dekatrhs energeia a lukeiou

>> ΦΦυυςςιικκιι ΑΑϋϋ ΛΛυυκκεείίοουυ >>>> ΑΑρρχχιικκιι ςςεελλίίδδαα

ΙΙΑΑΒΒΑΑΕΕ ΑΑΤΤΣΣΟΟ,, ΠΠΡΡΙΙΝΝ ΞΞΕΕΚΚΙΙΝΝΗΗΕΕΙΙ ΣΣΗΗ ΜΜΕΕΛΛΕΕΣΣΗΗ

Κείμεμξ ςε γαλάζιξ υόμσξ ΔΙΔΑΚΣΕΑ ΤΛΗ (2010−2011).

Μεγάλα μαύπα γπάμμασα σα κύπια ςτμοεπάςμασα (η οεπίληχη, για γπήγξπη εοαμάληχη). Μικπά μαύπα γπάμμασα οιξ δετσεπεύξμσα ζησήμασα, όοψρ ειςαγψγή ςε κάθε καιμξύπγιξ θέμα, διετκπιμίςειρ, οαπασηπήςειρ και αοξδείνειρ. Μικπά μολε γπάμμασα οαπαδείγμασα και αοξσελέςμασα οειπαμάσωμ.

Κείμεμξ ςε μαύπξ υόμσξ ΘΕΜΑΣΑ ΕΚΣΟ ΤΛΗ

Γμώςειρ Υτςικήρ ή Μαθημασικώμ, οξτ τοεμθτμίζξμσαι ςσημ ειςαγψγή κάοξιψμ θεμάσψμ.

τμοληπωμασικέρ οαπασηπήςειρ και αολέρ αοξδείνειρ , για ςτμοεπάςμασα σήρ θεψπίαρ οξτ σξ ςφξλικό βιβλίξ δεμ αοξδεικμύει.

Ενιςώςειρ, οξτ οπξκύοσξτμ ςτμδταςσικά και ΔΕΝ αμαυέπξμσαι ςσξ ςφξλικό βιβλίξ, αλλά φπειάζξμσαι (βξλεύξτμ) ςση λύςη αςκήςεψμ.

Αμ σιρ φπηςιμξοξιήςει ξ μαθησήρ, οπέοει μα σιρ αοξδείνει.

Όοξτ τοάπφει ατσό σξ εικξμίδιξ, κάμε κλικ για μα δειρ ςφεσικό βίμσεξ ή οπξςξμξίψςη εμόρ υαιμξμέμξτ.

ΔΔΔΙΙΙΑΑΑΤΤΤΗΗΗΡΡΡΗΗΗΣΣΣΗΗΗ ΤΤΤΗΗΗΣΣΣ ΜΜΜΗΗΗΧΧΧΑΑΑΝΝΝΙΙΙΚΚΚΗΗΗΣΣΣ ΕΕΕΝΝΝΕΕΕΡΡΡΓΓΓΕΕΕΙΙΙΑΑΑΣΣΣ

ΖΖ ρρ γγ οο δδ φφ νν αα μμ θθ σσ

ΚΚ ιι νν θθ ττ ιι κκ ιι εε νν ζζ ρρ γγ εε ιι αα

υυ νν ττ θθ ρρ θθ ττ ιι κκ ζζ σσ δδ υυ νν άά μμ εε ιι σσ

ΔΔ υυ νν αα μμ ιι κκ ιι εε νν ζζ ρρ γγ εε ιι αα

ΜΜ θθ χχ αα νν ιι κκ ιι εε νν ζζ ρρ γγ εε ιι αα

ΙΙ ςς χχ φφ σσ

ΕΕ ρρ ωω ττ ιι ςς εε ιι σσ −− αα ςς κκ ιι ςς εε ιι σσ

σα links σψμ απιθμημέμψμ ςελίδψμ (δξτλεύξτμ ςψςσά μόμξ ςσξ Ίμσεπμεσ)

σξ εικξμίδιξ για μα εοιςσπέχειρ ςσξμ οίμακα οεπιεφξμέμψμ Για γπήγξπη οεπιήγηςη φπηςιμξοξίηςε

Ζργο δφναμθσ ( ςελ. 1 )

Κινθτικι ενζργεια ( ςελ. 5 )

υντθρθτικζσ δυνάμεισ ( ςελ. 6 )

Δυναμικι ενζργεια ( ςελ. 7 )

Μθχανικι ενζργεια ( ςελ. 10 )

Ιςχφσ ( ςελ. 11 )

Ερωτιςεισ − αςκιςεισ ( ςελ. 12 )

https://sites.google.com/site/surfingphysics/physics-lyceum/a-class

https://sites.google.com/site/surfingphysics

ΑΑΡΡΙΙΣΣΤΤΟΟΤΤΕΕΛΛΗΗΣΣ ΔΔΕΕΚΚΑΑΤΤΡΡΗΗΣΣ –– ΦΦυυσσιικκήή ΑΑ΄́ ΛΛυυκκεείίοουυ

1 ΔΛΑΣΘΡΘΘ ΜΘΧΑΝΛΚΘ ΕΝΕΡΓΕΛΑ

Σα κινοφμενα ςϊματα μποροφν να αλλάξουν το περιβάλλον τουσ

Οι μεταβολζσ που ςυμβαίνουν ςτο ςφμπαν οφείλονται ςτισ διάφορεσ αλλθλεπιδράςεισ των ςωμάτων. ε προθγοφμενεσ ενότθτεσ αςχολθκικαμε με δφο κατθγορίεσ αλλθλεπιδράςεων, τισ επιταχφνςεισ και τισ παραμορφϊςεισ, που οφείλονται ςτο είδοσ τισ αλλθλεπίδραςθσ των ςωμάτων που ονομάςαμε δφναμθ. Παραδείγματα δυνάμεων και των αποτελεςμάτων τουσ βλζπουμε παρακάτω.

− H κινοφμενθ μπάλα τοφ μπιλιάρδου αςκεί δφναμθ ςτο τρίγωνο με τισ άλλεσ μπάλεσ και το “ςπάει”. − Ο κινοφμενοσ ατμοςφαιρικόσ αζρασ (άνεμοσ) αςκεί δφναμθ ςτα πανιά τοφ ιςτιοφόρου και το κζτει ςε κίνθςθ. − Το κινοφμενο βζλοσ αςκεί δφναμθ ςτον ςτόχο του και καρφϊνεται ςϋ αυτόν. − Το κινοφμενο αυτοκίνθτο αςκεί δφναμθ ςτο δζντρο και το ςπάει.

Οι επιταχφνςεισ και οι παραμορφϊςεισ που παρατθροφμε παραπάνω οφείλονται ςε δυνάμεισ που τις ασκοφν κινοφμενα ςϊματα. Ta ίδια ςϊματα, ακίνθτα, δε κα προκαλοφςαν τα ίδια αποτελζςματα.

Κάκε ςϊμα που κινείται, ζχει τθ δυνατότθτα να προκαλεί αλλαγζσ ςτο περιβάλλον του. ϊματα που ζχουν τθ δυνατότθτα να αλλάηουν το περιβάλλον ι τον εαυτό τουσ λζμε ότι κατζχουν ενζργεια. Αν θ ενζργεια οφείλεται ςτθν κίνθςθ των ςωμάτων, χαρακτθρίηεται κινθτικι ενζργεια.

(Αργότερα, κα γνωρίςουμε κι άλλουσ λόγουσ, για τουσ οποίουσ ζνα ςϊμα κατζχει ενζργεια.)

Εκτζλεςθ ζργου: θ διαδικαςία με τθν οποία μεταβιβάηεται

θ ενζργεια τισ κίνθςθσ

Και πϊσ αποκτά, λοιπόν, ενζργεια κίνθςθσ ζνα ςϊμα;

Θ απάντθςθ, ίςωσ, φαίνεται προφανισ: «τθν αποκτά, όταν τίκεται ςε κίνθςθ».

Ο Νεφτωνασ μάσ ζμακε ότι οι αλλαγζσ ςτθν ταχφτθτα οφείλονται ςτθ δράςθ δυνάμεων (που είτε κζτουν τα ςϊματα ςε κίνθςθ είτε τουσ αυξάνουν τθν ταχφτθτα που ιδθ ζχουν είτε τα “φρενάρουν” όταν κινοφνται είτε, τζλοσ, τα αναγκάηουν να “ςτρίψουν”).

Αν, λοιπόν, ζνα ςϊμα δζχεται από το περιβάλλον του δφναμθ, θ οποία το κζτει ςε κίνθςθ, μποροφμε να λζμε ότι το περιβάλλον προςφζρει κινθτικι ενζργεια ςτο ςϊμα.

Αν θ δφναμθ αυξάνει τθν ταχφτθτα που ιδθ ζχει ζνα ςϊμα, τότε πάλι το περιβάλλον προςφζρει κινθτικι ενζργεια ςτο ςϊμα (επιπλζον αυτισ που ιδθ ζχει, λόγω τισ προθγοφμενθσ ταχφτθτάσ του). Eάν θ δφναμθ μειϊνει τθν ταχφτθτα ενόσ ςϊματοσ, κα λζμε ότι το περιβάλλον αφαιρεί κινθτικι ενζργεια από το ςϊμα.

Καταλαβαίνουμε, λοιπόν, ότι…

Αν ζνα ςϊμα δεχκεί δφναμθ και αυξιςει τθν ταχφτθτά του, αποκτά και κινθτικι ενζργεια. Μετά μπορεί κι αυτό να αςκεί δυνάμεισ ςε άλλα ςϊματα, προκαλϊντασ τουσ ό,τι ακριβϊσ ζπακε πριν. Μπορεί, δθλαδι, να μεταβιβάηει τθν ενζργειά του.

Θ κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ μπορεί να αυξομειϊνεται, όταν το ςϊμα δζχεται δυνάμεισ από το περιβάλλον, οι οποίεσ του αυξομειϊνουν τθν ταχφτθτα. Οι δυνάμεισ αυτζσ λζμε ότι εκτελοφν ζργο.

Προφανϊσ, ζχουμε υπόψθ μασ και δυνάμεισ που δεν εκτελοφν ζργο, γιατί δε μεταβάλλουν τθν κινθτικι ενζργεια ςωμάτων.

Π.χ., ςπρϊχνοντασ τθν καρζκλα μασ προσ το πάτωμα δεν τθσ μεταβιβάηουμε κινθτικι ενζργεια, οπότε θ δφναμι μασ δεν εκτελεί ζργο. Για το γεγονόσ, βζβαια, ότι δεν αλλάηει θ κινθτικι ενζργεια τισ καρζκλασ δε φταίει θ ... αδυναμία τισ δφναμισ μασ να τθν αλλάξει

φταίει ότι ςτθ δφναμι μασ “λζει όχι” μια άλλθ δφναμθ, που αςκείται από το πάτωμα ςτθν καρζκλα. Τελικά, όμωσ, θ ςυνεργαςία των δφο δυνάμεων δεν προκαλεί αλλαγι ςτθν κινθτικι ενζργεια τισ καρζκλασ, οπότε ζχουμε δίκιο να λζμε ότι … δεν εργάηονται!

Ασ δοφμε ςτθ ςυνζχεια μερικά παραδείγματα δυνάμεων που εκτελοφν ζργο, αυξομειϊνοντασ τθν κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ.

