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Índice
AULA 1 Introdução 3
AULA 2 Derivadas fundamentais 5
AULA 3 Derivada do produto e do quociente de funções 7
AULA 4 Regra da cadeia 9
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AULA 1
Introdução
A derivada surgiu a partir de um problema conhecido como o problema da tangente, que consiste no seguinte:
Como traçar uma reta tangente a uma curva num dado ponto? A solução está em aproximar uma reta
secante até ela ficar tão próxima que pode ser considerada a tangente procurada. Observe a ilustração:
Temos um função f e queremos determinar a
reta tangente a essa função num dado ponto P,
fixo, de coordenadas (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). Para isso,
tomamos um outro ponto Q da função, de
coordenadas (𝑥 , 𝑓(𝑥)) e ligamos esses dois
pontos traçando a reta secante PQ. Note que a medida em que os valores de x
se aproximam do valor de 𝑥0, o ponto Q se
aproxima do ponto P, de modo que a secante fica cada vez mais próxima da tangente.
Dizemos então que a reta tangente a f(x) no ponto P é a posição limite da reta secante PQ quando Q desliza ao longo da curva em direção a P.
Taxa de variação de uma função
Taxa de variação média de uma função
A taxa de variação média de uma função
num determinado intervalo [𝑥0 , 𝑥] contido no
domínio da função, é a variação dos valores de f(x) dividido pela variação dos valores de x:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Esse quociente corresponde a inclinação da reta secante que passa por esses dois pontos
(𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). e (𝑥 , 𝑓(𝑥)), como ilustrado no
gráfico a seguir:
A inclinação da reta secante é o seu
coeficiente angular cujo valor corresponde a
tangente do ângulo 𝛽, assim:
𝑚 = 𝑡𝑔 𝛽 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Por exemplo, se uma determinada função f(x) apresenta f(3) = 5 e f(7) = 17, a taxa média de variação no intervalo [3,7] será de 12/4 = 3, significa que, em média, a cada unidade de x, f(x) variou 3 unidades, independentemente de qual função passa por esses pontos.
Ou seja, a taxa de variação média indica com que rapidez a função varia, isto é, ela se refere a um intervalo de valores de x, em que o valor de f(x) pode ter aumentado ou diminuído muito mais rapidamente do que o indicado pela taxa de variação média.
Taxa de variação instantânea
Taxa de variação instantânea é a taxa de
variação de uma função em um ponto
(𝑥0 , 𝑓(𝑥0)), ou seja, é a taxa de variação a
cada instante, corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a função no ponto, que é a derivada da função nesse ponto.
Precisamos então, encontrar o coeficiente angular da reta tangente a uma função f(x) num
ponto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). Para isso, basta lembrar o
problema inicial da aula, onde para traçar uma
tangente a uma função num ponto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0))
tomamos um segundo ponto (𝑥 , 𝑓(𝑥)) e a
reta secante que liga esses dois pontos tende a
reta tangente a medida que ∆𝑥 tende a zero.
limite.
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Logo, basta calcularmos o limite do coeficiente da reta secante que passa por (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)) e (𝑥 , 𝑓(𝑥)) quando ∆𝑥 tende a
zero e teremos o coeficiente angular da reta tangente. O coeficiente angular da secanteé dado pela taxa de variação média da função no
intervalo [𝑥0 , 𝑥] como já vimos:
𝑚 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
=𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Fazendo o limite, temos:
lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥=
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Chegamos assim na definição de derivada. O resultado desse limite, se existir e for finito, é a
derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto onde
𝑥 = 𝑥0, e indica-se por 𝑓′(𝑥0).
A derivada como uma função Já sabemos o que é a derivada de uma
função f(x) em um número 𝑥0, mas e se
quisermos encontrar a derivada para qualquer
número x? É só deixar esse 𝑥0 variar, trocando
ele por uma variável x, assim encontramos uma nova função para calcular a derivada em qualquer número onde ela exista, essa nova função é chamada de derivada da função f e é dada por:
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Essa função derivada pode ser indicada por
𝑓′(𝑥) ou 𝑦′ ou ainda 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑜𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑥.
