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Der Parameter „Migrationsmatrix“ Teil II

Petra Loerke

Seminar „Portfoliokreditrisiko“Universität Mannheim

29.11.2007

Der Parameter "Migrationsmatrix" 2

Rückblick

4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator

5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time

1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix

i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität

3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen


Gliederung


i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten

ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität




4. Aalen – Johansen Schätzer


Aalen-Johansen Schätzer

( ) ( ) ( )sdsqAtP i

t

Ai β∫=0

,

( ) ( )∫=t

ii dsst0αβ

( ) ( ) ( )dssqsAtPt

Aii ∫=0

, αSprungintensität von 0 nach i im Zeitpunkt s

Wahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt s in 0 zu bleiben

Wahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt t von 0 nach i gesprungen zu sein

( ) ( )( )ttq AA β−= exp


Aalen – Johansen Schätzer

Schätzer

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )∫

∫

∫

−=

=

−=

t

AA

i

t

i

i

t

Ai

sdNsRtq

sdNsRt

sdsqAtP

0

0

0

1logexpˆ

ˆ

ˆ0ˆ,ˆ

β

β( ) ( ) ( ) 0für , 1

00

>= tNtNtR

Linksseitiger Wert


Vergleich

( ) ( )∫=t

ii dsst0αβ

( ) ( ) ( )sdsqAtP i

t

Ai β∫=0

,( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )∫

∫

∫

−=

=

−=

t

AA

i

t

i

i

t

Ai

sdNsRtq

sdNsRt

sdsqAtP

0

0

0

1logexpˆ

ˆ

ˆ0ˆ,ˆ

β

β

Schätzer Parameter

( ) ( )( )ttq AA β−= exp


Eigenschaften des Aalen – Johansen Schätzers

• Konsistenz

• Konvergenz in Verteilung• Varianz

• Effizienz


Konsistenz

( ) 1Prlim =<−∞→

εθnn

t

Definition Konsistenz:

( ) ( ) 0,,ˆlog

sup ,10

21

→−≤≤ AtPAtPn

ninit

Im Folgenden wird bewiesen:

∞→nFür


Konsistenz

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sdsqsdsq

AtPAtP

i

t

A

t

ninA

ini

ββ ∫∫ −−=

−

00

,,

,

ˆ0ˆ

,,ˆ

q

q̂

ββ ˆ


Konsistenz

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ssdsqsdsqsq ini

t

A

t

niAnA βββ −+−−= ∫∫ ,00

,,ˆˆ0ˆ

q

q̂

ββ ˆ


Konsistenz

( ) ( ) ( ) nnini YXAtPAtPnn +≤−

,,ˆ

logsup ,

( ) ( ) ( )sqsqnnX AnAn −−

= 0ˆlogsup ,

( ) ( ) ( ) ( )( )

−= ∫ ssn

ndsqY ini

t

An ββ ,0

ˆlogsup


Konsistenz

( ) ( ) ( ) ( )( )

−= ∫ ssnndsqY ini

t

An ββ ,

0

ˆlogsup

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ −−−=t

AiniiniA sdqssnnttn

ntq0

,,ˆ

logˆ

logsup ββββ

( ) ( ) ( ) ( )ttnnq iniA ββ −≤ ,

ˆlogsup12

durch partielle Integration


Konsistenz

( ) ( ) 0ˆlog

sup ,10

21

→−≤≤ ttn

ninit ββ

∞→nFür

( ) ( ) 0ˆlog

sup ,10

21

→−≤≤ tqtqn

ninit

Man kann zeigen, dass konsistent sind q̂ und β̂


Konsistenz

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆlogsup12 , →−≤ ttn

nqY iniAn ββ

( ) ( ) ( ) 00ˆlogsup , →−−

= sqsqnnX AnAn

∞→nFür

( ) ( ) ( ) 0,,ˆlogsup , →+≤−

nnini YXAtPAtPn

n

( )AtP ni ,ˆ, ist konsistent


Konvergenz in Verteilung

konvergiert schwach gegen

ist normalverteilt.

ist asymptotisch normalverteilt

( ) ( ) ( )( )APAPnAY inini ,,ˆ, ,, ⋅−⋅=⋅

( )AYi ,⋅

( )AYi ,⋅

( )AY ni ,, ⋅


Varianz

Setze für die

entsprechenden Schäzer ein und schätze

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )sdsrAsPAtP

sdsrsqAsPAtPAtVarY

jiAj

t

ii

t

iAiii

β

β

∑ ∫

∫

−∈ −+

−−=

0

2

0

2

,,

,,,

( ) ( ) ( )Atttq jA ,P und , iβ

( ) ( )tnRtr durch


Varianz

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )sdsRAsPAtPn

sdsRsqAsPAtPnAtYVar

jiAj

t

ii

t

iAiii

β

β

ˆ,ˆ,ˆ

ˆˆ,ˆ,ˆ,

0

2

0

2

∑ ∫

∫

−∈

∧

−+

−−=

( )

