deflexion de enutrinos por campos magneticos

Deflexion de neutrinos

por

Campos Magneticos

Felipe Andres Bernal1

Departamento de Fısica, Facultad de CienciasUniversidad de los Andes

25 de Abril de 2005

[email protected]

Indice general

Introduccion V

1. Dinamica Relativista 11.1. Formulacion lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Partıcula Neutra en un Campo 52.1. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. BMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Ecuacion de Movimiento Acoplada . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Neutrinos en el Campo magnetico Solar 153.1. Caracterısticas de los neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Campo Magnetico Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Modelo Magnetohidrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Conclusiones 31

A. Ecuacion BMT 33

B. Modelo Magnetohidrodinamico 37

i

ii INDICE GENERAL

Indice de figuras

3.1. produccion de neutrinos en funcion del radio solar . . . . . . 183.2. deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad positiva

en el angulo polar en funcion del angulo de propagacion inicial 193.3. Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad negativa

en el angulo polar en funcion del angulo de propagacion inicial 203.4. Deflexion maxima de los neutrinos en funcion de su energıa

inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5. Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad positiva

en el angulo azimuthal en funcion del angulo de propagacioninicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6. Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad negativaen el angulo azimuthal en funcion del angulo de propagacioninicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7. Magnitud total de la deflexion de los neutrinos tanto de heli-cidad positiva como negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.8. magnitud del campo magnetico dipolar en funcion del radioy del angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.9. Magnitud del campo magnetico solar en la zona convectiva.(Modelo Magnetohidrodinamico) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10. Desviacion de los neutrinos respecto de la trayectoria inicialvs. energıa inicial, para neutrinos de helicidad negativa propa-gados en el angulo inicial θ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.11. Desviacion de los neutrinos respecto de la trayectoria inicialen Km vs. energıa inicial, para neutrinos de helicidad negativapropagados en el angulo inicial θ = π/2 a una distancia de1,496 ∗ 1011m del sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.12. Trayectoria en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de13 MeV con helicidad negativa propagado en el angulo inicialθ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii

iv INDICE DE FIGURAS

3.13. Trayectoria en la direccion ’z’ para un neutrino con energıa de13 MeV con helicidad negativa propagado en el angulo inicialθ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.14. Velocidad en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de13 MeV con helicidad negativa propagado en el angulo inicialθ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.15. Velocidad en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de13 MeV con helicidad negativa propagado en el angulo inicialθ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.16. Magnitud del campo magnetico que encontro el neutrino du-rante la trayectoria en el interior del sol.(para un neutrinocon energıa de 13 MeV propagado en la direccion θ = π/2) . 29

3.17. Magnitud del campo magnetico que encuentra un neutrinodurante la trayectoria en el interior del sol en la direccionθ = 85o) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Introduccion

Se ha encontrado que para los neutrinos de Dirac, existe un mecanismopor el cual, estos interactuan con los campos electromagneticos; este mecan-ismo es el momento magnetico dipolar [1]. Se han descubierto por medio dedistintos modelos, cotas para el valor maximo de este momento magneticodipolar; cotas que se encuentran en un rango que va desde 10−9µB hasta10−14µB.

Los neutrinos son producidos por reacciones nucleares como la cadena p-p y la cadena de reacciones CNO, es bien sabido que estas reacciones sonlas dos reacciones que predominan en la produccion de energıa solar y porende en la produccion de neutrinos solares [3].

Existen modelos magnetohidrodinamicos, para el campo magnetico en elinterior del sol, los cuales predicen magnitudes de campo de hasta 104eV 2 ∼105Gauss, en zonas de gran extension [12], ademas de zonas con cambiosabruptos en estos valores y por ende con gradientes considerables productode los campos magneticos producidos por las corrientes convectivas del sol.

Por estos diversos motivos mencionados, se quizo investigar, las posiblesdeflexiones que pudiesen sufrir los neutrinos, en su trayecto de salida, desdeel core (zona del sol en donde son producidos los neutrinos) hasta la superfi-cie solar. Deflexiones que como ya se ha presentado, pudiesen estar mediadaspor la interaccion entre el momento magnetico dipolar y el campo magneticodel interior del sol; aunque como se puede ver, el momento dipolar es muypequeno, es de tener en cuenta que los campos magneticos solares son muygrandes y de gran extension, razon por la cual se puede llegar a pensar enalgun efecto considerable en la tierra.

Existieron esencialmente dos factores que influenciaron la senda de inves-tigacion en este proyecto; el primero, fue la disminucion en el flujo medido

v

vi INTRODUCCION

de neutrinos que alcanzan la tierra 1 [1], respecto al flujo que se supone debemedirse segun el MSE (modelo solar estandar), ası como la dependencia enla energıa que se ha encontrado, existe en la medicion del flujo de neutri-nos. El segundo factor, fue la desviacion medida, de los neutrinos generadosen la explosion de la supernova SN1987A, con respecto a la gran nube demagallanes lugar donde fueron producidos [3] pag.366, hecho experimentalque podrıa indicar acerca de la existencia de desviaciones en trayectorias deneutrinos.

Para llevar a cabo este proyecto se propuso modelar el sistema como unsistema semi-clasico relativista; dada la necesidad que se tenia de un mode-lo con el concepto de trayectoria, y dado que tanto los regımenes de energıacomo de masa de los neutrinos, hace que el sistema sea un sistema puramenterelativista.

1Otras soluciones planteadas al problema del flujo son: ’Oscilacion de Neutrinos’ lacual es la mas aceptada, y una con el mismo principio del momento magnetico dipolar,planteada por Voloshiun, Vysotsky y Okon [13] en la que se plantea la posibilidad queel acople entre el momento magnetico y el campo magnetico pudiese generar un spin flipconvirtiendo neutrinos izquierdos en neutrinos derechos esteriles que no se pudiesen medircon los experimentos actuales

Capıtulo 1

Dinamica Relativista

Para llevar a cabo este trabajo se uso mecanica clasica relativista enforma covariante, haciendo uso del teorema de Ehrenfest, debido a la di-ficultad que se presenta en la formulacion cuantica de este problema, porla simple ausencia de una nocion de trayectoria clasica, tal cual interesa.Por lo anterior, en la formulacion cuantica, es necesario buscar valores deexpectacion de los operadores posicion y de spin, los cuales son equivalentesa la formulacion clasica del problema, cuando a estos valores de expectacionse les hace una expansion a primer orden, alrededor de la posicion prome-dio, de la distribucion del paquete de ondas que representa a la partıcula. Sepuede decir de otra manera, que si se busca un valor esperado, este tendra elmismo valor que la solucion del sistema clasico, si la funcion que se buscavaria suavemente sobre la extension del paquete de ondas[2]. Dado que elacople del campo magnetico y el neutrino esta mediado por el momentomagnetico dipolar el cual es muy pequeno aun en las predicciones mas altas[1] (< 10−9µB y ademas siendo la seccion transversal de un neutrino delorden de 10−47m2 o menor, y su masa menor a 1eV [3], es posible suponerque se puede utilizar el teorema de Ehrenfest sin una gran perdida de gen-eralidad ni exactitud en el comportamiento de la trayectoria de la partıcula.

Para realizar el proyecto se uso una formulacion lagrangiana relativistaen una forma covariante, que usa multiplicadores de Lagrange para podercumplir las restricciones que impone el trabajar en el espacio de Minkowski[10]. Restricciones que seran expuestas mas adelante.

Para comenzar se deben primero definir los parametros con los que se tra-

1

2 CAPITULO 1. DINAMICA RELATIVISTA

bajo; la metrica del espacio usada es:

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(1.1)

El invariante que se usa para hallar todas las variables cinematicas es s oespacio propio, que es igual al tiempo medido en el marco de referencia dela partıcula multiplicado por c (velocidad de la luz); la definicion de s lapodemos hallar a continuacion:

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 (1.2)

Habiendo definido s, podemos hallar el cambio de las variables, en cualquiermarco, con respecto a este parametro invariante:

Uµ =dXµ

ds(1.3)

que escrito de otra manera seria:

Uµ = (γ,γ

c~V ) (1.4)

Donde ~V , es igual al cambio de las variables espaciales, con respecto alcambio en la variable temporal ~V = c d ~X/d ~Xo.Al definir de esta manera la 4-velocidad, se puede encontrar una restriccionque debe cumplir en todo momento el sistema:

UµUµ =dX2

o − dX21 − dX2

2 − dX23

ds= 1 (1.5)

Razon por la cual, para generar la formulacion lagrangiana, debemos teneren cuenta esta restriccion.

