definition poutre

- Cours de mcanique -

_______________________________________________

DEFINITION DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUESDUNE POUTRE

SOMMAIRE

1. ETUDE DES CARACTRISTIQUES GOMETRIQUES D'UNE POUTRE ET D'UNE SECTION DROITE ____________ 3

1.1. DEFINITION D'UNE POUTRE.........................................................................................................31.1.1. DFINITION 31.1.2. TYPOLOGIE DES POUTRES 31.1.3. DIMENSIONS DE LA SECTION DROITE 41.1.4. ORDRE DE GRANDEUR DES RAPPORTS DES LONGUEURS CARACTRISTIQUES 41.1.5. EXEMPLES DE SECTIONS DROITES DE POUTRES PLAN MOYEN DE SYMTRIE 41.1.6. SYSTME DE RFRENCE: 5

2. MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITE ___________________________________________ 6

2.1. DEFINITIONS..................................................................................................................................62.1.1. MOMENT STATIQUE DUNE SURFACE LMENTAIRE : 62.1.2. MOMENT STATIQUE DUNE SECTION DROITE : 6

2.2. THEOREMES, PROPRIETES.........................................................................................................72.3. MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITE / AXE DE SYMETRIE ...................................92.4. REMARQUE : ON PEUT RAPPROCHER LE CENTRE DE SURFACE (OU DE MASSE) ET LE

BARYCENTRE ................................................................................................................................92.5. CENTRE DE SURFACE ( CENTRE DE GRAVIT ) D'UNE SECTION DROITE......................102.6. ANNEXES......................................................................................................................................11

2.6.1. DMONSTRATION DU THORME 1 112.6.2. DMONSTRATION DU THORME 2 112.6.3. DMONSTRATION DU THORME 3 12

3. MOMENTS QUADRATIQUES D'UNE SECTION DROITE. notation I ______________________________ 133.1. DFINITIONS................................................................................................................................13

3.1.1. MOMENT QUADRATIQUE PAR RAPPORT UN AXE OX D'UNE SECTION DROITE 133.1.2. MOMENT QUADRATIQUE PAR RAPPORT UN AXE OY D'UNE SECTION DROITE 143.1.3. MOMENT QUADRATIQUE PRODUIT OU PRODUIT D'INERTIE 143.1.4. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE 15

3.2. ETUDE DU MOMENT PRODUIT QUADRATIQUE.......................................................................153.2.1. THORME : NONC 153.2.2. CHANGEMENT DE REPRE PAR TRANSLATION. RELATION ENTRE LES MOMENTS PRODUITS

QUADRATIQUES: ( )IO x y' ' ' , ( )IOxy , TANT UNE SECTION QUELCONQUE. 163.2.3. THORME: LE REPRE GX'Y' SE DDUISANT DE OXY PAR UNE SIMPLE TRANSLATION, G CENTRE DE

SURFACE. 173.2.4. PROPRIT : SI LA SECTION DROITE QUELCONQUE, PEUT SE DCOMPOSER EN SURFACES

LMENTAIRES I, ALORS: 173.2.5. THEOREME : OY EST UN AXE DE SYMTRIE (OU OX EST UN AXE DE SYMTRIE) 18

3.3. VARIATIONS DES MOMENTS QUADRATIQUES IOX1, IOY1, IOX1Y1, LES AXESAPPARTENANT A UN REPERE MOBILE TOURNANT AUTOUR DE O .....................................19

3.3.1. DTERMINATION DES MOMENTS QUADRATIQUES PAR RAPPORT AUX AXES OX1Y1 193.3.2. THORME FONDAMENTAL t 213.3.3. RELATION ENTRE LES MOMENTS QUADRATIQUES PAR RAPPORT DES AXES PARALLLES. 213.3.4. THORME D'HUYGENS 22

3.4. DETERMINATION DES AXES PRINCIPAUX ET DES MOMENTS QUADRATIQUESPRINCIPAUX.................................................................................................................................23

3.4.1. 1RE SOLUTION ANALYTIQUE 233.4.2. 2ME SOLUTION ANALYTIQUE 233.4.3. 3ME SOLUTION : DTERMINATION GRAPHIQUE : CERCLE DE MOHR DES MOMENTS QUADRATIQUES 243.4.4. ETUDE DES MOMENTS QUADRATIQUES DE SURFACES SIMPLES ERREUR! SIGNET NON DFINI.

- Dfinition des caractristiques gomtriques dune poutre - LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY , Page n3/30

1. ETUDE DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES D'UNE POUTRE ET D'UNE SECTION DROITE

1.1. DEFINITION D'UNE POUTRE

1.1.1. DEFINITIONUne poutre est un solide engendr par une surface plane (figure gomtrique) dont le centre

de gravit G dcrit une courbe C, le plan contenant reste constamment normal la tangente en G cette courbe C.

est appel la section droite ou section transversale de la poutre (profil pour certaines poutrescommercialises); elle peut tre pleine ou vide. La courbe C dcrite par G est dite ligne (ou fibre)moyenne de la poutre.

On appelle fibre, le volume engendr par l'lment de surface d entourant un point P de la section droite lorsque le centre de gravit de cette derniredcrit la ligne moyenne. Cette dnomination ne doit pas tre entendue comme tant une description de la structure du matriau constituant la poutre. C'esttout simplement par analogie aux matriaux composites fibreux que cette dnomination est utilise.

G (o)

G (s)

C

x

y

z

A

B

dG (s)

P

P

1.1.2. TYPOLOGIE DES POUTRES

Suivant la forme de la ligne moyenne, on obtient:

une poutre droite lorsque C est une droite, une poutre gauche lorsque C est une courbe gauche, un arc lorsque C est courbe plane ouverte (portique si C est form de segments de droites), un anneau lorsque C est une courbe plane ferme, une poutre plan moyen de symtrie lorsque C est une courbe plane et si de plus le plan contenant C

est un plan de symtrie de .


1.1.3. DIMENSIONS DE LA SECTION DROITELes hypothses de la thorie des poutres ne donneront des rsultats ralistes que si les conditions suivantes

sont respectes.

Les dimensions transversales de la section droite doivent tre petites devant la longueur de la poutre.Elles ne doivent pas cependant tre trop petites car les dplacements sont supposs faibles.

Si nous appelons lancement gomtrique le rapport de la longueur de la poutre sa dimension transversale

moyenne, ( )h,bmoyL

g = . ( )h,b tant respectivement la plus grande largeur de la poutre et la hauteur

Cet lancement ne doit pas tre trop faible ni trop lev. Lapproximation de la RDM est de lordre de 1

2 g . Deplus il faut que le rayon de courbure de la ligne moyenne soit grand vis vis des dimensions de la section droite etque la gomtrie de celle-ci ne varie, que lentement.

1.1.4. ORDRE DE GRANDEUR DES RAPPORTS DES LONGUEURS CARACTERISTIQUESComme ordre de grandeur, vous pouvez tabler sur:

avec L = longueur de la ligne moyenne

h = la plus grande dimension transversale de la section droite

b = la plus petite dimension transversale de la section droite

Pour une poutre 1

3015

hL

Pour un arc1

10015

hL

hb

10

Pour les poutres courbes Rh

> 5 avec R = rayon de courbure de la poutre

La section droite peut varier progressivement, la poutre est alors dite inertie variable ( ex: tablier de pont,arc lamell-coll,.....)

1.1.5. EXEMPLES DE SECTIONS DROITES DE POUTRES A PLAN MOYEN DE SYMETRIE

G

z

y

xG

z

y

x G

z

y

x


1.1.6. SYSTEME DE REFERENCE:La section droite d'une poutre ainsi que les contraintes agissant dans celle-ci sont repres par

rapport un repre (G, x, y, z) mobile que l'on nomme repre local, dfini par:

- G(s), barycentre de la section droite ou centre de surface (centre de gravit d'aprs leserrements habituels, en physique le centre de gravit correspond au point d'application du poids propre gnr parle champ de pesanteur de la Terre,). Ce point est repr par son abscisse curviligne s: s = longueur de l'arc G(0)G(s). La dtermination de la position du centre de gravit G sera effectue en utilisant par exemple les momentsstatiques S (voir le chapitre qui suit). Son aire sera nomme A.

- (G,x) est orient suivant la tangente la fibre moyenne et dirig suivant le sens de parcourspralablement choisi sur C (gnralement de la partie gauche vers la partie droite de la poutre),

- (G,y) et (G,z) sont orients suivant les axes principaux d'inertie de et tels que le tridre(G,x, y, z) soit direct (cela dans le but de simplifier les expressions des contraintes, la position de ces axes sedtermine par l'tude des moments quadratiques aborde dans le chapitre qui suit).

-le repre OXYZ est le repre global, ( ou repre de la statique ), on le considre unique etfixe.

Dans ce cours on se limitera au cas ou C est un ensemble de tronons de barres droites. Pour le sens deparcours, on choisira, par exemple pour l'exemple ci-dessous A, B, C, D, chaque tronon sera nomm (i) et affectd'un repre dont l'origine Oi sera place son extrmit gauche. Ce repre R O x y zi i i i i( , , , ) sera nommrepre de position, il est fixe. C'est le repre de la RDM, les quations du torseur de cohsion ou l'ordonne de laligne moyenne dforme sera exprime relativement son abscisse xi qui sera appele x pour simplifier.

A D

B C

yx

y

xy

x

1

2

3

1

1

3

32

2

B

A

C

1

2y

yx

x

2

2

1

1


2. MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITE

2.1. DEFINITIONS

C'est une grandeur gomtrique qui permet de dterminer la position du Centre de surface G (appel tort centre de gravit1) d'une section droite; de plus, elle intervient dans l'expression des contraintestangentielles gnres par l'effort tranchant Vy .

En physique ou en mcanique, lorsqu'on veut dterminer une grandeur relative un domaine fini, on commence toujours par l'exprimer surune surface lmentaire, puis on procde par sommation (intgration plus prcisment).

Pour cette tude, nous prendrons le repre classique des mathmatiques OXY, par contre, dans une section droite nous avons le repreGYZ, on remarquera que pour passer du premier au second il suffit de remplacer O par G, X par Y, Y par Z.

