MOVIMIENTOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES

1. ¿Cómo se describen los movimientos?

La descripción física de un fenómeno, como por ejemplo los movimientos, se hace en términos de la constancia de determinada magnitud.

1.1 Las ecuaciones de movimiento de los cuerpos

Las ecuaciones de movimiento permiten conocer los valores de las magnitudes cinemáticas en función del tiempo.

Para resolver problemas de movimientos se sigue el siguiente proceso:

Se establece primero la magnitud que permanece cte.

A partir de la expresión matemática de dicha magnitud cte, se deduce el resto de magnitudes necesarias.

1.2 Las gráficas del movimiento:

Los movimientos pueden ser representados tanto mediante una ecuación como a través de una gráfica. Las gráficas que representan el movimiento son de:

Posición-tiempo, velocidad-tiempo y Aceleración-tiempo.

2. Movimientos en una dimensión: Movimientos rectilíneos.

Son aquellos en las que el cuerpo solo se desplaza en una dirección. El desplazamiento o variación posicional coincide con la distancia o espacio recorrido siempre que no exista cambio de sentido en el transcurso del movimiento.

Dentro del Sistema de referencia se tomará el eje x cuando el movimiento sea horizontal y el eje y cuando sea vertical.

Las magnitudes cinemáticas vectoriales operan en el movimiento rectilíneo en la dirección del movimiento, por lo que se emplean signos + y -.

2.1 M.R.U

El movimiento rectilíneo uniforme es aquel que transcurre con velocidad cte.

El m.r.u es un movimiento bastante raro, pero se toma como referencia para otros tipos de movimiento.

Un cuerpo que se desplaza con m.r.u recorre la misma distancia en intervalos de tiempo iguales.

Ecuación del m.r.u

Como v = cte no existe aceleración. Así pues, la única ecuación es la de posición;

La velocidad media en un movimiento que va solo en una dirección es igual a:

Vm = .

Con esta ecuación es posible determinar el valor de la posición x en función de t. Quedando pues: x - xo = (t - to).

Cuando to = 0 la ecuación es: x = xo + t.

Esto es + si el cuerpo se aleja del punto de referencia.

Es decir si x > xo.

Pero puede ocurrir que xo > x por lo que el cuerpo se acerca al sistema de referencia y el valor se pone .

La ecuación general es: x = xo vt.

La ecuación general en forma vectorial es o

Gráficas del m.r.u

Cuando el móvil se aleja del sistema de referencia:

Cuando se acerca al sistema de referencia:

La representación gráfica de v frente a t es una recta horizontal:

Por tanto el área representa el desplazamiento x.

2.2 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CTE.

Cuando el movimiento de rectilíneo y con aceleración cte, en intervalos de tiempos iguales, la velocidad aumenta o disminuye en la misma cantidad.

La velocidad en el m.r.u.a

Ecuación de la velocidad: v - vo = a (t - to)

Si to = 0 la ecuación es:

v = vo + at

Estas ecuaciones son cuanto la aceleración tiene signo +. Se pone signo + a la aceleración cuando v se hace mayor que vo, es decir, cuando su sentido coincide con vo.

Se le pondrá - cuando v sea menor que vo, es decir, cuando su sentido sea el contrario.

La ecuación en forma vectorial es:

Gráfica de velocidad:

Si se representa gráficamente la velocidad frente al tiempo fijando unos valores para vo y la aceleración y dando unos valores al tiempo, el resultado es una recta:

El teorema de la velocidad media:

Si el producto de v·t representa el espacio recorrido cuando v es cte, entonces, cuando la velocidad cambia de modo uniforme (con aceleración cte) desde un valor inicial vo hasta un valor final v, el espacio recorrido debe ser el mismo que el que se recorrería con la velocidad promedio entre vo y v ;

Vm = 

Ecuación de posición:

La ecuación de posición que nos informa de la posición en función del tiempo cuando un cuerpo que se mueve con m.r y aceleración cte es :

x = xovotat2

Los signos + se ponen cuando el móvil se aleja del punto de referencia y - cuando se acerca. Utilizando las dos ecuaciones de posición y velocidad obtenemos una útil fórmula:

2.3 Los movimientos con aceleración constante en la naturaleza

La caída libre de los cuerpos: Un desafío al sentido común

Si no se considera la resistencia del aire, todos los cuerpos, independientemente de su masa, caen con la misma aceleración y, por tanto, llegan a la misma vez al suelo partiendo desde la misma altura.

La aceleración que la Tierra (u otro cuerpo celeste, como la Luna) comunica a los cuerpos es independiente de la misma de la masa de éstos.

o Para un observador que deja caer un cuerpo, éste va alejándose verticalmente en el mismo sentido de actuación de g. La posición inicial es 0. =0, pues coincide con el propio observador, y la velocidad aumenta en el sentido de la caída.

Por tanto, las ecuaciones son:

Ecuación de velocidad:

Ecuación de posición (altura) :

o Para un observador situado en el suelo, el cuerpo se halla inicialmente a una altura que designaremos . El cuerpo que cae hacia él, aumentando la velocidad a medida que se acerca, debido a que g se dirige hacia el observador.

Por lo que las ecuaciones son:

Ecuación de velocidad:

Ecuación de posición:

El signo - no tiene valor real, indica que el objeto se acerca.

Lanzamiento vertical hacia arriba

Las ecuaciones que describen el lanzamiento vertical hacia arriba de un cuerpo son:

Ecuación de velocidad:

Ecuación de posición (altura):

Si se lanza desde el suelo .

En la altura máxima, la velocidad del cuerpo se hace 0. Se considera cero la velocidad y se despeja el tiempo -ese es el tiempo que tarda en ascender:

; .

AL sustituir ese tiempo en la ecuación de altura, se obtienen la altura máxima:

.

.

Cuando se pide cualquier cosa relativo a la llegada al suelo del cuerpo, hay que saber que la velocidad de llegada al suelo no es igual a 0. Aquí la velocidad tiene su máximo valor. 0 es la altura.

Al llegar al suelo, la altura del cuerpo es cero.

Se considera cero la altura y se despeja el tiempo total de vuelo, quedando:

.

Si se sustituye el tiempo total de vuelo en la ecuación de velocidad:

Con esto se saca que tarda lo mismo en ascender hasta la máxima altura que en descender desde ese punto hasta el suelo. También la velocidad con la que llega al suelo es igual a la que tenía inicialmente solo que de signo opuesto.

3.Movimientos en dos dimensiones. Movimientos parabólicos.+

Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal con velocidad cte (MRU) y otro vertical con aceleración cte (MRUA).

El movimiento de media parábola, lanzamiento horizontal, puede considerarse como la composición de un movimiento rectilíneo uniforma de avance horizontal y un movimiento de caída libre.

El movimiento parabólico puede considerarse como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un movimiento vertical hacia arriba.

Notas:

Un cuerpo lanzado horizontalmente y otro que se deja caer libremente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

Dos cuerpos, lanzados uno verticalmente hacia arriba y el otro parabólicamente, que alcancen la misma altura, tardan lo mismo en caer al suelo.

La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igualmente válida en los movimientos parabólicos.

3.1 Lanzamiento horizontal

Ecuación de posición

()

Si se combinan esas dos ecuaciones queda la ecuación del la trayectoria: .

Ecuación de velocidad

()

El valor de la velocidad viene dado por:

3.2 Movimiento parabólico completo:

La velocidad inicial tiene dos componentes: y que valen:

Dichos componentes producen el avance () y la elevación ().

Ecuación de posición: Componente horizontal de avance:

()

Componente vertical de altura:

.

Ecuación de velocidad: Velocidad del avance horizontal

()

Velocidad de caída vertical

En los casos en los que exista altura inicial yo la ecuación de la altura es :

.

4. Movimientos circulares:

El movimiento circular uniforme es un movimiento acelerado, dotado únicamente de aceleración centrípeta.

La rapidez con que varía el ángulo descrito proporciona una medida de la velocidad del movimiento circular. A esa velocidad relacionada con el ángulo se la denomina <<velocidad angular>>, que se simboliza como y que, en términos de velocidad angular media, se expresa como: .

La unidad de velocidad angular es rad/s.

Relación entre velocidad angular y lineal

Módulo de velocidad lineal es: .

Pero según la definición: .Así que:

.

es una magnitud vectorial, y la relación con la velocidad lineal, expresada vectorialmente es:

es perpendicular al plano del movimiento.

El vector permanece cte en el movimiento así que se define: el movimiento circular uniforme es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y que transcurre con velocidad angular cte.

Ecuación del movimiento circular uniforme:

Dado que: entonces ; o bien

Si to

es positivo cuando da un giro contrario a las agujas del reloj y negativo cuando lo hace con el sentido de las agujas.

Por lo que la ecuación de posición angular es:

Y representa la ecuación del movimiento circular uniforme.

Periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se mide en segundos.

Frecuencia es el número de vueltas por unidad de tiempo. Su unidad es o hertzio (Hz).

Aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme. La expresión que relaciona la aceleración centrípeta: . Como :

. La aceleración de la gravedad es la aceleración centrípeta: .

4.2 Movimiento circular uniformemente acelerado.

La aceleración angular es la rapidez con que varía la velocidad angular. La unidad de aceleración es el rad/s2. Si se dice que el MC es MCUA.

Relación entre aceleración angular y lineal:

.

Ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado.

por tanto :

El ángulo descrito en función del tiempo es: . El MC puede ser acelerado, por lo que puede ser negativo.

Así pues, las ecuaciones que describen el movimiento uniformemente acelerado son:

Ecuación de velocidad angular:

Ecuación de posición angular:

1

El área coloreada representa el desplazamiento o camino recorrido en t.

El área coloreada es un rectángulo cuya base es el valor del tiempo transcurrido y cuya altura es la velocidad, por lo que su área es v · t. Considerando la ecuación de posición queda: x - xo = vt ó x = vt

La pendiente de esta recta de ecuación v = vo at representa la aceleración del movimiento

Componente horizontal de avance (MRU)

Componente vertical de caída (MRUA)

.

Velocidad de avance horizontal:

Velocidad de caída vertical:

TEMA 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION.

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia la geometría del movimiento.

Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino recorrido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como parámetro. La magnitud física masa no interviene en esta descripción. Además surgen como magnitudes físicas derivadas los conceptos de velocidad y aceleración.

Para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sistema

de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de referencia,

que es quien hace la descripción. Para un objeto que se mueve, se pueden distinguir

tres tipos de movimientos: traslación a lo largo de alguna dirección variable pero

definida, rotación del cuerpo alrededor de algún eje y vibración. Generalmente el

movimiento de traslación en el espacio está acompañado de rotación y de vibración

del cuerpo, lo que hace que su descripción sea muy compleja. En este caso es necesario hacer un modelo simple y estudiar cada movimiento en forma separada, considerando un primer paso al estudio con simplificaciones y aproximaciones. La

primera aproximación es considerar al cuerpo como una partícula, la segunda es

considerar sólo el movimiento de traslación, una tercera aproximación es considerar el movimiento en una sola dirección.

2.1 DEFINICIONES.

Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo sin considerar

las causas que lo producen.

Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del

tiempo.

Partícula: el concepto intuitivo de partícula corresponde a un objeto muy pequeño

que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de arena. El

concepto abstracto es una idealización de un objeto considerado como un punto

matemático sin dimensiones, que tendrá sólo posición, masa y movimiento de traslación. Otros ejemplos de objetos que se pueden considerar como partícula son un

átomo, hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su movimiento de traslación en torno al Sol.

Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio, relativa a un sistema de referencia. Es un vector y se denota por: BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 2

k

ˆ

j z

ˆ

i y

ˆ

r = x + +

r

, (2.1)

donde x, y y z son los valores de la posición en cada dirección, e i, j y k son los vectores unitarios en dirección de cada eje x, y y z, respectivamente. En una dimensión

es simplemente i

ˆ

r = x

r

, en el SI se mide en metros. Es una de las variables básicas

del movimiento, junto con el tiempo. La posición se puede dibujar en un sistema de

referencia en una y dos dimensiones como se muestra en la figura 2.1:

Fig. 2.1a: Una dimensión Fig. 2.1b: Dos dimensiones

Desplazamiento: se define como el cambio de posición de una partícula en el espacio (para indicar cambios o diferencias finitas de cualquier variable en física se usa

el símbolo delta, ∆). Es independiente de la trayectoria que se siga para cambiar de

posición. Para determinarlo se debe conocer la posición inicial ri

y final rf

de la partícula. En una dimensión y en dos dimensiones, el desplazamiento es:

i

ˆ

x ( x x )

f i

− = ∆

r

, j )

ˆ

i y

ˆ

j ) ( x

ˆ

i y

ˆ

r r r ( x

f i f f i i

+ − + = − = ∆

r r r

(2.2)

E1 desplazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, se dibuja

en el esquema de la figura 2.2.

Trayectoria: es la curva geométrica que describe una partícula en movimiento en el

espacio, y se representa por una ecuación de la trayectoria. En una dimensión es

una recta y = cte, en dos dimensiones puede ser una parábola y = a + bx

2

o una

circunferencia x

2

+ y

2

= r

2

.

Distancia: es la longitud que se ha movido una partícula a lo largo de una trayectoria desde una posición inicial a otra final. Su valor numérico en general no coincide

x

y

O ˆ xi

ˆyj

r

r

O x

r

r

i

ˆ

xBORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 3

con el valor numérico del desplazamiento, excepto en casos muy particulares.

Tiempo: ¿Qué es el tiempo? No es fácil definir físicamente el concepto de tiempo.

Es más simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir como la duración de un evento, o si consideramos posición y sus cambios, podemos decir que el

tiempo es lo que tarda una partícula en moverse desde una posición inicial a otra

final.