1.1. Formulacion lagrangiana

Esta formulacion que se uso, es una en la cual se minimiza el funcionalcon la restriccion que UµUµ = 1, impuesta por medio de multiplicadores de

1.1. FORMULACION LAGRANGIANA 3

lagrange1.

Se comienza como siempre, minimizando el funcional:

δ

∫ s2

s1L(xµ(s), xµ(s), s)ds = 0 (1.6)

Donde L = L+ λ2 (U2−1), que como vemos es simplemente la extremizacion

de L respecto a la condicion UµUµ = 1 por medio del multiplicador deLagrange λ

2 . Este funcional se extremiza llegando a las ecuaciones de Euler-Lagrange:

∂L

∂xµ− d

ds(

∂L

∂Uµ)− dλ

dsUµ − dUµ

dsλ = 0 (1.7)

Si se contrae esta ecuacion con Uµ se encuentra:

dλ

ds=

∂L

∂xµUµ − d

ds(

∂L

∂Uµ)Uµ (1.8)

Si se integra esto con respecto a s para encontrar λ y se usa que:

∂L

∂xµ

dxµ

ds=

dL

ds− ∂L

∂Uµ

dUµ

ds− ∂L

∂s(1.9)

Se encuentra que λ esta dado por:

λ =∫

dL−∫

∂L

∂UµUµds−

∫Uµ d

ds(

∂L

∂Uµ)ds−

∫∂L

∂sds (1.10)

Si se hace la suposicion que L es solamente funcion de xµ y Uµ explıcita-mente, se encuentra que:

λ = L− Uµ ∂L

∂Uµ(1.11)

Terminando con las ecuaciones de movimiento covariantes 1.12:

∂L

∂xµ− d

ds(

∂L

∂Uµ)− d

ds[(L− Uν ∂L

∂Uν)Uµ] = 0 (1.12)

1Esta formulacion la podemos encontrar en el Barut [10].

4 CAPITULO 1. DINAMICA RELATIVISTA

Capıtulo 2

Partıcula Neutra en unCampo Magnetico

Para el problema especifico que se esta trabajando se hizo la eleccion detrabajar con el siguiente lagrangiano:

L = moc +12c

σµνFµν (2.1)

El primer termino corresponde a la partıcula libre, y el segundo es un terminode acople entre el dipolo y el campo [7].El tensor Fµν es el tensor de campo electromagnetico y el tensor σµν es untensor definido de la siguiente manera:

σµν =

0 d1 d2 d3

−d1 0 µ3 −µ2

−d2 −µ3 0 µ1

−d3 µ2 −µ1 0

(2.2)

Donde los d son las componentes del momento dipolar electrico y los µson las componentes del momento dipolar magnetico; de tal forma que alcontraer los indices encontramos la energıa de acople entre los momentosdipolares y el campo d ·E− µ ·B.Al ser σµν un tensor antisimetrico se le puede asociar un pseudo vector ovector axial como su vector dual [14], de tal manera que el tensor se puedaescribir en terminos de su vector dual, el tensor de Levi-civita y un vectorpolar [6].

σµν = µo2~εµναβUαSβ (2.3)

5

6 CAPITULO 2. PARTICULA NEUTRA EN UN CAMPO

Donde Sβ es el 4-vector Spin (El 4-vector de spin esta definido en el marcoen reposo como (0,−→s ), donde s el vector spin.), Uα es el 4-vector velocidady εµναβ es la generalizacion a 4 dimensiones del tensor de levi-civita.

Se puede comprobar que cuando se escribe el tensor σµν , de la forma antesmencionada, en el marco de referencia de la partıcula, Uα = (1, 0, 0, 0) detal forma que se encontraran que las unicas componentes distintas de ceroseran (a un lado de la diagonal):

σ23 = µ3 = µo2~S3

σ24 = −µ2 = −µo2~S2

σ33 = µ1 = µo2~S1

(2.4)

Mostrando ası que esta forma de escribir el tensor σµν , reproduce losvalores del tensor, en el marco de la partıcula. Dado que la parte derechade la expresion 2.3 es, al contraer los indices, un tensor de rango dos, en-tonces esto nos muestra que esta expresion no solo tiene los mismos valoresen un marco dado sino que tambien se transforma igual que σµν , por lotanto podemos ver que la identificacion 2.3 es valida, siendo estas las doscondiciones para decir que un tensor es igual a otro [4].

Para comprobar que la eleccion de este lagrangiano fue la correcta, se bus-caron las ecuaciones de movimiento con la formulacion estudiada, cuando σera constante, y se encontro que las ecuaciones de movimiento son:

d

ds(mocUµ)(1 +

σαβFαβ

2moc2) =

12c

σαβ ∂Fαβ

∂xµ− 1

2cσαβ ∂Fαβ

∂xγUγUµ (2.5)

Que son precisamente las ecuaciones que encuentra Barut [10] en su libro enla pag.74 salvo una constante que allı hacia falta.

Ya habiendo tenido la formulacion lagrangiana de la seccion 1.1 con susecuaciones de movimiento, el lagrangiano aquı descrito, y habiendo probadola validez de este para el caso en el cual el tensor σµν es constante, se pudoproseguir con el caso que interesaba, que era evidentemente el caso en elcual σµν ya no era constante. No solo porque las componentes Uµ(s) fue-sen dependientes del espacio propio, sino tambien porque se debıa tener encuenta que las componentes Sν(s) tambien eran dependientes del invariantes.

2.1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO 7

2.1. Ecuaciones de Movimiento

En esta seccion se encontraron las ecuaciones de movimiento ayudadospor las ecuaciones de Lagrange 1.12 y el lagrangiano 2.1

∂L∂xµ − d

ds(∂L

∂Uµ )− dds [(L− Uν ∂L

∂Uν )Uµ] = 0

y el lagrangiano 2.1

L = moc + 2µo

~c UαSβF∗αβ

Es importante notar lo siguiente, como se esta parametrizando con res-pecto a s, que es el espacio propio, se tiene que:

Uµ = Uµ(s)Sµ = Sµ(s)

Fµν = Fµν(xα(s))(2.6)

Donde desde este punto, se decidio que los campos tanto electricos, comomagneticos, solo tendrıan dependencia espacial, pues aunque se sabe, porejemplo, que el sol tiene ciclos en su campo magnetico, estos son de 11 anos,por lo tanto en una aproximacion adiabatica, se escogen los campos, comoconstantes en el tiempo del marco del laboratorio.Entonces haciendo todo termino por termino:

∂L

∂xµ=

2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xµ(2.7)

d

ds(

∂L

∂Uµ) =

2µo

~cdSβ

dsF∗βµ +

2µo

~cSβUα ∂F

∗βµ

∂xα(2.8)

Es importante notar aquı dos cosas, la primera es diferenciar bien ’S’ de ’s’donde ’S’ es el 4-spin con sus distintas componentes y ’s’ es el invariante queescogimos desde el principio y que se puede identificar con espacio propio, elsegundo es que en esta ecuacion se supuso que µo es constante, ası que desdeeste punto no estamos considerando cambios en el momento magnetico poroscilacion de neutrinos.

d

ds([L− Uν ∂L

∂Uν]Uµ) =

d

ds(mocUµ) (2.9)

Uniendo lo anterior encontramos las ecuaciones de movimiento.

2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xµ− 2µo

~cdSβ

dsF∗βµ − 2µo

~cSβUα ∂F

∗βµ

∂xα− d

ds(mocUµ) = 0

(2.10)


De estas ecuaciones de movimiento es necesario resaltar que tal cual apareceen la ecuacion 2.6 S es una funcion de s, y es necesario encontrar las ecua-ciones que dictan su evolucion, esta ecuacion es la conocida BMT [9] temade la siguiente seccion.

2.2. BMT

La forma como evoluciona el 4-spin esta dada por la ecuacion siguiente:

dSα

ds=

2µo

~cFαβSβ +

2µo

~c(SνFνβUβ)Uα − dUβ

dsSβUα (2.11)

Esta ecuacion BMT es llamada ası en honor a sus descubridores Bargman,Telegdi y Michel.Es facil corroborar, que esta ecuacion en el marco de referencia de la partıcu-la, en sus tres componentes espaciales, se reduce a la conocida ecuacion deevolucion de spin:

dsdt

=ge

2mcs×B′ (2.12)

De modo que la ecuacion BMT es la generalizacion covariante de la ecuacionde evolucion de spin 2.121.

Por ultimo en esta seccion es importante mostrar tres relaciones queaparecen de la definicion del 4-vector spin y de ser una partıcula de spin 1

2 .

SµUµ = 0

SµSµ = −(~2)2

SµSµ = 0

(2.13)

2.3. Ecuacion de Movimiento Acoplada con la BMT

En esta seccion, se introduce la ecuacion BMT en las ecuaciones demovimiento, y se desarrolla este resultado, de modo que se pueda obtenerun conjunto de ecuaciones de movimiento que puedan ser usadas en unaintegracion numerica. Ademas se estudian cada uno de los terminos que seencuentran el las ecuaciones de movimiento.

1El procedimiento para encontrar la ecuacion BMT se puede encontrar en el apendiceA

2.3. ECUACION DE MOVIMIENTO ACOPLADA 9

Si se introduce la ecuacion BMT 2.11 en las ecuaciones de movimiento 2.10se encuentra:

d

ds(mocUµ) =

2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xµ− 2µo

~cSβUα ∂F

∗βµ

∂xα−

− (2µo

~c)2F

∗αµ FαβSβ − (

2µo

~c)2F

∗αµ (SνFνβUβ)Uα +

2µo

~cF∗αµ

dUβ

dsSβUα

(2.14)

El problema con esta ecuacion, y el porque no puede usarse en una in-tegracion numerica es: En el termino izquierdo de la igualdad, se tiene laderivada de la componente µ de la 4-velocidad, pero en el ultimo termino dellado derecho, se ve que esta componente depende de la suma del producto,entre las componentes de la derivada de la 4-velocidad, y del 4-spin; poresto, vemos que esta ecuacion no nos sirve para resolverla numericamente,a menos que se desacoplen estos terminos.Para llevar a cabo el desacople de estas ecuaciones es necesario:

1. las relaciones 2.13

2. la relacion UµUµ = 1

3. suponer que moc es constante2

4. Tener en cuenta que tanto Fµν como F∗µν son antisimetricos en los

indices µ y ν, ası como la derivada de estos tensores (de modo queUαFαβUβ = 0 ası como el dual y la derivada de ambos).

De modo tal, que simplemente se contrae la ecuacion 2.14 con Sµ, y sehace uso de los pasos que se nombraron en la lista, de tal forma, que sedesacopla la ecuacion, y se eliminan unos cuantos terminos, para terminarcon las ecuaciones de movimiento desacopladas, las cuales seran usadas enla integracion numerica.

2si tuviesemos en cuenta la oscilacion de neutrinos no podrıamos hacer esto


d

ds(mocUµ) =

2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xµ− 2µo

~cSβUα ∂F

∗βµ

∂xα−

− (2µo

~c)2F

∗αµ FαβSβ − (

2µo

~c)2F

∗αµ (SνFνβUβ)Uα+

+2µo

~cF∗αµ Uα

moc

1

(1− 2µo

~cF∗ακ UαSκ

moc )(2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xχSχ−

− (2µo

~c)2F

∗αχ FαβSβSχ − (

2µo

~c)2F

∗αχ (SνFνβUβ)UαSχ) (2.15)

Esta ecuacion es estudiada termino por termino, de tal forma que se puedaentender de alguna forma que significa. Es muy importante tener en cuentaque lo que se va a hallar esta igualado a d

ds(mocUµ) con lo cual si se quiereque sea una fuerza tal y como se conoce, se debe multiplicar los terminospor c.Por otro lado se escogen las componentes espaciales contravariantes comolas componentes positivas y las covariantes como las negativas. (K = 2µo

~ )

Primer Termino

2µo

~cUαSβ

∂F∗αβ

∂xµ(2.16)

Si se desarrolla este termino teniendo en cuenta que ni Sβ ni Ualpha

dependen de las coordenadas explıcitamente, se encuentra que este terminoes en cada una de sus 4 componentes µ igual a:

2µo

~c∂

∂xµ(−So(

−→B · −→U ) + Uo(

−→B · −→S ) +

−→U · (−→S ×−→E )) (2.17)

Si se toma este termino en el lımite no relativista, la componente µ = 0 nose tiene en cuenta, Uo = 1 y So = 0 y si ademas se llama a K

−→S = −→µ , se

tendra que este termino es:

∇(−→B · −→µ ) +∇(

−→U · (−→µ ×−→E )) (2.18)

Segundo Termino

−2µo

~cSβUα ∂F

∗βµ

∂xα(2.19)


Para este termino, tambien se tiene en cuenta que Sµ = Sµ(s) entonces,se coloca dentro de la derivada, y desarrollando el termino se encuentra:

−2µo

~cUα ∂

∂xα

( −→B · −→S

−So−→B − (

−→E ×−→S )

)(2.20)

De nuevo, en el lımite no relativista se ve que las tres componentesespaciales de la fuerza seran:

∂

c∂t(−→E ×−→µ ) +

−→U · −→∇(

−→E ×−→µ ) (2.21)

Tercer Termino

−(2µo

~c)2F

∗αµ FαβSβ (2.22)

Este tercer termino es bastante interesante dado que en la literatura inves-tigada nunca se encontro.

−(2µo

~c)2(−→B · −→E )Sµ (2.23)

En el lımite no relativista la fuerza sera.2µo

~c(−→B · −→E )−→µ (2.24)

Esta es una fuerza bien particular, dado que va en la direccion del spin,en el marco en el cual esta escrita la ecuacion (la ecuacion es covariante),y su magnitud depende del producto punto entre el campo magnetico y elcampo electrico; este es un termino nuevo pues en la fısica no relativista sedecıa que en un campo homogeneo no existirıa deflexion; pero aca se ve quesin importar el gradiente, pueden haber deflexiones en campos constantes,si estos, tienen una componente no nula uno sobre el otro; serıa interesanterevisar experimentalmente si este termino se puede observar.

Cuarto Termino

−(2µo

~c)2F

∗αµ (SνFνβUβ)Uα (2.25)

De nuevo desarrollando este termino se tiene:

−(2µo

~c)2(So(

−→E ·−→U )−−→S ·−→EUo+

−→S ·(−→B ×−→U ))

( −→B · −→U

−−→BUo + (−→U ×−→E )

)(2.26)


Que en el lımite no relativista y tomando solo las tres ultimas componentesespaciales:

2µo

~c(−→µ · −→E −−→µ · (−→B ×−→U ))(

−→U ×−→E −−→B ) (2.27)

En esta expresion se puede ver que existe un acople entre el spin y el cam-po electrico; esto se puede explicar, si se observa la definicion del tensor sigmaec. 2.2, en donde este tensor en el marco en reposo por ejemplo, puede tenercomponentes no nulas solo en los espacios del momento magnetico dipolar3,pero en otro marco la transformacion de este tensor dara momentos electri-cos no nulos; de modo que al estar esta ecuacion escrita covariantmente,ya tiene en cuenta los terminos de momento electrico, que en los distintosmarcos se acoplaran con el campo electrico; esta es la razon que este terminoaparezca.Por otro lado, como se ve, ninguno de los terminos de la expresion dependendel gradiente de los campos igual que el tercer termino. Ademas de esto,se puede ver que este termino posee una componente paralela al campomagnetico, y una componente perpendicular tanto al campo electrico comoa la velocidad.

Quinto Termino

Para estudiar este termino que es muy extenso, es mejor devolverse a laexpresion de la ecuacion 2.14, en donde se ve que este termino es igual a:

2µo

~cF∗αµ

dUβ

dsSβUα (2.28)

Como se puede ver aca, el quinto termino depende del producto interno entreel 4-spin y la 4-aceleracion, que dado las relaciones 2.13, tambien se puedever, como el producto interno entre el cambio del 4-spin, con la 4-velocidad,dicho de otra forma tambien se puede escribir ası:

−2µo

~cF∗αµ Uα

dSβ

dsUβ (2.29)

Si se desarrollan estas sumas se encuentra:

−2µo

~c

( −→B · −→U

−Uo−→B +

−→U ×−→E

)(dSo

dsUo − d

−→S

ds· −→U ) (2.30)

3hasta el momento no se ha encontrado ninguna partıcula elemental con momentodipolar electrico [3] pag. 324 dado que este momento harıa que esta partıcula no cumplierasimetrıa CPT


En el lımite clasico, en donde solo se toman las tres ultimas componentes seencuentra:

−(−→B −−→U ×−→E )(

d−→µds

· −→U ) (2.31)

Aca se puede ver, ası como en el cuarto termino, que la direccion de lafuerza tiene una componente paralela al campo magnetico y otra perpendi-cular tanto al campo electrico como a la velocidad, esta ultima componentede la fuerza se puede observar que no hace trabajo sobre la partıcula, mien-tras que la que va en la direccion del campo magnetico si podrıa generartrabajo.

Ecuacion Clasica

Por ultimo, en esta seccion se quizo mostrar la forma de la ecuacioncon todos sus terminos, en las tres componentes espaciales, en el limite norelativista, pero dado que se estaba interesado en un marco en el que soloexistıa campo magnetico, se tomo el campo electrico como nulo.

d

dt(mo

−→V ) = ∇(

−→B · −→µ ) +

2µo

~c2−→µ · (−→B ×−→V )

−→B −−→B (

d−→µdt

· −→V ) (2.32)

Tal y como se puede ver, se reprodujo el termino de fuerza sobre un dipolomagnetico ejercido por un campo electrico, pero ademas se pudo obtenerdos terminos mas para esta ecuacion en los cuales se puede ver que la fuerzaesta dirigida en la direccion del campo magnetico. Sin contar los terminosnuevos hallados, que tenıan que ver con el campo electrico.

Capıtulo 3

Neutrinos en el Campomagnetico Solar

En este capitulo se exponen las distintas caracterısticas de los neutrinossolares, y se utilizan dos aproximaciones del campo magnetico en el interiordel sol para integrar las ecuaciones de movimiento 2.15.

3.1. Caracterısticas de los neutrinos

Masa

La masa del neutrino de 1∗10−3eV se asumio dado los datos encontradosen el Pevsner [1] pag.82 en donde se da un valor al lımite superior de la masadel neutrino electronico del orden de ∼ 1eV y los valores encontrados expe-rimentalmente para la diferencia entre las masas de los neutrinos muonicos yelectronicos de ∼ 10−4eV ; entonces se decidio tomar este valor de 1∗10−3eVpara la masa del neutrino como un valor que estuviese dentro de la cota yque al mismo tiempo fuese superior que la diferencia de masas; aunque comoya se menciono, no se tienen valores de la masa de estos neutrinos, solo cotassuperiores. Por ende es muy posible que este valor no este correcto, mas noexiste forma de demostrarlo.

Momento Magnetico Dipolar

Para el valor del momento dipolar magnetico se escogio la cota mas altade las encontradas en Pevsner [1] pag.258 en la que se muestra los valores

15

16 CAPITULO 3. NEUTRINOS EN EL CAMPO MAGNETICO SOLAR

hallados por el laboratorio nacional de Brookhaven y en LAMPF los cualesson:

µ(νe) ∼ µ(νµ) . 10−9µB (3.1)

Aunque existen otros valores cota para el momento magnetico dipolar y es-tos pueden ser mas bajos, este valor depende en gran medida del modelousado, en el caso especifico de LAMPF, ellos se basaron en los procesos:νe +e− → νe +e−, νµ +e− → νµ +e− para hallar este. Es importante anotarque los neutrinos que se proponen para este trabajo ademas de los paramet-ros mencionados anteriormente poseen una caracterıstica muy especial, y esque son neutrinos de Dirac, las razones de esto son las siguientes: Los neutri-nos es posible ’etiquetarlos’ de dos formas, neutrinos de Dirac o neutrinos deMajorana, estos tienen una serie de caracterısticas que los distinguen perolas dos mas conocidas son que los neutrinos de Majorana son identicos asus antineutrinos y los de Dirac no, esto, ademas de otras caracterısticas leconfiere una serie de cualidades , como que los neutrinos de Dirac puedanposeer momento magnetico dipolar, mientras los de Majorana no; sin em-bargo tambien existe otro tipo de momento llamado momento anapolar, delcual si son poseedores los neutrinos de Majorana, mientras que los de Diracno; el momento anapolar se acopla con las corrientes jν = ∂µFµν , y tal cualsabemos existe una zona en el sol llamada zona convectiva que va desde(0,71RJ) hasta RJ [1] en donde como su nombre lo indica el transporte decalor es producido por las corrientes convectivas, las cuales podrıan acoplarsecon el momento anapolar, el cual tendrıa una ecuacion analoga a la BMTtal y como lo anota Marek Nowakowski en el articulo “All ElectromagneticForm Factors”[8] y con la cual se podrıan hallar ecuaciones de movimien-to analogas tambien a las ecuaciones 2.15, pero como lo indica el nombredel trabajo, se escogio el momento dipolar magnetico y por consiguiente losneutrinos de Dirac con masa.

Produccion

La produccion de neutrinos provenientes del sol es mediada principal-mente por dos procesos, la cadena proton proton y el ciclo del carbono,estos dos procesos son tambien los que mas aportan en la produccion deenergıa solar; cual de estos dos procesos sea mas usado por una estrella de-pende de las caracterısticas de la estrella, existe un modelo llamado modelosolar estandar, el cual basado en las ecuaciones de estado del sol, suponiendoque la fuerza gravitacional y la presion de gas y radiacion estan en equilibrioy que los procesos nombrados anteriormente son los que generan la mayor

3.1. CARACTERISTICAS DE LOS NEUTRINOS 17

cantidad de energıa en el sol, predice que para una estrella con las carac-terısticas del sol los neutrinos son producidos en una zona llamada core onucleo, y en esta zona los neutrinos son producidos en su mayorıa (98,5%)por la reaccion nuclear llamada cadena pp en donde dos protones interac-cionan y generan las siguientes cadenas de reaccion:

p + p ⇒ 2H + e+ + νe

99,6%⇓2H + p ⇒ 3He + γ

15%⇓3He + 4

He ⇒ 7Be + γ

99,9%⇓7Be + e− ⇒ 7Li + νe

(3.2)

En esta cadena solo se colocaron las reacciones mas probables dado quelos otros brazos de la cadena son mucho menos probables o no generanneutrinos; el 1,5% de neutrinos restantes es generado por la reaccion llamadaCNO, en donde puede ocurrir las siguientes reacciones1:

12C ⇒ 13N ⇒ 13C⇑ ⇓

15N ⇐ 15O ⇐ 14N⇓ ⇑

16O ⇒ 17

F ⇒ 17O

(3.3)

en donde en cada par de lıneas horizontales con la misma direccion se generaun neutrino.Tal como se mostro anteriormente estas reacciones generan neutrinos en elrango de energıas 0,1 − 18MeV , para la simulacion se utilizaron neutrinoscon energıas del orden de MeV , dado que son las energıas mas probables2.En la simulacion estos neutrinos son propagados desde la superficie de lazona llamada core que termina cerca a los 0,3RJ, ya que como se dijoantes los neutrinos son producidos en el core; y ademas son propagados endireccion radial, esta aunque es una aproximacion un poco burda puede ser

1Estas cadenas de reacciones se pueden encontrar en el Pevsner [1]2mirar grafica 3.1


explicada por el hecho que la produccion de neutrinos en el sol en funciondel radio solar, esta dada por una funcion de la forma vista en la grafica3

3.1.Esta nos muestra que la mayor cantidad de neutrinos son producidos enpromedio cerca a los 0,1RJ ası que se aproximo a una produccion puntualde neutrinos en el centro del sol. Esta produccion de neutrinos de Dirac

Figura 3.1: produccion de neutrinos en funcion del radio solar

con masa, como lo anota Pevsner [1] pag.(17) tienen la caracterıstica queson predominantemente de helicidad positiva o negativa, por ende solo sepropagaran en la simulacion neutrinos que en su condicion inicial de spintengan una proyeccion de spin paralela o antiparalela al momento inicial.

3.2. Campo Magnetico Dipolar

La primera aproximacion que se hizo al campo magnetico solar fue la deun campo dipolar que existıa desde la superficie del core hacia afuera, estaaproximacion no es muy buena, dado que es un campo muy parecido en laparte exterior del sol, sin embargo es bastante distinto a las prediccioneshechas por el programa de Montana [12] en la parte del interior del sol puesallı existen como ya se habıa mencionado corrientes convectivas que generancampos magneticos distintos a los de un campo dipolar, aunque como lomenciona Chin [11] el campo del interior del sol tiene una componente dipo-lar; de todas maneras sera expuesto aca mas que todo por interes pedagogico,dado que puede ser util en algun otro tipo de investigacion puesto que elcampo dipolar es la primera aproximacion de un campo en expansion mul-tipolar; se hizo un fit a la funcion del campo dipolar de tal forma que se

3datos del Pevsner [1]

3.2. CAMPO MAGNETICO DIPOLAR 19

acoplara lo maximo posible al real, para luego propagar los neutrinos eneste campo y medir tanto sus deflexiones en las distintas direcciones comola densidad final de neutrinos en la superficie solar.Los resultados obtenidos para la deflexion en el angulo polar se pueden ob-servar en las graficas 3.2, 3.3, estas graficas muestra la diferencia entre elangulo al que saldrıa una partıcula con trayectoria rectilinea, y el angu-lo al que salio la partıcula despues de haber sido propagada en el campomagnetico dipolar, la grafica 3.2 muestra la desviacion para los neutrinoscuya proyeccion de spin inicial es paralela al momento inicial y la grafica 3.3muestra la desviacion para los neutrinos cuya proyeccion de spin inicial esantiparalela al momento inicial4 Es interesante ver la diferencia entre ambas

Π

��

4Π

��

23 Π��

4Π

Angulo HRadL

5·10-11

1·10-10

1.5·10-10

2·10-10

Desviacion HRadL

Figura 3.2: deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad positiva en el angulo polaren funcion del angulo de propagacion inicial

graficas 3.2, 3.3, y como el signo de las desviaciones es opuesto dependiendode la helicidad inicial, se puede ver que los neutrino con helicidad negativa se

4Aca es importante hacer la diferencia, pues se dice que si los neutrinos no poseenmasa, cuando el spin tiene una componente paralela al vector momento, los neutrinos sonright-handed y si es antiparalelos left-handed, de igual forma, si el neutrino esta en elrango relativista, estos estados de quiralidad seran predominantemente de helicidad pos-itiva o negativa, o sea el spin sera casi totalmente paralelo o antiparalelo a la direcciondel momento, cuando los neutrinos si poseen masa, estos estados de quiralidad ya no sonmas estados fısicos, dado que estos son νL

R= 1∓γ5

2ν y cuando el neutrino tiene masa γ5

no conmuta con el Hamiltoniano de partıcula libre, mas sin embargo los estados de heli-cidad siempre son estados fısicos, pues estos estados son los estados propios del operadorhelicidad −→σ · bp, el cual siempre conmuta con el hamiltoniano de partıcula libre, dondelas ecuaciones de movimiento de la partıcula libre son (iγ · ∂)ν = 0, por ende dado queestamos trabajando con partıculas con masa pequena y altamente relativistas se tomanestados de helicidad, mas si el neutrino no tuviese masa, pero tuviese esta misma energıaestos estados serıan analogos a los estados de quiralidad.


Π

��

4Π

��

23 Π��

4Π

Angulo HRadL

-2·10-10

-1.5·10-10

-1·10-10

-5·10-11

Desviacion HRadL

Figura 3.3: Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad negativa en el angulopolar en funcion del angulo de propagacion inicial

deflectan hacia “abajo”, dado que el angulo de salida es mayor que el de latrayectoria rectilinea, mientras que para los neutrinos con helicidad positivalas deflexiones en el angulo son positivas, ası que el angulo de salida es menorque el de la trayectoria rectilinea, en otras palabras se desvıan hacia arriba,este comportamiento es bastante interesante, dado que de alguna manerapermitirıa dependiendo de la magnitud de la deflexion diferenciar entre neu-trinos de helicidad positiva y neutrinos de helicidad negativa; ası como lohabıamos mencionado, estas graficas fueron hechas con neutrinos que tenıaninicialmente energıas 1Mev, al cambiar la energıa de estos se pudo encon-trar un comportamiento bastante particular, en el cual aunque la forma de lacurva permanece igual que la de las graficas 3.2,3.3 tanto para neutrinos dehelicidad positiva como negativa, se aumenta considerablemente los valoresde las magnitudes de la deflexion tal y como podemos ver en la grafica 3.4,en esta grafica se puede ver como despues de los 5MeV las deflexiones crecende una manera muy rapida para terminar estabilizandose en una desviacioncercana a los 60 metros, esto en cierta parte sucede gracias a que las fuerzasno solo dependen del campo y del valor del momento dipolar, sino tambiende la magnitud de la velocidad como se pueden ver en los terminos de lasecuaciones de movimiento; si no se estuviese trabajando con ecuaciones co-variantes, este comportamiento estarıa dado gracias a que al hacer un boostel campo magnetico se transforma como γB, generando este un gran cambioen el spin y este cambio generando un cambio en el momento5.

5este comportamiento es bastante interesante pues podemos diferenciar facilmente doszonas en la grafica, una en la que las deflexiones son muy pequenas, y una en donde existeun crecimiento despues de los 5 MeV, allı la deflexion maxima aumenta muy rapidamente,


1 3 5 7 9 11 13 15 17EnergiaHMeVL

10

20

30

40

50

60

Desviacion HmL

Figura 3.4: Deflexion maxima de los neutrinos en funcion de su energıa inicial

Estas deflexiones de 60 metros o mas, son cercanas a 10−7Rad, teniendoen cuenta que visto desde el centro del sol la tierra abarca en la direccionpolar un angulo de 10−5Rad, esto significa que estas deflexiones represen-tan un centesimo de el diametro de la tierra, siendo este valor del ordende kilometros o decenas de kilometros, lo que significa que aunque existendeflexiones estas no haran que los neutrinos no alcancen la tierra.Es interesante ver las deflexiones en el angulo phi o angulo azimuthal (da-da la simetrıa azimuthal del campo, todos los neutrinos fueron propagadoscon φ = 0) que aunque son cifras despreciables muestran de nuevo formascontrarıas entre los neutrinos h.p6 y h.n, como lo muestran las graficas 3.5,3.6 Ademas es importante tambien tener en cuenta que este campo dipolarno tiene ninguna componente en la direccion phi, por lo tanto se puede verque esta deflexion es causada por la fuerza generada por el cuarto terminode las ecuaciones de movimiento 2.15 solamente.

Para los dos tipos de neutrinos propagados se puede ver el mismo com-portamiento en las deflexiones, pero es bien importante notar que los signosde la deflexion son contrarios en todas las direcciones que hemos estudia-do, sin embargo recalcando lo anterior el comportamiento es igual y esto lopodemos evidenciar con la grafica 3.7, en la que se muestra que la magnitud

tanto ası que se podrıa considerar que para otro tipo de partıculas este campo magneticodipolar podrıa servir como un filtro, pues en los rangos cercanos a los π/2 las partıculascon baja energıa casi no se deflectan, mientras que las partıculas con energıas altas sedeflectan hasta 1000 veces mas.

6helicidad positiva y helicidad negativa


Π

��

4Π

��

23 Π��

4Π

Angulo HRadL

-4·10-21

-2·10-21

2·10-21

4·10-21

Desviacion HRadL

Figura 3.5: Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad positiva en el anguloazimuthal en funcion del angulo de propagacion inicial

Π

��

4Π

��

23 Π��

4Π

Angulo HRadL

-4·10-21

-2·10-21

2·10-21

4·10-21

Desviacion HRadL

Figura 3.6: Deflexion de los neutrinos inicialmente con helicidad negativa en el anguloazimuthal en funcion del angulo de propagacion inicial

total de la deflexion de los neutrinos es igual para neutrinos h.p y h.n., esimportante anotar tambien que los comportamientos siguen iguales sin im-portar la energıa inicial con la que son propagados, lo que cambia en estecaso son los valores de deflexion que aunque guardan la misma proporcionson mayores entre mas energıa tengan, tal y como se puede ver en la grafica3.4.

Para finalizar es importante recalcar que tal y como se puede ver enla grafica 3.7 las deflexiones tienen una magnitud similar en el rango deangulos cercanos a π/2 por lo que no se generan deficiencias perceptibles enel flujo de neutrinos que se reciben en la tierra, encontrando una densidadhomogenea en la superficie solar, esto se puede explicar gracias a lo suave


Π

��

4Π

��

23 Π��

4Π

Angulo HRadL

5·10-11

1·10-10

1.5·10-10

2·10-10

Desviacion HRadL

Figura 3.7: Magnitud total de la deflexion de los neutrinos tanto de helicidad positivacomo negativa

que cambia el campo magnetico dipolar. Es tambien muy importante anotarque aunque se genero un fit entre el campo magnetico dipolar y el campomagnetohidrodinamico que se mostrara a continuacion, este campo dipolartiene como valor maximo de magnitud de campo magnetico, un valor unorden de magnitud mas pequeno que el magnetohidrodinamico en su puntomas alto, comparacion que se puede ver entre las graficas 3.9 y 3.8 porlo que se puede llegar a pensar, que en campos de magnitud mayores sepodrıan llegar a esperar deflexiones en la superficie terrestre mayores quelos 60 kilometros que se encontraron con este campo.

