curso de fortalecimiento a la ingenierÍa
TRANSCRIPT
1
CURSO DE FORTALECIMIENTO A LA INGENIERÍA Tema 1: Lenguaje matemático
Álgebra Notación algebraica Fórmulas Signos del álgebra (operación, relación, agrupación) Término, monomio, binomio, polinomio y grado Recta numérica
Tema 2: Igualdades y desigualdades
Igualdad algebraica Fórmula general Ecuaciones (definición, primero y segundo grado) Inecuaciones
Tema 3: Factorización
Definición Agrupación por término común Productos notables Cocientes notables Teorema del residuo
Tema 4: Sistema cartesiano
Evaluación de funciones Representación gráfica de las funciones Gráficas, aplicaciones prácticas
Tema 5: Trigonometría
Clasificación de los triángulos Funciones trigonométricas Teorema de Pitágoras Ley de senos y cosenos Identidades trigonométricas
Tema 6: Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones base a Funciones base e Logaritmos (definición y propiedades)
Tema 7: Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de solución o Eliminación o Sustitución o Igualación o Determinantes
2
TEMA 1
LENGUAJE MATEMÁTICO
ALGEBRA: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
En aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re presentar veinte o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque hay que dejar claro que en un problema, una letra no puede tomar un valor distinto al que se la ha asignado.
Notación algebraica: Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…Se les designa como constantes.
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Son las llamadas variables.
FORMULAS: Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.
Fórmula algebraica: es la representación por medio de letras de una regla o de un principio general. Así, para el área de un rectángulo ( que puede ser un terreno) se tiene: Área = base por altura.
Algebraicamente: A = b x h
Si b = 5 y h = 3 A = 5 x 3 = 15
Pero si b = 7 y h = 4 A = 7 x 4 = 28
3
SIGNOS DEL ALGEBRA.
Los signos empleados en álgebra son de tres clases: Signos de Operación, Signos de Relación y signos de Agrupación.
Signos de Operación: Son los empleados para las operaciones aritméticas.
Suma: + que se lee más: a + b
Resta: - que se lee menos: a – b
Multiplicación: x que se lee multiplicado por, o simplemente por: a x b. En lugar
del signo x suele emplearse un punto entre los factores a b
División: que se lee dividido entre, o simplemente entre. a b . También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal.
Así,
a
b
El signo de elevación a potencia es el exponente, un número pequeño colocado
arriba y a la derecha: a3 a a a
El signo de raíz: c llamado signo radical, que se lee raíz cuadrada de c, o bien 3 1728 que se lee raíz cúbica de 1728.
Signos de relación: Indican la relación existente entre dos cantidades.
El signo de igualdad: = que se lee igual a. a = b
El signo mayor: > que se lee mayor que. a > m
El signo menor: < que se lee menor que. c < n
Signos de agrupación: Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { }.
Así, (a + b)c indica que la suma de a y b debe multiplicarse por c.
[a – c]m indica que c debe restarse de a y el resultado multiplicado por m.
4
{a + b} {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
Cantidades Positivas y Negativas.
En álgebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser de la cantidad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo menos a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior y se les nombra cantidades negativas.
Así, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo menos. Por ejemplo una persona que posee $100 de haber diremos que tiene positivos $100, mientras que para expresar que debe $100 diremos que tiene -$100. En temperaturas, los grados por encima del cero se designan como positivas y los grados bajo cero con el signo menos. De esta manera para indicar que el
termómetro marca 10° sobre cero escribiremos +10° y para indicar que marca 8°
bajo cero, se escribe -8°
La fijación del sentido positivo, depende de nuestra voluntad, es decir que podemos tomar como sentido positivo el que queramos, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a este será el negativo. Así, hacia le derecha se considera comúnmente el + y hacia la izquierda será el -.
Cero es la ausencia de cantidad. Las cantidades positivas son mayores que cero y las negativas menores que cero. Esto se representa mediante la llamada recta numérica.
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Valor Absoluto y relativo: Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad y valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo. Las cantidades +7° y -7° tienen el mismo valor absoluto pero su valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero.
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
5
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o - . Por ejemplo 3b, 2xy, -4a2b.
Clasificación de las expresiones algebraicas.
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término
3a, -5b,
x2 y
4 a3 .
Binomio: Es una expresión algebraica que consta de dos términos:
a + b, x-y
Trinomio: Es una expresión algebraica que consta de tres términos.
a + b + c, x2 - 5x + 6, 5x2 – 6y3 + 3a2
Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de mas de un término, por lo que desde binomio en adelante también se pueden considerar polinomios.
a + b, a + b + c
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.
Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.