Fig. 2.2

2.2 VELOCIDAD Y ACELERACION.

E1 movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su posición

en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de

los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos. Algunos

cambios son difíciles de describir, como por ejemplo los movimientos de una nube,

formada por billones de gotitas de agua que se mueven al azar y pueden evaporarse

o unirse para formar gotas más grandes, o bien los cambios de opinión de una mujer. Para describir el movimiento debemos definir otras variables cinemáticas, que

son la velocidad y la aceleración.

2.2.1 Velocidad.

Para una partícula que se mueve en dirección del eje x, desde la posición inicial xi

que en un instante inicial t

i

se encuentra en el punto P, hasta la posición final xf

que

en un instante final t

f

se encuentra en el punto Q, el desplazamiento de la partícula

en el intervalo de tiempo

f i

∆t = t − t es x x x .

f i

r r r

∆ = − Se elige el siguiente sistema

de referencia (figura 2.3):

Se define la componente x de la velocidad media de la partícula mx

v

r

como el cambio de posición en un intervalo de tiempo,

x

y

f

r

r

r

r

∆

O

i

r

rBORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 4

f i

f i

mx

t t

x x

t

x

v

−

−

=

∆

∆

=

r r r

r

(2.3)

De su definición se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en el SI

es el cuociente entre la unidad de medida de longitud y de tiempo, esto es m/s, que

se lee metros por segundo.

Figura 2.3

2.2.2 Velocidad instantánea.

Es el vector velocidad v de una partícula en un instante determinado.

Rapidez.

Se define como rapidez instantánea a la magnitud o valor numérico del vector velocidad, por lo tanto es siempre positiva.

2.2.3 Aceleración media.

Lo normal es que la velocidad de una partícula varíe en el transcurso del tiempo,

entonces se dice que la partícula tiene aceleración. Se define la aceleración media

am como el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo por:

f i

f i

m

t t

v v

t

v

a

−

−

=

∆

∆

=

r r r

r

(2.5)

La aceleración media es un vector, su unidad de medida en el SI es el resultado de

dividir la unidad de medida de velocidad y de tiempo, esto es (m/s)/s, se lee m/s

2

.

2.2.4 Aceleración instantánea.

Es la aceleración a de la partícula en un instante determinado.

xi

t

i

t

f

O xf

P Q

∆x x>0 (m)

vmxBORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 5

Si la aceleración es constante, entonces vm

= (v

i

+ v

f

) 2 , es el promedio simple entre los distintos valores de rapidez.

La aceleración también puede variar en el tiempo, pero esa variación no tiene significado físico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particular. Aunque da/dt podría representar o llamarse algo así como “sacudón” o “empujón”.

También puede existir una variación del empujón y así hasta el infinito.

Ejemplo 1: Una partícula se mueve en dirección x > 0 durante 10 s con rapidez

constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular: a) su desplazamiento en los primeros 10 s, b) la aceleración media en cada intervalo de

tiempo, c) la rapidez media del movimiento.

Solución: Datos ∆t1 = 10 s, vi

= 18 km/h = 5 m/s, ∆t2 = 5 s, vf

= 25 m/s

a) 10s 50m

s

x v t 5 m

t

x

v ⇒ ∆ = ∆ = × =

∆

∆

=

b) para ∆t1: vi

= cte => a = 0

para ∆t2:

2

4m / s

5s

( 25 5 )m / s

t

v

a =

−

=

∆

∆

=

c) 15m / s

2

( 5 25 )m / s

2

v v

v

i f

m

=

+

=

+

=

2.3 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN CON ACELERACIÓN CONSTANTE.

Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿dónde se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si la aceleración a

varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difícil de analizar. Un

caso simple de movimiento es aquel que se realiza en una dirección con aceleración

constante. Si la aceleración es constante, entonces la a = am, lo que significa que la

velocidad cambia de manera uniforme en todo el movimiento.

Consideremos primero el caso de una partícula que se mueve en dirección del eje x

con la magnitud de la aceleración a constante. Si v0 es la rapidez en el instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la definición de a se tiene: BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 6

v( t ) v a( t t )

0 0

− + =

r r r

(2.7)

La ecuación 2.7 permite determinar la velocidad v = v(t) de una partícula que se

mueve en una dirección con aceleración a constante, para cualquier instante t > t0.

Como v0, a y t0 son valores conocidos, se observa que v es una función lineal del

tiempo t. Conocida v = v(t) se puede usar la definición de la velocidad para obtener

la posición de la partícula en cualquier instante. Inicialmente, para t = to, la partícula se encuentra en la posición xo y en cualquier instante t se encuentra en la posición

x. Como xo, vo y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es sólo

función del tiempo, así la ecuación que describe la posición de una partícula en

movimiento en función del tiempo x = x(t) es:

2

0 0 0 0

a( t t )

2

1

x = x + v ( t − t ) + −

r r r r

(2.8)

La ecuación 2.8 es la expresión que permite determinar el valor de la posición de la

partícula en cualquier instante, conocido los valores iniciales. Esta ecuación x(t)

también se conoce como “ecuación de itinerario”. Estas ecuaciones forman el conjunto que permiten describir el movimiento simple de una partícula que se mueve

con aceleración constante en una dirección, y como con esas ecuaciones se pueden

determinar los valores de esas variables para la partícula en cualquier instante, el

movimiento queda completamente descrito.

Si la aceleración de una partícula en movimiento es constante, se tiene que

v v 2a x

2

o

2

= + ∆ , que es una expresión escalar independiente del tiempo.

Ejemplo 2. un móvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y acelera hacia la

derecha a razón de 2 m/s

2

hasta t = 10 s. A continuación mantiene su velocidad

constante durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que logra hacer 3 segundos más tarde. a) Determinar a qué distancia del punto de partida se encuentra

en t = 10 s. b) ¿Con qué velocidad se mueve en ese instante? c) ¿A qué distancia de

la partida se encuentra cuando empieza a frenar? d) ¿Dónde se detiene respecto al

punto de partida? e) Escriba las ecuaciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para

cada etapa del movimiento. BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 7

Solución: Se puede elegir el SR como el cliente guste; una posibilidad se ilustra en

el siguiente esquema, donde inicialmente se ubica a la partícula en el origen O y se

empieza a medir el tiempo desde el instante inicial 5 s.

a) Se pide evaluar x(t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s

2

,

to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A

2

0 0 0 0 0

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

( 10 5 ) s 25m

s

m

2

2

1

x( 10 ) 0 0

2 2

2

= − ⋅ + + =

b) Ahora hay que calcular v(t) en t = 10 s, usando la ecuación:

v( t ) = v0

+ a0

( t − t0

(

( 10 5 )s 10 m/s

s

m

v( 10 ) 0 2

2

= − + =

c) Piden evaluar x(t) para t = 20 s, usando esquema y datos del tramo B:

2

10 10 1 1 1

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

( 20 10 )s 0 125m

s

m

x( 20 ) = 25m + 10 − + =

d) Aquí se pide calcular x(t) para t = 23 s, se conoce vf

= 0, t3 =23 s, pero no se

conoce a2, por lo que se debe calcular.

2

20 20 3 2

a ( t 20 )

2

1

x( t ) = x + v ( t − 20 ) + −

C

t0=5s t1=10s t2=20s t3=23s

a1=0

vo=0 v1(10) v2(20)

v=cte

ao=cte

a2

O A B x>0BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 8

cálculo de a2:

v = v2

+ a2

( t − t2

) en el tramo C

t 20

v

0 v a ( t 20 ) a

3

2

2 2 3 2

−

− = ⇒ − + =

Pero v2 = cte en el tramo B v2 = 10 m/s

2

s

m

3

10

( 23 20 )s

10m / s

a = −

−

− =

x( 23 ) 140m

( 23 20 ) 140m

3

10

2

1

x( t ) 125 10( 23 20 )

2

= ⇒= − ⋅ − − + =

e) Ecuaciones de movimiento:

Para el tramo A:

2

0 0 0 o 0

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

Con xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s

2

, to = 5s

2 2

o

a ( t 5 ) x( t ) ( t 5 )

2

1

x( t ) = − ⇒ = −

v( t ) = v0

+ a0

( t − t0

)⇒ v( t ) = 2( t − 5 )

Las ecuaciones para los tramos B y C tu las puedes deducir de los resultados obtenidos en c) y d), donde basta reemplazar los valores en las funciones de t.

Ejemplo 3. Un auto ingresa en Concepción al puente nueva a San Pedro con una

rapidez de 54 km/h, la que mantiene constante mientras recorre el puente. En el

mismo instante en San Pedro otro auto ingresa lentamente al puente con una rapidez inicial de 10.8 km/h hacia Concepción, acelerando a 1 m/s

2

Si la longitud del .

puente es de 1838 m. Calcular a) la posición donde se cruzan, b) la rapidez del auto de San Pedro en el instante en que se cruzan, ¿qué comentario puede hacer de

este resultado? BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 9

Solución: Datos: toA = toB = 0, xoA = 0, xoB = 1838m

15 m/s

1km

1000m

3600s

1h

h

km

v A

54

0

= × × = , aA = 0

voB

= 10,8 km/h = 3 m/s , aB = 1m/s

2

El siguiente esquema muestra el sistema de referencia elegido:

a) El movimiento es en una dimensión con a =cte, las ecuaciones para cada móvil

(A en Concepción, B en San Pedro) son:

( ) a t( ) t x v t x 15t

2

1

x x v t t A 0 A A

2

A 0 A 0 A 0 A 0

= ⇒ = ⇒ − + − + =

vA

= v0 A

+ aA

t − ( ) t0 ⇒ vA

= v0 A ⇒ vA

= 15 m/s

( ) ( )

2

B

2

B 0B 0B 0 B 0

t

2

1

a t t x 1838 3t

2

1

x = x + v t − t + − ⇒ = − −

vB

= v0B

+ aB

t − ( ) t0 ⇒ vB

= −3 − t

Cuando se cruzan: xA = xB, entonces

15t 1838 3t 0,5t 0.5t 18t 1838 0

2 2

= − + ⇒ − − =

t 45,2s, t 40,6 s

1

18 18 4( 0.5 )( 1838 )

t

1 2

2

− = = ⇒+ ± −

=

∴x 45 ( ) .2 = 15( 45.2 ) = 678m

b) vB

45 ( ) .2 = −3 − 45.2 = −48,2m/s = 173.5 km/h

toA=0

toB=0

voA=15m/s aB voB=3m/s

O

A

B

x>0BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 10

El automóvil de San Pedro no puede acelerar durante todo ese tiempo, porque alcanzarían rapideces muy altas, superando en mucho la máxima permitida y posible

de alcanzar.

2.5 CUERPOS EN CAÍDA LIBRE.

Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos que se

mueven libremente en dirección vertical cerca de la superficie de la Tierra, que se

conoce como movimiento de caída libre. Galileo (1564 – 1642), físico y astrónomo

italiano, fue el primero en estudiar el movimiento de caída libre, al observar que

dos cuerpos diferentes, al dejarse caer desde la torre inclinada de Pisa, llegaban al

suelo casi al mismo tiempo.

Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de

la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente constante.

Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza

que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción gravitacional, cuyo

origen será explicado posteriormente.

La aceleración de gravedad, que se denota por g, es un vector que apunta hacia el

centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la latitud, es decir

desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra es aproximadamente de

9.8 m/s

2

.

Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia sólo de

la aceleración de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza que se resiste

al movimiento y que también será estudiada más adelante) que el aire opone a los

cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial del objeto. Todos los

cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La aceleración que adquieren es

siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la dirección inicial del movimiento.

Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración constante,

se puede adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y. Por lo tanto se

pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensión, tomando al eje

y en la dirección del movimiento de caída, por convención positivo hacia arriba.

Con esta convención, un movimiento de caída libre de ascenso o de descenso tiene

una aceleración g negativa. También se debe tener en cuenta que si el cuerpo asciende (desciende) su velocidad será positiva (negativa) en este sistema de referen-BORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia 11

cia. De está forma las ecuaciones de movimiento 2.7 y 2.8 se transforman en las

ecuaciones para caída libre:

2

o oy o o

g( t t )

2

1

y = y + v ( t − t ) − −

r r r r

(2.9)

v voy

g( t to

(

y

− − =

r r r

(2.10)

Ejemplo: Una alumna de la Infancia, lanza una piedra hacia arriba desde la terraza de un edificio de 50 m de alto, con una rapidez inicial de 20 m/s. Cuando está

cayendo la piedra pasa justo por el costado del edificio. Calcular a) el tiempo para

que la piedra alcance su altura máxima, b) la altura máxima, c) el tiempo que tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instante, e) el

tiempo que tarda en llegar al suelo, f) la velocidad en ese instante.

Solución: Considerando un sistema de referencia que se muestra en el esquema,

con el eje y positivo vertical hacia arriba y origen yo = 0 donde comienza el movimiento de la piedra, con to = 0 y vo = 20 m/s.

a) Cuando la piedra alcanza la máxima altura v = 0:

2s

10m/s

20m/s

v( t ) v gt 0 v gt t o o 2

= = ⇒ = ⇒ = − =

b) Se pide evaluar y(t) para t = 2 s

2

o oy o o

g( t t )

2

1

y = y + v ( t − t ) − −

r r r r

⇒ 2

o

gt

2

1

y = v t −

( ) 10 ( ) m/s 2( )s 20m

2

1

y y( 2 ) 20m/s ( 2s )

2 2

max

= − = =

c) Cuando pasa por el punto inicial y = 0 ⇒vo

g

y

ymax

50m

v=0

OBORRADOR

Tema 2. Movimiento en una dimensión.

