1.5 Kombinasi

Permutasi dengan tidak memperhatikan urutannya adalah kombinasi. Misalkan

ada 5 jenis cat yang berlainan, dua diantaranya dicampur. Cat pertama dicampur ke cat

kedua akan memberikan warna yang sama apabila cat yang kedua dicampur ke cat yang

pertama.

Permutasi dari =5!/3! Yang masing – masing terdiri dari dua unsure dengan

urutan bebeda tetap sama sehingga untuk kombinasi harus dibagi dengan permutasi dua

unsur. Jadi banyak kombinasinya = 5!/(3!.2!) = 10.

Simbol untuk kombinasi k unsur dari n unsur berlainan disimbolkan atau

T.1.9 Teorema : Banyaknya kombinasi k unsur dari n unsure yang berlainan

adalah

=

Contoh : Dua cat dicampur dari lima warna A, B, C, D,dan E adalah :

AB BC CD DE

AC BD CE

AD BE

AE

Dengan rumus seluruhnya5!/(3!.2!) = 10

1.6 Koefisien Binomial dan Multinomial

Perhatikan binomial (a + b), suku a dan b mempunyai koefisien masing – masing

1, sedangkan (a + b) = a + 2ab + b , koefisien masing – masing suku berturut – turut 1,

2 dan 1.

Koefisien tersebut dapat disusun sebagai berikut :

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

4……………………………………

………………………………………

1 n …n 1

(a + b) = a + na b + a b + a +

a + …+ a +

(a + b) = a + a b + a b + a + a +…+

a + b

Sehingga dapat ditulis :

T.1.10 Teorema : (a + b) =

Beberapa ciri binomial berpakat n :

1. Banyak suku = n + 1.

2. Jumlah pangkat factor a dan b pada tiap suku adalah n.

3. Pangkat a menurun dari n pada suku pertama hingga O pada suku terakhir,

sedangkan pangkat b naik dari O pada suku pertama hingga n pada suku

terakhir.

4. Koefisien sembarang suku di mana k adalah pangkat salah satu factor a

atau b.

5. Koefisien suku-suku yang berjarak sama dari kedua ujung adalah sama.

Contoh 1.11

Untuk (a + b) , koefisien suku yang ke enam adalah ;

koefisien suku ke 9 =

Jika kombinasi ditulis dengan maka subnomial ditulis a

, (n + k) + k = n.

Dengan memperluas pengertian ini maka suku banyak dapat ditulis

T.1.11 Terema : =

Contoh : 1.12

adalah koefisien dari pada

T.1.12 Teorema :

1.7 Partisi Berurut

Misalkan A , A , A …partisi himpunan A, pengurutan (A , A , A ) berbeda

dengan A , A , A , A ), pasangan demikan disebut partisi berurut. Misalkan dalam

suatu kotak terdapat 11 buah kelereng, dari dalamnya diambil kelereng berturut-turut

sebagai berikut : Pengambilan pertama dua buah, pengambilan kedua 4 buah,

pengambilan ketiga 3 buah, danpengambilan keempat 2 buah. Pada pengambilan pertama

sebanyak cara, pengambilan kedua sebanyak cara, pengambilan ketiga sebanyak

cara, dan pengambilan keempat sebayak cara,sehingga diperoleh sebanyak

cara patisi berurut A ke dalam A dengan dua kelereng, A dengan empat

kelereng, A dengan tiga kelereng dan A dengan dua kelereng.

T.1.13 Teorema : Jika A mengandung n unsur yang terdiri dari n , n

,…n bilangan bulat positif dengan n + n + …+ n = n, maka ada

sebanyak partisi berturut A dalam bentuk( A , A ,…

A ) di mana A = n unsure, i = 1, 2,…,k

Teorema ini dapat dibuktikan dengan cara pada contoh diatas. Banyak

kemungkinan partisi tersebut adalah :

… = …

.

=

1.8 Fungsi Himpunan

Telah diketahui bahwa suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk

x → f (x)

(x,y) → g (x,y)

→ h

bila x, (x,y) dan titik maka f (x), g (x,y)dan h disebut fungsi

titik.Katakanlah A subset dari S dan ada suatu fungsi f yang berlaku untuk S sehingga

untuk A didefinisikan f (A) bernilai tunggal maka f (A) disebut fungsi dari himpunan A

atau disebut saja fungsi himpunan A.

Contoh 1.13

A adalah himpunan .

Hitungah Q (A) = <1)dx dy dz

Jawab :

Dengan transformasi koordinat bola x = r sinØ cos θ, y = cosØ sinθ, z = r cosØ

=

=

Maka Q (A) = dx dy dz menjadi

= dθ dØ dr = 1/2π

EVALUASI

1. Dalam suatu pentas kesenian terdapat 2 macam kreasi tari yang masing-masing

memerlukan 3 penari dan 4 penari. Berapa cara penyusunan pormasi penari yang

dapat dibentuk dari 10 penari yang tersedia. Jika tidak ada satu penari yang

merangkap dua jenis tarian tersebut.

Penyelesaian:

n = 10 → r = 3

r = 4

Banyaknya cara penyusunan pormasi penari tersebut adalah:

( ) ( ) = = = 120 . 210 = 25 200 cara

2. Carilah koefisien suku ke-7 pada

Penyelesaian:

n = 9 , a = 4x, b = - , r = 6

Suku ke-7 = ( )(4x)

=

= 5376

Jadi koefisen suku ke-7 adalah 5376.