DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

2

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri

• İki farklı anakütleyi birbirinden ayırmak için her

zaman yalnızca yer ölçüleri yeterli olmayabilir.

• Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan ve

genellikle aritmetik ortalama etrafındaki değişimi

dikkate alarak hesaplanan istatistiklere

değişkenlik(yayılım) ölçüleri adı verilir.

3

X

123,33

109,33

95,33

81,33

67,33

Fre

ka

ns 400

300

200

100

0

X

123,33

109,33

95,33

81,33

67,33

Fre

ka

ns 1200

1000

800

600

400

200

0

Aşağıdaki iki grafik n = 1500 hacimlik alınan iki farklı örnek

doğrultusunda oluşturulan histogramlardır. Her iki örnek

ortalaması yaklaşık olarak 100 olduğuna göre iki örneğin aynı

anakütleden alındığı söylenebilir mi?

4

• İki örneğin aynı anakütleden geldiği söylenemez.

• Bunun nedeni alınan örnek sonucunda oluşturulan histogramda dağılımların ortalama etrafında farklı olmasından kaynaklanmaktadır.

• Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan yayılım ölçüleri aritmetik ortalama etrafındaki değişimleri dikkate alan tanımlayıcı istatistiklerdir.

• Bir veri setinde aritmetik ortalamalardan her bir gözlemin farkı alınıp bu değerlerin tümü toplandığında sonucun 0 olduğu görülür.

5

• Örnek: 4,8,9,13,16 şeklinde verilen bir basit seri için;

105

16139841

n

xx

n

ii

010161013

1091081041

n

ii

xx

• Bu örnekten görüleceği üzere gözlemlerin aritmetik ortalamadan uzaklığı alıp toplandığında 0 elde edildiğinden dolayı bu problem mutlaka değer kullanarak veya karesel uzaklık alınarak ortadan kaldırılır.

6

1) Ortalama Mutlak Sapma(OMS) • Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik

ortalamadan farklarının mutlak değerlerinin toplamının

örnek hacmine bölünmesiyle elde edilir.

• Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan faklarının

toplamı 0 olacağından bu problemi ortadan kaldırmak için

mutlak değer ifadesi kullanılır.

n

xx

OMS

n

i

i

1Basit seriler İçin:

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

OMS

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

OMS

1

1

Gruplanmış seriler İçin:

Sınıflanmış Seriler İçin :

7

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize

notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize

notları için ortalama mutlak sapma değerini

hesaplayınız.

5,1410

145

10

6998...694169301

n

xxOMS

n

ii

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

6910

98....41301

n

xx

n

ii

8

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir

restoranın kullandığı et miktarının dağılımı verilmiştir. Günlük

kullanılan et miktarının ortalama mutlak sapmasını

hesaplayınız.

Sınıflar fi mi Ifi( mi x

)I

30-36’dan az 2 33 I2(33-46,6)I 36-42’den az 6 39 I6(39-46,6)I

42-48’den az 10 45 I10(45-46,6)I 48-54’dan az 7 51 I7(51-46,6)I 54-60’den az 4 57 I4(57-46,6)I 60-66’den az 1 63 I1(63-46,6)I

Toplam 30 163,2

.6,46

1

1 kgf

fmx k

ii

k

iii

.44,530

2,163

1

1 kg

f

xmf

OMSk

i

i

k

i

ii

9

2) Varyans

• Ortalama mutlak sapmada kullanılan mutlak değerli

ifadeler ile işlem yapmanın zor hatta bazı durumlarda

imkansız olması sebebiyle yeni değişkenlik ölçüsüne

ihtiyaç duyulmaktadır.

• Mutlak değer ifadesindeki zorluk aritmetik ortalamadan

farkların karelerinin alınmasıyla ortadan kalkmaktadır.

• Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik

ortalamadan farklarının karelerinin toplamının örnek

hacminin bir eksiğine bölünmesinden elde edilen

değişkenlik ölçüsüne örnek varyansı adı verilir.

10

Basit seriler İçin:

Populasyon Varyansı:

m : Populasyon Ortalaması N : Populasyon Hacmi

Örnek Varyansı :

Gruplanmış Seriler İçin:

Sınıflanmış Seriler İçin :

N

xi

2

2

m

11

2

2

n

xxs

n

ii

1

)(

1

1

2

2

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

s

1

)(

1

1

2

2

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

s

11

n

ii

xx1

2

ifadesi istatistikte bir çok formülde kullanılır ve

kareler toplamı olarak adlandırılır.

• Matematiksel olarak hesaplama kolaylığı sağlaması

açısından formüllerde kareler toplamının açılımı olan

aşağıdaki eşitlik kullanılabilir.

n

xxxx

n

iin

ii

n

ii

2

1

1

2

1

2

12

1

2

1

1

2

2

n

n

xx

s

n

in

ii

11

1

2

2

2

k

ii

k

ii

k

iiik

iii

f

f

xfxf

s

11

1

2

2

2

k

i

i

k

i

i

k

i

iik

i

ii

f

f

mf

mf

s

Gruplanmış Seriler İçin:

Sınıflanmış Seriler İçin :

Basit Seriler İçin:

13

3) Standart Sapma

• Varyans hesaplanırken kullanılan verilerin kareleri

alındığından verilerin ölçü biriminin karesi

varyansında ölçü birimi mevcut ölçü birimini karesi

olur.

• Örnek: kg2, cm2 gibi.

• Bu nitelendirme veriler açısından bir anlam

taşımayacağından varyans yerine ortalama

etrafındaki değişimin bir ölçüsü olarak onun pozitif

karekökü olan standart sapma kullanılır.

14

Basit seriler İçin:

Populasyon Standart Sapması:

m : Populasyon Ortalaması N : Populasyon Hacmi

Örnek Standart Sapması :

Gruplanmış Seriler İçin:

Sınıflanmış Seriler İçin :

N

xi

2

m

11

2

n

xxs

n

ii

1

)(

1

1

2

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

s

1

)(

1

1

2

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

s

15

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize

notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize

notları için varyans ve standart sapmayı

hesaplayınız.

22,5049

4538

9

6998...69416930

1

222

1

2

2

n

xxs

n

ii

6910

98....41301

n

xx

n

ii

22,5042 s

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

45,2222,5042 ss→

İstatistik I vizesinden alınan notların ortalama etrafında

yaklaşık olarak 22 puan değiştiği görülmektedir.

16

Aynı soru kareler ortalamasının açılımı kullanılarak

çözüldüğünde aynı sonuçları verecektir.

6901

n

ii

x

22,5042 s

45,2222,5042 ss

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

521481

2

n

i i

x

x x2

30 900

41 1681

53 2809

61 3721

68 4624

79 6241

82 6724

88 7744

90 8100

9

10

69052148

1

2

2

1

1

2

2

n

n

xx

s

n

in

ii

17

Grup Frekans xifi xi2

fi

51 1 51 2601

66 3 198 13068

72 4 288 20736

82 5 410 33620

94 7 658 61852

∑fi =20 1605 131607

Örnek: Yandaki tabloda bir Samsung bayisindeki LCD

televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir.

Frekans dağılımının varyans ve standart sapmasını hesaplayınız.

67,14719

20

1605131607

1

2

1

1

2

2

2

k

ii

k

ii

k

iiik

iii

f

f

xfxf

s

15,1267,1472 ss

18

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir

restoranın kullandığı et miktarının dağılımı verilmiştir. Günlük

kullanılan et miktarının varyansını ve standart sapmasını

hesaplayınız.

Sınıflar fi mi fi( mi x

)2

30-36’dan az 2 33 2(33-46,6)2

36-42’den az 6 39 6(39-46,6)2

42-48’den az 10 45 10(45-46,6)2

48-54’dan az 7 51 7(51-46,6)2

54-60’den az 4 57 4(57-46,6)2

60-66’den az 1 63 1(63-46,6)2

Toplam 30 1579,2

.6,46

1

1 kgf

fmx k

ii

k

iii

46,54130

2,1579

1

)(

1

1

2

2

k

ii

k

iii

f

xmfs

.38,746,542 kgss

19

4) Range (Değişim Aralığı) • Veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit

istatistik değişim aralığıdır. Genel olarak basit seriler

için kullanılır.

• En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri

arasındaki fark değişim aralığını verir.

