DENGELEM E HESABI -IDERS NOTLARI Do.Dr.Temel BAYRAK 2010 -GMHANE NSZ DengelemeHesab-IdersnotuniteliindekibukitapHaritaMhendisliiBlm rencilerinin kaynakihtiyacn gidermek zerehazrlanmtr.Bu kitabn rencileriinbir dersaracolmasanaamaolarakbenimsenmitir.Konularkendiliindenrenmeyeuygun birbiimdeelealnmvekitaptayeterlisaydauygulamaverilmeyeallmtr.Denklem zmlerinde matris cebri kullanlmtr. Kitabn yararl olmasn temenni ederim. Do. Dr. Temel BAYRAK Gmhane 2010 NDEKLER 1.Giri (Dengeleme Hesabnn amac) 2.Duyarlk (Doruluk) ltleri 3.Korelsyon (Ballk, liki) 4.Hata Yaylma Kural 5.Arlk 5.1.Aritmetik Ortalamann Arl 5.2.Arlkl Ortalamann Arl 6.Ters Arlk (Kofaktr) 7.Birim lnn Ortalama Hatas (Ortalama Hata, Karesel Ortalama Hata (KOH), Standart Sapma, Root Mean Square (RMS)) 7.1.Duyarlklar ve Korelsyonlar Eit llerin Ortalama Hatas 7.2.Duyarlklar ve Korelsyonlar Eit llerin Aritmetik Ortalamasnn Ortalama Hatas 7.3.ift ller Yardm le Ortalama Hata 7.3.1Arlklar Eit l iftleri 7.3.2Arlklar Farkl l iftleri 7.3.3Korelsyonlu l iftleri 8.Dengeleme Hesabnn Konusu ve Ana lkeleri 9.Dolaysz (Direk) ller Dengelemesi 9.1.Arlklar Eit ve Korelsyonsuz Dolaysz ller Dengelenmesi 9.2.Arlklar Farkl ve Korelsyonsuz Dolaysz ller Dengelenmesi 9.3.Arlklar Farkl ve Korelsyonlu Dolaysz ller Dengelenmesi 10.Dolayl (Endirek) ller dengelenmesi 10.1.Arlklar Eit Dolayl ller Dengelenmesi 10.2.Arlklar Farkl Dolayl ller Dengelenmesi 10.3Arlklar Farkl ve Korelsyonlu Dolayl ller Dengelenmesi 1.GR DengelemehesabnnamacGereindenfazlasaydayaplmllerdenhibiriniseip ayklamaksnz, 1.Bilinmeyenlerin en uygun deerini belirlemek,2.llerin, kesin deerleriniya dabunlarnfonksiyonlarnnduyarlklarn (ortalama hata vs.) ve gvenirliklerini saptamaktr. ller ayn alet, ayn lmecive ayn koullar altndayaplsabile, geometrikya dafiziksel byklklerinllmesisonucundaeldeedilendeerlerhataileykldr.Szkonusu hatalar; 1.lme iini yapanlarn duyu organlarnn yetersizliinden, 2.l aletlerinin yeterince gelimi olmamalarndan, 3.Fiziksel evre koullarndan kaynaklanabilir. Bunedenleuygulamadagereklisaydalileyetinilmez,gereindenfazlalyaplr. llerarasndakiilikilerigrebilmekvellerlebilinmeyenlerarasndakifonksiyonel ilikileri kurabilmek iin dengeleme hesab yaplr. Hatasz l olmaz, Hatamla deerlendir beni l Hata=Kesin deerHata=l Kesin deer x li i l + Dzeltme=Kesin deerDzeltme=Kesin deer l

i il x v Hatalar oluma nedenlerine gre genelde e ayrlr a)Kaba hata b)Dzenli (sistematik) hata c)Dzensiz (rastlant, tesadf) hata a)KabaHatalar:Kabahatalargenellikledikkatsizliktenkaynaklanahatalardr.GPS lmelerinde anten boyunun yanl llmesi, uzunluk lmelerinde bir erit boyunun unutulmas, a lmelerinde 65g yerine 95g okunmas ve yazlmas gibi.Kaba hatalar l tekrar ile giderilebilirler b)Dzenli(sistematik)hata:Butrhatalarlyaynyndeveaynmiktarda etkileyenkkhatalardr.ltekrarilegiderilemezler.Yirmimetrelikbirelik eritmetreninuzunluunungerekdeerden1mmeksikolmas,nivelmandamira lekhatas,teodolitlerdedaireblmehatalar,refraksiyonvs.gibidzenlihatalar ounluklatannamaz.laletleriayarlanarakveenuygunlmeyntemleri uygulanaraketkileriazaltlabilir.Belirlenebildikleridurumlardalsonucuna dzeltme getirilerek etkileri giderilebilir. c)Dzensiz (rastlant, tesadf) hata: Kkmiktardakihatalardr. lleribazen (+) bazende(-)yndeetkilerler.Buhatalarinsanyeteneklerininsnrlolmas,aletlerin ayarlarnn tam yaplamamas, scaklk, rzgr gibi d etkenlerin deiken olmas gibi nedenlerden ortaya kar. Kaba hatalarda olduu gibi llerin tekrar ile ya da dzenli hatalarda olduu gibi l sonucuna dzeltme getirilerek giderilemezler. d)Gerekhata:lleringerekdeerlerininbilindiidurumlardaszkonusuolurlar. rnek,birdzlemgeninialarnngerekdeeri200gdr.alarnllen deerlerinin toplamndan 200g karlrsa gerek hata bulunmu olur. 2.Duyarlk ltleri llerdenherhangibirininnekadargvenilebilirolduukonusundabilgiverebilmekiin tanmlanmltlerdir.Aynbirbyklnbirdenokllmesisonucundaeldeedilen ldizilerindenyararlanlaraktanmlanr.aretlerininpozitifolmaolaslnegatifolma olaslklarna eit olmalarndan dolay iaretleri olarak alnr. 2.1.Ortalama Hata (Karesel Ortalama Hata KOH, Standart Sapma, RMS) Ayn bir bykln llmesi sonucunda elde edilen bir l dizisinin gerek hatalarn ya da llerin kesin deerden farklar olan dzeltmelerin kareleri toplam l saysna blnr ve hesaplananbudeerinkarekkalnarakbulunur.Yaygnolarakkullanlanbirduyarlk ltdr. Hatalar kareleri orannda ortalama hataya tesir ettikleri iin byk hatalarn sonuca etkisi byktr. Bu nedenle ortalama hata kaba llerden ar olarak etkilenir. Eer ortalama hata gerek deerlerden (gerek deerler her zaman bilinemez) elde ediliyorsa nmo (n ) Eer ortalama hata dzeltme deerlerinden elde ediliyorsa 1 nvvmo(n ) eklindeformlze edilir. Buforml duyarlklar (arlklar) eitkorelsyonsuz lleriin geerlidir. Buradanlsaysdr.Gerekdeerbilindiizaman,bilinmeyenolmadndandolay paydayanyazlr.Gerekdeerbilinmediizamanpaydayan-1yazlr.Buradaki1rakam bilinmeyen saysn ifade eder. rnek:BirGPSanaaitonadetgenkapanmahatalarnngerekdeerleriaada verilmitir. llerin karesel ortalama hatasn hesaplaynz. No Hata (i ) mm i i 10 n

124 . 48 i i 2 . 210124 . 48 nmomm 1-2.1234.507 21.1321.281 3-1.6742.802 4-2.5916.713 5-1.7723.140 62.9798.874 70.4750.226 84.41419.483 9-0.7170.514 100.7630.582 rnek:Biruzunlukonkezllmveaadakildeerlerieldeedilmitir.llerin standart sapmasn hesaplaynz. No ) (m li i il x v (cm) i iv vm 60 . 180...2 1 nl l lxn 10 n 106 i iv v 43 . 31 101061] [ nvvmo cm 1180.5739 2180.62-24 3180.63-39 4180.65-525 5180.56416 6180.62-24 7180.5739 8180.61-11 9180.62-24 10180.55525 180.600.0106 rnek: Sfr a dorultusu iki gzlemci tarafndan ayn teodolitle ve eit koullar altnda 5er kez gzlenmitir. Hangi gzlemcinin daha iyi l yaptn belirleyiniz. No 1. gzlemci2. gzlemci gir i il x v 1 (cc) i iv vgiri il x v 2 (cc) i iv v1399.9984 2,968,76 400.0000 -0,200,04 2400.0023 -0,940,88 400.0008 -1,001,00 3400.0028 -1,442,07 399.9989 0,900,81 4400.0010 0,360,13 399.9986 1,201,44 5400.0023 -0,940,88 400.0007 -0,900,81 400.0014 0.0012.73 399.9998 0.004.10 0014 . 4005...5 2 1 l l lx5 n 73 . 12 i iv v cc i ionv vm 8 . 11 473 . 121 9998 . 3995...5 2 1 l l lx5 n

10 . 4 i iv v cc i ionv vm 0 . 11 410 . 41 Deerlendirme:2.gzlemcininduyarlkltdahakkktndanbukiininlme doruluu dier gzlemciden daha yksektir. rnek:Uzunluu100.000molanbirayarbazikiayrlmeekibincemmbiriminekadar l yaplarak elik eritle on kez llmtr. Hangi lme ekibi daha duyarlkl sonu elde etmitir. No 1. ekip2. ekip ) (m li 000 . 100 i il (mm) i i ) (m li 000 . 100 i il (mm) i i 1100.00224100.00000 299.998-2499.999-11 399.995-525100.005525 4100.00339100.007749 5100.0000099.994-636 6100.0033999.995-525 7100.0011199.997-39 899.998-24100.00224 999.998-24100.00339 10100.00441699.998-24 10 n

76 i i 8 . 21076 nmi io mm 10 n 162 i i 0 . 410162 nmi io mm Deerlendirme:1numarallmeekibiduyarlkltdahakkktndanbuekibin lme doruluu dier ekipten daha yksektir. Soru: Dengeleme hesabnn amac nedir? Niin Dengeleme hesab yaplr? Gereindenfazlayaplmllerdenhibiriniseipayklamakszn,bilinmeyenlerinen uygundeerinibelirlemek,llerinkesindeerlerinyadabunlarnfonksiyonlarnn duyarlklarn(ortalamahata)vegvenirliklerinisaptamaktr.Geometrikyadafiziksel byklklerin llmesi srasnda bir takm nedenlerden kaynaklana hatalardan dolay ller hatalarlayklolur.Bunedenlegereindenfazlasaydalyaplr.llerarasndaki fonksiyonelvestokastikilikilerebalolarakbilinmeyenlerihesaplayabilmekiin dengeleme hesab yaplr. 3.Korelasyon (Ballk, liki) llenbirbyklkkabavesistematikhatalardanarndrldktansonralyedzeltme getirilmesine sebep olan nedenler (genelde dzensiz hatalar)belirlenmeye allr. Dzeltme getirilmesine neden olan dzensiz hatalar birok parametrenin birleimiyle oluur. Biruzunluaaitxkesindeeriinller n 2 1,......, , olsun.llereaitdzeltmeler aadaki gibi yazlabilir. 2 21 1)` = = =n nx v.x vx v Dzeltme = Kesin Deer - l Her bir dzeltme deerleri elemanter dzeltmelerden oluur. 3 2 12 23 22 21 21 13 12 11 1)`+ + + + =+ + + + =+ + + + =nn n n n nnnv ... v v v v..v ... v v v vv ... v v v vElemanter dzeltmeler rnein 1v dzeltmesinenedenolandierelemanterdzeltmeler nv ... v v v1 13 12 11 , , , ,lmeciye,aleteveyaevreye(scaklk,nem,radyoaktivite)balbiroknedenden kaynaklanabilir. Bu elemanter dzeltmelerin bir ksm veya sadece biri dierlerinden byk olup tm llerde tekrarlanyor olabilir. Bu parametrenin ller zerindeki etkisi ayndr. ivdzeltmeleriayn iiv deerindenetkileniyorsabullerbirbiriilebamlolurvebubamllgsteren lte korelasyon denir. Bubamllkfizikselortamdankaynaklanyorsafizikselkorelasyon,lleriinyazlan fonksiyonelmodeldenkaynaklanyorsamatematikkorelasyonolarakadlandrlr.Fiziksel korelasyonllerarasndafizikselilikivarsaortayakar.Matematikselkorelasyonise x kesin deer x y llerbirbirindenbamszolsabile(fizikselkorelasyonolmasabile)matematikmodel gerei ortaya kabilir. Kenarlarnnuzunluklarxveyolanbirdikdrtgeninkenarlarnnyeterinceoksayda lldn varsayalm. xe ait lleri 1 , ye ait lleri 2vektrnde toplayalm. x ve y arasndakikorelasyonkesindeerleryardmyladzeltmelerdenyararlanarakelde edilebilirler. | || |)`+ + += = =+ + += = =n.....nenyn.....nenxnTnT2 22 21221 12 1111 Kesin deerler Dzeltme = Kesin deer l )` = =2 21 1y e vx e v Dzeltmeler matris gsterimiyle, ((((((

((((((

=((((((

1n121111211..111x..v..vvn ((((((

((((((

=((((((

1n121122221..111y..v..vvn ((((((

=nv..vvv112111 ] [1 12 11 1 nTv v v v =21212211 1 1 nTv v v v v + + + = 1. llere ait varyans11 1 21n-v vmT= 1. llere ait KOH11 11n-v vmT= ((((((

=nv..vvv222212 ] [2 22 21 2 nTv v v v =22222221 2 2 nTv v v v v + + + = 2. llere ait varyans12 2 22n-v vmT= 2. llere ait KOH12 22n-v vmT= ((((((

=nv..vvv222212 ] [1 12 11 1 nTv v v v =n nTv v v v v v v v2 1 22 12 21 11 2 1 + + = 12 112n-v vmT= Deneysel kovaryans 2 2 1 12 12 11212v v v vv vm mmrT TT==Deneysel korelasyon katsays Deneyselkorelasyonkatsaysllerinbirbiriyleolanbamllnnbirltdr. Korelasyon katsaysnn snr deerleri1 112 s s rarasndadr. - 12r =0isellerarasndayanixveyarasndabirbamllkyoktur.Aralarnda dorusal bir iliki yoktur. Biri tekinin bir dorusal fonksiyonu olarak gsterilemez. - 12r 0 ise ller yani x ve y birbirine bamldr. Aralarnda sfra yakn ise zayf ve bire yakn ise kuvvetli dorusal iliki vardr. - 12r= 1 ise ller arasnda %100 korelasyon (fonksiyonel bamllk) vardr.x ve y arasndatambirdorusalilikivardr.Biritekininbirdorusalfonksiyonuolarak gsterilebilir. Busonbantlar 2 1ve llerininkendiaralarndakorelasyonluolmadklardurumda geerlidir. x ve y iin varyans-kovaryans matrisi aadaki gibi kurulabilir. ((

=((

=22 2 1 122 1 122122 121221m m m rm m r mm mm mKVaryans-Kovaryans matrisi nlsays, ijr korelasyonkatsaysolmakzerekorelasyonluveduyarlklar(arlklar) farkl olan ller iin genel bir Varyans-Kovaryans matrisi aadaki gibi kurulabilir. (((((((

=(((((((

=23 3 2 2 1 13 323 3 2 23 3 1 132 2 3 2 2322 2 1 121 1 3 1 13 2 1 122123 2 1323 23 132 2322 121 13 1221n n n n n n nn nn nn nn n n nnnnm m m r m m r m m rm m r m m m r m m rm m r m m r m m m rm m r m m r m m r mm m m mm m m mm m m mm m m mK

llerin Qters arlk matrisi (20m : ncl varyans) Q m K =20

20mKQ = ((((((((((((

=(((((((

=2022032022012032023202320132022023202220122012013201220213 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq q q qq q q qq q q qq q q qQn n n nnnnnn n n nnnn llerin arlk matrisi1 = Q p (((((((

