deformazioni elastiche e plastiche dei materiali

8/18/2019 deformazioni elastiche e plastiche dei materiali

1/9

1

Tecnologie Generali dei

Materiali

Comportamento meccanico

dei materiali

28/02/2007

T e c n o l o g i e g e n e r a l i d e i m a t e r i a l i

2

Comportamento

meccanico dei metalli

• Deformazioni elastiche

• Deformazioni plastiche

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3

0limS

F sollecitazione

S δ

δ

δ →=

F1

F5F4

F3

F2

z

y

xO

2

1

a

a

F3

F2

z

y

xO

1

a

a

δF

(a) (b)

Definizione di sollecitazione

28/02/2007


4

Simulazione della prova di trazione

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5

l0

S0F F

C a r i c o ,

F [ k N ]

0 10 200

20

60

40

Allungamento, Δl [mm]

A

O

K

L

Diagramma carichi-allungamenti

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6

0

l

lε

Δ= 0

0

l l

l

−=

0

1l

l= −

mm

mm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Deformazione convenzionale

o ingegneristica


2/9

2

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7

Sollecitazione convenzionale

0

F S

σ =

6

2 6 2 2

10

10

N N N MPa

mm m m−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] MPa

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8

0 0.08 0.16

400

800

1200

0

o e c t a z o n e , σ

a

Deformazione, ε [mm/mm]

Recupero

elastico

A

B

CO

D

K

L

α

0

F

S σ =

0

l

lε

Δ=

C a r i c o ,

F [ k N ]

0 10 20

0

20

60

40


A

O

K

L

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9

C a i c o ,

F [ k N ]

0 10 200

20

60

40


A

O

K

L

F k l= ⋅ Δ F

k l

=Δ

tanα =

Deformazioni elastiche

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10

F k l= ⋅ Δ 0 0

0 0

S lF k l

S l⋅ = ⋅ Δ ⋅

0

0 0 0

k lF l

S S l

⋅ Δ= ⋅

E σ ε = ⋅

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11

E σ

ε =

E modulo elastico o di

Young

E σ ε = ⋅

[ ]GPa

Legge di Hooke

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12

0 0.08 0.16

400

800

1200

0 S o l l e c i a z i o n e , σ [

M P a ]

Deformazione, ε [mm/mm]

A

O

K

L

α

σ

ε = E tanα =

Interpretazione geometrica del modulo di Young


3/9

3

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13

Coefficiente di Poisson

σ

σ

l0

l1

x

y

z

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14

Coefficiente di Poisson

z y xε ε ν ε = = − ⋅

z y x E

σ ε ε ν ε ν = = − ⋅ = − ⋅

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15

Deformazioni naturali

1 0 3 22 1

0 1 2

.....l l l ll l

l l lε

− −−= + + + =

1

11

ni i

i i

l l

l

−

= −

−= =∑

1

n

i i

l

l=

Δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

00

ln

l

l

d l l

l lε = =∫

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16

Relazione fra le deformazioni

convenzionali e naturali

0

1l

lε = −

0

1l

lε ⇒ = +

0

ln ll

ε = = ( )ln 1 ε +

( )ln 1ε ε = +

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17

1 0V V =

a0 b 1

b 0

c 1 c 0

a1

F

F

1 1 1 0 0 0a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= costante

Invariabilità del volume nelle deformazioni plastiche

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18

1 0

0

a a aa

ε −= 0 1 0aa a aε ⇒ ⋅ = −

1 0 0aa a aε = ⋅ + ( )1 0 1 aa a ε ⇒ = +analogamente

( )1 0 1 bb b ε = +

( )1 0 1 cc c ε = +


4/9

4

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19

( ) ( )( )1 1 1 0 0 0 1 1 1a b ca b c a b c ε ε ε ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + +

( )( ) ( )1 1 1 1a b cε ε ε + + + =

1 1a b c a b a c b c a b cε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + =

0

0a b cε ε ε + + ≠ 28/02/2007


20

1V

a0 b 1

b 0

c 1 c 0

a1

F

F

1 1 1 0 0 0a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1 1 1

0 0 0

1a b c

a b c⋅ ⋅ =

0V = costante=

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21

1 1 1

0 0 0

ln ln1a b c

a b c

⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1

0 0 0

ln ln ln 0a b c

a b c+ + =

aε bε cε

0a b c

ε ε ε + + =28/02/2007


22

0

ln l

lε = per la costanza del volume

0V V = 0 0S l S l⇒ ⋅ = ⋅

0

0

S l

l S ⇒ = per cui 0ln

S

S ε =

Un modo alternativo di calcolo di ε

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23

Caso di provini a sezione circolare

0ln S

S ε =

Dalla definizione alternativa di deformazione

naturale o logaritmica, si ha:

2

0 04

S d π

= ⋅ 24

S d π

= ⋅

2

0

2

4ln

4

d

d

π

π

⋅=

⋅

2

0ln d

d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

02 ln d

d = ⋅

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24

Simulazione della prova di

trazione


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5

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25

Relazione tra la sollecitazione

convenzionale e naturale

F

S σ =sollecitazione naturale

0 0V S l S l= ⋅ = ⋅0

0

lS S

l= ⋅

F

S σ = 0

0

S F

S S = ⋅ 0

0

S F

S S = ⋅

0

0

lS

S l=

0 0

F l

S l= ⋅

0

l

lσ = ⋅

sollecitazione convenzionale 28/02/2007


26

0

0 0 0

1l ll ll l l

ε −Δ= = = −0

1ll

ε = +

0

l

lσ σ = ⋅ (1 )σ σ ε = ⋅ +

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27

Relazioni tra sollecitazioni vere e

deformazioni logaritmiche

E σ ε = ⋅ 0se ε ≈

( )1σ σ ε = +

( )ln 1ε ε = +

σ ≈

ε ≈

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28

Curva di flusso plastico

nK σ ε = ⋅

Deformazione, ε

K = σ0

n = 0

n = 0.50

n = 0.25

S o l l e c i t a z i o n e , σ

K→ costante

n→ coefficiente di incrudimento

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29

Parametri della legge di flusso plastico

0.26530Acciai dolci

0.54315rame

0.46720 bronzi

0.33800ottoni

0.16690Leghe di alluminio

nK[MPa]Materiale

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30

Interpretazione geometrica del

coefficiente di incrudimento

n

n

l o g

σ

log ε


6/9

6

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31

Meccanismi di deformazione elastica

Fn Fn

Ft

Ft28/02/2007


32

Deformazione plastica per

scorrimento

Ft

Ft

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33

Dislocazioni

28/02/2007


34

28/02/2007


35 28/02/2007


36

Meccanismo di deformazione


7/9

7

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37

Ostacolo del bordo dei grani

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38

Effetto della temperatura

• Al crescere della temperatura diminuisce la

sollecitazione necessaria a produrre deformazione

plastica

• Al crescere della temperatura diminuisce l’effetto

dell’incrudimento

• Ad una temperatura, caratteristica per ciascun materiale,

si annulla l’incrudimento

• Tale temperatura separa le deformazioni plastiche a

caldo (sollecitazione costante con la deformazione) da

quelle a freddo (sollecitazioni crescenti con la

deformazione)

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39

Deformazioni plastiche a caldo ed a freddo

T5

T6T5T4T3T2 >

σ05

σ04σ03

σ02

σ06

Deformazione, ε

T1 <

σ01>

T E MP E RA T URA

C RE S C E NT E


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Diagrammi per vari materiali e condizioni

σ

ε

ε ε

ε

σ σ

σ

Elasto-plasticocon incrudimento

EPI

Elasto-perfettamenteplastico

EPP

Rigido-plasticocon incrudimento

RPI

Rigido-perfettamenteplastico

RPP

σ ε −

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Lavoro di deformazione elastica

F F

l 0

S0

Provino cilindrico

sottoposto a trazione

Lavoro elementare: dL F dl= ⋅

Dalle definizioni di sollecitazioni e deformazioni:

0

F

S σ = 0

0

l l

lε

−= 0

0 0 0

1l l l dl

d d d l l l

ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

⇒ = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

da cui:0F S σ = ⋅ 0dl l d ε = ⋅

e, sostituendo tali valori nella formula del lavoro elementare,

si ha:0 0dL S l d σ ε = ⋅ ⋅ ⋅

e

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Energia accumulata o lavoro di deformazione elastica

per unità di volume:

0 0

L V Ld d

V

ε

σ ε ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Sostituendo σ dalla legge di Hooke: E σ ε = ⋅

si ha:0

L E d

V

ε

ε ε = ⋅ ⋅∫21

2 E ε = ⋅ ⋅

ed, ancora dalla legge di Hooke:

21 1

2 2

L E

V ε σ ε = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


8/9

8

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43


21 1

2 2

L E

V ε σ ε = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Il lavoro di deformazione elastica, ovvero l’energia

elastica accumulata per unità di volume, vale:


Deformazione, ε

e corrisponde all’area

al di sotto della curva

σ-ε per deformazioneda 0 a ε.

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Lavoro di deformazione plastica

a0 = 40

b 1 =

3 7 . 5 b

0

= 3 0

c 1

=

3 2

c 0

=

5 0

a1 = 50

Lavoro elementare: dL F dc= ⋅

Nel caso di deformazioni plastiche a caldo, si ha:

0

F

a bσ =

⋅ovvero 0F a bσ = ⋅ ⋅

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Lavoro di deformazione plastica 2

0dL a b dcσ = ⋅ ⋅ ⋅

Lavoro elementare di deformazione plastica a caldo:

Nell’ipotesi, sempre verificata, di invariabilità del volume:

0 0 0 1 1 1a b c a b c a b c V ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

da cui:0 0 0

a b c V a b

c c

⋅ ⋅⋅ = =

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Il lavoro elementare di deformazione plastica a caldo

viene espresso anche nella forma:

0

dcdL V

cσ = ⋅ ⋅

da cui, essendo costante σ0 (caso delle deformazioni plastiche a caldo), si ha:

1

0

0

dc

L V cσ = ⋅ ⋅∫

1

0

0

dc

V cσ = ⋅ ⋅ ∫1

00

ln

c

V cσ = ⋅ ⋅

Quello calcolato è detto lavoro di deformazione plastica

parallelepipeda.

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Un diverso modo di vedere il lavoro di deformazione

plastica, valido sia per deformazioni a caldo che a freddo.

dL F dc= ⋅

Dalla definizione di sollecitazioni vere si ha:

F S a bσ σ = ⋅ = ⋅ ⋅

mentre, dalla definizione di deformazioni naturali, si ha:

0

ln c

cε = ovvero 0c c e

ε = ⋅

e, differenziando ambo i membri:

( )0dc d c eε = ⋅ 0c e d ε ε = ⋅ ⋅ c d ε = ⋅28/02/2007


48


Sostituendo le relazioni appena trovate, si ha:

dL F dc= ⋅ a b c d σ ε = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ V d σ ε = ⋅ ⋅

essendo sempre il volume costante, il lavoro di deformazione

plastica per unità di volume è dato da:

1

0 0

L V L Ld d

V V

ε

σ ε ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

S o l l e c i t a z i o n e

v e r a , σ

Deformazione logaritmica, ε

ε1

che è, ancora una volta,

dato dall’area al di sotto

della curva sollecitazioni

vere in funzione delle

deformazioni naturali.


9/9

9

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49


Se è nota la curva di flusso plastico del materiale in

lavorazione:

l’equazione precedente può essere facilmente integrata:

n

K σ ε = ⋅

1

0

Ld

V

ε

σ ε = ⋅∫1

0

n

K d ε

ε ε = ⋅ ⋅∫1

1

1

nK

nε

+= ⋅

+

Nel caso di deformazioni plastiche a caldo, l’esponente

di incrudimento n è nullo ed il lavoro di deformazione

plastica diventa:

1 L V K ε = ⋅ ⋅ 10

ln c

V K c

= ⋅ ⋅ 100

ln c

V c

σ = ⋅ ⋅ essendo 0K σ =

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Lavorazioni per deformazione plastica

(a)

(d) (e)(c)

(b)

a) fucinatura b) stampaggio c) estrusione

d) laminazione e) trafilatura

deformazioni elastiche e plastiche dei materiali

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