curso de oscilaciones y ondas cap 3
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Curso de Oscilaciones y OndasTRANSCRIPT
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Capítulo 3.
Oscilaciones libres de sistemas con más de un grado
de libertad.
Modos normales.
Introducción:
Hasta el momento, hemos estudiado la evolución dinámica de sistemas
formados por una sola partícula obligada a moverse en una única dimensión, por lo
cual, sólo hemos necesitado una coordenada para describirlos (x t( ) ). Decimos que
estos sistemas poseen un sólo grado de libertad. En este capítulo estudiaremos el
comportamiento oscilatorio presente en sistemas de más de una partícula, y con más
de un grado de libertad, por lo cual, necesitaremos más de una coordenada para
describirlos.
Comprobaremos que el movimiento general de un sistema con muchos grados
de libertad puede tener una apariencia muy complicada; donde ninguna de sus partes
se mueve con un movimiento armónico simple, pero sin embargo, si sus ecuaciones
de movimiento son lineales, el movimiento más general se puede describir como la
superposición de movimientos armónicos simples. Estos movimientos armónicos
simples, se denominan modos normales o modos resonantes, o simplemente modos.
Cada modo tiene su frecuencia característica y existirán tantas frecuencias de
resonancia como modos normales haya en el sistema.
Los ejercicios recomendados son el 2, 3, 4 y 7.
3-1. Guía teórica. Grados de Libertad de un Sistema. (la lectura de esta
guía teórica no es indispensable para la comprensión del resto del capítulo, en una
primera lectura puede saltearse).
Es bien sabido que para describir la evolución de una partícula en el espacio
resulta necesario la utilización de tres coordenadas, por ejemplo las tres coordenadas
cartesianas x t y t z t( ), ( ), ( ) , por ello, decimos que el sistema posee tres grados de
libertad. Si por alguna razón, la partícula estuviera obligada a moverse sobre una
superficie, podríamos eliminar una de las coordenadas, necesitando solamente dos, en
éste caso decimos que el sistema posee dos grados de libertad.
Si el sistema consiste de dos partículas moviéndose en el espacio, para
describirlo hacen falta tres coordenadas para cada partícula, por lo cual, decimos que
el sistema posee seis grados de libertad. Y en general, un sistema de N partículas
moviéndose en el espacio tiene 3N grados de libertad.
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En muchos sistemas físicos aparecen ligaduras entre las partículas, por
ejemplo, en un sólido rígido ideal suponemos que las distancias entre las partículas
permanecen inalteradas, como si estuvieran unidas por barras rígidas (sin masa). El
efecto de estas ligaduras es el de disminuir la cantidad de coordenadas necesarias para
describir el sistema, o sea, disminuir los grados de libertad.
Un ejemplo simple e ideal, es el de dos masas unidas por una barra rígida sin
masa, moviéndose en el espacio, como muestra la figura 3-1.
Sin la barra, el sistema tiene 6 grados de libertad, 3 por cada partícula. Pero con la
barra, ya no hacen falta 6 coordenadas para describirlo. Determinando las tres
coordenadas de la partícula 1, y colocando el sistema de coordenadas en ella (ver
figura 3-1), vemos que como la distancia entre ambas no puede cambiar (barra rígida),
sólo hacen falta dos ángulos para determinar la posición de la partícula 2, los ángulos
y . Por lo cual, sólo se necesitan 5 coordenadas para describir al sistema, o sea, el
sistema tiene 5 grados de libertad.
En general, cada ligadura rígida hace disminuir en una unidad el número de
grados de libertad. Si el sistema tiene N partículas, y un número de ligaduras k (no-
dependientes entre sí), entonces el número de coordenadas independientes, o grados
de libertad, resulta,
Número de grados de libertad 3N k 3-1
Esto puede entenderse si pensamos que cada ligadura puede representarse
matemáticamente por una ecuación, en el ejemplo anterior,
r r d distancia fija2 1
Cada ecuación de ligadura, introduce una dependencia entre las coordenadas de una
partícula y las de la otra, disminuyendo de esta forma, la cantidad de coordenadas
independientes.
Podría darse el caso de que las ligaduras formen un sistema de ecuaciones
dependientes entre sí, por ejemplo, supongamos el sistema formado por cuatro
partículas puntuales, contenidas en un plano, como muestra la figura 3-2. En
principio, para describir el sistema, resulta necesario dos coordenadas por partícula, 8
en total, pero debido a las ligaduras existentes en el sistema, comprobaremos que
posee sólo 3 grados de libertad.
1
2
Figura 3-1: Sistema formado por dos masas puntuales, unidas por
una barra rígida sin masa.
76
r r d distancia fija2 1
r r d distancia fija3 2
r r d distancia fija4 3
r r d distancia fija1 4
r r d distancia fija3 1
r r d distancia fija4 2
Las 6 ecuaciones de ligadura (ver figura 3-2) no son independientes, ya que
alcanzan sólo 5 barras (en el plano), la , , , y para que la
distancia quede determinada, es decir, la barra y la ecuación r r d distancia fija4 2 no introducen ninguna información nueva, son
dependientes de las primeras 5 ligaduras. O sea, el sistema tiene 5 ecuaciones de
ligadura independientes.
Las 5 ecuaciones de ligadura relacionan entre sí a las coordenadas del sistema,
por esta razón, el sistema de la figura 3-2, posee sólo,
8 5 3 (tres) grados de libertad.
Dos grados de libertad determinan el centro de masas (en el plano) y el tercero puede
ser un ángulo que describe las rotaciones.