Así x4 - 5x3 + x2 - 3x el grado mayor de sus términos es el cuatro, luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
CLASIFIQUE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
5a Monomio de primer grado
a3 + a2 - 5 Trinomio de tercer grado
x4 + 4x3 – 6x2 - 4x Polinomio de cuarto grado
Resuelva:
Una persona recibe como salario $2500. Paga de tarjeta de crédito $600. Abona en la mueblería $300 y gasta $900 en la despensa. ¿Cuánto es su saldo al final del día?
Considerando positivo lo que recibe su salario y negativo lo que paga:
Sl = 2500, Tc = -600, Am = -300, D = -900
6
Saldo =2500 – 600 – 300 - 900
Saldo = 700
Al final del día cuenta con $700.00.
El campo eléctrico se define como la fuerza que una carga eléctrica puede ejercer sobre una partícula de prueba positiva. Por ello una carga eléctrica tiene como campo eléctrico fuerzas salientes de la partícula pues repele a la carga de prueba, mientras que una carga eléctrica negativa por atraer a la partícula de prueba, tendrá fuerzas entrantes.
7
TEMA 2
IGUALDADES Y DESIGUALDADES.
Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
a = b + c 3x2 = 4x + 15
Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades des conocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de la incógnita. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto, u, v, w, x, y,z.
Así, 5x + 2 = 17 es una ecuación porque es una igualdad en que hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3, ya que al sustituir x por 3 se tiene
5(3) + 2 = 17
Si se da a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.
La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para y = 2 e y = 3. En efecto, sustituyendo la y por 2, resulta:
22 – 5(2) = - 6
4 - 10 = - 6
- 6 = - 6
Sustituyendo la y por 3, tenemos:
32 – 5(3) = - 6
9 – 15 = - 6
- 6 = - 6
MIEMBROS Y TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN.
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro a la expresión que está a la derecha.
Así en la ecuación: 3x – 5 = 2x – 3,
3x – 5 es el primer miembro y 2x – 3 es el segundo miembro.
8
Términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro. Así en la ecuación: 3x – 5 = 2x – 3,
3x, -5, 2x y -3, son los términos de la ecuación.
CLASES DE ECUACIONES.
Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como 4x – 5 = x + 4
donde la única letra es la incógnita x.
Una ecuación literal es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidades conocidas, como 3x + 2a = 5b – bx.
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador, como en los ejemplos anteriores y es fraccionaria cuando alguno o todos sus términos tienen denominador, como:
3 x
2
6 x
55
x
5
El GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así:
4x – 6 = 3x -1 y ax + b = b2 x + c
son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales
La ecuación x2 – 5 x + 6 = 0
Es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de segundo grado se llaman ecuaciones cuadráticas.
RAÍCES O SOLUCIONES.
Los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas convierten la ecuación en identidad se llaman raíces o soluciones de la ecuación.
9
Así en la ecuación 5x – 6 = 3x + 8 la raíz es 7 porque al sustituir
5(7) – 6 = 3(7) + 8
35 – 6 = 21 + 8
29 = 29
Y vemos que 7 satisface la ecuación.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.
Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES.
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales.
REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA.
1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
LA TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro.
REGLA: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.
10
5x = 2a – b
Sumando b: 5x + b = 2a – b + b
5x + b = 2a
3x + b = 2a
Restando b: 3x + b – b = 2a – b
3x = 2a – b
Términos iguales con signos iguales en distintos miembros de una ecuación, pueden suprimirse.
x + b = 2a + b
Restando b: x + b -b = 2a + b – b
x = 2a
5x – x2 = 4x – x2 + 5
Sumando x2: 5x – x2 + x2 = 4x – x2 + x2 + 5
5x = 4x +5
CAMBIO DE SIGNOS.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por -1, con lo cual la igualdad no varía.
-2x – 3 = x – 15
-1(-2x – 3) = -1(x – 15)
2x + 3 = - x +15
11
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
REGLA GENERAL.
1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita
Resolver la ecuación 3x – 5 = x + 3
3x – x = 3 + 5
2x = 8
x =(8/2)
x = 4
Resolver las siguientes ecuaciones.