Το χζρι ενόσ ακοντιςτι ωκεί το ακόντιο κατά μικοσ μιασ διαδρομισ, ωσ τθ ςτιγμι που το ελευκερϊνει. Η δφναμθ τοφ ακλθτι αςκείται προσ τθν κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ τοφ ακοντίου. Μόλισ το ακόντιο ελευκερϊνεται, ζχει κινθτικι ενζργεια, διότι πλζον μπορεί κι αυτό να αςκιςει δφναμθ και να καρφωκεί ςτο ζδαφοσ

δυνατότθτα που δεν είχε πριν δράςει πάνω του θ δφναμθ, με τον τρόπο που περιγράψαμε.

Το χζρι ενόσ παίκτθ τοφ μπόουλιγκ ωκεί τθ μπάλα κατά μικοσ μιασ διαδρομισ, μζχρι να τθν ελευκερϊςει. Η δφναμθ τοφ παίκτθ αςκείται προσ τθν κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ τισ μπάλασ. Μόλισ θ μπάλα ελευκερϊνεται, ζχει κινθτικι ενζργεια, διότι μπορεί κι αυτι πλζον να αςκιςει δφναμθ ςτισ κορίνεσ και να τουσ αλλάξει

κζςθ δυνατότθτα που δεν είχε πριν δράςει πάνω τθσ θ δφναμθ, με τον τρόπο που περιγράψαμε.

Όταν ο ποδθλάτθσ πατά φρζνο, τα ελαςτικά τοφ ποδθλάτου δζχονται τθ δφναμθ τισ τριβισ τοφ οδοςτρϊματοσ κατά μικοσ μιασ διαδρομισ. Η δφναμθ αςκείται αντίκετα ςτθ μετατόπιςθ (ολίςκθςθ) τοφ ποδθλάτου. Μόλισ το ποδιλατο ςταματιςει, δε μπορεί πλζον να αςκιςει δφναμθ ςε άλλο ςϊμα (διαβάτθ, αυτοκίνθτο κλπ) και να το παραςφρει ι να το παραμορφϊςει. Μια τζτοια δυνατότθτα τθν ζχει το ποδιλατο μόνο αν κινείται και τθ χάνει, όταν το ςταματά θ τριβι. Συνεπϊσ, κατά τθ δράςθ τισ τριβισ με τον τρόπο που περιγράψαμε, το ποδιλατο χάνει τθν κινθτικι του ενζργεια.

Θ δφναμθ δρα αντίκετα ςτθν κατεφκυνςθ

τισ μετατόπιςθσ και το ςϊμα χάνει

κινθτικι ενζργεια

Θ δφναμθ δρα προσ τθν κατεφκυνςθ

τισ μετατόπιςθσ και το ςϊμα αποκτά

κινθτικι ενζργεια

https://sites.google.com/site/surfingphysics/physics-lyceum/a-class/videos-animations/1102231212



τα προθγοφμενα παραδείγματα μποροφμε να αναγνωρίςουμε τθ διαδικαςία (μθχανιςμό) με τθν οποία ζνα ςϊμα αποκτά ι χάνει κινθτικι ενζργεια. Αυτό ςυμβαίνει, λοιπόν, όταν πάνω ςτο ςϊμα αςκείται δφναμθ με ςυγκεκριμζνο τρόπο: προσ τθν κατεφκυνςθ ι αντίκετα ςτθν κατεφκυνςθ μιασ μετατόπιςθσ τοφ ςϊματοσ.

Είπαμε, λοιπόν, ότι μια δφναμθ που ςυμβάλλει ςτο να μεταβλθκεί θ κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ εκτελεί ζργο και αυτό ςυμβαίνει όταν επιδρά ςτο ςϊμα παράλλθλα ςε μια μετατόπιςι του. Ειδικότερα:

Αν θ δφναμθ δρα προσ τθν κατεφκυνςθ μιασ μετατόπιςθσ τοφ ςϊματοσ, ςυμβάλλει ςτο να αποκτιςει το ςϊμα κινθτικι ενζργεια. Μια τζτοια δφναμθ λζμε ότι εκτελεί κετικό ζργο

ι αλλιϊσ παράγει ζργο.

Αν θ δφναμθ δρα αντίκετα ςτθν κατεφκυνςθ μιασ μετατόπιςθσ τοφ ςϊματοσ, ςυμβάλλει ςτο να αποκτιςει το ςϊμα κινθτικι ενζργεια. Μια τζτοια δφναμθ λζμε ότι εκτελεί αρνθτικό

ζργο ι αλλιϊσ παράγει ζργο.

Εφόςον θ δράςθ μιασ δφναμθσ ςτθν κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ προςφζρει, ενϊ θ δράςθ μιασ δφ-

ναμθσ αντίκετθσ ςτθ μετατόπιςθ αφαιρεί κινθτικι ενζργεια, τι αποτζλεςμα ζχει, άραγε, μια δφναμθ που δρα κάκετα ςτθ μετατόπιςθ; Λζγοντασ «δφναμθ κάκετθ ςτθ μετατόπιςθ», ζρχεται ςτο μυαλό μασ θ κεντρομόλοσ δφναμθ από τθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ. Ασ προςζξουμε, λοιπόν, ότι μια τζτοια δφναμθ είναι ςυνεχϊσ κάκετθ ςτθν τροχιά, αλλά

δεν επθρεάηει το μζτρο τισ ταχφτθτασ το οποίο διατθρείται ςτακερό. Άρα, οφτε προςφζρει οφτε αφαιρεί κινθτικι ενζργεια από το ςϊμα.

Ασ κυμθκοφμε το δορυφόρο τισ Γθσ, τθ Σελινθ, που περιφζρεται γφρω τθσ, χάρθ ςτθν κεντρομόλο βαρυτι-κι δφναμθ που δζχεται από αυτιν, χωρίσ να χάνει ι να κερδίηει κινθτικι ενζργεια επί εκατομμφρια χρόνια.

Άλλθ περίπτωςθ δφναμθσ διαρκϊσ κάκετθσ ςτθ μετατόπιςθ, είναι θ κάκετθ δφναμθ ςτιριξθσ που δζχεται ζνα ςϊμα από μια επιφάνεια, ςτθν οποία γλιςτρά. Οφτε θ δφναμθ αυτι ςυνειςφζρει ςτθν κινθτικι ενζργεια τοφ ςϊματοσ.

Αν θ δφναμθ δρα κάκετα ςτθν κατεφκυνςθ μιασ μετατόπιςθσ τοφ ςϊματοσ, τότε δε ςυμβάλλει ςτθν αλλαγι τισ κινθτικισ του ενζργειασ. Μια τζτοια δφναμθ λζμε ότι δεν εκτελεί ζργο.

Η δφναμθ Fα , που αςκεί το αριςτερό χζρι τοφ άντρα ςτθν τςάντα που κρατά, δρα κάκετα ςτθ μετατόπιςθ τισ τςάντασ, γιϋ αυτό δεν εκτελεί ζργο. H δφναμθ Fδ , που αςκεί το δεξί χζρι τοφ άντρα ςτθ βαλίτςα που ςζρνει, ςχθματίηει γωνία κ με τθν κατεφ-κυνςθ τισ μετατόπιςθσ. Αναλφουμε τθν Fδ ςτισ ςυνιςτϊςεσ Fx , θ οποία δρα παράλλθλα ςτθ μετατόπιςθ, και Fψ , που δρα κάκετα ςτθ μετατόπιςθ. Ζργο εκτελεί μόνο θ ςυνιςτϊςα Fx = F ςυνκ

τθν τάξθ αυτι αςχολοφμαςτε με ςθμειακά ςϊματα, ςτα οποία υπάρχει ζνα μοναδικό "ςθμείο εφαρμογισ" για μια δφναμθ. Αν αντιμετωπίςουμε ζνα ςϊμα με τισ πραγματικζσ του διαςτάςεισ, τότε υπάρχουν άπειρα ςθμεία για τθ δράςθ μιασ δφναμθσ. Ζτςι πρζπει να ζχουμε υπόψθ ποιο από τα ςθμεία τοφ ςϊματοσ είναι το "ςθμείο εφαρμογισ" μιασ δφναμθσ (το ςθμείο όπου αςκείται, δθλαδι). Τπάρχει τότε περίπτωςθ "το ςθμείο εφαρμογισ" τισ δφναμθσ να μετατοπίηεται, χωρίσ να μετατοπίηεται το ίδιο το ςϊμα. (Φανταςτείτε π.χ. ότι πιζηετε προσ τα κάτω το μαξιλάρι ςασ με το δάχτυλό ςασ.)

τισ περιπτϊςεισ που λαμβάνουμε υπόψθ τισ πραγματικζσ διαςτάςεισ ενόσ ςϊματοσ, πότε κεωροφμε ότι εκτελείται ζργο λοιπόν;

Λζμε, τότε, ζναν πιο αυςτθρό οριςμό για τθν εκτζλεςθ ζργου από μια δφναμθ: «Μια δφναμθ εκτελεί ζργο, όταν μετατοπίηεται το ςθμείο εφαρμογισ τθσ παράλλθλα με αυτιν.»

(και όχι δθλαδι «το ςϊμα ςτο οποίο αςκείται», που λζμε για τα ςθμειακά ςϊματα)

Αυτόσ ο οριςμόσ είναι πιο γενικόσ και περιλαμβάνει και τον οριςμό που δϊςαμε για τα ςθμειακά ςϊματα.

Fα

Fδ

κ

Fψ

Fx

Fδ

F ΔΤΝΑΜΘ ΚΑΚΕΣΘ

ΣΘ ΜΕΣΑΣΟΠΛΘ

Σο ζργο τθσ είναι μθδενικό

Δx

F ΔΤΝΑΜΘ ΣΘΝ ΚΑΣΕΤΚΤΝΘ


Σο ζργο τθσ είναι κετικό

Δx

F ΔΤΝΑΜΘ ΑΝΣΛΚΕΣΘ


Σο ζργο τθσ είναι αρνθτικό




Σο ζργο (θ εργαςία) μιασ δφναμθσ είναι λοιπόν μια διαδικαςία μεταβίβαςθσ κινθτικισ ενζργειασ: μια δφναμθ δρα ςε ζνα ςϊμα παράλλθλα ςε μια μετατόπιςι του και, με τον τρόπο αυτό, αυξομειϊνεται το ενεργειακό περιεχόμενο τοφ ςϊματοσ. Ζχει ενδιαφζρον, επομζνωσ, να μποροφμε να υπολογίςουμε αυτι τθν εργαςία, γιατί ζτςι μποροφμε ζμμεςα να λογαριάςουμε τθν (κινθτικι) ενζργεια που προςκαφαιρείται ςε ζνα ςϊμα.

Σο ζργο ςτακερισ δφναμθσ

Ασ δοφμε, λοιπόν, με ποιο τρόπο υπολογίηουμε τθν "εργαςία" μιασ δφναμθσ.

Αν κζλουμε, για παράδειγμα, να ανυψϊςουμε με ςτακερι ταχφτθτα ζνα ςϊμα, πρζπει ςφμφωνα με τον 1ο νόμο τοφ Νεφτωνα θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων πάνω του να είναι μθδζν. Αυτό ςθμαίνει ότι χρειάηεται να αςκοφμε ςτο ςϊμα μια δφναμθ προσ τα

πάνω, ιςότιμθ με το βάροσ του ϊςτε οι δφο δυνάμεισ να αλλθλοεξουδετερϊνονται. Θ ανυψωτικι δφναμθ εκτελεί τότε κετικό ζργο, διότι δρα προσ τθ μετατόπιςθ τοφ ςϊματοσ.