Juan Inzunza Carreras de la Infancia

CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION.

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia la geometría del movimiento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino recorrido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como parámetro. La

magnitud física masa no interviene en esta descripción. Además surgen como

magnitudes físicas derivadas los conceptos de velocidad y aceleración.

Para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sistema de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de

referencia, que es quien hace la descripción. Para un objeto que se mueve, se

pueden distinguir al menos tres tipos de movimientos diferentes: traslación a

lo largo de alguna dirección variable pero definida, rotación del cuerpo alrededor de algún eje y vibración. Generalmente el movimiento de traslación en

el espacio está acompañado de rotación y de vibración del cuerpo, lo que hace

que su descripción sea muy compleja. Por esto, se considera un estudio con

simplificaciones y aproximaciones, en el cual se propone un modelo simple

para estudiar cada movimiento en forma separada,. La primera aproximación

es considerar al cuerpo como una partícula, la segunda es considerar sólo el

movimiento de traslación, una tercera aproximación es considerar el movimiento en una sola dirección.

2.1 DEFINICIONES.

Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos

conceptos y variables físicas que se usarán en este curso.

Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin considerar las causas que lo producen.

Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del tiempo.

Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un

objeto muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un

objeto considerado como un punto matemático sin dimensiones, que tendrá

sólo posición, masa y movimiento de traslación. Esto significa que cualquier Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

40

objeto puede ser considerado como partícula, independiente de su tamaño,

considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de

objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su

movimiento de traslación en torno al Sol.

Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio, relativa a un

sistema de referencia. Es un vector y se denota por:

r = ˆ xi + ˆyj + ˆ zk

r

(2.1)

donde x, y y z son los valores de la posición en cada dirección, e ˆi ˆ , j y

ˆk son

los vectores unitarios en la dirección de cada eje x, y y z, respectivamente. En

una dimensión es simplemente r = xˆi

r

Es una de las variables básicas del .

movimiento, junto con el tiempo, en el SI se mide en metros. La posición se

puede dibujar en un sistema de referencia en una y dos dimensiones como se

muestra en la figura 2.1a y 2.1b respectivamente:

Figura 2.1a: Posición en una dimensión. Figura 2.1b: Posición en dos dimensiones.

Desplazamiento: el desplazamiento se define como el cambio de posición de

una partícula en el espacio (para indicar cambios o diferencias finitas de cualquier variable en física se usa el símbolo delta, ∆). Es independiente de la trayectoria que se siga para cambiar de posición. Para determinarlo se debe conocer la posición inicial

i

r

r

y final

f

r

r

de la partícula en movimiento. E1 des-Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

41

plazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, en el SI se

mide en metros; se dibuja en el esquema de la figura 2.2. En una dimensión y

en dos dimensiones, el desplazamiento es:

x x x i

f i

(ˆ − ) = ∆

r

(2.2)

r r r (x ˆi y ˆj) (x ˆi y ˆj)

f i f f i i

+ − + = − = ∆

r r r

Figura 2.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones.

Trayectoria: es la curva geométrica que describe una partícula en movimiento

en el espacio, y se representa por una ecuación de la trayectoria. En una dimensión es una recta y = cte, paralela al eje x; en dos dimensiones puede ser

una parábola y = a + bx

2

o una circunferencia x

2

+ y

2

= r

2

u otra curva.

Distancia: es la longitud que se ha movido una partícula a lo largo de una trayectoria desde una posición inicial a otra final. Su valor numérico en general

no coincide con el valor numérico del desplazamiento, excepto en casos muy

particulares.

Tiempo: ¿Qué es el tiempo? No es fácil definir físicamente el concepto de

tiempo. Es más simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir

como la duración de un evento, o si consideramos la posición y sus cambios,

podemos decir que el tiempo es lo que tarda una partícula en moverse desde

una posición inicial a otra final. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

42

2.2 VELOCIDAD Y ACELERACION.

Para describir el movimiento debemos definir otras variables cinemáticas, que

son la velocidad y la aceleración.

2.2.1 Velocidad media.

Para una partícula que se mueve en dirección del eje x, desde la posición inicial xi

que en un instante inicial t

i

se encuentra en el punto P, hasta la posición

final xf

que en un instante final t

f

se encuentra en el punto Q, el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo

f i

∆t = t − t es x x x .

f i

r r r

∆ = − Se

elige el sistema de referencia que se muestra en la figura 2.3. Se define la

componente x de la velocidad media mx

v

r

de la partícula como el cambio de

posición en un intervalo de tiempo por la expresión:

f i

f i

mx

t t

x x

t

x

v

−

−

=

∆

∆

=

r r r

r

(2.3)

Figura 2.3 Sistema de referencia en una dimensión para definir la velocidad media.

De su definición se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en

el SI es el cuociente entre la unidad de medida de longitud y de tiempo, esto es

m/s, que se lee metros por segundo. La velocidad media es independiente de la

trayectoria en el movimiento desde P a Q, es un vector y puede ser positiva,

negativa o cero, según el signo o valor del desplazamiento (ya que ∆t > 0

siempre). En una dimensión, si la posición x aumenta con el tiempo (xf

> xi

) ∆x

> 0, entonces vmx

> 0

r

, y la partícula se mueve en dirección positiva del eje x, y

viceversa si ∆x < 0. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

43

Una interpretación geométrica de la velocidad media se puede ilustrar en un

gráfico x/t llamado gráfico posición - tiempo. La recta PQ es la hipotenusa del

triángulo de lados ∆x y ∆t, que se muestra en la figura 2.4. La pendiente de la

recta PQ, que tiene el mismo valor numérico que la mx

v

r

, está dada por la tangente del ángulo α que forma la pendiente con el eje horizontal, cuyo valor es:

pendiente

t

x

=

∆

∆

α = tan

Figura 2.4a Figura 2.4b

Notar que el gráfico de la figura 2.4 no es un sistema de referencia en dos dimensiones, a pesar de tener dos ejes, ya que el eje horizontal no es de posición, sino de tiempo.

2.2.2 Velocidad instantánea.

Es la velocidad de la partícula en un instante determinado. Si se considera que

el intervalo de tiempo ∆t se puede hacer cada vez más y más pequeño, de tal

manera que el instante final t

f

tiende a coincidir con el instante inicial t

i

, entonces se dice que el intervalo de tiempo tiende a cero, o sea ∆t → 0. En el

límite cuando ∆t → 0, r

r

∆ también tiende a cero, por lo que la partícula se encuentra en una posición instantánea. Por lo tanto se puede definir el vector velocidad instantánea v

r

de la siguiente forma: Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

44

dt

dr

t

r

v lim

t 0

r r

r

=

∆

∆

=

→ ∆

(2.4)

La velocidad instantánea, que llamaremos simplemente velocidad, puede ser

positiva (negativa) si la partícula se mueve en dirección positiva (negativa) del

eje x, o cero, en este caso se dice que la partícula está en reposo. La velocidad

tiene la misma interpretación geométrica que la velocidad media y en la figura

2.4b se ilustra en el gráfico x/t una curva de pendiente positiva, que representa

una velocidad positiva.

Rapidez.

Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o valor numérico del vector velocidad, por lo tanto es siempre positiva.

2.2.3 Aceleración media.

Lo normal es que la velocidad de una partícula en movimiento varíe en el

transcurso del tiempo, entonces se dice que la partícula tiene aceleración. Se

define la aceleración media am como el cambio de velocidad en un intervalo

de tiempo, lo que se escribe como:

f i

f i

m

t t

v v

t

v

a

−

−

=

∆

∆

=

r r r

r

(2.5)

La aceleración media es un vector, su unidad de medida en el SI es el resultado de dividir la unidad de medida de velocidad y de tiempo, esto es (m/s)/s,

que se lee m/s

2

.

2.2.4 Aceleración instantánea.

Es la aceleración a de la partícula en un instante determinado. De manera aná-

loga a la definición de la velocidad, se escribe: Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

45

dt

dv

t

v

a lim

t 0

r r

r

=

∆

∆

=

→ ∆

(2.6)

Como vector, si la aceleración es positiva (negativa) apunta en dirección positiva (negativa) del eje x, independientemente de la dirección del movimiento

de la partícula. Puede existir una aceleración positiva o negativa y la partícula

puede estar aumentando su velocidad, y viceversa. En el esquema de la figura

2.5 se muestra para algunos casos el sentido de la aceleración para diferentes

valores y signos de la velocidad.

Figura 2.5 Esquema de diferentes sentidos de la aceleración.

Si la aceleración es constante, entonces la rapidez promedio se puede calcular

como el promedio aritmético entre los distintos valores de rapidez de la forma:

( ) m i f

v = v + v

2

1

Una interpretación geométrica de la aceleración se obtiene del gráfico rapidez

versus tiempo o gráfico v/t, donde la pendiente de la curva representa el valor

numérico de la aceleración, como se ve en la figura 2.6. Si la rapidez, esto es

la pendiente de la curva, es positiva (negativa), la aceleración es positiva (negativa). En el gráfico se observa una curva con pendiente positiva que dismi-Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

46

nuye su valor hasta cero, que representa un movimiento con aceleración positiva, pero disminuyendo su valor, luego la pendiente se hace negativa, aumentando negativamente su valor y lo mismo ocurre con la aceleración.

pendiente a

t

v

= =

∆

∆

α = tan

Figura 2.6 Gráfico rapidez versus tiempo.

La aceleración también se puede escribir como:

2

2

dt

d x

dt

dx

dt

d

dt

dv

a

r r r

r

= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= =

que corresponde a la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.

La aceleración también puede variar en el tiempo, pero esa variación no tiene

significado físico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particular. Aunque da/dt podría representar o llamarse algo así como “sacudón” o

“empujón”. También puede existir un d(empujón)/dt y así hasta el infinito.

Ejemplo 2.1: Una partícula se mueve en dirección x > 0 durante 10 s con rapidez constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular:

a) su desplazamiento en los primeros 10 s, b) la aceleración media en cada

intervalo de tiempo, c) la rapidez media del movimiento. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

47

Solución: Datos ∆t1 = 10 s, vi

= 18 km/h = 5 m/s, ∆t2 = 5 s, vf

= 25 m/s

a) s m

s

m

x v t

t

x

v ⇒ ∆ = ∆ = 5 ×10 = 50

∆

∆

=

b) para ∆t1: vi

= cte => a = 0

para ∆t2:

2

4

5

(25 5) /

s

m

s

m s

t

v

a =

−

=

∆

∆

=

c)

s

v v m s m

v

i f

m

15

2

(5 25) /

2

=

+

=

+

=

2.3 DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN CON ACELERACIÓN CONSTANTE.

E1 movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su posición en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes

cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos. Algunos cambios son difíciles de describir, como por ejemplo los movimientos de una nube, formada por billones de gotitas de agua que se mueven

al azar y pueden evaporarse o unirse para formar gotas más grandes, o bien los

cambios de opinión de una mujer.

Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿en que posición se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si

la aceleración a

r

varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y

difícil de analizar. Un caso simple de movimiento es aquel que se realiza en

una dirección con aceleración constante. Si la aceleración es constante, entonces la m

a a

r r

= , lo que significa que la velocidad cambia de manera uniforme en

todo el movimiento.

Consideremos primero el caso de una partícula que se mueve en dirección del

eje x con la magnitud de la aceleración a constante. Si v0 es el valor de la velocidad o rapidez en el instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la definición de a se tiene: Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

48

⇒ − = −

= = ⇒ = ⇒ =

∫ ∫ ∫

0

( 0

(

0 0

v v a t t

dv adt dv adt a dt

dt

dv

a

t

t

t

t

v

v o

( ) ( )

0 0

v t = v + a t − t

r r r

(2.7)

La ecuación 2.7 permite determinar la velocidad v = v(t) de una partícula que

se mueve en una dirección con aceleración a

r

constante, para cualquier instante t > t0. Como v0, a y t0 son valores conocidos, se observa que v es una función lineal del tiempo t, por lo tanto el gráfico rapidez versus tiempo o gráfico

v/t es de la forma que se muestra en la figura 2.7a. Para a < 0, y para el caso

de una partícula que está disminuyendo su rapidez, los gráficos v/t y a/t se

muestran en la figura 2.7b.

Figura 2.7a. Gráficos v/t y a/t, para a > 0.

Figura 2.7b. Gráficos v/t y a/t, para a < 0. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

49

El valor de la pendiente de la tangente a la curva v(t) en el gráfico v/t es igual

al valor numérico de la aceleración. Para el movimiento con aceleración constante v(t) es la ecuación de una recta.

Conocida v = v(t) se puede usar la definición de la velocidad para obtener la

posición de la partícula en cualquier instante.

= ⇒ dx = vdt ⇒ dx

∫ ∫= vdt

dt

dx

v

Si inicialmente, para t = to, la partícula se encuentra en la posición xo y en

cualquier instante t se encuentra en la posición x, la velocidad en función del

tiempo es v( t ) v a( t t )

0 0

= + − , reemplazando en la integral, con los límites

de integración correspondientes queda:

[ ]

2

0 0 0

x

x

t

t

0 0

a( t t )

2

1

dx v a( t t ) dt v ( t t )

0 0

− + − = − + =

∫ ∫

Escrita en forma vectorial, se obtiene:

2

0 0 0 0

a( t t )

2

1

x − x = v ( t − t ) + −

r r r r

Como xo, vo y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es sólo

función del tiempo, así la ecuación que describe la posición de una partícula

en movimiento en función del tiempo x = x(t) es:

2

0 0 0 0

a( t t )

2

1

x = x + v ( t − t ) + −

r r r r

(2.8) Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

50

La ecuación 2.8 es la expresión que permite determinar el valor de la posición

de la partícula en cualquier instante, conocido los valores iniciales. El gráfico

posición/tiempo es una parábola, ya que la ecuación x = x(t) es cuadrática en t.

