denge ii temel bayrak

DENGELEME HESABI-II

DERS NOTLARI

Jeodezik Ağların Dengelenmesi

Doç. Dr. Temel BAYRAK

2011 - GÜMÜŞHANE

ÖNSÖZ

Dengeleme Hesabı-II ders notu niteliğindeki bu kitap Harita Mühendisliği Bölümü

öğrencilerinin kaynak ihtiyacını gidermek üzere hazırlanmıştır. Bu kitabın öğrenciler için bir

ders aracı olması ana amaç olarak benimsenmiştir. Konular kendiliğinden öğrenmeye uygun

bir biçimde ele alınmış ve kitapta yeterli sayıda uygulama verilmeye çalışılmıştır.

Kitabın yararlı olmasını temenni ederim.

Doç. Dr. Temel BAYRAK

Gümüşhane 2011

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ

3. DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN

İNDİRGENMESİ

4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ

5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ

6. DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ

7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ

8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ

8.1. DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME

8.2. YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME

9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ

10. GPS NİVELMANI

11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ

12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ

13. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ

1. GİRİŞ

2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ

xAv Matris formatında Fonksiyonel Model

nnnnn du

dydx

cba

cbacba

v

vv

2

1

222

111

2

1

n ölçü sayısı, im gözlemlerin duyarlıkları ve ji

ijij mm

mr

korelasyon katsayısı olmak üzere

korelasyonlu ve duyarlıkları (ağırlıkları) farklı olan ölçüler için genel bir Varyans-Kovaryans

matrisi aşağıdaki gibi kurulabilir.

2321

3232313

2232212

1131221

nnnn

n

n

n

mmmm

mmmmmmmmmmmm

K jiijij mmrm

2332211

332332233113

223223222112

113113211221

nnnnnnn

nn

nn

nn

mmmrmmrmmr

mmrmmmrmmrmmrmmrmmmrmmrmmrmmrm

K

Ölçülerin

Q ters ağırlık matrisi ( 2

0s : öncül varyans olmak üzere)

QsK 20 2

0sKQ

2321

3232313

2232212

1131221

20

321

3333231

2232221

1131211

1

nnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

n

mmmm

mmmmmmmmmmmm

s

qqqq

qqqqqqqqqqqq

Q

Ölçülerin ağırlık matrisi 1

Qp (Stokastik Model)

nnnnn

n

n

n

pppp

pppppppppppp

Qp

321

3333231

2232221

1131211

1

Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu

min 1 vpvvQv TT

0

n

T

N

T pAxApA Matris formatında Normal denklemler

Normal Denklem Katsayılar matrisi ApAN T

Bilinmeyenler Vektörü x

Sabit terimler pAn T

Normal denklemler simetriktir.

Denklem sayısı bilinmeyen sayısı kadardır.

Normal Denklemlerin Çözümü ve Bilinmeyenlerin Hesabı

pAApAnNx TT 11 bilinmeyenler çözülmüş olur.

Bilinmeyenlerin Kesin Değeri

Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine normal denklemlerin çözümünden elde edilen

dengeleme bilinmeyenleri eklenerek bilinmeyenlerin kesin değerleri elde edilmiş olur.

Bilinmeyenlerin kesin değeri = Bilinmeyenlerin yaklaşık değeri + Dengeleme bilinmeyenleri

duuu

dyyydxxx

0

0

0

u

yx

=

0

0

0

u

yx

+

du

dydx

Düzeltmelerin Hesabı

Elde edilen dudzdydx ,,,, dengeleme bilinmeyenleri, düzeltme denklem eşitliklerinde

yerine konarak düzeltmelerin sayısal değerleri elde edilir.

xAv

nnnnn du

dydx

cba

cbacba

v

vv

2

1

222

111

2

1

Düzeltmelerin Denetimi

0vpAT

vpvpv TT

xnpvpv TTT

Dengeli ölçüler

Düzeltmeler ölçülere eklenerek dengeli ölçüler hesaplanır. Bu değerler doğrusal olmaları

gerekmeyen ilk düzeltme denklemlerinde yerine konarak aşağıdaki şartı sağladıkları

denetlenir. Bu işlem dengeleme işlemlerinin tümünün hesap hatalarından arındırılmış

olduğunu gösterir.

iii v

nnn v

vv

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

),...,,,( 0000 duudzzdyydxxvL iii

Karesel Ortalama Hata

unvpv

mT

0

f = n-u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi)

n: ölçü sayısı

u: bilinmeyen sayısı

Karesel ortalama hata (KOH)

Duyarlıkları farklı gözlemlerin ortalama hatası (standart sapması)

Ortalama hata

Ağırlığı 1p olan ölçünün ortalama hatası

Birim ağırlıklı ölçünün standart sapması

RMS (Root Mean Square)

Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

T

xx qqqqqqqqq

ApAQ1 Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi

Bilinmeyenlerin ortalama hataları

xxx qmm 0 yyy qmm 0 zzz qmm 0

Ölçülerin Ortalama Hatası

Ölçülerin ters ağırlık matrisinden

nnnnn

n

n

n

qqqq

qqqqqqqqqqqq

Q

321

3333231

2232221

1131211

iiiQmm

0

Ölçülerin ağırlık matrisinden 1

Qp

332313

232212

131211

ppppppppp

p

iip

mmi

0

Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası

T

xxAQAQ

ˆˆ Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi

iiiQmm

ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları

Düzeltmelerin Ortalama Hatası

ˆˆQQQvv

Düzeltmelerin kovaryans matrisi

ˆˆ1 QpQ

vv Düzeltmelerin kovaryans matrisi

iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları

Not: vv

Q matrisi kaba hatalı ya da uyuşumsuz ölçülerin araştırılmasında kullanılır.

Örnek: Aşağıda matris formatında bir fonksiyonel model verilmiştir. Bu modele ait

Stokastik model için veriler tabloda verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata 6.1 0 s mm

olduğuna göre, duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı ölçüler yöntemine göre

dengeleyiniz.

99.526.358.1

2232.09747.01398.09902.09979.00639.0

3

2

1

dydx

vvv

Dengeleme kararının verilmesi

Ölçü sayısı n = 3

Bilinmeyen sayısı u = 2

Serbestlik derecesi = fazla ölçü sayısı = f = n – u = 1 > 0 dengeleme var.

Stokastik model Ağırlıklar farklı ve korelasyon var

2332233113

3223222112

3113211221

mmmrmmrmmrmmmrmmrmmrm

K

2

2

2

90.090.069.08.090.094.08.090.069.08.069.069.094.08.090.094.08.069.094.08.094.0

K

8100.04968.06768.04968.04761.05189.06768.05189.08836.0

K

QsK 20 2

0mKQ

1m ± 0.94 mm ijr 0.8

2m ± 0.69 mm

3m ± 0.90 mm

8100.04968.06768.04968.04761.05189.06768.05189.08836.0

6.11

2Q

3164.01941.02644.01941.01860.02027.02644.02027.03452.0

Q

ja1 ja2 ja3 je1 je2 je3

0.3452 0.2027 0.2644 1 0 0

-1 -0.5872 -0.7659 -2.8969 0 0

0.1860 0.1941 0 1 0

0.0670 0.0388 -0.5872 1 0

-1 -0.5800 8.7673 -14.9309 0

0.3164 0 0 1

0.0914 -0.4254 -0.5800 1

-1 4.5660 6.3487 -10.9460

-10.0255 6.0669 4.6560

p -18.6130 6.3487

-10.9460

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

1

Qp

Normal Denklemlerinin kurulması ve çözümü

p

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

2232.01398.09979.09747.09902.00639.0

TA

3171.10771.108177.92408.172240.248343.0

pAT

A

2232.09747.01398.09902.09979.00639.0

99.526.358.1

3171.10771.108177.92408.172240.248343.0

pAT

9118.100672.80672.87380.40

ApAN T

4737.405611.183

pAn T

ja1 ja2 je1 je2

40.7380 8.0672 1 0

-1 -0.1980 -0.0245 0

10.9118 0 1

9.3143 -0.1980 1

-1 0.0213 -0.1074

-0.0288 0.0213

xx

Q -0.1074

4737.405611.183

pAn T

1074.00213.00213.00288.01NQ

xx

44.042.4

dydx

x mm

Bilinmeyenlerin Kesin Değeri

dydx

yx

yx

0

0

Düzeltmelerin Hesabı xAv

44.042.4

x

2232.09747.01398.09902.09979.00639.0

A

99.526.358.1

41.444.416.0

xA

58.118.142.1

xAv

Düzeltmelerin Denetimi

p

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

v

58.118.142.1

2232.01398.09979.09747.09902.00639.0

TA

00.000.0

pvAT

p

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

v

58.118.142.1

58.118.142.1 Tv 57.8vpvT

vpvpv TT p

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

v

58.118.142.1

99.526.358.1 T 57.8 pvT

xnpvpv TTT p

9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

99.526.358.1

99.526.358.1 T pT

44.042.4

x

4737.405611.183Tn xnT

Dengeli ölçüler

iii v

3

2

1

3

2

1

3

2

1

ˆˆˆ

vvv


93.223

57.80

unvpv

mT

mm


1074.00213.00213.00288.01NQ

xx Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi

50.00288.093.20 xxx qmm mm Bilinmeyenlerin ortalama hataları

96.01074.093.20 yyy qmm mm


9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10

p ip

mmi

0

28.90255.1093.2

1

01

p

mm mm

64.126130.1893.2

2

02

p

mm mm

69.99460.1093.2

3

03

p

mm mm


T

xxAQAQ

ˆˆ Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi

1 NQxx

1074.00213.00213.00288.0

TA

2232.01398.09979.09747.09902.00639.0

2232.09747.01398.09902.09979.00639.0

A

0234.00235.00017.00235.00244.00077.00017.00077.01097.0

T

xxAQAQ

ˆˆ

iiiQmm


97.01097.093.2111 ˆˆ0ˆ

Qmm mm

46.00244.093.2222 ˆˆ0ˆ

Qmm mm

45.00234.093.2333 ˆˆ0ˆ

Qmm mm


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

0234.00235.00017.00235.00244.00077.00017.00077.01097.0

3164.01941.02644.01941.01860.02027.02644.02027.03452.0

vvQ

2930.02176.02626.02176.01616.01950.02626.01950.02354.0

vvQ


42.12354.093.2111 0

vvv Qmm mm

18.11616.093.2222 0

vvv Qmm mm

58.12930.093.2333 0

vvv Qmm mm

3. DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN İNDİRGENMESİ

Bir denklem sistemindeki denklemlerin boyutları büyüdükçe, denklemlerin kurulması ve

çözümü için harcanacak zaman denklem boyutlarının küpü ile orantılı olarak artar. Bu

nedenle normal denklemler çözülmeden önce bilinmeyenlerden bir tanesinin bile yok edilmesi

hatırı sayılır bir zaman kazancı sağlar. Bilinmeyenlerin yok edilmesi için çok farklı yöntemler

mevcuttur. Haritacılık uygulamalarında en yaygın olanı Gauss Toplam Denklem Yöntemidir.

Bu yöntemde şart, düzeltme denklemlerinde yok edilecek bilinmeyenin katsayısı bütün

düzeltme denklemlerinde aynı olmalıdır. Doğrultu ağlarında yok edilmek istenen yöneltme

bilinmeyenlerinin katsayıları eşittir. Ayrıca doğrultu ağlarında genellikle her doğrultu için

ağırlıklar eşit olarak alınır. Ağırlıkları eşit düzeltme denklemleri aşağıdaki gibi olsun. Burada

z bilinmeyeni yok edelim.

1111 czybxav

2222 czybxav

nnnn czybxav

0 zcnybxav Her iki tarafı n ye bölelim. Burada n sistemdeki

denklem sayısıdır.

0

n

zn

cnynbx

na

Bu denklemin katsayılarını düzeltme denklemlerinde yerine yazalım.

nzccy

nbbx

naav

1111

nzccy

nbbx

naav

2222

nzccy

nbbx

naav nnnn

z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri

'1

'1

'11 ybxav

'2

'2

'22 ybxav

'''nnnn ybxav

Bu yeni denklem sisteminde aşağıdaki kontroller sağlanmalıdır.

0' a 0' b 0'

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki z bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yöntemiyle

yok ediniz ve yeni denklem sistemini xAv matris gösterimi şeklinde yazınız.

121 zyxv

22 zyxv

23 zyxv

3234 zyxv

0 zcnybxav

Burada 4n ve 1c ( z bilinmeyeninin katsayısı)

02437 zyx

Yukarıdaki denklemi 4 n e bölelim.

042

44

43

47

zyx

021

43

47

zyx

05.075.075.1 zyx

5.011175.0175.121 zyxv

5.021175.0175.112 zyxv

5.021175.0175.113 zyxv

5.031175.0275.134 zyxv


5.125.025.01 yxv

5.125.075.02 yxv

5.275.175.03 yxv

5.225.125.14 yxv

Denklem sistemini xAv formatında yazalım.

5.25.25.15.1

25.125.175.175.025.075.025.025.0

4

3

2

1

yx

vvvv

Kontrol

025.175.075.025.0' a

025.175.125.025.0' b

05.25.25.15.1'

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki dz bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem

yöntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini xAv matris gösterimi şeklinde

yazınız.

101 dzv

512.565.20 21212 dydxdzv

464.169.21 22223 dydxdzv

Öncelikle bu denklemleri düzenleyelim.

100000 222221211 dzdydxdydxv

50012.565.20 222221212 dzdydxdydxv

464.169.2100 222221213 dzdydxdydxv

022222121 dzendyddxcdybdxav

Burada 3n ve 1e ( dz bilinmeyeninin katsayısı)

09364.169.2112.565.20 22222121 dzdydxdydx

Yukarıdaki denklemi 3 n e bölelim.

