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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE

LA NATURALEZA

FÍSICA Y QUIMICA

1º BACHILLERATO CIENCIAS Y

TECNOLOGÍA

CURSO 2012/2013 Profesor: José Criado Ferrándiz

TEMA 9: MOVIMIENTOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES.

1. DESCRIPCIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.

1.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.

1.2 LAS GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO.

2. MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSIÓN: MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS.

2.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

Ecuación del movimiento rectilíneo uniforme.

Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme.

2.2 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE.

La velocidad en el movimiento rectilíneo con aceleración constante.

La posición en el movimiento rectilíneo con aceleración constante.

Relación entre velocidad, desplazamiento y aceleración en movimientos con

aceleración constante.

2.3 LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE

EN LA NATURALEZA.

La «caída libre» de los cuerpos.

Lanzamiento vertical hacia arriba.

3. MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES. MOVIMIENTOS

PARABÓLICOS.

3.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL.

3.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO COMPLETO.

Alcance máximo en el movimiento parabólico.

Altura máxima en el movimiento parabólico.

3.3 SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS UNIFORMES

4. MOVIMIENTOS CIRCULARES

4.1 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Relación entre velocidad angular y lineal

Ecuación del movimiento circular uniforme

Carácter periódico del movimiento circular uniforme

La aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme

4.2 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado

1º BACH C-T TEMA 9: MOVIMIENTOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES.

IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA

1. DESCRIPCIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.

La descripción física de cualquier fenómeno natural se hace siempre buscando

aquello que permanece constante en el transcurso de dicho fenómeno. Así, por ejemplo, el

movimiento rectilíneo uniforme es definido como aquel en el que la velocidad permanece

constante, mientras que en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado lo que

permanece constante es la aceleración.

1.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.

cualquier movimiento implica una variación en la posición de un cuerpo y que, por

tanto, la posición puede expresarse como una función del tiempo. Asimismo, si un cuerpo

está sometido a aceleración, su velocidad también cambia con el tiempo.

Las ecuaciones de movimiento son expresiones matemáticas en forma de igualdad

que permiten conocer los valores de las magnitudes cinemáticas en función del tiempo.

Si, por ejemplo, el movimiento transcurre con velocidad constante, solo

necesitaremos una ecuación de movimiento (la que indique cómo varía la posición en

función del tiempo). Sin embargo, cuando lo que se mantiene constante es la aceleración

del movimiento, entonces son precisas dos ecuaciones de movimiento: la ecuación de

velocidad y la ecuación de posición.

Por tanto, el procedimiento general que hay que observar es el siguiente:

Primero se establece la magnitud que permanece constante.

A partir de la expresión matemática de dicha magnitud constante se deduce el

resto de magnitudes necesarias.

1.2 LAS GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO.

Las magnitudes cinemáticas son funciones del tiempo; esto quiere decir que el valor

de aquellas depende de este. A veces resulta útil e ilustrativo representarlas en forma de

gráfica.

Las gráficas que representan el movimiento son las de posición-tiempo, velocidad-

tiempo y aceleración-tiempo. Evidentemente, para

determinados movimientos basta con una sola (posición-

tiempo) o con dos

(posición-tiempo y

velocidad-tiempo).


2. MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSIÓN: MOVIMIENTOS

RECTILÍNEOS.

Cuando un cuerpo se desplaza únicamente en una dirección, solo varía una de sus

coordenadas de posición. Se dice entonces que su movimiento es rectilíneo.

En este caso el desplazamiento o variación de la posición coincide con la distancia o

espacio recorrido siempre que no exista cambio de sentido en el transcurso del movimiento;

por tanto, pueden usarse ambos términos indistintamente, pero solo para estos

movimientos. Para describirlos, se elegirá la coordenada x como coordenada variable

cuando el movimiento tenga lugar en una dirección horizontal, mientras que, si se trata de

un movimiento vertical (por ejemplo, la caída o el lanzamiento vertical de un cuerpo), la

variable será la coordenada y.

Las magnitudes cinemáticas vectoriales operan, en los movimientos rectilíneos, en

la dirección del movimiento, por lo que es muy importante establecer su sentido. A tal fin,

se emplean los signos positivo (+) y negativo (-).

También aquí hay que insistir en que la elección de uno u otro signo exige el acuerdo

previo respecto del sistema de referencia elegido, que es, pues, arbitrario y ha de indicarse

en cada caso.

