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Tema 2

Oscilaciones y Ondas

Programa

1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.

Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.

2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.

3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.

4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de

propagación: reflexión, refracción y difracción.

5. Interferencias. Ondas estacionarias.

Movimientos periódicos

Movimientos que se repiten a intervalos regulares

Período, T ≡ tiempo necesario para describir un ciclo completo (s)

Frecuencia, ν ≡ Número de ciclos por segundo (Hz) T

1=ν

Movimiento armónico simple

)cos()( δω += tsts max

t

smax

s(t)

smax ≡ amplitud

ω ≡ frecuencia angular

δ ≡ fase inicial

πνπ

ω 22

==T

Cinemática del MAS

)2

cos(

)sen(d

)(d)v(

πδωω

δωω

++=

+−==

ts

tst

tst

max

max

sts

tst

tta

max

max

22

2

)cos(

)cos(d

)(vd)(

ωπδωω

δωω

−=++=

=+−==

)cos()( δω += tsts max s TT/2

v

a

t

t

t

ω 2 smax

ω smax

smax

Dinámica del MAS

sKsmamF −=−== 2ω 2ωmK =

( ) ( )

2 2

total cinética potencial

2 2 2 2 2

2

1 1E E E v

2 2

1 1

2 2

1

2

max max

max

m Ks

m s sen t Ks cos t

Ks cte

ω ω δ ω δ

= + = + =

= + + + =

= =

2

0 0

1

2

s s

W F ds K s ds K s= = =∫ ∫

Se comunica energía al sistema realizando trabajo para separar el cuerpo unadistancia s de la posición de equilibrio y después se deja oscilar libremente

Dinámica del MAS

s TT/2t

smax

2

max2

1sK

t

cinética

potencial

E

E

2 2 2

total cinética potencial

1 1 1E E E v

2 2 2maxm Ks Ks cte= + = + = =

Movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm

t

T/2

smax

x

ω smax

y

s

s

ω2 smax

T

ω

Tipos de oscilaciones

)cos()( 0max δω += tstssKF −=

Oscilaciones libres

rozFsKsKF +−=−−= vγ

)cos()( δωµ += − tests t

max

Oscilaciones amortiguadas

2222

0

22 )( ωγωω +−=

m

Fs max

max

)cos(max tFsKF ωγ +−−= v

Oscilaciones forzadas

)cos()( δω += tsts max

t

s

maxs

t

max es µ−

s

s

s

t

t

t

smax

smax

smax

0ωω <

0ωω =

0ωω >

tsmax

s

Frecuencia natural o propia 0ω ≡

Movimiento amortiguado

http://www.ehu.es/acustica/espanol/basico/mases/mases.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/rozamiento/rozamiento.htm

Amortiguado

Movimiento amortiguado

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transitorio.htmAmortiguado y forzado

Resonancia

2222

0

22 )( ωγωω +−=

m

Fs max

max

La amplitud de la oscilación forzada depende de la frecuencia impulsora y de la constante de amortiguamiento. La amplitud máxima se produce aproxima-damente a la frecuencia propia o de resonancia ω = ω0, pero si además el rozamiento es pequeño la amplitud puede ser muy grande.

0ωω =Condición de resonancia

Aplicaciones de la resonancia

� Habla y audición humanas

� Sintonizador de aparatos de radio y TV

� Análisis químico de materiales

smax

ωω 0

γgrande

γ = 0

γpequeño

Resonancia

En el año 1940, en Tacoma (EEUU), un puente colgante se destruyó debido al fenómeno de la resonancia unos meses después de haber sido inaugurado.

Un temporal azotó la región y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia igual a una de las frecuencias características del puente. Éste entró en resonancia y empezó a oscilar con una amplitud tan grande que lo destruyó.

Resonancia

http://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag

Medida de las características de una vibración

Osciloscopio: medidas de amplitud, frecuencia y diferencias de fase

Programa








Concepto de onda

Propagación de una perturbación a través del espacio

Movimiento oscilatorio caracterizado por su frecuencia

Clasificación de las ondas

�Según la relación entre la dirección de vibración y la de propagación: longitudinales o transversales

�Según las dimensiones en las que se propaga: uni, bi- o tridimensionales

�Según el tipo de energía que se propaga: mecánicas o electromagnéticas

�Según su confinamiento: viajeras o estacionarias

Ondas longitudinales y transversales

La vibración puede ser perpendicular (ondas transversales) oparalela (ondas longitudinales) a la dirección de propagación

