Decremento logartmico Vibraciones mecnicas 25/03/2015 ITC Roberto Hernndez Snchez

Decremento logartmico (DL)

El amortiguamiento viscoso lineal no es un elemento fsico real, en muchos sistemas fsicos, sino un concepto matemtico que se utiliza para explicar la disipacin de energa. Por esta y otras

razones, suele ser necesario determinar experimentalmente el valor de (razn de amortiguamiento). Esto se logra fcilmente midiendo el desplazamiento en dos "picos" sucesivos

del movimiento, por ejemplo, si se tiene con (la interseccin de las curvas no se dan en el mismo punto en sus valores mximos, al desvi se le considera insignificante):

Tomando logaritmos neperianos de uno y otro miembro y llamndole decremento logartmico , que viene a ser la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema que, consiste en medir la razn de cada:

Dnde:

(Periodo de la vibracin libre amortiguada)

Cuando el amortiguamiento del sistema es pequeo, los desplazamientos sern casi

iguales , con lo que ser muy pequeo, entonces , con

lo que o sea .

Nota.- Si los valores de X1 y X2 son tan prximos que es prcticamente imposible distinguirlos experimentalmente, las formulas anteriores pueden modificarse para utilizarse con dos amplitudes separadas n ciclos.

Ejemplo ilustrativo.-

Una plataforma que pesa w = 20 kN esta soportada por cuatro columnas empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado, experimentalmente, que una fuerza esttica

horizontal, F = 5 kN, aplicada a la plataforma, produce un desplazamiento = 0.05 cm. Tambin se ha estimado que el coeficiente de amortiguamiento es del orden del 5% del amortiguamiento

crtico. Determine para esta estructura lo siguiente: a) la frecuencia natural sin amortiguamiento, b) el coeficiente de amortiguamiento, c) el decremento logartmico, y d) el nmero de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca desde un valor inicial de 0.3 cm a 0.03 cm.

Solucin

1).- El modelo discretizado de la plataforma, es:

2).- D.C.L.:

3).- Calculo del coeficiente de rigidez equivalente.- El coeficiente de rigidez que viene a ser la fuerza por unidad de desplazamiento, se obtiene de la siguiente manera:

4).- Calculo de la frecuencia natural:

5).- Calculo del coeficiente de amortiguamiento:

Si:

Luego, el coeficiente de amortiguamiento es:

6).- Calculo del decremento logartmico.- Es aproximadamente (el coeficiente de amortiguamiento es pequeo con respecto al crtico) a:

Y la razn de dos amplitudes consecutivas mximas, es:

7).- Calculo del nmero de ciclos y el tiempo correspondiente:

Si, la razn entre la primera amplitud X0 y la amplitud Xk, despus de k ciclos, puede expresarse como:

Tomando logaritmos naturales:

La frecuencia con amortiguamiento, est dado por:

Y el periodo T', por:

Por lo tanto, el tiempo para 8 ciclos es: