Instituto Tecnolgico de Tuxtepec

lgebra LinealDefinicin de Tipos de Matrices CuadradasIng. en Sistemas Computacionales

Catedrtico:

Jos Manuel Vargas JimnezAlumno:

Humberto Chalate Jorge

Matricula:

11350261

Fecha de encargo:

22 de Febrero de 2012Fecha de entrega:

27 de Febrero de 2012

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ndice

Pagina

Portada

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Introduccin

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Contenido

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Conclusin

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Bibliografa

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IntroduccinLas matrices, aunque parezcan al principio objetos extraos, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. No nos vamos a adentrar en teora de matrices ni pretendemos ser rigurosos en las definiciones, ni mucho menos nos preocuparemos aqu de demostrar nada algebraicamente, sino que nos limitaremos a exponer la mnima teora imprescindible para entender el funcionamiento del objeto Matriz, que nos ser de gran utilizad para personalizar nuestras transformaciones.

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Definicin de Tipos de Matrices Cuadradas.Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que segn su forma, sus elementos,...reciben nombres diferentes:

Definicin de Matriz CuadradaUna matriz A es cuadrada cuando el nmero de filas las es igual al nmero de columnas. Amxnes cuadrada si y solo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n x n o simplemente de orden n y se representa por An.

Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij)nxn, la diagonal principal es el conjunto de elementos aijtales que i = j.

As en:La diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 - 5).

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TIPOS DE MATRICES CUADRADASMatriz TriangularEs aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encimao por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser:

Matriz Triangular Superior: Una matriz cuadrada A = (aij)nxnes triangular superior si aij= 0 i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

Matriz Triangular Inferior: Una matriz cuadrada A = (aij)nxnes triangular inferior si aij= 0 i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por encimade la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

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Matriz DiagonalEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. Ejemplo:

Matriz EscalarEs aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz diagonal son iguales. Ejemplo:

Matriz IdentidadEs aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz escalar son iguales a 1. Ejemplo:

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Matriz PotenciaSea A una matriz cuadrada y n N/n = 2; entonces se define:

Ejemplo:

Matriz PeridicaUna matriz cuadrada A es peridica si existe p 2 N tal que Ap+1 = A. Adems si p es el menor nmero natural que cumple Ap+1 = A se dice que A es peridica de periodo p. Es inmediato comprobar que si A es peridica de periodo p se cumple que: Ejemplo:

Matriz NilpotenteUna matriz cuadrada A se dice nilpotente de ndice k si Ak = 0; donde 0 es una matriz nula; adems Ak-1 Ejemplo: 0.

Veamos:

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Matriz IdempotenteUna matriz cuadrada A se llama idempotente si y slo si A2 = A Veamos la matriz A, donde:

Ejemplos:

Obtenindose que

, luego diremos que A es una matriz Indempotente.

Matriz InvolutivaUna matriz cuadrada es involutiva si y slo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir: A2 = l. Ejemplo:

Veamos:

Entonces A2 = I

, A es involutiva.

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Matriz SimtricaUna matriz cuadrada diremos que es simtrica si y slo si es igual a su transpuesta. A es simtrica Ejemplo: A=

Las matrices anteriores son matrices simtricas.

Matriz AntisimtricaEs una matrizcuadrada que es iguala la opuesta de sutraspuesta. A es Antisimtrica Ejemplo: Dada la matriz se tiene que: A=-

Matriz ComplejaEs toda matriz cuadrada, cuyos elementos son nmeros complejos. Ejemplo:

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Matriz ConjugadaSean a y b nmeros reales e i =p ; la expresin z = a + birepresenta un nmero complejo. Los nmeros complejos de la forma a + biy a - bise llaman conjugados y cada uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por Sean z1 = a+biy z2 = z1 = abi; entonces, = . = = a+bi, es decir, el

conjugadodel conjugado de un nmero complejo z es el mismo. Ejemplo:

Matriz HermitianaDada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o hermtica si dichamatriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir: Sea A = (aij)nxn es hermitiana si A = ( )tnxn. De donde se concluye que los

elementos dela diagonal principal son necesariamente reales. Ejemplo:

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Matriz AntihermitianaDada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual alnegativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir: Si A = (aij)nxn ^ (A)t = ((aij))tnxn ) A es antihermitiana.

De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Luego se dir que la matriz A es antihermitiana.

Matriz OrtogonalUna matriz ortogonales necesariamentecuadrada e invertible:A-1 = AT La inversa de una matrizortogonal es una matrizortogonal. El producto de dosmatrices ortogonales es unamatriz ortogonal. El determinante de unamatriz ortogonal vale +1 -1. Ejemplo:

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ConclusinEste trabajo sirvi para conocer acerca de los tipos de matrices existentes, asi como se representan y cules son sus propiedades. Tambin nos mostr que las matrices no son iguales, y que se necesita saber la definicin de las matrices bsicas, para comprender las ms complejas, ya sea el caso. Se nos muestra las definiciones de cada matriz y sus respectivos ejemplos.

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Bibliografa Anton, H. (1991). Introduccin al lgebra lineal. (3.a edicin). Mxico: Ed. Limusa. Lages Lima, Elon. Algebra Lineal. IMCA. Hozlo, Lima-Per, 1999.

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