Ondas armónicas: Representación analítica

Función y ecuación de ondas

y

x

dd

y = f(x) y = f(x-d)y = f(x+d)

y

x

y = f(x-ut)y = f(x+ut)

u uPulsos viajeros

Pulsos

( ) 0x

f x,t f ,tu

= −

Ondas armónicas: Representación analítica

s

x

x

( )[ ]tuxks)t,x(s max += cos

( )[ ]tuxks)t,x(s max −= cos

Dirección de propagación

Ondas

maxs( t ) s cos( t )ω=

Vibraciones

[ ]

0 max

max max

x xs( x,t ) s ,t s cos t

u u

s cos t x s cos kx tu

= − = ω − =

ω = ω − = − ω

ku

ω=

smax ≡ amplitud

δ ≡ fase inicial

ω ≡ frecuencia angular

k ≡ número de onda angular


Doble periodicidad de una onda

( )[ ] ( )

−=−=−=

T

txstkxsutxkstxs

λπω 2coscoscos),( maxmaxmax

Tku

λω==

s (x,t0)

x

λ

t

s (x0,t) T

= tt 0en

0xx =Período temporal T en

Período espacial o longitud de onda

( )maxcoss( x,t ) s kx tω= −

λ

Velocidad de propagación de la onda

2 2k

u Tu

ω π π

λ= = =Número de onda


22

02

d0

d

ss

tω+ =

( )tkxstxs ω−= cos),( max

Función de ondas

)txk(st

s)txk(s

t

smaxmax ωωωω −−=

∂

∂−=

∂

∂cos ;sen 2

2

2

)txk(skx

s)txk(sk

x

smaxmax ωω −−=

∂

∂−−=

∂

∂cos ;sen 2

2

2 2

22

2

2

x

su

t

s

∂

∂=

∂

∂

Ecuación de ondas

)cos()( 0max δω += tsts

� Vibraciones

FunciónEcuación

� Ondas

Ondas transversales en una cuerda

2

22

2

2

x

yu

t

y

∂

∂=

∂

∂

( )tkxy)t,x(y max ω−= cos

m

Fu

λ=

Función de ondas

Ecuación de ondasu

F ≡ tensión de la cuerda

mλ ≡ densidad lineal de masa

Ondas: frentes de onda y rayos

Frentes de onda

a) planosb) esféricosc) cilíndricos

x

y

zx

y

zx

y

z

b) c)a)

Rayos

a) paralelosb) divergentesc) convergentes

b) c)a)

A grandes distancias losfrentes de onda esféricosse convierten en planos

Programa








Ondas sonoras

Ondas de presión capaces de estimular el oído humano

Infrasonidos UltrasonidosBandas de ondas sonoras audibles

Graves Medios Agudos

10 Hz 100 Hz 1000 Hz 10000 Hz 100000 Hz

20 Hz 400 Hz 1600 Hz 20000 Hz

Frecuencia de las ondas sonoras

Aplicaciones de las infrasonidos y ultrasonidos

�Infrasonidos: estudios geológicos

�Ultrasonidos: investigación de sólidos, sónar, aplicaciones en medicina (diagnóstico, terapéuticas, quirúrgicas), limpieza de superficies

Generación de las ondas sonoras

Sistema mecánico que vibra: oscilaciones forzadas de las moléculas del medio cercanas que reproducen la vibración original.

La vibración se comunica a las moléculas contiguas, propagándose la perturbación.

Ondas sonoras longitudinales

http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Ondas longitudinales en un fluido: sonido

a) desplazamiento

2

22

2

2

x

su

t

s

∂

∂=

∂

∂

( )tkxs)t,x(s ω−= cosmax

sen2

max max

dsp B kBs ( kx t ) p cos( kx t )

dx

π∆ = − = − − ω = ∆ − ω −

b) presión

V S sp B B

V S x

∆ ∆∆ = − = −

∆

∆x ∆x + ∆s

V S V +∆V S

s1

s2

2 22

2 2

p pu

t x

∂ ∆ ∂ ∆=

∂ ∂

Onda de presión

p

x

Onda de desplazamiento

tMoléculas en reposo

Moléculas al paso de la onda s

x

Ondas longitudinales en un fluido: sonido

m

Bu

ρ=

Velocidad de propagación

20 05aireu , T=

L T

m m

Y Gu ; u

ρ ρ= =

Sólidos

B ≡ Módulo de compresibilidad

mρ ≡ Densidad

T ≡ Temperatura (K)

AireAire

AguaAgua

AluminioAluminio

0’340’34

1’571’57

5’05’0

u (103 m/s)u (103 m/s)

Programa








Intensidad de las ondas

Flujo de energía uSIt

V

VtI EVEE ρρ ==== totaltotal EE

x = u t

V S

Intensidad de la onda: Flujo de energía por unidad de superficie transversal atravesada por la onda