2.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

El MRU puede definirse de manera muy sucinta:

El movimiento rectilíneo uniforme es aquel que transcurre con velocidad constante.

La velocidad es una magnitud vectorial; por tanto, su constancia implica también

que su dirección y sentido se mantienen igualmente constantes, por lo que el movimiento

transcurre en una recta.

Asimismo, la constancia en módulo implica que la distancia recorrida es siempre la

misma en intervalos de tiempo iguales.

Un cuerpo que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme recorre la misma

distancia en intervalos de tiempo iguales.

Ecuación del movimiento rectilíneo uniforme. Al ser constante la velocidad, no existe aceleración, por lo que la única magnitud

que varía con el tiempo es la posición. Así pues, la única ecuación del MRU es la de posición.

Si la velocidad es constante, entonces la velocidad instantánea es en todo momento igual

a la velocidad media. En un movimiento que transcurre en una dirección (por ejemplo X), la velocidad media es:

Al conocer dicha velocidad, es posible determinar el valor de la posición x en función

del tiempo. Despejando Δx en la expresión anterior:

O bien, si to= 0

Criterio de signos:

Se asigna signo positivo (+) a la velocidad si el cuerpo se aleja del observador y

su posición aumenta. Asignamos signo negativo (-) a la velocidad si el cuerpo se acerca al observador y

su posición disminuye.


La ecuación de posición representativa del movimiento rectilíneo uniforme puede

generalizarse así:

El signo positivo implica que el cuerpo se aleja del observador, mientras que el

negativo nos indica que se acerca al mismo.

Lógicamente, se supone que el origen del sistema de referencia es el observador.

La ecuación general (para cualquier dirección) de la posición en un movimiento

rectilíneo uniforme es, en forma vectorial:

Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme. Gráficas de posición

Gráfica de un móvil que se aleja. Gráfica de un móvil que se acerca.

Gráfica de velocidad

El área sombreada es un

rectángulo cuya base es el valor del

tiempo transcurrido y cuya altura es la

velocidad, por lo que el valor del área es

vt

Si se considera la ecuación de

posición, se obtiene que:

Por tanto, el área representa el

desplazamiento, Δx. que en este caso

coincide con el espacio recorrido.


2.2 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN

CONSTANTE.

Fue Galileo el primero que, experimentando con planos, llegó a la conclusión de que

la Tierra sometía a todos los cuerpos en su seno a una aceleración constante.

Sin embargo, los movimientos rectilíneos con aceleración constante ya habían sido

objeto de estudio en el siglo XIV por parte de eruditos de Oxford y París que llegaron a

interesantes conclusiones, como el teorema de la velocidad media, que se aborda en este

apartado.

La aceleración que actúa es tangencial y, por consiguiente, su dirección coincide con

la del movimiento.

Se hablará, pues, de aceleración a secas, al no existir aceleración centrípeta en este

movimiento. Dado que, además, es constante, puede concluirse como característica de este

tipo de movimiento la siguiente:

Cuando el movimiento es rectilíneo y con aceleración constante, la velocidad

aumenta o disminuye en la misma cantidad en intervalos de tiempo iguales.

El hecho de que la velocidad varíe en el transcurso del movimiento hace que la

descripción de este requiera dos ecuaciones: una para la velocidad en función del tiempo y

otra para la posición, también en función del tiempo.

La velocidad en el movimiento rectilíneo con aceleración

constante.

Ecuación de velocidad. La magnitud que permanece constante en el movimiento rectilíneo uniformemente

variado es la aceleración. A partir de la expresión de la aceleración media (igual a la

instantánea al ser constante) es posible deducir una expresión para la velocidad en función

del tiempo:

Como lo más habitual es que t0 = O, la ecuación para la velocidad en función del

tiempo puede escribirse finalmente así:

Criterio de signos:

Se adjudica a la aceleración el signo positivo cuando ello suponga que v se

incrementa con respecto a v0, es decir, que la velocidad aumenta. Eso implica

que la aceleración es positiva si su sentido es el mismo que el de la velocidad

inicial: «el cuerpo acelera».

la aceleración será negativa cuando la velocidad adquiera valores menores o

sentido opuesto al que tenía inicialmente. Ello supone que la aceleración

tendrá sentido opuesto a v0: «el cuerpo frena» o «desacelera».