2.1.1. MOMENT STATIQUE DUNE SURFACE ELEMENTAIRE :Le moment statique de l'lment de surface lmentaire d par rapport l'axe Ox , not ( )S dOx est

gal :

( )S d y dAOx = . d reprsente le domaine d'aire dAdans un repre cartsien dA dx dy= . (dans un repre en coordonnes polaire dA r d dr= . . )

2.1.2. MOMENT STATIQUE DUNE SECTION DROITE :On appelle moment statique d'une section

droite par rapport un axe ( O,rx ) la quantit:

( )S y dA y dx dyxsurface surface

0

= = . . .

Le moment statique est un nombrealgbrique, ayant la dimension d'un volume.

Unit: mm3, cm3, m3,...

dxdy

y

y

y

ymin

max

xo

Cette intgrale peut se ramener une intgrale simple si l'on peut exprimer la largeur de la surface d , l'ordonne y, en fonction de y: soit b y( ) cette largeur.

dA b y dy= ( ).

1 Le centre de gravit est le point dapplication du poids dun objet.


( )S y dA y b y dyxsurface y

y

0

= = . . ( ).min

max

dyy

y

y

ymin

max

o

b (y )

x

( )S x dA x h x dxysurface x

x

0

= = . . ( ).min

max

dxy

y

ymin

max

xo xx min

max

(x)h

x

2.2. THEOREMES, PROPRIETES

La principale difficult rside dans la dtermination de b y( ) ou h x( ) . Pour des sections simples(rectangulaires, en I, ...) on procdera plus simplement en appliquant le thorme suivant qui fait intervenir lescoordonnes du Centre de surface G.

Changement de repre : translation

Connaissant le moment statique par rapport un axe (O', x'), on peut dterminer rapidement sa nouvelle valeurpar rapport un axe parallle au prcdent (O, x). on utilisera alors la relation suivante :


THEOREME 1:

( ) ( )( ) ( )

S y A S

S x A S

x O x

y O y

0 0

0 0

= +

= +

' ' '

' ' '

.

.

y

xo

G

aire : A

y '

x 'o' (xo' , yo' )

xO'

yO'

DEFINITION DU CENTRE DE SURFACE( CENTRE DE GRAVITE ): G

( )( )

SS

Gx

Gy

'

'

==

00

Le moment statique d'une section droitepar rapport un axe passant par G est nul.

Cette dfinition peut tre utilise pourdterminer la position de G.

y

y

ymin

max

xo

G

aire : AxG

yG

y '

x '

THEOREME 2:

Le moment statique d'une section droite par rapport un axe Ox (Oy), situ dans son plan, estgal au produit de l'ordonne du Centre de surface note yG ( xG ) par rapport cet axe par l'aire A dela section droite.

( )( )

S y A

S x A

x G

y G

0

0

=

=

.

.

A = aire de la section droite

x yG G, correspondent aux coordonnes de G par rapport aurepre Oxy. Attention: ce sont des valeurs algbriques.


2.3. MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITE / AXE DE SYMETRIE

THEOREME 3 :

Si Oy est axe de symtrie de on dmontre que:

( )S y0 0 =Or si

( )S x Ay G0 0 = = .symtriedeaxeGxG = 0

O

x

y

1 2G

xx- dAdA

2.4. REMARQUE : ON PEUT RAPPROCHER LE CENTRE DE SURFACE (OU DE MASSE)ET LE BARYCENTRE

Dfinition du barycentre : on appelle barycentre de n points Gi , affects de coefficients Ai tels que A Aii

n

= =

1

0

le point G unique tel que A Gii

n

i.G=

=1

0r r

On peut interprter cette dfinition de 2 manires : la section droite est dcompose en surfaces lmentaires i daire Ai et de centre de gravit Gi ; soit pour tout point M de la section droite affect dune aire lmentaire dA

GM dAr r

. = 0Daprs les thormes prcdents :

OM dA OO A O M dAr r r

. ' . ' . = +OM dA OG A

r r. . =

( ) ( )OM dA S x S yoy oxr r r. . . = +


2.5. CENTRE DE SURFACE ( CENTRE DE GRAVITE ) D'UNE SECTION DROITE

Dcomposer la section droite en surfaceslmentaires simples i dont on connat la position

du centre de surface Gi

On utilise la proprit dassociativit

55

100

5

5

Gx

Gy

G

O

y

x

( )( ) ( )( )( )

===

=

=

= =

i

n

x G

x x i

n

x i

n

x G i i

n

x G G i i

n

S y A

S S S

S y A

S y A y A

1

0

0 01

01

01

01

.

.

. .

yy A

Ax

x A

AGG i i

n

G

G i i

n

= = . .

1 1

Par exemple ici nous pouvons dfinir 3 dcompositions.

1re dcomposition

1

2

2me dcomposition

1

2

3me dcomposition

1 2

Application numrique:

Choisir un repre tel que la totalit de la sectiondroite soit situe dans le plan des coordonnespositives.

Utiliser un tableau pour la prsentation des rsultatset un tableur pour le calcul informatis.