• Değişim aralığı, veri setindeki tek bir gözlemin aşırı

derecede küçük veya büyük olmasından etkilendiği için

bir başka ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri

kullanılarak hesaplandığından tüm veri setinin

değişkenliğini açıklamada yetersiz kalmaktadır.

20

Örnek: Bir fabrikada çalışan 5 endüstri

mühendisinin bildiği yabancı dil sayıları aşağıda

verilmiştir. Buna göre bu mühendislerin bildiği

yabancı dil sayısı için değişim aralığını

hesaplayınız.

2,0,1,2,0

Xİ = 0,0,1,2,2. n = 5 i: 1,2,3,4,5.

• R = Xmax – Xmin X: SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ

• R = Xmax – Xmin +1 = 2 – 0 + 1 = 3

• R = Xmax – Xmin +1 X: KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ

21

5) Değişkenlik(Varyasyon) Katsayısı •Standart sapmayı ortalamanın bir

yüzdesi olarak ifade eden ve iki veya

daha fazla populasyondaki varyasyonu

(değişkenliği) karşılaştırmada kullanılan

ölçüye varyasyon(değişkenlik) katsayısı

denir.

•İki veya daha fazla populasyon üzerinde

aynı şans değişkenleri için yapılan

araştırmalarda değişkenliklerin

karşılaştırılması için kullanılan bir ölçüdür.

• Örnek: İstanbul’da ve Ankara’da yaşayan

ailelerin aylık gelirlerinin değişkenliklerinin

karşılaştırılması

Varyasyon

Katsayısı:

100*X

sC

V

22

s

Leblebi 30 kg. 5 kg.

Fıstık 40 kg. 4 kg.

Badem 10 kg. 3 kg.

x

Örnek: Kuruyemiş satan bir dükkanda bir haftalık sürede

satılan leblebi, fıstık ve bademlerin ortalamaları ve standart

sapmaları aşağıda verilmiştir. Buna göre kuruyemişleri

değişkenlikleri açısından karşılaştırınız ve kuruyemişin

değişkenliğinin daha fazla olduğunu belirtiniz.

10%10100*40

4100*

X

sC

fııstıV

67,16%67,16100*30

5100*

X

sC

leblebiV

30%30100*10

3100*

X

sC

BADEMV

Üç kuruyemişin değişkenlikleri karşılaştırıldığında en küçük

standart sapma değeri bademde olmasına rağmen en büyük

varyasyon katsayısına sahip olduğundan, en fazla değişkenliğin

bademde olduğu görülür. Aritmetik ortalamalar içerisinde standart

sapma yüzdelerine bakıldığında en büyük yüzde bademdedir.

23

Çarpıklık (Asimetri) ve Basıklık Ölçüleri

• Populasyonları birbirinden ayırmak için her zaman yalnızca

yer ve yayılım ölçüleri yeterli olmayabilir. Aşağıda iki farklı

populasyondan alınmış örnekler için oluşturulan

histogramlar verilmiştir.

A

B

mA

m0

0

24

• Şekilden görüleceği üzere A ve B örneklerinin aynı ortalamaya ve yaklaşık olarak aynı değişkenliğe sahip olmalarına rağmen bu iki örneğin açıkça aynı populasyondan gelmediği söylenir.

• Asimetri (çarpıklık) ifadesi simetrik olmayan anlamını taşımaktadır.

•Şekillere bakıldığında frekansların A’da daha çok sol tarafta (küçük xi değerlerinde), B’de ise daha çok sağ tarafta (büyük xi değerlerinde), toplandığı görülmektedir.

25

• Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem

değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir.

Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri

dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal

bir basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans

dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini

gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma

göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde

dağıldığını gösteren ölçülerdir.

• Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının

yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün

büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı

yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya

etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.

26

Asimetri Ölçüleri Ortalamaya Dayanan Asimetri (PEARSON) Ölçüsü

s

xSk p

mod SkP < 0 →Negatif çarpık(Sola)

SkP > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa)

SkP = 0 ise dağılış simetrik

s

medxSk p

)(3

veya

Asimetrisi hafif serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki gibi

bir ilişki söz konusudur.

Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında

iki asimetri ölçüsü elde edilir.

).(3mod)( medyanxx

27

Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi

kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci

formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri

ölçüsü ±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale

gelirken, 0,5 e yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça

hafif şiddette çarpıklık söz konusu olur.

Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir

kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda

yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde

aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne)

kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola

(küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.

28

Kartillere Dayanan Asimetri (BOWLEY) Ölçüsü

13

1223 )()(

QQ

QQQQSkb

Skb < 0 → Negatif çarpık(Sola)

Skb > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa)

Skb = 0 ise dağılış simetrik

Simetrik serilerde Q3-Q2 = Q2-Q1 olduğu bilinmektedir. Eğer

Q3-Q2 > Q2-Q1 ise serinin sağ tarafında bir yoğunlaşma

olduğu, aksi halde sol tarafta bir yoğunlaşma olduğu

söylenebilir. Bu durumu daha iyi ortaya koymak için Bowley

tarafından geliştirilen aşağıdaki asimetri ölçüsü kullanılabilir.

Bu ölçü sıfıra yaklaştıkça asimetri hafifler. ±1 e yaklaştıkça asimetri kuvvetli hale gelir.

29

Simetrik Dağılım

A.O = Med = Mod

Sağa çarpık dağılım

A.O > Med > Mod

Sola çarpık dağılım

A.O < Med < Mod

İki modlu simetrik dağılım Modu olmayan dağılım Tekdüzen dağılım

30

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın

kullandığı et miktarının dağılımından elde edilen bazı tanımlayıcı

istatistikler verilmiştir. Buna göre pearson ve bowley asimetri

ölçülerini hesaplayıp yorumlayınız.

Ar i t m e t i k O r t .

Mod

Medyan

Q1

Q2

s2

46,6 45,4 46,2 41,5 51,9 54,46

016,046,54

4,456,46mod

s

xSk p

016,046,54

)2,466,46(3)(3

s

medXSk p

010,04,10

1

5,419,51

)5,412,46()2,469,51()()(

13

1223

QQ

QQQQSkb

Sağa Çarpık ,

Pozitif Asimetri

Sağa Çarpık ,

Pozitif Asimetri

Sağa Çarpık,

Pozitif Asimetri

31

Basıklık Ölçüsü

A

B

mA = mB

Aşağıdaki A ve B dağılımlarının ortalamaları, değişkenlik

ölçülerinin aynı olmasından dolayı ve hatta ikisinin de

simetrik olmalarından dolayı bu iki dağılışı ayırt etmek için

Basıklık Ölçüsü kullanılır.

32

Herhangi bir olasılık fonksiyonunun şekli ile ilgili

parametrelerden bir tanesi de basıklık ölçüsüdür.

Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik

ortalamaya göre 4. momentin standart sapmanın 4.

kuvvetine oranlanması ile elde edilir.

4

44

m

4 = 3 ise serinin basıklığı normaldir.

4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır.

4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir.

Sınıflandırılmış Seri

İçin

i

ii

f

Xmf 4

4

)(m

Örnek

Aşağıdaki serinin basıklık ölçüsünü bulunuz.

33

Sınıf Aralığı fi

10–12 10

12–14 50

14–16 60

16–18 20

18–20 10

Toplam 150

Sınıf Aralığı fi mi fimi

10–12 10 11 110

12–14 50 13 650

14–16 60 15 900

16–18 20 17 340

18–20 10 19 190

Toplam 150 2190

34

6,14150

2190

i

ii

f

mfX

Aritmetik ortalamaya göre momentler

35

-3,6 -36 129,6 -466,56 1679,616

-1,6 -80 128 -204,8 327,68

0,4 24 9,6 3,84 1,536

2,4 48 115,2 276,48 663,552

4,4 44 193,6 851,84 3748,096

Toplam 0 576 460,8 6420,48

)(

Xmf ii

2)(

Xmf ii3)(

Xmf ii

4)(

Xmf ii

Xmi

Aritmetik ortalamaya göre momentler:

0150

0)(1

i

ii

f

Xmfm 84,3

150

576)( 2

2

i

ii

f

Xmfm

072,3150

8,460)( 3

3

i

ii

f

Xmfm 8,42

150

48,6420)( 4

4

i

ii

f

Xmfm

3 asimetri ölçüsü:

96,184,32

2

2

3

33 m

m

04,0)96,1(

072,333 olduğundan seri sağa çarpıktır.