( )AtYVar

AtYVar

i

i

,gegen sicher fast

t konvergier ,∧


Effizienz

Homogene Markovketten->Intensitäten sind unabhängig von der Zeit

Maximum Likelihood Schätzer

( ) ( )( )*,*

,

*,* exp1, tAtA

tii AtP δ

δα

−−=

Vergleich der asymptotischen Varianzen von

( ) ( )AtPAtP ii , ,ˆ * und


Effizienz

( )i

i

PasVar

PasVartbae

ˆ,,,

*

=δAi

A

b

a

δαδδ

==

12112

1 21 0),,,(lim

2<≥−=

=<=∞→

baa

a

b atbaet

and

orδ


Effizienz


Effizienz

A

iA baδα

δδ ==

Für a gegen 1 und b < 1 oder δt sehr klein, ist e nahe 1, d.h. die Varianz des Aalen-Johansen Schätzers ist annähernd so klein wie die des MLE.

Der nicht-parametrische Aalen –Johansen Schätzer ist asymptotisch effizient im Vergleich zu dem parametrischen MLE.


Product Limit Estimator

• Übergangswahrscheinlichkeiten

( ) ( )] ]∏ +=

ts

dBItsP,

,

( ) ( )dttqAB A ijij ∫= ( ) ( ) ( )∑ =<>j

ijiiij tqtqtq 0,0,0

Intensität zum Zeitpunkt t


• Product Limit Estimator

] ]∏ +=

ts

BdItsP,

)ˆ(),(ˆ

[ ] ( ) ( )knkn

tB ijtt i

ij

k

∆=∑≤

1,0ˆ

jiBBij

ijii ≠−= ∑≠

,ˆˆ


Vergleich

( ) ( )] ]∏ +=

ts

dBItsP,

,

( ) ( )dttqABA ijij ∫=

] ]∏ +=

ts

BdItsP,

)ˆ(),(ˆ

[ ] ( ) ( )knkn

tB ijtt i

ij

k

∆=∑≤

1,0ˆ

Übergangswahrscheinlichkeiten Product Limit Estimator


Nicht-parametrischer MLE

• Likelihood Function

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏ ∏ ∏+

=

∆=i

m

k ij

kn

ij

kn

ik

n ijii kpgipM1

1,

Ausgangsverteilung Wahrscheinlichkeit, dass kein Sprung zwischen 2 Zeitpunkten

Wahrscheinlichkeit für Sprung zum Zeitpunkt


Ergebnis der Maximierung

( )

( ) ( )( )kn

knkp

gn

nip

i

ijij

ik

i

∆=

=

=

1,

Für Likelihood-Funktion:

[ ] ( ) ( )knkn

tB ijtt i

ij

k

∆=∑≤

1,0ˆ

( )n

nip i=ˆ

Schätzer:

Der Product Limit Estimator ist ein Maximum Likelihood Estimator

5. Abhängigkeit von Covariablen


Nicht-Markovverhalten

• Test ob die Annahme der Markovketten (homogen oder inhomogen) richtig ist.

• Eventuell sind die Intensitäten innerhalb einer Gruppe zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht identisch und hängen zusätzlich von anderen Variablen ab.

• Intensitäten könnten abhängen von der Zeit in dem jeweiligen Zustand und der Richtung aus der die Beobachtung in diesen Zustand gekommen ist.


Drift

Test ob die Richtung der letzten Rating Veränderung dieÜbergangswahrscheinlichkeit aus dem aktuellen Zustand beeinflusst.

( )( ) ( ) ( )( )tZttZt ihjhjihji ⋅= βαα exp, 0

RegressionskoeffizientBasisintensität

Covariable

( )=0

1tZi

wenn i durch ein Downgrade in die aktuelle Ratingklasse gekommen ist

sonst

0:0 =βH


Downgrades


Upgrades


Waiting Time

Zeit seit dem letzten Eintreten in den momentanen Zustand

( ) =tZi

( )( ) ( ) ( )( )tZttZt ihjhjihji ⋅= βαα exp, 0

RegressionskoeffizientBasisintensität

Covariable


Downgrades


Upgrades


Covariablen

Intensitäten innerhalb einer Gruppe zu einem bestimmten Zeitpunkt sind nicht identisch. Sie hängen zusätzlich von anderen Variablen ab.kein Markov Verhalten


Zusammenfassung


i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten

ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität





Literatur

• Aalen, O.O. (1978): Nonparametric estimation of partialtransition probabilities in multiple decrement models, Annals ofStatistics, 6, 534-545.

• Lancaster, T.(1990): The Econometric analysis of transition data, Cambridge: Cambridge University Press

• Lando, D., Skodeberg, T. (2002): Analyzing rating transitionsand rating drift with continuous Observations, Journal ofBanking and Finance, 26, 423-444, 2002.

• Johansen, S. (1978): The Product Limit Estimator as a Maximum Likelihood Estimator, Scandinavian Journal of Statistics, 5, 195-199, 1978.

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