dejean audrey, loze delphine, mathieu johan. sommaire
TRANSCRIPT
Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes…
en classe de cinquième?
DEJEAN Audrey, LOZE Delphine, MATHIEU Johan
∙ Analyse à priori∙ Analyse didactique∙ Evaluation∙ Développement
Sommaire
Activité proposée
1. Conjecturer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes
2. Rédiger un programme de construction
Objectifs
D1: Comprendre et reformuler le problème
Difficultés attendues
D2: Construction de médiatrices
D3: Les médiatrices obtenues ne sont pas concourantes
D4: Savoir conjecturer un résultat, une propriété
Organisation mathématique
T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés
t1 : construire un point à égale distance des trois points qui
modélisent les maisons
τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)
Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est
à égale distance des trois sommets du triangle
OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]
Organisation mathématique
OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]
T2 : démontrer que trois droites sont concourantes
t2 : démontrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes
τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point
d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice
Ө2 : caractérisation de la médiatrice
Organisation didactique
∙ Moment de première rencontre
∙ Moment exploratoire
∙ Moment d’institutionnalisation
∙ Moment technologico-théorique
∙ Moment d’évaluation
∙ Moment du travail de l’OM
Evaluation de l’organisation mathématique
T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés
τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)
Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est
à égale distance des trois sommets du triangle
OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]
Evaluation de l’organisation mathématique
OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]
T2 : démontrer que trois droites sont concourantes
τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point
d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice
Ө2 : caractérisation de la médiatrice
Evaluation de l’organisation didactique
1. Chronogenèse
2. Mésogenèse
3. Topogenèse
4. Dialectique du groupe et de l’individu
Chronogenèse
L’ organisation mathématique 1 :
• Moment de première rencontre
• Moment exploratoire
(reformulation de l’énoncé…)
(mise en commun…)
Chronogenèse
L’ organisation mathématique 1 (suite) :
• Moment technologico-théorique
• Moment d’institutionnalisation
• Moment du travail de l’OM
(programme de construction…)
Chronogenèse
La phase de démonstration a manqué de sens !
Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2
→ un moment de première rencontre réduit
→ un moment exploratoire trop bref, trop guidé
→ des moments de l’étude difficiles à distinguer
L’ organisation mathématique 2 :
Mésogenèse
Quels sont les moyens et les ressources didactiques nécessaires ou utiles à la
création de l’OM1 et de l’OM2 ?
Mésogenèse
1. Un point remarquable
2. Des phases d’expérimentations successives
3. Mise en commun
4. Une longue phase d’argumentation
lien entre expérimentation et déduction
OM1 :
5. Alternance des phases de déduction et d’expérimentation
Mésogenèse
OM2 :
→ dialogues avec le groupe classe
→ des traces écrites communes
→ des ébauches d’expérimentation
→ phases de déduction plus présentes
Topogenèse
OM1 :
▪ enrichissement du topos de l’élève
▪ rôle du prof. volontairement réduit
▪ forte réduction du topos de l’élève
▪ les moments de l’étude relèvent majoritairement du topos de l’enseignant
OM2 :
Dialectique du groupe et de l’individu
▪ enrichissement du topos d’une majorité de la classe
▪ aucun foyer d’inactivité… mais quelques lieux d’activités différents
Chacun, à sa mesure et à sa façon, a eu la possibilité concrète de contribuer au travail de la classe.
La classe a-t-elle été un outil efficaceau service de chacun de ses membres ?
Comment améliorernotre séance?
Gestion de la séance
La modélisation
La démonstration
Le logiciel de géométrie dynamique
La phase de modélisation
INDISPENSABLE!
La recherche personnelle de l’élève
L’élève:• rassemble son bagage mathématique• formule une conjecture
Le professeur:• a un aperçu du niveau de l’élève• est rassuré; le débat qui suit sera dense en propositions
à mettre au premier plan!
La gestion de la séance
Le professeur devient « porte-craie »
L’élève • apprend à s’exprimer clairement • s’entraine à argumenter
Le professeur• renvoie les questions à la classe• fait reformuler si nécessaire
Le premier débat
Et la démonstration?Le professeur doit donner le goût et l’envie de
démontrer à ses élèves
Comment?Nous devons la motiver, la rendre indispensable
S’appuyer sur des figures litigieuses et mener un débat qui ne trouverait pas d’issue
Comment mener la démonstration?
Deux temps forts:
1. La phase de recherche et de production d’une preuve
2.La mise en forme de la démonstration
1. La phase de recherche et de production d’une preuve
La recherche doit être libre
Il ne faut pas imposer une rédaction rigoureuse
L’élève apprend à organiser ses idées
L’élève doit trouver les grandes lignes de la démonstration
1. La phase de recherche et de production d’une preuve
2. La mise en forme de la démonstration
Réalisée en classe à partir de l’arbre de démonstration
Correction faite par le professeur pendant la séance
En devoir à la maison
Correction faite par un élève à la séance suivante
La synthèse de la séance ne pas l’oublier!
Le logiciel de géométrie dynamique est un atout
Se créer une image mentale
Vient conforter le résultat que l’on a démontré
Observer des cas particuliers
Retour sur nos pratiques