= =nn n n nnnnp p p pp p p pp p p pp p p pQ P3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 111 Eerllerarasndakorelasyonyoksa( 0 =ijr )duyarlklar(arlklar)farklolanller iin Varyans-Kovaryans matrisi aadaki gibi kurulabilir. (((((((

=22322210 0 00 0 00 0 00 0 0nmmmmK ((((((((((((

=2022023202220210 0 00 0 00 0 00 0 0mmmmmmmmQn ((((((((((((

= =22023202220212010 0 00 0 00 0 00 0 0nmmmmmmmmQ p Eerllerarasndakorelasyonyoksaveduyarlklar(arlklar)eitise,Varyans-Kovaryans matrisi aadaki gibi kurulabilir. 202 2 2221m m m m mn= = = = =(((((((

=22220 0 00 0 00 0 00 0 0mmmmK (((((((

=(((((((((((

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 00 0 00 0 00 0 022222222mmmmmmmmQ 1 = Q p (((((((

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1p rnek:BirEUnnkalibrasyonuiinkarlklbelilekorelasyonbelirlenmeye allmtr. llen kalibrasyon baznn uzunluu 9605.343 m. olduuna gre; a)Bualetlellenuzunluklarnortalamahatalarnvearalarndakikorelasyonu bulunuz.b)llere ait Varyans-Kovaryans matrisini oluturunuz. c)Birimlnnkareselortalamahatas=0m 5mmisellerintersarlk matrisini hesaplaynz. d)llerin arlklarn hesaplaynz No 1 (m) 2 (m) 19605.32869605.3279 29605.32579605.3260 39605.33009605.3312 49605.32829605.3278 59605.33129605.3328 No 1 (m) 2 (m) x (m) x =1 1(mm) x =2 2 (mm) 19605.32869605.32799605.3430-14.4-15.1 29605.32579605.3260 -17.3-17.0 39605.33009605.3312-13.0-11.8 49605.32829605.3278-14.8-15.2 59605.33129605.3328-11.8-10.2 l says: n = 5 (((((((

=8 . 118 . 140 . 133 . 174 . 141] 8 . 11 8 . 14 0 . 13 3 . 17 4 . 14 [1 =T 10341 1= T 1. llere ait varyans 207510341 1 21= ==n Tmm2 1. llere ait KOH =1 14.4 mm (((((((

=2 . 102 . 158 . 110 . 171 . 152] 2 . 10 2 . 15 8 . 11 0 . 17 1 . 15 [2 =T 9912 2= T 2. llere ait varyans 19859912 2 22= ==n Tmm2 2. llere ait KOH=2 14.1 mm (((((((

=2 . 102 . 158 . 110 . 171 . 152] 8 . 11 8 . 14 0 . 13 3 . 17 4 . 14 [1 =T 10102 1= T 1. ve 2. llere ait kovaryans 202510102 112= ==n T=12 202 mm2 Korelasyon katsays (birimsiz)998 014 142022 11212. === llerin Varyans-Kovaryans matrisi ((

=((

=((

=198 202202 2071 . 14 202202 4 . 142222 121221 K

((

=((

=((

=198 202202 2071 . 14 1 . 14 4 . 14 998 . 01 . 14 4 . 14 998 . 0 4 . 142222 2 1 122 1 1221 K

Q m K =20

20mKQ = ((

=((((((

= =92 . 7 08 . 808 . 8 28 . 851985202520252072 22 220mKQ 8.2800 -1 8.0800 -0.9758 ((

= =41 . 28 74 . 2774 . 27 19 . 271 Q p 7.9200 0.0352 -1 1/0.0352= 28.4328.43 0.9758 - = 27.74 --27.74) ( (-0.9758) + 8.2800 1/ = 27.19 rnek:BirEUnnkalibrasyonuiinkarlklbelilekorelasyonbelirlenmeye allmtr.e)Bualetlellenuzunluklarnortalamahatalarnvearalarndakikorelasyonu bulunuz.f)llere ait Varyans-Kovaryans matrisini oluturunuz. g)Birimlnnkareselortalamahatas2.3mmisellerintersarlkmatrisini hesaplaynz. h)llerin arlklarn hesaplaynz No 1 (m) 2 (m) 19605.32869605.3279 29605.32579605.3260 39605.33009605.3312 49605.32829605.3278 59605.33129605.3328 No 1 (m)| |nx11=1 1 1 = x v(mm) 2 (m)| |nx22=2 2 2 = x v(mm) 19605.32869605.32870.19605.32799605.34301.2 29605.32573.09605.32603.1 39605.3300-1.39605.3312-2.1 49605.32820.59605.32781.3 59605.3312-2.59605.3328-3.7 l says: n-1 = 5-1 = 4= 1v 0.0 = 2v 0.0 (((((((

=5 . 25 . 03 . 10 . 31 . 01v] 5 . 2 5 . 0 3 . 1 0 . 3 1 . 0 [1 =Tv 171 1= v vT 1. llere ait varyans 3 . 41 51711 1 21===nv vmT mm2 1. llere ait KOH =1m 2.1 mm (((((((

=7 . 33 . 11 . 21 . 32 . 12v] 7 . 3 3 . 1 1 . 2 1 . 3 2 . 1 [2 =Tv 312 2= v vT 2. llere ait varyans 7 . 71 53112 2 22===nv vmT mm2 2. llere ait KOH =2m 2.8 mm (((((((

=7 . 33 . 11 . 21 . 32 . 12v] 5 . 2 5 . 0 3 . 1 0 . 3 1 . 0 [1 =Tv 222 1= v vT 1. ve 2. llere ait kovaryans 5 . 51 52212 112===n-v vmT mm2

Korelasyon katsays (birimsiz)===8 . 2 1 . 25 . 52 11212m mmr0.935 llerin Varyans-Kovaryans matrisi ((

=((

=((

=7 . 7 5 . 55 . 5 3 . 48 . 2 5 . 55 . 5 1 . 22222 121221m mm mK llerin Varyans-Kovaryans matrisi ((

=((

=((

=7 . 7 5 . 55 . 5 3 . 48 . 2 8 . 2 1 . 2 935 . 08 . 2 1 . 2 935 . 0 1 . 22222 2 1 122 1 1221m m m rm m r mK

Q m K =20

20mKQ = ((

=((((((

= =4556 . 1 0397 . 10397 . 1 8129 . 03 . 27 . 73 . 25 . 53 . 25 . 53 . 23 . 42 22 220mKQ 0.8129 -1 1.0397 -1.2791 ((

= =95 . 7 17 . 1017 . 10 24 . 141 Q p 1.4556 0.1257 -1 1/0.1257= 7.957.95 1.2791 - = 10.17 --10.17) ( (-1.2791) + 0.8129 1/ = 14.24 rnek: Bir noktann x, y, z koordinatlarx = [x1 y1 z1]T vektrn oluturmaktadr. x1, y1 ve z1instandartsapmalarsrasyla2,1.5ve3cmdir.Aralarndakikorelasyon0.75olduuna gre; a.x vektrnn varyans-kovaryans matrisini (Kxx) oluturunuz b.Birimlnnkareselortalamahatas0.6ise,xvektrnntersarlkmatrisini (Qxx) oluturunuz c.x vektrnn arlk matrisini (Pxx) hesaplaynz 1m =2, 2m =1.5, 3m =3 75 . 023 13 12= = = r r r ((((

=((((

=22223 3 2 23 3 1 133 2 2322 2 1 123 1 13 2 1 12213 3 5 . 1 75 . 0 3 2 75 . 03 5 . 1 75 . 0 5 . 1 5 . 1 2 75 . 03 2 75 . 0 5 . 1 2 75 . 0 2m m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK

((((

=9 375 . 3 5 . 4375 . 3 25 . 2 25 . 25 . 4 25 . 2 4K Q m K =20

20mKQ = ((((

=((((

=25 375 . 9 5 . 12375 . 9 25 . 6 25 . 65 . 12 25 . 6 1111 . 116 . 09 35 . 3 5 . 4375 . 3 25 . 2 25 . 25 . 4 25 . 2 42 Q 11.1111 -1 6.25 -0.5625 12.5 -1.125 6.25 2.7344 -1 9.375 2.3438 -0.8571 25 8.9286 -1 1/8.9286 = 0.11200.1120 0.8571 - = 0.0960 -(0.1120) (-1.1250) -0.0960) ( (-0.5625) = 0.0720 -) 0960 . 0 ( ) 8571 . 0 ( 7344 . 2 / 1 0.4480 ) 0960 . 0 ( (-1.1250) 0.4480) ( (-0.5625) = 0.1440 -) 0720 . 0 ( ) 1250 . 1 ( ) 1440 . 0 ( ) 5625 . 0 ( 1111 . 11 / 1 0.2520 + + = + + + = ((((

= =1120 . 0 0960 . 0 0720 . 00960 . 0 4480 . 0 1440 . 00720 . 0 1440 . 0 2520 . 01 Q p rnek: Bir noktann x, y, z koordinatlarx = [x1 y1 z1]T vektrn oluturmaktadr. x1, y1 ve z1instandartsapmalar(kareselortalamahatalar)srasyla1.9,1.5ve3.2cmdir. Aralarndaki korelasyon r12 = 0.55, r23 = 0.30 olduuna gre; a.x vektrnn varyans-kovaryans matrisini (Kxx) oluturunuz b.Birimlnnkareselortalamahatas0.9ise,xvektrnntersarlkmatrisini (Qxx) oluturunuz c.x vektrnn arlk matrisini (Pxx) hesaplaynz ((((

=((((

=22223 3 2 23 3 1 133 2 2322 2 1 123 1 13 2 1 12212 . 3 2 . 3 5 . 1 30 . 0 2 . 3 9 . 1 02 . 3 5 . 1 30 . 0 5 . 1 5 . 1 9 . 1 55 . 02 . 3 9 . 1 0 5 . 1 9 . 1 55 . 0 9 . 1m m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK

((((

=9 44 . 1 044 . 1 25 . 2 5675 . 10 5675 . 1 61 . 3K Q m K =20

20mKQ = ((((

=((((

=1111 . 11 7778 . 1 07778 . 1 7778 . 2 9352 . 10 9352 . 1 4568 . 46 . 09 44 . 1 044 . 1 25 . 2 5675 . 10 5675 . 1 61 . 32 Q 4.45681.93520.0000 -1-0.43420.0000 2.77781.7778 1.93751.7778 -1-0.9176 11.1111 9.4799 -1 1/9.4799 = 0.10150.1015 0.9176 - = 0.0968 -(0.1015) (0.0000) -0.0968) ( (-0.4342) = 0.0420) 0968 . 0 ( ) 9176 . 0 ( 9375 . 1 / 1 0.6049 ) 0968 . 0 ( (0.0000) 0.6049) ( (-0.4342) = 0.2627 -) 0420 . 0 ( ) 0000 . 0 ( ) 2627 . 0 ( ) 4342 . 0 ( 4568 . 4 / 1 0.3384 + + = + + + = ((((

= =1015 . 0 0968 . 0 0420 . 00968 . 0 6049 . 0 2627 . 00420 . 0 2627 . 0 3384 . 01 Q p rnek: kinoktann koordinatlarx= [x1 y1x2 y2]T vektrn oluturmaktadr. x1vex2nin standart sapmalar 2 cm, y1 ve y2 nin standart sapmalar 3 cm,x1 ve x2 arasndaki korelasyon 0.40, y1 ve y2 arasndaki korelasyon -0.65, xi ve yi korelasyonsuz olduuna gre; a.x vektrnn kovaryans matrisini (Kxx) oluturunuz b.Birimlnnkareselortalamahatas0.8ise,xvektrnntersarlkmatrisini (Qxx) oluturunuz c.x vektrnn arlk matrisini (Pxx) oluturunuz ((((((

=24 4 3 34 4 2 24 4 1 144 3 3423 3 2 23 3 1 134 2 24 3 2 2322 2 1 124 1 14 3 1 13 2 1 1221m m m r m m r m m rm m r m m m r m m rm m r m m r m m m rm m r m m r m m r mK (((((

=((((((

=9 85 . 5 0 085 . 5 9 0 00 0 4 6 . 10 0 6 . 1 43 3 3 65 . 0 0 03 3 65 . 0 3 0 00 0 2 2 2 4 . 00 0 2 2 4 . 0 22222K Q m K =20

20mKQ = (((((

=(((((

=0625 . 14 1406 . 9 0 01406 . 9 0625 . 14 0 00 0 25 . 6 5 . 20 0 5 . 2 25 . 68 . 09 85 . 5 0 085 . 5 9 0 00 0 4 6 . 10 0 6 . 1 42Q 6.25002.50000.00000.0000 -1-0.40000.00000.0000 6.25000.00000.0000 5.25000.00000.0000 -10.00000.0000 14.0625-9.1406 14.0625-9.1406 -10.6500 14.0625 8.1211 -1 1/8.1211 = 0.12310.1231 0.6500 = 0.0800(0.1231) (0.0000) 0.0800) ( (0.0000) = 0.0000(0.1231) (0.0000) 0.0800) ( (0.0000) ) 0000 . 0 400 . 0 ( 0.00000.0800) (0.6500 1/14.0625 = 0.1231 (0.0800) (0.0000) 0.1231) ( (0.0000) = 0.0000(0.0800) (0.0000) 0.1231) ( (0.0000) (0.0000) (-0.4000) = 0.00000.0000) (0.0000 0.0000) (0.0000 1/5.2500 = 0.1905(0.0000) (0.0000) 0.0000) ( (0.0000) (0.1905) (-0.4000) = 0.0762 -(0.0000) (0.0000) 0.0000) ( (0.0000) (-0.0762) (-0.4000) 1/6.2500 = 0.1905 + + + = + + + + + + + + + + + (((((

= =1231 . 0 08 . 0 0 008 . 0 1231 . 0 0 00 0 1905 . 0 0762 . 00 0 0762 . 0 1905 . 01 Q p rnek: ekilde grlen dik genin kenarlarna ait ller aada verilmitir. a)BuikildizisiarasndakikorelasyonuhesaplaynzveVaryans-Kovaryans(K ) matrisini oluturunuz. b) Birim arlkl standar sapma 2.5 mm ise bu iki l iin ters arlk (Q ) matrisini hesaplaynz. c)x vektrnn arlk matrisini (Pxx) oluturunuz 1(m) 2(m) 605.328218.726 605.323218.730 605.327218.724 A B C 12No 1(m)| |111=nx = x v1(mm) 2(m)| |122=nx = x v2 (mm) 1105.328105.326-2.0218.726218.7270.7 2105.3233.0218.730-3.3 3105.327-1.0218.724+2.7 ((((

=0 . 10 . 30 . 21v] 0 . 1 0 . 3 0 . 2 [1 =Tv 141 1= v vT 1. llere ait varyans 721411 1 21= ==nv vmT mm2 1. llere ait KOH =1m 2.6 mm ((((

=7 . 23 . 37 . 02v] 7 . 2 3 . 3 7 . 0 [2 =Tv 191 1= v vT 2. llere ait varyans 5 . 921912 2 22= ==nv vmTmm2 2. llere ait KOH =2m 3.1 mm ((((

=7 . 23 . 37 . 02v] 0 . 1 0 . 3 0 . 2 [1 =Tv 142 1 = v vT 1. ve 2. llere ait kovaryans 71 31412 112 ===nv vmT mm2 Korelasyon katsays (birimsiz)87 01 . 3 6 . 2142 11212.m mmr === ((

=((

=2222 1212211 . 3 77 6 . 2m mm mKll ((

=((

=2222 2 1 122 1 12211 . 3 1 . 3 6 . 2 87 . 01 . 3 6 . 2 87 . 0 6 . 2m m m rm m r mKll ((

=6 . 9 0 . 70 . 7 8 . 6llK Q m Kll =20 ((

=((

= =536 . 1 12 . 112 . 1 088 . 15 . 26 . 9 0 . 70 . 7 8 . 62 20mKQll 1.088 -1 -1.12 1.0294 ((

= =6106 . 2 6873 . 26873 . 2 6855 . 31 Q p 1.5360 0.3831 -1 1/0.3831 = 2.61066106 . 2 1.0294 = 2.68736873 . 2 1.0294 + 1.088 1/= 3.6855 4.Hata Yaylma Kural Dorultu, uzunluk, faz, kod, zaman vb. elemanlar direk gzlenir ve elde edilmek istenen dier byklkler(geneldekoordinatlar)bullerinmatematikselfonksiyonlaryardmyla hesaplanr. ller az ya da ok hatal olduu iin onlardan elde edilen byklkler de hatal olur.Fonksiyonlardaneldeedilenbyklklerinlhatalarndannasletkilendiklerini gsterenbantyaHataYaylmaKuraldenir.llenbyklklerinortalamahatalarnn bilindikleri durumlarda llerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasnn hesaplanmas dengelemehesabnnokskrastlanankonularndandr.Hatayaylmakuralsadeceilk llere uygulanr. Deneyselvaryanslar 2221, m m vedeneyselkovarvaryans 12m olan,1 ve 2 llerinin herhangi iki fonksiyonu aadaki gibi yazlabilir. ) , (2 1 f x =) , (2 1 g y = Bu fonksiyonlarn,1ve 2llerine gre diferansiyelleri 2211dfdfdxcc+cc=11 cc=fa22 cc=f a2211dgdgdycc+cc=gb11 cc=22 cc=gb 2 2 1 1 d a d a dx + =2 2 1 1 d b d b dy + = Fonksiyonlarn diferansiyeli matris gsterimi ile d A df =((

((

=((

212 12 1ddb ba adydx ((

=22 121221m mm mKllerin varyans-kovaryans matrisi Fonksiyonlarn Varyans-Kovaryans matrisi TffA K A K = ((

((

((

=(((

2 21 122 1212212 12 122b ab am mm mb ba am mm my xyxy x ((

22 121221m mm m ((

2 12 1b ba a ((

+ ++ +) ( ) () ( ) (22 2 12 122 2 12 112 221 1 12 221 1m b m b m a m am b m b m a m a ((

2 21 1b ab a ((

+ ++ +) ( ) () ( ) (22 2 12 122 2 12 112 221 1 12 221 1m b m b m a m am b m b m a m a ((

+ + + + ++ + + + +) 2 ( ) ) ( () ) ( ( ) 2 (2222 12 2 1212122 2 2 12 1 2 2 121 1 122 2 2 12 1 2 2 121 1 12222 12 2 12121m b m b b m b m b a m b a b a m b am b a m b a b a m b a m a m a a m a Fonksiyonlarn varyans-kovaryans matrisi (her zaman dolu bir simetrik matristir) ((

+ + + + ++ + + + +=(((

=) 2 ( ) ) ( () ) ( ( ) 2 (2222 12 2 1212122 2 2 12 1 2 2 121 1 122 2 2 12 1 2 2 121 1 12222 12 2 1212122m b m b b m b m b a m b a b a m b am b a m b a b a m b a m a m a a m am mm mKy xyxy xff )`+ + + =+ + =+ + =22 2 2 12 1 2 2 121 1 12222 12 2 1212122222 12 2 121212) (22m b a m b a b a m b a mm b m b b m b mm a m a a m a mxyyx Genel hata yaylma kural lkllerinkorelasyonsuzolduklardurumda012 = m Varyans-Kovaryansmatrisikegen bir matristir. ((

=222100mmK ((

+ ++ +=(((

=)2222212122 2 221 1 122 2 221 1 12222212122m b m b m b a m b am b a m b a m a m am mm mKy xyxy xff 22 2 221 1 1222221212222221212m b a m b a mm b m b mm a m a mxyyx+ =+ =+ = Not:Hatayaylmakuralsadeceyeterincelbulunandurumlardauygulanr.Fazlal varsahatayaylmakuraluygulanmaz.Fonksiyonunkesindeeriveortalamahatas dengeleme yaplarak bulunur. rnek: Bir genin iki i as ve ortalama hatalar verilmitir. Bu genin nc asn ve ann ortalama hatasn hata yaylma kural uygulayarak hesaplaynz. Verilenlerstenenler =53.5870g=m 8cc =? m =? =57.6139g=m 10cc zm: Buproblemiinalfavebetaalarnabalfonksiyon) , ( f = eklindeyazlabilir. Problemi zmek iin, fonksiyonunveya gre ksmi trevleri alnr. ) ( 200 + = =88.7991g = 200 dfdfdcc+cc=11 =cc=fa12 =cc=f a d d d = 1 1 d A df =| |((

((

cccc= ddf fd | | | |((

=ddd 1 1 ((

=(((

=222210 00 800mmKllerin varyans-kovaryans matrisi TffA K A K =Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi ((

100 00 64 ((

11 | | 1 1 | | 100 64 | | 164 =ffK | | | | 1642= =m Kff 21642 ccm = ccm 8 . 12 = rnek: ki kenar ve aralarndaki a verilen bir dzlem gende ann karsndaki kenar ve ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler =130.2080g40cca=? am =?b=280.50 m 20 cm c=170.40 m 15 cm zm: Buproblemiinbveckenarlarnavealfaasnabalfonksiyon) , , ( c b f a = eklinde yazlabilir. Problemi zmek iin, fonksiyonun b, c veya gre ksmi trevleri alnr. cos 22 2 2 + = bc c b a09 . 389 = am d bc dc b c db c b da a + + = sin 2 ) cos 2 2 ( ) cos 2 2 ( 2 dac bdcab cdbac bda + + =sin cos cos | |((((

((

cccccc=ddcdbfcfbfda| |((((

((((

= ddcdbac bab cac bdcc asincos cos Soru: neden ccblnd? Birimlere dikkat! | | | |((((

= ddbdada0172 . 0 7673 . 0 9210 . 0 | |((

=cccmbirimsiz birimsiz da ((((

=((((

=22222240 0 00 15 00 0 200 00 00 0mmmKcb ((((

=2220 00 00 0cccmcmK TffA K A K = b c a=? ((((

1600 0 00 225 00 0 400 ((((

0172 . 07673 . 09210 . 0 | | 0172 . 0 7673 . 0 9210 . 0 | | 5 . 27 6 . 172 4 . 368 | | | | 25 . 4722= =a ffm K 25 . 4722=amcm27 . 21 =amcm ((((

2220 00 00 0cccmcm (((((

cccmbirimsizbirimsiz ((

cccmbirimsiz birimsiz((

2 2 2cccccmcm cmcccmcccccmcm cm Kff + + =2 2 2 rnek: ki kenar ve aralarndaki a verilen bir dzlem gende ann karsndaki kenar ve ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler =130.2080g-a=? am =?b=280.50 m 20 cm c=170.40 m 15 cm zm: Bu problem iin b ve c kenarlarna bal fonksiyon) , ( c b f a =eklinde yazlabilir. Problemi zmek iin, fonksiyonun b ve c ye gre ksmi trevleri alnr. cos 22 2 2 + = bc c b a09 . 389 = am dc b c db c b da a + = ) cos 2 2 ( ) cos 2 2 ( 2 dcab cdbac bda + = cos cos | |((

((

=dcdbab cac bda cos cos b c a=? | | | |((

=dcdbda7673 . 0 9210 . 0 | | | |((

=dcdbbirimsiz birimsiz da ((

=((

=222215 00 2000cbmmK ((

=2200cmcmK TffA K A K = ((

225 00 400 ((

7673 . 09210 . 0 | | 7673 . 0 9210 . 0 | | 6478 . 172 4009 . 368 | | | | 77 . 4712= =a ffm K 77 . 4712=amcm27 . 21 =amcm ((

2200cmcm ((

birimsizbirimsiz | | birimsiz birimsiz | |2 2cm cm2 2cm cm Kff+ = rnek: Dik kenarlar llen bir dik genin hipotensn ve ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler b=142.53m 8 cma=? am =?c=92.68m 5 cm 2 2 2c b a + = a = 170.01m dc c db b da a + = 2 2 2 dcacdbabda + = | |((

((

=dcdbacabda | | | |((

=dcdbda5451 . 0 8383 . 0 | | | |((

=dcdbbirimsiz birimsiz da b c a=? ((

=((

=22225 00 800cbmmK

((

=2200cmcmK TffA K A K = ((

25 00 64 ((

5451 . 08333 . 0 | | 5451 . 0 8383 . 0 | | 6248 . 13 6543 . 53 | | | | 41 . 522= =a ffm K 41 . 522=amcm22 . 7 =amcm ((

2200cmcm ((

birimsizbirimsiz | | birimsiz birimsiz | |2 2cm cm2 2cm cm Kff+ = rnek:kikenarllenbirdikdrtgeninalannnortalamahatasnnkkolmasiin hangi kenarnn daha duyarlkl llmesi gerekir? Verilenlerstenenler a (m) am(cm) F=? Fm =? b (m) bm(cm) b a F =db a da b dF + = | | | |((

=dbdaa b dF| | | |((

=dbdasabit sabit da ((

=2200bammK ((

=2200cmcmKllerin Varyans-Kovaryans matrisi ((

2200bamm ((

ab | | a b2 2b am a m b + 2 2 2 2 2b a F ffm a m b m K + = = 2 2 2 2 2b a Fm a m b m + =b a ((

2200cmcm ((

sabitsabit | | sabit sabit | |2 2cm cm2 2cm cm Kff+ = Yorum: nk kk kenarn varyans (2am ) byk kenar ile arpm durumundadr (2 2bm a ). Bu nedenle kk kenar daha duyarlkl llmelidir. rnek:kikenarvearalarndakiallenbirdzlemgeninalannvealannkaresel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler a =35.40 m 0.03 mF=? Fm =?c =28.15 m 0.02 m =42.1605g 50cc zm sin21 = c a F F=306.376 m2 d c a dc a da c dF + + = cos21sin21sin21 | |((((

((

= ddcdac a a c dFcos21sin21sin21 | | | |((((

= ddcdadF9275 . 392 8837 . 10 6547 . 8| | | |((((

= ddcdam sabit sabit dF ( )(((((

|.|

\|=((((

=2100005022222000 00 03 . 0 00 0 03 . 00 00 00 0piccmcammK ((((

=birimsizmmK0 00 00 022 TffA K A K = c a ((((

000000006 . 0 0 00 0004 . 0 00 0 0009 . 0 ((((

9275 . 3928837 . 106547 . 8 | | 9275 . 392 8837 . 10 6547 . 8 | | 000002 . 0 0044 . 0 0078 . 0 | | 1157 . 02= =F ffm K 1157 . 02=Fm 34 . 0 =amm2 ((((

birimsizmm0 00 00 022 ((((

msabitsabit | | m sabit sabit | | m m m2 2 2 2 2 2m m m m KF ff+ + = = rnek: Birasvebuna komubir kenar llenbir dzlem dik genin kar kenarnve kenarn karesel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler s=100.00 m 0.05 mh=? hm =? =25.14g 4cc tan = s h h = 41.68 m d s ds dh2cos1tan + = | |((

((

= ddss dh 2cos1tan | | | |((

= ddsm birimsiz dh ((((((

||||.|

\|=((

=222210000200400 05 . 000pimmKs ((

=birimsizmK002 TffA K A K = s h=? ((

4 0000000000 . 0 00 0025 . 0 ((

3716 . 1174168 . 0 | | 3716 . 117 4168 . 0 | | 000000005 . 0 001 . 0 | | | | 0004 . 02= =h ffm K 0004 . 02=hmm202 . 0 =hm m ((

birimsizm002 ((

mbirimsiz | | m birimsiz | | m m2 2 2m m Kff+ = rnek:Anoktasnabalolarakekildekikuleninxyksekliiniveyksekliinkaresel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler s=72.50 m 3 mmx=? xm =?z=80.3060g 5cc h=1.50 m h z s x + = cot dzzs ds z dx =2sin1cot | |((

((

=dzdszs z dx 2sin1cot | | | |((

=dzdsm birimsiz dx ((((((((

||||.|

\||.|

\|=((((((

||.|

\||.|

\|=22221000020050010003001000pimmKcczs

((

=birimsizmK002 TffA K A K = A h s z z s cos x=? ((

6 0000000000 . 0 00 000009 . 0 ((

9061 . 793169 . 0 | | 9061 . 79 3196 . 0 | | 000000005 . 0 000003 . 0 | | | | 00000131 . 02= =x ffm K 00000131 . 02=hmm2 0011 . 0 =hmm1 . 1 =hmmm ((

birimsizm002 ((

mbirimsiz | | m birimsiz | | m m2 2 2m m Kff+ = rnek:Birparselinkenarlleri,llerinduyarlklarvearalarndakikorelasyonlar aada verilmitir.a)Bu llerin Varyans-Kovaryans matrisini oluturunuz. b)Bu fonksiyonlarn ortalama hatalarn hesaplaynz c)llerin fonksiyonlar arasndaki korelasyon katsaysn hesaplaynz. VerilenlerFonksiyonlar 1 =48.00 m 3 cm 5 . 08 . 06 . 0142312===rrr 4 3 1 21 3 12213 2 + = =FF 2 =52.00 m 2 cm 3 =40.00 m 1 cm 4 =79.00 m 2 cm 1 3 13 2 = F 3 1 12 3 d d dF + =423 1 2221 + = F4 3 1 2221 d d d dF + = d A df =(((((

((

=((

4321211 2 0 5 . 00 2 0 3dddddFdF (((((

((

=((

43212100 0ddddbirimsiz birimsiz birimsizbirimsiz birimsizdFdF llerin varyans-kovaryans matrisij i ij ijm m r m = ((((((

=((((((

=24 34 4 2 24 4 1 144 3 3423 3 2 23 3 1 134 2 24 3 2 2322 2 1 124 1 14 3 1 13 2 1 122124 34 24 143423 23 1324 2322 1214 13 1221m m m m r m m rm m r m m m r m m rm m r m m r m m m rm m r m m r m m r mm m m mm m m mm m m mm m m mK (((((

=((((((

=4 0 0 30 1 6 . 1 00 6 . 1 4 6 . 33 0 6 . 3 92 0 0 2 3 5 . 00 1 1 2 8 . 0 00 1 2 8 . 0 2 2 3 6 . 02 3 5 . 0 0 2 3 6 . 0 32222K | |2cm K = TffA K A K =Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi (((((

4 0 0 30 1 6 . 1 00 6 . 1 4 6 . 33 0 6 . 3 9 (((((

1 02 20 05 . 0 3 ((

1 2 0 5 . 00 2 0 3 ((

5 . 5 2 4 . 1 5 . 79 2 6 . 7 27 ((

=25 . 13 5 . 265 . 26 85ffK ((

=(((

=25 . 13 5 . 265 . 26 85222 2 12 1 1F F FF F Fffm mm mK 00 . 8521=Fmcm222 . 91=Fmcm 25 . 1322=Fmcm264 . 32=Fmcm 50 . 262 1 =F Fmcm2 7896 . 064 . 3 22 . 950 . 262 12 12 1 ===F FF FF Fm mmr rnek:Birparselinkenarlleri,llerinduyarlklarvearalarndakikorelasyonlar aada verilmitir.d)Bu llerin Varyans-Kovaryans matrisini oluturunuz. e)Bu fonksiyonlarn ortalama hatalarn hesaplaynz f)llerin fonksiyonlar arasndaki korelasyon katsaysn hesaplaynz. VerilenlerFonksiyonlar 1 =33.260 m 12 cm 2 . 05 . 02312==rr 3224 2 1 1233 2 + = + =FF 2 =25.340 m 11 cm 3 =56.330 m 20 cm 4 =12.000 m 9 cm rnek:kinoktannkoordinatlarveduyarlklaraadakitablodaverilmitir.Buikinokta arasndaki uzakln (S) standart sapmasn (ms) hesaplaynz. NNX (m)mxi (cm)Y (m)myi (cm) 1612.25 1.3768.73 0.9 2974.34 0.8538.66 1.4 00 . 429 ) ( ) (21 221 2= + = y y x x sm 21 221 211 211 2dysy ydxsx xdysy ydxsx xds++ = rnek: a kenarn ve kenarn ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler c =125.36 m 6 cma = ? am =? =62.8416g 20cc =87.9320g 20cc ) ( 200 + =) sin( ) sin( + = c a sin sinc a=sinsin = c a) sin(sin + = c a dcdc cdc da + + + + + + +=) ( sinsin ) cos() ( sinsin ) cos( ) sin( cos) sin(sin2 2 rnek: asn ve ann ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenlerstenenler a =120.00 m 3 cm = ? m =? b =150.00 m 4 cm c =80.00 m 2 cm abc b a2cos2 2 2 += ( ) ( ) ( )dcabab cdbabc b a a ab bdaabc b a b ab ad + + + = 2 22 2 222 2 222 22) ( 2 2 22) ( 2 2 2sin ( ) ( ) ( )dcabab cdbabc b a a ab bdaabc b a b ab ad + + + = sin 22 2sin 2) ( 2 2 2sin 2) ( 2 2 22 22 2 222 2 2 dcabcdbb aa c a b a abdab ab c b a b ad + + + = sin2sin 22sin 222 22 2 3 22 22 2 2 2 2 232 2 222 2 212c b am k m k m k m + + = Not: sonu a istendii iin uzunluklar ile arplr c a b 5.Arlk llerin duyarlklarn ve onlarn ne derece gvenilir olduklarn tanmlayan bir katsaydr. Biruzunlukaynduyarlkta12kezllmolsun.Aritmetikortalamaaadakigibi yazlabilir. n.......x12 2 1 + + += lk 5 l 1. gurup, sonraki 4 l 2. grup ve dier ller 3. gurup ller olarak dnrsek 3 4 53 4 53453 2 112 11 1039 8 7 625 4 3 2 11+ + + + =)`+ +=+ + +=+ + + +=u u uxuuu Kesin deer Buradaki; 5, 4 ve 3 katsaylarna arlk denir. Kesin deer hesabn geniletirsek | || | ppp p pp p pxnn n =+ + + + + + =2 12 2 1 1Genel aritmetik ortalama lkbamszllerinortalamahatas 0m ise,bulgruplarnnbirincisineyaylmakural uygulanrsa, 55 4 3 2 11 + + + + += u5 4 3 2 1 15151515151 d d d d d du + + + + = | |(((((((

((

=5432115151515151ddddddu(((((((

=25242322210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0mmmmmK (((((((

25242322210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0mmmmm (((((((

5151515151 ((

5151515151 | |21 1 1u u um K = 252242232222212251515151511m m m m m mu|.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|= 0 5 2 1m m m m = = = = olarak kabul edilirse 202202202202202251515151511m m m m m mu|.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|=20225151m mu|.|

\| = Bunu dier l guruplarna uyarlarsak 2 22020 220 220 220 2

345321i iiiiuuumsabitmmppmmmmmmmm= = =)`===Arln tanm 0m : ilk bamsz llerin karesel ortalama hatas im : herhangi bir lnn karesel ortalama hatas 5.1.Aritmetik Ortalamann Arl n.......xn + + +=2 1

ndndndndx 1 1 12 1+ + + =| |(((((((

((

=n211 1 1dddn n ndx(((((((

=222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmmK (((((((

222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmm (((((((

nnn111 ((

n n n1 1 1| |2x xxm K = 2222221221 1 1n xmnmnmnm |.|

\|+ + |.|

\|+ |.|

\|= 0 2 1m m m mn = = = = olarak kabul edilirse 220220220 2nmnmnmmx+ + + =220 2nmn mx =nmmx20 2= Arln tanm220iimmp = dan yararlanarak nmmmmpxx 2020220= =n px = Aritmetik ortalamann arl Yorum:Farkltekrardakillerinarl,duyarlvegvenirliininfarklolduu sonucuna ulalr. 5.2.Arlkl Ortalamann Arl 1 , 2 ,,nllerinin arlklar 1p , 2p , , npolsun. nn np p pp p px+ + ++ + +=2 12 2 1 1 | | | | | | ppppppxn n + + + =2 2 1 1 | | | | | |nndppdppdppdx + + + =2211 | || | | | | |(((((((

((

=n212 1dddppppppdxn (((((((

=222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmmK (((((((

222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmm ||||||(((((((

ppppppn21 | | | | | |((

ppppppn 2 1| |2x xxm K = | | | | | |222222 2121 2nnxmppmppmppm||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\|=

mmpii 220= Arlk tanmndan iipmm20 2= | | | | | |nnxpmpppmpppmppm2022220222120221 2+ + + = | | | | | |20 220 22 20 21 2mppmppmppmnx+ + + =( )| || || |220 22 1 202ppmpp p pm mnx=+ + += | | pmmx20 2=elde edilir. 220iimmp =arlk tanmndan | || | ppmmmmpxx= = =2020220 arlkl ortalamann arl Bu aklamalara gre karesel ortalama hatalarla arlklar arasndaki dnm bants iin, 220iimmp = den hareketle 2 22 221 120 n nm p ,,m p m p m = = = 212221mmpp=Arlk ve karesel ortalama hata arasndaki iliki, Kareselortalamahatannbirimiolmasnakarnayntrdenlleriinarlkbirimsiz, farkl trden ller iin birimlidir. birimsizcmcmccccmmpi= = = =22222120 birim22= =cmccpi rnek:Biralmndekareselortalamahatalar ccm 61 = , ccm 152 = ,ve ccm 103 = dir. kinci lnn arl42 = polarak verilmitir. 1Pve 3P arlklarn hesaplaynz. 212221mmpp=den 2521222 1= =mmp p222332mmpp=den 923222 3= =mmp p rnek: Bir dzlem gende llen alarn arlklar6 =p ,3 =p olarak verildiine gre nc ann arln bulunuz. ) ( 200 + = d d d =| | | |((

=ddd 1 1(((

=2200mmK (((

2200mm ((

11 | | 1 1 2 2 2 m m m K + = = 2 2 2 m m m + =iipmm20 2= den hareketle pmm20 2= , pmm20 2=ve pm m20 2=arlk tanmndan yazlabilir pmpmpm202020+ = p p p1 1 1+ = 3161 1+ =p 2 =p rnek: Ayn aletle ayn kii ayn bykl birinci kez n sayda ikinci kez m sayda lyor. l saylar arasndaki ilikiyi arlk cinsinden bulunuz. nxn 1 12 11 + + +=ndndndndx1 12 111 1 1 + + + = | |(((((((

((

=1n12111 1 1dddn n ndx(((((((

=212122110 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmmK (((((((

212122110 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmm (((((((

nnn111 ((

n n n1 1 1| |2x xxm K = 2122122211221 1 1n xmnmnmnm |.|

\|+ + |.|

\|+ |.|

\|=0 1 12 11m m m mn = = = =220220220 2nmnmnmmx+ + + =220 2nmn mx =nmmx20 2= mym 2 22 21 + + +=mdmdmdmdy2 22 211 1 1 + + + = | |(((((((

((

=2m22211 1 1dddm m mdy(((((((

=222222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0mmmmK (((((((

222222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0mmmm (((((((

mmm111 ((

m m m1 1 1| |2y xxm K = 2222222221221 1 1m ymmmmmmm |.|

\|+ + |.|

\|+ |.|

\|=0 2 22 21m m m mm = = = =220220220 2mmmmmmmy+ + + =220 2mmm my =mmmy20 2= Arlk ve karesel ortalama hata arasndaki iliki tanmndan 22xyyxmmpp= mnnmmmppyx= =2020

rnek:ekildekiAveBnoktalararasndakih A ykseklikfarkeituzaklktaolacak ekilde n kez alet kurularak belirlenmitir.h A ykseklik farknn arln hesaplaynz. nh h h h A + + A + A = A2 1 nh d h d h d h d A + + A + A = A2 1 | | | |(((((((

AAA = Anh dh dh dh d211 1 1(((((((

=AAA2220 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 021nhhhmmmK A B d d d 1h A s 2h A3h Ah A (((((((

AAA2220 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 021nhhhmmm (((((((

111 | | 1 1 1 2 2 2 22 1 nh h h h hhm m m m KA A A+ + + = = 2 2 2 22 1 nh h h hm m m mA A A+ + + = Ayn geki, ayn alet, ayn lmeci iin ykseklik farklarnn ortalama hatalar eit alnabilir 02 1m m m mnh h h= + = =A A A 202m n mh = d iki mira arasndaki mesafe eit alnrsa n alet kurma says olmak zere dsn ~olur. 202mdsmh =220iimmp =tanmndan 2 2h hhmcmsabitp = = s md cmdscph12020== 20md c skaler saysna k dersek skph =k=1 km iin) (1km sph = Sonu: Nivelmanda arlklar geki uzunluu ile ters orantldr. rnek: ekildeki A ve B noktalar arasndakiuzunluu eit uzaklkta olacak ekilde n kez (ns s s , , ,2 1 ) elik erit metre ile llmtr.uzunluunun arln hesaplaynz. ns s s + + + =2 1 nds ds ds d + + + =2 1 | | | |(((((((

= Andsdsdsh d211 1 1(((((((

=2220 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 021nsssmmmK (((((((

2220 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 021nsssmmm (((((((

111 | | 1 1 1 2 2 2 22 1 ns s s ssm m m m K + + + = = 2 2 2 22 1 ns s sm m m m + + + = Ayn geki, ayn alet, ayn lmeci iin uzunluklarn ortalama hatalar eit alnabilir 02 1m m m mns s s= = = = s s s = = =2 1 yaklak eit alnrsa A B s1 s2 s3 erit boyu olmak zeres n = sn= 202m n m = 202msm = Arln tanmndan 120202 2= = = =ms cmscmcmsabitP olarak bulunur.20ms c skaler saysna k dersek skp = k=1 iin1= p Sonu: Uzunluk lmelerinde arlklar llen uzunluk ile ters orantldr. rnek: Birnirengi andakinoktalar lmekiinfarkliki alet kullanlmtr.Birinci aletle belirlibira20kezllmtr.Herikialetleyaplanllersonucundabirimllerin ortalama hatalar ccm 21 =ve ccm 32 =olarak bulunmutur. Her iki aletleyaplan llerin kesin deerlerinin arlklar eittir. Bu durumda ikinci aletle ka kez l yaplmtr. n.......x20 , 1 12 111 + + +=2042022 20 21= = =nmmx

m.......x20 , 2 22 212 + + +=2092032 20 22= = =mmmx 2 1x xp p =2202202 1x xmmmm=mm m92042020= 45420 9== mkez rnek:BirnivelmanandaBnoktasndanAnoktasna 1 veCnoktasna 2 ykseklik farklar llmtr. A dan C ye olan ykseklik farknn karesel ortalama hatasn bulunuz. 544 . 121 = m s1 = 5 km100 = mmm 182 . 372 = ms2 = 3 km 1 + =B AH H 2 + =B CH H 1 2 1 2 = + = = AB B A C ACH H H H H 1 2 d d H dAC = A | | | |((

= A211 1ddH dAC (((

=222100mmK (((

222100mm ((

11 | | 1 1 2 2 22 1 m m m KACH ff+ = =A ) (10) ( km s km ssabitpi ii= = 50510102 20 211= = =pmmmm233 . 30310102 20 222= = =pmmmm2 33 . 80 33 . 30 502 2 22 1= + = + =A m m mACH mm295 . 8 =AACHm mm B C A 12s1 s2 6.Ters Arlk (Kofaktr) Arln tersi olan iipq1=byklne ters arlk denir. Arlkkavrambamszllerindengelenmesivebunlarahatayaylmakuralnn uygulanmas iin yeterlidir. Ters Arlk kavram ise korelasyonlu llerin dengelenmesi ya da korelasyonlu llere genel hata yaylma kuralnn uygulanabilmesi iin gereklidir. lk bamsz ller n 2 1, , , nin dorusal bir fonksiyonu n na a a a y + + + + =2 2 1 1 0 eklinde olsun. Hata yaylma kural uygularsak n nd a d a d a dy + + + =2 2 1 1 | | | |(((((((

=n212 1ddda a a dyn (((((((

=222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmmK (((((((

222210 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0nmmm (((((((

naaa21 | |na a a 2 1 21 1y u um K = 212 222221212n n ym a m a m a m + + + = 0 2 1m m m mn = = = =olduunu varsayarak ve arln tanmndan iipmm20 2=yararlanarak nnypmapmapmapm20 2220 22120 2120+ + + = nnypapapap22221211+ + + =Arln yaylma kural matris gsterimi ile a p apqTyy11= =Arlklarn yaylma kural lk bamsz ller korelasyonsuz olduklarndan buradakipmatrisi bir kegen matristir. (((((

=npppp21Arlk matrisi 2021mmpqiii= =Ters Arlk tanmndan yararlanarak pq , , pqpqnnyy1

1 ,111= = =yazlrsa bu eitlik 2 22 221 1 n n ya q a q a q q + + + = matris gsterimi ile a Q aTqy =Ters Arlklarn yaylma kural lk ller korelasyonsuz olduklar iin buradakiQ matrisi de bir kegen matristir. (((((

=nq.qqQ21 Ters Arlk (kofaktr matrisi) 1 = Q PArlk ile Ters Arlk arasndaki iliki KorelasyonlullerintersarlkmatrisiQdolubirmatristir.Bumatrisinkegend elemanlar iin 20mmqijij =tanm yaplrsa,korelasyonlu llerlerin ters arlk matrisi llQile varyans-kovaryans matrisi llKarasndaki ilikiler kurulabilir. Q m K20= (((((((

=(((((((

nn n n nnnnn n n nnnnq q q qq q q qq q q qq q q qmm m m mm m m mm m m mm m m m.. . . . ...... . . . ....3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 112023 2 1323 32 312 2322 211 13 1221 Varyans-kovaryans matrisi Ters Arlk (Kofaktr) Matrisi Korelasyon katsaysnn tanmndan j iijj iijijq qqm mmr = = j i ij ijq q r q = korelasyon katsays ile ters arlk arasndaki iliki. rnek:BirgeninkenarlarEUilellmvea,b,veckenarlarnnkareselortalama hatalarverilmitir.Birimarlklvaryans225mm2isellenkenarlarntersarlk matrisini bulunuz. Verilenler (mm) am =16.2 mm abm =187.76 mm2 bm =15.3 mm bcm =196.16 mm2 cm =20.6 mm acm =217.63 mm2 ((((

=((((

=2222226 . 20 16 . 196 63 . 21716 . 196 3 . 15 76 . 18763 . 217 76 . 187 2 . 16c cb cabc b baac ab am m mm m mm m mK Q m K20=20m =225 mm2 ((((

=((((

= =8860 . 1 8718 . 0 9672 . 08718 . 0 0404 . 1 8345 . 09672 . 0 8345 . 0 1664 . 1 33 23 1323 22 1213 12 1120q q qq q qq q qmKQ 20202mmqmmqijijiii== rnek: Bir noktann konumu aklk as veskenar uzunluu ile verilmitir.asnn standartsapmas(kareselortalamahatas)1.5cc,s uzunluununstandartsapmas2cmve aralarndaki korelasyon 0.6 olarak verilmitir.a)ves byklklerinin varyans-kovaryans matrisini b)Birim arlkl varyans520 = m cm2 olduuna gre arlk katsaylar matrisini c)ve ters arlk katsaylar matrisini oluturunuz. Not: Birimleri ile beraber ((

=sx ((

=22s ssm mm mK 2(cc) 22.25 =m2 24cm ms =cm m m r mcc cm ccs s s= = = 8 . 1 2 5 . 1 60 . 0

(((

=((

=2) (224 8 . 18 . 1 25 . 22cm cmcmm mm mKcccc ccs ss varyans-kovaryans matrisi Q m K20= 20mKQ =2 205cm m =((((

=80 . 0 36 . 036 . 0 45 . 022) (cmcccmcccmccQTers arlk matrisi 1 = Q p((((

=95 . 1 56 . 156 . 1 47 . 322) (cccmcccmcccmpArlk matrisi rnek:BirgeninkenarlarEUilellmvea,b,veckenarlarnnkareselortalama hatalar verilmitir. llen kenarlarn ters arlk matrisini bulunuz. Verilenleram =16.2 mm abr = 0.5 bm =15.3 mm bcr = 0.7 cm =20.6 mm acr = 0.9 ((((

=((((

=2222226 . 20 6 . 20 3 . 15 7 . 0 6 . 20 2 . 16 9 . 06 . 20 3 . 15 7 . 0 3 . 15 3 . 15 2 . 16 5 . 06 . 20 2 . 16 9 . 0 3 . 15 2 . 16 5 . 0 2 . 16c c b bc c a acc b bc b b a abc a ac b a ab am m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK

((((

=36 . 424 63 . 220 35 . 30063 . 220 09 . 234 93 . 12335 . 300 93 . 123 44 . 262K Q m K20= 6 . 200 = mmm seersek 20m =424.36 mm2 ((((

=((((

= =1 5199 . 0 7078 . 05199 . 0 5516 . 0 2920 . 07078 . 0 2920 . 0 6184 . 0 33 23 1323 22 1213 12 1120q q qq q qq q qmKQ 20202mmqmmqijijiii== rnek:Aadadeerlerivearlklarverilen 3 2 1ve , llerinebalolarakbirx deikeni 232 15 . 0 = x fonksiyonuiletanmlanmtr.Birimlnnortalamahatas 5 . 10 = m cm olduuna gre, x bilinmeyeninin karesel ortalama hatasn bulunuz. 232 15 . 0 = x3 232 12311325 . 0 d d d dx ||.|

\| + = | |((((

((

=321232 131325 . 0 ddddx | |((((

((

=3212) 244 . 98 (364 . 150 118 . 1005 . 0244 . 98118 . 100244 . 98364 . 150ddddF | | | |((((

=3215597 . 1 6209 . 0 5308 . 1ddddF | | | |((((

=321dddbirimsiz birimsiz birimsiz dF i(m) ip100.1182.4 150.3641.6 98.2441.2 ((((

=2223210 00 00 0mmmKiipmm20 2=den yararlanarak ((((

=(((((((

=(((((((((

=8750 . 1 0 00 4063 . 1 00 0 9375 . 02 . 15 . 10 006 . 15 . 100 04 . 25 . 10 00 00 0222202020321pmpmpmK ((((

=2220 00 00 0cmcmcmK TxxA K A K = ((((

8750 . 1 0 00 4063 . 1 00 0 9375 . 0 ((((

5597 . 16209 . 05308 . 1 | | 5597 . 1 6209 . 0 5308 . 1 | | 29 . 72= =x xxm K 29 . 72=xm cm27 . 2 =xm cm 7.Birim lnn Ortalama Hatas (Ortalama Hata, Karesel Ortalama Hata (KOH), Standart Sapma, RMS) Kareselortalamahatallerindorulukderecesihakkndafikirverir.Dorulukderecesi (duyarlk) ltleri iinde en ok kullanlan karesel ortalama hatadr. nk hatalarn kareleri alndiinbykhatalarnetkisidahafazladrvekkhatalarlabykhatalarayn derecede ele alnmamaktadr. Karesel ortalama bir duyarlk ltdr. Dorulukveduyarlkkelimeleribazenbirbirlerininyerinekullanlmaktadr.Ancakbuiki kavramarasndabykbirfarkvardr.Dorulukdeerigerekdeerenekadar yaklalabildiinigsterir.Duyarlkdeeriisebirdenfazlayaplanllerinaralarndaki tutarllngstergesidir.Buikiltyaplanllerinnekadargvenilirolduklarnortaya koyarlar.Duyarlkolarakverilenkksaysaldeeryaplanlnnkaliteliolduunuve verilen kk saysal deer ise yaplan lnn kaliteli olmadn gsterir. Duyarlk ltleri bir aralk iinde tanmland iin iaretleri alnr. rnein 200.125 m 2 cm eklinde verilen bir deer, lnn kesin deerinin 200.125 m olduu ve gerek deerden 2 cmfarkl olduu anlamna gelir. Dierbir deyile, lnn gerek deerinin 200.123ile 200.127 m arasnda bir deer olabilecei anlamna gelir. Birbykleaitnsaydabamszlyaplmolsun.Bubyklklerinortalamas alnarakbykleaitkesindeerbulunabilir.Kesindeeregreherbirlnnkesin deerden fark lye getirilecek dzeltme olarak bulunur. l + Dzeltme = Kesin Deer x vi i= + i ix v =ip(arlk) --------------------------------- 1 1 = x v1p2 2 = x v 2p n nx v = np--------------------------------- n n n n np x p v p.....p x p v pp x p v p = = =2 2 2 2 21 1 1 1 1 --------------------------------- l + Gerek Dzeltme = Gerek Deer = +i ii i = i iv x = x) ( v i i + =ip(arlk) ------------------------------------------ ( ) x v + =1 1 1p( ) x v + =2 2

2p ( ) x v n n + = np------------------------------------------ ( )( )( ) x p v p p.....x p v p px p v p pn n n n n + = + = + =2 2 2 2 21 1 1 1 1 ------------------------------------------ | | | | | |( )| | | |( ) x p px p pv p + = + =0 | | | | | || || | ppxp p x pv== = 0 | |xp p =Kesin deerin arl ( ) x x =Kesin deerin gerek dzeltmesi Gerek dzeltmelerin arlkl kareleri toplam | | | | | |( ) | |( )| | | | | |( ) ( ) x x p pvv px pv x p pvv p + + = + + =0 2222| | pvv yi ekersek | | | | | |( )2x p p pvv = | | pak yazlrsa | |2 2 22 221 1 x x n n p ) p p (p pvv + + + = Gerekdeerlerbilinmediindengerekdzeltme dabilinmez. 2i leryerine 2im (imgerek dzeltmelerin en uygun tahmini deerleridir)ler yazlrsa ve arlk tanmndan 220iimmp =yararlanarak 2 20 i im p m = ,| | pvv de yerine konursa | || |11202020202020= = + + + =npvvmm ) (n m ) m m (m pvv | |10 =npvvm Arlklar (duyarlklar) farkl birim lnn ortalama hatas Bubantarl1olanbirlnnortalamahatasnverir.(n-1)fazlalsaysdr. Bilinmeyen says u olan bir problemde | |u npvvm =0Birim lnn ortalama hatas (Duyarlklar farkl korelasyonsuz) Eer arlklarp =1 olarak seilirse | |u nvvm =0Birim lnn ortalama hatas (Duyarlklar eit korelasyonsuz) Ortalamahata kavram tek bir liin deil duyarlklar eit ayn trden l guruplariin sz konusudur. iipmm20 2=arlk tanmndaniipmm0 = Arl ipolan herhangi bir lnn ortalama hatas rnek:ekildeki as5,2ve2kezyaplmllerdensrasyla101g.120,101g.220ve 101g.180olarakhesaplanmtr. asnnkesindeerinivekareselortalamahatasn hesaplaynz. [25 p.] | || | ppp p pp p px =+ + + + =3 2 33 3 2 2 1 1 gx 155 . 10194 . 9102 2 5180 . 101 2 220 . 101 2 120 . 101 5= =+ + + + = No p(g)| || | ppx= =) (cx vpvv15101.120101.1553.561.25 22101.220-6.584.50 32101.180-2.512.50 | | 9 = p | | = pvv 158.25 | |cnpvvm 9 . 81 325 . 15810 = = = 7.1.Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Ortalama Hatas ller arasnda rij gibi sabit bir korelasyon ve12 1= = = =nP ...... P Polsun. 111

2 2 21 1 1X v... X vX v p X vn n ni i i i = = = = ( )( )( )( )n ni iv x ...v x v x v x + =+ =+ = + =2 21 1 | | | | = x n v | | ( ) | | v x n + =A B C | || || | 0 = = nn v| | ( ) x n = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x v v x ......x v v x x v v x n n n + + = + + = + + =2222 2 22222 221212 21 || ( ) | | | |( )| ||| ( ) | | vv x n vx v vv x n + = = + + =2202( )| |nx = ise | || || || || | vvnvvnn + = + =222 | | | || | | | ( )n nnn n n .... n n .... vv n .... .... vv 1 3 1 2 12 22211 3 1 2 12 222122 2 2+ + + ++ + ++ =+ + + + + + ++ = ( )n 1 n 3 1 2 1 .... + + +says ( )21 n n tanedir. 2) 1 (] [=n nmj iij ij j imn n2) 1 (] [= ller arasnda sabit bir otokorelasyon 20mmrijij =varsa 202) 1 (] [ m rn nij j i = 20) 1 ( m r nnv vijTT T + + = 20) 1 ( ) 1 ( m r n n v v n nijT T + = ) 1 ( n n e blersek 201m rnv vnijT T += 120= nv vm rnTijT 1) 1 (20= nv vr mTij ) 1 ( ) 1 (20ijTr nv vm = ) 1 ( ) 1 (0ijTr nv vm = Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Ortalama Hatas 7.2.Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Aritmetik Ortalamasnn Ortalama Hatas | |nenxT = = ller arasnda sabit korelasyon varyans-kovaryan matrisinde depolanmtr. (((((((

=(((((((

=1 .. . . .. 1. 1. 1.. ....2020202020ijij ijij ij ijijij ijij ij ijrr rr r rmmm mm m mm m m mK Aritmetik Ortalamasnn Ortalama Hatas eitliine hata yaylma kural uygulanrsa d endxT1=e K enmTx 221={ }ijTr n n m e K e + = ) 1 ( 120 nr nm mijx + =) 1 ( 1202 nr nm mijx + =) 1 ( 10Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit Aritmetik Ortalamannortalama hatas nr nr nv vmijijTx + =) 1 ( 1) 1 ( ) 1 (2 ) 1 () 1 ( 1) 1 (2ijijTxrr nn nv vm + = Bamsz llerde ijr =0 dr ) 1 (2 =n nv vmTx nmmx0= Kesin deerin ortalama hatas rnek:Birnirenginoktasnnyksekliicivardabulunan6nirenginoktasnayaplandey agzlemleriyardmyladengelenecektir.Civardakinirenginoktalarnnykseklikleri nivelmanlabulunmutur.Birteknoktayaaletkurularakllendeyalardanhesaplanan ykseklikler arasndaki korelasyon katsays ijr =0.87 olduu bilindiine gre duyarlklar eit olan bu yksekliklerin ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler (mm) ijr =0.87 1h =628.45 2h =628.59 3h =628.46?0 = m? =xm4h =628.42 5h =628.55 6h =628.53 i(m) i ix v =(cm) 628.455 628.59-9 628.464 628.428 628.55-5 628.53-3 | | 0 = v | |nx= = 628.50 m kesin ykseklik | | v v v vT = =220 4 . 18) 87 . 0 1 ( ) 1 6 (220) 1 ( ) 1 (0 = = =ijTr nv vm cmBirim lnn ortalama hatas 4 . 17687 . 0 ) 1 6 ( 14 . 18) 1 ( 10 = + = + =nr nm mijx cm Kesin deerin ortalama hatas Korelasyon gz ard edilerek bamsz ller iin karlan bantlarla hesap yaplrsa | |6 . 61 622010 = = =nvvm cm Birim lnn ortalama hatas 7 . 266 . 60 = = =nmmi cmKesin deerin ortalama hatas Aklama:llerarasndakikorelasyonungzardedilmesiortalamahatann hesaplanmasnda yanl (kk) sonularn elde edilmesine neden olur. 7.3.ift ller Yardm le Ortalama Hata Baz byklkler gidi-dn olarak yada karlkl llrler (nivelman, kenar ls) 7.3.1. Arlklar Eit l iftleri l + Gerek Dzeltme = Gerek Deer = + = +i i i i 2 2 1 1 i i i i 1 2 2 1 = i i id1 2 = n n nddd2 122 12 221 11 1... + =+ =+ = | | | | | | | |2 1 2 2 1 12 + = dd lk bamsz llerin gerek dzeltmelerinin (+) iaretli olma olaslklar ile (-) iaretli olma olaslklarna eit olduundan, 2 1 arpmlarnn iaretlerinin de (+) iaretli olma olaslklar ile(-)iaretliolmaolaslklareitolur.Yeterinceldenyararlanarakyaplan hesaplamalarda 2 1 arpmlarnn toplamnn mit deeri| | 02 1= Eolur. Yukardaki eitlik l iftleri saysna blnerek | | | | | |n n ndd2 2 1 1 + = | |2221m mndd+ =duyarlklar (arlklar eitse) 222120m m m = =| |202 mndd =| |nddm220 = | |nddm20 = Tek bir gidi ya da dn lsnn ortalama hatas Kesin deerin ortalama hatasna hata yaylma kural uygulanrsa 22 1 i ii +=i i id d d2 12121 + = 222124141m m m + = 20221m m = | |ndd mm2120 = =Gidi-dn llerinin ortalamasnn ortalama hatas rnek: Bir poligon ann 12 noktasndaki krlma alar ikier yarm dizi gzlenmi ve l deerleriaadaverilmitir.Tekbiryarmdiziliklnnortalamahatasnveikiyarm dizinin ortalama hatasn hesaplaynz. NoI. Yarm Dizi II. Yarm Dizi I II dcc = | | 9425 = dd n = 12 Tek bir lnn ortalama hatas | |ccnddm 8 . 1912 2942520 = = = ki yarm dizilik lnn ortalama hatasccmm 1428 . 1920 = = = 1176.6533176.656835 2198.6518198.6488-30 3193.8955193.898025 4189.5445189.5435-10 5201.9753201.9738-15 6215.2592215.262230 7196.1276196.1241-35 8188.5691188.575140 9190.6712190.672210 10194.2566194.258620 11203.6533203.6503-30 12172.1097172.1062-35 7.3.2.Arlklar Farkl l iftleri i i id2 1 + = ip(arlk) ------------------------------ n n n np dp dp d

...

2 12 22 12 21 21 11 1 + =+ =+ = | | | | | | | |2 1 2 2 1 12 p p p pdd + =| | 02 1= p E | | | | | |npnpnpdd2 2 1 1 + =| |2221m mnpdd+ =duyarlklar (arlklar eitse) 222120m m m = = | |202 mnpdd =| |npddm220 = | |npddm20 = Tek bir gidi ya da dn lsnn ortalama hatas 20mm =Gidi-dn llerinin ortalamasnn ortalama hatas (Arl p = 1 olan ift llerin ortalama hatasnn ortalama Hatas) iipmm0 = Arl ipolan bir tek lnn ortalama hatas ipmmi = Arl ipolan bir ift lnn ortalama hatas rnek: Bir nivelman anda 10 nokta aras ykseklik farklar gidi-dn llmtr. Geki uzunluklar ve llen ykseklik farklar aada verilmitir. 1 km uzunluundaki bir gekide bir tek gidi ya da dn lsyle bulunan ykseklik farknn ortalama hatas ve gidi-dn llerinin kesin deerinin ortalama hatasn bulunuz. NoGidi (m) Dn (m) Geki Uzunluu (km) Gidi Dn dmm =kmisp1=18.7468.7393.5-70.29 25.6655.6803.8150.26 312.22512.2271.920.53 417.52417.5412.2170.45 515.24315.2350.8-81.25 614.94814.9361.2-120.83 77.1727.1851.5130.67 86.9896.9741.8-150.55 928.77528.7651.4-100.71 1010.15510.1632.680.38 | | 39 . 740 = pdd n = 10 1 km lik gekide bir tek gidi ya da dn lnn ortalama hatas | |mm 1 . 610 239 . 74020 = = =npddm 1 km lik gekide kesin deerin ortalama hatas mm 6 . 421 . 620 = = =mm 7.3.3.Korelasyonlu l iftleri Duyarlklar eit ve korelasyonlu dizilerden 1. si 1ve 2. si 2vektrlerinde toplansn. 2 1 + =idip(arlk) ------------------------------ 2 1 2 2 1 12 T T T Td d + =n n n nd dT T T T2 1 2 2 1 12 + = 1222212 m m mnd dT + =222120m m m = =duyarlklar eit 2 11212m mmr= korelasyon tanmndan 20 12 2 1 12 12m r m m r m = = 20 1220202 m r m mnd dT + =20 12202 2 m r mnd dT =) 1 ( 21220r mnd dT =) 1 ( 21220r nd dmT = ) 1 ( 2120r nd dmT = Duyarlklar ve korelasyonlar eit l iftlerinde bir tek gidi ya daDn lsnn ortalama hatas Elektronik uzaklk lerlerle karlkl olarak llennirengiya da poligon kenarlarveayn andakarlklolarakgzlenendeyalarkorelasyonluliftleridir.Buliftlerinin ortalamasalnarakbulunankesindeerlerinortalamahatasiinhatayaylmakural uygulanrsa 2 22 1 iTi iie =+=iTi i id e d d d 2121212 1= + = e K e mT 412=((

=((

=111212 2020 121220rrmm mm mK 201212mmr=) 1 ( 21220r m e K eT+ = 20 122) 1 ( 241m r m + = 2) 1 (12 202rm m+ = 2) 1 (120rm m+ = Duyarlklar ve korelasyonlar eit l iftlerindekesin deerin ortalama hatas rnek:Birnirengianda10kenarayngndeEUilekarlklolarakllmvel deerleriaadaverilmitir.Duyarlklareitolanbuliftleriarasndakikorelasyon 68 . 012 = r dir.Tekbirlnnortalamahatasnvekesindeerinortalamahatasn hesaplaynz. No 1(m) 2(m) 1 2 =mmd11985.0281985.013-15 22217.5412217.5498 32828.9892828.979-10 4814.235814.2372 53517.5243517.509-15 61206.0871206.080-7 72613.7612613.78524 81540.9141540.885-29 91453.4381453.45517 101839.3921839.40412 8 . 19) 68 . 0 1 ( 10 22517) 1 ( 2120 = = =r nd dmT mm Bir tek lnn ortalama hatas 1 . 182) 68 . 0 1 (8 . 192) 1 (120 =+ =+ =rm m mmKesin bir lnn ortalama hatas 8.Dengeleme Hesabnn Konusu ve Ana lkeleri Uygulamalfenbilimlerindeproblemlerinzmiingereindenfazlalyaplr. llerintmndenyararlanarakbilinmeyenlerinenuygundeerlerini(kesindeeri) saptamak dengeleme hesabnn konusudur. Bir bykle ait yaplan ok sayda lden elde edilenkesindeerherhangibirlyeoranlabirbasamakdahagerekdeereyaknolur. Byle bir deeri elde etmek iin n l, u bilinmeyen says olmak zere r = n - u adet farkl zm yaplabilir. Bufarklzmleriortadankaldrmakveparametrelerintekanlamlzmneldeetmek iin aada yazlan ama fonksiyonlar ile zm yaplr. | | min = vvEit arlkl ve Korelsyonsuz ller iin | | min = pvvArlklar Farkl ve Korelsyonsuz ller iin min1= =v p v v Q vT TArlklar Farkl ve Korelsyonlu ller iin Bilinmeyenlerin tek anlaml zmnde kullanlan matematik model iki modele ayrlr. Fonksiyonel Model + Stokastik Model = Matematik Model ( )0 = , xF p Q =1 Fonksiyonelmodel:llerlebilinmeyenlerarasndakisabitgeometrikvefizikselilikileri gsterenfonksiyonlardr.Probleminzelliigereibufonksiyonlardorusalolmayabilir. Ancak EnKkKareler Yntemiile zmyapabilmekiin dorusal olmayanfonksiyonel modeldorusallatrlmaldr.BunedenledorusalolmayanfonksiyonelmodellerTaylor serisine alarak dorusallatrlr. Stokastik model: llerin duyarlklar (ortalama hata, arlk) ve aralarndaki korelsyonlar konusundadengelemedennceeldebulunanbilgileredenir.Stokastikmodellleryada bilinmeyenlerarasndakiaprazilikileri,duyarlklaryanstanveistatistikteorisinegre kurulanmodeldir.Stokastikmodelsadecefizikselnedenleredayalilikileriyanstyorsa kegen Varyans-Kovaryans matrisi olarak karmza kar. Ancak bu yap her zaman geerli olmaz.llerbamszolsabilefonksiyonelmodeldeneldeedilendeikenlerbaml olabilirvebununsonucuolarak Varyans-Kovaryansmatrisi dolubirmatris olarak karmza kar. Bir dengeleme probleminde n = l says u = bilinmeyen says (tek anlaml zm iin gerekli l says) f = n-u fazla l says n > u ya da f> 0 ise fazla l vardr. ller dengelenerek kesin deerler bulunur n = u ya da f= 0 ise tek anlaml zm denklem zm ile elde edilir n < u ya da f< 0 ise tek anlaml zm iin yeterli l yoktur. Varsaymlara dayalzm yaplabilir. Dengeleme hesab; fonksiyonel modelin trne gre; a)Dolaysz (direkt) ller dengelemesi, b)Dolayl (Endirekt) ller dengelemesi, c)Koullu (artl) ller dengelemesi, d)Bilinmeyenli Koullu ller dengelemesi, e)Bilinmeyenleri arasnda koul bulunan Dolayl ller dengelemesi eklinde uygulanabilir. Dengeleme hesab; stokastik modelin trne gre; a)Arlklar eit ve Korelsyonsuzb)Arlklar farkl ve Korelsyonsuz c)Arlklar farkl ve Korelsyonlu eklinde uygulanabilir. 9.Dolaysz (Direk) ller Dengelemesi Arananbyklndorudanllddurumlardabilinmeyenlerinenuygundeerini belirlemeye dolaysz ller dengelemesi denir. 9.1.Arlklar Eit ve Korelsyonsuz Dolaysz ller Dengelenmesi Birbyklknkezllsn.lkbamszller n 2 1,..., , olsun.Bunagrematematik model, x llerin kesin deeri olmak zere; l + dzeltme = kesin deerx vi i= + i ix v =--------------------------------------------------------------------------- x v......x vx vn n= += += +2 21 1 n nx v......x vx v = = =2 21 1 Bubykleaitllerinduyarlklar(arlklar)eitolsunip =1(i=1,2,,n).Buradan lsays,ubilinmeyensaysolmakzere,f= n-u=n1 tanezmvardr.Tekanlaml zm iin| | min = vvart (eit arlkl ve korelsyonsuz ller) ile zm yaplr. | | min2 2221= + + + =nv .... v v vv2 2 222 22 2221 12 21222n n nx x v......x x vx x v + =+ =+ = | | | | | | x nx vv 22 + = | | min = vv olmas iin fonksiyonun x bilinmeyenine gre birinci trevi sfra eitlenmelidir. | || | 0 2 2 = =cc nxxvv

| | 0 = nx Normal denklem| |

nx= Kesin deer Sonu:arlklareitilkbamszllerinenkkkareleriledengelenmesisonucunda elde edilen kesin deer, gzlemlerin aritmetik ortalamasdr. Hesapkolayliinkkdeerlerleallr.x iin 0x gibibiryaklakdeerseeriz.Bu durumda kesin deerdx x x + =0 olur ( dx : dengeleme bilinmeyeni) i ix v =i idx x v + = ) (0 ) (0x dx vi i = ) (0xi i = ' i idx v ' =--------------------- n ndx vdx vdx v' = ' =' =2 21 1 | |ndx'= Denetim lemleri Dzeltmelerin Toplam Kontrol| | 0 = v | | | | = x n v| | | | ' = dx n v| |

nx=| |ndx'=| || || | 0 = = nn v | || || | 0 = ' ' = nn v Dzeltmelerin Kareleri Toplam Kontrol| | vv i idx v ' =denklemi ivile arplrsa | | | | | | ' = v v dx vvi idx v ' =denklemi i' ile arplrsa | | | | | | ' ' + ' = ' dx v| | | | | | | | ' ' + ' = dx v dx vv | | 0 = volduu iin | | | | | | ' ' ' = dx vv| | | || | | | ' ' ' ' =nvv| | | || |nvv2 ' ' ' = Duyarlk Hesaplar | |10 =nvvmBirim lnn ortalama hatas nmmx0 = Aritmetik ortalamann (bilinmeyenlerin) karesel ortalama hatas rnek:Biraayngnaynaletleaynlmecitarafndan5kezgzlenmiaadaki deerlerbulunmutur.Annkesindeerini,birlnnortalamahatasnvekesindeerin ortalama hatasn bulunuz| | 0 = vve| | vvkontrollerini yapnz. 46170 . 180 = xyaklak deer olarak seilsin| |ccndx 32 . 256 . 11= ='= 461932 . 18 32 . 2 46170 . 180g cc gdx x x = + = + =Ann kesin deeri No (g) 0xi = ' (cc) i i ' 'idx v ' = (cc) i iv v 118.461750.50.31.83.3 218.461972.77.3-0.40.2 318.462023.210.2-0.90.8 418.462114.116.8-1.83.2 518.461811.11.21.21.4 | | = ' 11.6| | = ' 'i i 35.8| | = v -0.1cc| | = vv 8.9 | |ccnvvm 49 . 11 59 . 810 = = =Gzlemlerin ortalama hatas ccxnmm 67 . 0549 . 10 = = =Kesin deerin ortalama hatas Kontroller| | 0 1 . 0 ~ =ccv| | 9 . 8 = vv| | | | | | 8 . 8 6 . 11 32 . 2 8 . 35 = = ' ' ' = dx vv| | | || |9 . 856 . 118 . 352 2= =' ' ' =nvv 9.2.Arlklar Farkl ve Korelsyonsuz dolaysz ller dengelenmesi Birbyklknkezllsn.lkbamszller n 2 1,..., , olsun.Bullerinarlklar da n 2 1,..., , p p polsun. Buna gre matematik model, x llerin kesin deeri olmak zere; l + dzeltme = kesin deerx vi i= + i ix v = Hesapkolayliinkkdeerlerleallr.x iin 0x gibibiryaklakdeerseeriz.Bu durumda kesin deerdx x x + =0 olur ( dx : dengeleme bilinmeyeni) i ix v =i idx x v + = ) (0 ) (0x dx vi i = ) (0xi i = ' Fonksiyonel ModelStokastik Model i idx v ' = Arlklar -------------------------------- n ndx vdx vdx v' = ' =' =2 21 1 nppp 21 Burada n l says, u bilinmeyen says olmak zere, f = n-u = n1 tane zm vardr. Tek anlamlzmiin| | min = pvv art(arlklarfarklvekorelsyonsuzller)ilezm yaplr. | | | | | | | | ' ' + ' = p p dx p dx pvv 22 | | min = pvv olmas iin fonksiyonun dx bilinmeyenine gre birinci trevi sfra eitlenmelidir. | || | | | 0 2 2 = ' =cc p dx pxpvv

| | | | 0 = ' p dx p Normal denklem| || |

ppdx'= Dengeleme bilinmeyeninin kesin deeri dx x x + =0Kesin deer Denetim lemleri | | 0 = pvKontrol| | | | | | ' = p p dx pv dx i burada yerine koyarsak | || || || | | | 0 = ' '= p ppppv | | pvvKontrol i idx v ' =denklemi i iv pile arplrsa| | | | | | ' = pv pv dx pvv | | | | | | ' ' ' = ' p p dx pv| | | | | | | | ' ' + ' = p p dx pv dx pvv | | 0 = pvolduu iin | | | | | | ' ' ' = p dx p pvv| | | || || || | ' ' ' ' = pppp pvv| | | || || | ppp pvv2 ' ' ' = Duyarlk Hesaplar | |10 =npvvm Birim lnn ortalama hatas iipmm0 = Gzlemlerin ortalama hatas | |ixpmm0 = Kesin deerin (Genel aritmetik ortalama) ortalama hatas rnek:Nivelmanlleriilebirnoktannyksekliinibelirlemekiinbeayrnoktadan yksekliktanmtr.Noktannbeayrgekideneldeedilenykseklikleri i vegeki uzunluklar is aadaverilmitir.Yeninoktannkesinyksekliini,llerinvekesin yksekliinortalamahatalarnhesaplaynzvedenetimileriniyani| | 0 = pv ve| | pvvkontrollerini yapnz. No i (m) is (km) 1157.0483.1 2157.0522.0 3157.0556.1 4157.0495.3 5157.04210.2 040 . 1570 = xolarak seilsin | || |mm 1 . 107 . 127 . 128= ='=ppdx m 0501 . 157 mm 10.1 m .040 1570= + = + = dx x xKesin deer No 0xi i = ' (mm) ) (10km spii =' p ' ' p183.225.6204.8 2125.060720 3151.624360 491.917.1153,9 521.024 | | = ' 46.0| | = p 12.7| | = ' p 128.7| | = ' ' p 1442.7 No i idx v =(mm) p pv pvviipmm0 =12.13.26.714.13.3 2-1.95.0-9.518.12.6 3-4.91.6-7.838.44.7 41.11.92.12.34.3 58.11.08.165.65.9 | | = pv -0.4| | = pvv 138.5 | |mm 8 . 51 55 . 13810 = = =npvvm10 km geki uzunluklu birim lnn ortalama hatas| |mm 6 . 17 . 128 . 50 = = =pmmxKesin deerin ortalama hatas Kontroller| | 0 mm 4 . 0 ~ = pv| | | | | | 83 . 142 7 . 128 1 . 10 7 . 1442 = = ' ' ' = p dx p pvv| | | || || |5 . 1387 . 127 . 1287 . 14422 2= =' ' ' =ppp pvv rnek:Birkenarduyarl51 = m mm,32 = m mm,43 = m mmolan3aletle llmtr.Kenarnkesindeerini,llerinvekesindeerinortalamahatalarn hesaplaynz ve denetim ilerini yani| | 0 = pvve| | pvvkontrollerini yapnz.

No i (m) im ( mm) 12345.2215 22345.2223 32345.2254 220 . 23450 = xve50 = mmm olarak seilsin | || |mm 7 . 24 . 56 . 14= ='=ppdx

m 223 . 2345 mm 7 . 2 m 220 . 23450= + = + = dx x x Kesin deer No 0xi i = ' (mm) 220iimmp =' p ' ' p111.011 222.85.611.2 351.6840 | | = ' 8| | = p 5.4| | = ' p 14.6| | = ' ' p 52.2 No i idx v =(mm) p pv pvviipmm0 =11.71.01.72.92.5 20.72.82.01.41.5 3-2.21.6-3.57.72.0 | | = pv 0.2| | = pvv 12 | |mm 5 . 21 31210 = = =npvvmbirim lnn ortalama hatas| |mm 1 . 14 . 55 . 20 = = =pmmx Kesin deerin ortalama hatas Kontroller| | 0 mm 2 . 0 ~ = pv| | | | | | 8 . 12 6 . 14 7 . 2 2 . 52 = = ' ' ' = p dx p pvv| | | || || |7 . 124 . 56 . 142 . 522 2= =' ' ' =ppp pvv 9.3.Arlklar Farkl ve Korelsyonlu Dolaysz ller Dengelenmesi Duyarlklar(arlklar)vekorelasyonlarfarklnsaydagzlemyaplmolsunvex bilinmeyeni iin 0xyaklak deeri seilsin. dx x x + =0Kesin deer 0x Li i = telenmi gzlemler L dx e v = Dzeltme denklemleri Fonksiyonel model 1 = Q p Arlk matrisi Stokastik model Bu durumda dengelemenin ama fonksiyonu min1= =v Q v v p vT T ( ) ( ) ( ) ( ) L dx e p L dx e L dx e p L dx e v p vT T T T = = 2L p L dx e p L dx L p e dx e p e v p vT T T T T + = psimetrik bir matris olduu iin 22L p L dx L p e dx e p e v p vT T T T + =min = v p vT iindx e gre birinci trev sfra eitlenirse 0 2 2 = =ccL p e dx e p exv p vT TT 0 = L p e dx e p eT T Normal denklemler e p eL p edxTT =Dengeleme bilinmeyeninin kesin deeri (Genel aritmetik ortalama) Denetim lemleri 0 = v p eT Kontrol L dx e v =de her iki tarafp eT ile arplrsa L p e dx e p e v p eT T T =dx i burada yerine koyarsak 0= = L p ee p eL p ee p e v p eTTTT T v p vT Kontrol L dx e v =de her iki tarafp vT ile arplrsa L p v dx e p v v p vT T T =psimetrik bir matris olduu iin 0 = = v p e e p vT T v p L L p vT T =v p L v p vT T =L dx e v =de her iki tarafp LTile arplrsa L p L dx e p L v p LT T T + = L p e e p LT T =psimetrik bir matris olduu iin L p e dx L p L v p vT T T = dxyerine deeri yazlrsa e p eL p eL p L v p vTTT T 2) ( = Duyarlk Hesaplar10 =nv p vmTBirim lnn ortalama hatas iiipmm0 = Gzlemlerin ortalama hatas (iip , p nin kegen elemanlar) a Q a qTx= Ters arlk yaylma kural uygulanrsa 2) ( e p ee p Q p ee p ee pQe p ep eqTTT TTx = = deI Q p = birim matris e p eqT x1= Genel aritmetik ortalamann ters arl e p eqpTxx= =1Genel aritmetik ortalamann arl xxpmm0 = Kesin deerin ortalama hatas rnek:Birkenarduyarl51 = m mm,32 = m mm,43 = m mmolan3aletle3ay aralklallmtr.Farkllmednemlerindeyaplanllerarasndakikorelasyon katsays23 . 0 = r dir.nclortalamahata50 = m mmolduunagre,kenarnkesin deerini,llerinvekesindeerinortalamahatalarnhesaplaynzvedenetimileriniyani | | 0 = pvve| | pvvkontrollerini yapnz.

No i (m) im ( mm) 0x Li = (mm) 12345.22151 22345.22232 32345.22545 | | = ' 8 220 . 23450 = xolarak seilsin ve50 = mmm ((((

=((((

=22223 3 2 23 3 1 133 2 2322 2 1 123 1 13 2 1 12214 4 3 23 . 0 4 5 23 . 04 3 23 . 0 3 3 5 23 . 04 5 23 . 0 3 5 23 . 0 5m m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK

((((

=16 76 . 2 6 . 476 . 2 9 45 . 36 . 4 45 . 3 25K Q m K =20

20mKQ = ((((

=((((

=64 . 0 1104 . 0 1840 . 01104 . 0 36 . 0 1380 . 01840 . 0 1380 . 0 116 76 . 2 6 . 476 . 2 9 45 . 36 . 4 45 . 3 25512Q 1.0000 -1 -0.1380 0.1380 -0.1840 0.1840 0.3600 0.3410 -1 -0.1104 -0.1358 0.3982 0.6400 0.5521 -1 1/0.5521 = 1.81138113 . 1 0.3982 = 0.72138113 . 1 1840 . 0 7213 . 0 0.1380 = 0.43287213 . 0 3982 . 0 3410 . 0 / 1 3.2198 7213 . 0 1840 . 0 2198 . 3 0.1380 = 0.57714328 . 0 1840 . 0 5771 . 0 0.1380 0000 . 1 / 1 1.1593 + + = + + + = ((((

= =8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 11 Q p ((((

=8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 1p((((

=521L((((

=111e] 1 1 1 [ =Te ] 9657 . 2 5188 . 4 1693 . 2 [ = p eT= L p eT26.04= e p eT9.65 70 . 265 . 904 . 26= = =e p eL p edxTT mm m 223 . 2345 mm 7 . 2 m 220 . 23450= + = + = dx x x Kesin deer L dx e v =Dzeltmeler ((((

=((((

((((

=((((

3 . 27 . 07 . 152170 . 2111321vvv 0 = v p eT Kontrol ((((

=8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 1p((((

=3 . 27 . 07 . 1v] 1 1 1 [ =Te ] 9657 . 2 5188 . 4 1693 . 2 [ = p eT= v p eT0.0 v p vT Kontrol ((((

=8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 1p((((

=3 . 27 . 07 . 1v] 3 . 2 7 . 0 7 . 1 [ =Tv ] 9345 . 2 5620 . 1 3725 . 1 [ = p vT= v p vT10.18 v p L v p vT T = ((((

=8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 1p((((

=3 . 27 . 07 . 1v] 5 2 1 [ = TL ] 9326 . 10 6247 . 10 4778 . 4 [ = p LT= v p LT10.18 = = = = 27 . 70 39 . 8065 . 904 . 2639 . 80) (22e p eL p eL p L v p vTTT T 10.12 ((((

=8113 . 1 7213 . 0 4328 . 07213 . 0 2198 . 3 5771 . 04328 . 0 5771 . 0 1593 . 1p((((

=521L] 5 2 1 [ =TL ] 9326 . 10 6247 . 10 4778 . 4 [ = p LT= L p LT80.39 Dengeli ller No i (m) iv ( mm) i iv L + =

12345.2211.72345.223 22345.2220.72345.223 32345.225-2.32345.223 Duyarlk Hesaplar26 . 21 318 . 1010 = = =nv p vmT mmBirim lnn ortalama hatas iiipmm0 = Gzlemlerin ortalama hatas (iip , p nin kegen elemanlar) 09 . 21593 . 126 . 21= = mmm 26 . 12202 . 326 . 22= = mmm 68 . 18114 . 126 . 21= = mmm xxpmm0 = Kesin deerin ortalama hatas 73 . 065 . 926 . 2 = =xmmm 10.Dolayl (Endirek) ller Dengelenmesi Haritaclkuygulamalarnaaitdengelemehesaplarndabilinmeyenlergenelliklenokta koordinatlardr.Noktakoordinatlarnnbelirlenebilmesiiindorultu,a,ykseklikfark, uzunluk,faz,kod,zamangibibyklklerllrveonlarnfonksiyonlaryardmyla koordinatlarbelirlenir.Yanibilinmeyenlergeneldedorudanllmeyiponlarn fonksiyonlar olan dier byklkler gzlenir. 10.1.Arlklar Eit Dolayl ller Dengelenmesi Bilinmeyenlerin Seimi Bilinmeyen : rBilinmeyen : 1 , 2Bilinmeyen : 1 Bilinmeyen : 1 , 2, 3 Bilinmeyen : r , hBilinmeyen : 1 , 2 Dengelemehesabnagemedenncebilinmeyenlerinseimioknemlidir.Birekiliin bilinmeyenler,eklinizimiiingerekliolanenazparametresayskadardr.Birdaireyi izebilmek iin gerekli tek eleman onun yarapdr. eitkenar bir dik geni izebilmek iin ikidikkenarnbilinmesigerekir.Ekenarbirdikgeniinisebirdikkenarnbilinmesi yeterlidir.Birsilindirinizilebilmesiiintabanalannaaityarapvesilindirykseklii gereklidir.Birdikdrtgeninizilebilmesiiinikikenarnnbilinmesiyeterlidir.Bilinmesi gerekenparametredendahafazlasaydalvarsadengelemehesabdolaylller dengelemesiileyaplabilir.Herliinbirdzeltmedenklemiyazlrvebilinmeyenler zlr. Bir dengeleme probleminde ; r 1 2 1 r h 1 2 3 1 2 n = l says u = bilinmeyen says (tek anlaml zm iin gerekli l says) f = n-u fazla l says (serbestlik derecesi) n > u ya da f> 0 ise fazla l vardr. ller dengelenerek kesin deerler bulunur n = u ya da f= 0 ise tek anlaml zm denklem zm ile elde edilir n < u ya da f< 0 ise tek anlaml zm iin yeterli l yoktur. Varsaymlara dayalzm yaplabilir. Dzeltme Denklemlerinin Kurulmas ve Dorusallatrlmas l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu ) ,..., , , ( u z y x v Li i i = + n i ..., 3, , 2 , 1 = n: l says, u: bilinmeyen says Birdzlemkenariin ijs ller, ijv llereaitdzeltmelerve 2 2) ( ) (i j i jx x y y + bilinmeyenlerin fonksiyonudur. 2 2) ( ) (i j i j ij ijx x y y v s + = + Bilinmeyenlerinhesaplanmasndakullanlanfonksiyonlar(denklemler)bazendorusal olmayabilir.BunlarTAYLORagreseriyealryanidorusallatrlrveikincidereceve dahayksekdereceterimlergzardedilir.Dorusallatrmaiinbilinmeyenlerinyaklak deerleri kullanlr. Bilinmeyenlerin kesin deeri = Bilinmeyenlerin yaklak deeri + Dengeleme bilinmeyenleri du u udy y ydx x x+ = + =+ =000 (((((

uyx = (((((

000uyx + (((((

dudydx ijsip jp Fonksiyonlarnherbilinmeyenegreksmitrevialnrveburadabilinmeyenlerinyaklak deerleri yerine konulur. ) ,..., , , (0 0 0 0du u dz z dy y dx x v Li i i+ + + + = + + |.|

\|cc+||.|

\|cc+ |.|

\|cc+ + + = + dzzdyydxxu z y x v Liiicibiaii i i 0000 0 0 0) ,..., ( i i iL u z y x + + = 0 0 0 0,..., ( = ihesaplanan llen i i i i idz c dy b dx a v + + + = Dorusallatrlm dzeltme denklemi jjjjiiiioi joi j ij ijdyysdxxsdyysdxxsx x y y v s ||.|

\|cc+ ||.|

\|cc+ ||.|

\|cc+ ||.|

\|cc+ + = +0 00 02 0 2 0) ( ) (002 0 2 000) () ( ) ( 2) 1 ( ) ( 2ijoi joi joi joi jiijsx xx x y yx xxsa = + =||.|

\|cc=002 0 2 000) () ( ) ( 2) 1 ( ) ( 2ijoi joi joi joi jiijsy yx x y yy yysb = + =||.|

\|cc=002 0 2 000) () ( ) ( 2) ( 2ijoi joi joi joi jjijsx xx x y yx xxsa= + =||.|

\|cc= 002 0 2 000) () ( ) ( 2) ( 2ijoi joi joi joi jjijsy yx x y yy yysb= + =||.|

\|cc= 2 0 2 0 0) ( ) (oi joi j ijx x y y s + =: Hesaplanan kenar (yaklak deerlerden) ijs: llen kenar 0ij ij ijs s = = Hesaplanan kenar - llen Kenar ij j ij j ij i ij i ij sdy b dx a dy b dx a vij + = Dorusallatrlm dzeltme denklemi Normal Denklemlerinin Kurulmas Dengelemeproblemindelsayskadardzeltmedenklemiyazlr.n:lsaysolmak zere dorusallatrlm dzeltme denklemleri, n n n n ndz c dy b dx a vdz c dy b dx a vdz c dy b dx a v + + + = + + + = + + + =2 2 2 2 21 1 1 1 1Fonksiyonel model Matrisformatndafoksiyonelvestokastikmodel(arlklareit12 1= = = =np p p ) aadaki gibi yazlabilir. = x A vFonksiyonel ModelStokastik Model (((((

(((((

(((((

=(((((

n n n n ndudydxc b ac b ac b avvv212 2 21 1 121 (((((

=1 0 00 1 00 0 1p Arlklar eit olduu iin ama fonksiyonu| | min = vv olur. min ) ( ) ( = = x A x A v vT T ) ( ) ( = x A A x v vT T T T + =T T T T T T Tx A A x x A A x v vx A A xT T T = olduundan (skaler bir deer) + =T T T T Tx A x A A x v v 2min = v vTdeeri iinxvektrne gre trev sfra eitlenmelidir. ( )T T T TTA A A xxv v0 2 2 = =cc Bu eitlik 2ye blnr ve transpozesi yazlrsa, 0 = T TA x A A0 = n x N (((((

=n n nc b ac b ac b aA2 2 21 1 1 (((((

=nnnTc c cb b ba a aA2 12 12 1 | | | | | || | | | | || | | | | |(((((

= =cc bc acbc bb abac ab aaA A NT | |n na a a a a a aa + + + =2 2 1 1| |n nb b b b b b bb + + + =2 2 1 1 | |n nb a b a b a ab + + + =2 2 1 1 | |n nc b c b c b bc + + + =2 2 1 1 | |n nc a c a c a ac + + + =2 2 1 1| |n nc c c c c c cc + + + =2 2 1 1 (((((

=n21 (((((

=nnnTc c cb b ba a aA2 12 12 1 | || || |(((((

= =cbaA nT | |n na a a a + + + =2 2 1 1 | |n nb b b b + + + =2 2 1 1 | |n nc c c c + + + =2 2 1 1 0 = n x N| | | | | || | | | | || | | | | || || || |0 =(((((

(((((

(((((

cbadzdydxcc bc acbc bb abac ab aaMatris formatnda Normal denklemler Normal Denklem Katsaylar matrisiA A NT=Bilinmeyenler VektrxSabit terimlerTA n = -Normal denklemler simetriktir. -Denklem says bilinmeyen says kadardr. -Kareli katsaylar| | aa ,| | bb ,| | ccher zaman + dr. -Simetrik katsaylar| | ab ,| | acbazen +, bazen de olabilirler. Normal Denklem Katsaylarnn Denetimi = x A vdzeltmedenklemindekiAkatsaylarmatrisininstunlarile vektrnn toplamsvektrn olutursun; = b A s(((((

=111b (((((

(((((

(((((

=(((((

n n n n nc b ac b ac b asss212 2 21 1 121111 i i i i ic b a s + + + = n i ..., 3, , 2 , 1 = n n n n nc b a sc b a sc b a s + + + = + + + = + + + =2 2 2 2 21 1 1 1 1 = b A seitlii soldan TAile arplrsa; =T T TA b A A s A(((((

(((((

(((((

(((((

(((((

=(((((

(((((

nnnnn n nnnnnnnnc c cb b ba a ac b ac b ac b ac c cb b ba a asssc c cb b ba a a212 12 12 12 2 21 1 12 12 12 1212 12 12 1111 n b N s AT =| || || || | | | | || | | | | || | | | | || || || |(((((

(((((

(((((

=(((((

cbacc bc acbc bb abac ab aacsbsas111 | | | | | | | | | | a ac ab aa as + + + = | | | | | | | | | | b bc bb ba bs + + + = | | | | | | | | | | c cc cb ca cs + + + = Normal Denklemlerin zm ve Bilinmeyenlerin Hesab 0 = T TA x A A 0 = n x N soldan 1 Nile arplrsa 01 1= n N x N N I N N = 1 birim matris ( ) ( ) = =(((((

= T TA A A n Ndzdydxx11bilinmeyenler zlm olur. Bilinmeyenlerin Kesin Deeri Bilinmeyenlerinyaklakdeerlerinenormaldenklemlerinzmndeneldeedilen dengeleme bilinmeyenleri eklenerek bilinmeyenlerin kesin deerleri elde edilmi olur. Bilinmeyenlerin kesin deeri = Bilinmeyenlerin yaklak deeri + Dengeleme bilinmeyenleri du u udy y ydx x x+ = + =+ =000 (((((

uyx = (((((

000uyx + (((((

dudydx Dzeltmelerin Hesab Eldeedilendu dz dy dx , , , , dengelemebilinmeyenleri,dzeltmedenklemeitliklerinde yerine konarak dzeltmelerin saysal deerleri elde edilir. = x A v(((((

(((((

(((((

=(((((

n n n n ndudydxc b ac b ac b avvv212 2 21 1 121 Dzeltmelerin Denetimi = x A vdzeltme denklemi soldan TAile arplrsa; =T T TA x A A v An x N v AT =0 = n x N normal denklemler sfra eit olduundan | || || |0 =(((((

=cvbvavv AT = x A vdzeltme denklemi soldan Tvile arplrsa; | | | | | |(((((

(((((

(((((

=(((((

n n n n nv v vdudydxc b ac b ac b av v vvvvv v v213 2 12 2 21 1 13 2 1213 2 1 | | | | | | | | | | v dz cv dy bv dx av vv + + + = | | 0 = av ,| | 0 = bv ,| | 0 = cv olduundan | | | | v vv = = x A vdzeltme denklemi soldan T ile arplrsa; | | | | | |(((((

+(((((

(((((

=(((((

n n n n ndudydxc b ac b ac b avvv 213 2 12 2 21 1 13 2 1213 2 1 | | | | | | | | | | + = dz c dy b dx a v | | | | v vv =den | | | | | | | | | | dz c dy b dx a vv = | | x n vvT T = Dengeli ller Dzeltmeler llere eklenerek dengeli ller hesaplanr. i i iv + = (((((

+(((((

=((((((

n nnvvv212121 Budeerlerdorusalolmalargerekmeyenilkdzeltmedenklemlerindeyerinekonarak aadakiartsaladklardenetlenir.Builemdengelemeilemlerinintmnnhesap hatalarndan arndrlm olduunu gsterir. ) ,..., , , (0 0 0 0du u dz z dy y dx x v Li i i+ + + + = + Duyarlk Hesaplar Karesel Ortalama Hata | |u nvvm =0 f = n-u fazla l says (serbestlik derecesi) n: l says u: bilinmeyen says Duyarlklar eit gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas) Ortalama hata Karesel ortalama hata (KOH) Arl1 = polan lnn ortalama hatas Birim arlkl lnn standart sapmas RMS (Root Mean Square) Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ( ) =T TA A A x1x e ters arlklarn yaylma kural uygulanrsa ( ) { } d A A A dxT T =1 ( ) { } ( ) { }TT T T TxxA A A Q A A A Q = 1 1 ( ) ( )1 1 = A A A Q A A A QT T Txx 1 =Q p = p birim matris olduundan Qde birim matristir. ( ) ( )1 1 = A A A A A A QT T Txx ( ) A A A A ET T =1 arpm birim matristir ( )1 = A A QTxx (((((

=zz yz xzyz yy xyxz xy xxxxq q qq q qq q qQ Bilinmeyenlerin ters arlk matrisi zz zyy yxx xq m mq m mq m m000 = = =Bilinmeyenlerin ortalama hatalar llerin Ortalama Hatas (((((

=(((((

=1 0 00 1 00 0 133 23 1323 22 1213 12 11p p pp p pp p pp Q m K =20 20mKQ=1 = Q pQ m mi =0 220iimmp = arlk tanmndan ipmmi0 = Dengeli llerin Ortalama Hatas i i iv + = i ix A v = denklemde yerine konursa i i ix A + = x Ai = dx A di = TxxA Q A Q = Dengeli llerin kovaryans matrisi i i iQ m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar Dzeltmelerin Ortalama Hatas i ix A v =iTxxA Q x =deerini yerine koyarsak i iTxxiA Q A v =iTxxiI A Q A v = ) (iTxxid I A Q A v d = ) (T TxxTxx vvI A Q A Q I A Q A Q ) ( ) ( = ) ( ) (T T TxxTxx vvI A Q A Q I A Q A Q = Txx xxQ Q = simetrik T TxxT T TxxTxxTxx vvI Q I A Q A Q I I Q A Q A A Q A Q A Q A Q + = Q birim matris Q A Q A A Q A A Q A A Q A QTxxTxxTxxTxx vv+ =I Q A AxxT= birim matris Q A Q A A Q A A Q A QTxxTxxTxx vv+ =Txx vvA Q A Q Q = TxxA Q A Q = olduundan Q Q Qvv =Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv =Dzeltmelerin kovaryans matrisi i ii v vvQ m m =0Dzeltmelerin ortalama hatalar Not: vvQmatrisi kaba hatal ya da uyuumsuz llerin aratrlmasnda kullanlr. rnek:ekliverilendikgenbiimindekibirparselinkenaruzunluklarelikeritle llmtr. Duyarlklar eit olan bu lleri dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. =18.250 m =27.650 m =311.237 m Bilinmeyenlerin seimiDikgeninbelirlenebilmesiiinenazikielemannnbilinmesigerekir.Bunedenleikidik kenar (x, y) bilinmeyen olarak seilir ve dier kenar bu bilinmeyenler cinsinden elde edilir. Dengeleme kararnn verilmesil says n = 3 Bilinmeyen says u = 2 Serbestlik derecesi = fazla l says = f = n u = 1 > 0 dengeleme var. Yaklak deer seimi: x ve y iin yaklak deerler seilir.dx x x + =0=0x8.250 m dy y y + =0=0y7.650 m

Stokastik model Arlklar eit12 1= = = =np p p ((((

=1 0 00 1 00 0 1p DzeltmeDenklemlerininkurulmasvedorusallatrlmasHerliinbirdzeltme denklemi yazlr.x v = +1 1y v = +2 22 23 3y x v + = + Birinciveikincidzeltmedenklemleridorusaldr.ncdzeltmedenklemidorusal deildir.BudenklemTaylorserisinealrvedorusallatrlr.Denkleminxveygre trevleri alnr.3 2 1 xydyydxxy x v ||.|

\|cc+ |.|

\|cc+ + = +0303 2020 3 3 7332 . 0222020003=+ = |.|

\|cc=y xxxa 6799 . 0222020003=+ = |.|

\|cc=y xyxb251 . 112020= + y xdyy xydxy xxy x v ++ ++ + = +2020020200 2020 3 3 ekil iin yazlan denklemler dx x v + = +0 1 1dy y v + = +0 2 2dyy xydxy xxy x v ++ ++ + = +2020020200 2020 3 3 Yukardaki denklemler dzenlenirse1 0 1 + = x dx v2 0 2 + = y dy v3202020200202003 + + ++ += y x dyy xydxy xxv Deerleri denklemlerde yerine koyarsak (birim mm alnmtr) dx v =1 dy v =2 14 6799 . 0 7332 . 03+ + = dy dx v Burada ij ij ijs s = 0= Hesaplanan kenar - llen Kenar olduunu gzden karmamak gerekir. Matris formatnda dzeltme denklemleri ( = x A v ) ((((

((

((((

=((((

14006799 . 0 7332 . 01 00 1321dydxvvv Normal Denklemlerinin kurulmas ve zm ((((

=6799 . 0 7332 . 01 00 1A((((

=1400((

=6799 . 0 1 07332 . 0 0 1TA((

= =4623 . 1 4986 . 04986 . 0 5377 . 1A A NT ((

= =52 . 927 . 10TA n 1.5377 -1 0.4986 -0.3242 ((

= =7688 . 0 2493 . 02493 . 0 7312 . 01N Qxx 1.4623 1.3007 -1 1/1.3007= 0.76887688 . 0 0,3242 - = 0.2493 --0.2493) ( (-0.3242) + 1.5377 1/ = 0.7312 ((

= =52 . 927 . 10TA n((

= =7688 . 0 2493 . 02493 . 0 7312 . 01N Qxx ((

=((

=8 . 41 . 5dydxxbirim mm Bilinmeyenlerin Kesin Deeri ((

+((

=((

dydxyxyx00 ((

+((

=((

8 . 41 . 5650 . 7250 . 8yx ((

=((

645 . 7245 . 8yx Dzeltmelerin Hesab ((

=8 . 41 . 5x ((((

=6799 . 0 7332 . 01 00 1A((((

((((

140078 . 41 . 5 x A ((((

= =78 . 41 . 5 x A v Dzeltmelerin Denetimi ((((

=78 . 41 . 5v((

=6799 . 0 1 07332 . 0 0 1TA((

=00 . 000 . 0v AT

((((

=78 . 41 . 5v| | 7 8 . 4 1 . 5 =Tv | | 98 = v vT ((((

=78 . 41 . 5v| | 14 0 0 = T | | 98 = vT ((((

=1400 ((

=8 . 41 . 5x| | 14 0 0 =T | | 196 = T| | 52 . 9 27 . 10 =Tn | | 98 = x nT | | 98 = = x n vvT T Dengeli ller i i iv + = ((((

+((((

=((((

321321321vvv ((((

+((((

=((((

0 . 78 . 41 . 5273 . 11650 . 7250 . 8321 ((((

=((((

244 . 11645 . 7245 . 8321 Kontrol((((

+=((((

+((((

=((((

2 2321321321y xyxvvv ((((

=((((

244 . 11645 . 7245 . 8244 . 11645 . 7245 . 8 Karesel Ortalama Hata | |9 . 92 3980 = = =u nvvmmm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ((

= =7688 . 0 2493 . 02493 . 0 7312 . 01N QxxBilinmeyenlerin ters arlk matrisi 5 . 8 7312 . 0 9 . 90 = = =xx xq m mmmBilinmeyenlerin ortalama hatalar 7 . 8 7688 . 0 9 . 90 = = =yy yq m mmm llerin Ortalama Hatas ((((

=1 0 00 1 00 0 1pipmmi0 = 9 . 919 . 9101 = = =pmm mm 9 . 919 . 9202 = = =pmm mm 9 . 919 . 9303 = = =pmm mm Dengeli llerin Ortalama Hatas TxxA Q A Q = Dengeli llerin kovaryans matrisi ((

=7688 . 0 2493 . 02493 . 0 7312 . 0xxQ((

=6799 . 0 1 07332 . 0 0 1TA((((

=6799 . 0 7332 . 01 00 1A((((

3400 . 0 3666 . 07688 . 0 2493 . 02493 . 0 7312 . 0 xxQ A((((

5000 . 0 3400 . 0 3666 . 03400 . 0 7688 . 0 2493 . 03666 . 0 2493 . 0 7312 . 0 TxxA Q A i i iQ m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar 5 . 8 7312 . 0 9 . 91 1 1 0 = = = Q m mmm 7 . 8 7688 . 0 9 . 92 2 2 0 = = = Q m mmm 0 . 7 5000 . 0 9 . 93 3 3 0 = = = Q m mmm Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv =Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = ((((

=((((

((((

=5000 . 0 3400 . 0 3666 . 03400 . 0 2312 . 0 2493 . 03666 . 0 2493 . 0 2688 . 05000 . 0 3400 . 0 3666 . 03400 . 0 7688 . 0 2493 . 03666 . 0 2493 . 0 7312 . 01 0 00 1 00 0 1vvQ i ii v vvQ m m =0Dzeltmelerin ortalama hatalar 1 . 5 2688 . 0 9 . 91 110 = = =v vvQ m mmm 8 . 4 2312 . 0 9 . 92 220 = = =v vvQ m mmm 0 . 7 5000 . 0 9 . 93 330 = = =v vvQ m mmm rnek:ekliverilendikyamukbiimindekibirparselinkenaruzunluklarelikeritle llmtr.Duyarlklareitolanbulleridolaylllerynteminegre dengeleyebilmek iin Fonksiyonel ve Stokastik modeli kurunuz. =120.00 m =215.00 =340.00 =425.04 =542.80 =625.05 Bilinmeyenlerin seimiDikyamuunbelirlenebilmesiiinenazelemannnbilinmesigerekir.Bunedenle kenar (x, y,z) bilinmeyen olarak seilir ve dier kenar bu bilinmeyenler cinsinden elde edilir. Dengeleme kararnn verilmesil says n = 6 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik derecesi = fazla l says = f = n u = 3 > 0 dengeleme var. Yaklak deer seimi: x ve y iin yaklak deerler seilir.dx x x + =0=0x20.00m dy y y + =0=0y15.00m dz z z + =0=0z40.00 m DzeltmeDenklemlerininkurulmasvedorusallatrlmasHerliinbirdzeltme denklemi yazlr.x v = +1 1y v = +2 2z v = +3 32 24 4) ( x z y v + = + 2 25 5z y v + = + 2 26 6y x v + = + 123456x y z Birinci,ikincivencdzeltmedenklemleridorusaldr.Drdnc,beincivealtnc dzeltmedenklemleridorusaldeildir.BudenklemlerTaylorserisinealrve dorusallatrlr. Denklemin x, y ve zgre trevleri alnr. ekil iin yazlan denklemler dx x v + = +0 1 1dy y v + = +0 2 2dz z v + = +0 3 3dzx z yx zdyx z yydxx z yx zx z y v20 0200 020 020020 0200 0 20 020 4 4) ( ) ( ) () ( + + ++ + + = + dzz yzdyz yyz y v2020020200 2020 5 5++++ + = + dyy xydxy xxy x v2020020200 2020 6 6++++ + = + Yukardaki denklemler dzenlenirse1 0 1 + = x dx v2 0 2 + = y dy v3 0 3 + = z dz v420 02020 0200 020 020020 0200 04) () ( ) ( ) ( + + + + ++ + = x z y dzx z yx zdyx z yydxx z yx zv 5202020200202005 + ++++= z y dzz yzdyz yyv 6202020200202006 + ++++= y x dyy xydxy xxv Deerleri denklemlerde yerine koyarsak (birim cm alnmtr) dx v =1 dy v =2 dz v =3 4 8 . 0 6 . 0 8 . 04 + + = dz dy dx v 8 9363 . 0 3511 . 05 + = dz dy v5 6 . 0 8 . 06 + = dy dx v Burada ij ij ijs s = 0= Hesaplanan kenar - llen Kenar olduunu gzden karmamak gerekir. Matris formatnda dzeltme denklemleri ( = x A v ) Fonksiyonel Model = x A v(((((((((

((((

(((((((((

=(((((((((

5840000 6000 . 0 8000 . 09363 . 0 3511 . 0 08000 . 0 6000 . 0 8000 . 01 0 00 1 00 0 1654321dzdydxvvvvvv Stokastik model Arlklar eit12 1= = = =np p p ((((