I =

xdy ydxx2 + y2

.

20. Determinati aria domeniului marginit de curba

(C) :

{x = a cos3 t,

y = a sin3 t,, t [0, 2pi]

(aria A =12

(C) xdy ydx).

21. (Tema) Sa se calculeze aria elipsei

{x = a cos t,

y = b sin t,, t [0, 2pi] .

Capitolul 4

Integrala dubla

1. Sa se calculeze urmatoarea integrala dubla pe un domeniu dreptun-ghiular

I =

D

x2

1 + y2dxdy

unde D este dreptunghiul D = [2, 5] [0, 1]

2. (Tema) Sa se calculeze urmatoarea integrala dubla pe un domeniudreptunghiular

I =

D

(5xy2 2x3) dxdy


3. Sa se calculeze urmatoarea integrala dubla

I =

D

y2R2 x2dxdy

unde D este discul x2 + y2 R2

4. (facuta la curs) Sa se calculeze urmatoarea integrala dubla

I =

D

(x2 + y

)dxdy

unde D este domeniul marginit de parabolele y = x2 si y2 = x

49

50 4. Integrala dubla

5. (Tema) Sa se calculeze urmatoarea integrala dubla

I =

D

x2

y2dxdy

unde D este domeniul marginit de curbele x = 2, y = x si xy = 1

6. Transformati urmatoarea integrala curbilinie (pe o curba nchisa) fo-losind fomula lui Green

I =

(C)

x2 + y2dx+ y

(xy + ln

(x+

x2 + y2

))dy

Indicatie:

Formula lui Green: daca curba nchisa (C) margineste domeniul Datunci are loc

I =

(C)

P (x, y) dx+Q (x, y) dy =

D

(Q

x Py

)dxdy

7. (Tema/desenul a fost facut la curs) Aplicati formula lui Green pentrucalculul integralei curbilinii

I =

(C)

2(x2 + y2

)dx+ (x+ y)2 dy

unde (C) este triunghiul dat de intersectia dreptelor x = 1, y = x siy = 4 x

8. Calculati urmatoarea integrala dubla schimband convenabil ordineade integrare

I =

D

y

(1 + x2 + y2)3/2dxdy


9. Calculati urmatoarea integrala dubla facand o schimbare de variabilaconvenabila

I =

D

(x2 + y2

)dxdy

unde D este domeniul din primul cadran limitat de x2 + y2 = a2, y =x

3 si x = y

3

51

10. Calculati urmatoarea integrala dubla facand o schimbare de variabilaconvenabila

I =

D

sinx2 + y2dxdy

unde D este domeniul dat de

{x2 + y2 4pi2x2 + y2 pi2

11. Calculati aria domeniului D din primul cadran marginit de curbele{xy = p

xy = qsi

{y = ax

y = bx, cu 0 < p < q, 0 < a < b.

12. Calculati aria domeniuluiDmarginit de curbele

{y2 = px

y2 = qxsi

{x2 = ay

x2 = by,

cu 0 < p < q, 0 < a < b.

13. Sa se gaseasca volumul unui corp marginit de planul XOY si de pla-nele x = 0, x = a si y = 0, y = b si superior de suprafata 2z = x

2

p +y2

q

14. Facand o schimbare de variabila convenabila sa se calculeze integrala

I =

D

dxdy

(1 + x2 + y2)2

unde D este domeniul: x2 + y2 2y

Indicatie: Observ mai ntai ca D este interiorul cercului

x2 + (y 1)2 = 1.

Se trece la coordonate polare (, ) si, din inegalitatea care da pe D,

vom obtine noul domeniu :

{0 pi0 2 sin

. Conform schimbarii

de variabila si a reducerii vom obtine ca

I =pi

2 1

2

pi0

1

1 + 4 sin2 d


care se va rezolva cu substitutia

tg = t

si cu formulele trigonometrice

sin =t

1 + t2, cos =

11 + t2


I =

D

(x2 + y2

)dxdy

unde D este domeniul: x2 + y2 x si x2 + y2 2x

Indicatie: Observ mai ntai ca D este dat de exteriorul cercului(x 1

2

)2+ y2 =

1

4

si de interiorul cercului (x 1)2+y2 = 1. Se trece la coordonate polare(r, ) si, din inegalitatea care da pe D, vom obtine noul domeniu :{ pi/2 pi/2

cos 2 cos . Conform schimbarii de variabila si a reducerii

vom obtine ca

I =15

4

pi/2pi/2

cos4 d

care se va rezolva cu formula trigonometrica

cos2 =1 + cos 2

2


I =

D

dxdy

(1 + b2x2 + a2y2)2

unde D este domeniul: x2

a2+ y

2

b2 1

53

Indicatie: Observ mai ntai caD este dat de interiorul elipsei x2

a2+ y

2

b2=

1. Se trece la coordonate polare generalizate (r, ) date de ecuatiile{x = a cos

y = b sin si, din inegalitatea care da pe D, vom obtine noul

domeniu :