Κάκε φορά που ανεβάηουμε το ίδιο ςϊμα ςε φψοσ h, επαναλαμβάνουμε τθν ίδια εργαςία. Αν ανεβάςουμε, λοιπόν, το ςϊμα ςε διπλάςιο φψοσ 2h, θ εργαςία μασ διπλαςιάηεται. Ζτςι, το ζργο τθσ ανυψωτικισ δφναμθσ F είναι ανάλογο με τθ μετατόπιςθ ςτθν οποία ςυνοδεφει το ςϊμα.

Για να ανεβάςουμε, ςυγχρόνωσ, ςτο ίδιο φψοσ h δφο όμοια ςϊματα, απαιτείται διπλάςια ανυψωτικι δφναμθ 2F. H εργαςία μασ τότε διπλαςιάηεται. (Σθν ίδια ςυνολικι εργαςία μποροφμε να εκτελζςουμε ανεβάηοντασ κάκε ςϊμα χωριςτά.) Ζτςι, το ζργο για μια ςυγκεκριμζνθ μετατόπιςθ είναι ανάλογο με τθ δφναμθ.

Αν διπλαςιαςτεί και θ δφναμθ και θ μετατόπιςθ ςτθν οποία ςυνοδεφει το ςϊμα, τότε τετραπλαςιάηεται το ζργο.

Καταλιγουμε λοιπόν ςε μια λογικι για το πϊσ κα υπολογίηουμε το ζργο μιασ δφναμθσ.

Αν μια ςτακερι δφναμθ δρα ςε ζνα ςϊμα παράλλθλα ςε μια μετατόπιςι του, υπολογίηουμε το ζργο τθσ (ςυμβολικά W) πολλαπλαςιάηοντασ τα μζτρα τισ δφναμθσ και τθσ μετατόπιςθσ. το γινόμενο κζτουμε πρόςθμο + / −, αν δφναμθ και μετατόπιςθ ζχουν ίδια / αντίκετθ κατεφκυνςθ. Σο κετικό / αρνθτικό ζργο δφναμθσ λογαριάηει τθν κινθτικι ενζργεια που προςκαφαιρείται ςτο ςϊμα και, άρα, είναι ίςο με τθ μεταβολι τισ κινθτικισ του ενζργειασ. Δθλαδι:

ζργο ςτακερισ δφναμθσ, παράλλθλθσ ςτθ μετατόπιςθ ςϊματοσ =

μεταβολι τισ κινθτικισ ενζργειασ τοφ ςϊματοσ = (δφναμθ x μετατόπιςθ)

ι, ςυμβολικά, W = F Δx

(Σο ζργο δφναμθσ προκφπτει μθδενικό, αν θ μετατόπιςθ είναι μθδενικι. Επίςθσ (όπωσ ζχουμε πει) είναι μθδενικό, αν θ δφναμθ δράςει κάκετα ςτθ μετατόπιςθ.

Μονάδα μζτρθςθσ τοφ ζργου ςτο S.I. είναι το τηάουλ (J). Σόςο λζμε ότι είναι το ζργο μιασ δφναμθσ 1 Ν, θ οποία δρα ςτθν κατεφκυνςθ μιασ μετατόπιςθσ κατά 1 m του ςϊματοσ. Εφόςον με το ζργο μιασ δφναμθσ μετράμε ενζργεια που μεταβιβάηεται, το ζργο και θ ενζργεια ζχουν

τθν ίδια μονάδα μζτρθςθσ το τηάουλ.

Θ εργαςία μιασ δφναμθσ, λοιπόν, είναι τόςο περιςςότερθ όςο πιο μεγάλθ είναι θ δφναμθ και όςο πιο μακριά ςυνοδεφει ζνα ςϊμα.

Ασ ςκεφτοφμε, π.χ., ζναν ακοντιςτι. Όταν πετά το ακόντιο, αυτό φτάνει τόςο μακρφτερα, όςο μεγαλφτερθ ταχφτθτα (άρα και όςο περιςςότερθ κινθτικι ενζργεια) ζχει μόλισ ελευκερϊνεται από το χζρι τοφ ακλθτι. Η ενζργεια αυτι μεταβιβάηεται ςτο ακόντιο, με τθ διαδικαςία που ονομάςαμε «εκτζλεςθ ζργου». Όςο μεγαλφτερα χζρια ζχει, λοιπόν, ο ακοντιςτισ, τόςο μακρφτερα ςυνοδεφει θ δφναμι του το ακόντιο μζχρι να το ελευκερϊςει, οπότε ανάλογα περιςςότερθ είναι θ κινθτικι ενζργεια που δίνεται ςτο ακόντιο (διότι μεγαλϊνει το Δx ςτο γινόμενο F · Δx). Όςο μεγαλφτερθ είναι, επίςθσ, θ δφναμθ τοφ ακλθτι, ανάλογα περιςςότερθ είναι και θ κινθτικι ενζργεια που δίνει ςτο ακόντιο (διότι μεγαλϊνει το F ςτο γινόμενο F · Δx).

*Υπάρχουν, βζβαια, και άλλεσ τεχνικζσ λεπτομζρειεσ που μεγιςτοποιοφν τθν επίδοςθ ενόσ ακοντιςτι, όπωσ είναι θ επιλογι τισ κα-τάλλθλθσ κλίςθσ που κα δϊςει ςτο ακόντιο πριν το ελευκερϊςει.+

Μια αξιοςθμείωτθ παρατιρθςθ Σο ζργο είδαμε ότι αποτελεί το "λογαριαςμό" για τθν (κινθτικι) ενζργεια που προςκαφαιρείται από ζνα ςϊμα που δζχεται δφναμθ. Είναι ςωςτό, λοιπόν, να λζμε ότι «ζνα ςϊμα ζχει ενζργεια», αλλά όχι ότι «ζχει ζργο». ε προθγοφμενθ τάξθ είχαμε αναφερκεί ςε ακόμα μία διαδικαςία μεταφοράσ ενζργειασ. Μάκαμε πωσ, όποτε ςε ζνα χϊρο υπάρχουν περιοχζσ με κερμότερθ και περιοχζσ με ψυχρότερθ φλθ, ςυμβαίνει μεταφορά ενζργειασ −ςτθν οποία δϊςαμε το όνομα κερμότθτα− από τθ κερμότερθ προσ τθν ψυχρότερθ φλθ. Κάτω από τον όρο "κερμότθτα" κρφβεται μία γνωςτι μασ πλζον μορφι ενζργειασ: πρόκειται για κινθτικι ενζργεια των μορίων. Σονίηουμε ότι ςτθν τάξθ αυτι δεν αςχολοφμαςτε με μεταβίβαςθ ενζργειασ θ οποία οφείλεται ςε κερμοκραςιακζσ διαφορζσ.

H εργαςία μου είναι διπλάςια

όταν θ μετατόπιςθ

διπλαςιάηεται.

h

2h

F

F

Η εργαςία μου είναι διπλάςια

όταν βάηω διπλάςια

δφναμθ.

h

2F

F



Διάγραμμα δφναμθσ−κζςθσ Για να υπολογίςουμε το ζργο δφναμθσ, χρθςιμοποιοφμε και το διάγραμμα δφναμθσ−κζςθσ.

Αν θ δφναμθ ζχει ςτακερι κατεφκυνςθ και μζτρο, θ γραφικι παράςταςθ τοφ διαγράμματοσ F−x είναι ευκεία γραμμι, παράλλθλθ ςτον άξονα τισ κζςθσ.

Δθλαδι:

ζργο δφναμθσ, ςτακερισ κατεφκυνςθσ και μζτρου = (εμβαδόν ςτο διάγραμμα F−x)

[Μπροςτά από το εμβαδόν κζτουμε πρόςθμο + ι −, όταν δφναμθ και μετατόπιςθ αντίςτοιχα ζχουν ίδια ι αντίκετθ κατεφκυνςθ. Κετικι κεωρείται θ κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ, όπωσ ζχουμε πει.]

Αν θ δφναμθ F ζχει ςτακερι κατεφκυνςθ αλλά μεταβλθτό μζτρο, θ γραφικι παράςταςθ τοφ διαγράμ-ματοσ F−x είναι τυχαία καμπφλθ γραμμι. Kαι ςϋ αυτι τθν περίπτωςθ το ζργο τισ δφναμθσ το υπολογίηουμε από το εμβαδόν ςτο διάγραμμα F−x (αρκεί να μπορεί να υπολογιςτεί).

Θ απόδειξθ είναι εκτόσ φλθσ, αλλά κα τθν περιγράψουμε απλοϊκά.

τθν περίπτωςθ που θ δφναμθ ζχει ςτακερι κατεφκυνςθ αλλά όχι ςτακερό μζτρο, για να λογαριάςουμε το ζργο τθσ δε μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε τθν εξίςωςθ W = F · Δx. Χωρίηουμε, λοιπόν, τθ μετατόπιςθ Δx ςε πλικοσ μικρϊν μετατοπίςεων dx και ςε κάκε μια από αυτζσ το μζτρο τισ δφναμθσ, πικανόν, αλλάηει. τθν αρχι τισ πρϊτθσ μετατόπιςθσ dx θ δφναμθ ζχει τιμι F0. Αν κάνουμε τθν προςζγγιςθ ότι μζχρι το τζλοσ τθσ θ δφναμθ παραμζνει F0, τότε το ζργο για αυτι τθ μικρι μετατόπιςθ dx είναι W0 = F0 dx −ίςο με το εμβαδόν τοφ γραμμοςκιαςμζνου παραλλθλογράμμου E0. τθν αρχι τισ δεφτερθσ μετατόπιςθσ dx θ δφναμθ ζχει τιμι F1. Aν κάνουμε τθν προςζγγιςθ ότι μζχρι το τζλοσ τθσ θ δφναμθ παραμζνει F1, τότε το ζργο για τθ δεφτερθ μετατόπιςθ dx είναι W1 = F1 dx −ίςο με το εμβαδόν τοφ γραμμοςκιαςμζνου παραλλθλογράμμου E1. Ακολουκϊντασ τθν ίδια λογικι υπολογίηουμε τo ζργο για κάκε μικρι μετατόπιςθ dx. Αν ακροίςουμε τα ζργα όλων των μικρϊν μετατοπίςεων dx, παίρνουμε τo ζργο W τθσ δφναμθσ F για ολόκλθρθ τθ μετατόπιςθ Δx:

W = W0 + W1 + W2 + … = E0 + E1 + E2 + …

Σο ζργο W, λοιπόν, είναι κατά προςζγγιςθ ίςο με το γραμμοςκιαςμζνο εμβαδόν ανάμεςα ςτθ γραφικι παράςταςθ τοφ διαγράμματοσ F−x και τθ μετατόπιςθ Δx. Σο ςφάλμα ςτον υπολογιςμό μασ βρίςκεται, βζβαια, ςτο ότι δεχτικαμε πωσ θ τιμι τισ δφναμθσ διατθ-ρείται ςτακερι ςε κάκε μικρι μετατόπιςθ dx και κάνει ζνα "άλμα" ςτθν επόμενθ μικρι μετατόπιςθ −ενϊ ςτθν πραγματικότθτα θ δφναμθ μεταβάλλεται με ςυνεχι τρόπο. Όμωσ, όςο περιςςότερεσ −και πιο μικρζσ− είναι οι μετατοπίςεισ dx, ςτισ οποίεσ "κομματιάηουμε" τθ με-τατόπιςθ Δx, τόςο μικρότερα γίνονται τα "άλματα" αυτά και τόςο περιςςότερο πλθςιάηουμε ςτον πραγματικό τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται θ δφναμθ. υγχρόνωσ, το γραμμοςκιαςμζνο εμβαδόν −που μασ δίνει το ζργο W για τθ μετατόπιςθ Δx− πλθςιάηει τότε περιςςότερο προσ το εμβαδόν ανάμεςα ςτθ γραφικι παράςταςθ τοφ διαγράμματοσ και τθ μετατόπιςθ Δx. Αν οι μετατοπίςεισ dx γίνουν πάρα πολλζσ και πολφ μικρζσ, το ςφάλμα ελαχιςτοποιείται, κακϊσ θ με-τάβαςθ από τθ μία τιμι τισ δφναμθσ ςτθν άλλθ γίνεται με ςυνεχι τρόπο, όπωσ ςυμβαίνει και ςτθν πραγματικότθτα. Σότε, λοιπόν, βλζπουμε ότι το άκροιςμα W = Wo + W1 + W2 + … = E0 + E1 + E2 + … κα κάλυπτε όλο το εμβαδόν Ε ανάμεςα ςτθ γραφικι παράςταςθ και τον άξονα τισ κζςθσ και κα μασ ζδινε (με ακρίβεια, αρκεί να μποροφςε να υπολογιςτεί) το ζργο W για μετατόπιςθ Δx. Δθλαδι, W = E.

ΔΤΝΑΜΗ Ε ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΑΝΣΙΘΕΣΗ ΑΠΟ ΣΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ

δφναμθ (Ν)

F

0 ζργο = −F · Δx = −(εμβαδόν)

x xo κζςθ (m)

Δx

δφναμθ (Ν)

F

κζςθ (m)

0 Δx

ζργο = +F · Δx = +(εμβαδόν)

xo x

ΔΤΝΑΜΗ ΣΗΝ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΣΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ

0

Fo F1 F2

κζςθ (m)

Δx

Eo E1 E2

δφναμθ (Ν)

E1 E0

δφναμθ (Ν)

0

Fo F1

Δx dx dx dx

Eo E1 E2

F2

κζςθ (m)

E1 E2

δφναμθ (Ν)

0

E E

κζςθ (m)

dx dx dx

Δx



χζςθ τισ κινθτικισ ενζργειασ με το παρελκόν ενόσ ςϊματοσ

Είπαμε ωσ τϊρα ότι:

Θ κινθτικι ενζργεια είναι το φυςικό μζγεκοσ που εκφράηει τθ δυνατότθτα ενόσ ςϊματοσ να προκαλεί αλλαγζσ ςτο περι-βάλλον του, εξαιτίασ τισ κίνθςισ του.

Σο ζργο κάκε δφναμθσ που δζχεται ζνα ςϊμα είναι το φυςικό μζγεκοσ που εκφράηει τθν κινθτικι ενζργεια που προςκα-φαιρείται ςϋ αυτό.

Θ κινθτικι ενζργεια είναι μονόμετρο μζγεκοσ. Ζτςι, για όςεσ δυνάμεισ δρουν ςε ζνα ςϊμα, αν υπολογίςουμε τα ζργα τουσ και τα προςκζτουμε αλγεβρικά (δθλαδι με τα πρόςθμά τουσ), βρίςκουμε τθ ςυνολικι μεταβολι ςτθν κινθτικι ενζργεια τοφ ςϊματοσ.

μεταβολι κινθτικισ ενζργειασ ςϊματοσ = ζργο 1 + ζργο 2 + …

ι, ςυμβολικά, ΔΚ = W1 + W2 + …

Σο παραπάνω ςυμπζραςμα είναι γνωςτό ωσ κεϊρθμα μεταβολισ τισ κινθτικισ ενζργειασ (ι κεϊρθμα ζργου−ενζργειασ). Για ςυντομία κα γράφουμε Κ.Μ.Κ.Ε.

Αποδεικνφεται εφκολα ότι το αλγεβρικό άκροιςμα των ζργων των δυνάμεων που δρουν ςε ζνα ςϊμα είναι όςο και

το ζργο τισ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ. (ΑΚΗΗ)

χζςθ τισ κινθτικισ ενζργειασ με το παρόν ενόσ ςϊματοσ

Θ ενζργεια κίνθςθσ ενόσ κινοφμενου ςϊματοσ μεταβιβάςτθκε ςτο παρελκόν ςϋ αυτό, με τα ζργα όςων δυνάμεων το επι-τάχυναν από τθν θρεμία. Αν μποροφμε να υπολογίςουμε τα ζργα των δυνάμεων που ζδραςαν από τθ ςτιγμι τισ θρεμίασ του μζχρι να αποκτιςει τθν ταχφτθτα που ζχει, τότε θ αλγεβρικι πρόςκεςθ των ζργων είναι ζνασ ζμμεςοσ τρόποσ να λογαριάςουμε τθν κινθτικι ενζργεια τοφ ςϊματοσ (ςφμφωνα με το Κ.Μ.Κ.Ε.).

Αν όμωσ δε γνωρίηουμε το παρελκόν ενόσ κινοφμενου ςϊματοσ, πϊσ κα λογαριάςουμε τθν κινθτικι του ενζργεια;

Ζςτω ζνα ςϊμα με μάηα m, που τϊρα ζχει ταχφτθτα v. Σο ςϊμα αυτό κάποτε ςτο παρελκόν θρεμοφςε, ζχοντασ μθδενικι ενζργεια κίνθςθσ. Σότε, ςφμφωνα με τον 1ο νόμο τοφ Νεφτωνα, θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων ςτο ςϊμα ιταν μθδζν. Για τθν απλοποίθςθ των υπολογιςμϊν ασ υποκζςουμε ότι κάποια ςτιγμι (τθν ονομάηουμε ςτιγμι 0) άρχιςε να επιδρά πάνω ςτο ςϊμα μια μόνο ςτακερι δφναμθ F. Εξαιτίασ τισ ιςορροπίασ των υπόλοιπων δυνάμεων θ δφναμθ F αντιπροςϊπευε τθ νζα ςυνιςταμζνθ ςτο ςϊμα. φμφωνα με το 2ο νόμο τοφ Νεφτωνα, το ςϊμα απζκτθςε ςτακερι επιτάχυνςθ α = F/m, ςτθν κατεφκυνςθ τισ ςυνιςτα-μζνθσ F και θ κίνθςθ που ζκανε ιταν ευκφγραμμθ ομαλά επιταχυνόμενθ.

Θ ταχφτθτά του αυξανόταν κι ζφκαςε να γίνει v μετά από χρόνο t =

v

το χρόνο αυτό θ δφναμθ ςυνόδευςε το ςϊμα ςε μια μετατόπιςθ Δx =1

2α t2 =

1

2α

2v

=

2v

2

Αν πολλαπλαςιάςουμε τθν τιμι F τθσ ςτακερισ δφναμθσ με τθ μετατόπιςθ Δx ςτθν οποία ςυνόδευςε το ςϊμα, βρίςκουμε το ζργο W τθσ δφναμθσ που μετζδωςε τθν κίνθςθ ςτο ςϊμα − άρα και τθν ενζργεια τισ κίνθςθσ που μεταβιβάςτθκε ςε αυτό από όποιο ςϊμα τοφ άςκθςε τθ δφναμθ:

W = F Δx = ( m α ) · (

2v

2) και, μετά τθν απλοποίθςθ, W =

2m v

2

Σο ζργο που υπολογίςαμε μετρά τθν κινθτικι ενζργεια που μεταβιβάςτθκε ςτο ςϊμα, από τθ ςτιγμι που ιταν ακίνθτο μζχρι να αποκτιςει ταχφτθτα v. Βλζπουμε, δθλαδι, ότι θ ενζργεια ενόσ κινοφμενου ςϊματοσ μπορεί να υπολογιςτεί, αν ξζρουμε μόνο τθ μάηα και τθν ταχφτθτά του. Επομζνωσ...

Δεν είναι απαραίτθτο να γνωρίηουμε τθ δφναμθ που, με το ζργο τθσ, μεταβίβαςε ςτο ςϊμα τθν ενζργεια τισ κίνθςθσ !

Αν δεν ζχουμε πλθροφορίεσ για το παρελκόν ενόσ ςϊματοσ, για να λογαριάςουμε τθν κινθτικι του ενζργεια αρκεί μια πλθροφορία από το παρόν του: θ ταχφτθτά του.

Θ κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ ιςοφται με το θμιγινόμενο τισ μάηασ του επί το τετράγωνο τισ ταχφτθτάσ του.

κινθτικι ενζργεια ςϊματοσ =2

x(μάηα) (ταχφτθτα)

2 ι, ςυμβολικά, Κ =

m v

2

2

Δ Δε φταίει θ

απροςεξία μου,

. … θ κινθτικι μου

ενζργεια φταίει !

Είδεσ τι κάνει

θ απροςεξία ςου!



Σο ζργο τοφ βάρουσ ζχει απροςδόκθτεσ ιδιότθτεσ

Ασ κεωριςουμε ζνα ςϊμα, που μζςα ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ μπορεί να κινθκεί από μια αρχικι κζςθ Α ςε μια τελικι κζςθ Σ, ακολουκϊντασ τρεισ διαφορετικζσ τροχιζσ (1, 2 και 3).

Όταν το ςϊμα ακολουκεί τθν ευκφγραμμθ τροχιά 1, το βάροσ του μπορεί να αναλυκεί ςτισ ςυνιςτϊςεσ: Bx (ςτθν κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ ΑΣ) και Βψ (κάκετθ ςτθν κατεφκυνςθ τισ μετατόπιςθσ ΑΣ).

Ζργο παράγει μόνο θ ςυνιςτϊςα Bx = B · θμκ, ιςχφει δθλαδι

WB (για τροχιά 1) = WBx = δφναμθ x μετατόπιςθ = (B · θμκ) (ΑΣ) = mg ·ΑΕ

ΑΣ· ΑΣ = mg · AE = m g h

Όταν το ςϊμα ακολουκεί τθν τεκλαςμζνθ τροχιά 2, το βάροσ του παράγει ζργο μόνο για τθ μετατόπιςθ ΑΕ, με τθν οποία ζχει τθν ίδια κατεφκυνςθ. (Επειδι το βάροσ είναι κάκετο ςτθ μετατόπιςθ ΕΣ, το ζργο του ςτθ μετατόπιςθ αυτι είναι μθδζν.) Λςχφει, επομζνωσ,

WB (για τροχιά 2) = δφναμθ x μετατόπιςθ = mg · ΑE = m g h

Παρατθροφμε ότι WB (για τροχιά 1) = WB (για τροχιά 2)

Λίγο πιο περίπλοκα αποδεικνφεται και για τθν τυχαία καμπφλθ τροχιά 3 ότι

WB (για τροχιά 1) = WB (για τροχιά 2) = WB (για τροχιά 3) = m g h

Σο ζργο τοφ βάρουσ είναι ίδιο για τισ τρεισ −αλλά και για οποιεςδιποτε άλλεσ− τροχιζσ που μπορεί να ακολουκιςει το ςϊμα ανάμεςα ςτθν ίδια αρχικι και τελικι κζςθ. Επομζνωσ δεν εξαρτάται από τθν τροχιά, αλλά από τθν αρχικι και τθν τελικι κζςθ −και, ςυγκεκριμζνα, από τθν υψομετρικι διαφορά τουσ. υμπεραίνουμε ότι:

Σο ζργο τοφ βάρουσ ενόσ ςϊματοσ εξαρτάται από τθν αρχικι και τθν τελικι κζςθ τοφ ςϊματοσ και όχι από το είδοσ τισ τροχιάσ του.

Αν ζνα ςϊμα, ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ, ανζρχεται ςε φψοσ h και φςτερα κατζρχεται ςτθν ίδια κζςθ από τθν οποία ξεκίνθςε (ζτςι ϊςτε να ακολουκεί μια κλειςτι τροχιά), το ζργο τοφ βάρουσ του είναι τότε:

WΒ = (ζργο ανόδου) + (ζργο κακόδου) = −m g h + m g h = 0

Όπωσ είπαμε, το ζργο τοφ βάρουσ εξαρτάται μόνο από τθν αρχικι και τθν τελικι κζςθ τοφ ςϊματοσ και όχι από τθν τροχιά του. Ζτςι, αν το ςϊμα ξεκινιςει και καταλιξει ςτθν ίδια κζςθ, όχι ανεβαίνοντασ και κατεβαίνοντασ, αλλά ακολουκϊντασ μια οποια-διποτε άλλθ τροχιά, το ζργο τοφ βάρουσ προκφπτει ίδιο −δθλαδι, είναι πάντα μθδζν. υμπεραίνουμε ότι:

Σο ζργο τοφ βάρουσ ςε μια κλειςτι τροχιά είναι μθδζν.

Δυνάμεισ που το ζργο τουσ ζχει τισ παραπάνω ιδιότθτεσ τισ λζμε ςυντθρθτικζσ ι διατθρθτικζσ. Σζτοιεσ είναι γενικά οι βαρυτικζσ δυνάμεισ, οι θλεκτρικζσ δυνάμεισ (που αςκοφνται μεταξφ θλεκτρικϊν φορτίων)

και οι δυνάμεισ ελαςτικισ παραμόρφωςθσ (όπωσ αυτζσ που αςκοφν τα παραμορφωμζνα ελατιρια).

Α

Τ

1

3

2 Ε

θ

h

Β

κ

Βψ

c Βx

c

Ζργο

βάρουσ

κατά τθν

άνοδο

−mgh

Ζργο

βάρουσ

κατά τθν

κάκοδο

+mgh



Ζνα ανυψωμζνο ςϊμα (ζςτω και ακίνθτο) μπορεί να αλλάξει το περιβάλλον του

Είδαμε ότι ζνα κινοφμενο ςϊμα μπορεί να προκαλζςει αλλαγζσ ςτο περιβάλλον του και, γιϋ αυτό, λζμε ότι ζχει ενζργεια.

Ζνα ακίνθτο ςϊμα μπορεί, άραγε, να αλλάξει το περιβάλλον του;

Ασ φζρουμε ςτο νου τα παρακάτω παραδείγματα.

Ζνασ γερανόσ ςυγκρατεί μια μεγάλθ πζτρα πάνω από ζναν πάςαλο. Παρά το ότι θ πζτρα είναι ακίνθτθ, ζχει τθ δυνατό-τθτα να κινθκεί προσ τα κάτω −με τθν επίδραςθ τοφ βάρουσ τθσ− και να καρφϊςει τον πάςαλο μζςα ςτο χϊμα (δθλαδι να του μεταβιβάςει ενζργεια κίνθςθσ). Αν φανταςτοφμε τθν ίδια πζτρα ακίνθτθ αλλά ςτο φψοσ τοφ παςάλου, δεν ζχει τότε τθ δυνατότθτα αυτι. Άρα, ςτθ ανυψωμζνθ κζςθ τθσ θ πζτρα μποροφμε να ιςχυριςτοφμε ότι ζχει ενζργεια.

Στο τςίρκο, μία μικρόςωμθ ακροβάτιδα ςτζκεται πάνω ςε μια ςκάλα, ψθλότερα από μία ςυνεργάτιδά τθσ, που τθν περι-μζνει ςτθν άκρθ μιασ τραμπάλασ. Παρά το ότι θ ακροβάτιδα είναι ακίνθτθ, ζχει τθ δυνατότθτα να κινθκεί προσ τα κάτω −με τθν επίδραςθ τοφ βάρουσ τθσ− και πζφτοντασ ςτθν τραμπάλα, να τινάξει ψθλά τθ ςυνεργάτιδά τθσ (δθλαδι να τθσ μεταβι-βάςει ενζργεια κίνθςθσ). Αν φανταςτοφμε τθ μικρόςωμθ ακροβάτιδα ακίνθτθ αλλά ςτο φψοσ τισ τραμπάλασ, δεν ζχει τότε τθ δυνατότθτα αυτι. Άρα, ςτθν ανυψωμζνθ κζςθ τθσ θ ακροβάτιδα ζχει ενζργεια.

Το ιρεμο νερό μιασ λίμνθσ ςυγκρατείται με ζνα φράγμα ψθλότερα από τον υδροςτρόβιλο ενόσ υδροθλεκτρικοφ ςτακμοφ. Παρά το ότι το νερό είναι ακίνθτο, ζχει τθ δυνατότθτα να κινθκεί προσ τα κάτω −με τθν επίδραςθ τοφ βάρουσ του− και να περιςτρζψει τον υδροςτρόβιλο (δθλαδι να του μεταβιβάςει ενζργεια κίνθςθσ). Αν φανταςτοφμε το νερό ακίνθτο αλλά ςτο φψοσ τοφ ςτροβίλου, δεν ζχει τότε τθ δυνατότθτα αυτι. Άρα, ςτθν ανυψωμζνθ κζςθ του το νερό ζχει ενζργεια.

Όποτε κάποιο ςϊμα ζχει τθ δυνατότθτα να κινθκεί προσ χαμθλότερθ κζςθ μζςα ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ, το βάροσ τοφ ςϊματοσ μπορεί να παράγει ζργο και να αυξιςει τθν κινθτικι ενζργειά του (τθν οποία, ςτθ ςυνζχεια, το ςϊμα μεταβιβάηει ςτο περιβάλλον). Μποροφμε, λοιπόν, να ιςχυριςτοφμε ότι:

Ζνα ςϊμα που ανυψϊνεται ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ, αποταμιεφει ενζργεια, θ οποία εκφράηει τθ δυνατότθτά του να αποκτιςει κινθτικι ενζργεια κατά τθν πτϊςθ του, εξαιτίασ τοφ ζργου τοφ βάρουσ του. Αυτι τθ μορφι ενζργειασ ενόσ ςϊματοσ ςε ςχζςθ με μια χαμθλότερθ κζςθ του ςτο βαρυτικό πεδίο, τθ λζμε βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.

Εάν το ανυψωμζνο ςϊμα είχε μάηα ςυγκρίςιμθ με τθ μάηα τισ Γθσ, θ βαρυτικι δφναμθ που αυτό αςκεί ςτθ Γθ (=θ αντίδραςθ ςτο βάροσ του) κα μποροφςε να επιταχφνει τθ Γθ και τότε κα παρατθροφςαμε ςϊμα και Γθ να πλθςιάηουν ταυτόχρονα. Επομζνωσ, εξαιτίασ τθσ βαρυτικισ τουσ αλλθλεπίδραςθσ κα μποροφςαμε να πάρουμε ενζργεια τόςο από το ςϊμα όςο και από τθ Γθ. Επειδι, όμωσ, θ Γθ ζχει μάηα αςφγκριτα μεγαλφτερθ από τθ μάηα όλων των ςωμάτων με τα οποία αςχολοφμαςτε, αποκτά αςιμαντθ επιτάχυνςθ από τθ βαρυτικι δφναμθ που τθσ αςκεί ζνα ςϊμα ςε κάποια απόςταςθ από αυτιν και, τελικά, ενζρ-γεια μποροφμε να πάρουμε μόνο από το ςϊμα. Ζτςι, τθν ενζργεια τοφ ηεφγουσ, τθν εκμεταλλεφεται μόνο το ανυψωμζνο ςϊμα, γιϋ αυτό −καταχρθςτικά− τθ λζμε «ενζργεια τοφ ςϊματοσ».

Διαπιςτϊςαμε, λοιπόν, ότι και ςε ζνα ακίνθτο ςϊμα μποροφμε να αναγνωρίςουμε μια δυνατότθτα, παρόμοια με αυτι που διακρίναμε και ςε ζνα κινοφμενο ςϊμα −τθ δυνατότθτα, δθλαδι, να μπορεί να προκαλεί αλλαγζσ ςτο περιβάλλον του, τθν οποία και αποκαλζςαμε ενζργεια.

Ασ δοφμε με ποια διαδικαςία ζνα ςϊμα αποκτά βαρυτικι δυναμικι ενζργεια και πϊσ τθ λογαριάηουμε.

Ασ κεωριςουμε ζνα ςϊμα, που το πετάμε προσ τα πάνω, προςφζροντάσ του ζτςι μια αρχικι κινθτικι ενζργεια.

Αυτό κάνει, π.χ., ζνασ παίκτθσ τοφ βόλλευ, πετϊντασ προσ τα πάνω μια μπάλα.

Κακϊσ το ςϊμα ανζρχεται, το βάροσ, με το αρνθτικό του ζργο, εξαντλεί ςταδιακά τθν κινθτικι ενζργεια (το επιβραδφνει). Όταν το ςϊμα βρεκεί ςτο μζγιςτο φψοσ του, δεν ζχει πλζον κινθτικι ενζργεια, αλλά −όπωσ είδαμε− ζχει ενζργεια (αυτι που ονομάςαμε βαρυτικι δυναμικι ενζργεια), τθν οποία μπορεί να μεταβιβάςει ςτο περιβάλλον με το κετικό ζργο τοφ βάρουσ του κατά τθν πτϊςθ του. τισ ενδιάμεςεσ κζςεισ θ μπάλα ζχει και τισ δφο μορφζσ ενζργειασ. υμπεραίνουμε ότι:

Θ εκτζλεςθ ζργου από μια δφναμθ −εκτόσ από διαδικαςία μεταβίβαςθσ κινθτικισ ενζργειασ− μπορεί να είναι και διαδικαςία μετατροπισ τισ ενζργειασ από μια μορφι ςε άλλθ.

Κατά τθν ανφψωςθ ενόσ ςϊματοσ μζςα ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ, το αρνθτικό ζργο τοφ βάρουσ του μετατρζπει τθν ενζργεια από κινθτικι ςε βαρυτικι δυναμικι.

Κατά τθν κάκοδο τοφ ςϊματοσ μζςα ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ, το κετικό ζργο τοφ βάρουσ του μετατρζπει τθν ενζργεια από βαρυτικι δυναμικι ςε κινθτικι.

Αν ζνα ςϊμα, λοιπόν, βρίςκεται ςε μια ανυψωμζνθ κζςθ, τότε θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια που ζχει ςε ςχζςθ με μια χαμθλότερθ κζςθ του κεωροφμε ότι είναι όςο και το ζργο που κα εκτελζςει το βάροσ του μζχρι τθ χαμθλότερθ κζςθ (ι, ιςοδφναμα, είναι όςθ και θ κινθτικι ενζργεια που

κα αποκτιςει το ςϊμα ςτθ κζςθ αυτι κατά τθν πτϊςθ του).

Αν θ υψομετρικι διαφορά των δφο κζςεων είναι μικρι, ϊςτε το βάροσ να κεωρείται ςτακερό, τότε:

βαρυτικι δυναμικι ενζργεια = ζργο βάρουσ = βάροσ x υψομετρικι διαφορά

ι, ςυμβολικά, U = WB = m g h

h




Όταν ςε ζνα ςϊμα εκτελεί ζργο μόνο το βάροσ...

Σο ηεφγοσ ςϊμα-Γθ, λοιπόν, εξαιτίασ τισ βαρυτικισ αλλθλεπίδραςισ τουσ, κατζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια, θ οποία ςχετίηεται με τθν απόςταςθ μεταξφ Γθσ-ςϊματοσ. Θ ενζργεια αυτι καταχρθςτικά λζμε ότι είναι «ενζργεια τοφ ςϊματοσ». ε κάκε κίνθςθ τοφ ςϊματοσ ςε ςχζςθ με τθ Γθ, αν πάνω του εκτελεί ζργο μόνο το βάροσ του, ςυμβαίνει μετατροπι είτε τισ δυναμικισ ενζργειασ τοφ ςϊματοσ ςε κινθτικι ενζργεια είτε το αντίςτροφο. Σότε, το άκροιςμα των δφο ενεργειϊν διατθρείται ςτακερό. Ζτςι, αν το ςϊμα μετακινθκεί από ςθμείο ςε ςθμείο Ρ:

(κινθτικι ενζργεια ςτο Ρ) + (δυναμικι ενζργεια ςτο Ρ) = (κινθτικι ενζργεια ςτο ) + (δυναμικι ενζργεια ςτο )

ι, ςυμβολικά, Κ + U = KΡ + UΡ οπότε, θ μεταβολι τισ κινθτικισ ενζργειασ τοφ ςϊματοσ είναι

ΚΡ K = U UΡ ι ΔΚ = −ΔU

Όμωσ, θ μεταβολι τισ κινθτικισ ενζργειασ από το ςτο Ρ (ςφμφωνα με το Κ.Μ.Κ.Ε.) ιςοφται και με το ζργο τισ μοναδικισ δφναμθσ πάνω ςτο ςϊμα, τοφ βάρουσ, για τθ μετατόπιςθ από το ςτο Ρ:

ΚΡ K = βαρ ( Ρ)FW

Οι δφο τελευταίεσ εξιςϊςεισ ζχουν ίςα πρϊτα μζλθ, οπότε για τα δεφτερα μζλθ τουσ προκφπτει ότι

U UΡ = βαρ ( Ρ)FW

Περιγράφουμε τα αποτελζςματα τισ μακθματικισ ανάλυςθσ που κάναμε:

Για τθ μετατόπιςθ ενόσ ςϊματοσ από ςθμείο ςε ςθμείο Ρ του βαρυτικοφ πεδίου

κι εφόςον ςτο ςϊμα δρα μόνο θ δφναμθ τοφ πεδίου (βάροσ) :

Θ μεταβολι τισ δυναμικισ ενζργειασ είναι αντίκετθ τισ μεταβολισ τισ κινθτικισ ενζργειασ

Σο ζργο τοφ βάρουσ

είναι ίςο με τθ μεταβολι τισ κινθτικισ ενζργειασ τοφ ςϊματοσ

είναι αντίκετο τισ μεταβολισ τισ δυναμικισ του ενζργειασ

είναι ίδιο για οποιαδιποτε τροχιά ακολουκιςει το ςϊμα από το ζνα ςθμείο ςτο άλλο

(επειδι το βάροσ είναι ςυντθρθτικι δφναμθ).

τουσ υπολογιςμοφσ εμφανίηεται θ μεταβολι τισ δυναμικισ ενζργειασ ανάμεςα ςε δφο κζςεισ τισ τροχιάσ ενόσ ςϊματοσ. υνθκίηουμε (επειδι είναι βολικό) να κεωροφμε μθδενικι τθ δυναμικι ενζργεια ςτθ χαμθλότερθ κζςθ τισ τροχιάσ.

Όμωσ, θ δυναμικι ενζργεια μθδενίηεται πραγματικά, όταν το ςϊμα απομακρυνκεί ςε τεράςτια απόςταςθ από τθ Γθ, ϊςτε −πρακτικά− να μθν αλλθλεπιδρά μαηί τθσ.

Κάκοδοσ ςϊματοσ

Θετικό ζργο βάρουσ

Μείωςθ δυναμικισ ενζργειασ

Αφξθςθ κινθτικισ ενζργειασ

Ρ

βάρος

Σ

βάρος

υψομετρική

διαφορά

Άνοδοσ ςϊματοσ

Αρνθτικό ζργο βάρουσ

Αφξθςθ δυναμικισ ενζργειασ

Μείωςθ κινθτικισ ενζργειασ

Σ

βάρος

Ρ

βάρος

υψομετρική

διαφορά



Άλλα είδθ δυναμικισ ενζργειασ

Βαρυτικι δυναμικι ενζργεια δεν ζχει μόνο κάκε ηευγάρι Γθ-ςϊμα, όταν βρίςκονται ςε κάποια απόςταςθ. Κάκε ηευγάρι ςωμάτων ςτο ςφμπαν −οςοδιποτε μεγάλα ι μικρά (π.χ. ο Ιλιοσ και ο πλανιτθσ Άρθσ ι ζνα πρωτόνιο κι ζνα θλεκτρόνιο κάποιου ατόμου)− ζλκονται αμοιβαία με βαρυτικζσ δυνάμεισ και κατζχουν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια, που εξαρτάται από τθν απόςταςι τουσ. Ο όροσ "βαρυτικι δυναμικι" αποδόκθκε ςϋ αυτι τθ μορφι ενζργειασ, για να δθλϊςει τθ ςχζςθ τθσ με τθ βαρυτικι δφναμθ με τθν οποία αλλθλεπιδροφν. Όπωσ είδαμε, λοιπόν, θ βαρυτικι δφναμθ με το αρνθτικό τθσ ζργο μετατρζπει τθν ενζργεια από κινθτικι ςε βαρυτικι δυναμικι και με το κετικό τθσ ζργο κάνει το αντίςτροφο.

Εκτόσ από το βάροσ (και, γενικά, τισ βαρυτικζσ δυνάμεισ), υπάρχουν και άλλεσ δυνάμεισ με παρόμοια "ςυμπεριφορά". Είναι οι γνωςτζσ μασ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ, όπωσ: θ θλεκτρικι δφναμθ, με τθν οποία αλλθλεπιδροφν δφο θλεκτρικά φορτία και θ δφναμθ ελαςτικισ παραμόρφωςθσ, με τθν οποία αλλθλεπιδροφν ζνα ελαςτικά παραμορ-φωμζνο ελατιριο και κάποιο ςϊμα δεμζνο ςτο ελεφκερο άκρο του.

Ηευγάρια ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν με τισ παραπάνω δυνάμεισ, μποροφν να αποκθκεφςουν μια μορφι ενζργειασ που δεν ζχει ςχζςθ με τθν ταχφτθτα, αλλά με τθν αλλθλεπίδραςι τουσ και θ οποία εξαρτάται από τθν απόςταςι τουσ. Μποροφν, δθλαδι, να αποκτιςουν μια μορφι ε-νζργειασ, που τθν αποκαλοφμε δυναμικι (διότι ζχει ίδια χαρακτθριςτικά με τθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια).

Λδιαίτερα, κα χρθςιμοποιοφμε τον όρο θλεκτρικι δυναμικι ενζργεια, για ζνα ηεφγοσ ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν με θλεκτρικζσ δυνάμεισ και δυναμικι ενζργεια ελαςτικισ παραμόρφωςθσ, για ζνα ηεφγοσ ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν με δφναμθ ελαςτικισ παραμόρφωςθσ.

Ειδικότερα:

Δφο ςϊματα με ετερόςθμα θλεκτρικά φορτία:

Όταν απομακρφνονται το ζνα από το άλλο, θ ελκτικι δφναμθ τισ αλλθλεπίδραςισ τουσ εκτελεί αρνθτικό ζργο και μετατρζπει τθν κινθτικι ενζργεια ςε θλεκτρικι δυναμικι.

Όταν πλθςιάηουν, το κετικό ζργο τισ αλλθλεπίδραςισ τουσ προκαλεί τθν αντίςτροφθ μετατροπι −από δυναμικι ςε κινθτικι ενζργεια.

Δφο ςϊματα με ομόςθμα θλεκτρικά φορτία:

Όταν πλθςιάηουν μεταξφ τουσ, θ απωςτικι δφναμθ τισ αλλθλεπίδραςισ τουσ εκτελεί αρνθτικό ζργο και μετατρζπει τθν κι-νθτικι ενζργεια ςε θλεκτρικι δυναμικι.

Όταν απομακρφνονται, το κετικό ζργο τισ αλλθλεπίδραςισ τουσ μετατρζπει τθ δυναμικι ενζργεια ςε κινθτικι.

Ζνα ςϊμα δεμζνο ςτο ελεφκερο άκρο ενόσ ελατθρίου:

Όταν θ παραμόρφωςθ τοφ ελατθρίου αυξάνεται, θ δφναμθ τισ αλλθλεπίδραςισ του με το ςϊμα εκτελεί αρνθτικό ζργο, που μετατρζπει τθν κινθτικι ενζργεια τισ μάηασ ςε δυναμικι ενζργεια ελαςτικισ παραμόρφωςθσ.

Όταν θ παραμόρφωςθ τοφ ελατθρίου μειϊνεται, θ δφναμθ τισ αλλθλεπίδραςισ του με το ςϊμα εκτελεί κετικό ζργο, που μετατρζπει τθ δυναμικι ενζργεια ςε κινθτικι.

απωστική ηλεκτρική δύναμη

Fηλ Fηλ Q q

ΦΟΡΣΙΑ ΟΜΟΙΟΤ ΕΙΔΟΤ (ΟΜΟΗΜΑ)

ελκτική ηλεκτρική δύναμη

ΦΟΡΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΟΤ ΕΙΔΟΤ (ΕΣΕΡΟΗΜΑ)

Fηλ Fηλ Q q

αφξθςθ παραμόρφωςθσ

δφναμθ ελαςτικισ παραμόρφωςθσ

v v



Διατιρθςθ μθχανικισ ενζργειασ Σο άκροιςμα τισ κινθτικισ και τθσ δυναμικισ ενζργειασ ενόσ ςϊματοσ το λζμε μθχανικι ενζργεια.

Κακϊσ ζνα ςϊμα κινείται μζςα ςτο βαρυτικό πεδίο τισ Γθσ (και ςε κάκε άλλο βαρυτικό πεδίο), αν πάνω του εκτελεί ζργο μόνο το βάροσ, είδαμε ότι θ μθχανικι του ενζργεια διατθρείται ςτακερι.

Γενικότερα αποδεικνφεται ότι:

Όταν ςε ζνα ςϊμα εκτελοφν ζργο μόνο ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ (όπωσ είναι οι βαρυτικζσ, οι θλεκτρικζσ

και οι δυνάμεισ ελαςτικισ παραμόρφωςθσ), οι δυνάμεισ αυτζσ διατθροφν ςτακερι (ςυντθροφν) τθ μθχανικι ενζργεια. Αυτό το γεγονόσ είναι γνωςτό ωσ αρχι διατιρθςθσ τισ μθχανικισ ενζργειασ.

(για ςυντομία Α.Δ.Μ.Ε.)