A partir de la discusión anterior, concluimos que en la expresión 3-1, el número
k, indica el número de ligaduras independientes, que en el ejemplo anterior son sólo
5.
Volviendo al ejemplo del sólido rígido, éste posee N partículas unidas de a dos
con una barra imaginaria, por lo cual tiene un número de ligaduras igual a,
N N
NN N N
2 2 2
1
21 3
!
! ! (es mucho mayor que 3N , para N 8)
Por supuesto, si el número de ligaduras es mayor que 3N , seguramente no todas ellas
son independientes, ya que si no el número de grados de libertad sería nulo o negativo.
No es difícil ver que el número de grados de libertad de un sólido rígido ideal
es 6. Intuitivamente vemos que sí conocemos las coordenadas de 3 puntos del sólido,
que no se hallen sobre una misma línea, éste queda descripto, por lo cual ya vemos
que con sólo 9 coordenadas alcanza, ver figura 3-3.
1
2 4
3
Figura 3-2: Sistema formado por 4 masas puntuales, unidas por 5 barras rígidas, sin
masa.
Las ligaduras no son independientes.
77
Pero como además tenemos las ligaduras existentes entre cada uno de los tres puntos,
el número de coordenadas necesarias baja en tres unidades. Por lo cual, el número de
grados de libertad de un sólido rígido ideal resulta ser 6.
Grados de libertad de traslación, rotación y vibración. Las coordenadas que
realmente terminan siendo independientes en un sistema no necesariamente son todas
coordenadas cartesianas. En el ejemplo discutido antes, de las dos partículas unidas
por una barra, el sistema puede describirse mediante 3 coordenadas cartesianas y 2
ángulos. En general, las coordenadas elegidas son aquellas que permiten realizar más
simplemente la descripción del sistema, y en algunos casos se las puede asociar a
algún tipo especial de movimiento.
Comúnmente lo que resulta más simple es reservar 3 coordenadas para la
descripción del centro de masas del sistema. Esas 3 coordenadas permiten describir
traslaciones en el espacio del sistema como un todo, por esta razón decimos que son
grados de libertad de traslación.
En el caso del sólido rígido, 3 grados de libertad determinan su centro de
masas, y como dijimos describen traslaciones rígidas del sólido. Las otras 3
coordenadas son ángulos que determinan la orientación en el espacio del sólido. La
variación de estas coordenadas angulares representan movimientos de rotación, por
ello decimos que estas 3 coordenadas son grados de libertad de rotación.
Supongamos un sistema formado por dos partículas unidas por un resorte sin
masa, o “su análogo”, molécula formada por dos átomos interactuando
electrocuánticamente, ver figura 3-4.
El sistema posee 6 grados de libertad, ya que el resorte no es una ligadura
rígida, y por ende, no restringe para nada el número de grados de libertad. 3 grados de
libertad los asociamos a la descripción del centro de masas de la molécula (3 grados
de libertad de traslación). Dos grados de libertad son asociados a coordenadas
angulares, que fijan la orientación en el espacio de la molécula, por lo cual
corresponden a grados de libertad de rotación. Nos falta aún considerar, un grado de
libertad. Ese grado de libertad corresponde a la coordenada que describe la distancia
relativa entre los átomos. La variación de esta coordenada corresponde a movimientos
1
2 3
Figura 3-3: Sólido rígido. Identificando 3 puntos es posible describir al sistema.
Fig. 3-4
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oscilatorios, por lo cual, decimos que corresponde a un grado de libertad de
vibración.
3-2. (Recomendado). Analice cuántos grados de libertad tienen los siguientes
sistemas, especifique cuántos de traslación, de rotación y de vibración:
a) Una partícula puntual, en el plano.
b) Una partícula puntual, en el espacio.
c) Dos partículas puntuales.
d) N partículas puntuales.
e) Dos partículas puntuales unidas rígidamente a una distancia l fija (Ligadura sin
masa).
f) Dos partículas puntuales unidas por un resorte sin masa.
g) Una molécula diatómica.
h) Una molécula triatómica.
i) Un sólido rígido.
3-3. Ejercicio Teórico: Centro de masas y Coordenada Relativa
(Recomendado):
En este ejercicio estudiaremos un sistema simple, ideal, pero que sirve como
modelo o prototipo de sistemas más complejos tal como, por ejemplo, el de una
molécula diatómica.
Considere el sistema de dos masas puntuales kgma 1 y kgmb 2 acopladas
por un resorte de constante elástica k N m 400 / y longitud relajada cml 100 , como
se muestra en la figura 3-5 (no consideramos rozamiento ni ninguna otra fuerza más
que la elástica de interacción entre las masas),
a) Indique ¿cuántos grados de libertad tiene el sistema?, ¿cuántos modos de
oscilación posibles tiene?, ¿cuántos de traslación y de rotación?.
Considerando sólo el caso unidimensional,
b) Halle las ecuaciones dinámicas de ambas masas.
Resp.
0abb
0aba
)t()t( )t(
)t()t( )t(
lxxkxm
lxxkxm
b
a
3-3
2-3
Observe que el signo más, que acompaña a la constante elástica k en la primera
ecuación, no es el habitual. Discuta.
B A
Fig. 3-5
79
Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta la
dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la partícula “ a ”
depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la posición de la
partícula “ b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento para la partícula
“ a ” sin resolver la de la partícula “ b ”.
Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible
desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que
desacople el sistema (modos normales de vibración).
Matemáticamente ya veremos como nos damos cuenta de cual es el cambio de
variables adecuado, pero físicamente uno podría ya imaginarse que las mejores
coordenadas para describir el movimiento de ambas partículas son:
I ) La coordenada del centro de masas del sistema ,
ba
bbaa
CMmm
xmxmR
.
Ya que al no existir fuerzas externas, sabemos que se mueve a velocidad constante
(o está quieto), por lo cual la ecuación diferencial correspondiente a la
coordenada del centro de masas será simplemente,
0CMR
la cual, nos dice que la aceleración del centro de masas es nula (velocidad
constante).
II ) La coordenada que indica la distancia relativa entre las partículas, que
podemos definir como ab xxr . Esta coordenada intuimos tiene una evolución
oscilatoria armónica, con lo cual seguramente la ecuación diferencial que
describe su evolución tiene la pinta,
0. lrconstanter ,
la cual, es una ecuación del tipo oscilador armónico (la constante la
determinaremos luego).
Uno podría tratar de obtener estas ecuaciones a partir de las ecuaciones
diferenciales correspondientes a las partículas “ a ” y “ b ”, simplemente
derivando dos veces a CMR y a r , usando las ecuaciones que las ligan con ax y
bx . Intente hacerlo de esta forma. En el próximo ítem lo haremos apelando a ideas
matemáticas.
c) Queremos desacoplar las ecuaciones diferenciales 3-2 y 3-3, para ello debemos
hallar un cambio de variables adecuado que desacople al sistema (modos
normales de vibración). Por el momento lo haremos tanteando, pero en la guía
teórica 3-8 estudiaremos un método matemático general para desacoplar las
ecuaciones diferenciales lineales.
80
Obtenga dos nuevas ecuaciones, una a partir de sumar las ecuaciones 3-2 y 3-3,
y la otra, multiplicando la ecuación 3-3 por am y restándole la ecuación 3-2
multiplicada por bm . Analice el por qué de este procedimiento.
Resp.
0
0
ltxtxmmktxtxmm
txmtxm
abbaabba
bbaa
5-3
4-3
d) Ahora se ve claro que, si hacemos un cambio de variables adecuado, las ecuaciones
diferenciales se desacoplan. Proponga el cambio de coordenadas:
coordenada centro de masas ba
bbaa
CMmm
xmxmR
3-6
y,
coordenada relativa ab xxr 3-7
y compruebe que las ecuaciones diferenciales 3-4 y 3-5 quedan:
0CMR 3-8
la cual, expresa que el centro de masas se mueve a velocidad constante, y
0lr
mm
mm
kr
ba
ba
3-9
que corresponde a una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico.
Reconocemos la aparición de la masa reducida:
m m
m m
a b
a b
, 3-10
por lo cual, la ecuación diferencial para la coordenada relativa puede escribirse
como,
0lrk
r
, 3-11
Comentario: Observe que la ecuación diferencial de la coordenada relativa es
equivalente a la ecuación diferencial correspondiente al oscilador armónico con
sólo una masa. Al pasar a coordenadas relativas hemos transformado el problema
81
de dos cuerpos en un problema equivalente de un sólo cuerpo de masa igual a la
masa reducida , oscilando con frecuencia
k2 .
e) Halle las frecuencias asociadas a cada movimiento (modos normales de
oscilación).
Resp. 02
1 (modo de traslación del centro de masa, no oscila)
k2
2 (modo de oscilación de la coordenada relativa)
Comentario: Se dice que un sistema está en un determinado modo de vibración
(armónico), cuando todas las partes móviles que lo componen oscilan con la
misma frecuencia y fase.
f) Halle la ley de movimiento de cada modo.
Resp. tAltr 20 cos )( (modo de oscilación de la coordenada relativa)
0 )( RtVtR CMCM (modo de traslación del centro de masa).
g) Obtenga las leyes de movimiento )(txa y )(txb .
Resp. )()()( trmm
mtRtx
ba
b
CMa
y )()()( trmm
mtRtx
ba
a
CMb
Comentario: Note que las posiciones de ambas masas dependen linealmente de la
función armónica )(tr , por lo cual, podemos concluir que ambas oscilan con la
misma frecuencia y fase, es decir, se hallan en un determinado modo de vibración
(armónico).
h) A partir del resultado anterior, compruebe que como ba mm entonces la partícula
“ a ” tiene una amplitud de oscilación mayor que la “ b ” (ya que las fuerzas que les
hace el resorte son las mismas mientras que las masas son distintas).
i) Importante. Halle la amplitud de la oscilación A si sabe que la energía mecánica
de oscilación es de E joule1 .
j) Importante. Halle la fase si a t 0 el resorte pasa por la posición de equilibrio.
k) Importante. Demuestre que la energía mecánica, puede expresarse, en las nuevas
coordenadas, como:
2
0
22
2
1
2
1
2
1lrkrRmmE CMba
82
Discuta el significado físico de cada uno de los términos.
l) Demuestre la relación entre las energías cinéticas que se lleva cada masa es,
a
b
b
c
a
c
m
m
E
E
Analice el caso en que una masa es mayor que la otra, por ejemplo ba mm .
Discuta.
m) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes
aprendidos en el ejercicio.
3-4. Modelo de Molécula Diatómica (Recomendado. Paradigmático):
La energía potencial de interacción, entre dos átomos de igual masa m, que
forman una moléculas diatómica, puede aproximarse por la expresión,
E r Vr
r
r
rp ( )
00
6
0
12
2 ,
donde V0 y r0 son constantes positivas y r es la separación entre las moléculas.
a) Halle la masa reducida del sistema. Resp. m
2
b) Grafique E rp ( ) . Ayúdese con el Mathematica.