{0 2pi0 1

. Conform schimbarii de variabila si a

reducerii vom obtine ca

I = 2pi

10

ab

(1 + a2b22)2d

17. (Tema) Calculati

I =

D

1 x2 y21 + x2 + y2

dxdy

unde D este sfertul din primul cadran al discului x2 + y2 1

18. (Tema) Calculati

I =

D

xyx2 + y2

dxdy

undeD este sfertul din primul cadran al interiorului elipsei x2

a2+ y

2

b2

1

19. Sa se calculeze masa si coordonatele centrului de greutate ale placiiD = {x+ y 1, x 0, y 0} daca densitatea este (x, y) = xy

Indicatie: Masa m a placii D este data de

m =

D

(x, y) dxdy

iar coordonatele centrului de greutate G (xG, yG) sunt date dexG =

1m

Dx (x, y) dxdy

yG =1m

Dy (x, y) dxdy

.


20. Sa se calculeze masa si coordonatele centrului de greutate ale placiiD =

{x2 + y2 a2, x2 + y2 ax, y 0} daca densitatea este (x, y) =

1

Indicatie: Observ caD este dat de interiorul cercului x2+y2 = a2 si deexteriorul cercului

(x a2

)2+ y2 = a

2

4 . Se trece la coordonate polare(, ) si, din inegalitatea care da pe D, vom obtine noul domeniu :{

0 pi/2a cos a

.

21. Sa se calculeze volumul corpului marginit de planele x = 0, y = 0, z =0, de cilindrul x2 + y2 = R2 si superior de catre paraboloidul hiper-bolic 5z = xy

Indicatie: Volumul

V =D

f (x, y) dxdy

unde z = f (x, y) este ecuatia suprafetei ce margineste superior volu-mul, iar (x, y) D unde D este proiectia suprafetei pe planul XOY .In cazul nostru D este sfertul de disc x2 + y2 R2, x, y 0


I =

D

cos (x+ y) dxdy,

unde D este dreptunghiul D =[0,pi

4

][0,pi

2

].


I =

D

x cos (xy) dxdy,

unde D este dreptunghiul D = [1, 2] [0, pi] .

55


I =

D

(x+ 2y) dxdy,

undeD este domeniul marginit de curbele y = 2x, y = 3x2 si x = 0.


I =

D

(2x+ 5y) dxdy,

unde D este domeniul marginit de curbele y = 0, y = 4, x = 4 siy = x2.

26. Sa se calculeze volumul cilindroidului

C ={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 25, y 34x, z xy

}(este corpul marginit superior de catre paraboloidul hiperbolic z = xysi cu proiectia pe planul x0y data de portiunea de disc x2 + y2 25, y 34x ).


I =

D

(1 + x) dxdy,

unde

D =

{(x, y) R2 : y |x| , y 1

2x+ 2

}.


I =

D

y

1 + xdxdy,

unde D este domeniul marginit de curbele x2 + y2 = 25 si x2 + y2 254 x = 0.



I =

D

1

1 + x2 + y2dxdy,

unde

D ={

(x, y) R2 : 0 y

3x, 1 x2 + y2 4}.

Capitolul 5

Integrale de suprafata

Teoria:

1. Teorema 1. (de reducere a integralei de suprafata de specia I) Inte-

grala de suprafata de specia I se noteaza cuS

f (x, y, z) d, unde d

este elementul de arie al suprafetei.

A) Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = z (x, y), cu(x, y) D unde D este proiectia suprafetei S pe planul XOY . Atunciare loc reducerea integralei de suprafata:

Sf (x, y, z) d =

Df (x, y, z (x, y))

1 + p2 + q2dxdy

undep = zx , q = z

y .

B) Daca suprafata S este data prin ecuatiile parametrice

x = x (u, v)

y = y (u, v)

z = z (u, v)

, (u, v) (domeniu de variatie pentru u si v). Atunci are loc redu-cerea integralei de suprafata:

Sf (x, y, z) d =

Df (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v))

EG F 2dudv

57

58 5. Integrale de suprafata

unde E = (xu)

2 + (yu)2 + (zu)

2 ,

G = (xv)2 + (yv)

2 + (zv)2 ,

F = xu xv + yu yv + zu zv .

2. Teorema 2. (de reducere a integralei de suprafata de specia II) Inte-grala de suprafata de specia II se noteaza cu

SP (x, y, z) dydz +Q (x, y, z) dxdz +R (x, y, z) dxdy

Are loc reducerea integralei de suprafata:SPdydz +Qdxdz +Rdxdy =

S

(P cos+Q cos +R cos ) d,

unde cos, cos, cos sunt cosinusii directori ai normalei (adica un-ghiurile , , sunt unghiurile facute de normala la suprafata S cuaxele Ox,Oy respectiv Oz).

Daca suprafata este data parametric atunci avem formulele

cos = AA2 +B2 + C2

, cos = BA2 +B2 + C2

,

cos = CA2 +B2 + C2

,

unde A,B,C sunt determinantii functionali definiti de

A :=D (y, z)

D (u, v)= yuz

v yvzu , B :=

D (z, x)

D (u, v)= zux

v zvxu ,

C :=D (x, y)

D (u, v)= xuy

v xvyu .

Este utila si egalitatatea

A2 +B2 + C2 = EG F 2

Pe de alta parte elementul de suprafata are expresia

d =A2 +B2 + C2 dudv =

EG F 2 dudv

59

deci are loc formula de calcul pentru integrala de suprafata de al doi-lea tip

SPdydz +Qdxdz +Rdxdy =

S

(P cos+Q cos +R cos ) d.

Inlocuind acum formulele de calcul pentru cosinusii directori obtinemteorema de reducere a integralei de suprafata de al doilea tip:

SPdydz +Qdxdz +Rdxdy =

D

[P A+Q B +R C] dudv,

unde semnul corespunde celor doua fete ale suprafetei.

3. Observatia 1. La integrala de suprafata de specia II conteaza fatasuprafetei (ceea ce va da orientarea normalei).

4. Teorema 3. - Formula lui Stokes

Fie S o suprafata neteda marginita de (curba) conturul . Fie functiileP (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z) cu derivatele partiale continue. Atunciare locPdx+Qdy +Rdz

=

S

(Q

x Py

)dxdy +

(R

y Qz

)dydz +

(P

z Rx

)dzdx

5. Teorema 4. Aria unei suprafete S este data de

AS =

Sd

Aplicatii:

1. Sa se calculeze

S

(x2 + y2

)d, unde (S) este emisfera superioara

x2 + y2 + z2 = R2, z 0.


Indicatie: Pentru a calcula aceasta integrala folosim ecuatiile para-metrice ale sferei:

(5.1)

x = R sin cos,

y = R sin sin,

z = R cos ,

unde [0, pi], [0, 2pi]. Deoarece lucram pe emisfera superioaravom lua, evident, [0, pi/2], [0, 2pi]. Calculam coeficientii

E = (x)2 + (y)

2 + (z)2

= (R cos cos)2 + (R cos sin)2 + (R sin )2 = R2

G =(x)2

+(y)2

+(z)2

= (R sin sin)2 + (R sin cos)2 + 02 = R2 sin2 F = x x + y y + z z == (R cos cos) (R sin sin) + (R cos sin) (R sin cos)

+0 (R sin ) = 0deci

(5.2) d =R4 sin2 dd = R2 sin dd

Deci integrala de suprafata este egala cu o integrala dubla calculatape dreptunghiul D = [0, pi/2] [0, 2pi]

Iz =

S

(x2 + y2

)d

=

D

(R2 sin2 cos2 +R2 sin2 sin2

)R2 sin dd

=

pi/20

( 2pi0

R4 sin3 d

)d = 2piR4

pi/20

sin3 d = calcul tema . . .

(am obtinut integrale de functii trigonometrice).

2. (Tema) Sa se calculeze

S

(x2 + y2

)d, unde (S) este sfera x2 + y2 +

z2 = R2.

61

3. Sa se calculeze

S

(x2 + y2

)d, unde S este emisfera{

x2 + y2 + z2 = a2,

z 0.

Indicatie: Suprafata x2 +y2 +z2 = a2 este o sfera cu centrul n originede raza a. Putem folosi ecuatiile parametrice ale sferei dar si ecuatiileexplicite ale emisferei superioare.

Ecuatiile explicite ale celor doua emisfere sunt

z = a2 x2 y2

In cazul nostru avem emisfera superioara (z 0) care are deci ecuatiaexplicia

z =a2 x2 y2.

Elementul de suprafata este dat n acest caz de

d =

1 + p2 + q2dxdy , p = zx, q = zy

decip =

2x2a2 x2 y2 , q =

2y2a2 x2 y2

si

d =

1 +

x2

a2 x2 y2 +y2

a2 x2 y2 dxdy =

a2

a2 x2 y2 dxdy

=a

a2 x2 y2 dxdy

Integrala este atunci data de urmatoarea integrala dubla calculata dediscul D care este proiectia suprafetei S pe planul x0y, adica

D ={

(x, y) R2 : x2 + y2 a2}I =

D

(x2 + y2

) aa2 x2 y2dxdy

= a 2pi

0

( a0

2 cos2 +2 sin2 a22 cos2 2 sin2 d

)d =

= a

2pi0

d a

0

3a2 2 d = 2api

a03(a2 2)1/2 d

S-a obtinut o integrala binoma.


