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Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad UD 4

EstadísticaDistribuciones continuas:

• Uniforme• Exponencial

DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones

¿Por dónde vamos?

PoblaciónEstadística descriptiva

§ gráficos§ parámetros§ tablas

muestreo

Inferencia estadística

Muestra

Conclusiones válidas con razonable seguridad

ProbabilidadUD2

DistribucionesUD4

UD3


v.a. y distribuciones de probabilidad

Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias:

v.a. discretas• Binomial • Poisson

v.a. continuas• Exponencial• Uniforme• Normal

v.a. DISCRETA àFunción de Probabilidad: P(X)

v.a. CONTINUAà Función de Densidad: f(x)

¡Recordar! UD4Parte 1


Contenido UD41. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

1.1 Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad1.2 Distribuciones de probabilidad discretas1.3 Distribuciones de probabilidad continuas1.4 Esperanza matemática1.5 Valor medio: concepto y propiedades1.6 Varianza: concepto y propiedades

2. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.2.1 La distribución Binomial

2.2 La distribución de Poisson

2.3 La distribución de Uniforme

2.4 La distribución Exponencial

2.5 La distribución Normal


Contenido Uniforme y Exponencial3.- Distribución Uniforme

- Definición, aplicaciones y ejemplos- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada- Parámetros poblacionales: media y varianza- Población y muestra- Ejercicios

4.- Distribución Exponencial- Definición, aplicaciones y ejemplos- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada- Parámetros poblacionales: media y varianza- Población y muestra- Fiabilidad- Propiedad: “Falta de memoria”- Ejercicios

Ejercicios resueltos- Exponencial- Uniforme

Objetivos de aprendizajeFases en la resolución de problemas


La distribución Uniforme


• Se utiliza en v.a. continuas en las que la única información de la que se dispone sobre su comportamiento es que toman valores en un intervalo, y que la densidad de probabilidad para todos los valores de ese intervalo es la misma.

• La distribución uniforme tiene una aplicación muy importante en simulación.

Ejemplos:• Tiempo de acceso a un archivo en un disco duro ~ 1 y 3 ms• Tamaño de un tipo de archivo ~ entre 100 y 1000 Kb• Distancia (entre origen y destino) que recorre un mensaje en una

red regular tipo toro• Tiempo entre la generación de mensajes en un procesador• etc

3 – Distribución Uniforme


Para pensar…

El lenguaje de programación BASIC (o una calculadora) tiene unafunción RND que genera un número “al azar” entre 0 y 1.

¿Qué crees que se entiende en este caso como un número “alazar” entre 0 y 1?

¿Cuál será la función de distribución de la variable aleatoria cuyosvalores genera la función RND?

Respuesta en el Anejo al final del tema UD 5

Libro de texto

(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)


3 – Distribución Uniforme: Definición

• Una v.a continua X tiene una Distribución Uniforme en (a,b) si su función de densidad es:

• constante en un intervalo (a,b)

• nula fuera de dicho intervalo

• Se simboliza como:

X ~U(a,b)


Función de densidadX ~ U (a, b)

ba

f(x)

X

1b

Ka=

-

b a-

Toda la probabilidad (1) se reparte uniformemente entre el tramo de a a b (b - a)


Obtención de k

• Obtención del valor de la constante K :

+¥

-¥

£ +¥ = = = =ò òb

a

P(X ) 1 f(x)dx f(x)dx

= = = - =é ùë ûòbb

a a

Kdx K x K(b a) 1

=-1K

(b a)

F(+∞) =


Histograma y Función de densidad

X ~ U (2, 2,5)Lower Limit,Upper Limit

2,2,5

Uniform Distribution

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5x

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

dens

ity

Histogram

1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6X

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

percentage

muestra

población


F(x) y Esperanza Matemática

(2

XE ) a b+=

22 b(( )

12X a)s -

=

Media Varianza

X ~ U (a, b)

¡Recordar! UD4-Parte 1

Cómo se calcula la Esperanza matemática

F(x) = P(X ≤ x): La probabilidad acumulada puede calcularse integrando la función de densidad.