La ecuación que nos informa de los valores de la velocidad en función del tiempo para

los movimientos rectilíneos con aceleración constante es:


Se adjudica el signo positivo a la aceleración cuando su sentido coincide con el de la

velocidad inicial. En caso contrario, se usa el negativo.

Vectorialmente, la velocidad se expresa de la siguiente forma:

Gráfica de velocidad Si se representa gráficamente la velocidad con respecto al tiempo, fijando valores

para v0 y a, y dando valores al tiempo, el resultado será una recta.

La pendiente de esta recta, de ecuación v = v0 ± at , representa la aceleración de

este movimiento:

La posición en el movimiento rectilíneo con aceleración constante.

El teorema de la velocidad media. Si el producto v·t representa el espacio recorrido cuando la velocidad es constante,

entonces, cuando la velocidad cambia de un modo

uniforme (con aceleración constante) desde un valor

inicial v0 hasta un valor final v, el espacio recorrido

debe ser el mismo que el que se recorrería con la

velocidad promedio entre v0 y v.

Esto se puede comprobar en la gráfica. Como

el área del rectángulo de altura vm (que representa

el espacio recorrido con esa velocidad media

constante) vale exactamente lo mismo que el área

encerrada bajo la recta con cierta pendiente que va

desde v0 hasta v (y que representa el espacio

recorrido en el movimiento rectilíneo con aceleración

constante).


Ecuación de posición. El desplazamiento o cambio de posición que se efectúa cuando un cuerpo se mueve

en una trayectoria recta con aceleración constante es el mismo que el que tendría lugar si

el cuerpo se desplazase con una velocidad constante de valor vm = (v0 + v) / 2. Por tanto, se

va a partir de esta idea para desarrollar la ecuación de la que se obtiene la posición.

Teniendo en cuenta la expresión:

Queda:

Criterio de signos

Si v0 y a están dirigidos hacia el observador y propician que el cuerpo se acerque a

él, tendrán signo negativo; en caso contrario (alejamiento del observador), serán de signo

positivo.

Relación entre velocidad, desplazamiento y aceleración en

movimientos con aceleración constante.

Combinando las ecuaciones de la velocidad de posición en un movimiento con

aceleración constante, se obtiene la expresión:

Gráfica de posición. La ecuación que define la posición de un movimiento rectilíneo acelerado, es una

ecuación de segundo grado y, por tanto, su gráfica se corresponde con la de una parábola:


2.3 LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN

CONSTANTE EN LA NATURALEZA.

La «caída libre» de los cuerpos.

Galileo demostró que, si no se consideraba la resistencia del aire, todos los cuerpos,

independientemente de su masa, caerían con la misma aceleración y, por tanto, llegarían

a la par al suelo partiendo de la misma altura.

La aceleración que la Tierra (u otro cuerpo celeste, como la Luna) comunica a los

cuerpos es independiente de la masa de estos.

La Tierra confiere a los cuerpos en su superficie o sus cercanías una aceleración

constante cuyo valor aproximado es 9,8 m/s2, y que se simboliza mediante la letra g, de

«gravedad». Dicha aceleración se dirige (aproximadamente) hacia el centro de la Tierra y,

por tanto, determina la vertical en cualquier lugar de la Tierra.

Una caída libre consiste en dejar caer un cuerpo situado a cierta altura sobre el suelo

sin velocidad inicial (v0 = O). Sobre él actúa únicamente la aceleración de la gravedad, que

se dirige verticalmente hacia el suelo.

Las ecuaciones de caída libre. Para el observador que deja caer el cuerpo, este va

alejándose verticalmente, aumentando su velocidad

debido a la actuación de g. La posición inicial es cero (Yo = O), pues coincide con el propio observador. Por tanto,

para el obse1vador, las ecuaciones de este movimiento

acelerado serán:

Ecuación de velocidad:

Ecuación de posición (altura descendida):

Para un observador situado en el suelo, el cuerpo se halla

inicialmente a una altura que designaremos Y0 (y que, como

es lógico, se mide «desde el suelo»). El cuerpo cae hacia él,

aumentando la velocidad a medida que se acerca, debido a que

g también se dirige hacia el observador. La aplicación a esta

situación de las ecuaciones conduce a:

Ecuación de velocidad:

El signo negativo no representa el valor de la velocidad, que es

lvl = gt; solo es indicativo de su sentido con respecto al

observador.