4. Sa se calculeze

S

(x2 + y2 + z

)d, unde (S) este portiunea din suprafata

z = 4 x2 y2 situata n semispatiul superior.Indicatie: Suprafata z = 4x2y2 este un paraboloid cu axa de sime-trie Oz, cu varful (punct de maxim) n punctul V (0, 0, 4). Avem deciecuatia explicita z = 4x2y2 cu (x, y) D = {(x, y) R2 : x2 + y2 4}(deoarece D este proiectia suprafetei S pe planul x0y, deci D este undisc de raza 2). Elementul de suprafata este dat n acest caz de

d =

1 + p2 + q2dxdy, p = zx, q = zy

decip = 2x, q = 2y d =

1 + 4x2 + 4y2dxdy

Integrala este atunci data de urmatoarea integrala dubla calculata dediscul D:

I =

D

(x2 + y2 + 4 x2 y2)1 + 4x2 + 4y2dxdy

= 4

D

1 + 4x2 + 4y2dxdy =

= 4

2pi0

( R0

1 + 42 cos2 + 42 sin2 d

)d =

= 4

( 2pi0

d

)( R0

1 + 42d

)=

8pi

8

R0

(1 + 42

)1/2 (1 + 42

)d

= . . . . . .

5. Sa se calculeze

S

x2 + y2d, unde S este dat de

{z2 = b

2

a2

(x2 + y2

),

0 z b.Indicatie: Suprafata z2 = b

2

a2

(x2 + y2

)este un con cu varful n origine

si cu sectiunile prin plane paralele cu planul xOy, cercuri. Ecuatiaexplicita este z = ba

x2 + y2 si tinand cont de 0 z b obtinem

ecuatia explicita

z =b

a

x2 + y2 , 0 z b

Intesectia conului cu planul z = b este data de{z2 = b

2

a2

(x2 + y2

)z = b

63

deci b2

a2

(x2 + y2

)= b2 x2 + y2 = a2, adica un cerc de raza a.

Proiectia pe planul xOy este domeniulD ={

(x, y) R2 : x2 + y2 a2}.Calculam

p =b

a

2x

2x2 + y2

, q =b

a

2y

2x2 + y2

d =

1 +b2

a2x2

x2 + y2+b2

a2y2

x2 + y2dxdy =

1 +

b2

a2dxdy =

Integrala este atunci data de urmatoarea integrala dubla calculata dediscul D:

I =

D

x2 + y2

a2 + b2

adxdy

=

a2 + b2

a

2pi0

( a0

2 cos2 + 2 sin2 d

)d =

=

a2 + b2

a

( 2pi0

d

)( a02d

)= ...

6. (vezi Cursul) Sa se calculeze aria sferei de raza R.

7. Sa se calculeze aria laterala a suprafetei cilindrice:

{x2 + y2 = R2,

z [0, l](se vor folosi coordonatele cilindrice (vezi Curs) pentru a parametrizasuprafata cilindrica).

8. Sa se calculeze

S(x+ y + z)1 d, unde S este suprafata plana x+

y + z = a decupata de planele de coordonate.

Indicatie: Suprafata este ABC undeA (a, 0, 0), B (0, a, 0), C (0, 0, a).Proiectia pe planul xOy (de ecuatie z = 0) este placa triunghiularaOAB. Ecuatia explicita a lui (S) este z = a x y, (x, y) OAB.Avem

d =

3dxdy

iar

I = =

3

a

a0

( ax0

dy

)dx = = a

3

2.


9. Sa se calculeze

Syzdydz+xzdzdx+xydxdy, unde S este suprafata

plana x+ y + z = a decupata de planele de coordonate.

10. (Tema) Sa se calculeze

Syzdydz + xzdzdx + xydxdy, unde S este

tetraedrul limitat de x = 0, y = 0, z = 0 si x+ y + z = a.

11. Sa se calculeze integrala de suprafata de tipul al doilea I =

Sx2dydz+

y2dxdz + zdxdy, unde (S) este fata exterioara a emisferei superioarede raza R cu centrul n origine.

Suprafata (S) este data de ecuatiile parametrice (5.1). Trebuie calculatideterminantii functionali A,B,C

A :=D (y, z)

D (, )= yz

yz , B :=

D (z, x)

D (, )= zx

zx ,

C :=D (x, y)

D (, )= xy

xy

Deci

A = . . . = R2 sin2 cos , B = . . . = R2 sin2 sin ,

C = . . . = R2 sin cos

Integrala devine

I =

Sx2dydz + y2dxdz + zdxdy

=

S

[(R sin cos)2(R2 sin2 cos

)+ (R sin sin)2

(R2 sin2 sin

)+ (R cos )

(R2 sin cos

)]dd

= . . . Calcul tema . . .


12. Sa se calculeze I =

S

z1 + x2 + y2

d, unde S este portiunea din

paraboloidul hiperbolic z = xy obtinuta pentru (x, y) [0, 1] [0, 1](suprafata taiata din paraboloidul hiperbolic z = xy de catre paraleli-pipedul (x, y) [0, 1] [0, 1]).