κινθτικι ενζργεια + δυναμικι ενζργεια = μθχανικι ενζργεια = ςτακερι

ι, ςυμβολικά, Κ + U = Ε = ςτακερι

Σονίηουμε ότι θ Α.Δ.Μ.Ε. εφαρμόηεται, όταν ςε ζνα ςϊμα δρουν ΜΟΝΟ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ −ι κι αν αςκοφνται μθ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ, δεν εκτελοφν ζργο, ϊςτε να επθρεάηουν τθ μθχανικι ενζργεια. Σο Κ.Μ.Κ.Ε. μπορεί να εφαρμοςτεί ςε όλεσ τισ περιπτϊςεισ δυνάμεων.

υνικωσ, όμωσ, θ μθχανικι ενζργεια

δε διατθρείται …

Ασ κάνουμε τϊρα μια αντιπαράκεςθ ανάμεςα ςτθν επίδραςθ που ζχουν οι ςυντθρθτικζσ και οι μθ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ ςτθ μθχανικι ενζργεια.

Οι ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ που δζχεται ζνα ςϊμα ςυνειςφζρουν ςτο "κλάςμα" τισ μθχανικισ του ενζργειασ που ονομάςαμε ενζργεια κίνθςθσ. Επθρεάηουν, όμωσ, και το άλλο "κλάςμα" τθσ −τθ δυναμικι ενζργεια. Οι μεταβολζσ των δφο "κλαςμάτων" είναι αντίκετεσ και ζτςι θ δράςθ των ςυντθρθτικϊν δυνάμεων δεν επιφζρει κάποια αλλαγι ςτθ μθχανικι ενζργεια τοφ ςϊματοσ.

Οι μθ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ που δζχεται ζνα ςϊμα ςυνειςφζρουν ςτθν κινθτικι του ενζργεια, δεν επθρεάηουν όμωσ τθ δυναμικι ενζργεια. Άρα, θ δράςθ των μθ ςυντθρθτικϊν δυνάμεων με-ταβάλλει το άκροιςμα κινθτικισ και δυναμικισ ενζργειασ (=τθ μθχανικι ενζργεια) τοφ ςϊματοσ.

Για παράδειγμα, θ δφναμθ τοφ ανζμου ςπρϊχνει τα πανιά ενόσ ιςτιοπλοϊκοφ ςκάφουσ και αυξάνει τθν κινθτικι του ενζργεια, χωρίσ να επθρεάηει τθ δυναμικι του ενζργεια. Μια τζτοια (μθ ςυντθρθτικι) δφναμθ, εφόςον αυξάνει το άκροιςμα κινθτικισ και δυναμικισ ενζργειασ, προςφζρει "καινοφργια" μθχανικι ενζργεια ςτο ςκάφοσ. Επίςθσ, όταν ανεβάηουμε ςτο κρανίο −με ςτακερι ταχφτθτα− μια πεςμζνθ γόμα, τθσ προςφζρουμε κινθτικι ενζργεια, που το βάροσ μετατρζπει ςε δυναμικι ενζργεια. Ζτςι, θ γόμα φκάνει ςτο κρανίο χωρίσ πρόςκετθ κινθτικι ενζργεια, αλλά ζχοντασ επιπλζον δυναμικι ενζργεια. Άρα, θ (μθ ςυντθρθτικι) ανυψωτικι δφναμθ αυξάνει το άκροιςμα κινθτικισ και δυναμικισ ενζρ-γειασ, προςφζροντασ ςτθ γόμα "καινοφργια" μθχανικι ενζργεια.

Εκτόσ από τισ δυνάμεισ που, με το ζργο τουσ, προςφζρουν μθχανικι ενζργεια ςτα ςϊματα, υπάρχουν και (μθ ςυντθρθτικζσ) δυνάμεισ που φκείρουν τθν ενζργεια αυτι, όπωσ οι τριβζσ και οι αντιςτάςεισ. Σο ζργο αυτϊν των δυνάμεων είναι αρνθτικό και ελαττϊνει τθν ενζργεια κίνθςθσ, χωρίσ, παράλλθλα, να επθρεάηει τθ δυ-ναμικι ενζργεια.

Προκφπτει, λοιπόν, το ερϊτθμα:

Εφόςον ςτθ φφςθ γφρω μασ οι τριβζσ και οι αντιςτάςεισ είναι πανταχοφ παροφςεσ, υπάρχουν, άραγε, ςϊματα που θ μθχανικι τουσ ενζργεια διατθρείται ςτακερι;

Πράγματι, ςτο γιινο κόςμο που αντιλαμβανόμαςτε με τισ αιςκιςεισ μασ, δεν υπάρχουν ςϊματα που να δζχονται ΜΟΝΟ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ. Ζτςι, θ μθχανικι ενζργεια των ςωμάτων φκείρεται και όλεσ οι κινιςεισ κάποτε ςταματοφν.

Πάντωσ, ζνα παράδειγμα διατιρθςθσ τισ μθχανικισ ενζργειασ ςτο μακρόκοςμο (τον κόςμο των αιςκιςεϊν μασ) μάσ προςφζρει θ ίδια θ Γθ, θ οποία περιςτρζφεται γφρω από τον Ήλιο, με τον οποίο αλλθλεπιδρά βαρυτικά. Η Γθ κατζχει, λοιπόν, και κινθτικι και δυναμικι ενζργεια, των οποίων, μάλιςτα, το άκροιςμα διατθρείται επί διςεκατομμφρια χρόνια ςτακερό. Στθν περίπτωςθ, βζβαια, τθσ κίνθςθσ τισ Γθσ δεν υπάρχουν τριβζσ.

Ο άνκρωποσ ζχει επινοιςει τρόπουσ, ϊςτε να ανατροφοδοτεί τα ςϊματα με τθ μθχανικι ενζργεια που τουσ αφαιροφν οι αντιςτάςεισ και οι τριβζσ −ι ακόμα και να τθν αυξάνει.

Για παράδειγμα, όταν το παιδάκι "κάνει κοφνια" ςτθν παιδικι χαρά, θ μθτζρα του φροντίηει τακτικά να του εξαςφαλίηει τθ μθχανικι ενζργεια που του αφαιροφν θ αντίςταςθ τοφ αζρα και οι τριβζσ τισ αλυςίδασ, θ οποία ςυγκρατεί τθν κοφνια πάνω ςτο ςκελετό τθσ.

το μικρόκοςμο, πάντωσ, ςε ηευγάρια ςωματιδίων (π.χ. άτομα, ιόντα, θλεκτρόνια, μόρια, νουκλεόνια) που αλλθλεπιδροφν βαρυτικά και θλεκτρικά, φαίνεται ότι θ διατιρθςθ τισ μθχανικισ ενζργειασ είναι ζνα γεγονόσ.

το μακρόκοςμο, λοιπόν, τα ςϊματα που κινοφνται ςε περιβάλλον τριβϊν και αντιςτάςεων, για να διατθροφν ςτακερι τθ μθχανικι τουσ ενζργεια, πρζπει να ανατροφοδοτοφνται ςυχνά με όςθ ενζργεια χάνουν από το ζργο των τριβϊν και των αντιςτάςεων.

... όμωσ πάντα διατθρείται θ ςυνολικι ενζργεια

Θ ενζργεια δε δθμιουργείται από το μθδζν οφτε καταςτρζφεται. Απλϊσ μεταφζρεται ι μετατρζ-

πεται ςε άλλεσ μορφζσ.

Κάκε ςϊμα, λοιπόν, κατζχει διάφορεσ μορφζσ ενζργειασ, αλλά θ ςυνολικι ενζργεια (κάκε μορφισ) που υπάρχει ςε όλο το ςφμπαν, διατθρείται ςτακερι από τθ δθμιουργία του.

Σο ςυμπζραςμα αυτό είναι γνωςτό ωσ αρχι διατιρθςθσ τισ ενζργειασ (για ςυντομία γράφουμε Α.Δ.Ε.).

3 J

Ελεφκερθ πτϊςθ ςϊματοσ

U K E

8 J

10 J

+ =

0 J

10 J

+ =

10 J

+ =

10 J

+ = 5 J

B

B

B

B

B

5 J

7 J

10 J

2 J

10 J

10 J

+ =

0 J

0 J

2 J

7 J

10 J

10 J

8 J

3 J

0 J

10 J

10 J

10 J

10 J

10 J

v = 0

v

v

v

v




θμαςία ζχει και το πόςο γριγορα

μεταβιβάηεται θ ενζργεια

Ολοκλθρϊνοντασ τθ μελζτθ φαινομζνων που ςχετίηονται με τθ μεταβίβαςθ ι τθ μετατροπι ενζργειασ με τθ διαδικαςία τισ εκτζλεςθσ ζργου από δυνάμεισ, αφιςαμε για το τζλοσ να αναφερκοφμε ςε ζνα ηιτθμα που ςυχνά ζχει ενδιαφζρον.

Τπάρχουν περιπτϊςεισ, λοιπόν, όπου μασ απαςχολεί όχι μόνο θ ποςότθτα τισ ενζργειασ που ανταλλάςςει ζνα ςϊμα με το περιβάλλον του, αλλά και το πόςο γριγορα ςυμβαίνει αυτό.

Ασ κεωριςουμε, π.χ., δφο ίδια τετράδια, που βρίςκονται πεςμζνα ςτο πάτωμα. Αν τα ανεβάςουμε ςτο κρανίο, το πρϊτο τετράδιο μζςα ςε 1 s και το δεφτερο τετράδιο μζςα ςε 2 s, τότε, κατά τθν ανφψωςι τουσ, το ζργο τισ δφναμισ μασ κα προςφζρει τθν ίδια ποςότθτα δυναμικισ ενζργειασ και ςτα δφο ςϊματα, αλλά "με διαφορετικό ρυκμό". Το πρϊτο τετράδιο κα αποκτιςει τθν ίδια δυναμικι ενζργεια με το δεφτερο, αλλά ςτο μιςό χρόνο −δθλαδι πιο γριγορα.

Ιςχφ λζμε το μονόμετρο φυςικό μζγεκοσ, με το οποίο εκφράηουμε πόςο γριγορα μεταβιβάηεται ι μετατρζπεται ενζργεια. Όταν ζνα ςϊμα είτε αποκτά είτε χάνει ίδια ποςότθτα ενζργειασ ςε κάκε δευτερόλεπτο, κεωροφμε ότι θ ιςχφσ είναι ςτακερι. Για να υπολογίςουμε τθν τιμι μιασ τζτοιασ ςτακερισ ιςχφοσ, μετράμε μια −οποιαδιποτε− ποςό-τθτα ενζργειασ που ανταλλάςςει το ςϊμα με το περιβάλλον και τθ διαιροφμε με τον αντίςτοιχο χρόνο.

ιςχφσ =ενζργεια που ανταλλάςςει ζνα ςϊμα με το περιβάλλον

αντίςτοιχοσ χρόνοσ

ι, ςυμβολικά, Ρ =W

Δt

Μονάδα μζτρθςθσ τισ ιςχφοσ ςτο S.I. είναι το βατ (W). Σόςθ κεωροφμε ότι είναι θ ιςχφσ, όταν ςε 1 s ζνα ςϊμα ανταλλάςςει με το περιβάλλον ενζργεια 1 J.

Μια ιδιαίτερθ περίπτωςθ, που ςυχνά ςυναντάμε:

θ ιςχφσ ςτθν Ε.Ο.Κ.

