DEDUKTIVNA DEDUKTIVNA METODAMETODA

SISTEMATSKO I DOSLEDNO SISTEMATSKO I DOSLEDNO POSTUPANJE PRI KOME SE POSTUPANJE PRI KOME SE PRIMENJUJU DEDUKTIVNI PRIMENJUJU DEDUKTIVNI ZAKLJUZAKLJUČČCI SA CILJEM DA SE CI SA CILJEM DA SE OTKRIJE ILI DOKAOTKRIJE ILI DOKAŽE ISTINAŽE ISTINA

Pitanje o poPitanje o početnim četnim premisama dedukcijepremisama dedukcije

Indukcija prve premise dobija Indukcija prve premise dobija opažanjem – a deduktivna opažanjem – a deduktivna metoda polazi od aksioma. metoda polazi od aksioma.

AksiomiAksiomi su evidentne, očigledne su evidentne, očigledne istine koje se ne dokazuju a same istine koje se ne dokazuju a same predstavljaju osnovu za primenu predstavljaju osnovu za primenu DEDUKTIVNE DEDUKTIVNE metode. metode.

AKSIOMATIKAAKSIOMATIKA

Sudovi koji su deduktivno izvedeni iz Sudovi koji su deduktivno izvedeni iz aksioma su aksioma su teoremeteoreme..

Sistem sudova koji čine aksiomi i Sistem sudova koji čine aksiomi i teoreme - teoreme - aksiomatski sistemaksiomatski sistem..

Proučavanje aksiomatskih sistema i Proučavanje aksiomatskih sistema i aksiomaaksiomattsskke metode – e metode – aksiomatikaaksiomatika..

Aksiomatska metoda se može smatrati Aksiomatska metoda se može smatrati deduktivnom metodom u užem smisludeduktivnom metodom u užem smislu

ISTORIJAT ISTORIJAT DEDUKTIVNE METODEDEDUKTIVNE METODE

TalesTales iz Mileta (624–547iz Mileta (624–547 p.n.e.p.n.e.))

Deduktivno Deduktivno zaključivanje je prvi zaključivanje je prvi uveo u upotrebu uveo u upotrebu poznati grčki filozof poznati grčki filozof Tales, u 6. veku pre Tales, u 6. veku pre nove ere, dokazavši nove ere, dokazavši nekoliko teorema o nekoliko teorema o podudarnosti podudarnosti trouglova.trouglova.

PitagoraPitagora (569–475 BC.) (569–475 BC.)

Za dalji razvoj i Za dalji razvoj i popularizaciju popularizaciju deduktivnog deduktivnog metoda veoma metoda veoma zaslužan je bio i zaslužan je bio i Pitagora sa Pitagora sa Samosa.Samosa.

AristotelAristotel (384–322 BC.) (384–322 BC.)

Aristotel je u svom Aristotel je u svom “Organonu” “Organonu” odredio suštinu odredio suštinu deduktivnog deduktivnog zaključka i dao mu zaključka i dao mu primat u saznanju primat u saznanju prvenstvo u nauci.prvenstvo u nauci.

EuklidEuklid (325 – 265 g. p. n. (325 – 265 g. p. n. e.)e.)

Tvorac prve deduktivne, Tvorac prve deduktivne, aksiomatske teorije bio aksiomatske teorije bio je Euklid.je Euklid.

– – ELEMENTIELEMENTI (13 knjiga (13 knjiga - Geometrija) - Geometrija)

Euklidska geometrija Euklidska geometrija predstavlja model po predstavlja model po kome se i danas kome se i danas organizuju matematičke organizuju matematičke teorije teorije

MatematiMatematičke teorije čke teorije == deduktivne teorijededuktivne teorije

Organizacija svih matematičkih Organizacija svih matematičkih teorija zasniva se na nekim teorija zasniva se na nekim zajedničkim polaznim principima. zajedničkim polaznim principima.

Počinje navodjenjem definicija, Počinje navodjenjem definicija, postulata i aksioma. postulata i aksioma.

Prvo se definišu pojmoviPrvo se definišu pojmovi..

Prilikom izgradnje bilo koje Prilikom izgradnje bilo koje aksiomatske teorije najpre činimo aksiomatske teorije najpre činimo sledeće:sledeće:

jedan broj pojmova teorije proglašavamo za jedan broj pojmova teorije proglašavamo za osnovne ili primitivne pojmoveosnovne ili primitivne pojmove – pojmove koji – pojmove koji se ne definišu;se ne definišu;

jedan broj tvrđenja teorije proglašavamo za jedan broj tvrđenja teorije proglašavamo za aksiomeaksiome – tvrdjenja koja se ne dokazuju; – tvrdjenja koja se ne dokazuju;

navodimo navodimo pravila logičkog zaključivanjapravila logičkog zaključivanja – – pravila koja smemo da koristimo pri dokazivanju pravila koja smemo da koristimo pri dokazivanju raznih tvrdjenja u toj teoriji.raznih tvrdjenja u toj teoriji.

Zašto se osnovni pojmovi ne Zašto se osnovni pojmovi ne definišu a aksiome ne definišu a aksiome ne dokazuju?dokazuju? Razlog je vrlo jednostavan:Razlog je vrlo jednostavan:

Nije moguće sve dokazati, pa se Nije moguće sve dokazati, pa se nešto mora ostaviti nedokazanim, i nešto mora ostaviti nedokazanim, i to su aksiome.to su aksiome.

Nije moguće sve definisati, pa se Nije moguće sve definisati, pa se nešto mora ostaviti nedefinisano, i nešto mora ostaviti nedefinisano, i to su osnovni pojmovi.to su osnovni pojmovi.