0355.023.771.188.6 22222121 dzdydxdydx

)310()11()55.00()23.70()71.10()88.60( 222221211 dzdydxdydxv)35()11()55.00()23.70()71.112.5()88.665.20( 222221212 dzdydxdydxv)34()11()55.064.1()23.769.21()71.10()88.60( 222221213 dzdydxdydxv


755.023.771.188.6 222221211 dydxdydxv 855.023.741.377.13 222221212 dydxdydxv 109.146.1471.188.6 222221213 dydxdydxv

Denklem sistemini xAv formatında yazalım.

187

09.146.1471.188.655.023.741.377.1355.023.771.188.6

22

22

21

21

3

2

1

dydxdydx

vvv

Kontrol

088.677.1388.6' a

071.141.371.1' b

046.1423.723.7' c

009.155.055.0' b

0187'

4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ

:12t 1P ve 2P noktaları arasındaki semt 21PP

:12r 1P den 2P ye ölçülen doğrultu

:1z 1P noktasındaki yöneltme bilinmeyeni

Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz semtin kendisidir. Fonksiyonel modeli

Semt için yazalım.

12

121121212 arctan

xxyyzvrt

12

1211212 arctan

xxyyzvr

Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin

yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.

1011 dzzz 1

011 dxxx 2

022 dxxx

1011 dyyy 1

011 dyyy

),( 111 yxP

X

),( 222 yxP

Sıfır doğrultusu

1z

12t 1212 vr 12r

Y 12 yy

12 xx

12t

12s

0arctan 2

0

2

122

0

2

121

0

1

121

0

1

1201

02

01

020

111212

012

dyytdx

xtdy

ytdx

xt

xxyyzdzvr

t

20

12

01

02

201

02

201

02

01

02

201

02

201

02

201

02

201

02

01

02

201

02

201

02

201

02

01

02

01

02

2

01

02

01

02

01

02

01

02

0

1

12

)1(

11s

yyxxyy

yy

xxxxyy

xxyy

xxyy

xxyyxx

xxyy

xxyy

xt

012

012

012

012

01

02

0

1

1212

sin1s

tss

yyxta

100

10000200sin

012

012

12

sta birim

cmcc

20

12

01

02

201

02

201

02

01

02

201

02

201

02

201

02

201

02

01

02

201

02

201

02

201

02

01

02

01

02

2

01

02

01

02

01

02

01

02

0

1

12

)1(

11s

xxxxyy

xx

xxxxyy

xxxx

xxyy

xxxxyy

xxyy

xxyy

yt

012

012

012

012

01

02

0

1

1212

cos1s

tss

xxytb

100

10000200cos

012

012

12

stb birim

cmcc

012

012

0

2

1212

sins

txta

012

012

0

1

1212

coss

tytb

Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.

0arctan 2

0

2

122

0

2

121

0

1

121

0

1

1201

02

01

020

111212

012

dyytdx

xtdy

ytdx

xt

xxyyzdzvr

t

00112

012212212112112112 zrtdybdxadybdxadzv

0112

01212 zrt

Olmak üzere doğrusallaştırılmış düzeltme denklemi (Fonksiyonel Model) aşağıdaki gibi yazılabilir.

12212212112112112 dybdxadybdxadzv

Stokastik Model: Doğrultu ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Ayrıca

doğrultu ölçülerinin ağırlıklarının eşit olduğu da farz edilir.

Örnek: Aşağıda verilmiş ağda doğrultu ölçülerine ait düzeltme denklemlerini xAv

formatında yazınız.

NN Y (m) X(m)

Kesin Koordinatlar 100 765.499 8855.329 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180

Yaklaşık Koordinatlar 21 632.630 8476.102 22 635.211 8426.244 23 638.765 8351.331


Bilinmeyen sayısı u = 6+1 (3 koordinat çifti ve 1 yöneltme bilinmeyeni)

Serbestlik Derecesi f = n-u = 5-7<0 Dengeleme yok.

Koordinat bilinmeyenleri: 21dx , 21dy , 22dx , 22dy , 23dx , 23dy

Bir yöneltme bilinmeyeni: dz (108 Noktasında doğrultu gözlemleri yapılmış)

DN BN Doğrultu 108 100 0.00000

21 36.57040 22 47.24520 23 63.26200 107 106.47780

100

108

107

21

22

23

1r

2r

3r

4r

5r

0

102

01

020

12 arctanxxyyt 20

102

201

02

012 xxyys

100

10000200sin

012

012

12

sta

100

10000200cos

012

012

12

stb

n

rtz ik 10

01

DN BN Doğrultu

ir (g) 0ikt (g) 0

iks (m) 0ikt - ir

ik (cc) ika

cc / cm ikb

cc / cm 0ikt - ir - 0

108z 108 100 0.00000 47.96968 618.610 47.96968 -0.6 7.0412 -7.5053

21 36.57040 84.54332 299.158 47.97292 31.8 20.6562 -5.1161 22 47.24520 95.21448 293.795 47.96928 -4.6 21.6077 -1.6273 23 63.26200 111.22866 301.192 47.96666 -30.8 20.8088 3.7088 107 106.47780 154.44796 575.355 47.97016 4.2 7.2587 8.3511

0108z 47.96974

Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.

ikkikkikiikikiik dybdxadybdxadzv 1

2.43511.82587.73511.82587.78.307088.38088.207088.38088.206.46273.16077.216273.16077.218.311161.56562.201161.56562.20

6.050537041275053704127

107107108108108107108

232310810810823108

222210810810822108

212110810810821108

100100108108108100108

dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzvdy.dx.dy.dx.dzv

100, 107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları

düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.

2.48.307088.38088.206.46273.16077.218.311161.56562.20

6.0

108107108

232310823108

222210822108

212110821108

108100108

dzvdydxdzvdydxdzvdydxdzv

dzv

Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.

2.400000018.307088.38088.20000016.4006273.16077.210018.3100001161.56562.2016.00000001

107108

23108

22108

21108

100108

232322222121108

vvvvv

dydxdydxdydxdz

Toplam -5 -20.6562 5.1161 -21.6077 1.6273 -20.8088 -3.7088 0.00 n = 5 -n = -5 e bölelim

1 4.1312 -1.0232 4.3215 -0.3255 4.1618 0.7418 0.00

Yöneltme bilinmeyeni denklemi

07418.01618.43255.03215.40232.11312.41 232322222121108 dydxdydxdydxdz

Bu denklem sistemindeki 108dz yöneltme bilinmeyeninin katsayıları -1 dir. Bu bilinmeyen

dengeleme hesabı işlemine geçilmeden önce Gauss Toplam Denklem yöntemi ile

indirgenmelidir. Yukarıdaki düzeltme denklemlerinden 108dz yöneltme bilinmeyeninin yok

edilmiş halini aşağıya yazalım.

2.48.306.48.316.0

7418.01618.43255.03215.40232.11312.49670.26470.163255.03215.40232.11312.47418.01618.43019.12861.170232.11312.47418.01618.43255.03215.40929.45250.167418.01618.43255.03215.40232.11312.4

23

23

22

22

21

21

107108

23108

22108

21108

100108

dydxdydxdydx

vvvv

v

Örnek: Aşağıda verilmiş doğrultu ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.

NN Y (m) X(m)

Kesin Koordinatlar 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180

Yaklaşık Koordinatlar 23 638.765 8351.331


Bilinmeyen sayısı u = 2+3 (1 koordinat çifti ve 3 yöneltme bilinmeyeni)

Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-5>0 Dengeleme var.

DN BN Doğrultu 108 23 0.00000

107 43.21580 107 108 0.00000

23 32.24480 23 107 0.00000

108 124.53835

108

107

23 1r

2r

3r 4r

5r

6r

Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy

Üç yöneltme bilinmeyeni: 23dz , 107dz , 108dz

(23, 107 ve 108 noktalarında doğrultu gözlemleri yapılmış)

0

102

01

020

12 arctanxxyyt 20

102

201

02

012 xxyys

100

10000200sin

012

012

12

sta

100

10000200cos

012

012

12

stb

n

rtz ik 10

01

DN BN Doğrultu

ir (g) 0ikt (g) 0

iks (m) 0ikt - ir

ik (cc) ika

cc / cm ikb


108z 108 23 0.00000 111.22866 301.192 111.22866 -18 20.8088 3.7088

107 43.21580 154.44796 575.355 111.23216 18 7.2587 8.3511 0

108z 111.23041

108 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım

183511.82587.73511.82587.7187088.38088.207088.38088.20

107107108108108107108

232310810810823108

dydxdydxdzvdydxdydxdzv

107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları

düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.

1800187088.38088.20

2323108107108

232310823108

dydxdzvdydxdzv

Toplam -2 - 20.8088 -3.7088 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim

1 10.4044 1.8544 0.00

108 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi

08544.14044.101 2323108 dydxdz

Düzeltme denklemlerinden 108dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya

yazalım.

188544.14044.10188544.14044.10

2323107108

232323108

dydxvdydxv

DN BN Doğrultu

ir (g) 0ikt (g) 0

iks (m) 0ikt - ir

ik (cc) ika

cc / cm ikb


107z 107 108 0.00000 354.44796 575.355 354.44796 15 -7.2587 -8.3511

23 32.24480 386.68977 389.889 354.44497 -15 -3.3890 -15.9727 0

107z 354.44647


159727.153890.39727.153890.3153511.82587.73511.82587.7

232310710710723107

108108107107107108107




159727.153890.31500

232310723107

2323107108107

dydxdzvdydxdzv

Toplam -2 3.3890 15.9727 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim

1 -1.6945 -7.9863 0.00


09863.76945.11 2323107 dydxdz

Düzeltme denklemlerinden 107dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya

yazalım.

159863.76945.1159863.76945.1

232323107

2323108107

dydxvdydxv

DN BN Doğrultu

ir (g) 0ikt (g) 0

iks (m) 0ikt - ir

ik (cc) ika

cc / cm ikb


107z 23 107 0.00000 186.68977 389.889 186.68977 -3 3.3890 15.9727

108 124.53835 311.22866 301.192 186.69031 3 -20.8088 -3.7088 0

107z 186.69004


37088.38088.207088.38088.2039727.153890.39727.153890.3

10810823232310823

10710723232310723




37088.38088.2039727.153890.3

23232310823

23232310723

dydxdzvdydxdzv

Toplam -2 -17.4189 12.2639 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim

1 8.7099 6.1319 0.00


01319.67099.81 232323 dydxdz

Düzeltme denklemlerinden 23dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım.

38407.90989.1238407.90989.12

232310823

232310723

dydxvdydxv

Düzeltme denklemleri

188544.14044.10188544.14044.10

2323107108

232323108

dydxvdydxv

159863.76945.1159863.76945.1

232323107

2323108107

dydxvdydxv

38407.90989.1238407.90989.12

232310823

232310723

dydxvdydxv

Düzeltme denklemlerini xAv formatında yazalım.

33

15151818

8407.90989.128407.90989.129863.76945.19863.76945.18544.14044.108544.14044.10

23

23

10823

10723

23107

108107

107108

23108

dydx

vvvvvv

1201.3287773.3037773.3030117.515

AAN T

1338.2271780.249

TAn

cmcc

cccmAAN T birimsiz cc

cccmAn T

birimi cm

0067.00040.00040.00043.01NQ

xx

5.20.2

23

23

dydx

nQxxx

cm

Bilinmeyenlerin kesin değeri

23

23023

023

23

23

dydx

yx

yx

790.638311.8351

5.20.2

765.638331.8351

23

23

yx

Düzeltmeler

cccmcmccxAv birimi cc

75.175.175.175.175.175.1

33

15151818

5.20.2

8407.90989.128407.90989.129863.76945.19863.76945.18544.14044.108544.14044.10

10823

10723

23107

108107

107108

23108

vvvvvv

Dengeli ölçüler iii vrr ˆ

10823

10723

23107

108107

107108

23108

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

ˆˆˆˆˆˆ

vvvvvv

rrrrrr

rrrrrr

53870.12400000.024515.3200000.021615.4300000.0

538525.124000175.0244975.32000175.0215975.43000175.0

75.175.175.175.175.175.1

53835.12400000.024480.3200000.021580.4300000.0

ˆˆˆˆˆˆ

6

5

4

3

2

1

rrrrrr

Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi

Yöneltme bilinmeyeni denklemleri

08544.14044.101 2323108 dydxdz

09863.76945.11 2323107 dydxdz

01319.67099.81 232323 dydxdz

Matris gösterimiyle

23

23

23

107

108

1319.67099.89863.76945.18544.14044.10

dydx

dzdzdz

52.3273.1679.15

1319.67099.89863.76945.18544.14044.10

23

23

23

107

108

dydx

dzdzdz

cc

23

107

108

023

0107

0102

23

107

102

dzdzdz

zzz

zzz

69329.18644814.35423199.111

52.3273.1679.15

69004.18644647.35423041.111

23

107

102

zzz

DN BN Dengeli doğrultulardan semt Dengeli Koordinatlardan

Semt ikt

Fark

ir (g) iv (cc) iii vrr ˆ z ikt = ir + 102z

108 23 0.00000 -1.75 -0.00018 111.23199 111.23181 111.23181 0.00 107 43.21580 1.75 43.21598 111.23199 154.44796 154.44796 0.00

107 108 0.00000 -1.75 -0.00018 354.44814 354.44796 354.44796 0.00 23 32.24480 1.75 32.24498 354.44814 386.69312 386.69312 0.00

23 107 0.00000 -1.75 -0.00018 186.69329 186.69312 186.69312 0.00 108 124.53835 1.75 124.53853 186.69329 311.23181 311.23181 0.00


5.356

25.120

unvvm

T

cm


0067.00040.00040.00043.01NQ

xx

2.00043.05.30 xxx qmm cm

3.00067.05.30 yyy qmm cm

Ölçülerin Ortalama Hatası ip

mmi

0

Doğrultu ağlarında ağırlıklar eşit olduğu için ölçülerin ortalama hataları karesel ortalama hataya eşittir.


3333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.0

ˆˆT

xxAQAQ

iiiQmm


02.23333.05.3ˆ i

m

cm


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

100000010000001000000100000010000001

1pp

6667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.01667.01667.01667.01667.01667.01667.06667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.01667.01667.01667.01667.01667.01667.06667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.0

vvQ


86.26667.05.3 ivm cm

5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ

Kenar ağlarında yapılan kenar ölçüleri günümüzde genelde Elektronik Uzaklık Ölçerler

(EUÖ, Total Station) ile ölçülerek elde edilirler.

Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz kenarın kendisidir. Fonksiyonel modeli

kenar için yazalım.

2122

1212 12yyxxvs s

Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin

yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.

1011 dxxx 2

022 dxxx

1011 dyyy 2

022 dyyy

02

0

2

122

0

2

121

0

1

121

0

1

12201

02

201

0212

012

12

dyysdx

xsdy

ysdx

xsyyxxvs

s

s

),( 111 yxP

X

),( 222 yxP

Y

12 yy

12 xx 12s

012

01

02

201

02

201

02

01

02

0

1

1212

2

12s

xx

xxyy

xxxsa

birimsiz

20

12

01

02

201

02

201

02

01

02

0

1

1212

2

12s

yy

xxyy

yyysb

birimsiz

12

0

2

12 axs

12

0

2

12 bys

Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.

02

0

2

122

0

2

121

0

1

121

0

1

12201

02

201

0212 12

dyysdx

xsdy

ysdx

xsyyxxvs s

01201221221211211212

ssdybdxadybdxavs

1201212 ss

01221221211211212 dybdxadybdxavs

Stokastik Model: Kenar ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Çünkü kenar

ölçüleri için korelasyon belirlemek oldukça zahmetli bir iştir. Kenar ölçülerinin ağırlıkları

farklıdır. EUÖ için karesel ortalama hata aşağıdaki formül ile hesaplanır. Her EUÖ için

yapımcı firmalar bu bağıntıyı vermektedir. Farklı EUÖ ler için bu bağıntı farklı değerler

alabilir. ppmb kısmı, karesel ortalama hatanın uzunluğa bağlı olduğu kısmıdır. ppm

kısmına uzunluğun km cinsinden değeri yazılır.

ppmbams 0

km 1 mm 000.000.1 ppm

Örneğin bir EUÖ için karesel ortalama hata bağıntısı aşağıdaki formülle verilmiş olsun.

Sırasıyla 1000, 2000 ve 5000 m lik uzaklıklar için karesel ortalama hataları hesaplayalım.

ppmms 2 mm 2 0

1000 m = 1 km 4 1 2 mm 2 1

sm mm

2000 m = 2 km 6 2 2 mm 2 2

sm mm

5000 m = 5 km 12 5 2 mm 2 3

sm mm

Bir 0s öncül karesel ortalama hata ve ağırlığın tanımından yararlanarak ağırlık matrisini

aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

2

20

isi m

sp

2

20

2

20

2

20

000

000

000

000

2

1

ns

s

s

ms

ms

ms

p

Örnek: Aşağıda kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. Bu

ağda kenar ölçmede kullanılan EUÖ için ppmms 5 mm 5 lik ayar değeri yapımcı

firma tarafından verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata 30 0 s mm olarak alınacaktır.

NN Y (m) X(m)

Kesin Koordinatlar 101 17246.828 12812.718 102 25084.654 12106.522 103 24360.602 5230.407 104 16756.594 6447.904

Yaklaşık Koordinatlar 23 20058.570 8243.730

DN BN Kenar (m) 23 101 5364.876

102 6338.984 103 5252.410 104 3758.782


Bilinmeyen sayısı u = 2 (Bir koordinat çifti)

Serbestlik Derecesi f = n-u = 4-2 = 2 > 0

Dengeleme var

Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy

201

02

201

02

012 xxyys

012

01

02

12 sxxa

20

12

01

02

12s

yyb ikikik ss 0 birimli

DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb

23 101 4568.988 -2811.742 5364.843 5364.876 -33 -0.8517 0.5241 102 3862.792 5026.084 6338.981 6338.984 -3 -0.6094 -0.7929 103 -3013.323 4302.032 5252.389 5252.410 -21 0.5737 -0.8191 104 -1795.826 -3301.976 3758.728 3758.782 -54 0.4778 0.8785



548785.04778.08785.04778.0218191.05737.08191.05737.037929.06094.07929.06094.0

335241.08517.05241.08517.0

1041042323

1031032323

1021022323

1011012323

10423

10323

10223

10123

dydxdydxvdydxdydxvdydxdydxvdydxdydxv

s

s

s

s

101, 102, 103 ve 104 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait

katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.

548785.04778.0218191.05737.037929.06094.0

335241.08517.0

2323

2323

2323

2323

10423

10323

10223

10123

dydxvdydxvdydxvdydxv

s

s

s

s

Bu denklemleri xAv formatında yazalım.

54213

33

8785.04778.08191.05737.07929.06094.05241.08517.0

23

23

10423

10323

10223

10123

dydx

vvvv

s

s

s

s

ppmms 5 mm 5 30 0 s 2

20

isi m

sp

82.31364876.5 5 mm 5 1

sm

69.36338984.6 5 mm 5 2

sm

26.31252410.5 5 mm 5 3

sm

79.23758782.3 5 mm 5 4

sm

59.1000092.0000067.0000089.0

79.2330000

026.31

3000

0069.36

300

00082.31

30

2

2

2

2

2

2

2

2

p

5089.21608.01608.05587.1

ApAN T

5406.730000.26

pAn T

4012.00414.00414.06458.01NQ

xx

2814

23

23

dydx

nQxxx

mm


23

23023

023

23

23

dydx

yx

yx

598.20058744.8243

2814

570.20058730.8243

23

23

yx

Düzeltmeler xAv birimi mm

41.2296.3574.3343.29

54213

33

2814

8785.04778.08191.05737.07929.06094.05241.08517.0

10423

10323

10223

10123

s

s

s

s

vvvv

mm

Dengeli ölçüler isii vss ˆ

10423

10323

10223

10123

4

3

2

1

4

3

2

1

ˆˆˆˆ

s

s

s

s

vvvv

ssss

ssss

760.3758374.5252950.6338847.5364

41.2296.3574.3343.29

782.3758410.5252984.6338876.5364

ˆˆˆˆ

4

3

2

1

ssss

Dengeli kenar ölçülerinin denetimi DN BN x

(m) y

(m)

Dengeli koordinatlardan 22ˆ yxsi

Dengeli kenarlardan

isii vss ˆ

isv (mm) is (m)

23 101 -4568.974 2811.770 5364.847 5364.847 -29.43 5364.876 23 102 -3862.778 -5026.056 6338.950 6338.950 -33.74 6338.984 23 103 3013.337 -4302.004 5252.374 5252.374 -35.96 5252.410 23 104 1795.840 3302.004 3758.760 3758.760 -22.41 3758.782


0.422485.3519

0

unvpv

mT

mm


4012.00414.00414.06458.01NQ

xx

7.336458.0420 xxx qmm mm

6.264012.0420 yyy qmm


59.1000092.0000067.0000089.0

p

i

s pmm

i

0 mm

5.44

89.042

1sm 3.51

67.042

2sm 7.43

92.042

3sm 3.33

59.142

4sm


4223.01163.04297.00574.01163.05206.00330.05291.04297.00330.04521.01537.00574.05291.01537.06156.0

ˆˆT

xxssAQAQ

iii sss Qmmˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları

91.326156.0421

sm mm

21.284521.0422ˆ

sm

27.305206.0423ˆ

sm

26.274223.0424ˆ

sm


ssssvvQQQ

ˆˆ Düzeltmelerin kovaryans matrisi

ssssvvQpQ

ˆˆ

1

6291.000000859.100004961.100001253.1

1p

2067.01163.04297.00574.01163.05653.00330.05291.04297.00330.00441.11537.00574.05291.01537.05097.0

vvQ


95.295097.0421

vm mm

87.420441.1422

vm

54.315653.0423

vm

07.192067.0424

vm

6. DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ

Örnek: Aşağıda doğrultu ve kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre

dengeleyiniz. Doğrultular için öncül karesel ortalama hatayı ccs 100 olarak alınız.

NN Y (m) X(m)

Kesin Koordinatlar 102 7849.474 164.526 103 7731.373 608.285

Yaklaşık Koordinatlar 107 7969.948 719.676 108 8404.160 342.243

Ölçü sayısı n = 6 (3 doğrultu ve 3 kenar ölçüsü)

Bilinmeyen sayısı u = 5 (İki koordinat çifti ve bir yöneltme bilinmeyeni)

Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-5 = 1 > 0

Dengeleme var

Bilinmeyenler: 102dz , 107dx , 107dy , 108dx , 108dy

01

02

01

020

12 arctanxxyyt 20

102

201

02

012 xxyys

100

10000200sin

012

012

12

sta

100

10000200cos

012

012

12

stb

n

rtz 10120

1

DN BN Doğrultu

ir (g) 0ikt (g) 0

iks (m) 0ikt - ir

ik (cc) ika

cc / mm ikb

cc / mm 0ikt - ir - 0

102z 102 108 0.00000 19.73894 582.460 19.73894 -8.8 0.3335 -1.0409

107 66.65613 86.39556 568.072 19.73943 -3.9 1.0952 -0.2377 103 96.81793 116.55902 459.206 19.74109 12.7 1.3397 0.3565

0102z 19.73982

DN BN Kenar (m) sm (mm) DN DN Doğrultu

dm (cc) 102 108 459.192 ± 3 102 108 0.00000 ± 10 103 107 263.297 ± 5 107 66.65613 ± 10 107 108 575.324 ± 4 103 96.81793 ± 10


ikkikkikiikikiik dybdxadybdxadzv 1

7.123565.03397.13565.03397.19.32377.00952.12377.00952.18.80409.13335.00409.13335.0

103103102102102103102

107107102102102107102

108108102102102108102

dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzv



7.129.32377.00952.18.80409.13335.0

102103102

107107102107102

108108102108102

dzvdydxdzvdydxdzv

Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim ve 102dz yöneltme bilinmeyeni yok

edelim.

7.1200009.3002377.00952.18.80409.13335.000

108108107107102103102

108108107107102107102

108108107107102108102

dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzv

7.12000019.3002377.00952.118.80409.13335.0001

103102

107102

108102

108108107107102

vvv

dydxdydxdz

Toplam -3 -1.0952 0.2377 -0.3335 1.0409 0.00 n = 3 -n = -3 e bölelim

1 0.3651 -0.0792 0.1112 -0.3470 0.00

Yöneltme bilinmeyeni denklemi 03470.01112.00792.03651.01 108108107107102 dydxdydxdz

102dz yöneltme bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri

7.123470.01112.00792.03651.09.33470.01112.01584.07301.08.86939.02223.00792.03651.0

103102

107102

108102

108108107107

vvv

dydxdydx

xAv formatında doğrultular için düzeltme denklemleri

7.129.38.8

3470.01112.00792.03651.03470.01112.01854.07301.06939.02223.00792.03651.0

108

108

107

107

103102

107102

108102

dydxdydx

vvv

201

02

201

02

012 xxyys

012

01

02

12 sxxa

2012

01

02

12s

yyb ikikik ss 0 birimli

DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb

102 103 -118.101 443.759 459.206 459.192 13.7 0.2572 -0.9664 103 107 238.575 111.391 263.298 263.297 1.3 -0.9061 -0.4231 107 108 434.212 -377.433 575.322 575.324 -1.7 -0.7547 0.6560

Düzeltme denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.


7.16560.07547.06560.07547.03.14231.09061.04231.09061.07.139664.02572.09664.02572.0

108108107107

107107103103

103103102102

108107

107103

103102

dydxdydxvdydxdydxvdydxdydxv

s

s

s



7.16560.07547.06560.07547.03.14231.09061.07.13

108108107107

107107

108107

107103

103102

dydxdydxvdydxv

v

s

s

s

Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.

7.16560.07547.06560.07547.03.1004321.09061.07.130000

108107

107103

103102

108108107107

s

s

s

vvv

dydxdydx

Bu denklemleri xAv formatında yazalım.

7.13.17.13

6560.07547.06560.07547.0004321.09061.00000

108

108

107

107

108107

107103

103102

dydxdydx

vvv

s

s

s

Fonksiyonel model

Doğrultular ve kenarlar için yazdığımız xAv matrislerini birleştirelim.

7.13.17.137.129.38.8

6560.07547.06560.07547.0004321.09661.00000

3470.01112.00792.03651.03470.01112.01584.07301.06939.02223.00792.03651.0

108

108

107

107

103102

107102

108102

108107

107103

103102

dydxdydx

vvvvvv

s

s

s

Stokastik Model: Ağırlık tanımından yararlanarak 2

2

2

20 10

ii mmsp

11010

2

2

2

20

1

1

dd m

sp birimsiz 11.113

102

2

2

20

1

1

ss m

sp cc/mm

11010

2

2

2

20

2

2

dd m

sp 00.45

102

2

2

20

2

2

ss m

sp

11010

2

2

2

20

3

3

dd m

sp 25.64

102

2

2

20

3

3

ss m

sp

25.600000000.400000011.11000000100000010000001

p

4122.33260.37724.24745.33260.36342.31210.36818.37724.21210.34435.37347.14745.36818.37347.16438.7

ApAN T

1235.21599.57929.50137.17

pAn T

8016.21338.35260.01166.01338.32535.106451.52332.25260.06451.52160.45232.11166.02332.25232.18078.0

1NQxx

1.171.111.208.10

108

108

107

107

dydxdydx

nQxxx

mm


108

108

107

107

0108

0108

0107

0107

108

108

107

107

dydxdydx

yxyx

yxyx

2601.3421489.84046961.7199372.7969

1.171.111.208.10

243.342160.8404676.719948.7969

108

108

107

107

yxyx

Düzeltmeler xAv birimi mm

00.000.072.1300.000.000.0

7.13.17.137.129.38.8

1.171.111.208.10

6560.07547.06560.07547.0004321.09661.00000

3470.01112.00792.03651.03470.01112.01584.07301.06939.02223.00792.03651.0

108107

107103

108102

103102

107102

108102

s

s

s

vvvvvv

mm

Dengeli doğrultu ölçüleri iii vrr ˆ

103102

107102

108102

3

2

1

3

2

1

ˆˆˆ

vvv

rrr

rrr

81793.9665613.6600000.0

000

81793.9665613.6600000.0

ˆˆˆ

3

2

1

rrr

Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi

Yöneltme bilinmeyeni denklemi 03470.01112.00792.03651.01 108108107107102 dydxdydxdz

Matris gösterimiyle

108

108

107

107

102 3470.01112.00792.03651.0

dydxdydx

dz

ccdz 70.12

1.171.111.208.10

3470.01112.00792.03651.0102

1020102102 dzzz = 19.74109 + 12.70cc/10.000 = 19.74109

DN BN Dengeli doğrultulardan semt Dengeli Koordinatlardan

Semt ikt

Fark

ir (g) iv (cc) iii vrr ˆ 102z ikt = ir + 102z

102 108 0.00000 0.00 0.00000 19.74109 19.74109 19.74109 0.00 107 66.65613 0.00 66.65613 19.74109 86.39722 86.39722 0.00 103 96.81793 0.00 96.81793 19.74109 116.55902 116.55902 0.00

Dengeli kenar ölçüleri

isii vss ˆ

108107

107103

108102

3

2

1

3

2

1

ˆˆˆ

s

s

s

vvv

sss

sss

324.575297.263206.459

00

72.13

324.575297.263192.459

ˆˆˆ

3

2

1

sss

Dengeli kenar ölçülerinin denetimi

DN BN x (m)

y (m)

Dengeli koordinatlardan 22ˆ yxsi

Dengeli kenarlardan

isii vss ˆ

isv (mm) is (m)

102 103 -118.101 443.759 459.206 459.206 13.72 459.192 103 107 238.564 111.411 263.297 263.297 0.00 263.297 107 108 434.212 -377.436 575.324 575.324 0.00 575.324


7.455653.2092

0

unvpv

mT

mm


8016.21338.35260.01166.01338.32535.106451.52332.25260.06451.52160.45232.11166.02332.25232.18078.0

1NQxx

1.418078.07.45107107 0 xxx qmm mm

9.932160.47.45107107 0 yyy qmm

5.1462535.107.45108108 0 xxx qmm

6.768016.27.45108108 0 yyy qmm


25.600000000.400000011.11000000100000010000001

p

i

i pmm 0 mm

7.4517.45

1rm cc 7.13

11.117.45

1sm cm

7.4517.45

2rm 9.22

00.47.45

2sm

7.4517.45

3rm 3.18

25.67.45

3sm


16.000000025.000000000000006667.03333.03333.00003333.06667.03333.00003333.03333.06667.0

ˆˆT

xxAQAQ

ˆˆ0 Qmmi Dengeli ölçülerin ortalama hataları

4.376667.07.451

rm cc 0.000.07.451

sm cm

4.376667.07.452

rm 9.2225.07.452ˆ

sm

4.376667.07.453

rm 3.1816.07.453ˆ

sm


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

16.000000025.000000009.0000000100000010000001

1p

00.000000000.000000009.00000003333.03333.03333.00003333.03333.03333.00003333.03333.03333.0

vvQ


4.263333.07.451

vm mm

4.263333.07.452

vm

4.263333.07.453

vm

7.130900.07.454

vm

0.00000.07.455

vm

0.00000.07.456

vm

7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ

Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Bu ağlarda

ölçüler nivo ve miralarla yapılır. Geometrik ve hassas nivelman olmak üzere iki çeşit ölçme

yöntemi vardır. Bir nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm

noktalara yükseklik taşımak için yeterlidir. Ağ üzerindeki okların yönü yükselme yönlerini

gösterir. h gösterimleri iki nokta arasındaki yükseklik farkını temsil eder. İçi dolu daire

olarak gösterilen noktalar yüksekliği değişmez alınan noktalardır. İçi boş olarak gösterilen

noktalar dengeleme ile yüksekliği bulunacak noktalardır.

Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.

Bu problemde yüksekliği bulunacak noktalar bilinmeyen ( x ve y ) noktalar olarak seçilirler.

Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.

Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu

Ap HHvh 111 AHxvh 11 11 hHxv A

1222 pp HHvh xyvh 22 22 hyxv

Ap HHvh 233 AHyvh 33 33 hHyv A

244 pB HHvh yHvh B 44 44 hHyv B

155 pB HHvh xHvh B 55 55 hHxv B

2h 1h

3h

4h

5h )( 1 xP

)( 2 yP

)(

AHA

)(

BHB

Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık

değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. x ve y bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde

düzenleyelim.

dxxx 0 dyyy 0

Burada 0x ve 0y yaklaşık değerler dx ve dy bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki

denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.

101 hHdxxv A 101 hHxdxv A

2002 hdyydxxv 2002 hyxdydxv

303 hHdyyv A 303 hHydyv A

404 hHdyyv B 404 hHydyv B

505 hHdxxv B 505 hHxdxv B

Bu denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.

101 01 hHxdydxv A 101 hHx A

2002 11 hxydydxv 2002 hxy

303 10 hHydydxv A 303 hHy A

404 10 hyHdydxv B 404 hyHB

505 01 hxHdydxv B 505 hxHB

Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0110101101

dydx

vvvvv

Stokastik Model: Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğu ile ters orantılıdır.

)( 1kms

pi

i

5

4

3

2

1

/100000/100000/100000/100000/1

ss

ss

s

pi

Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.

673.80A H m.




i ih is (km)

1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95

6h 1h

4h

3h

2h )( 1 xP

)( 2 yP

)(

AHA

)( 3 zP

5h

Ap HHvh 111 AHxvh 11 11 hHxv A

2122 pp HHvh yxvh 22 22 hyxv

2333 pp HHvh yzvh 33 33 hyzv

Ap HHvh 344 AHzvh 44 44 hHzv A

Ap HHvh 255 AHyvh 55 55 hHyv A

1366 pp HHvh xzvh 66 63 hxzv

Yaklaşık değerler

dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0

10 hHx A 0x 80.673 + 43.156 = 123.829 m

50 hHy A 0y 80.673 + 23.962 = 104.635 m

40 hHz A 0z 80.673 + 57.440 = 138.115 m

11 hHxv A 101 hHxdxv A

22 hyxv 2002 hyxdydxv

33 hyzv 3003 hyzdzdyv

44 hHzv A 404 hHzdzv A

55 hHyv A 505 hHydyv A

63 hxzv 6003 hxzdzdxv

156.43673.80829.1231 dxv dxv 1 218.19635.104829.1232 dydxv 242 dydxv

524.33635.104115.1383 dzdyv 463 dzdyv 440.57673.80115.1384 dzv dzv 4 962.23673.80635.1045 dyv dyv 5

267.14829.123115.1383 dzdxv 173 dzdxv

Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.

00011 dzdydxv 240112 dzdydxv 461103 dzdydxv 01004 dzdydxv 00105 dzdydxv 171013 dzdydxv


1700

46240

101010100110011001

6

5

4

3

2

1

dzdydx

vvvvvv

95.1/100000050.1/100000040.1/100000000.1/100000080.0/100000065.0/1

ip

)( 1kms

pi

i

51.000000067.000000071.000000000.100000025.100000054.1

ip

23.200.151.000.192.225.151.025.130.3

ApAN T

28.3700.7672.38

pAn T

64.031.022.031.056.026.022.026.044.0

1NQxx

52.894.2012.5

dzdydx

nQxxx

mm


dzdydx

zyx

zyx

0

0

0

122.138614.104834.123

52.894.2012.5

113.138635.104829.123

zyx

Düzeltmeler xAv

39.2094.2052.854.1606.212.5

1700

46240

52.894.2012.5

101010100110011001

6

5

4

3

2

1

vvvvvv

Dengeli ölçüler iii vhh ˆ

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

ˆˆˆˆˆˆ

vvvvvv

hhhhhh

hhhhhh

287.14941.23449.57507.33220.19161.43

39.2094.2052.854.1606.212.5

267.14962.23440.57524.33218.19156.43

ˆˆˆˆˆˆ

6

5

4

3

2

1

hhhhhh

Dengeli ölçülerinin denetimi

Ap HHvh 111 161.43161.43

2122 pp HHvh 220.19220.19

2333 pp HHvh 507.33507.33

Ap HHvh 344 449.57449.57

Ap HHvh 255 941.23941.23

1366 pp HHvh 287.14287.14


10.173679.876

0

unvpv

mT

mm


64.031.022.031.056.026.022.026.044.0

1NQxx

28.1144.010.170 xxx qmm mm

82.1256.010.170 yyy qmm

67.1364.010.170 zzz qmm


mmi

0 mm

1hm 13.78 4hm 20.23

2hm 15.29 5hm 20.94

3hm 17.10 6hm 23.87 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası

64.005.042.037.027.022.005.056.031.025.030.026.042.031.064.033.009.022.037.025.033.058.021.004.027.030.009.021.047.017.022.026.022.004.017.044.0

ˆˆT

xxAQAQ

iiiQmm

h ˆˆ0ˆ

Dengeli ölçülerin ortalama hataları

1h

m 11.28 4h

m 13.67 mm

2h

m 11.78 5h

m 12.82

3h

m 12.98 6h

m 13.67


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

95.100000050.100000040.100000000.100000080.000000065.0

1p

31.105.042.037.027.022.005.094.031.025.030.026.042.031.076.033.009.022.037.025.033.042.021.004.027.030.009.021.033.017.022.026.022.004.017.021.0

vvQ


1vm 7.91

4vm 14.91 mm

2vm 9.75 5vm 16.56

3vm 11.13

6vm 19.57

Örnek: Bir yerel sistemde yükseklik koordinatı bilinen 102 noktasına dayalı olarak 103 ve

108 noktalarının yüksekliğini nivelman ağlarının dolaylı ölçüler dengelemesi yöntemi ile

belirleyiniz.




10210311 pp HHvh 10211 pHxvh 11 102

hHxv p

10210822 pp HHvh 10222 pHyvh 22 102

hHyv p

10310833 pp HHvh xyvh 33 33 hxyv

Kesin Yükseklik 102 1034.306 Yaklaşık Yükseklik 103 1069.816 108 1161.352

DN

BN

Ölçüler h (m) s (m)

102 103 35.510 581.395 102 108 127.046 458.715 103 108 91.545 724.637

3h 1h

2h

)( 103 xP

)( 108 yP

102P


dxxx 0 dyyy 0

10 102hHx p 0x 1034.306 + 35.510 = 1069.816 m

20 102hHy p 0y 1034.306 + 127.046 = 1161.352 m

11 102

hHxv p 101 102hHxdxv p

22 102hHyv p 202 102

hHydyv p

33 hxyv 3003 hxydxdyv

510.35306.1034816.10691 dxv dxv 1 046.127306.1034352.11612 dyv dyv 2

545.91816.1069352.11613 dydxv 9.03 dydxv Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir.

0011 dydxv

0102 dydxv

9.0113 dydxv


9.000

111001

3

2

1

dydx

vvv

)1000/637.724/(1000)1000/715.458/(1000)1000/395.581/(1

ip )(

1kms

pi

i

38.100018.200072.1

ip

Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengelemek için

fonksiyonel ve stokastik modeli yazınız.




1411 pp HHvh 111 pHxvh 11 1

hHxv p

4222 pp HHvh xHvh p 222 22 2

hHxv p

3433 pp HHvh 333 pHxvh 33 3

hHxv p

101 1hHxdxv p

202 2hxHdxv p

303 3hHxdxv p

716.2081.508815.5101 dxv 8.11 dxv 934.0815.510769.5112 dxv 0.22 dxv

121.8714.502815.5103 dxv 0.23 dxv Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir. Yukarıdaki denklemleri xAv formatında

yazalım.

0.20.28.1

111

3

2

1

dxvvv

Kesin Yükseklikler P1 508.081 P2 511.769 P3 502.714

Yaklaşık Yükseklik P4 510.815

i ih (m) is (m)

1 2.716 210 2 0.934 210 3 8.121 425

2h

1h

3h

2P

3P

1P

)( 4 xP

)1000/425/(1000)1000/210/(1000)1000/210/(1

ip )(

1kms

pi

i

35.200076.400076.4

ip

8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ

Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Ancak noktalar

arasındaki yükseklik farklarının fazla ve noktalara ulaşımın zor olduğu arazi şartlarında

nivelman yönteminin uygulanması zordur ve ekonomik değildir. Bu tür arazi şartlarında

noktalara yükseklik taşımada Trigonometrik Nivelman yöntemi kullanılır. Trigonometrik

Nivelman yöntemi düşey açı gözlemlerine dayanır. Bu ağlarda ölçüler günümüzde Elektronik

Uzaklık Ölçerler (Total Station) ve reflektörlerle yapılır. Düşey açı gözlemlerine ve yükseklik

farklarına göre olmak üzere iki çeşit değerlendirme yöntemi vardır. Bir Trigonometrik

Nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara yükseklik

taşımak için yeterlidir.

P1, P2 : Durulan Nokta, Bakılan Nokta 1H , 2H : Durulan ve Bakılan noktaların Ortometrik yükseklikleri

i : Durulan noktada alet yüksekliği t : Bakılan noktada reflektör yüksekliği

21D : Eğik uzunluk

21S : Alet yüksekliğindeki yatay uzunluk

21Z : Düşey açı ölçüsü

Jeoid Deniz Yüzeyi

Yeryüzü P1

P2 21S

21Z

1H

2H

21D

i

t 2121 cot ZS

8.1. DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME


Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim. Bu modelde ölçü düşey

açılardır.

221212112 2

1cot

SrktiZSHH

Burada 13.0k refraksiyon katsayısı, 6373r km yerin yarıçapıdır. rkK

21

olarak

düşünelim ve fonksiyonu yeniden yazalım.

2

21212112 cot SKtiZSHH

tiSKHHS

Z

2

211221

211cot

tiSKHHS

arcZ 22112

2121

1cot

Bu fonksiyon lineer değildir. Doğrusal olmayan denklemleri dengeleme işleminde

kullanabilmek için lineer hale getirmek gereklidir. Bu fonksiyon yaklaşık değerler

kullanılarak Taylor serisine açılır.

1011 dhHH 2

022 dhHH


221

021

2

121

021

22

2101

02

212121

sinsin1cot

021

dhS

ZdhS

ZtiSKHHS

arcvZZ

Z

210

21221

021

2

121

021

2

21sinsin

ZZdh

SZdh

SZvZ

21

021

2sinS

Za

21

021

2sinS

Zb 210

21 ZZ

Yukarıdaki kısaltmaları kullanarak düzeltme denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

2121 dhbdhavZ

Stokastik Model: Bu model için ağırlıklar düşey açı gözlemlerinden elde edilebilir. Ya da aynı ölçmeci, aynı alet, aynı atmosferik şartlar düşüncesiyle tüm gözlemlerin eşit ağırlıkta olduğu kabul edilebilir.

Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle

dengeleyiniz.

NN

iH Kesin Yükseklik

3 1016.253 Yaklaşık Yükseklikler

2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859

DN BN Düşey Açı

jiZ Alet Yüksekliği

i Reflektör Yüksekliği

t jiS

2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956

6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961

2

5

3

6

tiSKHHS

arcZ jiji

ji20

102

0 1cot 0000000683.0637000002

13.012

1

rkK

10000200100

sin

21

021

2

SZa ab 1000021

021 ZZ

DN BN

jiS 00ij HH 2

jiSK i t 0jiZ jiZ a (cc/cm) (cc)

2 3 2194.193 -100.748 0.3288 1.42 1.75 102.92100 102.92374 2.8953 -27.4 5 1924.510 -69.357 0.2529 1.42 1.81 102.28878 102.28561 3.3037 31.7 6 1875.414 -15.142 0.2402 1.42 1.76 102.51060 102.51359 3.3943 -29.9

3 2 2194.200 100.748 0.3288 1.61 1.90 97.08010 97.08010 2.8953 0 5 1562.956 31.391 0.1668 1.61 1.87 98.71777 98.71777 4.0715 0

6 1495.632 85.606 0.1528 1.61 1.83 96.35728 96.35727 4.2426 0 5 2 1924.500 69.357 0.2529 1.45 1.88 97.70083 97.70589 3.3037 -50.6 3 1562.961 -31.391 0.1668 1.45 1.82 101.27016 101.27326 4.0715 -31.0




Düzeltme denklemlerini yazalım. jiji dhbdhavZ

4.278953.28953.2 3232 dhdhvZ

7.313037.33037.3 5252 dhdhvZ

9.293943.33943.3 6262 dhdhvZ

0.08953.28953.2 2323 dhdhvZ

0.00715.40715.4 5353 dhdhvZ

0.02426.42426.4 6363 dhdhvZ

6.503037.33037.3 2525 dhdhvZ

0.310715.40715.4 3535 dhdhvZ

3 Numaralı nokta ağda sabit alınan noktadır. Bu noktanın koordinatlarına düzeltme

getirilmez. Yukarıdaki denklemlerden 3 numaralı noktaya ait katsayıları atalım.

4.278953.2 232 dhvZ

7.313037.33037.3 5252 dhdhvZ

9.293943.33943.3 6262 dhdhvZ

0.08953.2 223 dhvZ

0.00715.4 553 dhvZ

0.02426.4 663 dhvZ

6.503037.33037.3 2525 dhdhvZ

0.310715.4 535 dhvZ

Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim. Birim (cc: saniye)

4.27008953.2 65232 dhdhdhvZ

7.3103037.33037.3 65252 dhdhdhvZ

9.293943.303943.3 65262 dhdhdhvZ

0.0008953.2 65223 dhdhdhvZ

0.000715.40 65253 dhdhdhvZ

0.02426.400 65263 dhdhdhvZ

6.5003037.33037.3 65225 dhdhdhvZ

0.3100715.40 65235 dhdhdhvZ


10.316.500009.297.314.27

00715.4003037.33037.3

2426.40000715.40008953.2

3943.303943.303037.33037.3008953.2

6

5

2

35

25

63

53

23

62

52

32

dhdhdh

vZvZvZvZvZvZvZvZ

5212.290000.05215.110000.09834.548287.215215.118287.211154.50

AAN T

30.10106.39832.91

TAn

0380.00042.00106.00042.00225.00107.00106.00107.00271.0

1NQxx

14.353.774.0

6

5

2

dhdhdh

nQxxx

cm


6

5

2

06

05

02

6

5

2

dhdhdh

HHH

HHH

8276.11017193.10470084.1117

14.353.774.0

859.1101644.1047001.1117

6

5

2

HHH

Düzeltmeler xAv Birim (cc: saniye)

30.014.2836.1366.3013.270.1628.924.25

10.316.500009.297.314.27

14.353.774.0

00715.4003037.33037.3

2426.40000715.40008953.2

3943.303943.303037.33037.3008953.2

35

25

63

53

23

62

52

32

vZvZvZvZvZvZvZvZ

Dengeli ölçüler jijiji vZZZ ˆ

35

25

63

53

23

62

52

32

35

25

63

53

23

62

52

32

35

25

63

53

23

62

52

32

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

vZvZvZvZvZvZvZvZ

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102

30.014.2836.1366.3013.270.1628.924.25

27326.10170589.9735727.9671777.9808010.9751359.10028561.10292374.102

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

35

25

63

53

23

62

52

32

ZZZZZZZZ


Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan

dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.

jijiji vZZZ ˆ =

tiSKHHS

arcZ jiijji

ji21cotˆ

27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102

27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102


ccT

unvvm 16.24

3860.2917

0


0380.00042.00106.00042.00225.00107.00106.00107.00271.0

1NQxx

97.30271.016.2402 xxH qmm cm

62.30225.016.2405 yyH qmm

71.40380.016.2406 zzH qmm


mmi

0 cc

Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir. Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası

37.016.007.037.013.009.016.013.016.031.009.016.016.011.031.016.007.009.068.007.013.040.009.013.037.016.007.037.013.009.016.013.013.016.013.013.023.016.016.023.009.011.040.009.016.051.011.016.016.031.009.016.016.011.031.016.013.016.013.013.023.016.016.023.0

ˆˆT

xxAQAQ

iiiQmmZ ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları

1Zm 11.51

5Zm 14.74 cc

2Zm 13.36

6Zm 19.98

3Zm 17.19

7Zm 13.36

4Zm 11.51

8Zm 14.74


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001

1p

63.016.007.037.013.009.016.013.016.069.009.016.016.011.031.016.007.009.032.007.013.040.009.013.037.016.007.063.013.009.016.013.013.016.013.013.077.016.016.023.009.011.040.009.016.049.011.016.016.031.009.016.016.011.069.016.013.016.013.013.023.016.016.077.0

vvQ


1vm 21.24

5vm 19.14 mm

2vm 20.13 6vm 13.58

3vm 16.97

7vm 20.13

4vm 21.24 8vm 19.14

8.2. YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME


Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.

221212112 2

1cot

SrktiZSHH

221212112 2

1cot

SrktiZSHH

1221 HHH

Bu yöntemde yukarıdaki eşitlikten hesaplanan yükseklik farkları ölçü olarak ele alınır ve

problem nivelman ağlarının dengelenmesi gibi çözülür.


122121 HHHvH

1011 dhHH 2

022 dhHH

1012

022121 dhHdhHHvH

2101

022121 HHHdhdhHv

2101

02 HHH

Düzeltme denklemleri (Fonksiyonel Model)

2121 dhdhHv

Stokastik Model: Yükseklik farkları ile çözüm yapılan Trigonometrik Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğunun karesi ile ters orantılıdır.

)( 1

2 kmsp

ii

Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını yükseklik farklarına göre dolaylı

ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.

NN

iH Kesin Yükseklik

3 1016.253 Yaklaşık Yükseklikler

2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859

DN BN Düşey Açı

jiZ Alet Yüksekliği

i Reflektör Yüksekliği

t jiS

2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956

6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961




2

5

3

6

x y

z


233232 HHHvH xHHvH 33232

255252 HHHvH xyHvH 5252

266262 HHHvH xzHvH 6262

322323 HHHvH 32323 HxHvH

355353 HHHvH 35353 HyHvH

366363 HHHvH 36363 HzHvH

522525 HHHvH yxHvH 2525

533535 HHHvH yHHvH 33535

dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0

32332 HxHHv 320332 HdxxHHv

5252 HxyHv 520052 HdxxdyyHv

6262 HxzHv 620062 HdxxdzzHv

23323 HHxHv 233023 HHdxxHv

53353 HHyHv 533053 HHdyyHv

63363 HHzHv 633063 HHdzzHv

2525 HyxHv 250025 HdyydxxHv

35335 HyHHv 350335 HdyyHHv

320332 HxHdxHv 32031 HxH

520052 HxydydxHv 52002 Hxy

620062 HxzdzdxHv 62003 Hxz

233023 HHxdxHv 23304 HHx

533053 HHydyHv 53305 HHy

633063 HHzdzHv 63306 HHz

250025 HyxdydxHv 25007 Hyx

350335 HyHdyHv 35038 HyH

Yükseklik farkları 2212121 2

1cot

SrktiZSH ij yardımıyla hesaplanır.

0000000683.0637000002

13.012

1

rkK

DN BN

jiS jiZ 2121 cot ZS i t 2jiSK 00

ij HH jiH (cm)

2 3 2194.193 102.92374 -100.841 1.42 1.75 0.3288 -100.748 -100.843 9.4 5 1924.510 102.28561 -69.124 1.42 1.81 0.2529 -69.357 -69.261 -9.6 6 1875.414 102.51359 -15.130 1.42 1.76 0.2402 -15.142 -15.230 8.8

3 2 2194.200 97.08010 100.709 1.61 1.90 0.3288 100.748 100.748 0 5 1562.956 98.71777 31.484 1.61 1.87 0.1668 31.391 31.391 0

6 1495.632 96.35727 85.673 1.61 1.83 0.1528 85.606 85.606 0 5 2 1924.500 97.70589 69.381 1.45 1.88 0.2529 69.357 69.204 15.3 3 1562.961 101.27326 -31.264 1.45 1.82 0.1668 -31.391 -31.467 7.6

4.932 dxHv 4.900132 dzdydxHv

6.952 dydxHv 6.901152 dzdydxHv

8.862 dzdxHv 8.810162 dzdydxHv

0.023 dxHv 0.000123 dzdydxHv

0.053 dyHv 0.001053 dzdydxHv

0.063 dzHv 0.010063 dzdydxHv

3.1525 dydxHv 3.1501125 dzdydxHv

6.735 dyHv 6.701035 dzdydxHv


6.73.150008.86.95.9

010011100010001101011001

35

25

63

53

23

62

52

32

dzdydx

HvHvHvHvHvHvHvHv

201042125

AAN T

80.852.3266.6

TAn

5714.00714.01429.00714.03214.01429.01429.01429.02857.0

1NQxx

65.387.849.1

dzdydx

nQxxx

cm


dzdydx

zyx

zyx

0

0

0

8225.11017327.10470159.1117

65.387.849.1

859.1101644.1047001.1117

zyx

Düzeltmeler xAv

27.193.766.387.849.166.322.297.7

6.73.150008.86.95.9

65.387.849.1

010011100010001101011001

35

25

63

53

23

62

52

32

HvHvHvHvHvHvHvHv

Dengeli ölçüler jijiji HvHH ˆ

35

25

63

53

23

62

52

32

35

25

63

53

23

62

52

32

35

25

63

53

23

62

52

32

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

HvHvHvHvHvHvHvHv

HHHHHHHH

HHHHHHHH

480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100

27.193.766.387.849.166.322.297.7

467.31204.69606.85391.31748.100230.15261.69843.100

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

35

25

63

53

23

62

52

32

HHHHHHHH


Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan

dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.

ijjijiji HHHvHH ˆˆˆ

480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100

480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100


94.63858.240

0

unvvm

T

cm


5714.00714.01429.00714.03214.01429.01429.01429.02857.0

1NQxx

71.32857.094.60 xxx qmm cm

93.33214.094.60 yyy qmm

24.55714.094.60 zzz qmm


mmi

0 cm

Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.


32.018.007.032.014.007.018.014.018.032.007.018.014.007.032.014.007.007.057.007.014.043.007.014.032.018.007.032.014.007.018.014.014.014.014.014.029.014.014.029.007.007.043.007.014.057.007.014.018.032.007.018.014.007.032.014.014.014.014.014.029.014.014.029.0

ˆˆT

xxAQAQ

iijiQmm H ˆˆ0ˆ


32Hm 3.71

53Hm 3.93 cm

52Hm 3.93

63Hm 5.24

62Hm 5.24

25Hm 3.93

23Hm 3.71

35Hm 3.93


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001

1p

68.018.007.032.014.007.018.014.018.068.007.018.014.007.032.014.007.007.043.007.014.043.007.014.032.018.007.068.014.007.018.014.014.014.014.014.071.014.014.029.007.007.043.007.014.043.007.014.018.032.007.018.014.007.068.014.014.014.014.014.029.014.014.071.0

vvQ


1vm 5.86

5vm 5.71 cm

2vm 5.71 6vm 4.54

3vm 4.54

7vm 5.71

4vm 5.86 8vm 5.71

9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ

GPS ağları 3 boyutlu konum ağlarıdır. Bu ağların koordinat sistemi yer merkezlidir

(Jeosantrik). Bu ağlarda ölçüler GPS alıcıları ile yapılır. Bir GPS ağında bir noktanın X, Y, Z

Kartezyen koordinatlarını bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara koordinat taşımak için

yeterlidir. GPS ağlarında yüksek doğruluk elde etmek için bağıl konum belirlenir (bazlar

belirlenir). Bir bazı belirlemek demek o bazdaki X , Y ve Z koordinat farklarını

belirlemek demektir.

Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki ölçülen baza ait

koordinat farklarıdır. Fonksiyonel modeli koordinat farkları için yazalım ve düzenleyelim.


122121 XXVxX 211221 XXXVx

122121 YYVyY 211221 YYYVy

122121 ZZVzZ 211221 ZZZVz

),,( 1111 PZYX

Z

),,( 2222 ZYXP

Y

1221 YYY

1221 ZZZ

X

1221 XXX


değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki

şekilde düzenleyelim.

dXXX 0 dYYY 0 dZZZ 0

Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri

yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.

211012

0221 XdXXdXXVx 21

01

022121 XXXdXdXVx

2110

120

221 YdYYdYYVy 210

10

22121 YYYdYdYVy

211012

0221 ZdZZdZZVz 21

01

022121 ZZZdZdZVz

Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.

2101

0222211121 001001 XXXdZdYdXdZdYdXVx

210

10

222211121 010010 YYYdZdYdXdZdYdXVy

2101

0222211121 100100 ZZZdZdYdXdZdYdXVx

2101

021 XXX

210

10

22 YYY

2101

023 ZZZ

Olmak üzere yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.

3

2

1

2

2

2

1

1

1

21

21

21

100100010010001001

dZdYdXdZdYdX

VzVyVx

Stokastik Model: Bir GPS ağında belirlenen bir baza ait varyans-kovaryans matrisinin

duyarlıkları farklı ve korelâsyonludur.

2

2

2

21

2121212121

2121212121

2121212121

ZZYZX

ZYYYX

ZXYXX

mmmmmmmmm

K

2

2

2

21

212121212121212121

212121212121212121

212121212121212121

ZZYZYZXZX

ZYZYYYXYX

ZXZXYXYXX


K

212021 QmK 2

0

2121 m

KQ 1

2121 Qp Ağırlık matrisi

Örnek: Aşağıda verilmiş GPS ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz. Birim ölçünün

ortalama hatasını 20 m cm olarak alınız.

Ölçü sayısı n = 2 baz x 3 (koordinat farkı) = 6

Bilinmeyen sayısı u = 3 (11 numaralı noktanın koordinatları)


NN X (m) Y (m) Z (m) Kesin Koordinatlar

4 3710709.539 3084028.627 4157648.644 7 3710479.640 3084171.030 4157677.581

Yaklaşık Koordinatlar 11 3710442.600 3084257.800 4157623.100

DN DN X (m) Y (m) Z (m) Xm (cm) Ym (cm) Zm (cm) YXr 0.2 7 4 229.897 -142.404 -28.937 1.2 2.4 1.3 ZXr 0.4

11 4 266.878 -229.233 25.473 2.3 1.5 1.0 ZYr 0.3

744747 XXVxX 477447 XXXVx

744747 YYVyY 477447 YYYVy

744747 ZZVzZ 477447 ZZZVz

114411411 XXVxX 411114411 XXXVx

114411411 YYVyY 411114411 YYYVy

114411411 ZZVzZ 411114411 ZZZVz


4044 dXXX 4

044 dYYY 4

044 dZZZ

7077 dXXX 7

077 dYYY 7

077 dZZZ

1101111 dXXX 11

01111 dYYY 11

01111 dZZZ

Yaklaşık değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.

477074

0447 XdXXdXXVx 47

07

047447 XXXdXdXVx

4770

740

447 YdYYdYYVy 470

70

47447 YYYdYdYVy

477074

0447 ZdZZdZZVz 47

07

047447 ZZZdZdZVz

411110114

04411 XdXXdXXVx 411

011

04114411 XXXdXdXVx

411110

1140

4411 YdYYdYYVy 4110

110

4114411 YYYdYdYVy

411110114

04411 ZdZZdZZVz 411

011

04114411 ZZZdZdZVz

2.04707

041 XXX cm

1.0470

70

42 YYY

0.04707

043 ZZZ

1.6411011

044 XXX

0.64110

110

45 YYY

1.7411011

046 ZZZ

4 ve 7 numaralı noktalar sabit noktalardır. Bu noktalara herhangi bir düzeltme getirilmez. Bu

noktalara ait 4dX , 4dY , 4dZ ve 7dX , 7dY , 7dZ bilinmeyenlerini düzeltme denklemlerinden

atalım ve düzenleyelim.

2.047 Vx 2.0000 11111147 dZdYdXVx

1.047 Vy 1.0000 11111147 dZdYdXVy

0.047 Vz 0.0000 11111147 dZdYdXVz

1.611411 dXVx 1.600 111111411 dZdYdXVx

0.611411 dYVy 0.600 111111411 dZdYdXVy

1.711411 dZVz 1.700 111111411 dZdYdXVz

Yukarıdaki denklemleri xAv formatında (Fonksiyonel Model) yazalım.

1.70.61.61.01.02.0

100010001000000000

11

11

11

411

411

411

47

47

47

dZdYdX

VzVyVxVzVyVx

Stokastik Model

2

2

2

47

474747474747474747

474747474747474747

474747474747474747

ZZYZYZXZX

ZYZYYYXYX

ZXZXYXYXX


K

2

2

2

47

3.13.14.23.03.12.14.03.14.23.04.24.22.12.03.12.14.04.22.12.02.1

K

69.194.062.094.076.558.062.058.044.1

47K

00.145.092.045.025.269.092.069.029.5

411K

00.145.092.000045.025.269.000092.069.029.500000069.194.062.000094.076.558.000062.058.044.1

K

Baz sayısının çok fazla olduğu GPS ağlarında bu şekilde oluşturulan stokastik modelin tersini

almak bilgisayar kullanarak bile çok zordur. Bu nedenle bazların kendi içerisinde tersini

alarak ağırlıklar hesaplanır. Köşegen bir blok matrisin tersi, blokların ayrı ayrı terslerine

eşittir. Aşağıdaki formüllerden yararlanarak her baz için ağırlıklar hesaplanır.

472047 QmK 2

0

4747 m

KQ 1

4747 Qp Ağırlık matrisi

42.023.016.023.044.114.016.014.036.0

2:69.194.062.094.076.558.062.058.044.1

247Q

00.337.015.137.077.015.015.115.033.3

47P

07.577.078.077.097.112.078.012.091.0

411P

07.577.078.000077.097.112.000078.012.091.000000000.337.015.100037.077.015.000015.115.033.3

P

07.577.078.077.097.112.078.012.091.0

ApAN T

57.2658.574.0

pAn T

25.011.023.011.056.017.023.017.032.1

1NQxx

1.70.61.6

11

11

11

dzdydx

nQxxx

cm


11

11

11

011

011

011

11

11

11

dZdYdX

ZYX

ZYX

171.4157623860.3084257661.3710442

1.70.61.6

100.4157623800.3084257600.3710442

11

11

11

dZdYdX

Düzeltmeler xAv

0.00.00.00.01.02.0

1.70.61.61.01.02.0

1.70.61.6

100010001000000000

411

411

411

47

47

47

VzVyVxVzVyVx

Dengeli ölçüler

411

411

411

47

47

47

411

411

411

47

47

47

411

411

411

47

47

47

ˆˆˆˆˆˆ

VzVyVxVzVyVx

ZYXZYX

ZYXZYX

473.25233.229878.266937.28403.142899.229

0.00.00.00.01.02.0

473.25233.229878.266937.28404.142897.229

ˆˆˆˆˆˆ

411

411

411

47

47

47

ZYXZYX


114

114

114

74

74

74

411411

411411

411411

4747

4747

4747

ZZYYXXZZYYXX

VzZVyYVxXVzZVyYVxX

473.25233.229878.266937.28403.142899.229

473.25233.229878.266937.28403.142899.229


21.036

14.00

unvpv

mT

cm


25.011.023.011.056.017.023.017.032.1

1NQxx

24.032.121.00 xxx qmm cm

16.056.021.00 yyy qmm

11.025.021.00 zzz qmm


mmi

0 cm

47Xm 0.12

411Xm 0.22

47Ym 0.24

411Ym 0.15

47Zm 0.12

411Zm 0.09 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası

25.011.023.000011.056.017.000023.017.032.1000000000000000000000

ˆˆT

xxAQAQ

iijiQmm X ˆˆ0ˆ


47Xm 0

411Xm 0.24

47Ym 0

411Ym 0.16

47Zm 0

411Zm 0.11


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

25.011.023.000011.056.017.000023.017.032.100000042.023.016.000023.044.114.000016.014.036.0

1p

00000000000000000000042.023.016.000023.044.114.000016.014.036.0

vvQ

iiji vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları

47vm 0.13

411vm 0 cm

47vm 0.25 411vm 0

47vm 0.14

411vm 0

Örnek: Şekildeki GPS nirengi ağında;

a) 101-102 bazına ait düzeltme denklemlerini xAv formatında yazınız.

b) Birim ölçünün ortalama hatasını 20 m cm alarak baz vektörüne ilişkin varyans-

kovaryans matrisini oluşturunuz. 5.0 ZYZXYX rrr


101102102101102101 XXVxX 102101101102102101 XXXVx

101102102101102101 YYVyY 102101101102102101 YYYVy

101102102101102101 ZZVzZ 102101101102102101 ZZZVz


değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki

şekilde düzenleyelim.

dXXX 0 dYYY 0 dZZZ 0

Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri

yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.

1021011010101102

0102102101 XdXXdXXVx

1021011010

1011020

102102101 YdYYdYYVy

1021011010101102

0102102101 ZdZZdZZVz

NN X (m) Y (m) Z (m) Yaklaşık Koordinatlar

101 3710479.640 3084171.030 4157677.581 102 3710709.539 3084028.627 4157648.644

DN DN X (m) Y (m) Z (m) 101 102 229.897 -142.404 -28.937 DN DN

Xm (cm) Ym (cm) Zm (cm) 101 102 2 4 3 P101

P302 P301

P102

1021010101

0102102101102101 XXXdXdXVx

1021010

1010

102102101102101 YYYdYdYVy

1021010101

0102102101102101 ZZZdZdZVz

Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.

1021010101

0102102102102101101101102101 001001 XXXdZdYdXdZdYdXVx

1021010

1010

102102102102101101101102101 010010 YYYdZdYdXdZdYdXVy

1021010101

0102102102102101101101102101 100100 ZZZdZdYdXdZdYdXVx

2.0897.229640.479539.7091021010101

01021 XXX

1.0)404.142(030.4171627.40281021010

1010

1022 YYY

0.0)937.28(581.677644.6481021010101

01023 ZZZ

Olmak üzere yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.

0.01.02.0

100100010010001001

102

102

102

101

101

101

102101

102101

102101

dZdYdXdZdYdX

VzVyVx

2

2

2

21

102101

102101102101102101102101102101

102101102101102101102101102101102101102101102101102101

Z

ZYZYY

ZXZXYXYXX

mmmrmmmrmmrm

K

2

2

2

102101

3345.0325.0345.04425.0325.0425.02

K

9636164344

102101K

10. GPS NİVELMANI

Günümüzde yükseklik belirlemede ağırlıklı olarak nivelman ölçüleri kullanılmaktadır. Ancak

nivelman ölçülerini yapmak zor ve zahmetli bir iştir. GPS nivelman yöntemi ekonomik ve

zaman kazandıran bir yöntem olması nedeniyle nivelman ölçülerine alternatif bir konuma

gelmiştir.

Haritacılık uygulamalarında amaca ulaşma adına birçok yükseklik tanımı yapılmıştır.

Uygulamada geometrik anlamı nedeniyle Ortometrik Yükseklik (H) tercih edilmektedir.

Ortometrik yükseklik ortalama deniz yüzeyi ile çakışan Jeoid’ten yüzeydeki noktaya olan

düşey mesafedir. GPS ten elde edilen yükseklikler (h) ise referans Elipsoidinden yüzeydeki

noktaya olan mesafedir. Bu yükseklik geometrik olarak bize bir anlam ifade etmez. Ancak biz

GPS ten bu yükseklik bilgisini alırız. İki yükseklik sistemi arasındaki geoid ondülasyonu (N)

(dalgalanma) kadar bir fark vardır. İki sistem arasındaki bu fark belirlenebilirse elipsoid

yükseklikleri ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Bu bağlamda belirli bir alanda yeterli

sayıda ortometrik yüksekliği bilinen nokta varsa bu noktalarda GPS ten elde edilen elipsoid

yükseklikleri bir model yardımıyla ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Yukarıdaki

şekil bu dönüşüm ilişkisini açıkça göstermektedir.

İki yükseklik sistemi arasındaki dönüşüm için birçok enterpolasyon yöntemi tanımlanmıştır.

Polinomlarla enterpolasyon en çok tercih edilenidir. Genelde çift değişkenli analitik bir yüzey

fonksiyonu bu iş için yeterli görülmektedir.

n. dereceden çift değişkenli ( yx, : bağımsız değişkenler) jeoid ondülasyonu için bir

polinomun genel ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

jiij yxaN Bu fonksiyonu dereceye göre açalım.

Derece i j jiij yxaN N

0 0 0 0000 yxaN 00aN

1 1 0 01

10 yxaN xaN 10

0 1 1001 yxaN yaN 01

2

2 0 0220 yxaN 2

20 xaN

1 1 1111 yxaN yxaN 11

0 2 2002 yxaN 2

02 yaN

3

3 0 0330 yxaN 3

30 xaN

2 1 1221 yxaN yxaN 2

21

1 2 2112 yxaN 2

12 yxaN

0 3 3003 yxaN 3

03 yaN

Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. Derece için yazalım.

20211

220011000 yayxaxayaxaaN

Yukarıdaki Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. derece bir polinomdur. Bu polinom açılımında

021120011000 ,,,,, aaaaaa polinom katsayılarıdır. Bu fonksiyonda 0),( yxf şartını sağlayan x

ve y değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.

Yukarıdaki fonksiyonu u tane dayanak noktası için yazalım ( ui ,,3,2,1 )

2

02112

20011000 iiiiiii yayxaxayaxaaN

21021111


22022211


23023311


2

40244112420401410004 yayxaxayaxaaN

Haritacılıkta kullanılan koordinatlar büyük değerlerdir. Koordinatlar bu halleriyle matris

hesabında kullanılamaz. Bunun yerine koordinatların normlandırılmış değerleri kullanılır.

uxxxxx u

321 ortalama x koordinatı

uyyyyy u

321 ortalama y koordinatı

Normlandırılmış (küçültülmüş) koordinatlar

1000i

ixxx

1000

ii

yyy

10001

1xxx

1000

22

xxx

10003

3xxx

1000

44

xxx

10001

1yyy

1000

22

yyy

10003

3yyy

1000

44

yyy

2

10211112


22022211


23023311


24024411


Bu denklem sistemini düzenlersek

012

10211112

12010111000 Nyayxaxayaxaa

022

20222112


032

30233112


04

24024411


Denklem sisteminin matris gösterimi 0 xA şeklinde

01111

4

3

2

1

02

11

20

01

10

00

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

NNNN

aaaaaa

yyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyx

Bu denklem lineer bir denklem sistemidir. Lineer denklem sistemi çözülerek

020211

220011000 iiiiiii Nyayxaxayaxaa şartını sağlayan x ve y

değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.

Örnek: Aşağıdaki tabloda noktaların koordinatları, ortometrik yükseklikleri ve jeoid

yükseklikleri verilmektedir. yaxaaN 011000 şeklindeki 1. derece polinom yardımıyla

P5 noktasının ortometrik yüksekliğini hesaplayınız.

NN Sağa y

Yukarı x

h (m)

H (m)

N=h-H (m)

P1 9121.569 1060.477 1223.48 1188.61 34.87 P2 4139.007 749.228 986.84 952.23 34.61 P3 1965.772 7055.988 929.37 894.80 34.57 P4 5985.901 9645.566 888.53 853.82 34.71 P5 6321.854 4938.485 1008.75 ? ?

Çözüm: Bu problemde verilen 4 nokta için yaxaaN 011000 eşitliği yazılır.




101110001 yaxaaN

201210002 yaxaaN

301310003 yaxaaN

401410004 yaxaaN

815.46274

4321

xxxxx ortalama x koordinatı

062.53034

4321

yyyyy ortalama y koordinatı

5673.31000

11

xxx 8786.31000

22

xxx

4282.21000

33

xxx 0178.51000

44

xxx

8185.31000

11

yyy 1641.11000

22

yyy

3373.31000

33

yyy 6828.01000

44

yyy

101110001 yaxaaN )8185.3(5673.387.34 011000 aaa

201210002 yaxaaN 1641.18786.361.34 011000 aaa

301310003 yaxaaN 3373.3)4282.2(57.34 011000 aaa

401410004 yaxaaN )6828.0()0178.5(71.34 011000 aaa

087.348185.35673.3 011000 aaa

061.341641.18786.3 011000 aaa

057.343373.34282.2 011000 aaa

071.346828.00178.5 011000 aaa

Denklem sisteminin matris gösterimi 0 xA şeklinde

0

71.3457.3461.3487.34

6828.00178.513373.34282.211641.18786.318185.35673.31

01

10

00

aaa

5398.277842.1307842.138432.580

004AAN T

19.152.076.138

TAn

0411.00096.000096.00193.00

0025.01NQxx

0441.00014.0

69.34

01

10

001

aaa

nNx

0 xAv

02.002.002.002.0

71.3457.3461.3487.34

0441.00014.0

69.34

6828.00178.513373.34282.211641.18786.318185.35673.31

4

3

2

1

vvvv

Yeni noktanın yüksekliği

3107.01000

55

xxx 0188.11000

55

yyy

501510005 yaxaaN

01

10

00

555 1aaa

yxN

0441.00014.0

69.340188.13107.015N

74.345 N H5 = h5 – N5 = 1008.75 – 34.74 = 974.01 m


041.034

0017.00

unvvm

T

m

Açıklama: Bu değer yönetmeliğe göre 5 cm yi geçemez.


0411.00096.000096.00193.00

0025.01NQxx

020.02500.0041.0000 xxa qmm m

006.00193.0041.0010 yya qmm

008.00411.0041.0001 zza qmm

11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ

Doğrultu ağlarında doğrultular, kenar ağlarında uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında hem

doğrultular ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik farkları, trigonometrik

nivelman ağlarında düşey açılar ya da yükseklik farkları (düşey açılardan hesaplanır), GPS

ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür. Bu ölçüler

ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda hiçbir bilgi

içermezler. Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara SERBEST ağlar denir.

Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi

veren parametrelere DATUM parametreleri denir.

a) Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir koordinat sisteminde

tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik koordinatı o koordinat

sisteminde bilinmesi gerekir.

b) Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az iki

noktasının koordinatları bilinmelidir.

c) Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az

bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü

bilinmelidir.

d) Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir

noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.

Ağın Türü d Datum parametre Türü Ağın Tanımlayıcıları

Nivelman 1 1 öteleme 1 noktanın yüksekliği

Trigonometrik 1 1 öteleme 1 noktanın yüksekliği

Doğrultu 4 2 öteleme 1 dönüklük 1 ölçek 2 noktanın (x, y) koordinatı

Doğrultu-Kenar 3 2 öteleme 1 dönüklük 1 noktanın (x, y) koordinatı ve bir doğrultunun yönü

GPS Ağı 3 3 öteleme 1 noktanın (x, y, z) koordinatları

d: datum parametre sayısı (datum defekt)

Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak (zorlamasız dengeleme)

koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları,

koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir. Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar

sadece yeni noktaların koordinatlarına dağıtılır. Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken

hatalar yeni noktaların konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu

datum seçimine bağlı olarak değişir. Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ

dengelemesi (tüm iz minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde bir

ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta koordinatlarına dağıtılır.

Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır.

Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve

koordinatların doğrulukları deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir. Deformasyon

analizi ve yorumu açısından bu değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması

tercih edilmektedir.

Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle

normal denklem katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur. Yani bu matris singüler bir

matristir.

Fonksiyonel Model Stokastik Model

xAv 1

Qp

Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu

min 1 vpvvQv TT

0

n

T

N

T pAxApA Matris formatında Normal denklemler

Normal Denklem Katsayılar matrisi ApAN T

Bilinmeyenler Vektörü x

Sabit terimler pAn T

Determinantı sıfır olan normal denklem katsayıları matrisinin minNiz ve min xxT

şartlarını sağlamak üzere moore-penrose tersi aşağıdaki gibi hesaplanır.

TT GGGGNN 1

Normal denklemlerin çözümü ve bilinmeyenlerin hesabı aşağıdaki gibi yapılır.

nNx

Yukarıdaki çözüm aşağıdaki eşitlikleri sağlar.

0 xGT , 0GA , 0 nGT , 0 GN

Burada G matrisi ağın datumunu belirler. p ağdaki nokta sayısı olmak üzere bazı ağlar için

G matrisleri aşağıdaki gibidir.

Nivelman ve Trigonometrik nivelman ağlarında G matrisinin boyutu ( p , 1) kadardır.

p

T

pppG

,1

111

GPS ağlarında G matrisinin boyutu ( p3 , 3).

p

T

p.....

pp

p.....

pp

p.....

pp

G

3,3

100100100

010010010

001001001

Doğrultu ağlarında G matrisinin boyutu ( p2 , 4) kadardır.

4,2

""

""

"1

"1

"1

"1

10

01

10

01

p

pp

pp

yxp

xyp

yxp

xyp

G

Doğrultu-Kenar ağlarında G matrisinin boyutu ( p2 , 3) kadardır.

3,2

"

"

"1

"1

10

01

10

01

p

p

p

xp

yp

xp

yp

G

Doğrultu ve Doğrultu kenar ağlarında "ix ve "

iy normlandırılmış koordinatlardır.

Normlandırma işleminin amacı G matrisinin kondüsyonunun bozulmamasını sağlamaktır.

Bir ağda ix ve iy koordinatlar olmak üzere koordinatların aritmetik ortalaması yani ağırlık

merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır.

px

x ig

py

y ig

Koordinat eksenlerinin başlangıcının ağırlık sistemine kaydırılmış koordinatları aşağıdaki gibi

hesaplanır.

gii xxx ' gii yyy '

Normlandırma elemanı

2'2'

1

ii yxc

Normlandırılmış koordinatlar

'"ii xcx '"

ii ycy

Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle serbest olarak

dengeleyiniz.



Datum defekt d = 1

Serbestlik Derecesi f = n-u+d = 6-3+1>0 Dengeleme var.

4111 pp HHvh kxvh 11 11 hkxv

2122 pp HHvh yxvh 22 22 hyxv

2333 pp HHvh yzvh 33 33 hyzv

4344 pp HHvh kzvh 44 44 hkzv

4255 pp HHvh kyvh 55 55 hkyv

1366 pp HHvh xzvh 66 63 hxzv

i ih is (km)

1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95

ip iH (m) Yaklaşık Yükseklikler 1 123.829 2 104.635 3 138.115 4 80.673

6h 1h

4h

3h

2h )( 1 xP

)( 2 yP

)( 3 zP

5h

)( 4 kP


dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0 dkkk 0

0x 123.829 m, 0y 104.635 m 0z 138.115 m, 673.800 k m

11 hkxv 1001 hkxdkdxv

22 hyxv 2002 hyxdydxv

33 hyzv 3003 hyzdzdyv

44 hkzv 4004 hkzdkdzv

55 hkyv 5005 hkydkdyv

63 hxzv 6003 hxzdzdxv

156.43673.80829.1231 dkdxv dkdxv 1 218.19635.104829.1232 dydxv 242 dydxv

524.33635.104115.1383 dzdyv 463 dzdyv 440.57673.80115.1384 dkdzv dkdzv 4 962.23673.80635.1045 dkdyv dkdyv 5

267.14829.123115.1383 dzdxv 173 dzdxv

Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.

010011 dkdzdydxv 2400112 dkdzdydxv 4601103 dkdzdydxv 011004 dkdzdydxv 010105 dkdzdydxv

1701013 dkdzdydxv


1700

4624

0

010110101100011000111001

6

5

4

3

2

1

dkdzdydx

vvvvvv

95.1/100000050.1/100000040.1/100000000.1/100000080.0/100000065.0/1

ip

)( 1kms

pi

i

51.000000067.000000071.000000000.100000025.100000054.1

ip

92.271.067.054.171.023.200.151.067.000.192.225.154.151.025.130.3

ApAN T

00.028.3700.7672.38

pAn T

5.05.05.05.0

/1/1/1/1

pppp

G

25.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.0

TGG

17.346.042.029.146.048.275.026.042.075.017.300.129.126.000.155.3

TGGN

45.016.017.022.016.051.019.015.017.019.045.020.022.015.020.043.0

1TGGN

20.009.008.003.009.026.006.010.008.006.020.005.003.010.005.018.0

1 TTxx

GGGGNNQ

83.134.1012.1995.6

dkdzdydx

nQxxx

mm


dkdzdydx

kzyx

kzyx

0

0

0

0

675.80123.138616.104836.123

83.134.1012.1995.6

673.80113.138635.104829.123

kzyx

Düzeltmeler xAv

39.2094.2052.854.1606.212.5

1700

46240

83.134.1012.1995.6

010110101100011000111001

6

5

4

3

2

1

vvvvvv

Dengeli ölçüler iii vhh ˆ

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

ˆˆˆˆˆˆ

vvvvvv

hhhhhh

hhhhhh

287.14941.23449.57507.33220.19161.43

39.2094.2052.854.1606.212.5

267.14962.23440.57524.33218.19156.43

ˆˆˆˆˆˆ

6

5

4

3

2

1

hhhhhh


4111 pp HHvh 161.43161.43

2122 pp HHvh 220.19220.19

2333 pp HHvh 507.33507.33

4344 pp HHvh 449.57449.57

4255 pp HHvh 941.23941.23

1366 pp HHvh 287.14287.14


81.14136

79.8760

dunvpv

mT

mm


20.009.008.003.009.026.006.010.008.006.020.005.003.010.005.018.0

1 TTxx

GGGGNNQ

27.618.081.140 xxx qmm mm

54.620.081.140 yyy qmm

49.726.081.140 zzz qmm

64.620.081.140 zzz qmm


mmi

0 mm

1hm 11.94 4hm 17.52

2hm 13.24 5hm 18.13

3hm 14.81 6hm 20.67 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası

64.005.042.037.027.022.005.056.031.025.030.026.042.031.064.033.009.022.037.025.033.058.021.004.027.030.009.021.047.017.022.026.022.004.017.044.0

ˆˆT

xxAQAQ

iiiQmm

h ˆˆ0ˆ


1h

m 9.77 4h

m 11.84 mm

2h

m 10.20 5h

m 11.10

3h

m 11.24 6h

m 11.84


ˆˆQQQvv


ˆˆ1 QpQ

vv

95.100000050.100000040.100000000.100000080.000000065.0

1p

31.105.042.037.027.022.005.094.031.025.030.026.042.031.076.033.009.022.037.025.033.042.021.004.027.030.009.021.033.017.022.026.022.004.017.021.0

vvQ


1vm 6.85

4vm 12.91 mm

2vm 8.44 5vm 14.34

3vm 9.64

6vm 16.95

12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ

Dengeleme hesabının Matematik Modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki Geometrik

(Fonksiyonel model) ve Fiziksel (Stokastik Model) ilişkileri yansıtır. Model hipotezinin

testi ile matematik modelin uygunluğu, modelin oluşturulmasında kullanılan ölçülerin

duyarlıkları ve aralarındaki korelâsyonlar denetlenir.

Dengelemeden önce ölçülerden yararlanarak üçgen kapanmalarından (üçgenlerin iç açıları

toplamı 200g), lup kapanmalarından (nivelmanda gidiş-dönüş ölçülerinden, GPS’te bir

üçgende koordinat farklarının toplamının sıfır olması) vs. bir öncül karesel ortalama hata

( 0s ) elde edilebilir. Dengeleme hesabı sonrası bir soncul karesel ortalama hata ( 0m ) hata

elde ederiz.

Bu değerler kullanılarak bir SIFIR ve bir de SEÇENEK hipotezi kurulur.

20

200 : sEmEH Sıfır hipotezi

20

20: sEmEH s Seçenek hipotezi

Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile

aynı olacağı varsayılır. Bu durumda kurulan dengeleme modeli geçerlidir.

Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile

aynı olmadığı durumlarda kurulan dengeleme modeli geçerli değildir.

Geçersizliğin nedenleri;

a) Ölçülerde kaba hata (uyuşumsuz ölçü) olabilir.

b) Fonksiyonel model yanlış kurulmuş olabilir.

c) Stokastik model yanlış kurulmuş olabilir.

Örnek: Bir nivelman ağında gidiş-dönüş ölçülerinden birim ölçünün ortalama hatası

2.36 0 s cm ve ölçülerin serbestlik derecesi 01sf olarak hesaplanmıştır. Nivelman

ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata 6.67 0 m cm ve dengelemenin

serbestlik derecesi 2mf olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için matematik modelin doğru

kurulup kurulmadığını test ediniz.

Çözüm: Öncelikle model hipotezinin testi için bir test büyüklüğü hesaplarız. Test büyüklüğü

hesabında ortalama hatalardan büyük olanı bölümde üst kısma yazarız.

00 sm olduğu için 0m üste yazılır.

98.736.267.6

2

2

20

20

mmT Test büyüklüğü

46.5975.0,10,2205.01,10,2

21,,

FFFqsm ff Sınır değer

Excel’de 46.5)10;2;025,0( FTERSq

Matlab’da 46.5)10,2,975.0( finvq

qT olduğu için 0H hipotezi geçersizdir.

sH hipotezi geçerlidir.

Bu durumda yukarıda belirtilen irdelemeler yapılır.

Bir dengeleme hesabı işleminde kurulan matematik model geçerli değilse ölçülerin biri ya da

bir kaçı kaba hatalı olabilir. Kaba hatalı ölçülerin tespiti uyuşumsuz ölçüler testi ile yapılır.

Uyuşumsuz ölçüler testini yapabilmek için dengeleme işlemi sonucunda ölçülere ait

düzeltmelere v ve düzeltmelerin ters ağırlık matrisine vv

Q ihtiyaç vardır. Bu değerlerden

yararlanarak bir test büyüklüğü ve bir de sınır değer hesaplarız. Düzeltme değerlerinin negatif

işaretli olabileceği düşüncesiyle düzeltme değerlerinin mutlak değeri kullanılır.

vvQm

vT

0

Test büyüklüğü

21,

mf

tq Sınır değer

Örnek: Bir nivelman ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata 6.67 0 m cm

ve dengelemenin serbestlik derecesi 2mf olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için kurulan

matematik modelin geçersiz olduğu görülmüştür. Bu ağdaki ölçülere ait düzeltmeler ve

düzeltmelerin ters ağırlık matrisi aşağıda verilmiştir. Bu ağda uyuşumsuz ölçü olup

olmadığını araştırınız.

58.1070.052.4

v

0465.08629.00593.08629.06044.15041.00593.05041.02254.1

vvQ

61.02254.167.6 .524

1

T 30.4975.0,22

1,

ttq

mf

08.06044.167.6 .700

2

T Excel’de 30.4)2;05,0( TTERSq

35.70465.067.6 0.581

1

T

qT 1 uyuşumlu

qT 2 uyuşumlu

qT 3 uyuşumSUZ

Yorum: Bu durumda üçüncü ölçü dengeleme işleminden atılır ya da ölçü bizim için önemli

ise (atılma durumunda ağın şekli bozuluyorsa) yeniden ölçülür. Ölçüler arasında birden fazla

uyuşumsuz ölçü olabilir. Bu durumda düzeltme değeri en büyük olan ölçü dengeleme

işlemine alınmaz ya da yeniden ölçülür. Dengeleme tekrarlanır. Model hipotezi testi

tekrarlanır. Model hipotezi hala geçersiz ise başka uyuşumsuz ölçülerin varlığı araştırılır.

Uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme işlemi tekrar edilir.

12. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ

Bir koordinat sistemindeki noktaların diğer bir koordinat sistemindeki karşılıklarının

bulunması işlemine koordinat dönüşümü denir. Sistemlerin birbirlerine göre karşılıklarının

bulunması için bir sistemin diğerine göre kaydırılması. döndürülmesi ve belli oranlarda

küçültülmesi ya da büyültülmesi gerekir. Bu işlem iki sistemde de ortak noktaların

bulunmasını gerektirir. Benzerlik dönüşümünde iki sistemdeki geometrik şekiller

benzerdirler. Ancak şekiller belli bir oranda ya küçülür ya da büyürler. Şekillerdeki açılar bir

değişime uğramazlar.

( x . y ) sistemindeki bir P noktasının ( X .Y ) sistemindeki koordinatlarını yazalım.

cossin0 xyXX p

cos sin 0 yxYYp

cosa

sinb

X x

0X

pX

0Y pY

y

Y

cosy

sinx

siny cosx

P

222 cosa

222 sinb

222222 sincos ba

)sin(cos 22222 ba

1sincos 22

222 ba

22 ba Ölçek katsayısı

cocab

sin

ab

tan

abarctan Dönüklük açısı

Yukarıdaki denklemleri düzenleyelim.

xaybXX p 0

yaxbYYp 0

Burada 0X . 0Y . a ve b bilinmeyenlerdir. Dört bilinmeyenin çözümü için her iki sistemde en az iki ortak noktanın koordinatları bilinmelidir. Bu durumda direk çözüm yapılabilir. Ancak dengelemeli çözüm için ikiden fazla nokta gereklidir. Benzerlik dönüşümü probleminde pX

ve pY koordinatları ölçü gibi düşünülür. Düzeltmeler bu koordinatlara getirilir.


xaybXVXX pp 0

yaxbYVYY pp 0

pp XxaybXVX 0 0 pp YyaxbYVY

Bu denklemleri düzenleyelim.

pp XbyaxYXVX 00 01 10 00 pp YbxayYXVY

Bu denklemleri matris formatında yazalım.

p

p

p

p

YX

baYX

xyyx

VYVX 0

0

1001

Fonksiyonel Model

Örnek: ED50 koordinat sistemindeki nokta koordinatları tabloda verilen her iki sistemdeki

ortak noktalar yardımıyla ITRF96 koordinat sistemine dönüştürülmek isteniyor. Benzerlik

dönüşümünü uygulayınız ve dönüşüm parametrelerini hesaplayınız. Uyuşumsuz koordinat

(ölçü) olup olmadığını belirleyiniz. Yeni noktaların ITRF96 da ki koordinatlarını

hesaplayınız.

NN ED50 ( m ) ITRF96 ( m )

Yukarı ( x ) Sağa ( y ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 8 54481.227 56219.662 40727.970 62084.098 9 54278.188 53056.137 40498.206 58921.596 10 55203.664 52952.417 41423.028 58810.095 12 54734.544 53754.865 40960.581 59616.631 16 54350.343 56110.555 17 55800.011 53012.938 18 54315.160 53205.945

Çözüm: Ölçü sayısı n = 4 nokta x 2 = 8 Bilinmeyen sayısı u = 4 Serbestlik derecesi f = 8 - 4 = 4

Her nokta (koordinat çifti) için aşağı eşitlikleri yazalım.

pp XxaybXVX 0 0 pp YyaxbYVY

88808 XxaybXVX 888008 01 XbyaxYXVX 88808 YyaxbYVY b 10 888008 YxayYXVY




12

12

10

10

9

9

8

8

0

0

1212

1212

1010

1010

99

99

88

88

12

12

10

10

9

9

8

8

1001100110011001

YXYXYXYX

baYX

xyyxxyyxxyyxxyyx

VYVXVYVXVYVXVYVX

631.59616581.40960095.58810028.41423596.58921206.40498098.62084970.40727

544.54734865.5375410865.53754544.5473401664.55203417.5295210417.52952664.5520301188.54278137.5305610137.53056188.5427801227.54481662.5621910662.56219227.5448101

0

0

12

12

10

10

9

9

8

8

baYX

VYVXVYVXVYVXVYVX

969.923626788650623..218697081.2159830969.92362678865081.215983623..218697

623..218697081.21598340081.215983623..21869704

AAN T

794.4256526110514.02188106056420.239432785.163609

TAn

0000001342.0000734.000724.000000001342.000724.000734.0

00734.000724.049805.792000724.000734.0049805.792

1NQxx

0084269763.0000212805.1

5841.63116155.14238

0

0

baYX

nQxxx

m

Ölçek katsayısı 000248303.122 ba

Dönüklük açısı 5364.0arctan g

ab

Düzeltmeler xAv 00.0 v kontrol

0107.00138.00253.00032.00147.00199.00001.00029.0

631.59616581.40960095.58810028.41423596.58921206.40498098.62084970.40727

0084269763.0000212805.1

5841.63116155.14238

544.54734865.5375410865.53754544.5473401664.55203417.5295210417.52952664.5520301188.54278137.5305610137.53056188.5427801227.54481662.5621910662.56219227.5448101

12

12

10

10

9

9

8

8

VYVXVYVXVYVXVYVX

m

Dönüştürülmüş Koordinatlar ve Düzeltmeleri

NN

ITRF96 ( m ) iVX iVY ITRF96

Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) ( m ) ( m ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 8 40727.970 62084.098 -0.0029 -0.0001 40727.967 62084.098 9 40498.206 58921.596 0.0199 0.0147 40498.226 58921.611 10 41423.028 58810.095 -0.0032 -0.0253 41423.025 58810.070 12 40960.581 59616.631 -0.0138 0.0107 40960.567 59616.642


00000000

1001100110011001

0

0

1212

1212

1010

1010

99

99

88

88

1212

1212

1010

1010

99

99

88

88

ba

YX

xyyxxyyxxyyxxyyx

VYYVXXVYYVXXVYYVXXVYYVXX


02.048

0016.00

unvvm

T

m

Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası (Duyarlık)

0000001342.0000734.000724.000000001342.000724.000734.0

00734.000724.049805.792000724.000734.0049805.792

1NQxx

56.049805.79202.000 xxX qmm m

56.049805.79202.000 yyY qmm

00000728.00000001342.002.00 aaa qmm

00000728.00000001342.002.00 bbb qmm

Güven Hesabı iiT

xxi AQAIr )(

742.0742.0566.0566.0610.0610.0081.0081.0

ir

Yorum: Bütün ölçülerin güvenirliği 0.50 nin üzerindedir. Bu durum ortak noktaların helmert

dönüşümü için uygun bir dağılıma sahip olduğunu göstermektedir.

T

xxvvAQAIQ Düzeltmelerin kovaryans matrisi

742.0000.0288.0009.0277.0020.0177.0012.0000.0742.0009.0288.0020.0277.0012.0177.0288.0009.0566.0000.0353.0122.0075.0131.0009.0288.0000.0566.0122.0353.0131.0075.0277.0020.0353.0122.0610.0000.0020.01413.0020.0277.0122.0353.0000.0610.0143.0020.0177.0012.0075.0131.0020.0143.0081.0000.0012.0177.0131.0075.01413.0020.0000.0081.0

vvQ

Uyuşumsuz ölçü testi Yorum: Bütün düzeltmeler uyuşumludur.

vvQm

vT

0

Test büyüklüğü

21,

mf

tq Sınır değer 4mf

NN iVX XT iVY YT q

8 -0.0029 0.52 -0.0001 0.01 2.78 9 0.0199 1.28 0.0147 0.95

10 -0.0032 0.21 -0.0253 1.69 12 -0.0138 0.81 0.0107 0.63

Yeni noktaların koordinatlarının hesaplanması

1616016 xaybXX

1616016 yaxbYY

1717017 xaybXX

1717017 yaxbYY

1818018 xaybXX

1818018 yaxbYY

NN ED50 ( m ) ITRF96 ( m )

Yukarı ( x ) Sağa ( y ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 16 54350.343 56110.555 40596.136 61976.071 17 55800.011 53012.938 42020.009 58865.578 18 54315.160 53205.945 40536.468 59071.139

KAYNAKLAR

1. Abbas BARIŞKANER, Bayram TURGUT, Mevlüt GÜLLÜ, Dengeleme Hesabı Problemleri ve Çözümleri, Express Yayınları, Konya, 1995.

2. Aslan Dilaver, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış).

3. Bruce Raymond HARVEY, Practical Least Squares and Statistics for Surveyors,

Monograph 13, School of Surveying and Spatial İnformation Systems, ISBN 0-7334-2339-6, 1993

4. Charle D. Ghilani, Paul R. Wolf, Adjustments Computations: Spatial Data Analysis,

John Wiley and Sons Inc., ISBN 13 978 -0-471-69728, 2006. 5. Ergün ÖZTÜRK, Dengeleme Hesabı, Cilt I, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi,

K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 119, Fakülte Yayın No: 38, Trabzon, 1991.

6. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt II, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1995.

7. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt III, K.T.Ü.

Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1992.

8. Hüseyin DEMİREL, Dengeleme Hesabı, Y.T.Ü. İnşaat Fakültesi, Üniversite Yayın No:

YTÜ.İN.DK-05.0735, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayım Merkezi, İstanbul, 2005.

9. İbrahim Yüksel, MATLAAB İle Mühendislik Sistemlerinin Analizi ve Çözümü, Nobel

Yayın Dağıtım, Yayın No: 672, Teknik Yayınları Dizi No: 43, ISBN 975-591-656-3, Ankara, 2004.

10. Mualla YALÇINKAYA, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış). 11. Sebahattin BEKTAŞ, Endirek ve Koşullu Ölçülerle Dengeleme Hesabı, Ondokuz Mayıs

Üniversitesi Yayınları, Yayın No: 118, ISBN 975-7636-54-1, Samsun, 2003.

12. Sebahattin BEKTAŞ, Mühendisler İçin Sayısal Çözümleme Basic Program Örnekleriyle, Samsun, 1998.

13. Wolf, P. R., Ghilani, C. D., 1997, Ghilani: Adjustment Computation : Statistics and

Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-16833-5.

denge ii temel bayrak

Documents