Respuesta: ver figura 3-6
Ep
V0
r0
r
Figura 3-6: Energía potencial de interacción, entre dos átomos, que
forman una moléculas diatómica
83
c) Sobre la base del gráfico anterior, determine el rango de energía (total), para el cual
la molécula permanece ligada. Para energías superiores, discuta como evoluciona
el sistema.
d) ¿Cuál es la mínima energía mecánica que puede tener el sistema?. Si el sistema
posee esa energía mínima, ¿cuánta energía debe entregarse a la molécula para
destruirla?. ¿con que energía cinética se liberan los átomos?. Discutir.
e) Suponga que el sistema está ligado, proponga una energía y halle gráficamente el
rango de distancias relativas permitidas en la molécula.
f) Halle la posición de equilibrio y el valor de la energía potencial en el punto de
equilibrio. Ayuda: recordar que
p
r
EF
y en el equilibrio F 0.
g) Grafique F en función de r . Discuta sobre la magnitud y sentido de la fuerza para
distancias mayores y menores que la distancia de equilibrio.
h) Importante. Suponga que el sistema está ligado, y le interesa analizar sólo las
pequeñas oscilaciones de la molécula alrededor del equilibrio. Haga un desarrollo
en serie de potencias (Taylor) de la energía potencial y aproxímela con los
términos de menor orden (hasta orden 2).
Ayuda: E r E rd E
drr r
d E
drr rp p
p p( ) ( ) .....
0 2 0
2
3 0
31
2
1
60 0
2
r
3
r
donde se ha usado que d E
d r
p
r
0
0 .
Resp. 0
2
02
1)( VrrkrE p
donde kV
r
72 0
02
es una constante equivalente a la constante elástica del
resorte. ¿Influye la constante 0V en la dinámica del sistema?. Discuta.
i) Importante. Grafique el potencial exacto y el aproximado juntos. Discuta..
j) Importante. Con esta aproximación halle la frecuencia angular de oscilación.
Resp. =
2 0
02
72 V
r donde es la masa reducida.
k) Muy Importante. En esta aproximación, escriba la ecuación dinámica para la
variable r.
3-5. (Repaso). La frecuencia de oscilación de una molécula en movimiento térmico es
de 1013
Hz , aproximadamente. La masa es del orden de 1022
g . ¿Cuál es la constante
del resorte equivalente?.
3-6. (Repaso). Suponga que la energía potencial de interacción, entre dos moléculas
de igual masa m , puede aproximarse por la expresión, 2
001)(
rra
p e-VrE
,
84
donde r es la separación entre los cuerpos. Grafique )(rE p y repita el análisis
energético y dinámico (en la aproximación de pequeñas oscilaciones) realizado en el
ejercicio 3-4.
3-7. Ejercicio Teórico: Modos Normales de Vibración (Recomendado):
Considere el sistema de dos masas m kg1 iguales acopladas por resortes de
constante elástica k N m500 / , de longitud relajada ml 10 , que pueden deslizar
libremente sobre una superficie sin ningún tipo de rozamiento, como se muestra en la
figura 3-7.
Estudiaremos únicamente las oscilaciones longitudinales (en la dirección de x)
alrededor del equilibrio:
a) Verifique que las ecuaciones dinámicas (ecuaciones de Newton) que describen la
evolución de las masas A y B son:
0ab0bb
0ab0aa
)t()t( )t( )t(
)t()t( )t( )t(
lxxklxLkxm
lxxklxkxm
13-3
12-3
Ayuda: recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al estiramiento del
resorte respecto de su longitud relajada. Por consiguiente, lo primero que debe
hacer es hallar la longitud del resorte en función de las coordenadas x ta y
x tb .
Compruebe que la longitud del resorte de la izquierda resulta,
L x ta1
La longitud del resorte del medio es,
L x t x tb a2
Mientras que la longitud del resorte de la derecha es,
L L x tb3
Deténgase a pensar el signo que le corresponde a cada término, correspondiente a
las fuerzas elásticas de cada resorte.
b) Halle las posiciones de equilibrio de las masas. Resp. 3
equi Lxa y 3
2equi Lxb
x
L=3m
B A Fig. 3-7
85
c) Verifique que describiendo el sistema a partir de sus posiciones de equilibrio, las
ecuaciones de movimiento son:
)t( )t()t()t(
)t()t()t( )t(
babb
abaa
kkm
kkm
15-3
14-3
Ayuda: Haga el cambio de variables,
equi
aaa xx y equi
bbb xx 3-16
Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta
nuevamente la dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la
partícula “ a ” depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la
posición de la partícula “ b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento
para la partícula “ a ” sin resolver la de la partícula “ b ”.
Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible
desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que
desacople al sistema (modos normales de vibración). Por el momento lo haremos
tanteando, pero en la guía teórica 3-8 estudiaremos un método matemático
general para desacoplar las ecuaciones diferenciales lineales.
d) Sume y reste las ecuaciones diferenciales 3-14 y 3-15 y observe que haciendo un
nuevo cambio de variables,
)()()( ba1 ttt y )()()( ba2 ttt 3-17
(coordenadas normales de oscilación), éstas se desacoplan, con lo cual se obtienen
dos nuevas ecuaciones del tipo oscilador armónico.
Resp.