2.6. ANNEXES

2.6.1. DEMONSTRATION DU THEOREME 1THEOREME 1:

( ) ( )( ) ( )

S y A S

S x A S

x O x

y O y

0 0

0 0

= +

= +

' ' '

' ' '

.

.

Les axes Ox et O'x' ainsi que

Oy et O'y' sont parallles.

OM OO O M OOxy

O Mxy

OMxy

x x xy y y

O

O

O

O

r r r r r r= +

= += +' ' ' '

''

''

'

'

'

'

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

'y''Oy

'y''O'Oy'O

'O'Oy

SA.xSaireAdA

SdAxdA'.xdA.xS.constuneestx

dA'.xdA.xdA.'xxdA.xS

00

00

0

+===

+=+=

+=+==

( ) ( )( ) ( )

S x A S

S y A Sy O y

x O x

0 0

0 0

= += +

' ' '

' ' '

.

.

2.6.2. DEMONSTRATION DU THEOREME 2

THEOREME 2:

Le moment statique d'une section droite par rapport un axe Ox (Oy) situ dans son plan est gal auproduit de l'ordonne du Centre de surface yG ( xG ) par rapport cet axe par l'aire A de la section droite.

( )( )

S y A

S x A

x G

y G

0

0

=

=

.

.

A = aire de la section droite

xG, yG correspondent aux coordonnes de G par rapport au repreOxy. Attention: ce sont des valeurs algbriques.

D'aprs le THEOREME 1( ) ( )( ) ( )

S x A S

S y A Sy O y

x O x

0 0

0 0

= += +

' ' '

' ' '

.

.

Soit O' = G D'aprs la dfinition du centre de surface G

( )( )( )( )

SS

S x A

S y A

Gx

Gy

y G

x G

'

'

.

.

====

00

0

0

( )( )S x A

S y Ay G

x G

0

0

==

.

.


2.6.3. DEMONSTRATION DU THEOREME 3THEOREME 3

Si Oy est axe de symtrie de on dmontre que:

( )S y0 0 =Or si

( )S x Ay G0 0 = = .

symtriedeaxeGxG = 0

1 domaine des x positifs2 domaine des x ngatifs

( )

( )

= += = +

= =

=

1 2

0

0

1 2

2 1 1

0

S x dA x dA x dA

x dA x dA x dA

S

y

y

. . .

. . .


3. MOMENTS QUADRATIQUES D'UNE SECTION DROITE. notation I

3.1. DEFINITIONS

3.1.1. MOMENT QUADRATIQUE PAR RAPPORT A UN AXE OX D'UNE SECTION DROITE On appelle moment quadratique d'une section

droite par rapport un axe (Ox), la quantit :

( )I y dA y dx dyOxsurface surface

= = 2 2. . .: :

Cette quantit est toujours positive.

Tous les moments quadratiques ont la dimensiond'une [ longueur ]4 unit mm4, cm4, ..

dxdy

y

y

y

ymin

max

xo

A la cote y, si l'on connat la largeur b y( ) de lasurface lmentaire d exprime en fonction de y, cetteintgrale peut se ramener une intgrale simple.

( )I y dA y b y dyOxsurface y

y

= = 2 2. . ( ).: min

max

dyy

y

y

ymin

max

o

b (y )

x


3.1.2. MOMENT QUADRATIQUE PAR RAPPORT A UN AXE OY D'UNE SECTION DROITE Le moment quadratique d'une section droite

par rapport un axe y, se dfinira de la mmefaon par les expressions suivantes:

( )I x dA x h x dxOysurface x

x

= = 2 2. . ( ).: min

max

Cette quantit est toujours positive.

dxy

y

ymin

max

xo xx min

max

(x)h

x

3.1.3. MOMENT QUADRATIQUE PRODUIT OU PRODUIT D'INERTIE

Le moment produit quadratique appel aussi produit d'inertie d'une section droite parrapport aux axes (0x) et (0y) est gal :

( )I x y dA x y dx dyOxysurface surface

= = . . . . .: :

Attention cette quantit peut tre ngative.

dA

y

y

xo

x


3.1.4. MOMENT QUADRATIQUE POLAIREOn appelle moment quadratique polaire, le moment

quadratique par rapport un point O d'une sectiondroite . Cette quantit toujours positive est utiliseen torsion, son expression est la suivante:

( )( ) ( )

I r dA r x y

I r dA x y dA

Osurface

Osurface surface

= = +

= = +

2 2 2 2

2 2 2

.

. .

:

: :

( )I x dA y dAOsurface surface

= + 2 2. .: :

( ) ( ) ( )I I IO Ox Oy = +

dA

y

xo

r

Le moment quadratique polaire est donc gal la somme des moments quadratiques par

rapport aux axes Ox et Oy.

3.2. ETUDE DU MOMENT PRODUIT QUADRATIQUE

3.2.1. THEOREME : ENONCESi est un rectangle et si les axes sont parallles aux cots du rectangle, alors l'intgrale peut trecalcule simplement.

xbao

c

d

xG

GyG

y ( )I x y dA

x y dxdy x dx y dy

Oxysurface

surface x

x

y

y

= =

=

. .

. . . . .

:

: min

max

min

max

( )I A x yOxy G G = . .