Αν ζνα ςϊμα ωκείται από μια ςτακερι δφναμθ F, αλλά −λόγω φπαρξθσ και άλλων δυνάμεων− κινείται ευκφγραμμα ομαλά, το ζργο W τθσ δφναμθσ μεταβιβάηει ενζργεια ςτο ςϊμα με ρυκμό:

P =W

Δt=

F Δx

Δt

Επειδι θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι, το πθλίκο Δx

Δt δίνει τθ ςτακερι ταχφτθτα v του ςϊματοσ. Άρα:

τθν Ε.Ο.Κ., ρυκμόσ μεταβίβαςθσ ενζργειασ από το ζργο ςτακερισ δφναμθσ: P = F v



Προτείνω να λυκοφν οι παρακάτω ερωτιςεισ / αςκιςεισ τοφ ςχολικοφ βιβλίου (από ςελ. 247−253).

Ζργο δφναμθσ Ερ. 1, 2, 19

Κινθτικι ενζργεια Ερ. 5, 24

υντθρθτικζσ δυνάμεισ Ερ. 17

Δυναμικι ενζργεια Ερ. 26, 27

Μθχανικι ενζργεια Ερ. 3, 4, 8, 9, 20

Λςχφσ Ερ. 21, 23

Επανάλθψθ Ερ. 11, 12, 13, 15, 16, 18, 25, 28

Επίςθσ, προτείνω τισ παρακάτω πρόςκετεσ ερωτιςεισ / αςκιςεισ για επανάλθψθ.

Πρόςκετεσ ερωτιςεισ / αςκιςεισ (εκτόσ ςχολικοφ βιβλίου)

Π1. Ζνα αεροπλάνο κινείται οριηόντια με ςτακερι ταχφτθτα ςε φψοσ 1000 m από τθν επιφάνεια τισ Γθσ.

Να χαρακτθρίςετε ςωςτζσ () ι λανκαςμζνεσ (Λ) τισ παρακάτω προτάςεισ.

α) Σο αεροπλάνο ζχει δυναμικι ενζργεια

β) Σο αεροπλάνο ζχει κινθτικι ενζργεια

γ) Σο ζργο που παράγει το βάροσ είναι μθδζν

δ) Σο ζργο που παράγει θ αντίςταςθ τοφ αζρα είναι μθδζν

ε) Σο ςυνολικό παραγόμενο ζργο από όλεσ τισ δυνάμεισ που δζχεται το αεροπλάνο είναι μθδζν

Π2.

Βριςκόμαςτε ςτθν άκρθ ενόσ κτιρίου και κρατάμε 3 όμοιεσ μπάλεσ.

Πετάμε τθ μία οριηόντια, τθν άλλθ κατακόρυφα προσ τα πάνω και τθν τρίτθ κατακόρυφα προσ τα κάτω.

Όλεσ οι μπάλεσ ζχουν αρχικι ταχφτθτα ίδιου μζτρου.

Να εξθγιςετε ποια από τισ 3 μπάλεσ κα ςυναντιςει το ζδαφοσ με τθ μεγαλφτερθ ταχφτθτα

α) αν θ αντίςταςθ τοφ αζρα είναι αςιμαντθ

β) αν θ αντίςταςθ τοφ αζρα κεωρείται ςθμαντικι.

Π3.

Από το ζδαφοσ ρίχνουμε ζνα ςϊμα, κατακόρυφα προσ τα πάνω, με ταχφτθτα vo.

Θ επιτάχυνςθ τισ βαρφτθτασ είναι g.

α) Να υπολογίςετε το φψοσ ςτο οποίο κα φτάςει το ςϊμα, χρθςιμοποιϊντασ

i. τισ εξιςϊςεισ τισ κίνθςθσ ποφ κάνει το ςϊμα ανερχόμενο

ii. το κεϊρθμα ζργου-ενζργειασ

iii. τθν αρχι διατιρθςθσ τισ ενζργειασ

β) Να υπολογίςετε το φψοσ ςτο οποίο θ ταχφτθτα, θ ορμι και θ κινθτικι ενζργεια τοφ ςϊματοσ ζχουν το μιςό

τισ αρχικισ τουσ τιμισ.

* ΑΠ: h = 2ov /2g ]

Π4. Ζνασ μακθτισ ςθκϊνει το χζρι του και από φψοσ h = 2,2 m πάνω από το ζδαφοσ πετάει μια πζτρα, μάηασ m = 0,5 kg,

με ταχφτθτα v = 10 m/s που ςχθματίηει γωνία φ = 60o προσ τα πάνω ςε ςχζςθ με το οριηόντιο επίπεδο.

Θ επιτάχυνςθ τισ βαρφτθτασ είναι g = 10 m/s2.

α) Να υπολογίςετε το μζτρο τισ ταχφτθτασ τισ πζτρασ, όταν ςυναντά το ζδαφοσ.

β) Να υπολογίςετε το ζργο τοφ βάρουσ κατά τθ διαδρομι τισ πζτρασ.

γ) Να υπολογίςετε τθ μεταβολι ΔU τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ τισ πζτρασ.

δ) Να αναφζρετε ποια παραδοχι κάνετε για να απαντιςετε ςτα παραπάνω ερωτιματα.

[ ΑΠ: α) v = 15 m/s β) WB = 11 J γ) ΔU = −11 J ]

Π5. Ζνασ ακλθτισ πετά κατακόρυφα προσ τα πάνω μια μπάλα, μάηασ m = 0,4 kg, με αρχικι ταχφτθτα vo = 16 m/s.

Σο χζρι τοφ ακλθτι που πζταξε τθ μπάλα παραμζνει ςτο ίδιο φψοσ και θ μπάλα επιςτρζφει ςϋ αυτό με ταχφτθτα

v = 12 m/s. Να υπολογίςετε

α) το ςυνολικό ζργο τοφ βάρουσ τισ μπάλασ

β) το ςυνολικό ζργο τισ αντίςταςθσ τοφ αζρα πάνω ςτθν μπάλα.

* ΑΠ: α) WB = 0 β) WT = −22,4 J ]

Π6. ε ςϊμα, μάηασ m = 5 kg, που θρεμεί πάνω ςε οριηόντια επιφάνεια, αςκείται οριηόντια δφναμθ F = 30 N.

To ςϊμα, αφοφ διανφςει απόςταςθ S = 20 m, αποκτά ταχφτθτα v = 10 m/s. Να υπολογίςετε το ζργο τισ τριβισ.

* ΑΠ: WT = −50 J ]



Π7. Αφινουμε ζνα ςϊμα από φψοσ h να πζςει προσ τθ Γθ. Θ αντίςταςθ τοφ αζρα είναι αςιμαντθ. Από τα παρακάτω διαγράμματα να επιλζξετε αυτό που παριςτάνει γραφικά τθν τιμι τισ μθχανικισ ενζργειασ,

τθσ κινθτικισ ενζργειασ και τθσ δυναμικισ ενζργειασ ςε ςυνάρτθςθ με το φψοσ h.

Π8. ε ςϊμα, μάηασ m = 2 kg, το οποίο θρεμεί, αςκείται δφναμθ F = 30 N κατακόρυφα προσ τα πάνω.

Να υπολογίςετε τθν κινθτικι και τθ δυναμικι ενζργειά του μετά από χρόνο t = 4 s.

H επιτάχυνςθ τισ βαρφτθτασ είναι g = 10 m/s2.

* ΑΠ: K = 400 J, U = 800 J ]

Π9. Αφινουμε μια μικρι μπάλα από φψοσ h = 2 m να πζςει προσ τθ Γθ. Θ αντίςταςθ τοφ αζρα κατά τθν πτϊςθ

κεωρείται αςιμαντθ. Κάκε φορά που θ μπάλα ςυναντά το ζδαφοσ χάνει το 20% τθσ ενζργειασ που είχε πριν

τθν κροφςθ. Να υπολογίςετε το φψοσ ςτο οποίο φτάνει θ μπάλα μετά τθ δεφτερθ κροφςθ.

* ΑΠ: h2 = 1,28 m ]

Π10.

Από φψοσ h = 5 m πάνω από τθν επιφάνεια τισ Γθσ ρίχνουμε κατακόρυφα προσ τα κάτω μια μικρι μπάλα, με

ταχφτθτα μζτρου vo = 10 m/s. H μπάλα ςυγκροφεται με το ζδαφοσ και αναπθδά πάλι ςε φψοσ h = 5 m.

Nα βρείτε το ποςοςτό τισ αρχικισ μθχανικισ ενζργειασ τισ μπάλασ που χάκθκε κατά τθν κροφςθ.

Επιτάχυνςθ τισ βαρφτθτασ g = 10 m/s2.

* ΑΠ: Π = 50% ]

Π11. Ζνα πλάγιο επίπεδο ζχει γωνία κλίςθσ φ = 30ο με θμφ = 1/2 και ςυνφ = 3 /2 .

Από τθ βάςθ τοφ επιπζδου ρίχνουμε προσ τα πάνω και κατά μικοσ του ζνα ςϊμα,

με αρχικι ταχφτθτα vo = 20 m/s, το οποίο ςταματάει ςτιγμιαία αφοφ διανφςει

απόςταςθ S = 10 m. Θ επιτάχυνςθ τισ βαρφτθτασ είναι g = 10 m/s2.

Να υπολογίςετε τον ςυντελεςτι μ τθσ τριβισ ολίςκθςθσ ςϊματοσ-επιπζδου.

* ΑΠ: μ = 3 ]

Π12. Ζνα πλάγιο επίπεδο ζχει γωνία κλίςθσ φ = 60ο με θμφ = 3 /2 και ςυνφ = 1/2.

Από ζνα ςθμείο πάνω ςϋ αυτό αφινουμε ζνα ςϊμα, που φτάνει ςτθ βάςθ

τοφ πλάγιου επιπζδου και ςυνεχίηει να κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο,

ϊςπου τελικά ςταματά.

Σα διαςτιματα S που διανφει το ςϊμα ςτα δφο επίπεδα είναι ίςα.

Να υπολογίςετε τον ςυντελεςτι μ τθσ τριβισ ολίςκθςθσ

ςϊματοσ-επιπζδων, ο οποίοσ είναι ςτακερόσ για όλθ τθ διαδρομι.

* ΑΠ: μ = 3 /3 ]

Π13. Να υπολογίςετε το χρόνο που χρειάηεται ζνασ κινθτιρασ, ο οποίοσ αποδίδει ωφζλιμθ ιςχφ P = 10 kW, για να

ανεβάςει ζνα ςϊμα μάηασ m = 500 kg ςε φψοσ h = 8 m με ςτακερι ταχφτθτα. Επιτάχυνςθ βαρφτθτασ g = 10 m/s2.

[ Yπόδειξθ: Ωφζλιμθ ιςχφσ τοφ κινθτιρα είναι ο ρυκμόσ με τον οποίο προςφζρει μθχανικι ενζργεια ςτο ςϊμα.

(Υπάρχει και θ καταναλιςκόμενθ ιςχφσ τοφ κινθτιρα, που είναι ο ρυκμόσ με τον οποίο ξοδεφει θλεκτρικι ενζργεια, για να

λειτουργιςει. Αυτι θ ιςχφσ είναι περιςςότερθ από τθν ωφζλιμθ, γιατί υπάρχουν και απϊλειεσ -όπωσ παραγόμενθ κερμότθτα).

Η μθχανικι ενζργεια που προςφζρει ο κινθτιρασ ςτο ςϊμα είναι μόνο δυναμικι, διότι το ανυψϊνει με ςτακερι ταχφτθτα. ]

* ΑΠ: t = 4 s ]

φψοσ

Eνζργεια

I. II. III. IV.

Eνζργεια Eνζργεια Eνζργεια

φψοσ φψοσ φψοσ

φ

vο

φ

S

S

dekatrhs energeia a lukeiou

Documents