)t(3
)t(
)t( )t(
22
11
m
k
m
k
19-3
18-3
e) A partir de lo hallado en el ítem anterior proponga la solución de las ecuaciones
diferenciales correspondientes a los modos normales.
Respuesta:
1111 cos )( tAt y 2222 cos )( tAt 3-20
f) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación 1 y 2 .
Respuesta:
86
12
k
m y 2
23
k
m 3-21
Comentario: Las amplitudes y las fases dependen de las condiciones iniciales del
movimiento.
g) Sabiendo que )()()( ba1 ttt y )()()( ba2 ttt , halle la solución
general de las ecuaciones de movimiento para cada masa, es decir halle )(a t y
)(b t .
Resp. 222
11121
a cos 2
cos 22
)()()(
t
At
Attt 3-22
222
11121
b cos 2
cos 22
)()()(
t
At
Attt 3-23
Comentario: El movimiento general de un sistema con dos grados de libertad
puede tener una apariencia muy complicada; ninguna parte se mueve con un
movimiento armónico simple. Sin embargo, se ha mostrado en este ejercicio que,
para dos grados de libertad cuyas ecuaciones de movimiento son lineales, el
movimiento más general es la superposición de dos movimientos armónicos
simples, ambos ocurriendo simultáneamente. Estos dos movimientos armónicos
simples, se denominan modos normales, modos resonantes, o simplemente modos.
Como veremos en los próximos ítems mediante una elección apropiada de las
condiciones iniciales, podemos poner el sistema a oscilar en un sólo modo o el
otro. Los modos están desacoplados aunque las partes móviles no lo estén.
Cuando sólo está presente un modo, cada parte móvil desarrolla un
movimiento armónico simple. Todas las partes pasan al mismo tiempo por la
posición de equilibrio simultáneamente, es decir, oscilan no sólo con la misma
frecuencia sino también con la misma fase (o contrafase). Que todas las
partículas del sistema oscilen con la misma fase tiene como consecuencia
fundamental que todas ellas pasen simultáneamente por la posición de equilibrio.
Cada modo tiene su frecuencia característica y una configuración característica o
forma de oscilación, dada por la relación de las amplitudes de movimiento de las
partes móviles. Por ejemplo, en este ejercicio se halló que,
Para el modo 1: Las masas se hallan oscilando en el modo 1, siempre y cuando,
las condiciones iniciales de movimiento sean las adecuadas para que se anule la
amplitud 2A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 02 A (pensar como debe iniciarse el
movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con
la misma frecuencia, fase y amplitud, tal como puede deducirse de sus ecuaciones
de movimiento,
111
a cos 2
)( tA
t y 111
b cos 2
)( tA
t
87
Se mueven las dos exactamente igual, o sea, van las dos juntas siempre hacia el
mismo lado sin estirar el resorte del medio, ver figura 3-8,
)()( ba tt (Modo 1)
Para el modo 2: Las masas se hallan oscilando en el modo 2, siempre y cuando,
las condiciones iniciales del movimiento sean las adecuadas para que se anule la
amplitud 1A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 01 A (pensar como debe iniciarse el
movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con
la misma frecuencia, fase y amplitud pero con signo contrario, tal como puede
deducirse de sus ecuaciones de movimiento,
222
a cos 2
)( tA
t y 222
b cos 2
)( tA
t
o sea, se desplazan lo mismo pero en direcciones opuestas, ver figura 3-9,
)()( ba tt (Modo 2)
Observamos que en el modo 2 se estira el resorte del medio, por consiguiente, hace
falta mayor energía para lograr la misma amplitud de oscilación que en el modo 1.
En general a mayor frecuencia, del modo normal, hace falta mayor energía para
lograr igual amplitud de oscilación que la correspondiente a los modos de menor
frecuencia.
Si se aplica una fuerza impulsora armónica al sistema y se varía su
frecuencia (lentamente), se obtiene una resonancia cada vez que la frecuencia
impulsora concuerde con alguna de las frecuencias de un modo. En sistemas
con más grados de libertad existen tantas frecuencias de resonancia como modos
normales haya.
h) Importante: Suponga que inicialmente desplaza la masa “ a ” una distancia 2 A
hacia la derecha y la suelta (velocidad inicial cero), mientras que la masa “b ”
permanece en reposo, o sea, las condiciones iniciales son,
Figura 3-8: Esquema de movimiento correspondiente al modo 1.
Figura 3-9: Esquema de movimiento correspondiente al modo 2.
88
a ( )0 2 A, y b ( )0 0 , ( )a 0 0 y ( )b 0 0 .
Halle la evolución dinámica del sistema, es decir, halle a ( )t y b ( )t (amplitudes
y fases).
Ayuda: Como las velocidades iniciales de ambas masas valen cero entonces puede
demostrase que las fases 1 y 2 valen cero (verifique), halle A1 y A2 .
Resp. a ( ) cos cost A t A t 1 2 y b ( ) cos cost A t A t 1 2
i) Importante. Encuentre las condiciones iniciales de tal forma de excitar sólo el
modo más alto (mayor frecuencia). Compruebe analíticamente que con esas
condiciones se anula la amplitud A1 0 .
j) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes
aprendidos en el ejercicio.
k) Importante. Sin hacer cuentas responda, “¿se modifican las frecuencias de
oscilación de los modos normales si, en lugar de estar colocadas las masas sobre
una superficie horizontal como en este ejercicio, se cuelgan del techo en posición
vertical?”. Discuta. Halle las nuevas posiciones de equilibrio.
l) Optativo. Repita los ítems anteriores para oscilaciones transversales, en la
aproximación de pequeñas oscilaciones.