Dmonstration:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) GGOxy

Oxy

y

y

x

xOxy

d

c

d

c

y

y

b

a

b

a

x

x

y.x.AI

cd.ab.cd.abcd.cd.ab.abI

cd.abdy.y.dx.xI

cdydy.ydy.yabxdx.xdx.x

max

min

max

min

max

min

max

min

=

+

+=

+

+=

=

=

=

==

=

==

2222

22

2222

2222

222222


3.2.2. CHANGEMENT DE REPERE PAR TRANSLATION. RELATION ENTRE LES MOMENTS PRODUITSQUADRATIQUES: ( )IO x y' ' ' , ( )IOxy , ETANT UNE SECTION QUELCONQUE.

Le repre O'x'y' se dduit de Oxy par une simple translation.

( ) ( ) ( ) ( )I x y A x S y S IOxy O O O O x O O y O x y = + + +' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. . . .y

xo

G

a ire : A

y '

x 'o' (xo' , yo' )

xO'

yO'

Dmonstration :

OM OO O M OOxy

O Mxy

OMxy

x x xy y y

O

O

O

O

r r r r r

r

= +

= += +

' ' ' '''

''

'

'

'

'

( ) ( ) ( )( )

I x y dA x x y y dA

I x y dA x y dA x y dA x y dA

Oxysurface

O Osurface

Oxy O Osurface

Osurface

Osurface surface

= = + +

= + + +

. . ' . ' .

. . . ' . ' . . ' . ' .

:' '

:

' ':

':

': :

x y sont des ctsO O' ', . ( )I x y dA x y dA y x dA x y dAOxy O Osurface

Osurface

Osurface surface

= + + + ' ':

':

': :

. . . ' . . ' . ' . ' .

( ) ( ) ( ) ( )I x y A x S y S IOxy O O O O x O O y O x y = + + +' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. . . .Si O' = G, tant une section quelconque, on peut crire:


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

I x y A x S y S I

or d aprs la dfinition de G

S S

I x y A I

Oxy G G G Gx G Gy Gx y

Gx Gy

Oxy G G Gx y

= + + +

= == +

. . . .

'

,

. .

' ' ' '

' '

' '

0 0

3.2.3. THEOREME: LE REPERE GX'Y' SE DEDUISANT DE OXY PAR UNE SIMPLE TRANSLATION, G CENTREDE SURFACE.

y

xo

G

aire : A

y'

x' (xG , yG )yG

xG

( ) ( )I x y A IOxy G G Gx y = +. . ' '

3.2.4. PROPRIETE : SI LA SECTION DROITE QUELCONQUE, PEUT SE DECOMPOSER EN SURFACESELEMENTAIRES I, ALORS:

( ) ( )I IOxy Oxy ii

n

==

1

Dmonstration :

( ) ( )( ) ( )

= = =

== = =

=

ii

n

Oxy Oxy ii

n

Oxy ii

n

Oxy Oxy ii

n

I I I

I I

1 1 1

1


Si les surfaces lmentaires i sont desrectangles dont les cots sont parallles auxaxes :

( ) ( )( )( )

I I

I x y A

I x y A

Oxy Oxy ii

n

Oxy i Gi Gi i

Oxy Gi Gi ii

n

==

=

=

=

1

1

. .

. . x

y

G1G2

G33

21

O

3.2.5. THEOREME : OY EST UN AXE DE SYMETRIE (OU OX EST UN AXE DE SYMETRIE)

SI OY est un axe de symtrie ( )IOXY = 0

Dmonstration:

( )( )

= += = +

= = + =

1 2

1 2

2 1

1 1

1 2

1 1

0

I X Y dA X Y dA X Y dA

or XdA XdA

I X Y dA X Y dA

OXY

OXY

. . . . . .

. . . .O

1 2G

xx- dAdA

Y

X


3.3. VARIATIONS DES MOMENTS QUADRATIQUES IOX1, IOY1, IOX1Y1, LES AXESAPPARTENANT A UN REPERE MOBILE TOURNANT AUTOUR DE O

3.3.1. DETERMINATION DES MOMENTS QUADRATIQUES PAR RAPPORT AUX AXES OX1Y1

I y dA

I x dA

I x y dA

Ox

Oy

Ox y

1 12

1 12

1 1 1 1

==

=

.

.

. .

yy1

x

o

G

aire : A

1

x

Dans le repre x1Oy1 OMr x

y1

1 Dans le repre xOy OM

r xy

Les coordonnes sont des nombres algbriques ainsi que .

xy

xy

1

1=

cos sinsin cos

donc

x x yy x y

1

1

= + += +

cos sinsin cos

n

On exprime x1 x x y xy12 2 cos sin sin cos= + +

= + + +x y xy( cos ) ( cos ) sin1 22

1 22

2

xx y x y

xy1 2 22 2

.cos sin= +

+

+ o

Exprimons y1 : se dduit de l'quation 2 en remplaant par + 2

yx y y x

xy1 2 22 2

.cos sin= +

+

p


x1

y

x

y1

x1

y

x

y1 + 2

x

y

Exprimons x1y1

x y x y x y1 1 = + +( cos sin )( sin cos ) ........= + + x y xy xy sin cos sin cos cos sin

