derivimi i funksioneve te perbera-data27.12.2014

Rregulla zingjirDerivimi i funksioneve t prbra

Prfundim

Prmbajtja

1 Rregulla zingjir

2 Derivimi i funksioneve t prbraRregulla zingjir pr funksione fuqiRregulla zingjir pr funksione logaritmikeRregulla zingjir pr funksione eksponenciale

Rregulla zingjir 3


Prfundim

Prodhimi i shpejtsive t ndryshimeve

Le t jen C , q dhe t kostoja n euro,numri i njsive t prodhuara dhe koha n or pune.Shpejtsia e ndryshimit t kostos sipas sasis s prodhuar:

dCdq C pr njsi

Shpejtsia e ndryshimit t sasis s prodhuar sipas kohs:dqdt njsi pr or

Shpejtsia e ndryshimit t kostos sipas kohs:dCdt =

dCdq

dqdt C pr or

Rregulla zingjir 4


Prfundim

Rregulla zingjir

Rregulla zingjirLe t jet y funksion i derivueshm sipas udhe u funksion i derivueshm sipas x .Ather y sht funksion i prbr sipas x dhe

dydx =

dydu

dudx .

Pr ta mbajtur n mend, bjm kinse thjeshtojm:

dydx =

dydu

dudx

Rregulla zingjir 5


Prfundim

Aplikacion: Shpejtsia e ndryshimit t kostos sipas kohs

ShembullKostoja e prodhimit t x njsish t nj malli t caktuarsht C(x) = 0.2x2 + x + 900 euro dhe niveli i prodhimitpas t orsh pune prodhuese sht x(t) = t2 + 100t njsi.Me far shpejtsie ndryshon kostoja sipas kohs pas 1 or pune?

Zgjidhje. . .Meq

dCdx = 0.4x + 1dxdt = 2t + 100,

Rregulla zingjir 6


Prfundim

Aplikacion: Shpejtsia e ndryshimit t kostos. . . (Vazhdim)

. . . Zgjidhje.sipas rregulls zingjir kemi

dCdt =

dCdx

dxdt = (0.4x + 1)(2t + 100).

Qllimi sht t evaluohet ky derivat kur t = 1.

x(1) = 12 + 100 1 = 101 njsidCdt

t=1

= (0.4 101+ 1)(2 1+ 100) = 4222.8

Pra, pas 1 ore kostoja rritet me shpejtsi 4,222.80 C n or.

Rregulla zingjir 7


Prfundim

Rregulla zingjir pr funksione fuqiRregulla zingjir pr funksione logaritmikeRregulla zingjir pr funksione eksponenciale

Derivimi i funksioneve t prbra

Derivimi i funksioneve t prbraN qoft se g(u) dhe h(x) jan funksione t derivueshme, ather

ddx g [h(x)] = g

[h(x)]h(x).

Vrtet, pry = g(u), u = h(x),

mbshtetur n rregulln zingjir,

dydx =

dydu

dudx = g

(u)h(x) = g [h(x)]h(x).

Rregulla zingjir 8


Prfundim


Shembull derivimi funksioni t prbr

ShembullDerivoni funksionin f (x) =

x2 x + 3.

Zgjidhje. . .Forma e funksionit sht

f (x) =(x2 x + 3 )1/2.

Ather (x2 x + 3 ) = 2x 1

Rregulla zingjir 9


Prfundim


Shembull derivimi funksioni t prbr. (Vazhdim)

. . . Zgjidhje.dhe mbshtetur n rregulln pr derivimin e funksionit t prbr,

f (x) = 12(x2 x + 3 )1/2( x2 x + 3 )=

12(x2 x + 3 )1/2(2x 1) = 2x 1

2x2 x + 3 .

Rregulla zingjir 10


Prfundim


Rregulla zingjir pr funksione fuqi

Rregulla e prgjithshme e fuqisPr do numr real n dhe funksion t derivueshm h,

ddx [h(x)]

n = n[h(x)]n1 ddx [h(x)].

Rregulla zingjir 11


Prfundim


Shembull derivimi t nj funksioni fuqi

ShembullDerivoni funksionin f (x) = 1

(3x2)4 .

Zgjidhje. . .

f (x) = (3x 2)4

f (x) = 4(3x2)5 ddx (3x2) = 4(3x2)5 3 = 12

(3x 2)5

Rregulla zingjir 12


Prfundim


Rregulla zingjir pr funksione logaritmike

Rregulla zingjir pr funksione logaritmikeN qoft se h(x) sht funksion i derivueshm, ather

ddx [ln h(x)] =

1h(x)

ddx [h(x)].

Rregulla zingjir 13


Prfundim


Aplikacion: T ardhurat margjinale

ShembullNj prodhues vlerson se x njsi t nj malli do t shitenkur mimi sht p(x) = ln(x+3)x+3 qind euro pr njsi.Gjeni t ardhurat margjinale pr kt mall kur shiten 4 njsi.

Zgjidhje. . .Funksioni i t ardhurave totale sht

R(x) = p(x)x = ln(x + 3)x + 3 x =x ln(x + 3)

x + 3

qind euro, prandaj t ardhurat margjinale jan

Rregulla zingjir 14


Prfundim


Aplikacion: T ardhurat margjinale. (Vazhdim)

. . . Zgjidhje. . .

MR(x) = R (x) = [x ln(x + 3)](x + 3) [x ln(x + 3)](x + 3)

(x + 3)2

=[1 ln(x + 3) + x(ln(x + 3))](x + 3) [x ln(x + 3)] 1

(x + 3)2

=[ln(x + 3) + x

(1

x+3(x + 3))](x + 3) x ln(x + 3)

(x + 3)2

=[ln(x + 3) + xx+3 ](x + 3) x ln(x + 3)

(x + 3)2

=x + 3 ln(x + 3)

(x + 3)2

Rregulla zingjir 15


Prfundim


Aplikacion: T ardhurat margjinale. (Vazhdim)

. . . Zgjidhje.Kur x = 4 t ardhurat margjinale jan

R (4) = 4+ 3 ln(4+ 3)(4+ 3)2 0.20

qind euro pr njsi; d.m.th. prafrsisht 20 C pr njsi.

Rregulla zingjir 16


Prfundim


Rregulla zingjir pr funksione eksponenciale

Rregulla zingjir pr funksione eksponencialeN qoft se h(x) sht funksion i derivueshm, ather

ddx [e

h(x)] = eh(x) ddx [h(x)].

Rregulla zingjir 17


Prfundim


Aplikacion: T ardhurat totale

ShembullNj prodhues vlerson se D(p) = 8,000e0.04p njsi t nj mallido t shiten kur mimi sht p euro pr njsi.far ndodh me t ardhurat e prgjithshmekur mimi sht 25 C njsia?

Zgjidhje. . .

R(p) = pD(p) = 8,000pe0.04p

R (p) = 8,000(e0.04p 0.04pe0.04p) = 8,000(1 0.04p)e0.04p

R (25) = 8,000(1 0.04 25)e0.0425 = 0.

Rregulla zingjir 18


Prfundim


Aplikacion: T ardhurat totale. (Vazhdim)

. . . Zgjidhje.Nuk sht vshtir t vrejm poashtu se t ardhurat totalekan shpejtsi pozitive t ndryshimit kur p < 25 Cdhe shpejtsi negative ndryshimi kur p > 25 C.Prandaj prfundojm se prodhuesi arrin t ardhura maksimalepikrisht kur mimi i mallit sht 25 C njsia.

Rregulla zingjir 19

derivimi i funksioneve te perbera-data27.12.2014

Documents