Magnitud Campo Magnetico Dipolar

2´1015

2.5´1015

3´1015Radio HeV-1L

Π

��

4

Π

��

2

3 Π��

4

Angulo HRadL

0

2000

4000Magnitud HeV2L

2´1015

2.5´1015

3´1015Radio HeV-1L

Figura 3.8: magnitud del campo magnetico dipolar en funcion del radio y del angulo


3.3. Campo Magneticodel modelo Magnetohidrodinamico

Este campo magnetico fue una herramienta muy importante dado quees el campo mas aproximado con el que se pudo contar para realizar elproyecto, este modelo del campo magnetico se basa en el modelo magneto-hidrodinamico de un plasma[12], para una introduccion un poco mas extensase puede remitir al apendice B, de nuevo el procedimiento que se uso, fueel de propagar neutrinos con distintos angulos y distintas energıas y obser-var su deflexion, el problema que se tuvo para esta parte del proyecto fuela limitante que imponıa el uso de las tablas para este campo magnetico,dado que hacia que los procesos numericos fuesen muy lentos y no se pud-iesen generar tablas con un numero razonable de propagaciones y deflexionespara poder observar el comportamiento del sistema, ademas que para angu-los fuera del rango π/2 − 10−4 < θ < π/2 − 10−4 la ecuacion no se podiaintegrar totalmente, pues el error era mas grande de lo aceptado. La razonde lo anterior se puede ver en la grafica 3.9, en donde se muestra como enπ/2 la magnitud del campo magnetico es bastante pequena para todos losradios, y los cambios en la magnitud del campo son suaves, mientras quepara valores distintos pero cercanos a π/2 se encuentran cambios abrup-tos y valores de la magnitud del campo magnetico mayores a 104eV 2 (elfactor de conversion entre eV 2 y Gauss es 6925,555eV 2 = 105Gauss) estecomportamiento es igual para el campo en los distintos momentos del ciclo.Por consiguiente el procedimiento fue el siguiente: se propagaron neutrinos

2´ 1015

2.5´ 1015

3´ 1015

Radio HeV-1L

Π

��

4

Π

��

2

3 Π��

4

Angulo HRadL

0

5000

10000

15000

Magnitud HeV2L

´ 1015

2.5´ 1015

3´ 1015

HeV-1L0

5000

10000

Figura 3.9: Magnitud del campo magnetico solar en la zona convectiva. (Modelo Magne-tohidrodinamico)

de helicidad negativa solamente, todos por el angulo π/2 con distintas en-

3.3. MODELO MAGNETOHIDRODINAMICO 25

ergıas y se observo su comportamiento, luego se mostraron las trayectoriasy las velocidades para los neutrinos con la energıa de mayor desviacion; porultimo se trataron de propagar neutrinos en angulos mas separados a π/2para tratar de investigar el comportamiento y observar si se puede esperarcomportamientos interesantes o importantes en las deflexiones.

La grafica de desviacion vs. energıa 3.10 nos muestra como para el anguloπ/2 a mayor energıa los neutrinos se desvıan mas de la trayectoria inicial enla direccion del angulo phi o azimuthal, sin embargo tambien nos muestracomo esta desviacion puede cambiar de signo con la energıa.

2 4 6 8 10 12 14EnergiaHMeVL

-2´10-9

-1´10-9

1´10-9

2´10-9

3´10-9

Desviacion HRadL

Figura 3.10: Desviacion de los neutrinos respecto de la trayectoria inicial vs. energıa inicial,para neutrinos de helicidad negativa propagados en el angulo inicial θ = π/2

Aunque estas desviaciones representan un diezmilesimo del rango queocupa la tierra, en estas desviaciones no se ha tenido en cuenta que en elmomento de llegar a la superficie solar los neutrinos tambien han sufridoun cambio en la velocidad y por ende la trayectoria ya no es radial desdeel centro del sol, por lo tanto el siguiente paso fue propagar estos mismosneutrinos con sus respectivas condiciones iniciales de posicion y velocidad yobservar su desviacion en una distancia comparable con el radio medio dela trayectoria de la tierra alrededor del sol, obteniendo la grafica 3.11, es detener en cuenta, que se supuso que la interaccion campo-dipolo cesaba en elmomento en el que la partıcula alcanzaba la superficie solar.

En esta grafica se puede ver como las desviaciones son mayores que lasesperadas por los angulos de desviacion encontrados en la grafica 3.10 y sepuede ver ademas como estas desviaciones pueden llegar a ser del orden dekilometros. Para proseguir con la investigacion del comportamiento de lastrayectorias de una forma mas exhaustiva, se toma la energıa de 13 MeV


2 4 6 8 10 12 14EnergiaHMeVL

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Desviacion HKmL

Figura 3.11: Desviacion de los neutrinos respecto de la trayectoria inicial en Km vs. energıainicial, para neutrinos de helicidad negativa propagados en el angulo inicial θ = π/2 a una

distancia de 1,496 ∗ 1011m del sol

y se muestra su trayectoria, sus velocidades, y por ultimo los valores de lamagnitud total de campo magnetico al que es sometido durante su trayec-toria dentro del sol, cuando es propagado desde un angulo inicial θ = π/2 yφ = 0.En la grafica 3.12 se puede ver la trayectoria en la direccion ’y’, aca se puedeobservar como se aumenta de forma muy rapida la desviacion con respecto alpunto cero que es por donde deberıa seguir la trayectoria rectilinea despuesde los 0.2 segundos del tiempo de propagacion, es importante anotar queeste tiempo es el tiempo medido en el marco de referencia de laboratorio.Para la direccion ’z’ se puede ver en la grafica 3.13 como en esta direccionel campo no lo desvıa de una manera importante y tan solo lo desvıa unasmilesimas de metro medidas en la superficie solar.Las siguientes dos graficas 3.14 , 3.15 muestran la velocidad que alcanza elneutrino en la direccion ’y’ y ’z’ respectivamente, aca de nuevo se puede vercomo existe una zona en la que la aceleracion es muy grande y el neutri-no comienza a tomar velocidad muy rapidamente en la direccion ’y’, quede nuevo naturalmente tambien es en 0.2 segundos. Para poder investigar larazon del porque despues de 0.2 segundos es que la partıcula es acelerada tandramaticamente se genero la grafica de la magnitud del campo magnetico“sentido”por el neutrino durante su trayectoria y los valores son los de lagrafica 3.16. Es muy interesante observar en esta grafica como el cambiode velocidad y por ende la deflexion del neutrino esta dado por el cambiobrusco de campo magnetico que se puede ver que comienza en la trayectoriaa 0.2 segundos, mas interesante aun es ver como el neutrino deja de acelerar


0.2 0.4 0.6 0.8tiempo HsegL

0.250.50.75

11.251.51.75

2desviacionHmL

Figura 3.12: Trayectoria en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de 13 MeV conhelicidad negativa propagado en el angulo inicial θ = π/2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6tiempo HsegL

-0.003

-0.002

-0.001

0.001

desviacionHmL

Figura 3.13: Trayectoria en la direccion ’z’ para un neutrino con energıa de 13 MeV conhelicidad negativa propagado en el angulo inicial θ = π/2

cuando este pico comienza a disminuir, por ultimo y de alguna manera masnotable para la investigacion, es que este pico de campo magnetico es de tansolo 700eV 2 y es capaz de hacer que el neutrino adquiera una velocidad de2 m/s, se dice tan solo 700eV 2 dado que como se puede ver en la grafica3.9 los puntos mas altos en la magnitud del campo magnetico son de hasta20000eV 2 ∼ 1 ∗ 105Gauss, lo que puede ir mostrando que neutrinos que sepropaguen sobre valores un poco mas altos de campos magnetico puedensufrir deflexiones mucho mas considerables que las sufridas en el angulo deπ/2, ademas que si se tiene en cuenta que el plano de la tierra esta inclinado5 grados con respecto al plano ecuatorial del sol, para poder tener una ideade cual es el efecto que estas deflexiones pueden causar en la tierra, es nece-sario propagar neutrinos desde 5 grados arriba del ecuador hasta 5 grados



0.5

1

1.5

2

2.5

3

velocidad Hm��

sL

Figura 3.14: Velocidad en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de 13 MeV conhelicidad negativa propagado en el angulo inicial θ = π/2