65

13. Sa se determine aria suprafetei taiata din paraboloidul hiperbolic z =xy de catre cilindrul circular x2 + y2 = R2.

Avem AS =

Sd iar elementul de suprafata este dat n acest caz

ded =

1 + p2 + q2dxdy, p = zx, q = z

y

cu z = xy, (x, y) D = {(x, y) R2 : x2 + y2 R2}, decip = y, q = x d =

1 + x2 + y2dxdy

Aria este atunci data de urmatoarea integrala dubla calculata de dis-cul D:

AS =D

1 + x2 + y2dxdy

=

2pi0

( R0

1 + 2 cos2 + 2 sin2 d

)d =

=

( 2pi0

d

)( R0

1 + 2d

)=

2pi

2

R0

(1 + 2

)1/2 (1 + 2

)d =

= pi

(1 + 2

)1/2+11/2 + 1

=R

=0

=2pi

3

((1 +R2

)3/2 1) .

14. Sa se determine aria suprafetei de rotatie (S) :

x = u cos v,

y = u sin v,

z = f (u) ,

cu

(u, v) [u1, u2] [0, 2pi].AvemAS =

Sd iar elementul de arie al suprafetei este dat n acest

caz ded =

EG F 2dudv,

Calculam

E = (xu)2 + (yu)

2 + (zu)2 = (cos v)2 + (sin v)2 + (f (u))2 = 1 + (f (u))2

G = (xv)2 + (yv)

2 + (zv)2 = (u sin v)2 + (u cos v)2 + 0 = u2

F = xu xv + yu yv + zu zv = u sin v cos v + u cos v sin v + 0 f (u) = 0


Aria este atunci data de urmatoarea integrala dubla calculata de drept-unghiul D = [u1, u2] [0, 2pi]:

AS =D

EG F 2dudv =

D

u2(

1 + (f (u))2)dudv =

=

2pi0

( u2u1

|u|

1 + (f (u))2du)dv = 2pi

u2u1

|u|

1 + (f (u))2du

15. Sa se calculeze integrala de suprafata de primul tip:

I =

S

x2

a4+y2

b4+z2

c4d,

unde (S) este elipsoidul x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1

Folosim ecuatiile parametrice ale elipsoiduluix = a sin cos,

y = b sin sin,

z = c cos ,

unde [0, pi], [0, 2pi]. Calculam coeficientii

E = (x)2 + (y)

2 + (z)2 = (a cos cos)2 + (b cos sin)2 + (c sin )2

G =(x)2

+(y)2

+(z)2

= (a sin sin)2 + (b sin cos)2 + 02

F = x x + y y + z z == (a cos cos) (a sin sin) + (b cos sin) (b sin cos) + 0 (c sin )

deci

EG F 2 = ...calcule...= b2c2 sin4 cos2 + a2c2 sin4 sin2 + a2b2 sin2 cos2

si atunci

d =EG F 2dd =

= abc

sin2 cos2

a2+ sin

2 sin2 b2

+ cos2 c2

sin dd

67

Pe de alta partex2

a4+y2

b4+z2

c4= ...calcule... =

sin2 cos2

a2+

sin2 sin2

b2+

cos2

c2

Deci integrala de suprafata este egala cu o integrala dubla calculatape dreptunghiul D = [0, pi] [0, 2pi]S

x2

a4+y2

b4+z2

c4d

=

D

abc

(sin2 cos2

a2+

sin2 sin2

b2+

cos2

c2

)sin dd

=

pi0

( 2pi0

abc

(sin2 cos2

a2+

sin2 sin2

b2+

cos2

c2

)sin d

)d

= calcul tema....


16. Sa se gaseasca aria portiunii de suprafata sectionata de cilindrul elip-tic x

2

a2+ y

2

b2= 1 din paraboloidul eliptic 2z = x

2

a +y2

b

17. Sa se calculeze aria elipsoidului x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1 (se va folosi para-

metrizarea elipsoidului)

18. Sa se gaseasca masa si centrul de greutate al unei emisfere superioaredaca densitatea este (x, y, z) =

x2 + y2

Aplic formulele de calcul pentru masa si pentru coordonatele centru-lui de greutate G (xG, yG, zG):

m =

S (x, y, z) d

respectiv

xG =1m

Sx (x, y, z) d

yG =1m

Sy (x, y, z) d

zG =1m

Sz (x, y, z) d

Folosim ecuatiile parametrice ale emisferei superioare (vezi si rezol-varea Exercitiului 1).


19. Sa se determine momentele de inertie n raport cu planele de coordo-nate ale suprafetei conice omogene z2 = h

2

R2

(x2 + y2

), 0 z h

Aplic formulele de calcul pentru momentele de inertie n raport cuplanele de coordonate:

xG =1m

Sx (x, y, z) d

yG =1m

Sy (x, y, z) d

zG =1m

Sz (x, y, z) d

Avem ecuatia explicita a conului

z =h

R

x2 + y2 , 0 z h

Trebuie determinata intersectia conului cu planul z = h, si apoi D,adica proiectia suprafetei pe planul xOy (vezi si rezolvarea Exercitiului5).

20. Sa se verifice formula lui Stokes pentru functiile P = x2y3, Q = 1, R =

z daca conturul () este cercul

{x2 + y2 = a2

z = 0iar suprafata (S) este

emisfera

{x2 + y2 + z2 = a2

z 0

Indicatie: Trebuie sa verificam egalitateaPdx+Qdy +Rdz

=

S

(Q

x Py

)dxdy +

(R

y Qz

)dydz +

(P

z Rx

)dzdx

sau echivalentx2y3dx+ dy + zdz =

S

(0 3x2y2) dxdy + 0dydz + 0dzdx

= 3

Sx2y2dxdy

69

21. Sa se calculeze

Sxdydz+ydxdz+zdxdy, unde S este fata exterioara

a sferei

{x2 + y2 + z2 = a2

x, y, z 0

22. Sa se calculeze

Szdxdy, unde S este fata exteriara a elipsoidului{

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1

z 0Observ ca P = 0, Q = 0, R = z deci

Szdxdy =

S

(0 cos+ 0 cos + z cos ) d =

Sz cos d

si deci nu trebuie sa calculam cos si cos.

Capitolul 6

Integrala tripla

Teoria:

1. Teorema 1. (de reducere a integralei triple)

Integrala tripla se noteaza cu

V f (x, y, z) dxdydz.

Daca, V are explicitarea V :

{(x, y) Dg1 (x, y) z g2 (x, y)

, atunci are loc

reducereaVf (x, y, z) dxdydz =

D

( g2(x,y)g1(x,y)

f (x, y, z) dz

)dxdy

2. Teorema 2. (schimbarea de variabila n integrala tripla)

Presupunem ca V este dat de ecuatiile parametrice V :

x = x (, , )

y = y (, , )

z = z (, , )

unde (, , ) . Vom calcula iacobianul J not= D(x,y,z)D(,,)def=

x

y

z

x

y

z

x

y

z

.Atunci are loc schimbarea de variabila n integrala tripla

(6.1)

Vf (x, y, z) dxdydz

=

f (x (, , ) , y (, , ) , z (, , )) |J | ddd

71

72 6. Integrala tripla

3. Corolar 1.

a) Coordonate sferice (coordonate polare n spatiu)

Acestea sunt date dex = sin cos

y = sin sin

z = cos

, [0,), [0, pi] , [0, 2pi] .

In functie de domeniul V trebuie determinate, mai precis, intervalelede variatie pentru , , , adica domeniul .Jacobianul este n acest caz dat de

J =

cos sin sin sin cos

sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin

.Se pot face calcule dezvoltand dupa a doua linie si se va obtine

J = 2 sin

Deci (6.1) devineVf (x, y, z) dxdydz

=

f (x (, , ) , y (, , ) , z (, , )) 2 sin ddd

b) Coordonate sferice generalizate (coordonate polare generalizaten spatiu)

Acestea sunt date dex = a sin cos

y = b sin sin

z = c cos

, [0,), [0, pi] , [0, 2pi] .

In functie de domeniul V trebuie determinate, mai precis, intervalelede variatie pentru , , , adica domeniul .

73

Iacobianul este n acest caz dat de

J =

a cos sin b sin sin c cos

a sin cos b cos sin 0

a cos cos b sin cos c sin

Se pot face calcule dezvoltand dupa a doua linie si se va obtine

J = abc2 sin .

Deci (6.1) devineVf (x, y, z) dxdydz

=

f (x (, , ) , y (, , ) , z (, , )) abc2 sin ddd

4. Teorema 3.

Volumul V al unui corp V este dat de

V =

Vdxdydz

5. Teorema 4.

Fie un corp V de densitate (x, y, z). Atunci masa este data de

m =

V (x, y, z) dxdydz

iar coordonatele centrului de greutate G (xG, yG, zG) sunt date dexG =

1m

V x (x, y, z) dxdydz

yG =1m

V y (x, y, z) dxdydz

zG =1m

V z (x, y, z) dxdydz

6. Teorema 5. (Formula lui Gauss-Ostrogradski)

Fie corpul V marginit de suprafata S care este fata exterioara a lui V ,atunci are loc urmatoarea formula de legatura dintre intregrala triplasi integrala de suprafata de specia a doua.