35 – 22 x + 6 – 18 x = 14 - 30 x +32
-22x -18x + 30x = 14 + 32 - 35- 6
- 10x = 5
x = (5/-10)
x
1
2
y – 5 = 3 y – 25
-5 + 20 = 3y - y
15 = 2y
y
15
2
12
Antonio tiene 14 años menos que Benito y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Siendo x la edad de Benito, la edad de de Antonio será x – 14, y la ecuación será
x + x – 14 = 56
2x = 56 + 14
2x = 70
x = 35 Es la edad de Benito
y x – 14 = 21 Es la Antonio
Resolver la ecuación:
8x -15x - 30 x -51x = 53x + 31x - 172
8 x 15 x 30 x 51 x 53 x 31 x 172
x 8 15 30 51 53 31( ) 172
x172
8 15 30 51 53 31( )
8 15 30 51 53 31 172
x172
172
x 1
0 0.5 1 1.5 2
20
0
20
172 x 172
0
x
13
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.
Toda ecuación en la cual una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2, se conoce como ecuación de segundo grado. Así
4x2 +7x + 6 = 0 Es una ecuación de segundo grado.
Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma
ax2 + bx + c = 0 Por ejemplo: 2x2 + 7x -15 = 0 y x2 - 8x + 15 = 0
Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma
ax2 +c = 0 o bien a2 + bx = 0.
Por ejemplo: x2 – 16 = 0 y 3x2 + 5x = 0
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces.
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la ecuación.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.
La ecuación es ax2 + bx + c = 0
Multiplicando por 4a 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Sumando b2 a los dos miembros 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2
Pasando 4ac al segundo miembro 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac
Factorizando el primer miembro (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros 2ax + b = ± b2
4 ac
Transponiendo b 2ax = - b ± b2
4 ac
Despejando x x
b± b2
4 ac
2 a
14
Fórmula que da las dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, porque en un caso se suma el radical y en otro se resta.
Resolver la ecuación 3x2 – 7x + 2 = 0
Aplicando la fórmula x
b± b2
4 ac
2 a , se tiene que a = 3, b = -7 y c =2
x
7( ) ± 7( )2
4 3 2
2 3
La primera raíz se obtiene con el valor positivo de radical:
x
7 49 24
6
x1
7 5
6
X1 = 2
La segunda raíz se obtiene con el valor negativo de la raíz:
x
7 49 24
6
x2
7 5
6
x1
x2
1
3
15
Resolver la ecuación:
6x2 = x +222
Transponiendo los términos del segundo al primer miembro para darle forma a la ecuación:
6x2 – x – 222 = 0 a = 6 b = -1 y c = -222
x
1( ) ± 1( )2
4 6 222( )
2 6
x1
1 1 5328
12
x1
1 73
12
x1
6.1667
La segunda raíz es:
x2
1 1 5328
12
x2
1 73
12
x2
6
16
Una aplicación de las ecuaciones de segundo grado es el movimiento de objetos.
Un objeto se mueve verticalmente de acuerdo a la ecuación sy = 60t – 16t2 estando sy en pies y t en segundos. Calcule el tiempo en que la posición es de 10 pies.
Sustituyendo el valor de 10 pies para sy.
10 = 60t – 16t2
Dando forma a la ecuación:
16 t2 – 60 t + 10 = 0 a = 16, b = - 60, c = 10
t 160 60( )
24 16 10( )
2 16t 1 3.5752
t 260 60( )
24 16 10( )
2 16 t 2 0.1748
Son los valores de tiempo para los que la posición del objeto será de 10 pies.
17
Resolver la ecuación
32x2 +18x -17 = 0 a =32, b = 18, c = -17
x 118 18
24 32 17( )
2 32x 1 0.5
x 218 18
24 32 17( )
2 32x 2 1.0625
3 2 1 0 1 2 3
0
50
100
150
200
32 x2
18 x 17
0
x
18
DESIGUALDADES. INECUACIONES.
Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a –b es positiva. Así, 4 es mayor que – 2 porque la diferencia 4-(-2) = 4 + 2 = 6 es positiva; -1 es mayor que -3 porque la diferencia -1 –(-3) = -1 + 3 = 2 es positiva.
Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a –b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia -1 -1 = - 2 es negativa; -4 es menor que -3 porque la diferencia -4 –(-3) = -4 + 3 = -1 es negativa.
De acuerdo a lo anterior cero es mayor que cualquier cantidad negativa. Así cero es mayor que -1 porque 0- (-1) = 1, cantidad positiva.
DESIGUALDAD es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Los signos de desigualdad son >, que se lee como mayor que, y <, que se lee como menor que. Así 5>3, que se lee 5 mayor que 3; -4 < -2 se lee -4 menor que -2.
MIEMBROS.
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo segundo miembro a la que está a la derecha del signo de la desigualdad.
Así, en a + b > c – d, el primer miembro es a + b y el segundo c – d.
TÉRMINOS de una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras por el signo + o – o la cantidad que está sola en un miembro. Así en la desigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.