3-8. Guía teórica: Resolución formal de sistemas dinámicos lineales
acoplados:
En esta guía teórica vamos a resolver nuevamente el problema 3-7, pero con
herramientas matemáticas más avanzadas que nos permiten desacoplar las ecuaciones
dinámicas, y de esta forma hallar los modos normales del sistema en forma mecánica
y general para cualquier sistema dinámico lineal.
Partimos de las ecuaciones dinámicas lineales acopladas, del problema 3-7,
)t( )t()t()t(
)t()t()t( )t(
babb
abaa
kkm
kkm
25-3
24-3
reagrupando las ecuaciones 3-24 y 3-25, y pasando la masa dividiendo, obtenemos,
)t( 2
)t( )t(
)t( )t( 2
)t(
bab
baa
m
k
m
k
m
k
m
k
27-3
26-3
89
Llegados a este punto, basaremos nuestro razonamiento en la idea de que
estamos buscando los modos normales del sistema, que como sabemos, son aquellos
modos de movimiento en donde todas las masas oscilan con la misma frecuencia y
fase (pasan todas al mismo tiempo por la posición de equilibrio). Basados en éste
conocimiento, proponemos como solución un estado particular en donde el sistema se
halla oscilando en uno de los modos normales, del cual aún no sabemos casi nada,
salvo que podemos describir la evolución de las masas, en ese modo, mediante
funciones de la forma,
tAta cos )( y tBtb cos )( 3-28
donde las partículas a y b oscilan con igual frecuencia y fase , mientras que las.
amplitudes A y B pueden ser distintas y de signo opuesto (contrafase).
Reemplazando las soluciones propuestas en las ecuaciones 3-26 y 3-27
obtenemos,
tBm
ktA
m
ktB
tBm
ktA
m
ktA
cos 2
cos cos
cos cos 2
cos
2
2
simplificando las funciones coseno, pasando todos los términos del lado derecho,
igualando a cero y sacando convenientemente factor común A y B , obtenemos,
0 2
0 2
2
2
Bm
kA
m
k
Bm
kA
m
k
30-3
29-3
De las ecuaciones 3-29 y 3-30 conocemos la masa m y la constante elástica del resorte
k, y no conocemos las amplitudes de oscilación A y B ni la frecuencia de oscilación
del modo. Pero lo que sí podemos afirmar es que las incógnitas A y B no pueden ser
determinadas en forma unívoca hasta no conocer las condiciones iniciales. A lo
sumo podemos determinar la relación que deben guardar entre sí A y B, por ejemplo
BA (modo 1) o BA (modo 2), pero de las ecuaciones 3-29 y 3-30 no resulta
posible extraer el valor de A ni el de B, aunque llegásemos a conocer el valor de la
frecuencia .
Sobre la base de éste razonamiento veremos que podemos obtener la
frecuencia del modo y la relación existente entre A y B.
Las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas A y B (amplitudes) y un parámetro 2 que debe fijarse
convenientemente para que realmente suceda que A y B no queden determinados por
3-29 y 3-30.
Para fijar ideas veamos un ejemplo simple, supongamos que creemos que
m
k22 es el valor correcto (lo cual es falso, ya que sabemos que no corresponde a
90
ninguna de las frecuencias correctas m
k2
1 y m
k32
2 ), con esta frecuencia el
sistema de ecuaciones 3-29 y 3-30 se transforma a (verifique),
0
0
Am
k
Bm
k
0
0
A
B
lo cual no resulta satisfactorio ya que dijimos que no debería resultar posible hallar los
valores exactos de A y B. Por lo cual, la frecuencia m
k22 no puede ser solución, es
decir, no puede corresponder a ningún modo normal de vibración del sistema.
En general, si observamos detenidamente las ecuaciones 3-29 y 3-30, para casi
todos los valores de que inventemos obtendremos siempre como solución 0A y
0B , ya que las ecuaciones 3-29 y 3-30 son ecuaciones lineales homogéneas, a menos
que las dos ecuaciones sean dependientes, con lo cual en lugar de tener dos
ecuaciones tenemos en realidad sólo una. Ése es el único caso en que podemos
obtener como solución sólo relaciones entre A y B y no la solución trivial 0A y
0B . Por lo cual, los únicos valores de frecuencia que nos sirven como solución
de las ecuaciones dinámicas son aquellos que convierten al sistema de ecuaciones
3-29 y 3-30 en un sistema de ecuaciones dependientes.
Hallar estas frecuencias resulta simple si recordamos que el sistema es
dependiente sí y sólo sí el determinante asociado al sistema resulta cero. Por ello,
planteamos el determinante y lo igualamos a cero,
0.2
2
2
22
2
2
2
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
3-31
obtenemos una ecuación cuadrática donde la incógnita es el cuadrado de la frecuencia 2 (modos normales de vibración), resolviendo la ecuación cuadrática,
04
32
22 42
22
42
2
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k 3-32
2
24
2
.44
2
.3.444
222
2 m
k
m
km
k
m
k
m
k
m
k
m
k
3-33
m
km
k
m
k
2
24
2
1 y m
km
k
m
k
3
2
24
2
2
3-34
91
que concuerdan con las dos frecuencias normales de vibración del sistema, halladas en
el ejercicio teórico 3-7.
A partir de conocer las frecuencias 1 y 2 , podemos ahora hallar la relación
existente entre las amplitudes A y B, para cada modo.