SPdydz +Qdzdx+Rdxdy =

V

(P

x+Q

y+R

z

)dxdydz


Enunturile problemelor:

1. Sa se calculeze

I =

V

dxdydz

(x+ y + z)2,

unde V = [1, 3] [0, 1] [0, 2].Indicatie:

I =

31

( 10

( 20

1

(x+ y + z)2dz

)dy

)dx

=

31

( 10

( 20

(x+ y + z)2 dz)dy

)dx

=

31

10

(x+ y + z)11

z=2

z=0

dy dx

= 3

1

( 10

((2 + x+ y)1 (x+ y)1

)dy

)dx

2. Sa se calculeze

I =

V

dxdydz

(1 + x+ y + z)3,

unde V este marginit de planele x = 0, y = 0, z = 0 si de planulx+ y + z = 1

Indicatie: Explicitarea lui V :

{(x, y) D0 z 1 x y

unde domeniul

D este dat de placa triunghiulara D :

{0 x 1,0 y 1 x.

3. Sa se calculeze

I =

Vydxdydz ,

unde V este tetraedrul din primul octant marginit de planele de co-ordonate x = 0, y = 0, z = 0 si de planul x+ y + z = 2.

75


{(x, y) D0 z 2 x y

unde domeniul

D este proiectia volumului V pe planul xOy, deci este placa triun-

ghiulara D :

{0 x 20 y 2 x

.

I =

D

( 2xy0

ydz

)dxdy =

20

( 2y0

( 2xy0

ydz

)dy

)dx

4. Sa se calculeze

I =

Vzdxdydz ,

unde V este jumatatea superioara a elipsoidului x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1


(x, y) D0 z c1 x2a2 y2

b2

unde do-

meniul D este dat de interiorul de elipsa D : x2

a2+ y

2

b2 1.

5. Sa se calculeze

I =

Vzdxdydz ,

unde V este marginit de suprafata conica z2 = h2

R2

(x2 + y2

), 0 z

h


{(x, y) DhR

x2 + y2 z h

unde domeniul

D este discul D : x2 + y2 R2.

6. Sa se calculeze

I =

V

(x+ y + z)2 dxdydz ,

unde V este dat de V :

{x2 + y2 2az (paraboloid)x2 + y2 + z2 3a2 (sfera)

Indicatie: Mai ntai determin intersectia celor doua corpuri. Decix2 + y2 = 2az si introduc n a doua ecuatie: 2az + z2 = 3a2 (z a) (z + 3a) = 0 si deoarece z 0 aleg solutia z = a. deci obtin


x2 + y2 =(a

2)2

care este ecuatia cercului n care se ntalneste para-

boloidul cu sfera. Explicitarea lui V :

{(x, y) Dx2+y2

2a z

3a2 x2 y2unde domeniul D este discul D : x2 + y2 (a2)2 .

7. Sa se calculeze

I =

V

(x2 + y2

)zdxdydz ,

unde V este marginit de paraboloidul z = x2 +y2 si de sfera x2 +y2 +z2 = 6 si contine o parte din portiunea nenegativa a axei Oz.


{(x, y) Dx2 + y2 z

6 x2 y2

unde

domeniul D este proiectia volumului V pe planul xOy (se determinamai ntai sferei x2 + y2 + z2 = 6 cu paraboloidul z = x2 + y2), decieste discul D : x2 + y2 2.

I =

D

( 6x2y2x2+y2

(x2 + y2

)zdz

)dxdy.

8. Sa se determine volumul corpului dat de z2

h2 x2 + y2, 0 z h.

Indicatie: volumul lui V este dat de

V =

Vdxdydz

Explicitarea lui V :

{(x, y) Dhx2 + y2 z h

unde domeniul D este

proiectia volumului V pe planul xOy (se determina mai ntai intersectiaplanului z = h > 0 cu paraboloidul z

2

h2= x2 + y2), deci este discul

D : x2 + y2 1.

I =

D

( hhx2+y2

dz

)dxdy.

Pentru calculul integralei duble folosim coordonate polare.

77

9. Sa se calculeze

I =

V

(x2 + y2 + z2

)dxdydz ,

unde V este bila nchisa de raza R cu centrul n origine.

Indicatie: Pentru a calcula integrala tripla vom folosi coordonate sfe-rice cu [0, R] , [0, pi] , [0, 2pi], J = 2 sin . Deci

V = R

0

( pi0

( 2pi0

(( cos sin )2 + ( sin sin )2

+ ( cos )2) |J | d)d)d.

10. Sa se calculezeI =

V

dxdydzx2 + y2 + z2

,

unde V este situat n semispatiul superior si este delimitat de sferelex2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 9 si de conul z =

x2 + y2.

Indicatie: Pentru a calcula integrala tripla vom folosi coordonate sfe-rice cu [1, 3] , [0, pi/4] , [0, 2pi], J = 2 sin . Deci

V = 3

1

( pi/40

( 2pi0

1( cos sin )2 + ( sin sin )2 + ( cos )2

|J | d)d)d.