Dos desigualdades son del mismo signo o susbsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos que los segundos.
Así a > b y c>d son desigualdades del mismo sentido.
Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.
Así, dada la desigualdad a > b, podemos escribir: a + c > b + c y a – c > b – c
19
CONSECUENCIA.
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
Así, en la desigualdad a > b + c, podemos pasar c al primer miembro con signo menos y quedará a – c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.
En la desigualdad a - b > c, podemos pasar b al segundo miembro con signo mas y quedará a > c + b, porque equivale a sumar b a los dos miembros.
2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.
Así, dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, se puede escribir
ac > bc y
a
c
b
c
CONSECUENCIA.
Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.
Así en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por –c, tendremos
- ac < - bc,
y dividiéndolos por –c, o sea multiplicando por
1
c , tenemos
a
c
b
c
.
CONSECUENCIA:
Si se cambia el signo a todos los términos , o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por – 1.
Así en la desigualdad a – b > -c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos b - a < c
20
4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.
Así, a > b, es evidente que b < a.
5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo
Así, siendo a > b se tiene
1
a
1
b
6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, siendo 5 > 3, elevando al cuadrado: 52 > 32 o sea 25 > 9.
7) Si los dos miembros, o uno de ellos es negativo, y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, -3 > -5, elevando al cubo: (-3)3 > (-5)3 o sea - 27 > - 125.
2 > - 2, elevando al cubo: 23 > (-2)3 o sea 8 > - 8.
8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.
Así. - 3 > - 5, elevando al cuadrado: (-3)2 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9 > 25
9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positivo, el signo de la desigualdad puede cambiar.
Así, 3 > - 5, elevando al cuadrado: 32 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9< 25, cambia.
8 > -2 , elevando al cuadrado: 82 = 64 y (-2)2 = 4 y queda 64 > 4 No cambia.
10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, a > b y n es positivo, tendremos n
an
b .
11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
Así, si a > b y c > d, tendremos: a + c > b + d y ac > bd.
21
12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.
Así, 10 > 8 y 5 > 2 , restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 – 2 = 6; luego 5 < 6; cambia el signo.
Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4, tenemos:
10
52
8
42
; por lo tanto queda 2 = 2, igualdad.
INECUACIONES.
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición.
Así, la desigualdad 2x – 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y solo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto, para x = 8 se convertiría en igualdad y para x < 8 se convertiría en una desigualdad de signo contrario. 16 – 3 = 8 + 5 7 – 3 = 4 y 7 + 5 = 12
13 = 13 4 < 12
Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación.
PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES.
La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de las mismas se derivan.
Resolver la inecuación 2x -3 > x + 5
Pasando la x al primer miembro y 3 al segundo: 2x – x > 5 + 3
Reduciendo: x > 8
8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada solo se verifica para los valores de x mayores que 8
22
INECUACIONES SIMULTÁNEAS.
Son inecuaciones que tienen soluciones comunes
Hallar que valores de x satisfacen las inecuaciones: 2x – 4 > 6 y 3x + 5 >14
Para la primera: 2x – 4 > 6 Para la segunda: 3x + 5 > 14
2x > 6 + 4 3x > 14 – 5
x10
2
x 5
El valor que satisface a las dos es x > 5 pues cualquier valor mayor a 5 será mayor que 3, y se satisfacen ambas inecuaciones.
Resolver la inecuación
7x
2
5 x
36
Suprimiendo denominadores, multiplicando por 6: 42 - 3x > 10x -36
Transponiendo: -3x -10x > - 36 – 42
Simplificando: -13x > -78
Para cambiar el signo se multiplica por -1 y con ello se invierte la desigualdad
13 x< 78
Dividiendo por 13
x78
13
x 6
La desigualdad se verifica para los valores de x menores que 6.
x9
3
x 3
23
Resolver la inecuación (x + 3)(x – 1) < (x -1)2 + 3 x
Efectuando las operaciones indicadas: x2 + 2x – 3 < x2 – 2x + 1 + 3x
Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x - 3x < 1 + 3
Simplificando: x < 4
4 es el límite superior de x.
Resolver la inecuación:
2 x5
3
x
310
2 xx
3
5
3x2 x
x
310
5
3
105
3
35
35
3x
35
3
5 x 35
x35
5 x 7
El l valor inferior de x es 7
Hallar el límite de las soluciones comunes a
5 – x > - 6 y 2x + 9 > 3x
- x >-6 – 5 -3x + 2x > – 9
-x > - 11 - x > - 9
x < 11 x < 9
El valor que cumple con ambas desigualdades es x < 9
Las inecuaciones se aplican para determinar el rango de una función.