X < a

xb

x)a

F( a-=

-X > bF(x) = 1

F(x) = 0

a bX£ £


Frecuencias y Probabilidades acumuladas

X ~ U (2, 2,5)Lower Limit,Upper Limit

2,2,5


1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

Histogram

1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8X

0

20

40

60

80

100

percentage

P(X < x)


Ejercicio 11 ampliado

El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.

a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?

b) ¿Cuál es la población asociada?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea exactamente 0,125 segundos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea inferior a 0,125 segundos?



e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea superior a 0,125 segundos?

f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero? ¿y la desviación típica?

g) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?

h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es superado por el 50% de dichas búsquedas?

i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero estéentre 0,125 y 0,2 segundos?



El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?

Variable aleatoria T: t de búsqueda de ficheros en HD duro E = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} à [0,1 , 0,5] seg.

T ~ U (0,1, 0,5)

b) ¿Cuál es la población asociada?Población = {búsquedas de ficheros en un HD}

¡Recordar! UT3

Ejemplo Concepto Probabilidad

Continuaa b



c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea exactamente 0,125 segundos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea inferior a 0,125 segundos?

P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125)

P(T = 0,125) = 0

tb

t)a

F( a-=

-£ £ ®0,120 5,1 0,5

0,10,5 0,10,125 0,0625-

= =-


Ejercicio 11 ampliadoe) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea superior a 0,125 segundos?

P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = F(0,125)

P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = 1 - P(T ≤ 0,125) =

= 1- F(0,125) = 1 – 0,0625 = 0,9375

f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero? ¿y la desviación típica?

a b 0,E 1( ) 0,3T s2

0,52

+ += = =

2 22 2b a 0,5 0,1T ( ) ( )( ) 0,0133 s

12 12s - -

= = =

( ) 0,0133 0,T 115 ss = =

¡Recordar! UT5

Ejem. 3 va continua

Media Desv. Típica


Ejercicio 11 ampliadog) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?

P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = F(0,2)

P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = 1 - P(T ≤ 0,2) = 1- F(0,2) =

h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es superado por el 50% de dichas búsquedas?

0,10,5 00,21 1 0,2

,15 0,75-

= - = - =-

à 75%

P(T < t) = P(T ≤ t) = F(t) = 0,5 (50% )

0,10,5tF( ) 0,t 5

0,1-

= =-

0,3 segu ot nd s® =Despejando

Mediana

Como es simétrica, la mediana coincide con la media.


Ejercicio 11 ampliadoi) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero estéentre 0,125 y 0,2 segundos?

P(0,125 ≤ T ≤ 0,2) = P(T ≤ 0,2) - P(T ≤ 0,125) =

= F(0,2) - F(0,125) = 0,25 – 0,0625 = 0,1875

Calculado anteriormente

la probabilidad de que la variable tome valores dentro de cualquier intervalo que nos interese se puede calcular

como: P(a < X £ b) = F(b) - F(a)

¡Recordar! UT5

Propiedades de F(x)


Lower limit,Upper limit0,1,0,5


x

cum

ulat

ive p

roba

bility

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

Gráficamente: F(x) T ~ U (0,1, 0,5)

P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125) = 0,0625

F(x)

T

0,0625

0,125



Con los datos anteriores:

Sea Y el tiempo que se tarda en acceder consecutivamente a 10 ficheros situados al azar en el disco.

j) ¿Cuánto valdrá en promedio Y?

k) ¿Cuál sería la varianza de Y?

l) ¿Aproximadamente entre qué valores fluctuará Y en el 95% de los casos? Se verá en la U4-3 y UD5

¡Recordar! UT4-0


La distribución ExponencialReliability

DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones25

• Esta distribución es frecuentemente utilizada para modelar el comportamiento de variables que representan:

• Vida o duraciones de equipos y/o componentes (Fiabilidad y Teoría de Supervivencia):

• Tiempo hasta el fallo en equipos industriales

• Tiempo hasta el fallo de componentes electrónicos, …

• Tiempo que se tarda en realizar un proceso (Sistemas de Colas):

• Tiempo de espera en cola hasta que un proceso es atendido.

• Tiempo de ejecución de una instrucción,…

4– Distribución Exponencial


4– Distribución Exponencial: Definición • Una v.a X sigue una distribución Exponencial cuando la v.a.

representa :• el tiempo que transcurre hasta que se produce un determinado

suceso o evento.• el tiempo transcurrido entre dos sucesos consecutivos.• Los valores que puede tomar son siempre mayores o iguales a 0

(R+)

• Se simboliza como:

X~Exp( )a! es la tasa de ocurrencia del suceso o evento

DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones27

Función de densidad-= ³xf(x) e x 0aa

= <f(x) 0 x 0

Mean210,66666

Exponential Distribution

x

dens

ity

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,20,40,60,8

11,21,41,6

α=0,5α=1α=1,5

Mean210,66666


x

dens

ity

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,20,40,60,8

11,21,41,6

Mean210,66666


x

dens

ity

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,20,40,60,8

11,21,41,6

Mean210,66666


x

dens

ity

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,20,40,60,8

11,21,41,6

f(x)


F(x) y Esperanza Matemática• La probabilidad acumulada P(X ≤ x), x ≥ 0 puede obtenerse sin más que

integrar la función de densidad f(x) entre 0 y x.• El resultado proporciona la siguiente función:

=E(X 1)a

=221( )Xsa

media varianza

¡Recordar! UD4-Parte 1

Cómo se calcula la Esperanza matemática

P(X > t) = e-at! " ≤ $ = & − ()∝$ " ≥ ,! " ≤ $ = , " < ,


Histograma y Función de densidad

X ~ Exp (1/3)

Histogram

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30X

0

2

4

6

8

10

percentage

Mean3


0 3 6 9 12 15 18x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

ity

población

muestra


Frecuencias y Probabilidades acumuladas

P(X ≤ x)

Mean3


0 3 6 9 12 15 18x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1cu

mul

ativ

e pr

obab

ility

X ~ Exp (1/3)

Histogram

-2 8 18 28 38X

0

20

40

60

80

100

percentage

poblaciónmuestra


Fiabilidad de un componente

• Si X (Tiempo que transcurre hasta que se avería un componente electrónico) sigue una distribución Exponencial de parámetro α, X es tal que la probabilidad P(X > t) disminuye exponencialmente conforme aumenta t.• P(X > t) proporciona lo que se conoce por Fiabilidad del componente a

las t unidades de tiempo (horas, días, etc.) o Reliability

S(t) = P(X > t) = e-at

Función de Fiabilidad o Supervivencia


Fiabilidad de un componente

P(X > t) = e-at



La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan o dejan defuncionar correctamente) de las pantallas LCD de gama media fluctúaexponencialmente. Se sabe que la vida media de las pantallas es de 40años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas al día.

a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?

b) ¿Cuál es la población asociada?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla sea exactamente 5 años?



d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?

e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿Qué porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?

f) ¿Cuál es la media de la duración de las pantallas? ¿y la desviación típica?

g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla estéentre 5 y 10 años?


La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de las pantallas LCD de gama media fluctúa exponencialmente. Se sabe que la vida media de las pantallas es de 40 años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas al día.a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?

Variable aleatoria T: duración de la pantalla hasta que falla E = {0, 0,1, 0,123, …, ¥} años

T ~ Exp(a)b) ¿Cuál es la población asociada?Población = {todas las pantallas LCD de esas características que se fabriquen}

Continua



c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla sea exactamente 5 años?

d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?