11. Sa se calculezeI =

V

(x2 + y2

)dxdydz

unde V este coroana circulara marginita de cilindrii circulari x2+y2 =4, x2 + y2 = 9 si de planele z = 0 si de z = 1.

Indicatie: Pentru a calcula integrala tripla vom folosi coordonatelecilindrice unde [2, 3] , [0, 2pi] , z [0, 1], J =.....calcule....= .Deci

V = 3

2

( 2pi0

( 10

(( cos )2 + ( sin )2

)|J | dz

)d

)d.


12. Sa se determine volumul corpului situat n semispatiul superior z 0 si marginit de suprafetele x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = b2,x2 + y2 = z2, a < b.

Indicatie: Pentru a calcula integrala tripla vom folosi coordonate sfe-rice cu [a, b] , [0, pi/4] , [0, 2pi], J = 2 sin . Deci

V = ba

( pi/40

( 2pi0|J | d

)d

)d.

13. Sa se calculeze

I =

V

(x2

a2+y2

b2+z2

c2

)dxdydz ,

unde V este data de 1 x2

a2+y2

b2+z2

c2 4.

Indicatie: Pentru a calcula integrala vom folosi coordonate sferice ge-neralizate cu [1, 2] , [0, pi] , [0, 2pi], J = abc2 sin . Deci

V = 2

1

( pi0

( 2pi0

((a cos sin )2a2

+(b sin sin )2

b2

+(c cos )2

c2

)|J | d

)d)d.

14. Sa se transforme cu ajutorul formulei lui Gauss-Ostrogradski urmatoareaintegrala de suprafata de specia a doua

I =

Sx2dydz + y2dzdx+ z2dxdy ,

unde (S) este fata exterioara a elipsoidului x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1.

Indicatie: Observ ca P = x2, Q = y2, R = z2; pentru a calcula in-tegrala tripla pe interiorul unui elipsoid folosim coordonatele sfericegeneralizate.

15. Sa se calculeze integrala de suprafata de specia a doua

I =

Sx3y2dydz + x2y3dzdx+ 3zdxdy ,

79

unde S este fata exterioara a domeniului V marginit de paraboloiziiz = x2 + y2, z = 6 x2 y2

Indicatie: Conform formulei lui Gauss-Ostrogradski

I =

V

(3x2y2 + 3x2y2 + 3z

)dxdydz

unde V :

{(x, y) Dx2 + y2 z 6 x2 y2

iar domeniul D este proiectia

volumului V pe planul xOy (se determina mai ntai intersectia celordoi paraboloizi), deci este discul D : x2 + y2 3.

I =

D

( 6x2y2x2+y2

(3x2y2 + 3x2y2 + 3z

)dz

)dxdy

Pentru calculul integralei duble folosim coordonate polare.

16. Sa se calculeze volumul unui corp marginit de suprafata

a)(x2 + y2 + z2

)2= a3z, x, y, z 0

b)(x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2

)2= x

2yh3

, x, y, z 0

Indicatie: a) Pentru a calcula volumul V =

Vdxdydz aplic Co-

rolarul 1 adica trec la coordonate sferice. Suntem n primul octant(x, y, z 0) deci [0, pi/2] , [0, pi/2]. Pentru a determina folo-sim inegalitatea care-l da pe V : x2 + y2 + z2 a3z. Deci(

( cos sin )2 + ( sin sin )2 + ( cos )2)2 a3 cos

(2)2 a3 cos a 3cos adica 0 a 3cos . Deci :

0 a 3cos 0 pi/20 pi/2

si

evident J = 2 sin

b) Pentru a calcula volumul V =

Vdxdydz aplic Corolarul 1 si trec

la coordonate sferice generalizate. Suntem n primul octant (x, y, z


0) deci [0, pi/2] , [0, pi/2]. Pentru a determina folosim inega-litatea care-l da pe V :

(x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2

)2 x2yh3

. Deci((a cos sin )2

a2+ (b sin sin )

2

b2+ (c cos )

2

c2

)2 (a cos sin )2(b sin sin )

h3

0 4 a2bh33 cos2 sin3 sin

Deci :

0 a2b

h3sin3 cos2 sin

0 pi/20 pi/2

si evident J = abc2 sin .

17. Sa se determine masa si centrul de greutate al interiorului de sferax2 + y2 + z2 2az daca densitatea este (x, y, z) = k

x2+y2+z2

Indicatie: Pentru a calcula integralele triple vom trece la coordonatesferice. Observam mai ntai ca sfera este x2 + y2 + z2 = 2az x2 +y2 + z 2az = 0 x2 + y2 + (z a)2 = a2 deci are centrul n punctulC (0, 0, a) si raza a deci este situata deasupra planului z = 0 (planulX0Y ). Deci [0, pi/2] , [0, 2pi]. Pentru a determina folosiminegalitatea care-l da pe V : x2

culegere de probleme_maticiuc_am ii

Documents