Ecuación de posición (altura descendida):

Lanzamiento vertical hacia arriba. Al lanzar cualquier cuerpo ve11icalmente hacia arriba, le comunicamos una

velocidad inicial que tiende a alejarlo de nosotros (por tanto, con signo positivo). Sin

embargo, finalmente vuelve a caer, pues g actúa en contra de ese ascenso (y es, pues, de

signo negativo). Teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento rectilíneo con

aceleración constante y el criterio de signos expuesto, las ecuaciones que describen el

lanzamiento vertical hacia arriba de un cuerpo son:

3. MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES. MOVIMIENTOS

PARABÓLICOS.

En estos casos son dos las coordenadas de posición que varían con el tiempo. Así, por

ejemplo al dar una patada a un balón jugando al fútbol, este avanza horizontalmente (en

la dirección X) a la vez que se eleva en altura (según Y), para luego descender, describiendo

una parábola).

Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal con velocidad constante (MRU) y otro vertical con aceleración constante (MRUA).

El movimiento de media parábola, lanzamiento horizontal, puede considerarse como

la composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un

movimiento de caída libre.

El movimiento de parábola completa, movimiento parabólico, puede considerarse

como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un

lanzamiento vertical hacia arriba.

Lanzamiento horizontal = MRU (horizontal) + caída libre (vertical).

Movimiento parabólico completo = MRU (horizontal) + lanzamiento hacia

arriba (vertical)


3.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL.

Una pelota, al ser lanzada horizontalmente a cierta velocidad, debido a la

aceleración vertical de la gravedad, empieza a curvar su trayectoria para caer en el suelo.

De no existir la gravedad, la pelota continuaría con su movimiento rectilíneo uniforme a

la velocidad del lanzamiento. Así pues, en el movimiento de la pelota varían las dos

coordenadas de posición, x e y:

Componente horizontal de avance (MRU):

Componente vertical de caída (MRUA):

Ecuación de posición:

Igualmente, combinando ambos movimientos se podrá conocer la velocidad de la

pelota en cualquier instante:


3.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO COMPLETO.

¿Qué hace un saltador de longitud para lograr una marca? Primero inicia una

carrera horizontal tratando de alcanzar velocidad y en el momento del salto se impulsa

oblicuamente sobre el suelo. Así consigue despegar con una velocidad inicial, v0, que forma

cierto ángulo con el suelo. Esta velocidad inicial tiene dos componentes, Vox = v0 cosα y Voy

= v0 sen α.

Dichas componentes producen el avance (v0x) y la elevación (voy) necesarios durante

el salto. Así, la posición del saltador en el aire vendrá dada por:

La velocidad del saltador en el aire, por su parte, tendrá también dos componentes

(una de avance y otra de ascenso-descenso).

Si el movimiento comienza en una altura determinada:


Alcance máximo en el movimiento parabólico.

Para resolver este tipo de cuestiones, se deben aplicar en las ecuaciones las

condiciones del punto que interesa resolver. En este caso, la condición es que la altura en

el punto de máximo alcance vuelve a hacerse cero (y= 0):

Primero se calcula cuánto tiempo transcurre hasta que eso sucede (despejando t):

Ese tiempo, llevado a la ecuación que informa del avance horizontal (x = v0 cosα·t), permite conocer los factores que determinan el alcance máximo.

Al hallar este, recordando que 2 senα· cosα = sen2α, se obtiene:

Altura máxima en el movimiento parabólico.

Al igual que en el caso anterior, se aplica a la ecuación de altura la condición

característica de ese punto de máxima altura. En ese punto cesa el movimiento de ascenso

para que se inicie el de descenso, por lo que la velocidad de ascenso-descenso es cero (vy=0):

Despejando t:

Sustituyendo en la ecuación de la altura:

y operando

Esta ecuación se aplica cuando la altura inicial, y0=0, en caso contrario:


3.3 SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS UNIFORMES

¿Qué pasa sí una barca cruza perpendicularmente el río, suponiendo que su

velocidad y la de la corriente del río son constantes? Este es un caso de composición

perpendicular de dos movimientos rectilíneos y uniformes:

En un eje de coordenadas, donde x es la dirección de la

corriente, e y, la del movimiento que seguiría la barca en

ausencia de corriente. En este caso, el desplazamiento sería:

A este desplazamiento hay que superponer o añadir

vectorialmente el que produce la corriente en su dirección:

El desplazamiento neto efectuado será, finalmente:

Y su valor

Del mismo modo, la velocidad total de la barca será la superposición de la de su

motor o sus remos (vy) y la velocidad de la corriente (vx). Así pues:

Con lo que su valor neto es:


4. MOVIMIENTOS CIRCULARES

Los movimientos tratados hasta ahora eran rectilíneos o bien, en caso de que fueran

curvilíneos, podían ser tratados como la composición de movimientos rectilíneos. Para

estudiar los movimientos circulares, se requiere la definición de nuevas magnitudes

cinemáticas.

4.1 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento acelerado, dotado únicamente de aceleración centrípeta.

Los puntos A y B están situados sobre el mismo radio de un

disco que gira uniformemente. Al cabo de una vuelta completa, los

dos siguen estando en la misma posición; sin embargo, la

circunferencia que ambos han descrito en el mismo tiempo es de

distinta longitud, por lo que las velocidades vA y vB son distintas.

Ambos tienen en común el haber efectuado una vuelta

completa -es decir, haber descrito el mismo ángulo, θ, en el mismo

tiempo. Además, cuanto más rápidamente se muevan, con más

rapidez se describe el ángulo, por lo que:

La rapidez con que varía el ángulo descrito proporciona una medida de la velocidad

del movimiento circular. A esa velocidad relacionada con el ángulo se la denominará

velocidad angular, que se simboliza como ω y que, en términos de velocidad angular

media, se expresa del siguiente modo:

La unidad de velocidad angular en el SI es el radián por segundo (rad/s). La relación entre el arco de la circunferencia abarcado por el ángulo y el radio es la

medida del ángulo en radianes. Por tanto, el ángulo será de un radián cuando el arco tenga la misma longitud que el radio.

Relación entre velocidad angular y lineal

Resulta evidente que debe haber una relación directa entre la velocidad lineal y la

angular, pues a medida que aumenta el espacio recorrido por unidad de tiempo, se

incrementa también el ángulo descrito. El módulo de la velocidad lineal es:

a partir de la definición dada para la medida de ángulos en radianes:

Sustituyendo en la expresión de V

El movimiento circular uniforme es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y

que transcurre con velocidad angular constante.


Ecuación del movimiento circular uniforme

Conocida la magnitud constante (velocidad angular), se calcula el resto de las

magnitudes (en este caso, la posición angular, θ).

entonces

Por lo que, si se considera t0 = 0, se obtiene la ecuación de posición angular:

Dependiendo del sentido del movimiento, w puede tener un signo u otro. Suele

considerarse ω como positivo cuando, en un sistema de referencia previamente establecido,

el movimiento transcurre en sentido anti horario, y negativo cuando lo hace en sentido

horario.

La ecuación de posición angular:

representa la ecuación del movimiento circular uniforme.

Carácter periódico del movimiento circular uniforme Dado que la posición en un MCU se repite periódicamente, también es posible

estudiar dicho movimiento en función de magnitudes periódicas:

El período (T es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa (o

en repetir posición). Se mide, pues, en segundos.

La frecuencia (υ) es el número de vueltas (o número de veces que se repite

una posición) por unidad de tiempo. Su unidad sería el 1/s, que se simboliza

como s-1, y se denomina herzio (Hz).

Si consideramos que el ángulo descrito en una vuelta completa es de 2π. rad y que

el tiempo que se tarda en describirlo es el período, T, obtenemos la muy útil relación entre

la velocidad angular y el período:

Teniendo en cuenta la relación inversa entre período y frecuencia:

La aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme


4.2 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE

ACELERADO

Cuando varía la velocidad angular de un cuerpo que se mueve describiendo círculos,

se dice que está dotado de aceleración angular, α.

Ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado

A partir de la definición de aceleración angular, se puede obtener la velocidad

angular en función del tiempo:

El ángulo descrito en función del tiempo viene dado por la siguiente ecuación:

Del mismo modo que el MRUA, el movimiento circular puede ser igualmente

decelerado, y a puede también tener signo negativo. Así pues, las ecuaciones que describen

el movimiento circular uniformemente acelerado son:

departamento de ciencias de la naturaleza fÍsica y … · tema 9: movimientos en una y dos...

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