La pendiente de la tangente a la curva en cualquier instante t representa el valor numérico de la velocidad de la partícula (figura 2.8). Esta ecuación x(t)

también se conoce como “ecuación de itinerario”.

Figura 2.8 Gráfico x/t

Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones

cinemáticas, que permiten describir el movimiento simple de una partícula que

se mueve con aceleración constante en una dirección, y como con esas ecuaciones se pueden determinar los valores de esas variables para la partícula en

cualquier instante, el movimiento queda completamente descrito. Para el caso

particular de un movimiento con rapidez constante, la aceleración de la partí-

cula es cero, y las ecuaciones del movimiento 2.7 y 2.8 se reducen a:

x x v ( t t )

0 0 0

− + =

r r r

v v cte.

0

= =

r r

Ejemplo 2.2: Demostrar que si la aceleración de una partícula en movimiento

es constante, se tiene que x v = vo

+ 2a∆

2 2

.Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

51

Solución:

De v( t ) = vo

+ a( t − to

), se despeja

a

v v

t t

0

0

−

, = −

reemplazando en

2

0 0 0 0

a( t t )

2

1

x = x + v ( t − t ) + − ,

2

0 0

0 0

a

v v

a

2

1

a

( v v )

x x v ⎟⎠⎞⎜⎝− ⎛+

−

= −

2a

( v 2vv v )

a

v

a

v v

x x

2

0 0

2 2

0 0

0

+ −

− = − + , dividiendo por 2a

2

0

2 2

0 0

2 2

0 0 0

2a( x − x ) = 2v v − 2v + v − 2vv + v = v − v

v v 2a x

2

0

2

∆ + = ⇒Esta es una expresión escalar independiente del tiempo, no es una ecuación

general, por lo que no se puede usar en cualquier problema, es de utilidad restringida ya que sólo permite obtener la magnitud de las variables que contiene.

Ejemplo 2.3. un móvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y acelera

hacia la derecha a razón de 2 m/s

2

hasta t = 10 s. A continuación mantiene su

velocidad constante durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que

logra hacer 3 segundos más tarde. a) Determinar a qué distancia del punto de

partida se encuentra en t = 10 s. b) ¿Con qué velocidad se mueve en ese instante? c) ¿A qué distancia de la partida se encuentra cuando empieza a frenar? d) ¿Dónde se detiene respecto al punto de partida? e) Escriba las ecuaciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para cada etapa del movimiento.

Solución: Se puede elegir el SR como el cliente guste; una posibilidad se ilustra en la figura 2.9, donde inicialmente se ubica a la partícula en el origen O y

se empieza a medir el tiempo desde el instante inicial 5 s.

a) Se pide evaluar x(t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao =

2m/s

2

, to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

52

2

0 0 0 0 0

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

( 10 5 ) s 25m

s

m

2

2

1

x( 10 ) 0 0

2 2

2

= − ⋅ + + =

Figura 2.9

b) Ahora hay que calcular v(t) en t = 10 s, usando la ecuación:

v( t ) = v0

+ a0

( t − t0

(

( 10 5 )s 10 m/s

s

m

v( 10 ) 0 2

2

= − + =

c) Piden evaluar x(t) para t = 20 s, usando esquema y datos del tramo B:

2

10 10 1 1 1

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

( 20 10 )s 0 125m

s

m

x( 20 ) = 25m + 10 − + =

d) Aquí se pide calcular x(t) para t = 23 s, se conoce vf

= 0, t3 =23 s, pero no

se conoce a2, por lo que se debe calcular.

2

20 20 3 2

a ( t 20 )

2

1

x( t ) = x + v ( t − 20 ) + −

cálculo de a2:Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

53

v = v2

+ a2

( t − t2

) en el tramo C

t 20

v

0 v a ( t 20 ) a

3

2

2 2 3 2

−

− = ⇒ − + =

Pero v2 = cte en el tramo B v2 = 10 m/s

2

s

m

3

10

( 23 20 )s

10m / s

a = −

−

− =

x( 23 ) 140m

( 23 20 ) 140m

3

10

2

1

x( t ) 125 10( 23 20 )

2

= ⇒= − ⋅ − − + =

e) Ecuaciones de movimiento:

Para el tramo A:

2

0 0 0 o 0

a ( t t )

2

1

x( t ) = x + v ( t − t ) + −

Con xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s

2

, to = 5s

2 2

o

a ( t 5 ) x( t ) ( t 5 )

2

1

x( t ) = − ⇒ = −

v( t ) = v0

+ a0

( t − t0

)⇒ v( t ) = 2( t − 5 )

Las ecuaciones para los tramos B y C las puede deducir el alumnos de los resultados obtenidos en c) y d), donde basta reemplazar los valores en las funciones de posición y rapidez en función de t.

Ejemplo 2.4. Un auto ingresa en Concepción al puente nuevo a San Pedro

con una rapidez de 54 km/h, la que mantiene constante mientras recorre el

puente. En el mismo instante en San Pedro otro auto ingresa lentamente al

puente con una rapidez inicial de 10.8 km/h hacia Concepción, acelerando a 1

m/s

2

Si la longitud del puente es de 1838 m. Calcular a) la posición donde se .

cruzan, b) la rapidez del auto de San Pedro en el instante en que se cruzan,

¿qué comentario puede hacer de este resultado? Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

54

Solución: Datos: toA = toB = 0, xoA = 0, xoB = 1838m

s

m

15

1

1000

3600

1

= 54 × × =

km

m

s

h

h

km

voA

, aA = 0

voB

= 10.8 km/h = 3 m/s , aB = 1m/s

2

El esquema de la figura 2.10, muestra el sistema de referencia elegido:

Figura 2.10.

a) El movimiento es en una dimensión con a =cte, las ecuaciones para cada

móvil (A en Concepción, B en San Pedro) son:

( ) a t( ) t x v t x 15t

2

1

x x v t t A 0 A A

2

A 0 A 0 A 0 A 0

= ⇒ = ⇒ − + − + =

vA

= v0 A

+ aA

t − ( ) t0 ⇒ vA

= v0 A ⇒ vA

= 15 m/s

( ) ( )

2

B

2

B 0B 0B 0 B 0

t

2

1

a t t x 1838 3t

2

1

x = x + v t − t + − ⇒ = − −

vB

= v0B

+ aB

(t − t0

)⇒ vB

= −3 − t

Cuando se cruzan: xA = xB, entonces

15t 1838 3t 0,5t 0.5t 18t 1838 0

2 2

= − + ⇒ − − =Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

55

t t 45.2s, t 40.6s

1

18 18 4(0.5)(1838)

1 2

2

− = = ⇒+ ± −

=

∴x(45.2) = 15( 45.2 ) = 678m

b) vB

45 ( ) .2 = −3 − 45.2 = −48.2m/s = 173.5 km/h

El automóvil de San Pedro no puede acelerar durante todo ese tiempo, porque

alcanzaría una rapidez muy alta, superando en mucho la máxima permitida y

posible de alcanzar.

2.4 CALCULO GRÁFICO DE ∆x Y ∆v.

El proceso de integración es gráficamente equivalente a encontrar el área bajo

la curva y = f(x). Se puede usar esta propiedad de las integrales para calcular

gráficamente el valor del desplazamiento ∆x y el cambio de rapidez ∆v de una

partícula en movimiento.

De la definición de velocidad se tiene:

∫

∫ ∫

= ∆

⇒ = ⇒ = ⇒ =

t

t

t

t

x

x

x v t dt

dx vdt dx v t dt

dt

dx

v

o

0

0

( )

( )

donde v(t) es la velocidad en cualquier instante. Si se conoce la forma analítica

de v(t) se puede calcular la integral, pero si no se conoce, se puede evaluar

gráficamente y por definición de integral, la expresión anterior se interpreta

como (ver figura 2.11a):

desplazamiento = área bajo la curva v/t

Considerando primero el caso en que la partícula se mueve con rapidez constante vo (significa que su aceleración es cero), entonces del gráfico v/t, que se Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

56

muestra en la figura 2.11a, el desplazamiento es el área del rectángulo de lados vo y ∆t, esto es:

desplazamiento = área rectángulo

∆x = vo

∆t , con vo = cte.

Figura 2.11 a) izquierda, b) derecha.

Considerando ahora el caso en que la partícula se mueve con rapidez v(t) función lineal del tiempo (en este caso la aceleración es constante), o sea v(t) = vo

+ a(t - t )o , el desplazamiento ∆x de la partícula durante el intervalo de tiempo

desde to a t es igual al área bajo la recta v(t) de la figura 2.11b:

desplazamiento = área rectángulo + área triángulo

2

o

o

a( t )

2

1

t

v t

2

1

t

x v

x v

∆ + ∆ =

⇒ ∆ ∆ + ∆

∆

= ∆

De manera similar se obtiene el calculo gráfico para el cambio de rapidez.

Considerar una partícula que se mueve con rapidez vo en el instante inicial to y

con rapidez v en el instante t, que aumenta su aceleración linealmente con el

tiempo, o sea a(t) = ao + k(t - t )o , donde ao es el valor inicial de la aceleración Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

57

y k representa el valor de la pendiente de la recta en el gráfico aceleración versus tiempo, que debe tener unidad de medida de m/s

3

En este caso estamos .

extendiendo la descripción del movimiento al caso de una partícula con aceleración variable, dejando de lado la restricción impuesta al principio de este

capítulo. El cambio de rapidez ∆v de la partícula durante el intervalo de tiempo desde to a t es igual al área bajo la recta a(t) de la figura 2.12:

cambio de rapidez = área rectángulo + área triángulo

a t

2

1

∆v = a

o

∆t + ∆ ∆

Como se propuso, a es una función lineal de t de la forma a(t) = ao +k(t - t )o ,

entonces a(t) - ao = k(t - t )o , o bien ∆a = k∆t, reemplazando se tiene:

2

o

k( t )

2

1

∆v = a ∆t + ∆

Observar que en este caso se tiene un método para describir un movimiento

con aceleración variable (en este caso linealmente) en el tiempo.

Figura 2.12

Ejemplo 2.5: En la figura 2.13 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una

partícula que se mueve en dirección positiva del eje x. a) calcular el desplazamiento de la partícula, b) hacer el gráfico aceleración/tiempo, c) determinar las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo, d) calcular su

posición en los instantes 5, 10 y 20 segundos.Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

58

Figura 2.13 Ejemplo 5.

Solución. a) El desplazamiento es igual al área (A) bajo la curva v/t, que es

conveniente calcular por intervalos de tiempo, entonces:

0 ≤ t < 5s : ( )s m

s

m

A x 20 5 50

2

1

1 1 ⎟ =

⎠⎞⎜⎝⎛= ∆ =

5 ≤ t < 10s : ( )s m

s

m

A x 20 5 100

2 2 ⎟ =

⎠⎞⎜⎝⎛= ∆ =

10 ≤ t ≤ 20s : A x ( )s 10 ( )s 150m

s

m

10 10

s

m

10

2

1

3 3 ⎟ =

⎠⎞⎜⎝⎛+ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∆ =

∆xT

= ∆x1

+ ∆x2

+ ∆x3

= 50 + 100 + 150 = 300m

b) Los valores de la aceleración que se pueden calcular de la pendiente del

gráfico v/t en cada intervalo de tiempo, se indican en el gráfico a/t de la figura

2.14.

Figura 2.14. Ejemplo 5, parte b).

c) Determinación de las ecuaciones de movimiento, suponiendo que xo = 0

para to = 0. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

59

0 ≤ t < 5s :

2 2

o

at x( t ) 2t

2

1

x( t ) = v t + ⇒ =

5 ≤ t < 10s :

( ) ( )

x( t ) 50 20 t( )5

a t 5

2

1

x( t ) x( 5 ) v t 5

2

o

− + =

⇒ − + − + =

10 ≤ t ≤ 20s :

( ) ( )

( ) ( )

2

2

o

t 10

2

1

x( t ) 150 20 t 10

a t 10

2

1

x( t ) x( 10 ) v t 10

− − − + =

⇒ − + − + =

d) La posición en los instantes pedidos (y en cualquier otro tiempo) se puede

calcular con las ecuaciones de movimiento anteriores

para t = 5s: x(t) = 2t

2

⇒ x(5) = 2(5)

2

= 50 m

para t = 10s: x(t) = 50+20(t-5) ⇒ x(10)=50+20(10-5) = 150 m

para t = 20s: x(t) = 150+20(t-10)- ½(t-10)

2

⇒ x(20) = 300 m

Ejercicio: calcular la posición en los instantes 2.5, 8 y 15 segundos.

2.5 CUERPOS EN CAÍDA LIBRE.

Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos

que se mueven libremente en dirección vertical cerca de la superficie de la

Tierra, que se conoce como movimiento de caída libre. Galileo (1564 – 1642),

físico y astrónomo italiano, fue el primero en estudiar el movimiento de caída

libre, al observar que dos cuerpos diferentes, al dejarlos caer desde la torre

inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo.

Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente

constante. Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción gravitacional, cuyo origen será explicado en el Capítulo 9. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

60

La aceleración de gravedad, que se denota por g

r

es un vector que apunta

hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la

latitud, es decir desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la

altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra

es aproximadamente de 9.8 m/s

2

.

Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia

sólo de la aceleración de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza

que se resiste al movimiento y que también será estudiada más adelante) que

el aire opone a los cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial

del objeto. Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se

dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La aceleración que adquieren es siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia

abajo, cualquiera sea la dirección inicial del movimiento.

Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración

constante, se puede adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y.

Por lo tanto se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensión, tomando al eje y en la dirección del movimiento de caída, por convención positivo hacia arriba. Con esta convención, un movimiento de caída

libre de ascenso o de descenso tiene una aceleración g negativa. También se

debe tener en cuenta que si el cuerpo asciende (desciende) su velocidad será

positiva (negativa) en este sistema de referencia. De está forma las ecuaciones

de movimiento 2.7 y 2.8 se transforman en las ecuaciones para caída libre:

( )

2

2

1

o oy o

y = y + v − g t − t

r r r r

(2.9)

v

y

= voy

− g(t − to

(

r r r

(2.10)

Los gráficos posición/tiempo, velocidad/tiempo y aceleración/tiempo para una

partícula que se lanza verticalmente hacia arriba, desde una posición inicial yo,

que no tiene porque ser el suelo, son los que se muestran en la figura 2.15 Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

61

Figura 2.15. Gráficos y/t, vy/t y a/t, para a = -g

Ejemplo 2.6: Tito lanza una piedra hacia arriba desde la terraza de un edificio de 50 m de alto, con una rapidez inicial de 20 m/s. Cuando está cayendo

la piedra pasa justo por el costado del edificio. Calcular a) el tiempo para

que la piedra alcance su altura máxima, b) la altura máxima, c) el tiempo que

tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instante, e) el tiempo que tarda en llegar al suelo, f) la velocidad en ese instante.

Solución: Considerando un sistema de referencia que se muestra en la figura

2.16, con el eje y positivo vertical hacia arriba y el origen yo = 0 donde comienza el movimiento de la piedra, con to = 0 y vo = 20 m/s.

a) Cuando la piedra alcanza la máxima altura v = 0:

2s

10m/s

20m/s

( ) 0

2

v t = vo

− gt = ⇒ vo

= gt ⇒ t = =

b) Se pide evaluar y(t) para t = 2 s

2

( )

2

1

o oy

( o

) o

y = y + v t − t − g t − t

r r r r

⇒ 2

2

1

y = v to

− gt

y y ( ) s (10m/s ) 2( )s 20m

2

1

(2) 20m/s (2 )

2 2

max

= − = =

Figura 2.16 Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

62

c) Cuando pasa por el punto inicial y = 0 ⇒s

g

v

t v gt t

y v t gt v gt t

o

o

o o

4

10

2 (2)(20)

0

2

1

0 y

0

2

1

0

2

1

1

2

= = = ⇒ = − =

⇒ = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛− ⇒ = − =

d) Hay que evaluar v para t = 4s

s

m

v(t) = vo

− gt ⇒ v(4) = 20 − (10)(4) = −20

e) En esta posición y = -50 m ⇒t t t s t s

y v t gt t t

o

4 10 0 5.7 y 1.7

50 20 5

2

1

1 2

2

2 2

− = = ⇒ = − −

− = − ⇒ − =

Se descarta el tiempo negativo, porque físicamente no es posible.

f)

s

m

v(t) = vo

− gt ⇒ v(5.7) = 20 − (10)(5.7) = −37

2.5.1 Efectos de g en las personas.

La capacidad de una persona para soportar una aceleración depende tanto de la

magnitud como de la duración de ésta. Debido a la inercia de la sangre y de

los órganos dilatables, las aceleraciones pequeñas tienen poca importancia si

duran sólo fracciones de segundo. El límite de tolerancia se encuentra cercano

a 10g y depende de la resistencia estructural de los cuerpos. La mayoría de las

personas han experimentado aceleraciones verticales moderadas en los

ascensores. La sangre circula por vasos dilatables de manera que cuando el

cuerpo es acelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior de

éste. Cuando la aceleración es hacia abajo, aumenta el volumen de sangre en

la parte superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rí-Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

63

te superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rígidos

en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puede producir sensaciones desagradables.

Cuando un avión despega, aterriza o realiza giros muy rápidos, está sometido

a aceleraciones de hasta 9g. El grado de tolerancia de un humano a esta aceleración dependerá entre otros factores del peso, edad y condición física de la

persona. A modo de ejemplo, un piloto que en tierra pesa 80 kilos, cuando es

sometido a este valor de aceleración siente repentinamente que su peso es alrededor de 720 kilos. Esta misma aceleración hace que la sangre fluya hacia

los pies del piloto, esto disminuye el retorno venoso al corazón con lo cual la

presión baja y el piloto puede perder la visión temporalmente, para luego perder la conciencia. También existen aceleraciones negativas durante el vuelo en

la cual el piloto experimenta la aceleración en posición invertida. En ese caso

la aceleración hace que la sangre fluya al cerebro, el piloto sufre de palidez y

su visión se torna roja.

Estudios han determinado que los humanos pueden soportar hasta 9g de aceleraciones positivas y 3g para aceleraciones negativas. Un piloto que viaja en

aviones modernos que incluso alcanzan velocidades cercanas a la del sonido,

podría detenerse sin peligro en una distancia aproximada de 200 m, pero si

esta velocidad fuese unas 100 veces mayor (valores que pueden ser alcanzados

en viajes interplanetarios), la distancia de frenado que necesitaría para no producir efectos nocivos en sus tripulantes debe ser de aproximadamente

16000km. La razón de esta diferencia está en que la cantidad total de energía

que se disipa durante la desaceleración es proporcional al cuadrado de la velocidad, lo que es suficiente para aumentar la distancia unas 10000 veces. Por

esta razón se han creado procedimientos y aparatos especiales para proteger a

los pilotos del colapso circulatorio que aparece durante aceleraciones positivas. Primero, si el piloto aprieta sus músculos abdominales en grado extremo

y se inclina hacia adelante para comprimir el abdomen, puede evitar la

acumulación de sangre en los grandes vasos abdominales, evitando así la

perdida de conciencia. Además se han diseñado trajes “anti-g” para prevenir el

estancamiento de sangre en la parte más baja del abdomen y las piernas. Este

tipo de traje aplica una presión positiva en piernas y abdomen, inflando

compartimientos de aire a medida que aumenta la aceleración positiva.

Además el cuerpo humano presenta de 1 a 2 cm de tejido blando externo, lo

que aumenta la distancia de desaceleración y por lo tanto disminuye la fuerza

de impacto, por ejemplo, durante una caída. Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

64

PROBLEMAS.

2.1 Cuando Carlos viaja en una autopista, pasa por la marca de 260 km.

Después sigue moviéndose hasta la marca de 150 km. y luego se devuelve hasta la marca 175 km. ¿Cuál es su desplazamiento resultante

respecto a la marca de 260 km.? R: –85 km.

2.2 Un gato negro se encuentra en una posición final de 3.6 m en dirección

240º respecto a x, después de realizar un desplazamiento de 120 cm en

135º respecto de x. Determine su posición inicial. R: 4.1m, 256.5º.

2.3 La luz del Sol llega a la Tierra en 8.3 min. La rapidez de la luz es de 3 x

10

8

m/s. Calcular la distancia de la Tierra al Sol. R: 1.5 x 10

11

m.

2.4 Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y

su amigo a 95 km/h. ¿Cuánto tiempo tiene que esperarlo su amigo al final del viaje? R: 1.8 min.

2.5 Ana conduce calle abajo a 55 km/h. Repentinamente un niño atraviesa la

calle. Si Ana demora 0.75 s en reaccionar y aplicar los frenos, ¿cuántos

metros alcanza a moverse antes de comenzar a frenar? R: 11 m.

2.6 Las condiciones de movimiento de una partícula que se mueve en dirección x son

2

xo

= 7ˆi m, vo

= −3ˆi m/s, a = −4ˆi m/s

r r r

, en el instante inicial

t0 = 0. a) Escribir las ecuaciones vectoriales de la posición y velocidad

del cuerpo en cualquier instante. b) Calcular la posición del cuerpo respecto al origen a los 10 s de iniciado el movimiento. c) Averiguar si el

cuerpo se detiene en algún instante. R: b) –223i m, c) no.

2.7 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación

x(t)=(3t

2

-2t+3)m. Calcular a) la rapidez promedio entre t = 2s y t = 3s,

y b) la velocidad instantánea en t = 2s y t = 3s, c) la aceleración promedio entre t = 2s y t = 3s y d) la aceleración instantánea en t = 2s y t =

3s.

2.8 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación

x(t)=2+3t-t

2

, donde x está en metros y t en segundos. Para t=3s, calcular

a) la posición de la partícula , b) su velocidad c) su aceleración. R: a)

2m, b) –3m/s, c) –2m/s

2

.Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

65

2.9 Las ecuaciones de movimiento para dos partículas A y B que se mueven

en la misma dirección son las siguientes (x en m y t en s).

2

2

( ) 29 8.5 4.1

( ) 3.2 6 20

x t t t

x t t t

B

A

− + =

− − =

Calcular: a) el instante para el cual las posiciones de A y B coinciden, b)

las velocidades de A y B en el instante en que se encuentran en la misma

posición.R: a) 3.8s, b) 18.3 m/s, -22.7 m/s.

2.10 Un electrón en un tubo de rayos catódicos acelera de 2x10

4

m/s hasta

6x10

6

m/s en 1.5cm. a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer esta

distancia? b) ¿Cuál es su aceleración?

2.11 Un electrón tiene una velocidad inicial de 3x10

5

m/s. Si experimenta una

aceleración de 8x10

14

m/s

2

, a) ¿Cuánto tardara en alcanzar una velocidad

de 5.4x10

5

m/s, y b) qué distancia recorre en ese tiempo?

2.12 Determine la velocidad final de un protón que tiene una velocidad inicial de 2.35 x 10

5

m/s, y es acelerado uniformemente en un campo eléctrico a razón de –1.10x10

12

m/s

2

durante 1.5x10

-7

s. R: 7.0 x 10

4

m/s.

2.13 Un jet supersónico que vuela a 145 m/s acelera uniformemente a razón

de 23.1 m/s

2

durante 20s. a) ¿Cuál es su velocidad final? b) La rapidez

del sonido en el aire es 331 m/s. ¿Cuántas veces mayor es la velocidad

final del avión comparada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b) 1.83 veces la rapidez del sonido.

2.14 Dos autos A y B se mueven en línea recta en dirección positiva del eje

x. En el instante inicial A está en reposo y acelera con 2m/s

2

El movimiento de B es con rapidez constante de 20m/s. Calcular: a) la distancia .

que recorren en un minuto, b) el tiempo que demoraría A en igualar la

rapidez de B, c) la distancia que los separa cuando sus rapideces son

iguales, d) la aceleración que debería ejercerse sobre B para que pudiera

detenerse en 4 s. R: a) 3600m, 1200 m, b) 10 s, c) 100 m, d) –5 m/s

2

.Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

66

2.15 Un auto que se mueve con aceleración constante recorre en 6 s la distancia de 60 m que separa dos puntos; su rapidez al pasar por el segundo

punto es de 14 m/s. Calcular: a) la aceleración del auto, b) su velocidad

al pasar por el primer punto, c) la posición donde se encontraba en reposo. R: a) 4/3 m/s

2

, b) 6 m/s, c) –14.4m.

2.16 Dos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante t = 0h,

el auto A tiene una posición xA = 48 km y una rapidez constante de 36

km/h. Más tarde en t=0.5h, el auto B está en la posición xB=0 km con

una rapidez de 48 km/h. Responda las siguientes preguntas: primero,

gráficamente, haciendo una gráfica de posición versus tiempo; segundo,

algebraicamente, escribiendo las ecuaciones para las posiciones xA y xB

en función del tiempo t. a) ¿Cuál es la lectura del cronómetro cuando el

auto B sobrepasa al auto A? b) ¿En qué posición A es alcanzado por B?

c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que A estaba en su punto de referencia hasta que B lo alcanza? R: a) 6 h, b) 260 km, c) 7.3 h.

2.17 Un auto y un tren se mueven al mismo tiempo a lo largo de trayectorias

paralelas a 25m/s. Debido a una luz roja el auto experimenta una aceleración uniforme de –2.5m/s

2

y se detiene. Permanece en reposo durante

45s, después acelera hasta una velocidad de 25m/s a una tasa de 25m/s

2

.

¿A qué distancia del tren está el auto cuando alcanza la velocidad de

25m/s, suponiendo que la velocidad del tren se ha mantenido en 25m/s?

2.18 Una partícula parte desde el reposo de la parte superior de un plano inclinado y se desliza hacia abajo con aceleración constante. El plano inclinado tiene 2m de largo, y la partícula tarda 3s en alcanzar la parte inferior. Determine a) la aceleración de la partícula, b) su velocidad en la

parte inferior de la pendiente, c) el tiempo que tarda la partícula en alcanzar el punto medio del plano inclinado, y d) su velocidad en el punto

medio. R: a) 0.44m/s

2

, b) 1.3m/s, c) 2.1s, d) 0.94m/s.

2.19 Dos trenes expresos inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A

partir del reposo cada uno es capaz de alcanzar una velocidad máxima

de 160km/h después de acelerar uniformemente en una distancia de 2km.

a) ¿Cuál es la aceleración de cada tren? b) ¿A que distancia está el primer tren cuando el segundo inicia su trayecto? c) ¿Qué tan separados se

encuentran cuando ambos viajan a máxima velocidad? Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

67

2.20 Un automóvil que se mueve a una velocidad constante de 30m/s pierde

velocidad repentinamente en el pie de una colina. El auto experimenta

una aceleración constante de –2 m/s

2

(opuesta a su movimiento) mientras efectúa el ascenso. a) escriba ecuaciones para la posición y la velocidad como funciones del tiempo considerando x = 0 en la parte inferior

de la colina, donde vo = 30m/s. b) Determine la distancia máxima recorrida por el auto después de que pierde velocidad. R: a) –30t-t

2

, -30-2t b)

225m.

2.21 Paco manejando a 30m/s entra en un túnel de una sola pista. Después

observa una camioneta que se mueve despacio 155m adelante viajando a

5m/s. Paco aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a 2m/s

2

, debido

a que el camino está húmedo. ¿Chocará? Si es así, calcular a qué distancia dentro del túnel y en qué tiempo ocurre el choque. Si no choca, calcular la distancia de máximo acercamiento entre el auto de Paco y la

camioneta. R: 11.4s, 212m.

2.22 Una bala indestructible de 2cm de largo se dispara en línea recta a través

de una tabla que tiene 10cm de espesor. La bala entra en la tabla con una

velocidad de 420m/s y sale con una velocidad de 280m/s. a) ¿Cuál es la

aceleración promedio de la bala a través de la tabla? b) ¿Cuál es el tiempo total que la bala está en contacto con la tabla? c) ¿Qué espesor de la

tabla se requeriría para detener la bala?

2.23 Un africano que se encuentra a 20 m de un león hambriento arranca con

una rapidez constante de 36 km/hr, alejándose en línea recta del león,

que está inicialmente detenido. El león tarda 2 segundos en reaccionar

cuando empieza a perseguir al africano con una aceleración de 4 m/s

2

,

siempre en línea recta hacia el africano, que huye hacia un árbol que se

encuentra más adelante en la misma recta. a) Hacer un esquema ilustrativo de la situación. b) ¿Cuál debe ser la máxima distancia a la que debe

estar el árbol para que el africano pueda subirse justo antes que el león

lo alcance? c) Calcular la rapidez con la que el león llega al árbol. R: b)

116m, c) 30.4 m/s.

2.24 Un camión se mueve a 90 km/hr en una carretera recta. Cuando se

encuentra a 70 m de un árbol atravesado en la carretera, el conductor se

da cuenta de ello, tardando 0.5 s en reaccionar y presionar los frenos del

camión que le imprimen una aceleración de –5 m/s

2

Determinar si el .Cap. 2 Movimiento en una dimensión.

68

camión choca o no con el árbol cruzado en la carretera. R: si a 25.5

km/h.

2.25 Dos autos se aproximan uno al otro; ambos se mueven hacia el oeste,

uno a 78 km/h y el otro a 64 km/h. a) ¿Cuál es la velocidad del primer

auto relativa al (en el sistema de referencia del) segundo auto? b) ¿Cambian su velocidad relativa después de que el uno sobrepasa al otro? R: a)

14km/h, oeste, b) no.

2.26 En la figura 2.17 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una partícula

que se mueve en dirección del eje x. a) Dibujar el gráfico posición/tiempo, b) calcular el desplazamiento de la partícula, c) hacer el

gráfico aceleración/tiempo, d) calcular su posición en los instantes 5, 10,

20, 25, 30 y 40 segundos, e) calcular el cambio de rapidez en los intervalos 0 y 5, 5 y 20, 20 y 25, 25 y 40 segundos.

Movimiento en una dimensión

Cinemática

En un primer estudio de la mecánica, es conveniente describir el movimiento sin

tomar en cuenta los agentes que producen dicho movimiento. Esta parte de la

mecánica recibe el nombre de cinemática. Primeramente consideraremos el

movimiento a lo largo de una línea recta mejor conocido como movimiento en una

dimensión. Este movimiento se puede considerar a lo largo del eje de las x. El

estudio del movimiento en una dimensión requiere conocer el desplazamiento o la

posición, la velocidad, la aceleración y la relación entre ellas.

Desplazamiento

El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el

espacio se conoce en todo momento.

Cuando la partícula se mueve de la posición xi

a la posición xf

su desplazamiento

está dado por xf

- xi

Es decir, el cambio de posición .

∆x = x - x

f i

(0.1)

delta ( ∆ ) indica el cambio en una cantidad.

De acuerdo con esta definición se ve que ∆x es positiva si xf

es mayor que xi

, y

negativa si xf

es menor que xi

El desplazamiento no debe confundirse con la .

distancia recorrida. Por ejemplo, en la figura 1 se ve que cuando un jugador de

béisbol batea un “cuadrangular”, recorre una distancia de 360 pies en su viaje

alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las

posiciones final e inicial del jugador son idénticas.

Velocidad

La velocidad de una partícula es una medida del cambio de su posición con

respecto al tiempo.

La velocidad promedio

La velocidad promedio de una partícula se define como la razón de su

desplazamiento ∆x entre el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t: Véase la figura 2.

x - x

∆x f i

v = =

∆t t - t

f i

(0.2) 45

Figura 1.

Velocidad instantánea

La velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo se conoce como la

velocidad instantánea. Este concepto tiene una importancia especial cuando la

velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante. La

velocidad instantánea es igual al límite del cociente

∆x

∆t

conforme ∆t se acerca a

cero. Véase la figura 3. En la notación del cálculo, este límite se conoce como la

derivada de x con respecto a t y se escribe

0

∆x dx

v lim

∆t dt

t ∆ →

= = (0.3)

La rapidez promedio

La rapidez promedio de una partícula se define como el cociente entre la distancia

total recorrida y el tiempo total que se requiere para viajar esa distancia:

rapidez promedio =

distancia total

tiempo total

La rapidez siempre es positiva, es una cantidad escalar y en el SI se mide en m/s. 46

Figura 2. Figura 3.

Aceleración

Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la

partícula está acelerada.

Supóngase una partícula que se mueve a la largo del eje x a una velocidad vi

en el

tiempo ti

y a una velocidad vf

en el tiempo tf

.

La aceleración promedio

La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo ∆t = tf

- ti se

define como

v - v

∆v f i

a = =

∆t t - t

f i

(0.4)

donde ∆v = v - v

f i

es el cambio de la velocidad en este intervalo de tiempo. La

aceleración tiene dimensiones de longitud dividida entre (tiempo)

2

, o L/T

2

Algunas .

de las unidades comunes de aceleración son metros por segundo por segundo

(m/s

2

) y pies por segundo por segundo (pies/s

2

). De la misma forma que con la

velocidad se pueden emplear los signos positivo y negativo para indicar la

dirección de la aceleración cuando el movimiento que se analiza ocurre en una 47

dimensión. En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser

diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es útil definir la

aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando ∆t se

acerca a cero.

Figura 5.

La aceleración instantánea

El concepto de aceleración instantánea se obtiene si consideramos el límite de

∆v

∆t

conforme ∆t se aproxima a cero, es decir

0

∆v dv

lim

∆t dt

t

a

→ ∆

= = (0.5)

A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de

aceleración instantánea. Puesto que

dx

v =

dt

la aceleración también puede escribirse como

2

d x

2

dt

a = (0.6)

Es decir, en un movimiento en línea recta, la aceleración es igual a la segunda

derivada de la posición de la partícula con respecto al tiempo.

Movimiento en una dimensión con aceleración constante

Un movimiento en una dimensión muy común y simple ocurre cuando la

aceleración es constante o uniforme. Cuando la aceleración es constante, la

aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea, en consecuencia, la

velocidad aumenta o disminuye de la misma forma durante todo el movimiento. Es

decir, la aceleración instantánea 48

f i

f i

dv v - v

= =

dt t - t

a (0.7)

Velocidad en función de la aceleración y el tiempo

Si por conveniencia se considera que ti

= 0, que tf

representa cualquier tiempo

arbitrario t y además, que vi

= v0 (la velocidad inicial en t = 0) y que vf

= v (la

velocidad en cualquier tiempo arbitrario t), la aceleración se puede expresar como

v - v

0

=

t

a

o bien,

0

v = v + ta (0.8)

Esta expresión permite determinar la velocidad en cualquier tiempo t si se conocen

la velocidad inicial, la aceleración (constante) y el tiempo transcurrido.

v

t

O

t

v0

at

v0 v = v0 + at

Pendiente = a

Figura 7.

Una gráfica velocidad-tiempo se muestra en la figura 7. La gráfica es una línea

recta cuya pendiente es la aceleración, lo que es consistente con el hecho de que

dv

=

dt

a es una constante. Si la aceleración fuera negativa, la pendiente sería

negativa. Si la aceleración es en la dirección opuesta a la velocidad, entonces la

partícula se está desacelerando.

De acuerdo con esta gráfica y con la ecuación (0.8), vemos que la velocidad en

cualquier, tiempo t es la suma de la velocidad inicial, v0, y el cambio en la

velocidad debido a la aceleración, at .

Posición en función de la aceleración y el tiempo 49

Consideremos ahora la gráfica de la aceleración contra el tiempo, cuando la

aceleración es constante. La gráfica es una recta con una pendiente igual a cero

(Véase la figura 8).

a

t

O

t

Pendiente = 0

a

Figura 8.

Puesto que la velocidad varía linealmente en el tiempo, según la ecuación (0.8) y

como la aceleración es constante, es posible expresar la velocidad promedio en

cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial, v0, y

de la velocidad final, v:

0

v + v

v =

2

(0.9)

Esta expresión es útil sólo cuando la aceleración es constante, es decir, cuando la

velocidad varía de manera lineal con el tiempo.

Ahora, combinando la ecuación (0.9) y la ecuación (0.2) se puede obtener el

desplazamiento como función del tiempo. En este caso también se elige ti

= 0,

tiempo en el cual la posición inicial es xi

= x0. Esto implica que

0

v + v

∆x = v∆t = t

2

donde se ha considerado que tf

– ti

= t, ya que ti

= 0. Es decir,

1

x - x = (v + v )t

2 0 0

(0.10)

Si en esta ecuación se reemplaza la velocidad v por la expresión (0.8), se obtiene

la ecuación que describe la posición como función de la aceleración

2

1

x - x = v t + t

0 0 2

a (0.11) 50

También es posible obtener una expresión que relaciona el cambio en la posición

con el cambio de velocidad y la aceleración. Para esto, se elimina el tiempo entre

la ecuación (0.11) y la expresión (0.8). Despejando t de esta última ecuación y

sustituyendo en (1.11) se obtiene

2 2

v - v

0

x - x =

0 2a

(0.12)

Es decir,

2 2

v - v = 2 (x - x )

0 0

a (0.13)

En la figura siguiente se presenta una gráfica de la posición contra el tiempo para

un movimiento con aceleración constante donde a es positiva. Obsérvese que la

curva que representa a la ecuación es una parábola.

La pendiente de la tangente en esta curva en t = 0 es igual a la velocidad inicial,

v0, y la pendiente de la línea tangente en cualquier tiempo t es igual a la velocidad

en ese tiempo.

Figura 9. Grafica de la posición contra el tiempo

para un movimiento con aceleración constante. 51

Ecuaciones de la cinemática

Las cuatro ecuaciones cinemáticas utilizadas con mayor frecuencia se incluyen en

la tabla I.

Tabla I

Ecuación ________ Información que se extrae de la ecuación

0

v = v + ta Velocidad como función del tiempo para una

aceleración constante

1

x - x = (v + v )t

2 0 0

Desplazamiento como una función de la velocidad y

el tiempo

2

1

x - x = v t + t

0 0 2

a

Desplazamiento como una función del tiempo y para

una Aceleración constante.

2 2

v - v = 2a(x - x )

0 0

Velocidad como una función del desplazamiento y la

aceleración

Los símbolos tienen el significado siguiente: x0 es la posición inicial; v0 es la

velocidad inicial; x es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y a

es la aceleración que se considera constante.

Movimiento vertical con aceleración constante

Cuando se lanza un objeto en dirección vertical, hacia arriba o hacia abajo, dicho

objeto se mueve bajo la acción de la gravedad terrestre que jala a los objetos

hacia el centro de la tierra agregándoles una aceleración g = 9.8 m/s

2

.

Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración de la

gravedad no varía con la altitud, entonces el movimiento es equivalente al

movimiento en una dimensión con aceleración constante. Este movimiento se

puede considerar a lo largo del eje y.

Por tanto, pueden aplicarse las ecuaciones cinemáticas para aceleración

constante obtenidas anteriormente. Para esto, se tomará la dirección vertical como

el eje y y se indicará positiva hacia arriba. Es necesario solamente sustituir x por y

en las ecuaciones de la tabla I. Asimismo, como la aceleración apunta hacia el

centro de la Tierra, es negativa y está dada por a = -g . Con lo anterior, se

obtienen las ecuaciones mostradas en la tabla II. 52

Tabla II

Ecuaciones para estudiar movimiento en caída libre (a = - g)

Ecuación ________________ Información que se extrae de la

ecuación

y y0

v = v - gt Velocidad como función del tiempo

y y0

1

y - y = (v + v )t

0 2

Altura como una función de la velocidad y

el tiempo.

2

1

y - y = v t - gt

0 yo 2

Altura como una función del tiempo.

y y0

2 2

v - v = - 2g(y - y )

0

Velocidad como una función de la altura.

Los símbolos tienen el significado siguiente: y0 es la altura inicial; vy0 es la

velocidad inicial; y es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y g

es la aceleración hacia abajo que se considera constante.

Objetos en caída libre

Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia

necesariamente a un objeto que se soltó desde el reposo. Un objeto que cae

libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la

gravedad, sin importar su movimiento inicial. Un objeto lanzado hacia arriba y uno

lanzado hacia abajo experimenta la misma aceleración que un objeto que se deja

caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen

una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.

El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También,

varía ligeramente con la latitud. La aceleración de caída libre está dirigida hacia el

centro de la Tierra. En la superficie, el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s

2

,

980 cm/s

2

o 32 pies/s

2

, dependiendo del sistema de unidades que se utilice.