........ = + +

( )

sin cos cosy x xy xy

22

1 22

1 22

x yy x

xy1 1 22 2=

+

sin cos q

En utilisant les formules 2, 3, 4

I I I I I I

I I I I I I

I I I I

OxOx Oy Ox Oy

Oxy

OyOx Oy Oy Ox

Oxy

Ox yOx Oy

Oxy

1

1

1 1

2 22 2

2 22 2

22 2

= + +

= + + +

= +

cos sin

cos sin

sin cos

r

Dterminons l'angle 1 tel que 1OxI est extremum ( maximal ou minimal )

I I I I I IOx Ox Oy Ox Oy Oxy12 2

2 2= + + cos sin

1OxI est une fonction de

( )( )

dId

I I I

dId

II I

Ox

Ox

Ox Oy Oxy

Oxy

Oy Ox

1

1

2 2 2

022

22

=

= = =

sin cos

sincos

tan

( )tan22

1 = I

I IOxy

OY Ox s


Nous savons que ( ) ( )tan tanu u= + , 2 angles 1 et 2 qui vrifient la relation 6( ) ( )tan tan tan tan2 2 2 2 2

2

1 1 1 2

2 1

= + = +

=

= +L'angle 2 correspond l'axe Oy1, cela implique que 1OyI est extremum;de plus pour les angles 21 , le moment produit quadratique 11 yOxI =0.

3.3.2. THEOREME FONDAMENTAL t

1 ( )OxOYOxy

IIItan =

22 1 ( )OX,Ox=1Nous noterons OXY les axes dduits de Oxy par rotation de 1

OY,OX II sont extremum , c'est dire que l'un est maximum et l'autre est minimum;

De plus le produit quadratique est nul: OXYI = 0

Les axes OXY sont appels axes quadratiques principaux axes principaux d'inertie , ou directionsprincipales d'inertie .

Les valeurs de OY,OX II sont appeles moments quadratiques principaux.

En R. D. M. l'axe des X passe par le centre de surface de la section droite et correspond la lignemoyenne, les axes OY, OZ dans le plan de la section droite ne sont pas pris quelconques, maiscorrespondent aux axes quadratiques principaux.( ceci permet de simplifier les expressions descontraintes )

3.3.3. RELATION ENTRE LES MOMENTS QUADRATIQUES PAR RAPPORT A DES AXES PARALLELES.

I y dA I y dAOx O x1 12

1 12= = . ' .' '

OM OO O M OOxy O M

xy

OMxy

x x xy y y

O

O

O

O

r r r r r r= +

= += +

1 1 1 1

1

1

1

1

1 1

1 1

1

1

1

1

' ' ' '''

''

'

'

'

'

( ) ( )I y dA y y dA y y y y dAOx O O O1 12 1 2 2 1 2 11 1 12= = + = + + . ' . ' . . ' .' ' 'y est une cteO1'

( )I y dA y dA y y dA y A I y SOx O O O O x O O x1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1 12 2= + + = + + ' ' ' ' ' ' ' '. ' . . . ' . . . . ( )I y dA y A I y SOx O O x O O x1 12 2 1 1 11 12= = + + . . . .' ' ' ' ' ' u


3.3.4. THEOREME D'HUYGENS( )Soit O G S y y

I y dA y A I

Gx O G

Ox G Gx

' ,

. .

' '

'

1 1 1

1 12

12

1

01

= = = = +

=dSoit distance entre les 2 axes parallles : ( )11 'Gx,Oxdd =I I d AOx Gx1 1

2= +' . vPour viter toute erreur de signe, il faut avoir lesprit que des 2 moments quadratiques de cette formule,le plus petit est toujours celui relatif laxe passant par G (centre de surface)

Ce thorme est dune importance capitale, cependant pour des sections droites dcomposables en rectangles,on peut sen dispenser. Il faut alors dcomposer en rectangles dont laxe passe obligatoirement par un des cots.

yy1

x

o

G

aire : A

y'

x'1

1

1

d

x


3.4. DETERMINATION DES AXES PRINCIPAUX ET DES MOMENTS QUADRATIQUESPRINCIPAUX

Nous venons de montrer qu'il existe 2 axes orthogonaux (G,X), (G,Y) pour lesquels le produit d'inertie IGXYest nul. De plus pour ces 2 axes, les moments quadratiques IGY et IGX sont extremums:

si IGY est maximum alors IGX est minimum, et rciproquement si IGX est maximum IGY est minimum.

Ces axes sont appels axes quadratiques principaux.

