curso de nivelación estadística y...
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Curso de nivelación Estadística y Matemática
Cuarta clase: Distribuciones de probablidad continuas
Juan Diego Chavarría Mejía
Luis Diego Fernández Gómez
Programa Técnico en Riesgo, 2017
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
De�nición
¾Qué es una variable aleatoria continua?
Es una variable aleatoria donde el número de resultados
posibles es ilimitado o in�nito.
Ejemplo
Rendimiento promedio de una acción.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
Pdf vs cdf
Probability density function
Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.
fX (x) = P (X = x)
Cumulative distribution function
Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable
aleatoria.
F (x) = P (X ≤ x)
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
Propiedades
Valor esperado
Por analogía con las fórmulas de media de las distribuciones
discretas
Fórmula
µ = E (X ) =∫
α
−α
f (x)x dx
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.
De�nición
Fórmula
σ2 =
∫α
−α
f (x)(x−µ)2 dx
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Características
Las variables continuas son in�nitamente divisibles.
La probabilidad asociada con un intervalo de valores es igual al
área bajo la curva.
El área bajo la curva total debe ser igual a 1.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución uniforme
Es una distribución en la cual las probabilidades de todos los
resultados son las mismas.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Función de probabilidad
f (x |a,b) =
{1
b−a0
si x ε [a,b]
otro caso
Media
E (x) = µ =a+b
2
Varianza
σ2 =
(b−a)2
12
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Asimetría
As = 0
Curtosis
κ =9
5
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Fórmula de cálculo
La probabilidad de que ”x” este entre dos observaciones es
f (x1 ≤ X ≤ x2|a,b) =x2−x1b−a
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada para
Cuando se tiene un conocimiento muy general o poco
conocimiento sobre la distribución que siguen los datos.
Para generación de números aleatorios.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución normal
Es llamada distribución Gaussiana. Es fundamental para el
análisis estadístico, dado que gran cantidad de fenómenos se
comportan como una distribución normal. Se caracteriza por
su simetría con respecto a la media. Además es perfectamente
determinada cuando se conoce µ y σ .
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Cdf
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ,σ2) =1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Propiedades
Propiedades
Es simetríca respecto a µ (La mediana y moda son iguales).
La distribución entorno a su media sigue la regla empírica.
Regla empírica
La regla empírica especi�ca que, sin considerar el valor de la
media o la desviación estándar:
el 68,3% de las observaciones está a una desviación estándar
de la media.
el 95,5% de las observaciones está a dos desviación estándar
de la media.
el 99,7% de las observaciones está a tres desviación estándar
de la media.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Propiedades
Propiedades
Si X ∼ N(µ,σ2
)y a y b son números reales, entonces
(aX +b)∼ N(aµ +b,a2σ2
)Estandarizamos
Podemos convertir cualquier distribución normal en una
distribución con media igual a 0 (µ = 0) y desviación estándar
igual a 1 (σ = 1), realizando la siguiente operación.
Z =X −µ
σ
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Media
E (x) = µ
Varianza
σ2
Asimetría
As = 0
Curtosis
κ = 3
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada para
Para describir atributos humanos o de objetos.
Gran cantidad de datos se pueden considerar que siguen el
comportamiento de una distribución normal.
Los promedios siguen una distribución normal.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución log-normal
Si X es una variable aleatoria cuyo logarítmo se distribuye
normalmente (esto es, log (X )∼ N(µ,σ2
)), entonces X se
considera distribuida mediante una distribución logarítmica
normal. Por esto, es usualmente utilizada para datos
transformados logarítmicamente.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Cdf
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ,σ2) =1√2πσ
1
xe−(log(x)−µ)2
2σ2
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada para
Para modelar tiempo de procesos.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución t-student
Es una distribución centrada alrededor de cero y caracterizada
por un solo parámetro llamado grados de libertad (n-1).
Es semejante a la distribución normal estándar, pero con colas
más pesadas.
A medida que aumente el tamaño de la muestra, la
distribución t se aproxima a la normal estándar.
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Cdf
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución Exponencial
Analóga a la distribución Poisson (que mide el número de
ocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio), la
distribución exponencial mide el paso del tiempo entre tales
ocurrencias. Así podemos decir que si el número de
ocurrencias tiene distribución de Poisson, el lapso entre las
ocurrencias estará distribuido exponencialmente.
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Cdf
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |µ) = 1
βe−xβ
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Media y varianza
Media
µ = β
Varianza
σ2 = β
2
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Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada para
Para modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de
Poisson que ocurren de manera independiente .
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Agenda
1 Distribuciones continuas de probabilidad
Variable aleatoria Continua
Valor esperado de una variable aleatoria continua.
Varianza.
2 Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Uniforme
Distribución Normal
Distribución Logarítmica Normal
Distribución T-Student
Distribución Exponencial
Distribución Beta
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
Distribución Beta
Es una distribución continua en la famialia de (0,1) descrita
por dos parámetros. Esta distribución es una de las pocas
distribuciones que acumulan la probabilidad de 1 en un
intervalo �nito, en este caso de (0,1).
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
De�nición
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Fórmula de cálculo
Función de probabilidad
f (x |α,β ) =1∫
1
0xα−1 (1−x)β−1 dx
xα−1 (1−x)β−1
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Media y varianza
Media
µ =α
α +β
Varianza
σ2 =
αβ
(α +β )2 (α +β +1)
Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas
Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Utilizada
Generalmente utilizada para
Permite generar una gran variedad de per�les.
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Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas
Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta
Bibliografía
Barrantes G., Miguel
Elementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.
Kenneth N., Berk & Patrick, Carey
Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.
Gitman, Lawrence.
Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.
Webster L., Allen
Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.
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