24
Su representación es:
x
0 9
25
RESOLVER LAS ECUACIONES SIGUIENTES:
x2 - 8x + 16 = 0
Esta ecuación se puede factorizar como:
(x – 4)2 = 0
(x – 4) (x – 4) = 0
(x – 4) = 0
x = 4
Y la solución única es x = 4
x2 - 81 = 0
Se puede factorizar como:
(x + 9)(x – 9) = 0
x + 9 = 0 x – 9 = 0
x1 = - 9 Es una raíz x2 = 9 Es la segunda raíz.
x2 – 3x + 2 = 0
Se puede factorizar como:
(x – 2)(x – 1) = 0
x - 2 = 0 x – 1 = 0
x = 2 Es la primera raíz. x = 1 Es la segunda raíz.
Estos ejemplos pretenden mostrar la importancia de la factorización. Temas que se estudiarán enseguida.
26
2 1 0 1 2 3 4 52
0
2
4
6
8
10
x2
3 x 2
0
3 x 6
x 2
5 x 14
x
Para la línea secante hay un incremento en x y un incremento en ye
x = x2 – x1 y = y2 – y1
La distancia entre los dos puntos, con teorema de Pitágoras es:
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)
2
d x 1 x 22
y 1 y 22
Y el cociente de los incremento y y x es conocido como la pendiente, m:
my
x
Siendo b la ordenada al origen, la ecuación de la recta se escribe como
y = mx + b
LINEA TANGENTE
LINEA TANGENTE
LINEA SECANTE
27
TEMA 3
FACTORIZACIÓN
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
Factorizar o descomponer en dos factores
Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:
Factorizar o descomponer en dos factores
Factorizar:
Factorice ordenando previamente, si es posible, las expresiones siguientes:
54
Descomponer en dos factores:
Hallar por simple inspección, el cociente de:
Hallar por simple inspección, el cociente de:
Hallar por simple inspección, el cociente de:
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones
siguientes:
55
TEMA 4 SISTEMA CARTESIANO
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
Construya la gráfica de la función con un rango de valores entre
Para iniciar construimos una tabla para obtener los valores de que corresponden a cada valor de
con una variación de 0.5, para que la grafica sea más precisa, en la forma siguiente:
69
EVALUACIÓN SISTEMA CARTESIANO:
Determine gráficamente los puntos:
Trazar la línea que pasa por los puntos: .
Dibuje el cuadrado cuyos vértices son: (4,4), (-4,4), (-4,-4) y (4,-4).
Construya la gráfica de las ecuaciones
70
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
EL TRIANGULO Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
a). Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
Triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o π/3 radianes).
Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.
Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.eB = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos. Además se cumplen las igualdades
A + 2B = A +2C = 180º;
A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C
71
Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
b). Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos Obtusángulos
Acutángulos
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
72
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.
Grafica de funciones seno y coseno
Valor x Seno Coseno
Radianes Grados
-π -180
-5π/6 -150
-3π/4 -135
-2π/3 -120
-π/2 -90
-π/3 -60
-π/4 -45
-π/6 -30
0 0
73
π/6 30
π/4 45
π/3 60
π/2 90
2π/3 120
3π/4 135
5π/6 150
π 180
3π/2 270
2π 360
5π/2 470
74
Ejemplos.
1. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
Solución:
2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=415m y b=280m.
Resolver el triángulo. Solución:
75
3. El triángulo ABC es un triángulo escaleno, calcula x.
Solución:
Ejercicios Propuestos:
1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de los siguientes triángulos rectángulos:
a). b=56cm, a=62.3cm
b). b=33.6cm, c=4.5cm
76
c). c=16cm, a=36cm
2. En cada uno de los siguientes casos, se facilita la medida de los tres lados de un triángulo. Determina cuáles de ellos son rectángulos, obtusángulos o acutángulos.
a). 12cm, 16 cm y 20cm b). 13m, 12m y 10m c). 5cm, 10cm y 6cm d). 8mm, 5mm y 5mm e). 11m, 61m y 60m f). 40 cm, 41cm y 9cm
TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.
Si el triangulo rectángulo tiene catetos a y b, y su hipotensa es c; el teorema se representa matemáticamente como:
De la ecuación , se derivan
b
77
Ejemplos: 1. Determina la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triángulo
miden 3m y 4m respectivamente. Solución:
Aplicando la fórmula de manera directa:
2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y un cateto 3m.
¿Cuánto mide el otro cateto?
Solución:
De manera similar, se puede aplicar directamente la fórmula del teorema de Pitágoras, por lo que:
3. Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera está separada 6m de la pared. ¿A qué altura está la escalera sobre la pared? Solución:
De Pitágoras se tiene que:
78
Ejemplo de aplicación:
Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al sueloestá a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa?