Derivadas de ordem superior
Como vimos, se 𝑓 é uma função
diferenciável então sua derivada 𝑓′ também é
uma função, de modo que pode ter a sua
própria derivada, denotada por 𝑓′′. Esta nova
função é chamada de segunda derivada ou
derivada de ordem 2 de 𝑓. A terceira derivada
de 𝑓 é a derivada de 𝑓′′, representada por 𝑓′′′, a quarta derivada de f é a derivada de 𝑓′′′ usualmente denotada por 𝑓(4) e assim por
diante. De maneira geral, a n-ésima derivada de
f é denotada por 𝑓(𝑛) e obtida a partir de f, derivando n vezes.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Mostre que toda função f: R⟶R, definida por
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem como derivada
𝑓′(𝑥) = 𝑎.
2) Determine a derivada da função
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 utilizando a definição,
em seguida, calcule o valor da derivada quando
𝑥 = 3.
EXERCÍCIOS
1 – Aplicando a definição, calcule a derivada da
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 para:
a) 𝑥 = 3 b) 𝑥 = −2
2 – Dada a função
𝑓(𝑥) =2 + 𝑥
3 − 𝑥,
determine a derivada de f(x) no ponto x = 1. 3 a 10 - Encontre a derivada da função dada usando a definição.
3) 𝑓(𝑥) =1
2𝑥 −
1
3 4) 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
5) 𝑓(𝑡) = −9𝑡2 6) 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥2 − 𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 8) 𝑔(𝑥) = 𝑥 + √𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
2⁄ 10) 𝑓(𝑥) = 𝑥4
GABARITO
1) a) 𝑓′(3) = 7 b) 𝑓′(−2) = −3
2) 𝑓′(1) = 54⁄ 3) 𝑓′(𝑥) = 1
2⁄
4) 𝑓′(𝑥) = 𝑚 5) 𝑓′(𝑡) = −18𝑡
6) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 − 1 7) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3
8) 𝑔′(𝑥) =1
2√𝑥+ 1 9) 𝑓′(𝑥) =
3√𝑥
2
10) 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3
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AULA 2
Derivadas fundamentais
Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x) por meio da definição. Mas esse processo é trabalhoso e nada prático, então estudaremos algumas regras (que vamos admitir sem demonstração) que permitem calcular mais facilmente a derivada de uma função f(x). Vejamos as derivadas fundamentais:
Derivada da função constante
Se 𝑘 é uma constante e 𝑓(𝑥) = 𝑘, então
𝑓′(𝑥) = 0. Exemplos:
𝑓(𝑥) = 5 𝑓′(𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = −√3/5 𝑓′(𝑥) = 0
Derivada da função potência
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, com 𝑛 ∈ 𝑅, então
𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1. Exemplos:
𝑓(𝑥) = 𝑥7
𝑓′(𝑥) = 7𝑥7−1 = 7𝑥6
𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥1
2⁄
𝑓′(𝑥) = 12⁄ ∙ 𝑥
12⁄ −1 =
𝑥−12⁄
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Derivada do produto de uma constante por uma função
Se 𝑔(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), sendo 𝑘 uma
constante e f(x) derivável, então
𝑔′(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥). Exemplos:
𝑓(𝑥) = 5𝑥3
𝑓′(𝑥) = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2
𝑓(𝑥) = 4𝑥3⁄ = 4𝑥−3
𝑓′(𝑥) = 4(−3)𝑥−3−1 = −12𝑥−4
Derivada da soma ou diferença de funções
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥). Se as funções
u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual a soma ou diferença das derivadas. Ou seja:
𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 ⇒ 𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣′
Exemplo:
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 6 𝑓′(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥3−1 − 2 ∙ 3𝑥2−1 + 1 ∙ 4𝑥1−1
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 + 4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Encontre a derivada da função
𝑓(𝑥) =𝑥5
2− 3𝑥3 + 𝑥−2 + 1
2 - Derive a função
𝑓(𝑥) =1
√2𝑥23
3 – Encontre a equação da reta tangente à
curva 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥3 no ponto (1, 2).
EXERCÍCIOS
1 a 8 – Derive a função.
1) 𝑓(𝑥) = 186,5
2) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1
3) 𝑓(𝑥) = √30
4) 𝑓(𝑥) = −4𝑥10
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 6
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥2,4 + 𝑒2,4
7) 𝑓(𝑥) = ln (𝑒) ∙ 𝑥−25⁄
8) 𝑓(𝑥) =2
√𝑥23
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9 e 10 – Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
9) 𝑓(𝑥) = √𝑥4
no ponto (1, 1).
10) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 2𝑥2 + 3 no ponto (1, 6).
GABARITO
1) 𝑓′(𝑥) = 0
2) 𝑓′(𝑥) = 5
3) 𝑓′(𝑥) = 0
4) 𝑓′(𝑥) = −40𝑥9
5) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 4
6) 𝑓′(𝑥) = 2,4𝑥1,4
7) 𝑓′(𝑥) = −ln (𝑒) ∙ 25⁄ ∙ 𝑥−7
5⁄
8) 𝑓′(𝑥) = − 43⁄ ∙ 𝑥−5
3⁄
9) 𝑦 = 𝑥4⁄ + 3
4⁄
10) 𝑦 = 11𝑥 − 5
ANOTAÇÕES
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AULA 3
Derivada do produto e do quociente de funções Regra do produto
Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ambas
deriváveis, então a derivada de
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é dada por:
ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
Exemplo:
𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)(3 + 5𝑥)
𝑓′(𝑥) = (2𝑥 − 2)(3 + 5𝑥) + (𝑥2 − 2𝑥)(5)
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 10𝑥2 − 6 − 10𝑥 + 5𝑥2 − 10𝑥
𝑓′(𝑥) = 15𝑥2 − 14𝑥 − 6
Regra do quociente
Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ambas
deriváveis, então a derivada de
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
é dada por:
ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
Exemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1𝑥 − 3⁄
𝑓′(𝑥) = (2𝑥)(𝑥 − 3) − (𝑥2 + 1)(1)
(𝑥 − 3)2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥2 − 1
𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 − 1
𝑥2 − 6𝑥 + 9
Derivada das funções trigonométricas
A derivada da função 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é dada por
𝑐𝑜𝑠(𝑥) e a derivada da função 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é
– 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Com essas duas derivadas
fundamentais, utilizamos a regra do quociente e encontramos a derivada de todas as funções trigonométricas, que estão indicadas a seguir:
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −cossec (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = sec(𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Derive a função
𝑓(𝑥) = 𝑥2(3𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2 - Sabendo que a derivada de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é
𝑐𝑜𝑠(𝑥) e que a derivada de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é
– 𝑠𝑒𝑛(𝑥), demonstre que:
a) Se 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) então
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
b) Se 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) então
𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
c) Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) então
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑡𝑔(𝑥)
3 - Derive a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑡𝑔(𝑥)
ANOTAÇÕES
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EXERCÍCIOS
1 a 10 - Derive.
1) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 7)(2𝑥2 + 3)
2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥(3𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
4) 𝑔(𝑡) = 𝑡3 ∙ cos (𝑡)
5) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)
6) 𝑓(𝑥) =𝑥
2 − 𝑡𝑔(𝑥)
7) 𝑓(𝑥) =cos (𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
8) 𝑓(𝑥) =1 − sec (𝑥)
𝑡𝑔(𝑥)
9) 𝑓(𝑥) =sec (𝑥)
1 + sec (𝑥)
10) 𝑦 =𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
1 + 𝑡
GABARITO
1) 𝑓′(𝑥) = 10𝑥4 + 9𝑥2 − 28𝑥
2) 𝑓′(𝑥) = 72𝑥2 + 56𝑥 − 12
3) 𝑓′(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2√2+ √𝑥 ∙ cos (𝑥)
4) 𝑔′(𝑡) = 3𝑡2𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑡3𝑠𝑒𝑛(𝑡)
5) 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
6) 𝑓′(𝑥) =2 − 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
[2 − 𝑡𝑔(𝑥)]2
7) 𝑓′(𝑥) =−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1
[1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2
8) 𝑓′(𝑥) =−𝑡𝑔2(𝑥) + sec(𝑥) − 1
𝑡𝑔2(𝑥)
9) 𝑓′(𝑥) =sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)
[1 − 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)]2
10) 𝑦′ =(𝑡2 + 𝑡) cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
(1 + 𝑡)2
ANOTAÇÕES
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AULA 4
Regra da cadeia
A derivada da função composta, mais conhecida como regra da cadeia, permite o cálculo da derivada de uma função do tipo
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Se existirem as derivadas
𝑓′(𝑔(𝑥)) e 𝑔′(𝑥), a derivada de ℎ(𝑥) é dada
por:
ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)
Exemplos:
Calcule a derivada da função
𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)4
Essa função é da forma 𝑓(𝑔(𝑥)), quando
consideramos 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 e
𝑓(𝑔(𝑥)) = [𝑔(𝑥)]4.
Como 𝑔′(𝑥) = 2𝑥 e 𝑓′(𝑔(𝑥)) = 4[𝑔(𝑥)]3 temos:
𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2 + 1)3 ∙ 2𝑥
𝑓′(𝑥) = 8𝑥(𝑥2 + 1)3
Calcule a derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑔(𝑥) = 3𝑥 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛(𝑔(𝑥)).
Logo, 𝑔′(𝑥) = 3 e 𝑓′(𝑔(𝑥)) = cos(𝑔(𝑥)).
Assim, 𝑦′ = 3 ∙ cos (3𝑥).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 a 5 – Derive a função.
1) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥) 2) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥3)
3) 𝑦 = 2𝑥2
4) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑔(2𝑥))
5) 𝑦 = 𝑒𝑡∙𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
EXERCÍCIOS
1 a 10 - Encontre a derivada da função.
1) 𝑓(𝑥) = (𝑥4 + 3𝑥2 − 2)5
2) 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑥 + 𝑥34
3) 𝑔(𝑡) =1
(𝑡4 + 1)3
4) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎3 + 𝑥3)
5) 𝑦 = (2𝑥 − 3)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)5
6) 𝑦 = (𝑥2 + 1
𝑥2 − 1)
3
7) 𝑦 = 5−1𝑥⁄
8) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)
9) 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑘𝑥
10) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛(3𝑥))
GABARITO
1) 𝑓′(𝑥) = 10𝑥(𝑥4 + 3𝑥2 − 2)4(2𝑥2 + 3)
2) 𝑓′(𝑥) =2 + 3𝑥2
4(1 + 2𝑥 + 𝑥3)3
4⁄
3) 𝑔′(𝑡) = −12𝑡3
(𝑡4 + 1)4
4) 𝑦′ = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑎3 + 𝑥3)
5) 𝑦′ = (2𝑥 + 3)3(𝑥2 + 𝑥 + 1)4(28𝑥2 − 12𝑥 − 7)
6) 𝑦′ =−12𝑥(𝑥2 + 1)2
(𝑥2 − 1)4
7) 𝑦′ = 5−1𝑥⁄ (ln 5)/𝑥2
8) 𝑦′ = −2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
9) 𝑦′ = 𝑒−𝑘𝑥(−𝑘𝑥 + 1)
10) 𝑦′ = 3𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(3𝑥))cos (3𝑥)
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REFERÊNCIAS
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning.