ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2008-2009 TOÁN AB-150 PHÚT

Bài 1: Cho phương trình x2+mx−2m2

x+2m= (2m−1 ) x+6 (1)

a) Giải phương trình khi m=1b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

Bài 2:

a) Giải phương trình √2x−1 −¿ 2√ x−1 = -1b) Giải hệ phương trình 2 x−x+2 y=4 xy

x2+2xy=4

Bài 3:

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x (x>1)

A=(x√ x+4 x+3√ x ) (x√ x−1)( x−1 ) (x √x+x+√x )(x+3)b)Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+2b−3c=0 và bc+2ac−3ab=0.Chứng minh rằng

a=b=c

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp có góc A nhọn và hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M. P là trung điểm của CD, H là trực tâm của tam giác ABD.

a) Tính tỷ số PMDH

b) Gọi N, K lần lượt là chân đường cao hạ từ B và D của tam giác ABD, Q là giao điểm của MK và BC. Chứng minh MN=MQ.

c) Chứng minh tứ giác BQNK nội tiếp.

Bài 5: Một nhóm học sinh định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ tại một đơn vị trẻ mồ côi.Nếu mỗi phần quà giảm đi 6 viên thì các em có thêm 5 phần quà, nếu giảm đi 10 viên thì các em có thêm 10 phần quà. Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: a) Khi m=1, phương trình (1) trở thành : x2+x−2x+2

=x+6 (2)

Điều kiện x+2 ≠0 x≠2. Với điều kiện trên ta có:

(2) x2+ x−2=( x+6 ) ( x+2 )

x2+ x−2=¿ x2+8 x+12

−7 x=14

x=−2 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) x2+mx−2m2

x+2m= (2m−1 ) x+6 (1)

x+2m ≠0 x≠2m. Với điều kiện trên ta có :

(1) x2+mx−2m2

x+2m= (2m−1 ) x+6 (1)

x−m= (2m−1 ) x+6

(2m−2¿ x=−m−6 (3)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ phương trình (3) có nghiệm x≠−2m.Với m=1 ta có :0 x=−7, phương trình vô nghiệm.

Với m≠1 ta có x=−m−62m−2 . Ta có:

−m−62m−2 ≠-2m m-6 ≠ -4m2+4m ≠ 0

4m2-5m-6 ≠ 0 m≠−34

m≠ 2

Vậy với m≠1 ,m≠−34 và m≠ 2 thì phương trình (1) luôn có nghiệm.

a) Bài 2: √2x−1 −¿ 2√ x−1 = -1 (1)

Điều kiện 2 x−1≥0 x≥12 x≥1

x−1 ≥0 x≥1

Với điều kiện trên ta có

√2x−1 −¿ 2√ x−1 = -1

2 x−1=4 ( x−1 )−4√ x−1 +1 4 √x−1=2 x−2

2√x−1=x−1

4 ( x−1 )=¿

x=1x=5

Thử lại ta thấy

x=1 không phải là nghiệm của phương trình vì √2.5−1−2.√5−1≠−1

x=5 là nghiệp của phương trình (1) vì √2.5−1−2.√5−1=−1

Vậy phương trình có nghiệm x=5

Nhận xét : Có thể giải theo cách dùng phép biến đổi tương đương, nhưng sau một lần bình phương hai vế ta phải đặt điều kiện, khá rắc rối. Làm theo biến đổi suy ra thì ta phải có bước thử lại.

B ¿2x−x+2 y=4 x (1)

b) x2+2xy=4 (2)

Ta có :

2 x2−x+2 y−4 xy=0

( x−2 y ) (2x−1 )=0

2 x−1=0 x=12

x−2 y=0 x=2 y

Với x=1/2 thế vào (2) ta tính được y= 15/4

Với x=2y thế vào (2) ta có (2y)2+2(2y)y=4 y2=1/2 y= ± √22 => x=±√2

Vậy phương trình có 3 nghiệm (x;y) là ( 12,154 ),(√2 , √2

2 ) và (−√2 ,−√22 )

Bài 3

A=(x√ x+4 x+3√ x ) (x√ x−1)( x−1 ) (x √x+x+√x )(x+3)

=(x√ x+3x+x+3√ x ) (√x−1)(x+√ x+1)

(√x−1 )(√ x+1)√x

¿x(√x+3)+√ x(√x+3)

(x+√x )(√x+3)

¿(√ x+3)+(x+√x )

(x+√x )(√x+3)

= 1

Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.

c) Ta có a+2b−c=0=¿ a=3c−2b=¿bc+2ac−3ab=0

bc+2c (3c−2b )−3b (3c−2b )=0

6c2−12bc+6b2=0

6(b−c ¿¿2=0

b=c

Từ b=c suy ra a+2b−3c=0 hay a=b

Vậy a=b=c

Bài 4 :

a) Trong tam giác CMD vuông tại M có MP là trung tuyến nên ta có : MP=2CD=PC=> PMC cân tại P, suy ra góc PCM=PMC (1)

Tứ giác BMHK có góc MBK + BKH =90°+90°=180° nên tứ giác nội tiếp , suy ra góc MHD=KBM (2)

Mặt khác ta có góc MBK =MCP (3) (tứ giác ABCD nội tiếp)

Từ (1), (2), (3) ta có góc MHD=CMP mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có MP// HD.

Trong tam giác CHD có MP//HD và P là trung điểm của CD nên MP là đường trung bình, suy ra MP=1/2 HD và M là trugn điểm của CH.

Vậy PMDH=1/2

b) Tứ giác AKMD có góc AKD=AMD=90° => AKMD là tứ giác nội tiếp nên góc BMK=BAD .Mà ta cũng có góc QMD=BMK (đối đỉnh)

và góc QCD=BAD (ABCD nội tiếp)

Do đó QCD=QMD => MCQD nội tiếp

Suy ra góc CQD+CMD=180°=> CQD= 180°-CMD=90°

Tam giác BHC có BM là đường cao đồng thời đường trung tuyến nên cân tại B, suy ra BM cũng là phân giác góc HBD.

Suy ra tam giác BQD =tam giác BND ( cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra BQ=BN và DQ=DN

Do đó BD là đường trung trực của NQ mà M thuộc BD nên MQ=MN

c) Tam giác MNQ cân tại M => góc MQN=MNQ (4)

Ta có BD là đường trung trực của MP nên BD vuông góc với MQ mà

BD ⊥ AC. Suy ra MQ//AC=> góc AMN=MNQ (5)

Ta có tam giác ABMN là tứ giác nội tiếp, suy ra góc ABN=KMN (6)

Từ (4), (5), (6) ta có góc MQN=KMN=> tứ giác BQNK nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau)

BÀI 5 :

Gọi x (viên) là số kẹo của mỗi phần quà ban đầu

Và y là số phần quà ban đầu

Điều kiện( x,y nguyên dương, x lớn hơn 10)

Khi đó ta có xy là tổng số kẹo mà nhóm học sinh có

xyx−6

là số phần quà sau khi giảm mỗi phần 6 viên kẹo.

xyx−10

là số pần quà sau khi giảm mỗi phần 10 viên kẹo.

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

xyx−6

= y+5 xy= (x−6 ) ( y+5 )

xyx−10

= y+10 xy= (x−10 ) ( y+10 )

xy=xy−6 y+5 x−30

xy=xy−10 y+10x−100

5 x−6 y=30 x=30

10 x−10 y=100 y=20

Vậy tổng số viên kẹo mà nhóm học sinh có là x.y=20.30=600 viên