-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

velocidad Hm��

sL

Figura 3.15: Velocidad en la direccion ’y’ para un neutrino con energıa de 13 MeV conhelicidad negativa propagado en el angulo inicial θ = π/2

abajo del ecuador solar.Para esta parte del proyecto como se menciono anteriormente se trataron depropagar neutrinos desde los 85o hasta 95o en el angulo polar, sin embargoen esta parte fue donde mas problemas se tuvo para la integracion de lasecuaciones diferenciales, el problema radico en que para estos angulos lastrayectorias por las que pasaba el neutrino tenıan un campo magnetico conuna magnitud bastante grande tal y como se puede ver en la grafica 3.17en la cual se muestra la magnitud del campo magnetico para una trayec-toria rectilinea en un angulo de 5o arriba del ecuador solar, y en donde sepuede ver que para esta trayectoria los campos magneticos alcanzan valoresmayores a 20000eV 2; en estos casos en los que el campo magnetico alcan-zaba valores muy grandes se enfrentaba a un problema numerico bastante



100200300400500600700

campomagnetico HeV2L

Figura 3.16: Magnitud del campo magnetico que encontro el neutrino durante la trayecto-ria en el interior del sol.(para un neutrino con energıa de 13 MeV propagado en la direccion

θ = π/2)

complicado, puesto que las 4 ecuaciones de posicion cambia segun la veloci-dad, ası que cambian muy rapidamente, las cuatro ecuaciones de spin 2.11tienen el factor 2µo/~c salvo el termino que tiene que ver con el cambio de4-velocidad, mientras que las ecuaciones del cambio de 4-velocidad tienenun factor (2µo/~c)2, este factor esta entre 5,8∗10−16eV −1 y 5,8∗10−20eV −1

dependiendo de cual sea el valor de µo que se escoja, dado esto se puede ob-servar que mientras las ecuaciones de spin cambian con un factor de 10−3,las de 4-velocidad cambian con un factor de 10−7, dado esto, existen partesde las trayectorias en donde el spin y la posicion cambian mucho mas rapi-damente que la 4-velocidad haciendo del problema de la solucion de lasecuaciones diferenciales un problema numerico bastante complejo pues sedebıa encontrar un tamano de paso para resolver las 8 ecuaciones diferen-ciales que no fuese muy pequeno (esto genera un error bastante grande) yque tampoco fuese muy grande, esto tampoco deja resolver las ecuacionesque requieren un paso menor. La primera estrategia que se adopto para lasolucion de este problema fue naturalmente la que habıamos usado desdeel principio que fue la utilizacion de las unidades naturales, al observar queesto no funcionaba para todos los angulos, se aumento la precision con laque el programa hacia sus calculos aumentando considerablemente el tiem-po de procesamiento, mas sin embargo esto tampoco dio resultado paralos angulos distintos de 90 grados, se trato de hacer una transformacionde las ecuaciones diferenciales de tal forma que el cambio estuviese igualde distribuido en las 8 variables independientes, pero las transformacionesgeneraban un mayor error, se investigaron y usaron muchos de los distintos


0.6 0.7 0.8 0.9Distancia HRadios solaresL

5000

10000

15000

20000

25000

Magnitud Campo Magnetico HeV2L

Figura 3.17: Magnitud del campo magnetico que encuentra un neutrino durante la trayec-toria en el interior del sol en la direccion θ = 85o)

metodos que ofrecıa MATHEMATICAr5 para la resolucion de ecuacionesdiferenciales distintos al metodo automatico que se estaba usando, pero de-spues de dejar correr el proceso por mas de dos dias y no obtener resultadoalguno se decidio parar el proceso y por ende no se obtuvieron resultadospor estos metodos, por ultimo se cambio de programa de integracion pasan-do a las distintas opciones que se daban en MATLABr6,0, sin embargotampoco funciono puesto que aunque si integraba con las opciones basicascuando se hacıan las pruebas sobre las soluciones, como que la magnitudde la 4-velocidad siempre debe ser igual a 1 y la magnitud del 4-spin alcuadrado siempre debe ser igual a −~2/4 las soluciones no cumplıan estasdos condiciones por lo que las soluciones no podıan ser aceptadas.Por consiguiente no se pudo resolver la ecuacion diferencial para los angu-los que podrıan haber sido importantes para su deteccion en la tierra masalla del angulo π/2 y un rango a sus alrededores de 10−5Rad, en donde seencontro, como ya se habıa mencionado, deflexiones en la tierra del orden dekilometros, con una trayectoria sujeta a campos del orden de 700eV 2 comomaximo.

Capıtulo 4

Conclusiones

Al finalizar este proyecto de investigacion se llegaron a los siguientesresultados: Se lograron encontrar las ecuaciones de movimiento covariantespara una partıcula neutra con momento magnetico dipolar, encontrandoterminos nuevos que no se observaron en la literatura estudiada, y se pudieronmodificar estas ecuaciones de modo que fuesen utiles en los procesos numeri-cos en los cuales fueron aplicadas.Se pudo demostrar que tanto en el campo magnetico dipolar como en elmagnetohidrodinamico las deflexiones de los neutrinos son dependientes dela energıa inicial de los mismos, tal y como se pudo observar en las graficas3.4 y 3.10, en donde se mostraba la deflexion total y la deflexion en el anguloazimuthal respectivamente vs. la energıa inicial de los neutrinos.Se encontro para el campo dipolar, que la helicidad inicial de los neutri-nos dictaba el signo de la desviacion en las direcciones tanto polar comoazimuthal, dando ası un posible metodo para la diferenciacion de estos, seobservo tambien que el comportamiento era analogo para estos dos tiposde neutrinos propagados, pero de nuevo y como ya se menciono los signoseran contrarios para las deflexiones; comparacion que se puede ver entre lasgraficas 3.3 y 3.2.No se pudo concluir exitosamente el estudio de la posibilidad que estas de-flexiones pudiesen influir significativamente en el flujo total de neutrinosmedidos en la tierra por las razones mencionadas anteriormente.Se logro mostrar que para una partıcula neutra con momento magneticodipolar de hasta 1 ∗ 10−10µB como los neutrinos, un campo magnetico conmagnitudes del orden de las del sol, puede llegar a influir en su trayectoria.Por ultimo, el proyecto deja abierta la puerta para investigaciones poste-riores con metodos de integracion de ecuaciones diferenciales un poco mas

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32 CAPITULO 4. CONCLUSIONES

desarrollados para este problema especifico, de modo que se puedan encon-trar soluciones a las trayectorias, para el rango de angulos de interes en latierra (85o-95o en el angulo azimuthal), ademas de generar una motivacionacerca del mismo puesto que se muestra con el campo magnetohidrodinami-co como con un campo de magnitud de un orden de magnitud mas pequenoque el campo de sus alrededores graf. 3.16 y graf. 3.17 se alcanzan a generardeflexiones del orden de kilometros en la superficie terrestre, lo que podrıaindicar que con esos campos mas grandes los efectos se podrıan llegar anotar con deflexiones mucho mayores influyendo en la medida del flujo deneutrinos en la tierra.

Apendice A

Ecuacion BMT

la ecuacion BMT es en pocas palabras la generalizacion covariante de laecuacion de movimiento del spin, como ya se habıa mostrado antes, en elmarco en reposo de la partıcula la ecuacion para el spin es:

dsdt

=ge

2mcs×B’ (A.1)

La generalizacion del lado izquierdo de la igualdad seria pasar de s → Sµ,se define Sµ como un 4-vector tal que en el marco de referencia de la partıculaen reposo sea igual al 3-vector, de tal manera que hacemos que la compo-nente cero sea nula en el marco en reposo, ademas este 4-vector debe cumplirque su magnitud sea igual a la magnitud del 3-vector, de tal forma que si esuna partıcula de spin 1/2 entonces la magnitud del 4-vector tambien debe ser~/2 por lo tanto solo se tienen tres componentes independientes. Si se tieneen cuenta que el producto interno es un scalar en el espacio de Minkowskipodemos ver que en todo momento por la definicion de Uµ SµUµ = 0 porlo que se puede simplificar en buena forma las ecuaciones de transformacionpara el 4-spin; por lo que ne el lado izquierdo la generalizacion seria hacerel cambio de 3-Spin a 4-Spin y en vez de derivar con respecto al tiempo,se derivarıa con respecto al tiempo propio, o al espacio propio dependiendode que invariante se prefiera tomar quedando dSµ

dτ . Para el lado derecho dela igualdad la generalizacion no es tan sencilla, lo que se hace es asumir losiguiente que la ecuacion es lineal en Sµ y tambien es lineal en los camposaplicados que serıan el campo electrico y el campo magnetico, naturalmentela generalizacion de estos campos es el tensor de campo Fµν para dejarloescrito covariantemente, la razon de escoger que el lado izquierdo sea lin-ealmente dependiente del spin y de los campos es motivada por la ecuacionA.1 igualmente se asume que estos campos son suficientemente debiles, de

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34 APENDICE A. ECUACION BMT

tal manera que no exista produccion de pares, y que el cambio de estoscampos sea tan lento que se pueda asumir una aproximacion adiabatica. Detal manea que para construir la ecuacion se cuenta con las siguientes expre-siones que se pueden unir para formar la ecuacion final (Sµ, Fµν , Uµ, dUµ

dτ ),al tener 4 terminos que se pueden unir tenemos una gran cantidad de posi-bilidades para unirlos, pero si se tiene en cuenta que solo podemos poner encada uno de los terminos a lo sumo un tensor de campo y un 4-vector spindada la condicion de linealidad en estos factores y ademas Uµ

dUµ

dτ = 0 puesUµUµ = 1, UµSµ = 0 y que F es un tensor antisimetrico de tal forma queUµFµνUν = 0 llegando a tener solo unos pocos terminos que ademas debencontener tres vectores o tres vectores y un tensor de segundo rango o unvector y un tensor de segundo rango de tal forma que “quedeun ındice libre.Por ultimo esta ecuacion covariante debe ser igual a la ecuacion A.1 en elmarco en reposo de la partıcula, por ende no puede existir la combinacionF con la derivada de U. Hallando los siguientes terminos.