P(T = 5) = 0

P(T > 10) = P(T ≥ 10) = F(10)

P(T > 10) = P(T ≥ 10) = 1 - P(T ≤ 10) =¿Cuánto vale a?= 1- F(10) = 1- (1-e-a10) = e-a10

Se sabe:E(T) = media = promedioE(T) = 1/a

= 40 años= 40 años a = 1/40



P(T > 10) = P(T ≥ 10) = e-a10 = e-10/ 40 = 0,7788

El 77,88% de las pantallas durarán más de 10 años

e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿qué porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?

P(T < 1) = P(T ≤ 1) = F(1) = 1- e-1/ 40 = 0,025El 2,5% de las pantallas tendrán que usar la garantía

f) ¿Cuál es la media de la duración de una pantalla? ¿y la desviación típica?

1E( ) 40 añosTa

= =

2 221( ) E( ) 1600 añT oT sa

s = = =

( ) 1600 40 aT ñoss= = =Desv. Típica



g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?

P(T ≤ med) = P(T ³ med) = 0,5 = e-med/ 40

(50% de los valores de T) £ mediana £ (50% de los valores de T)

Ln( 0,5 ) = ln (e-med/ 40 ); Ln( 0,5 ) = - med/ 40; med = 27,72 años

h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla esté entre 5 y 10 años?

P(5 ≤ T ≤ 10) = F(10) - F(5) = 1- (1-e-a10) - [1- (1-e-a5) ] =

= e-5/ 40 - e-10/ 40 = 0,8825 – 0,7788 = 0,1037

¡Recordar! UT5 Función de Distribución. Propiedades

P(a < X £ b) = F(b) - F(a)



Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)

Mean40

0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400

0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027

T ≥ 0

f(t)

10

El área rayada bajo la curva es

la probabilidad: P(T > 10)

0,7788

Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.


Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)

Mean40

0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400

0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027

T ≥ 0

f(t)

10

El área que queda debajo de f(t) representa

toda la probabilidad (1).

En el ejemplo es el área rayada en azul.

Si al área en azul le quitamos el área rayada

en rojo queda el área correspondiente a la

probabilidad P(T < 10)

P(T < 10) = 1 - P(T > 10) = 0,2212

0,7788

0,2

21

2

Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.

continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.


Gráficamente: F(t) T ~ Exp (α= 1/40)

T ≥ 0

F(t) Mean40


x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

0 40 80 120 160 200 2400

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

10

0,2212P(T < 10)

P(T < med)

27,72

P(T ≤ mediana) = 0,5 = P( T ≥ mediana) Para cualquier distribución


Gráficamente: relación f(t) y F(t)

Mean40

0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400

0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027

10

0,7788

T ≥ 0

Mean40


x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

0 40 80 120 160 200 2400

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

10

0,2212P(T < 10)

F(t)

f(t)

0,2212

T ~ Exp (α= 1/40)


Ejercicio 13

El tiempo transcurrido hasta el fallo de un componente electrónico sigue una distribución exponencial cuya mediana es 69,3 horas.

a) ¿Qué porcentaje de los componentes tendrán una duración superior a 90 horas?

b) ¿Cuál es el tiempo de vida medio?

c) Sabiendo que ya han transcurrido 300 horas sin que se produzca ningún fallo, ¿cuál es la probabilidad de que en las próximas 50 horas el componente funcione correctamente?

Sol: a) 40,6% b) 100 h c) 0’606


Ejemplo: la probabilidad de que un sistema siga funcionando (sin fallar) dentro de 2 años (x) es la misma para un sistema que a fecha de hoy lleva funcionando 5 años (x0) que para otro lleva 10 años (x’0) sin fallar.

PropiedadLa probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando

la distribución exponencial no tiene memoria

0

0

xx )(00

x0 0

xP(X x ) eX xP eX x P(X x )xx

e

aa

a

+--

-

> +> +æ ö = = =ç ÷> >è ø

00

xX xP P(Xx ) eX x x a-> +æ ö = > =ç ÷>è ø


Ejercicio 14

La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de ciertos componentes electrónicos fluctúa aleatoriamente siguiendo una distribución exponencial. Se sabe que las componentes duran en promedio 400 horas.

Estos componentes se utilizan para el montaje de un dispositivo electrónico (D) que debe conectar dos bornes A y B. Se desea que el dispositivo tenga una fiabilidad de al menos 99% a las 400 horas.

Con el fin de garantizar esta fiabilidad se montan en paralelo N componentes del tipo estudiado. ¿Cuánto debe valer como mínimo N?


v.a T ={horas de funcionamiento hasta el fallo del componente electrónico}m = E(T) = duración media del componente = 400 hT ~ Exp(a=1/400)

Aplicaciones a la fiabilidad

A1

A2

An

..........

D



SUCESOSA1 = Duración componente 1 > 400h

A2 = Duración componente 2 > 400h

..........................................................

An = Duración componente n > 400h

D = Duración de las n componente en paralelo > 400h

P(T>400)=e-(400/400) = 0,367 à P(A1) = P(A2) = ..... = P(An) = 0,367

Fiabilidad de D: al menos 99% a las 400 horas

P(Duración dispositivo > 400h) ³ 0,99 à P(D) ³ 0,99



( ) ( ..... ) ( ..... ) ( ...... )= + + + = - + + + = - =n n nP D P A A A P A A A P A A A1 2 1 2 1 21 1

[ ] [ ]( ) ( )..... ( ) ( ) , ,é ù é ù= - = - = - - = -ë û ë ûn n n

n iP A P A P A P A1 21 1 1 1 0 367 1 0 632

[ ] [ ]( ) , , ; , , ;= - ³ £n nP D 1 0 632 0 99 0 632 0 01

[ ] ln( , )ln , ln( , ); ln( , ) ln( , ); ,ln( , )

£ £ ³ =n n n 0 010 632 0 01 0 632 0 01 10 03590 632

n ³ 11


Ejercicios


Ejercicio 1

En el Departamento de Consultas de una empresa informática se sabe que el tiempo de procesado de éstas (T) se distribuye como una exponencial de parámetro α y que se requieren menos de 10 segundos para procesar el 95% de las consultas.a) ¿Cuánto vale en promedio el tiempo de procesado?.

b) ¿Qué probabilidad tienen los clientes de esperar más de 20 segundos en una consulta?

c) ¿Cuánto tiempo tienen que transcurrir para que el 50% de las consultas se hayan procesado? ¿A qué parámetro de los estudiados corresponde este valor?

Sol: a) 200 s b) 0,904 c) 138’63 s


Ejercicio 2

El tiempo medio de impresión de láminas en un determinado plottervaría uniformemente entre 3 y 5 minutos.

a) ¿Cuál será el tiempo medio de impresión de 50 láminas?

b) ¿Y la desviación típica?

c) Calcula la probabilidad de que se necesite más de 199 minutos para imprimir 50 láminas.

Sol: a) 200 min b) 4,08d min c) Solo plantear. Se hará después de ver la Normal


Ejercicio 3 (Examen ETSINF)

Un dispositivo está formado por seis componentes idénticos (CA, CB, CC, CD, CE, CF) montados como aparece en la siguiente figura:

Se sabe que el tiempo de funcionamiento de cada componente hasta el fallo sigue una distribución exponencial de mediana 650 horas.

CA

CB

CC

CD

CE

CF


Ejercicio 3 (Examen ETSINF)

a) Sabiendo que una componente lleva funcionando 300 horas, ¿cuál es la probabilidad de que siga funcionando correctamente más de 400 horas en total?. (5 puntos)

b) Asumiendo que las 6 componentes del dispositivo funcionan independientemente, calcular la fiabilidad del dispositivo a las 800 horas y definir todas las variables y sucesos empleados. (5 puntos)

Sol: a) 0,899 b) 0,22


Ejercicio 4 (Práctica GII)

Una empresa que fabrica chips considera un chip defectuoso si su vida no supera las 100 horas de funcionamiento. Sabiendo que la duración en horas de un chip sigue una distribución exponencial de media 100 horas. Se pide:a) Si un chip lleva 500 horas funcionando, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total de funcionamiento del mismo sea superior a las 1000 horas?b) Esta empresa vende los chips que fabrica en cajas de 50 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga más de un chip defectuoso?

Sol: a) 0,6065 b) 0,9575


Ejercicio 5 (Examen)

3. A un procesador llegan lotes de código para su procesamiento. El tiempo de procesamiento de un lote se distribuye exponencialmente con media 3 unidades de tiempo (u.t.).

Calcular:

a) Probabilidad de que el procesamiento de un lote dure más de 5 u.t.?

b) Si un lote lleva procesándose 2 u.t. ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total de procesamiento sea inferior a 5 u.t.?

c) Si se extraen 10 lotes al azar ¿cuál es la probabilidad de que 8 o más tengan un tiempo de procesamiento mayor de 3 u.t.?



a) v.a. T = {Tiempo de procesamiento de un lote} ~ Exp(a=1/3)

P(T>5)=e-(1/3)x5 = 0,189

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )< < > - > -< = = = => > >

P T P T P T e eTP T P T P T e

523 3

23

2 5 2 55 0 6312 2 2

P(X < 3)



c) v.a. Y = {Nº de lotes, en un grupo de 10 cuyo tiempo de procesamiento es > 3 ut}

Y~ B(n=10, p=P(T>3)=0,368) P(T>3)=e-3/3 = 0,368

( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , , ,

³ = = + = + = =

æ ö æ ö æ ö= + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

P Y P T P T P T

x x x8 2 9 1 10 0

8 8 9 10

10 10 100 368 0 362 0 368 0 362 0 368 0 362 0 007

8 9 10


Objetivos de aprendizaje


Objetivos de aprendizaje• Para aprobar esta UD, deberás de ser capaz de resolver problemas de

Estadística sobre las distribuciones continuas Uniforme y Exponencial del tipo que aparecen en las Unidad Didáctica 4, en las transparencias, en los exámenes de otros cursos y en las Presentaciones (todos estos documentos los tienes disponibles en PoliformaT).

• Para ello deberás ser capaz de…

https://poliformat.upv.es/access/content/group/GRA_11539_2013/02%20%7C%20Unidades%20Did%C3%A1cticas/UD%204_EST-GII_Distribuciones-Alumno_Parte1.pdf

https://poliformat.upv.es/access/content/group/GRA_11539_2013/Ex%C3%A1menes/


Debes ser capaz de…

• Identificar y definir la o las variables aleatorias implicadas en un ejercicio 1

• Precisar y escribir correctamente la distribuciónde probabilidad que sigue o siguen las variables definidas y sus parámetros (U y Exp)2

• Calcular las probabilidades asociadas a dichas variables3


Debes ser capaz de …Como ves, para resolver un ejercicio hay adquirir cierto grado de competencia en diferentes niveles:

• Calcular probabilidades asociadas a la distribución Exponencial (Exp)

• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de variables aleatorias continuas (independientes entre sí) (Exp y U)

• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de una combinación lineal de variables aleatorias continuas Uniformes e independientes entre sí.

• Precisar y escribir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua (U y Exp)

• Identificar las variables aleatorias que aparecen implícitamente o explícitamente en el enunciado de un problema y definirlas correctamente


Fases en la resolución de problemas


Resolución de problemas

1 • ¿Qué nos piden calcular?

2 • ¿Cuál es la variable aleatoria?

3 • ¿Cuál es la población asociada?

4 • ¿v.a. continua o discreta?

5 • ¿Qué distribución (modelo) sigue?

6 • ¿Cuáles son sus parámetros?

7 • Calcula las probabilidades solicitadas


Fin

Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería”Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.

Elaborado por: Prof. E. Vázquez

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