Ejercicios Propuestos:
1. Halla la medida, en metros, de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 y 4 metros.
2. Halla la medida, en metros, del cateto desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 17 metros y el cateto conocido mide 15 metros.
3. Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros alcanza la escalera?
4. Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
5. La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya
base mide 1,6 metrosy cada uno de los lados iguales mide 170 centímetros.Calcula la altura en centímetros de esa tienda de campaña.
79
6. Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 metros. ¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?
7. Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?
8. Si nos situamos a 150 metros de distancia de un rascacielos, la visual al
extremo superior del mismo recorre un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del rascacielos?
9. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una
distancia horizontalde 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?
10. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la
distancia desdeel punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?
80
LEY DE SENOS Y COSENOS
Ley de senos
En trigonometría, el teorema de los senos o también conocido como ley de los senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Ley de cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c2 = a2 + b2 – 2abcos C.
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
b2 = a2 + c2 – 2accos B or
a2 = b2 + c2 – 2bccos A.
Teorema de los senos:
Si un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los
ángulos A,B y C son respectivamente a,b,c entonces:
81
Ejemplos:
1) Calcula los lados y el ángulo que falta en el siguiente triángulo oblicuángulo.
Calculando el lado b o el c, utilizando el TEOREMA DEL SENO. Para el lado b se tiene:
Calculando el lado c:
El ángulo C es fácil de calcular ya que se tiene a los otros dos. Sabiendo que la suma de los tres da 180°:
C = 180° – 40° – 75°
C = 65°
82
2) Calcula el lado y los ángulos que faltan del siguiente triángulo oblicuángulo.
Aquí no se puede utilizar el teorema del seno ya que siempre falta un dato. Por ejemplo, tenemos el lado c pero no su ángulo opuesto (C) o tenemos el ángulo (B) pero no su lado b. Lo mismo pasa con la relación (A) y a, falta el ángulo. Entonces en este caso, el TEOREMA DEL COSENO es el indicado ya que lo puede resolver.
Para hallar el lado b:
b = 1565 metros
Ahora se puede sacar el ángulo A o el C. Para el ángulo A:
Ahora se usa la función inversa para obtener el ángulo deseado.
83
Para calcular el ángulo C solo se resta a 180° el valor de los otros dos. Recordando que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo da 180°
C = 180° – 108° – 46° 50´34″
C = 25° 9´26″
Ejemplo de aplicación:
3. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
Solución:
Esquema de la situación.
El ángulo debajo del globo es de 110º porque si se trazara una perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda se tendría 50º y a la derecha 60º. Aquí se tiene que usar el TEOREMA DEL COSENO, porque el ángulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.
84
Ejercicios Propuestos.
1. En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:
2. Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
3. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Pedro hay 25 metros, y entre Pedro y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
4. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.
5. Calcule la distancia que debe recorrer un obrero para subir y bajar una carretilla por una rampa. Si se sabe que la base mide 28m y tiene una inclinación de 28° en la subida y 45°20´ en la bajada.
6. Se necesita cercar un terreno de forma triangular del que se conoce dos de los lados que lo forman, uno de 8m y otro de 10m de largo. Además, se sabe que el ángulo que forman estos lados es de 110°10´. Calcular el largo del alambre que se necesita usar.
85
7. Una torre inclinada 10° de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15m de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25°. Calcule la longitud del cable.
8. Una persona observa un avión y un barco desde la cúpula de un faro, tal
como lo muestra la figura. ¿cuál es la distancia que hay del barco al avión?
9. Un árbol es observado por dos puntos opuestos, separados 250m con
ángulos de elevación de 30° y 25°. ¿A qué distancia está la cúspide de cada punto de observación?
10. Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas que forman entre si un ángulo de 80°. Si las velocidades son 60 km/h y 100 km/h, ¿qué distancia los separa después de una hora y media de recorrido?
86
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Definición.
Es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifica para cualquier valor que se atribuye a dicho ángulo.
Las identidades trigonométricas se usan para cambiar la forma de una expresión trigonométrica. Esto es muy importante, ya que algunas formas de las funciones trigonométricas se manejan con más facilidad y con mayor utilidad que otras.
Identidades recíprocas:
Identidades de Relación:
Identidades Pitagóricas:
Identidades de Ángulo Duplo y la mitad de un ángulo:
87
Ejemplos:
Existen varios métodos para probar identidades trigonométricas, lo más sencillo es: “Expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno y se
efectúan las operaciones indicadas, sonsiguiéndose así la identidas de ambos miembros”.