Hallemos primero la relación entre las amplitudes para el modo 1.
Reemplacemos en 3-29 y 3-30 la frecuencia correspondiente al primer modo,m
k2
1,
0 2
0 2
11
11
Bm
k
m
kA
m
k
Bm
kA
m
k
m
k
0
0
11
11
Bm
kA
m
k
Bm
kA
m
k
36-3
35-3
como esperábamos las ecuaciones 3-35 y 3-36 son dependientes, y de ellas obtenemos
que en el modo 1,
11 BA 3-37
lo cual significa que ambas masas oscilan con frecuencia m
k2
1 e igual amplitud
(modo 1), ver figura 3-10.
De esta forma, una de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales
(ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 1, es:
111a cos )( tAt y 111b cos )( tAt 3-38
Hacemos lo mismo para el modo 2. Reemplazamos en 3-29 y 3-30 la frecuencia
m
k32
2 ,
0 3
2
0 32
22
22
Bm
k
m
kA
m
k
Bm
kA
m
k
m
k
0
0
22
22
Bm
kA
m
k
Bm
kA
m
k
40-3
39-3
como esperábamos las ecuaciones 3-39 y 3-40 son dependientes, y de ellas obtenemos
que en el modo 2,
22 BA 3-41
Figura 3-10: Esquema de movimiento correspondiente al modo 1.
92
lo cual significa que ambas masas oscilan con la frecuencia m
k32
2 e igual
amplitud pero de sentido contrario (modo 2), ver figura 3-11.
De esta forma, otra de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales
(ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 2, es:
222a cos )( tAt y 222b cos )( tAt 3-42
Debido a que el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, podemos escribir
la solución general del sistema dinámico (ec. 3-24 y 3-25), como combinación lineal de
ambas soluciones (principio de superposición),
222111a cos cos )( tAtAt 3-43
222111b cos cos )( tAtAt 3-44
donde los valores de 1A y 2A se determinan a partir de las condiciones iniciales, e
indican la amplitud con que participa cada modo en el movimiento total.
Optativo. Ecuación de autovalores y autovectores: Aunque ya hemos hallado la
solución del problema, vamos a analizar otra forma matemática de pensarlo, veremos
que las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como ecuación de autovalores.
Comenzamos por reescribir las ecuaciones 3-29 y 3-30 como,
BBm
kA
m
k
ABm
kA
m
k
2
2
2
2
46-3
45-3
estas ecuaciones pueden presentarse en una forma matricial equivalente, definiendo
las siguientes matrices,
B
AV y
m
k
m
km
k
m
k
M2
2
3-47
Figura 3-11: Esquema de movimiento correspondiente al modo 2.
93
de esta forma, las ecuaciones 3-45 y 3-46 se pueden escribir matricialmente como
(verifique),
B
A
B
A
m
k
m
km
k
m
k
2
2
2
3-48
y en forma compacta, como,
VVM 2. 3-49
Las ecuaciones 3-48 y 3-49 son ecuaciones que comúnmente se denominan, en
Álgebra, ecuación de autovalores, donde, en este caso, el coeficiente 2 es el
autovalor de la matriz M , mientras que la matriz V es el autovector correspondiente
a ese autovalor.
Según esta ecuación, existen valores especiales del coeficiente 2 (autovalor)
y autovectores V correspondientes, de tal forma que al multiplicar a V por la matriz
M sólo obtenemos un múltiplo de éste, es decir, V.2 .
Fácilmente se verifica que si V es un autovector, entonces cualquier múltiplo
de éste es también autovector de la matriz M con el mismo autovalor 2 , por lo cual
los autovectores determinan direcciones preferenciales en el espacio, en este caso de
dimensión 2.
Recordando lo aprendido en los cursos de Álgebra, utilizando esas nuevas
direcciones como nueva base del espacio, entonces la matriz M resulta diagonal en
esa base, y los autovalores son los elementos de la diagonal.
En Álgebra aprendimos a resolver las ecuaciones de autovalores, el concepto
es exactamente el mismo que ya hemos discutido. La ecuación 3-48 tiene otra solución
que no es la trivial, si y sólo sí se anula el determinante de la matriz siguiente,
02
2
2
2
m
k
m
km
k
m
k
3-50
que es exactamente lo mismo que hallamos en la ecuación 3-31. Por consiguiente de
aquí en más las cuentas son las mismas (hacerlas), obteniéndose,
m
k2
1
1
1 1V (Modo 1) 3-51
m
k32
2
1
1 2V (Modo 2) 3-52
94
Note que hemos elegido un autovector en particular, pero sabemos que cualquier
múltiplo de ellos sirve, y lo único que importa es la relación entre sus componentes,
1
1 1V 11 BA (Modo 1) 3-53
1
1 2
-V 22 BA (Modo 2) 3-54
3-9. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el resorte del medio
tiene una constante elástica distinta, es decir, en lugar de k posee una constante
elástica q .
3-10. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el sistema se halla
formado por masas distintas kgma 1 y kgmb 2 .
3-11. (Repaso). Considere dos péndulos acoplados por un resorte de constante
elástica k y longitud relajada 0l , con longitud de los hilos l , y con masas m (ver
figura
3-12).
Para pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio:
a) Verifique que las ecuaciones de movimiento (para pequeñas oscilaciones) son:
)t()t( )t()t(
)t()t( )t()t(
babb
baaa
kl
mgm
kl
mgm
b) Halle las coordenadas normales. Haga un esquema de la forma en que oscila cada
modo (configuración del modo).