G x

y

1

XY

Donnes du problme: I I IGx Gy Gxy, , ,Inconnues: I IGX GY, ,

3.4.1. 1ERE SOLUTION ANALYTIQUE

1. Dterminer 1 tel que ( )tan22

1 = I

I IGxy

Gy Gx

2. Reporter la valeur de 1 dans les expressions suivantes dduites des quations 5:

II I I I

I

II I I I

I

GXGx Gy Gx Gy

Gxy

GYGx Gy Gx Gy

Gxy

= + +

= + +2 2

2 2

2 22 2

1 1

1 1

cos sin

cos sin

w

3.4.2. 2EME SOLUTION ANALYTIQUE1. En utilisant les quations w

I I I I cteGX GY Gx Gy+ = + =

I I I I I cteGX GY Gx Gy Gxy. .= =2

Nous constatons que ces expressions sont des invariants. (indpendantes de 1)2. Les valeurs I IGX GY, que nous cherchons sont les racines d'une quation du 2

me degr:


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

x Sx P

I IS S P

I II I I I I I I

I II I I I I

I II I I I

I

GX GY

GX GYGx Gy Gx Gy Gx Gy Gxy

GX GYGx Gy Gx Gy Gxy

GX GYGx Gy Gx Gy

Gxy

2

2

2 2

2 2

22

0

42

2

4

2

2

4

2

2 2

+ =

=

= + +

= + +

= + +

,

,. .

,.

,

II I I I

I

II I I I

I

Gx Gy Gx GyGxy

Gx Gy Gx GyGxy

max

min

= + + +

= + +

2 2

2 2

2

2

2

2

nn

3.4.3. 3EME SOLUTION : DETERMINATION GRAPHIQUE : CERCLE DE MOHR DES MOMENTSQUADRATIQUES

appels aussi cercle de MOHR des moments inerties :La relation liant les moments quadratiques relatifs aux axes principaux avec les moments quadratiques d'axes

quelconques peut se traduire graphiquement par un cercle appel cercle de Mohr des inerties.

1. Utilisons les relations 5

I I I I I I

I I I I I I

I I I I

OxOx Oy Ox Oy

Oxy

OyOx Oy Oy Ox

Oxy

Ox yOx Oy

Oxy

1

1

1 1

2 22 2

2 22 2

22 2

= + +

= + + +

= +

cos sin

cos sin

sin cos

2. Remplaons:

( )I I I I I I I I I I I I

GX GxOx GX Oy GY Oxy GXY Ox Gx Oy Gy Ox y Gxy =

=0 1 1 1 1

,I

I I I I

II I I I

II I

Gx

GX GY GX GY

Gy

GX GY GX GY

Gxy

GX GY

= + +

= +

=

2 22

2 22

22

cos

cos

sin

no


axe des moments quadratiquesIGY IGX

IGxy

IGy IGx

GXI - I GY2

Axe des produits d'inertie

rayon du cercle

Le rayon du cercle est gal : I IGX GY

2, Son centre pour abscisse:

I IGX GY+2

Utilisation du cercle de Mohr:

Deux problmes peuvent se rencontrer: soit les axes principaux sont connus, soit les momentsquadratiques d'axes quelconques sont connus.

1er cas : Les axes principaux dinertie ainsi que les moments quadratiques principaux sont connus

Inconnues du problmeSoit un repre Gxy dont on veut dterminer les

moments quadratiques

y

X

Y

G

x

( , , ) ???I I IGy Gz Gyz =

Le cercle de Mohr des inerties est parfaitement dtermin

M1 point reprsentatif sur le cercle de IGX

M2 point reprsentatif sur le cercle de IGY


On passe de GX Gx en tournant dunangle , le point reprsentatif sur le cercletourne dun angle de 2Soit M3 le point reprsentatif de laxe Gx,les coordonnes de ce pointcorrespondent aux moments quadratiquescherchs.

De mme pour laxe Gy, soit M4 le pointreprsentatif de cet axe.

Cet axe se dduit de Gx en tournant de2

, sur le cercle de Mohr, on passe de M3

M4 en tournant de .

Cercle de Mohr

IGXIGY IGxIGy

IGxy

M2 2

M3

axe des produits d'inertie

axe des momentsquadratiques

M1

M4

Nous pouvons dduire d'autres relations:

II I

II I

II I

II I

GxGX GY

GxyGX GY

GyGX GY

GxyGX GY

+ + =

+ + =

2 2

2 2

22

2

22

2

2me cas : Nous connaissons les moments quadratiques par rapport un repre Gxy

Nous voulons dterminer la position des axes principaux dinertie ainsi que les moments quadratiquesprincipaux

Inconnues du problme

G

y

x

YX

1( , , ) ???I IGY GX 1 =

Cercle de Mohr

donnes du problme

I Gxy

IGy IGxIGx

M

IGy

x


Nous pouvons dterminer la position du centre du cercle O

IGXIGYIGx

IGyM2

21Mx

axe des produits d'inertie

axe des momentsquadratiques

M1

My

OIGy + IGx

2

-IGxy

IGxy

X

Y

x1

Ici nous avons IGxy < 0

On se dplace de Mx M1 en tournant de 2 1 , cet angle est ici positif.Par Mx traons un axe // Gx, soit P lintersection avec le cercle, ce point est nomm le ple. Laxe issu de P

et passant par M1 est laxe principal de moment quadratique principal IGX . De mme laxe PY est colinaire GYet correspond au moment quadratique principal IGY .Nous pouvons remarquer que langle (Px,PX)= 1

1 0> corrobor par le signe de ( )tan22

1 = I

I IOxy

OY Ox


3.4.4. ETUDE DES MOMENTS QUADRATIQUES DE SURFACES SIMPLES

section droiterectangulaire

partir de la dfinition, en calculant l'intgrale

partir de la dfinition, en calculant l'intgrale

partir du thormede Huygens

par analogie

h yG

d

bO

z

z'

y

y'

( )I y dAGz

= 2

bh3

12

( )I y dAOz' '

= 2

bh3

3

( )IOz'

bh3

3

( )IGy

hb3

12

section droite circulaire Dtermination du momentquadratique polaire encalculant l'intgrale.

en dduire d'aprsles proprits.

en dduire d'aprs lesproprits.

