http://ductam_tp.violet.vn/TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN- TP. THÁI NGUYÊN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011Môn: TOÁN – Khối: A

(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)

Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 2 4

1

xy

x

−=+

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).Câu II (2,0 điểm):

1. Giải phương trình: 22

1 3 21 3

x xx x

= + + −+ + −

2. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +

Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: 2

1

lnln

1 ln

e xI x dx

x x

= + ÷+ ∫Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9 9 9 9 9 9

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6

x y y z z xP

x x y y y y z z z z x x

+ + += + ++ + + + + +

PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình chuẩn.Câu VI.a (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x+ + − = .

Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có

phương trình 2 3

2 (t R)

4 2

x t

y t

z t

= + = − ∈ = +

. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là

nhỏ nhất.

Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức: 2 0z z+ =

B. Theo chương trình nâng cao.Câu VI.b (2,0 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

2 1 0 3 3 0

( ) ; ( ') 1 0 2 1 0

x y x y z

x y z x y

+ + = + − + = ∆ ∆ − + − = − + =

.Chứng minh rằng hai đường thẳng ( ∆ ) và ( '∆ ) cắt

nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ( '∆ ).

Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2 2

3 3 3

log 3 log log

log 12 log log

x y y x

x x y y

+ = + + = +

.

-------------------------------- Hết ------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………..……………………………………Số báo danh: ……………...……

ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 – MÔN TOÁN – KHỐI A

Câu Nội dung Điểm

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)CâuI 2.0

1. TXĐ: D = R\{-1}

Chiều biến thiên: 2

6' 0 x D

( 1)y

x= > ∀ ∈

+

=> hs đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ , hs không có cực trị 0.25

Giới hạn: 1 1

lim 2, lim , limx x x

y y y− +→±∞ →− →−

= = +∞ = −∞

=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2 BBT x - ∞ -1 + ∞ y’ + +

y

+ ∞ 2

2 - ∞

0,25

0.25

+ Đồ thị (C):

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4)f(x)=(2x-4)/(x+1)

f(x)=2

x(t)=-1 , y(t)=t

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng

0.25

2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6

;2 ; ;2 ; , 11 1

A a B b a ba b

− − ≠ − ÷ ÷+ + 0.25

Trung điểm I của AB: I2 2

;2 1 1

a b a b

a b

+ − − + ÷+ + Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0 0.25

Có : . 0AB MN

I MN

=

∈

uuur uuuur

0.25

=> 0 (0; 4)

2 (2;0)

a A

b B

= − => =

0,25

CâuII 2.0

1. TXĐ: x [ ]1;3∈ − 0,25

Đặt t= 1 3 , t > 0x x+ + − => 2

2 43 2

2

tx x

−+ − = 0,25

đc pt: t3 - 2t - 4 = 0 t=2 0,25

Với t = 2 1

1 3 =2 ( / )3

xx x t m

x

= −+ + − ⇔ =

0,25

2. 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + 1,0TXĐ: D =R

2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +

[ ] sin 0(sin ). 2 2(sin ) sin . 0

2 2(sin ) sin . 0

x cosxx cosx x cosx x cosx

x cosx x cosx

− =⇔ − + + + = ⇔ + + + =

0,25

+ Với sin 0 ( )4

x cosx x k k Zπ π− = ⇔ = + ∈ 0,25

+ Với 2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + = , đặt t = sin (t 2; 2 )x cosx + ∈ −

được pt : t2 + 4t +3 = 0 1

3( )

t

t loai

= −⇔ = − 0.25

t = -1

2( )

22

x mm Z

x m

π ππ π

= +⇒ ∈ = − +

Vậy :

( )4

2 ( )

22

x k k Z

x m m Z

x m

π π

π ππ π

= + ∈

= + ∈

= − +

0,25

Câu III2

1

lnln

1 ln

e xI x dx

x x

= + ÷+ ∫1,0

I1 =1

ln

1 ln

e xdx

x x+∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I1 = 4 2 2

3 3− 0,5

( )22

1

lne

I x dx= ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e - 2 0,25

I = I1 + I2 =2 2 2

3 3e − − 0,25

Câu IV 1,0

M

N

AB

D C

SS'

HK

SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : . .S ABCD S AMNDV V V= −0,25

. . .S AMND S AMD S MNDV V V= + ;. .

. .

1 1; . ;

2 4S AMD S MND

S ABD S BCD

V VSM SM SN

V SB V SB SC= = = =

0.25

. . .

1

2S ABD S ACD S ABCDV V V= = ; . . .