Resp. 1 1 1 1( ) ( ) ( ) cost t t A t a b y
2 2 2 2( ) ( ) ( ) cost t t A t a b
c) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación.
Resp. 12
g
l y 2
22
g
l
k
m.
Fig. 3-12
95
d) Importante. Halle la solución general de las ecuaciones de movimiento para cada
masa, es decir, halle a ( )t y b ( )t .
e) Importante. Encuentre una superposición de los dos modos que corresponda a las
condiciones iniciales, al tiempo t 0 , en el que ambos péndulos tienen velocidad
nula, la pesa “ a ” amplitud 2 A y la “b ” amplitud cero.
3-12. En sistemas dinámicos lineales, la superposición de condiciones iniciales da
superposición de movimientos correspondientes.
Supongamos que a y b son dos oscilaciones acopladas. Consideremos tres
condiciones iniciales diferentes:
i) a y b salen del reposo con amplitudes 1 y 1, respectivamente.
ii) salen del reposo con amplitudes 1 y 1 .
iii) salen del reposo con amplitudes 2 y 0 , respectivamente. De modo que la
condición inicial para el caso iii) es una superposición de las correspondientes a los
casos i) y ii).
Demuestre que el movimiento en el caso iii) es una superposición de los
movimientos para los casos i) e ii). ¿Sería esto cierto si la ecuación diferencial fuera
no lineal?
3-13. (Optativo). Analice las oscilaciones longitudinales alrededor del equilibrio del
sistema formado por dos masas mm 1 y mm32
2 acopladas por resortes de
constante elástica k , como muestra la figura 3-13:
3-14. (Optativo). Vibraciones libres de una molécula lineal. Consideremos un
modelo basado en una molécula triatómica simétrica. En la configuración de
equilibrio de la molécula hay dos átomos de masa m situados a ambos lados de otro de
masa mM 2 (ver figura 3-14). Los tres átomos están alineados a una distancia 0l
(de equilibrio).
Sólo estudiaremos oscilaciones longitudinales, y en primera aproximación
suponemos una interacción elástica, de constante recuperadora k .
a) Encuentre la ley dinámica del sistema.
b) Halle las frecuencias de los modos normales.
c) Dibuje las configuraciones de cada modo.
d) Halle la ley dinámica )(ta , )(tb y )(tc , considere al centro de masas en
reposo.
e) De condiciones iniciales de tal forma de sólo excitar el modo más alto.
Fig. 3-14
Fig. 3-13
96
3-15. Guía teórica: Frecuencias de corte:
Supongamos que tenemos un arreglo de un número grande N de partículas
interactuando elásticamente entre vecinas, ver figura 3-15.
Si suponemos que el sistema evoluciona en sólo una dimensión, el sistema
posee N grados de libertad de los cuales todos, salvo uno de traslación como un
rígido, son grados de libertad de vibración ( 1N ). Por consiguiente el sistema posee
1N modos normales de vibración y, por ende, 1N frecuencias de resonancia.
Supongamos que del lado izquierdo comenzamos a impulsar al sistema con
una fuerza armónica (recordar el capítulo anterior). Si la frecuencia de la fuerza
impulsora concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia del sistema, este
absorberá una gran cantidad de energía y el movimiento se propaga por todas las
partículas del sistema. Si no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia,
la energía trasmitida al sistema resulta menor.
Ahora supongamos que conocemos todas las frecuencias de resonancia del
sistema, y en particular conocemos la frecuencia máxima máx y mínima mín , entre
ellas se encuentran las restantes frecuencias. Si el número de grados de libertad es
muy grande, las frecuencias de resonancia pueden hallarse muy cerca una de las otras,
y por consiguiente si aplicamos una fuerza impulsora con una frecuencia que
cumpla máxmín , aunque no concuerde exactamente con una de las
frecuencias de resonancia, la fuerza entrega una energía apreciable al sistema. Pero si
la frecuencia de la fuerza impulsora resulta menor que la mínima mín o mayor
que la máxima máx entonces se halla lejos de una resonancia y, por consiguiente,
el sistema absorbe muy poca energía (las partículas se mueven muy poco).
A las frecuencias máx y mín se las conoce con el nombre de frecuencias de
corte del sistema.
Un ejemplo físico real en donde podemos aplicar un razonamiento semejante
al anterior (pero mucho más complejo), es la ionosfera. La ionosfera la podemos
pensar como formada por un número muy, pero muy grande de moléculas
interactuando. Este sistema complejo, posee frecuencias de corte máxima y mínima.
Si una onda electromagnética incide sobre la ionosfera, ésta absorbe mucha o
poca energía, dependiendo de su frecuencia. Eso es exactamente lo que sucede con las
frecuencias de emisión de radio AM y FM.
La frecuencia AM se halla por debajo de la frecuencia de corte mínima, por
consiguiente la ionosfera absorbe muy poca energía de la onda y esta se refleja en su
mayor parte, ayudando de esta forma a que la radio se escuche en grandes distancias
por sucesivos reflejos. En cambio las frecuencias de FM son superiores a la frecuencia
de corte mínima por lo cual la ionosfera absorbe mucha energía de esa onda y muy
poco se refleja, por ello las radios de FM tienen un alcance limitado.
Figura 3-15: Arreglo de partículas interactuando elásticamente, entre vecinas.
97
Bibliografía :
Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté.
Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.
Kraushaar, Ed. Reverté.
Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.
Reverté.
Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana.
Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.