FαβSβ

(SκF κνUν)Uα

(Sβ dUβ

ds

)Uα

(A.2)

Por lo tanto la ecuacion debe ser de la forma:

dSα

dτ= aFαβSβ + b(SκF κνUν)Uα + c(Sβ

dUβ

dτ)Uα (A.3)

dado que UµSµ = 0 entonces dUµ

dτ Sµ = −dSµ

dτ Uµ por lo que si contraemosla ecuacion A.3 con Uα encontramos:

dSα

dτUα = −dUα

dτSα = aUαFαβSβ +

b

c2(SκF κνUν) + c(Sβ

dUβ

dτ)

(c + 1)dUα

dτSα + (a− b)UαFαβSβ = 0

(A.4)

en el ultimo paso lo que se hizo fue intercambiar los indices mudos de Fy dado que es un tensor antisimetrico se cambio b por -b. La unica formade que esto se cumpla siempre seria que cada una de las sumas se anularaindependientemente, osea que c=-1 y que a=b puesto que el cambio de Uno es necesariamente dado por los campos electromagneticos de modo quesi los campos electromagneticos son cero ni S ni el cambio de U deben sercero y entonces se deben cumplir las dos condiciones de arriba.

dSα

ds= aFαβSβ +

a

c2(SκF κνUν)Uα − (Sβ

dUβ

dτ)Uα (A.5)

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Si escribimos esta ecuacion en el marco en reposo, encontramos que(suponiendoque el campo electrico es cero)1a = b = ge

2mc llegando finalmente a la ecuacionBMT en el invariante τ

dSα

dτ=

ge

2mc(FαβSβ +

1c2

(SκF κνUν)Uα)− 1c2

(SβdUβ

dτ)Uα (A.6)

Para el caso de este trabajo en donde no se uso el invariante τ o tiempopropio sino s o espacio propio la ecuacion BMT quedarıa ası:

dSα

ds=

2µo

~cFαβSβ +

2µo

~c(SνFνβUβ)Uα − dUβ

dsSβUα (A.7)

en donde se cambio ge2mc = 2µo

~c .

1la razon de esto es que si existiera momento dipolar electrico para una partıcula la

ecuacion de movimiento de spin en un campo electrico seria d−→s ×−→E donde d es el momentoelectrico dipolar pero es facil darse cuenta que esta ecuacion no cumple simetrıa temporalpuesto que E es un campo polar y s es un vector axial por esto al hacer una inversion enel tiempo este darıa negativo, por ende aunque no se puede descartar nunca se ha visto.

36 APENDICE A. ECUACION BMT

Apendice B

ModeloMagnetohidrodinamico

El modelo que se uso para el campo magnetico del interior del sol fu unmodelo magnetohidrodinamico, esta seccion esta destinada a plantear losprincipios del modelo y mostrar sus alcances.Hasta hace unas decadas el intentar predecir el campo magnetico solar erauna tarea mas de intuicion, por no decir imposible, fue solo despues de lainvencion de la heliosismologıa que se pudo encontrar cuales eran las veloci-dades de rotacion en el interior del sol para las distintas capas y latitudes delsol y con esto se pudo comenzar a hacer modelos magnetohidrodinamicoscon los patrones de rotacion del sol. se descubrio que a distancias menores de5/7RJ el sol rota rıgidamente con un periodo de mas o menos 28 dias peroen su superficie las rotaciones son no homogeneas tanto ası que se puedeencontrar que en el ecuador existen rotaciones con periodos de 25 dias, au-mentando con la latitud hasta llegar a ser de hasta 30 dias en los polos.Contando ya con los patrones de velocidad para el sol solo fue necesarioaplicar Newton, Maxwell y Boltzman, fısica clasica con la que se han podidollegar a algunos campos medianamente aproximados, en esencia el principioes el siguiente:Se tiene que el sol en su interior es un plasma cargado (en la zona convec-tiva), de tal manera que este plasma tiene un movimiento que se acopla ael campo magnetico, y de igual manera el movimiento de este produce cam-pos magneticos. Si se tiene que en el sol existen campos E y B (electricoy magnetico respectivamente) y existe un plasma en movimiento, el campoque ‘vera’ el plasma, se puede encontrar haciendo una transformacion deLorentz, si el plasma se mueve a una velocidad (u) la transformacion sera:

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38 APENDICE B. MODELO MAGNETOHIDRODINAMICO

B′ = γ(B − β ×E)− γ2

γ + 1β(β ·B)

E′ = γ(E + β ×B)− γ2

γ + 1β(β ·B)

(B.1)

Si se tiene en cuenta que la velocidad del plasma en el sol no superael 1 % de la velocidad de la luz, entonces se puede hacer una expansion aprimer orden en β llegando a encontrar:

B′ = γ(B − β ×E)E′ = γ(E + β ×B)

(B.2)

Siendo estos los campos que siente el plasma en su marco de referenciaen reposo. Si ahora se tiene un plasma inmerso en un campo magnetico,en el marco de referencia del plasma el campo E’ es el de la ecuacion B.2,sin embargo si se piensa que este plasma debe tener una velocidad u y unalongitud caracterıstica L bastante grande (son corrientes de plasma en elsol) el campo electrico en el marco de referencia de el plasma no debe sergrande de tal forma que se mantenga el flujo de plasma en la direccion enla que estaba, por esto se hace la aproximacion E = −β×B. Si se sustituyeesto en la ecuacion de Faraday1:

∂B

∂t= −∇×E (B.3)

Encontramos:

∂B

∂t= ∇× (β ×B) (B.4)

Esta ecuacion lo que dice es que el campo magnetico es cargado con el flujode velocidad β = u

c . Si ahora se tiene en cuenta el campo electrico E’ quees el que mueve los flujos de plasma, se introduce la ecuacion para E en laecuacion de faraday y se encuentra que la ecuacion es:

∂B

∂t= ∇× (β ×B)−∇×E′ (B.5)

se sabe que el campo electrico en un plasma genera una densidad decorriente de la forma E’ = σJ, donde σ puede ser tan complicado como sequiera, desde una constante hasta un tensor, en este caso se tomara como

1en unida¡des del S.I

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una constante mas especıficamente la conductividad del hidrogeno ionizado(σ ∼ 2 ∗ 107T 3/2/s); de tal forma que ayudados por la ecuacion de Ampere∇×B) = µoJ = µoJ podemos escribir:

∂B

∂t= ∇× (β ×B)−∇× (η∇×B)) (B.6)

Donde η es igual a 1σµo

, esta ecuacion se puede expandir ayudados por A×B × C = (A · C)B − (A ·B)C.

∂B

∂t= ∇× (β ×B) + η∇2B −∇η × (∇×B) (B.7)

En esta ecuacion tenemos ambos terminos el que nos muestra como elflujo de velocidad es el que lleva al campo magnetico B.4 y el termino dedisipacion, en este caso este termino es bastante sencillo, pero naturalmentepuede ser mucho mas complicado, en principio estas son las ecuaciones dela magnetohidrodinamica y lo unico que se necesita para hallar el campomagnetico es el patron de velocidades de los flujos de plasma, que como ya sehabıa mencionado se han podido medir algunos experimentalmente graciasa la heliosismologıa. Para mayor informacion acerca del tema y algunosmodelos mucho mas completos se pueden remitir a la bibliografıa

40 APENDICE B. MODELO MAGNETOHIDRODINAMICO

Bibliografıa

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deflexion de enutrinos por campos magneticos

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