Na primer, svaki pokušaj da Na primer, svaki pokušaj da se sve dokaže doveo bi do se sve dokaže doveo bi do pojavepojave začaranog krugazačaranog kruga, , (circulus vitiosus), gde gde

bi u dokaz nekog tvrdjenja neposredno ili bi u dokaz nekog tvrdjenja neposredno ili posredno bilo uključeno i ono samo, iliposredno bilo uključeno i ono samo, ili

beskonačnog regresabeskonačnog regresa – beskonačne – beskonačne hijerarhije novih i novih tvrdjenja hijerarhije novih i novih tvrdjenja neophodnih za dokazivanje onih neophodnih za dokazivanje onih prethodnih.prethodnih.

Definisanje IDefinisanje I

Osnovni pojmovi se ne definišu, ali o njima Osnovni pojmovi se ne definišu, ali o njima obično postoji jasna intuitivna predstava.obično postoji jasna intuitivna predstava.

Na primer, skup je osnovni pojam u teoriji Na primer, skup je osnovni pojam u teoriji skupova, deo i celina su osnovni pojmovi u skupova, deo i celina su osnovni pojmovi u elementarnoj geometriji, itd.elementarnoj geometriji, itd.

Ukoliko je teorija aksiomatska, moglo bi se Ukoliko je teorija aksiomatska, moglo bi se reći i da se osnovni pojmovi ne definišu reći i da se osnovni pojmovi ne definišu eksplicitno, ali da su implicitno definisani eksplicitno, ali da su implicitno definisani sistemom aksioma.sistemom aksioma.

Ostali pojmovi se uvode Ostali pojmovi se uvode definicijama.definicijama.

Definicijama se značenje tih Definicijama se značenje tih pojmova objašnjava uz pomoć pojmova objašnjava uz pomoć osnovnih pojmova i već ranije osnovnih pojmova i već ranije definisanih pojmova.definisanih pojmova.

Definisanje IIDefinisanje II

Primeri definicija - nPrimeri definicija - nekih od 23 iz Euklidovih “elemenata”:: Tačka je ono što nema delova. Linija je dužina bez širine. Krajevi linije su tačke. Prava je linija ona, koja za

tačke na njoj podjednako leži. Tup ugao je onaj koji je veći od

pravog.

Granica je ono sto je kraj ma čega.

Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

Primeri definicija - nPrimeri definicija - nekih od 23 iz Euklidovih “elemenata”::

Sa druge strane, teorija se Sa druge strane, teorija se razvija tvrdjenjima, odnosno razvija tvrdjenjima, odnosno

teoremama.teoremama. Teoreme se dokazuju na osnovu pravila Teoreme se dokazuju na osnovu pravila

zaključivanja, i u dokazima se ne koriste zaključivanja, i u dokazima se ne koriste samo aksiome i već i ranije dokazane samo aksiome i već i ranije dokazane teoreme.teoreme.

U dokazivanju se ne koristi iskustvo ili U dokazivanju se ne koristi iskustvo ili ubedjenje ma koje vrste, već isključivo ubedjenje ma koje vrste, već isključivo logička pravila.logička pravila.

To znači da je navedeni metod razvijanja To znači da je navedeni metod razvijanja teorije deduktivan:teorije deduktivan:

Novi pojmovi i tvrdnje se izvode ili Novi pojmovi i tvrdnje se izvode ili dedukuju iz već usvojenih, a na dedukuju iz već usvojenih, a na osnovu logičkih zakona.osnovu logičkih zakona.

Uvodjenje i upotreba navedenih Uvodjenje i upotreba navedenih pojmova i postupaka u matematici se pojmova i postupaka u matematici se proučava u okviru matematičke proučava u okviru matematičke logike.logike.

Sa druge strane, teorija se Sa druge strane, teorija se razvija tvrdjenjima, odnosno razvija tvrdjenjima, odnosno

teoremama.teoremama.

PrimerPrimerii postulata postulata Pet postulata iz "Elemenata":Neka se pretpostavi: 1) Da se moze povuci od svake tacke ka svakoj drugoj

tacki prava linija. 2) Da ogranicena prava moze biti produzena u svom

pravcu neprekidno. 3) Da se moze opisati od svakog sredista svakim

rastojanjem krug. 4) Da su pravi uglovi podudarni medjusobno. 5) Da ce se, ako jedna prava u preseku sa drugim

dvema obrazuje sa iste strane dva unutrasnja ugla ciji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno preduzene, seci i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.

Primeri aksioma Primeri aksioma

1) Oni koji su jednaki istom, jednaki su medjusobno.

2) Ako se jednakim dodaju jednaki, celine su jednake.

3) Ako se od jednakih oduzmu jednaki, ostaci su jednaki.

4) Ako se nejednakim dodaju jednaki, celine su nejednake.

Primeri aksioma Primeri aksioma

5) I udvostručeni jednaki, jednaki su medjusobno.

6) I polovine od jednakih, jednake su medjusobno.

7) I oni koji se mogu poklopiti jednaki su medjusobom.

8) I celina je veća od dela.

9) I dve prave ne ograničavaju oblast.

Neprotivrečnost

Potpunost

nezavisnost aksioma i osnovnih pojmova

Osobine deduktivne metode:

Tradicionalni Tradicionalni - - (nedokazive (nedokazive pretpostavke koje nisu pretpostavke koje nisu neposredno oneposredno oččigledne) igledne)

i moderni odgovor logike. i moderni odgovor logike. (postulati i aksiomi su isto.) (postulati i aksiomi su isto.)

U čemu je razlika U čemu je razlika aksioma i postulataaksioma i postulata??