3 5

8 8S AMND S ABCD S ABCDV V V V= ⇒ = 0.25

25

24V a h⇒ = 0.25

CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b b c c aP

a ab b b bc c c ca a

+ + += + ++ + + + + + 0.25

3 3 2 2

2 2 2 2( )

a b a ab ba b

a ab b a ab b

+ − += ++ + + +

mà 2 2

2 2

1

3

a ab b

a ab b

− + ≥+ +

(Biến đổi tương đương)

2 2

2 2

1( ) ( )

3

a ab ba b a b

a ab b

− +=> + ≥ ++ +

0.25

Tương tự: 3 3 3 3

2 2 2 2

1 1( ); ( )

3 3

b c c ab c c a

b bc c c ca a

+ +≥ + ≥ ++ + + +

=> 32( ) 2. 2

3P a b c abc≥ + + ≥ = (BĐT Côsi) 0.25

=> P 2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1 0.25

II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)A. Chương trình chuẩn

CâuVI.a 2.01. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ 0,25

Pt đường thẳng IA : 2 3

2 2

x t

y t

=

= +, 'I IA∈ => I’( 2 3 ;2 2t t + ), 0,25

1

2 ' '( 3;3)2

AI I A t I= ⇔ = =>uur uuur

0,25

(C’): ( ) ( )2 2

3 3 4x y− + − =0.25

2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d∈ , AB//d. 0.25Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB

0.250,25

MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25

CâuVII.a 1.0

z = x + iy ( ,x y R∈ ), z2 + 2 2 2 20 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + = 0,25

2 2 2 2

2 0

0

xy

x y x y

=⇔ − + + =

0,25

0

0

0

1

0

1

x

y

x

y

x

y

= =

=⇔ = = = −

0,25

Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0,25B. Chương trình nâng cao

Câu VI.b

2.0

1. (7;3)BD AB B∩ = , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠ ,

I =2 1 2 17

;2 2

a c a c+ + − + ÷

là trung điểm của AC, BD.0,25

I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − − 0,25

M, A, C thẳng hàng ,MA MCuuur uuuur

cùng phương => c2 – 13c +42 =0 7( )

6

c loai

c

= = 0,25

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.252.

Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, ( ∆ ) ∩ ( '∆ ) = A 1 3

;0;2 2

− ÷ 0.5

(0; 1;0) ( )M − ∈ ∆ , Lấy N ( ')∈ ∆ , sao cho: AM = AN => NAMN∆ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ('∆ ) chính là đg thẳng AI 0.25

Đáp số:

1 2

1 3 1 32 2 2 2( ) : ;( ) :

1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5

14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30

x z x zy yd d

+ − + −= = = =− − − −+ + + − − − 0,25

Câu VII.b

TXĐ: 0

0

x

y

> >

0.25

2 2 2

3 3 3

log 3 log log 3 . 2 .

log 12 log log 12 . 3 .

x y

x y

x y y x y x

x x y y x y

+ = + = ⇔ + = + = 0.252

3 . 2 .x y

y x

y x

=⇔

=0.25

4

3

4

3

log 2

2log 2

x

y

=⇔ =

(t/m TXĐ)0,25

(Học sinh giải đúng nhưng không theo cách như trong đáp án, gv vẫn cho điểm tối đa tương ứng như trong đáp án ).

Câu VI.b

2.0

1. (7;3)BD AB B∩ = , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠ ,

I =2 1 2 17

;2 2

a c a c+ + − + ÷

là trung điểm của AC, BD.0,25

I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − − 0,25

M, A, C thẳng hàng ,MA MCuuur uuuur

cùng phương => c2 – 13c +42 =0 7( )

6

c loai

c

= = 0,25

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.252.

Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, ( ∆ ) ∩ ( '∆ ) = A 1 3

;0;2 2

− ÷ 0.5

(0; 1;0) ( )M − ∈ ∆ , Lấy N ( ')∈ ∆ , sao cho: AM = AN => NAMN∆ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ('∆ ) chính là đg thẳng AI 0.25

Đáp số:

1 2

1 3 1 32 2 2 2( ) : ;( ) :

1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5

14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30

x z x zy yd d

+ − + −= = = =− − − −+ + + − − − 0,25

Câu VII.b

TXĐ: 0

0

x

y

> >

0.25

2 2 2

3 3 3

log 3 log log 3 . 2 .

log 12 log log 12 . 3 .

x y

x y

x y y x y x

x x y y x y

+ = + = ⇔ + = + = 0.252

3 . 2 .x y

y x

y x

=⇔

=0.25

4

3

4

3

log 2

2log 2

x

y

=⇔ =

(t/m TXĐ)0,25

(Học sinh giải đúng nhưng không theo cách như trong đáp án, gv vẫn cho điểm tối đa tương ứng như trong đáp án ).