Gz

y

D

rdA

( )I r dAG

= 2

( )I DG = 4

32

( )IGz

D464

( )IGy

D464

Section droite: tube circulaire: diamtre extrieur e diamtre intrieur i ,paisseur e

en dduire d'aprs les proprits .

z

y

G

ei

e ( ) ( )IG e i = 4 464si e est petit devant e , == ei

( )I eG = 3

8


section droite triangulaire dduit partir dumoment quadratiquedu rectangle

par Huygens par Huygens

G

b

z

h

base

moyen

h/2 Ibh

moyen =3

24I

b hbase =

3

12I

b hGz base/ /

=3

36

tude de la section triangulaireOn peut remarquer quun rectangle est form de 2 triangles. Par rapport laxe Gz, le moment quadratique estidentique pour chacun des triangles. La surface est dispose identiquement relativement laxe.

Gz Gz

h/2

h/2

b b

Comme la surface triangulaire est dispose de la mme faon autour de laxe z pour chacun des triangles, leursmoments quadratiques sont gaux. Do le thorme ci-dessous.

b

h

h/2

moyen

Thorme: Le moment quadratique dun trianglerectangle par rapport un axe parallle une base et passant par le milieu de la

hauteur est gal Ibh bh

moyen = =12 12 24

3 3


h

h/2

b2 b1

b

moyen

Ib h b h

moyen = +13

23

24 24( )I

b b h b hmoyen =

+ =1 23 3

24 24

Thorme trs important :Le moment quadratique dun trianglequelconque par rapport un axeparallle une base et passant par lemilieu de la hauteur est gal :

Ib h

moyen =3

24

En utilisant le thorme de Huygens

On peut dterminer le moment quadratique par rapport un axe passant par le centre de surface du triangle

mais parallle la base. Ib h

Gz base/ /=

3

36.

On peut aussi dterminer le moment quadratique par rapport un axe passant par la base du triangle.

Ib h

base =3

12.

Dterminons les axes principaux ainsi que les moments quadratiques principaux ;On peut aussi dterminer les moments quadratiques par rapport aux axes passant par la base en utilisant ledfinition et le calcul de lintgrale en prenant comme surface lmentaire le rectangle de largeur variable indiquci-dessous.

G

b

yx

X

Y y

y

x

1

1

a

( )I baGx13

36 = ( )I abGy1

3

36 = ( )I a bGx y1 1

2 2

72 =

En dduire la position des axes principaux ainsi que les valeurs des moments quadratiques principaux GXYOn peut utiliser les formules (10)

tan2 2 2 = ab

b a( )IGX = . ( )IGY = ( )IGXY = 0

ETUDE DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES D'UNE POUTRE ET D'UNDEFINITION D'UNE POUTREDfinitionTypologie des poutresDimensions de la section droiteOrdre de grandeur des rapports des longueurs caractristiqueExemples de sections droites de poutres plan moyen de symSystme de rfrence:

MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITEDEFINITIONSmoment statique dune surface lmentaire :moment statique dune section droite :

THEOREMES, PROPRIETESMOMENT STATIQUE D'UNE SECTION DROITE / AXE DE SYMETRIEREMARQUE: ON PEUT RAPPROCHER LE CENTRE DE SURFACE (OU DE MACENTRE DE SURFACE ( CENTRE DE GRAVITE ) D'UNE SECTION DROIANNEXESDmonstration du thorme 1Dmonstration du thorme 2Dmonstration du thorme 3

MOMENTS QUADRATIQUES D'UNE SECTION DROITE. notation IDEFINITIONSMoment quadratique par rapport un axe Ox d'une section droMoment quadratique par rapport un axe Oy d'une section droMoment quadratique produit ou produit d'inertieMoment quadratique polaire

ETUDE DU MOMENT PRODUIT QUADRATIQUEThorme : noncChangement de repre par translation. Relation entre les momThorme: le repre Gx'y' se dduisant de Oxy par une simplProprit : Si la section droite quelconque, peut se dcompTHEOREME : OY est un axe de symtrie (ou OX est un axe de s

VARIATIONS DES MOMENTS QUADRATIQUES IOX1, IOY1, IOX1Y1, LES Dtermination des moments quadratiques par rapport aux axes Thorme fondamentalRelation entre les moments quadratiques par rapport des axThorme d'HUYGENS

DETERMINATION DES AXES PRINCIPAUX ET DES MOMENTS QUADRATIQUE1re solution analytique2me solution analytique3me solution : dtermination graphique: Cercle de MOHR deEtude des moments quadratiques de surfaces simples

definition poutre

Documents