Der Parameter „Migrationsmatrix“ Teil II
Petra Loerke
Seminar „Portfoliokreditrisiko“Universität Mannheim
29.11.2007
Der Parameter "Migrationsmatrix" 2
Rückblick
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
Der Parameter "Migrationsmatrix" 3
Gliederung
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten
ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
Der Parameter "Migrationsmatrix" 5
Aalen-Johansen Schätzer
( ) ( ) ( )sdsqAtP i
t
Ai β∫=0
,
( ) ( )∫=t
ii dsst0αβ
( ) ( ) ( )dssqsAtPt
Aii ∫=0
, αSprungintensität von 0 nach i im Zeitpunkt s
Wahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt s in 0 zu bleiben
Wahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt t von 0 nach i gesprungen zu sein
( ) ( )( )ttq AA β−= exp
Der Parameter "Migrationsmatrix" 6
Aalen – Johansen Schätzer
Schätzer
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )∫
∫
∫
−=
=
−=
t
AA
i
t
i
i
t
Ai
sdNsRtq
sdNsRt
sdsqAtP
0
0
0
1logexpˆ
ˆ
ˆ0ˆ,ˆ
β
β( ) ( ) ( ) 0für , 1
00
>= tNtNtR
Linksseitiger Wert
Der Parameter "Migrationsmatrix" 7
Vergleich
( ) ( )∫=t
ii dsst0αβ
( ) ( ) ( )sdsqAtP i
t
Ai β∫=0
,( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )∫
∫
∫
−=
=
−=
t
AA
i
t
i
i
t
Ai
sdNsRtq
sdNsRt
sdsqAtP
0
0
0
1logexpˆ
ˆ
ˆ0ˆ,ˆ
β
β
Schätzer Parameter
( ) ( )( )ttq AA β−= exp
Der Parameter "Migrationsmatrix" 8
Eigenschaften des Aalen – Johansen Schätzers
• Konsistenz
• Konvergenz in Verteilung• Varianz
• Effizienz
Der Parameter "Migrationsmatrix" 9
Konsistenz
( ) 1Prlim =<−∞→
εθnn
t
Definition Konsistenz:
( ) ( ) 0,,ˆlog
sup ,10
21
→−≤≤ AtPAtPn
ninit
Im Folgenden wird bewiesen:
∞→nFür
Der Parameter "Migrationsmatrix" 10
Konsistenz
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )sdsqsdsq
AtPAtP
i
t
A
t
ninA
ini
ββ ∫∫ −−=
−
00
,,
,
ˆ0ˆ
,,ˆ
q
q̂
ββ ˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 11
Konsistenz
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ssdsqsdsqsq ini
t
A
t
niAnA βββ −+−−= ∫∫ ,00
,,ˆˆ0ˆ
q
q̂
ββ ˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 12
Konsistenz
( ) ( ) ( ) nnini YXAtPAtPnn +≤−
,,ˆ
logsup ,
( ) ( ) ( )sqsqnnX AnAn −−
= 0ˆlogsup ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
−= ∫ ssn
ndsqY ini
t
An ββ ,0
ˆlogsup
Der Parameter "Migrationsmatrix" 13
Konsistenz
( ) ( ) ( ) ( )( )
−= ∫ ssnndsqY ini
t
An ββ ,
0
ˆlogsup
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ −−−=t
AiniiniA sdqssnnttn
ntq0
,,ˆ
logˆ
logsup ββββ
( ) ( ) ( ) ( )ttnnq iniA ββ −≤ ,
ˆlogsup12
durch partielle Integration
Der Parameter "Migrationsmatrix" 14
Konsistenz
( ) ( ) 0ˆlog
sup ,10
21
→−≤≤ ttn
ninit ββ
∞→nFür
( ) ( ) 0ˆlog
sup ,10
21
→−≤≤ tqtqn
ninit
Man kann zeigen, dass konsistent sind q̂ und β̂
Der Parameter "Migrationsmatrix" 15
Konsistenz
( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆlogsup12 , →−≤ ttn
nqY iniAn ββ
( ) ( ) ( ) 00ˆlogsup , →−−
= sqsqnnX AnAn
∞→nFür
( ) ( ) ( ) 0,,ˆlogsup , →+≤−
nnini YXAtPAtPn
n
( )AtP ni ,ˆ, ist konsistent
Der Parameter "Migrationsmatrix" 16
Konvergenz in Verteilung
konvergiert schwach gegen
ist normalverteilt.
ist asymptotisch normalverteilt
( ) ( ) ( )( )APAPnAY inini ,,ˆ, ,, ⋅−⋅=⋅
( )AYi ,⋅
( )AYi ,⋅
( )AY ni ,, ⋅
Der Parameter "Migrationsmatrix" 17
Varianz
Setze für die
entsprechenden Schäzer ein und schätze
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )sdsrAsPAtP
sdsrsqAsPAtPAtVarY
jiAj
t
ii
t
iAiii
β
β
∑ ∫
∫
−∈ −+
−−=
0
2
0
2
,,
,,,
( ) ( ) ( )Atttq jA ,P und , iβ
( ) ( )tnRtr durch
Der Parameter "Migrationsmatrix" 18
Varianz
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )sdsRAsPAtPn
sdsRsqAsPAtPnAtYVar
jiAj
t
ii
t
iAiii
β
β
ˆ,ˆ,ˆ
ˆˆ,ˆ,ˆ,
0
2
0
2
∑ ∫
∫
−∈
∧
−+
−−=
( )
( )AtYVar
AtYVar
i
i
,gegen sicher fast
t konvergier ,∧
Der Parameter "Migrationsmatrix" 19
Effizienz
Homogene Markovketten->Intensitäten sind unabhängig von der Zeit
Maximum Likelihood Schätzer
( ) ( )( )*,*
,
*,* exp1, tAtA
tii AtP δ
δα
−−=
Vergleich der asymptotischen Varianzen von
( ) ( )AtPAtP ii , ,ˆ * und
Der Parameter "Migrationsmatrix" 20
Effizienz
( )i
i
PasVar
PasVartbae
ˆ,,,
*
=δAi
A
b
a
δαδδ
==
12112
1 21 0),,,(lim
2<≥−=
=<=∞→
baa
a
b atbaet
and
orδ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 22
Effizienz
A
iA baδα
δδ ==
Für a gegen 1 und b < 1 oder δt sehr klein, ist e nahe 1, d.h. die Varianz des Aalen-Johansen Schätzers ist annähernd so klein wie die des MLE.
Der nicht-parametrische Aalen –Johansen Schätzer ist asymptotisch effizient im Vergleich zu dem parametrischen MLE.
Der Parameter "Migrationsmatrix" 23
Product Limit Estimator
• Übergangswahrscheinlichkeiten
( ) ( )] ]∏ +=
ts
dBItsP,
,
( ) ( )dttqAB A ijij ∫= ( ) ( ) ( )∑ =<>j
ijiiij tqtqtq 0,0,0
Intensität zum Zeitpunkt t
Der Parameter "Migrationsmatrix" 24
• Product Limit Estimator
] ]∏ +=
ts
BdItsP,
)ˆ(),(ˆ
[ ] ( ) ( )knkn
tB ijtt i
ij
k
∆=∑≤
1,0ˆ
jiBBij
ijii ≠−= ∑≠
,ˆˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 25
Vergleich
( ) ( )] ]∏ +=
ts
dBItsP,
,
( ) ( )dttqABA ijij ∫=
] ]∏ +=
ts
BdItsP,
)ˆ(),(ˆ
[ ] ( ) ( )knkn
tB ijtt i
ij
k
∆=∑≤
1,0ˆ
Übergangswahrscheinlichkeiten Product Limit Estimator
Der Parameter "Migrationsmatrix" 26
Nicht-parametrischer MLE
• Likelihood Function
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏ ∏ ∏+
=
∆=i
m
k ij
kn
ij
kn
ik
n ijii kpgipM1
1,
Ausgangsverteilung Wahrscheinlichkeit, dass kein Sprung zwischen 2 Zeitpunkten
Wahrscheinlichkeit für Sprung zum Zeitpunkt
Der Parameter "Migrationsmatrix" 27
Ergebnis der Maximierung
( )
( ) ( )( )kn
knkp
gn
nip
i
ijij
ik
i
∆=
=
=
1,
Für Likelihood-Funktion:
[ ] ( ) ( )knkn
tB ijtt i
ij
k
∆=∑≤
1,0ˆ
( )n
nip i=ˆ
Schätzer:
Der Product Limit Estimator ist ein Maximum Likelihood Estimator
Der Parameter "Migrationsmatrix" 29
Nicht-Markovverhalten
• Test ob die Annahme der Markovketten (homogen oder inhomogen) richtig ist.
• Eventuell sind die Intensitäten innerhalb einer Gruppe zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht identisch und hängen zusätzlich von anderen Variablen ab.
• Intensitäten könnten abhängen von der Zeit in dem jeweiligen Zustand und der Richtung aus der die Beobachtung in diesen Zustand gekommen ist.
Der Parameter "Migrationsmatrix" 30
Drift
Test ob die Richtung der letzten Rating Veränderung dieÜbergangswahrscheinlichkeit aus dem aktuellen Zustand beeinflusst.
( )( ) ( ) ( )( )tZttZt ihjhjihji ⋅= βαα exp, 0
RegressionskoeffizientBasisintensität
Covariable
( )=0
1tZi
wenn i durch ein Downgrade in die aktuelle Ratingklasse gekommen ist
sonst
0:0 =βH
Der Parameter "Migrationsmatrix" 33
Waiting Time
Zeit seit dem letzten Eintreten in den momentanen Zustand
( ) =tZi
( )( ) ( ) ( )( )tZttZt ihjhjihji ⋅= βαα exp, 0
RegressionskoeffizientBasisintensität
Covariable
Der Parameter "Migrationsmatrix" 36
Covariablen
Intensitäten innerhalb einer Gruppe zu einem bestimmten Zeitpunkt sind nicht identisch. Sie hängen zusätzlich von anderen Variablen ab.kein Markov Verhalten
Der Parameter "Migrationsmatrix" 37
Zusammenfassung
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten
ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
Der Parameter "Migrationsmatrix" 38
Literatur
• Aalen, O.O. (1978): Nonparametric estimation of partialtransition probabilities in multiple decrement models, Annals ofStatistics, 6, 534-545.
• Lancaster, T.(1990): The Econometric analysis of transition data, Cambridge: Cambridge University Press
• Lando, D., Skodeberg, T. (2002): Analyzing rating transitionsand rating drift with continuous Observations, Journal ofBanking and Finance, 26, 423-444, 2002.
• Johansen, S. (1978): The Product Limit Estimator as a Maximum Likelihood Estimator, Scandinavian Journal of Statistics, 5, 195-199, 1978.