Ejemplos.
Demostrar que:
1.
Solución:
2.
Solución:
88
3.
Solución:
Ejercicios Propuestos. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
89
TEMA 6 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE a. Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax, donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno.
Ejemplo:
Funciones exponenciales base a
FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE e. La función exponencial, es conocida formalmente como la funciónreal ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
90
Ejemplo:
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como
f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:
loga b = x.
91
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero.
Propiedades de de la función logarítmica:
Logaritmo del producto:
Logaritmo del cociente:
Logaritmo de la potencia:
Cambio de base:
Propiedad útil en la práctica:
Ejemplo:
Graficar
92
APLICACIONES DE TEMAS 5 Y 6
1. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.
2. Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies de un poste de
alumbrado público y proyecta una sombra de 10 pies de longitud. ¿cuál es la altura de el poste?
3. Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:
4. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol de 21m proyecta una sombra de 24m.
5. Dados los siguientes datos, calcule:
a. Calcula x e y en el triángulo.
93
b. Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos
6. Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°.
7. Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55º.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
8. Un edificio proyecta una sombra de 140m cuando el sol forma un ángulo de 25° sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.
9. Un cable está sujeto a un poste, formando un ángulo de 54°. Si el poste mide 5.3m, ¿cuánto medirá el cable?
10. Encontrar la altura de una montaña cuando el ángulo de elevación es de 60° y la distancia entre el punto de observación y la montaña es de 620 metros.
11. Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100m río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B
94
desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30° con nuestra orilla.
Calcular la anchura del río.
12. Un hombre divisa a otro en una torre que mide 15m con un ángulo de
elevación equivalente a 35°. ¿cuál es la distancia entre los dos hombres?
95
EVALUACIÓN
1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
a). 2π/5rad.
b). 3π/10 rad.
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a). 316°
b). 10°
3. Calcula las razones de los siguientes ángulos:
a). 225°
b). 330°
4. Comprobar las identidades:
a).
b).
5. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.
6. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
7. Resuelve el triángulo en el que se conocen los datos: b=10, a=14 y B=45°. 8. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia
es de 4km, la distancia es de 6 km y el ángulo que forman es de 60° ¿cuánto distan B y C?
9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25m y el cateto b=20m. Resolver el triángulo.
10. Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC
sabiendo que es rectángulo.
96
TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE SOLUCIÓN Teoría: Un sistema de ecuaciones está compuesta de dos o más ecuaciones la
cual puede tener una solución una cantidad infinita de soluciones o ninguna.
En esta ocasión veremos un ejemplo en el cual tenga una solución la cual se
puede resolver por varios métodos.
METODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN
El método de reducción o eliminación consiste primeramente en eliminar una de
las variables x o y, queda una ecuación con una sola variable, se resuelve, el valor
encontrado se sustituye en una de la ecuaciones originales para hallar el valor de
la otra variable.
Veamos el proceso de solución que se sigue en cada uno de los ejercicios
siguientes:
1. Resolver:
Para eliminar x, se multiplica la primera ecuación por -2 y la segunda ecuación
por 1 (o se deja igual)
Luego, se suman las dos ecuaciones:
97
Ahora se sustituye y = 1 en la primera ecuación (o en la segunda) y queda x -
3(1) = 0 → Conjunto solución: (3, 1) ó x = 3, y = 1
Se puede comprobar si realmente (3, 1) es la solución:
Se ha verificado que (3,1) es solución de:
Resuelva los siguientes ejercicios
1. Determinar el valor de y en el siguiente sistema:
Respuesta: y = -3/5
2. El valor de y en el siguiente sistema:
Respuesta: y = -7
3. El valor de x en el siguiente sistema
Respuesta: x = 32/11
98
Problemas de Aplicación
A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con sistemas de
ecuaciones y algunos ejemplos de cómo plantear los sistemas para poder resolver
fácilmente los problemas.
1.- Juan pagó $50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5
cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que
pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de
taquetes y de cada caja de clavos?
Del problema anterior se desprenden las siguientes ecuaciones
Aplicando el método para solución de ecuaciones que estamos viendo
Respuesta: Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 y la de
clavos cuesta $7.
2.- Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete
de botones blancos cuesta $15 y el de botones negros $10. Si con $180.00
compró en total 14 paquetes, ¿cuánto gastó en botones blancos?
Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones:
Aplicando el método para solución de ecuaciones que estamos viendo
Respuesta: Ahora ya sabemos que Enriqueta compró 8 paquetes de botones
blancos. Hemos llegado a la solución: podemos afirmar que Enriqueta gastó $120
en botones blancos.