Nótese que el signo negativo para la aceleración ya está incluido en las

ecuaciones de la tabla II.

Ejemplo. Considere el caso de una partícula lanzada verticalmente (Véase la

figura 10) hacia arriba desde el origen con una velocidad v0. En este caso, v0 es

positiva y y0 = 0. Es decir la partícula se lanza desde una altura igual a cero. En la

siguiente figura se muestran las gráficas de la posición y la velocidad de la

partícula como funciones del tiempo. 53

Figura 10. Grafica de la altura y la velocidad de un objeto que se lanza hacia

arriba con velocidad inicial v0.

observe que la velocidad es positiva cuando la partícula está subiendo, pero

disminuye conforme pasa el tiempo y se hace cero en el punto donde la altura

tiene su valor máximo. En ese punto, la velocidad es cero. Después la velocidad

es negativa. Con la ecuación (0.8), haciendo v = 0, se obtiene que la altura

máxima se alcanza en el tiempo t1 = v0/g. En este tiempo, el desplazamiento tiene

su valor positivo más grande, el cual puede calcularse de la ecuación y – y0 = v0t–

gt

2

/2 con t = t1 = v0/g. Esto produce ymax = v0

2

/2g.

En el tiempo t2 = 2t1 = 2v0/g la posición de la partícula otra vez es cero, es decir, la

partícula ha regresado a la altura y = 0. Además, en el tiempo t2 la velocidad es v

= - v0. 54

Formulario

Desplazamiento

∆x = x - x

f i

Velocidad promedio

x - x

∆x f i

v = =

∆t t - t

f i

Velocidad instantánea

0

∆x dx

v lim

∆t dt

t ∆ →

= =

Aceleración promedio

v - v

∆v f i

a = =

∆t t - t

f i

Aceleración instantánea

0

∆v dv

lim

∆t dt

t

a

→ ∆

= =

Relación entre posición y velocidad

dx

v =

dt

Relación entre posición y aceleración

2

d x

2

dt

a =55

Ecuaciones de la cinemática en una dimensión

Tabla I

Ecuación ________ Información que se extrae de la ecuación

0

v = v + ta Velocidad como función del tiempo para una

aceleración

Constante

1

x - x = (v + v )t

2 0 0

Desplazamiento como una función de la velocidad

y el tiempo

2

1

x - x = v t + t

0 0 2

a

Desplazamiento como una función del tiempo y

para una

Aceleración constante.

2 2

v - v = 2 (x - x )

0 0

a

Velocidad como una función del desplazamiento y

la aceleración

Los símbolos tienen el significado siguiente: x0 es la posición inicial; v0 es la

velocidad inicial; x es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y a

es la aceleración que se considera constante.

Ecuaciones de objetos en caída libre

Tabla II

Ecuaciones para estudiar movimiento en caída libre (a = - g)

Ecuación ________________ Información que se extrae de la

ecuación

y y0

v = v - gt Velocidad como función del tiempo

y y0

1

y - y = (v + v )t

0 2

Altura como una función de la velocidad y

el tiempo.

2

1

y - y = v t - gt

0 yo 2

Altura como una función del tiempo.

y y0

2 2

v - v = - 2g(y - y )

0

Velocidad como una función de la altura.

Los símbolos tienen el significado siguiente: y0 es la altura inicial; vy0 es la

velocidad inicial; y es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y g

es la aceleración hacia abajo que se considera constante. 56

Problemas

1. La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue

observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la tabla siguiente.

Encuentre la velocidad promedio del automóvil durante (a) el primer segundo, (b)

los últimos tres segundos, y (c) el periodo completo de observación.

x(cm)

t(s)

0

0

2.3

1.0

9.2

2.0

20.7

3.0

36.8

4.0

57.5

5.0

Solución:

(a)

f i

f i

x - x 2.3 - 0

v = = = 2.3 cm/s

t - t 1

(b)

f i

f i

x - x 57.5 - 9.2 48.3

v = = = = 16.1 cm/s

t - t 5.0 - 2.0 3

(c)

f i

f i

x - x 57.5 - 0 57.5

v = = = = 11.5 cm/s

t - t 5 - 0 5

2. Un automovilista viaja hacia el norte durante 35 min a 85 km/h y luego se

detiene durante 15 min. Después continua hacia el norte, recorriendo 130 km en

2.0 h. (a) ¿cuál es su desplazamiento total? (b) ¿cuál es su velocidad promedio?

Solución:

(a)

1 1 3 3

s = v ∆t + v ∆t = (85)(35/60) + (130)(2) = 309.6 km

(b)

1 1 3 3

1 2 3

v ∆t + v ∆t

v =

∆t + ∆t + ∆t

= 309.6/2.83 = 109.4 km/h

3. En la figura se muestra la grafica de desplazamiento contra tiempo para cierta

partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en

los intervalos de tiempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4 s, (c) 2 a 4 s, (d) 4 a 7 s, y (e) 0 a 8 s. 57

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8

x( m)

9 t(s)

Solución:

(a)

f i

f i

x - x 10 - 0

v = = = 5 m/s

t - t 2 - 0

(b)

f i

f i

x - x 4 - 0

v = = = 1.0 m/s

t - t 4 - 0

(c)

f i

f i

x - x 4 - 10

v = = = -3 m/s

t - t 4 - 2

(d)

f i

f i

x - x 0 - 4

v = = = -1.33 m/s

t - t 7 - 4

(e)

f i

f i

x - x -6 - 0

v = = = -0.75 m/s

t - t 8 - 0

4. Una corredora avanza en línea recta con una velocidad promedio de + 5.00 m/s

durante 4.00 min, y después con una velocidad promedio de + 4.00 m/s durante

3.00 min. (a) ¿cuál es su velocidad promedio durante este tiempo?

Solución:

1 1 2 2

1 2

v ∆t + v ∆t (5)(4) + (4)(3)

v = = = 4.57 m/s

t + t 4 + 358

5. Una persona camina del punto A al punto B a una velocidad constante de 5.0

m/s a lo largo de una línea recta y después regresa a lo largo de la línea de B a A

con una velocidad constante de 3.0 m/s. (a) ¿cuál es su rapidez promedio en el

recorrido completo? (b) ¿Su velocidad promedio en el recorrido completo?

Solución:

(a) rapidez promedio = desplazamiento/ tiempo = 0, ya que el desplazamiento es

cero.

(b) velocidad promedio = (5 m/s + 3 m/s)/2 = 4 m/s.

6. Una partícula se mueve de acuerdo con la ecuación x = 10t

2

, donde x está en

metros y t en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de

tiempo de 2.0 a 3.0 s. (b) Determine la velocidad promedio para el intervalo de

tiempo de 2.0 a 2.1 s.

Solución:

(a)

x(3) - x(2) 90 - 40

v = = = 50 m/s

3 - 2 1

(b)

x(2.1) - x(2.0) 44.1 - 40

v = = = 41 m/s

2.1 - 2.0 0.1

7. Un automóvil realiza un viaje de 200 km a una rapidez promedio de 40 km/h. Un

segundo automóvil que inició el viaje 1.0 h después llega al mismo destino al

mismo tiempo. ¿Cuál fue la rapidez promedio del segundo auto durante el periodo

que estuvo en movimiento?

Solución:

Tiempo del auto que se mueve a 40 km/h = 5 h

Tiempo del segundo auto = 4 h.

Rapidez del segundo auto = (200 km)/4 h = 50 km/h

8. Una rápida tortuga puede desplazarse a 10.0 cm/ s, y una liebre puede correr

20 veces mas rápido. En una carrera, los dos corredores inician al mismo tiempo,

pero la liebre se detiene a descansar durante 2.0 min y, por ello, la tortuga gana

por un caparazón (20 cm). (a) ¿Qué tanto duró la carrera? (b) ¿cuál fue su

longitud?

Solución:

Se supondrá que d es la distancia total recorrida y t es el tiempo de duracion de la

carrera. Con esto,

Vtortuga = 10 cm/s = d/t. 59

Vliebre = 200 cm/s = (d – 20)/(t – 120)

Resolviendo, se obtiene que (a) la carrera duro 126.2 s y (b) La longitud de la

carrera es 1260 cm.

9. En la figura se muestra la grafica posición-tiempo de una partícula que se

mueve a lo largo del eje x. (a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de

tiempo t = 1.5 s a t = 4.0 s. (b) Determine la velocidad instantánea en t = 2.0 s

midiendo la pendiente de la línea tangente mostrada en la grafica. (c) ¿En cuál

valor de t la velocidad es cero?

Solución:

(a) La velocidad promedio = [x(4) – x(1.5)]/(4 – 1.5) = (2 – 8)/2.5 = -6/2.5 = -2.4 m/s

(b) La velocidad instantanea en t = 2. V(2) = (1 – 9)/(3.5 – 1) = -8/2.5 = -3.2 m/s

(c) en t = 4 s.

10. Dos automóviles viajan en la misma dirección a lo largo de una autopista recta,

uno a 55 mi/h y el otro a 70 mi/h. (a) Suponiendo que empiezan en el mismo

punto, ¿con que ventaja el auto más rápido Ilega a un destino a 20 millas de

distancia? (b) ¿Qué tan rápido debe viajar el carro más veloz antes de que

adelante 15 mi al carro mas lento?

Solución:

(a) De la relación v = d/t, despejamos el tiempo.

t55 = 20 mi/(55 mi/h) = 0.36 h = 21.8 minutos.

t70 = 20 mi/(70 mi/h) = 0.28 h = 17.1 minutos.

El carro mas rápido llegó 21.8 – 17.1 = 4.7 minutos antes.

(b)

11. En t = 1.0 s, una partícula que se mueve con velocidad constante se localiza

en x = - 3.0 m y en t = 6.0 s, la partícula se localiza en x = 5.0 m. (a) Con esta

información grafique la posición como función del tiempo. (b) Determine la

velocidad de la partícula a partir de la pendiente de esta grafica. 60

Solución:

(a) La grafica de posición contra el tiempo:

0 1 2 3 4 5 6

-3

5

t(s)

x(m)

(b) Velocidad = [x(6) – x(1)]/(6 – 1) = (5 - (-3))/5 = 8/5 m/s = 1.6 m/s.

Solución:

(a) en t1, la velocidad es cero

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8

x( m)

9 t(s)

12. Determine la velocidad instantánea de la

partícula descrita en la figura en los siguientes

tiempos: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t = 4.5 s y (d)

t = 7.5 s.

Solución:

(a) 5m/s

(b) -3 m/s

(c) 0

(d) -5m/s

13. La grafica posición-tiempo para una

partícula que se mueve a lo largo del

eje z se muestra en la figura. Determine

si la velocidad es positiva, negativa o

cero en los tiempos (a) t1, (b) t2, (c) t3 y

(d) t4. 61

(b) en t2, la velocidad es negativa

(c) en t3, la velocidad es positiva

(d) en t4, la velocidad es cero

14. Una partícula se mueve con una velocidad v0 = 60 m/s en t = 0. Entre t = 0 y t

= 15 s, la velocidad disminuye uniformemente hasta cero. ¿Cuál es la aceleración

promedio durante este intervalo de 15 s? ¿Cuál es el significado del signo de su

respuesta?

Solución:

Aceleración = (vf

– vi

)/(tf

– ti

) = (0 – 60 m/s)/15s = -4 m/s

2

El signo negativo .

significa que la partícula se frenó.

15. Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x(t) = (3.0t

2

-2.0t + 3.0) m. Determine (a) la velocidad promedio entre t = 2.0 s y t = 3.0 s, (b) la

velocidad instantánea en t = 2.0 s y en t = 3.0 s, (c) la aceleración promedio entre t

= 2.0 s y t = 3.0 s, y (d) la aceleración instantánea en t = 2.0 s y t = 3.0 s.

Solución:

(a) x(2) = 3.0 x 2

2

– 2.0 x 2.0 + 3.0 = 11.0 m

x(3) = 3.0 x 3

2

– 2.0 x 3.0 + 3.0 = 24.0 m

velocidad promedio = [x(3) – x(2)]/(3 – 2) = (24 – 11)/1 = 13.0 m/s

(b) La velocidad instantánea es v(t) = 6.0t – 2.0.

v(2) = 10 m/s.

v(3) = 16.0 m/s

(c) la aceleración instantánea es a(t) = 6.0 m/s

2

.

a(2) = 6.0 m/s

2

a(3) = 6.0 m/s

2

16. Una partícula parte del reposo y acelera como se indica en la figura. Determine

(a) la velocidad de la partícula en t = 10 s y en t = 20 s, y (b) la distancia recorrida

en los primeros 20 s. 62

a(m/s

2

(

5.0 10.0 15.0 20.0 t(s)

0

1.0

2.0

-1.0

-2.0

-3.0

Solución:

(a) v = v0 + at

v(10) = 0 + (2m/s

2

)(10s) = 20 m/s

v = v0 + at

v(20) = 20 m/s + (-3m/s

2

)(5s) = 15 m/s

(b)

2 2 2 2

1 1

s= (2m/s )(10s) + (20m/s)(5s) + (-3m/s )(5s)

2 2

s = 237.5 m

17. Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x = 2.0 + 3.0t -

1.0t

2

, donde x está en metros y t en segundos. Para t = 3.00 s, encuentre (a) la

posición de la partícula, (b) su velocidad y (c) su aceleración.

Solución:

(a) posición x(3.0) = 2.0 + 3.0 x 3.0 – 1.0 x 3.0

2

= 2 m.

(b) velocidad v(3.0) = 3.0 -2.0 x 3.0 = -3 m/s

(c) aceleración a(3.0) = -2 m/s

2

.

18. Una partícula viaja en la dirección positiva del eje x durante 10 s a una

velocidad constante de 50 m/s. Luego acelera de manera uniforme hasta alcanzar

una velocidad de 80 m/s en los siguientes 5 s. Encuentre (a) la aceleración

promedio de la partícula en los primeros 10 s, (b) su aceleración promedio en el

intervalo desde t = 10 s hasta t = 15 s, (c) el desplazamiento total de la partícula

entre t = 0 y t = 15 s, y (d) su velocidad promedio en el intervalo de t = 10 s a t =

15 s.

19. La distancia mínima necesaria para detener un auto que se mueve a 35 mi/h

es 40 pies. ¿Cuál es la distancia de frenado mínima para el mismo auto pero que

ahora se mueve a 70 mi/h, y con la misma tasa de aceleración? 63

20. La velocidad inicial de un cuerpo es 5.20 m/s. ¿Cuál es su velocidad después

de 2.50 s si acelera uniformemente a (a) 3.00 m/s

2

y (b) a -3.00 m/s

2

?

21. Un disco de hockey que se desliza sobre un lago congelado se detiene

después de recorrer 200 m. Si su velocidad inicial es 3.00 m/s, (a) ¿Cuál es su

aceleración si esta se supone constante, (b) cuanto dura su movimiento y (c)

¿Cuál es su velocidad después de recorrer 150 m?

22. Un jet aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a una tasa

máxima de -5.0 m/s

2

cuando se va a detener. (a) A partir del instante en que toca

la pista de aterrizaje, ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario antes de que se

detenga? (b) ¿Este avión puede aterrizar en un pequeño aeropuerto donde la pista

tiene 0.80 km de largo?

23. Una piloto de arrancones inicia la marcha de su vehículo desde el reposo y

acelera a 10.0 m/s

2

durante una distancia total de 400 m (a) ¿Cuánto tiempo tarda

el carro en recorrer esta distancia? (b) ¿Cuál es su velocidad al final del recorrido?

Solución:

(a) La ecuación que describe el movimiento del vehículo es

2

0 0

1

x(t) = x + v t + t

2

a

donde x0 = 0, v0 = 0. Despejando el tiempo , se obtiene

1/2

2x

t =

a

= 80

0.5

= 8.94 s.

(b)

0

v = v + ta = 89.4 m/s

24. Un electrón en un tubo de rayos catódicos (TRC) acelera de 2.0 x 10

4

m/s

hasta 6.0 x 10

6

m/s en 1.5 cm. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer

esta distancia? (b) ¿Cuál es su aceleración?

25 Una partícula parte desde el reposo de la parte superior de un pIano inclinado y

se desliza hacia abajo con aceleración constante. El pIano inclinado tiene 2.00 m

de largo, y la partícula tarda 3.00 s en alcanzar la parte inferior. Determine (a) la

aceleración de la partícula, (b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente, (c)

el tiempo que tarda la partícula en alcanzar el punto medio del pIano inclinado, y

(d) su velocidad en el punto medio.

26. Dos trenes expresos inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A partir

del reposo cada uno es capaz de alcanzar una velocidad máxima de 160 km/h

después de acelerar uniformemente en una distancia de 2.0 km. (a) ¿Cuál es la

aceleración de cada tren? (b) ¿A que distancia esta el primer tren cuando el

segundo inicia su trayecto? (c) ¿Que tan separados se encuentran cuando ambos

viajan a máxima velocidad? 64

27. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3.0 m/s

2

y desacelera a -4.5 m/s

2

.

En un viaje a la tienda, acelera desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de

12 m/s, maneja a velocidad constante durante 5.0 s y luego se detiene

momentáneamente en la esquina. Acelera después hasta alcanzar una velocidad

de 18 m/s, maneja a velocidad constante durante 20 s, desacelera durante 8/3 s,

continua durante 4.0 s a esta velocidad y después se detiene. (a) ¿Cuánto tiempo

tarda el recorrido? (b) ¿Qué distancia se recorre? (c) ¿Cuál es la velocidad

promedio del viaje? (d) ¿Cuánto tardaría si caminara a la tienda y regresara de

ese mismo modo a 1.5 m/s?

28. Una pelota acelera a 0.5 m/s

2

mientras se mueve hacia abajo en un plano

inclinado de 9.0 m de largo. Cuando alcanza la parte inferior, la pelota rueda por

otro plano, donde, después de moverse 15 m, se detiene. (a) ¿Cuál es la

velocidad de la pelota en la parte inferior del primer plano? (b) ¿Cuánto tarda en

rodar por el primer plano? (c) ¿Cuál es la aceleración a lo largo del segundo

pIano? (d) ¿Cuál es la velocidad de la pelota 8.0 m a lo largo del segundo plano?

29. Un electrón tiene una velocidad inicial de 3.0 x 10

5

m/s. Si experimenta una

aceleración de 8.0 x 10

14

m/s

2

, (a) ¿Cuánto tardara en alcanzar una velocidad de

5.4 x 10

5

m/s, y (b) que distancia recorre en este tiempo?

30. Una bala indestructible de 2.00 cm de largo se dispara en línea recta a través

de una tabla que tiene 10.0 cm de espesor. La bala entra en la tabla con una

velocidad de 420 m/s y sale con una velocidad de 280 m/s. (a) ¿Cuál es la

aceleración promedio de la bala a través de la tabla? (b) ¿Cuál es el tiempo total

que la bala está en contacto con la tabla? (c) ¿Qué espesor de las tablas

(Calculado hasta 0.1 cm) se requeriría para detener la bala?

31. Un jugador de hockey está parado en sus patines sobre un lago congelado

mientras un jugador rival patina con el disco, moviéndose con una velocidad

uniforme de 12.0 m/s. Después de 3.00 s, el primer jugador intenta alcanzar a su

oponente. Si el primer jugador acelera uniformemente a 4.00 m/s

2

, (a) ¿Cuánto

tarda en alcanzar al oponente? (b) ¿Qué distancia ha recorrido el primer jugador

en este tiempo? (Suponga que el oponente se mueve a velocidad constante.)

32. Se informo que una mujer cayó 144 pies desde el piso 17 de un edificio,

aterrizando sobre una caja de ventilador metálica, la cual sumió hasta una

profundidad de 18.0 pulg. Solo sufrió lesiones menores. Ignore la resistencia del

aire y calcule (a) la velocidad de la mujer exactamente antes de chocar con el

ventilador, (b) su aceleración promedio mientras esta en contacto con la caja, y (c)

el tiempo que tarda en sumir la caja.

Solución:

(a) v = (2gh)

1/2

= (2 x 32 x 144)

1/2

= 96 pies/s

(b) a = v

2

/2x = 96

2

/(2 x 1.5) = 3072 pies/s

2

(c) Tenemos que v = at. De aquí, se obtiene que t = v/a = 96/3072 = 0.031 s. 65

33. Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad inicial de

8.00 m/s desde una altura de 30.0 m. ¿En que momento la pelota golpea el suelo?

Solución:

La ecuación que describe al proyectil es y(t) = y0 – v0t – gt

2

/2 = 30 – 8t – 4.9t

2

.

Igualando a cero, nos queda la ecuación: 30 – 8t – 4.9t

2

= 0. Resolviendo para

obtener el tiempo, obtenemos: t1 = 34.2/9.8 = 3.5 s.

34. Un globo aerostático viaja verticalmente hacia arriba a una velocidad constante

de 5.00 m/s. Cuando está a 21.0 m sobre el suelo se suelta un paquete desde él.

(a) ¿Cuánto tiempo permanece el paquete en el aire? (b) ¿Cuál es su velocidad

exactamente antes de golpear el suelo? (c) Repita (a) y (b) en el caso en que el

globo desciende a 5.00 m/s.

Solución:

(a) Ecuación del paquete es y(t) = y0 + v0t – gt

2

/2 = 21 + 5t – 4.9t

2

Igualando a .

cero, se obtiene t = 2.64 s.

(b) Velocidad v(t) = v0 – gt = 5 – 9.8t. Antes de caer al suelo, v(2.64) = 5 – 9.8 x

2.64 = -20.9 m/s

(c) Si el globo desciende, la ecuación del paquete es y(t) = y0 - v0t – gt

2

/2 = 21 – 5t

-4.9t

2

El tiempo de caída es t = 1.6 s. La velocidad v(t) = -v0 – gt = -5 – 9.8t. La .

velocidad al caer es v(1.6) = -5 – 9.8 x 1.6 = 20.68 m/s.

35. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una

velocidad inicial de 15.0 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que la pelota

alcanza su altitud máxima? (b) ¿Cuál es su altitud máxima? (c) Determine la

velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2.00 s.

Solución:

(a) La ecuación de la pelota es y(t) = y0 + v0t – gt

2

/2 = 15t – 4.9t

2

La velocidad de .

la pelota esta dada por v(t) = v0 – gt = 15 – 9.8t. El tiempo que transcurre para que

la pelota llegue a su altura máxima se obtiene haciendo v = 0. Se obtiene t = v0/g =

15/9.8 = 1.53 s.

(b) Altitud máxima = y(1.53) = 15 x 1.53 – 4.9 x 1.53

2

= 11.48 m

(c) velocidad v(2.0) = 15 x 2.0 – 9.8 x 2.0 = 20.4 m/s. Aceleración = -9.8 m/s

2

.

36. Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es capturada por el lanzador

después de 20.0 s. Determine (a) la velocidad inicial de la pelota, y (b) la altura

máxima que alcanza.

37. Un astronauta parado sobre la Luna suelta un martillo, dejando que caiga 1.00

m hacia la superficie. La gravedad lunar produce una aceleración constante de

magnitud igual a 1.62 m/s

2

Una vez de regreso en la Tierra, el astronauta suelta .66

de nuevo el martillo, dejándolo caer hasta el suelo desde una altura de 1.00 m con

una aceleración de 9.80 m/s

2

Compare los tiempos de caída en las dos .

situaciones.

38. La altura de un helicóptero sobre el suelo esta representada por h = 3.00t

3

,

donde h esta en metros y t en segundos. Después de 2.00 s, el helicóptero deja

caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tiempo tarda la valija en

Ilegar al suelo?

39. Una piedra cae a partir del reposo desde la cumbre de un elevado

despeñadero. Una segunda piedra es lanzada hacia abajo desde la misma altura

2.00 s después con una velocidad inicial de 30.0 m/s. Si ambas piedras golpean el

suelo simultáneamente, ¿Cuál es la altura del despeñadero?

40. Una curiosa estudiante de física asciende a un despeñadero a 50.0 m que

sobresale por encima de un estanque de agua sin corrientes. Lanza dos piedras

verticalmente hacia abajo con una diferencia de tiempo de 1.00 s y observa que

producen un solo sonido al golpear el agua. La primera piedra tiene una velocidad

inicial de 2.00 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo después de soltar la primera las dos

piedras golpean el agua? (b) ¿Qué velocidad inicial debe tener la segunda piedra

si las dos golpearan en forma simultanea? (c) ¿Cuál es la velocidad de cada

piedra en el instante en que golpean el agua?

41. En un acelerador lineal de 100 m un electrón se acelera hasta 1.0 por ciento

de la velocidad de la luz en 40 m antes de que se desplace sin aceleración 60 m

hacia un blanco. (a) ¿Cuál es la aceleración del electrón durante los primeros 40

m? (b) ¿Cuánto dura el trayecto total realizado?

42. Un corredor cubre la carrera de 100 m en 10.3 s. Otro corredor Ilega en

segundo lugar en un tiempo de 10.8 s. Suponiendo que los corredores se

desplazaron a su velocidad promedio en toda la distancia, determine la separación

entre ellos cuando el ganador cruza la meta.

43. Un objeto que cae tarda 1.50 s en recorrer los últimos 30.0 m antes de golpear

el suelo. ¿Desde que altura se soltó?

44. Dos autos viajan a lo largo de una línea en la misma dirección, el que va

adelante a 25 m/s y el otro a 30 m/s. En el momento en que los autos están a 40

m de distancia, la conductora del auto delantero aplica los frenos de manera que

el vehículo acelera a -2.0 m/s

2

?a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro para detenerse) .

(b) Suponiendo que el carro trasero frena al mismo tiempo que el delantero, ¿cuál

debe ser la aceleración negativa mínima del auto trasero de manera que no

choque con el auto delantero? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse el auto

trasero?

45. Una automovilista conduce por un camino recto a una velocidad constante de

15.0 m/s. Cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, este empieza 67

a acelerar a 2.00 m/s

2

para alcanzarla. Suponiendo que el policía mantiene esta

aceleración, determine (a) el tiempo que tarda el policía en alcanzar a la

automovilista, encuentre (b) la velocidad y (c) el desplazamiento total del policía

cuando alcanza a la automovilista.

46. Una roca se deja caer desde el reposo dentro de un pozo. (a) Si el sonido del

contacto con el agua se oye 2.40 s después, ¿qué tan abajo de la parte superior

del pozo está la superficie del agua? La velocidad del sonido en el aire (para la

temperatura del aire de ese día) fue de 336 m/s. (b) Si el tiempo de recorrido para

el sonido se ignora, ¿qué porcentaje de error se introduce cuando se calcula la

profundidad del pozo?

47. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80.0

m/s. Se acelera hacia arriba a 4.00 m/s

2

hasta que alcanza una altura de 1000 m.

En ese punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre con aceleración -

9.80 m/s

2

a) ¿Cuánto dura el cohete en movimiento? (b) ¿Cuál es su altura) .

máxima? (c) ¿Cuál es la velocidad justo antes de chocar con la Tierra?

(Sugerencia: Considere el movimiento mientras el motor opera independiente del

movimiento en caída libre.)