22 2total maxE

max

E I 1

2 2E

pPI u Z s

S S t S Zρ ω= = = = = =

uZ mρ=

Impedancia acústica

Densidad de energíaV

EtotalE

=ρ

2max

2

2

1smE ωρρ =desplazamiento

m

mEu

p

Bk

p

ρ

ωρρ

2

2max

22

2max

2

22

1==presión

Sensación sonora

La sensibilidad del oído varíade forma aproximada con

el logaritmo de la intensidad 0

10I

Ilog)dB(L =

( )212

0 W/m10−=I

Nivel deintensidad

Umbral deaudición sonora

80Tráfico intenso0Nivel mínimo audible

160Rotura del tímpano60Conversación

120Nivel de dolor40Casa (interior)

100Discoteca20Susurro

L (dB)L (dB)

Propagación del sonido: energía

� Ley del cuadrado de la distancia

22

2

21

1

4

4

r

PI

r

PI

π

π

=

=

21

22

2

1

r

r

I

I=

r2

r1

I2

I1

� Ley de absorción

x

I0 I1

xII ∆−=∆ α xII α−= e0

Propagación de las ondas: interacción con un obstáculo

El resultado de la interacción depende de la relación entre las dimensiones del obstáculo (d) y la longitud de onda (λ)

d >>λReflexióny refracción

d < λ La onda no detecta el obstáculo

d ≥ λ Difracción

Principio de Huygens

Cada punto del frente alcanzado por la ondase convierte en un foco puntual emisor de ondas esféricas secundarias, y cualquier frente de ondas posterior, se obtiene como superficie tangente a los frentes de ondas de estas ondas secundarias

Reflexión y refracción: geometría

t

i

tu

tu

θ

θ

sen ADAC

sen ADBD

2

1

==

==

2

1

sen

sen

u

u

t

i =θ

θr

i

tu

tu

θ

θ

sen ADAC

sen ADBD

1

1

==

==ri θθ =

θt

u1

θi

θi

Refracción

u2

u1

θr

θi

Reflexión

Difracción

Cambio de dirección de la onda trasla interacción con un obstáculo de

dimensiones del orden de λ

α

d

αd

d

λα ≈sin

Difracción (cubeta de ondas)

Difracción (luz)

Programa








Interferencias: ondas de la misma amplitud y frecuencia

)cos(1 txkpp max ω−=

[ ]txxkpp max ω−∆+= )(cos2

)2

cos()2

cos(221

xktxk

xkpppp maxR

∆+−

∆=+= ω

Interferómetro

Intensidad de laonda resultante

24 cos2

RI Iϕ

= λ

πδ

2=∆= xk

∆x

4I

λIR

k xϕ ∆=Diferencia de fase

Principio de superposición: cuando a un punto llegan, al mismo tiempo, varias ondas, la función de onda resultante es la suma algebraica de las diferentes funciones de onda que intervienen.

Interferencias constructivas y destructivas

Interferencia: a) constructiva

24 cos2

RI Iϕ

=Intensidad de la onda resultante xk ∆=ϕ

( )...,,,,n 3210=λnx =∆

πϕ 2n=

t

t

t

TT/2p1

p2

pR

p1max

p2max

pRmax

a)

b) destructiva

( )...,,,n 531=2λnx =∆

πϕ n=

TT/2

t

t

t

p1

p1max

p2

p2max

pR

pR= 0

b)

Ondas estacionarias

Interferencias de ondas con sus reflejadas

)cos(1 txkpp max ω−=

)cos(2 δω ++= txkpp max

x

pR

t1 = 0

t4 = T/4

t2

t3

t7 = T/2

t6

t5

1 2 max2 cos( )cos( )2 2

Rp p p p kx tδ δ

ω= + = + +

Amplitud nula: nodoAmplitud máxima: vientre

Ondas estacionarias en tubos sonoros

Tubos sonoros (extremos abiertos)

...,,nnLk 321 == π

...,,n 321=

nL

2=

λ

L

n=1

n=2

n=3

1 2 max2 cos( )cos( )2 2

Rp p p p kx tδ δ

ω= + = + +

( ) )tsin(xksinpp maxR ω2=( ) 00 ==xpR δ π=

( ) 0== LxpR

L

un

2=ν

Tubos sonoros (un extremo cerrado)

...,,nnLk 531 2

==π

...,,n 531=

nL

4=

λ

maxRmax p)Lx(p 2==

L

un

4=ν

L

n=1

n=3

n=5

Tubos sonoros

Órgano de la Catedral (Barcelona)

Ondas estacionarias longitudinales en un tubo sonoro

Extremosabiertos n=1

Un extremocerrado n=1

Extremosabiertos n=2

Un extremocerrado n=3

Ondas estacionarias. Transversales en una cuerda

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/

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