99
Ejercicios propuestos de aplicación
1.- Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender. La materia prima
necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica
$3.00. Si disponen de $570.00 y quieren hacer 150 paletas, ¿cuántas paletas de
cada tamaño podrán hacer?
2.- El costo de las entradas a una función de títeres es de $30 para los adultos y
$20 para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron
$5930, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la función el sábado?
Para comprobar dichos resultados podemos ayudarnos de la siguiente página
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
Video de ejercicio resuelto
https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs
100
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Sistema de ecuaciones: 2x + 5y = -24……………….. (1) 8x – 3y = 19………………... (2) Despejamos cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones, en este caso x
de la ecuación (1):
Este valor lo sustituimos en la ecuación (2):
De este modo se tiene una ecuación con una incógnita.
Por simplificación se obtiene el valor de y:
101
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones:
De esta forma encontramos los valores de x y de y que satisfacen a las dos ecuaciones:
Ejercicios propuestos Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
1. x + 3y = 6 5x – 2y = 13
2. 4x + 5y = 5
-10y – 4x = -7
3. 32x – 25y = 13 16x + 15y = 1
Ejercicios de aplicación Para este método podemos usar ese video para comprender mejor lo descrito
https://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o
para poder comprender mejor este método podemos ir resolviendo junto a la persona el problema
https://www.youtube.com/watch?v=Ru7q68wuRhc
102
MÉTODO DE IGUALACIÓN Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ""x , "" y
1
5
yx
yx
Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones si queremos encontrar el valor de "" y se despeja ""x
yx
yx
1
5
Luego como su nombre lo indica se igualan las dos ecuaciones ya despejadas, y se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita.
22
4
24
215
15
y
y
y
yy
Si queremos encontrar el valor de ""x se despeja "" y
xyxy
xy
1;1
5
Se igualan las dos ecuaciones despejadas luego se resuelve.
3
62
512
15
x
x
x
xx
El resultado de ""x y el de "" y se pueden sustituir para en las ecuaciones y así
probar si el resultado es correcto.
103
MÉTODO POR DETERMINANTES
Definición de determinante de una matriz.
2221
1211
21122211
2221
1211
det
22
aa
aaA
aaaaA
xdematrizUnaaa
aaASea
En el que A es invertible si 0A esto es válido para matrices cuadradas de
orden nxn
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
ASea
312232211331233321123223332211det aaaaaaaaaaaaaaaA
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaAseao
Para calcular determinantes de 3x3 se puede usar el método de aumentar filas o columnas
3231333231
2221232221
1211131211
232221
131211
333231
232221
131211
tantan
aaaaa
aaaaa
aaaaa
Adocolumnasaumen
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Afilasdoaumen
NOTA: Este método no funciona para determinantes NXN donde N es
diferente de 3
Todos los determinantes se basan en el determinante de 2 por 2
El det cdaddc
ba lo que se conoce comúnmente como la resta de las
diagonales
104
El determinante de 2x2 de 26442
31
13310
51
32
16102324053142511
520
413
211
16210421513410223511
413
211
520
413
211
REGLA DE CRAMER
Si BXA es un sistema de n ecuaciones lineales con n variables tal que .0A
El sistema tiene una solución única dada por:
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
Ax i
i ,,,,, 44
33
22
11
Donde iA se obtiene al sustituir la columna i de A por B
Ejemplo 1: Resolver el sistema de ecuaciones lineales por Cramer
02
434
21
21
xx
xx
4
2
8
64
8
12
34
02
44
,22
4
64
4
12
34
10
34
21
xx
La solución es 4,2 21 xx
4023
15
52
321
31
21
xxx
xx
xx
105
Ejemplo 2: Resolver el sistema
423
24654
18642
321
321
321
xxx
xxx
xxx
46
24
)154(6)188(4)610(2
)2024(6)2448(4)610(18
213
654
642
214
6524
6418
1
x
26
12
6
)7216(6)188(18)2048(2
213
654
642
214
6524
6182
2
x
36
18
6
)154(18)7216(4)2420(2
213
654
642
413
2454
1842
3
x
Ecuaciones simultáneas
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se
satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Por ejemplo:
x + y = 5 x – y = 1 son simultáneas porque x=3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones.
106
Sistema de ecuaciones Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Por ejemplo:
2x + 3y = 13 4x – y = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos
ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. A esto se le llama
eliminación.
107
ANEXO
TEMAS ADICIONALES
108
TEMA ADICIONAL 1
109
110
111
112
113
114
TEMA ADICIONAL 2
RADICALES
115
116
117
118
TEMA ADICIONAL 3
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132