Capítulo 4

Detecção de Sinais e Capacidade de Canais

Este capítulo será dividido em duas partes: a primeira parte dedicada à detecção de sinais e a segunda parte ao cálculo dacapacidade dos principais tipos de canais. Vamos iniciar pela detecção de sinais em canais discretos.

4.1 Detecção de Sinais

4.1.1 Canais DiscretosCanais discretos são canais em que o símbolo recebido é discreto. Os canais DMC (“Discrete Memoryless Channel”) e BSC(“Binary Symmetric Channel”) são exemplos de canais discretos.

Definição 1 (Canal DMC) Um canal discreto sem memória (DMC) é um canal com entrada e saída discretas, dadas re-spectivamente por X e Y . A entrada representa os símbolos transmitidos e a saída os símbolos recebidos. Para um canalDMC a entradaX assume os valores binários 0 e 1, enquanto que a saída Y assume valores inteiros de 0 aM−1. A Fig. 4.1apresenta o diagrama de transições de um canal DMC, com probabilidades de transição dadas por P (Y = y|X = x). Asprobabilidades de transição devem satisfazer que

∑Y P (Y = y|X = x) = 1. Além das probabilidades de transição são

também conhecidas as probabilidades de transmissão P (X = x), onde∑X P (X = x) = 1. Este canal é denominado sem

memória pois o símbolo transmitido no instante i não depende dos símbolos transmitidos nos instantes anteriores.

♣

Figura 4.1: Diagrama de Transições de um Canal Discreto sem Memória.

Definição 2 (Canal BSC) Um caso particular de canal DMC é o canal binário simétrico (BSC) em que a entrada e a saídasão variáveis binárias discretas. A Fig. 4.2 apresenta o diagrama de transições de um canal BSC, em que as probabilidadesde acerto e as probabilidades de erro são dadas respectivamente por:

P (Y = 0|X = 0) = P (Y = 1|X = 1) = 1− pP (Y = 0|X = 1) = P (Y = 1|X = 0) = p (4.1)

1

Ele é denominado simétrico, pois as probabilidades de acerto, ou de erro, independem do símbolo transmitido.

♣

Figura 4.2: Diagrama de Transições de um Canal Binário Simétrico.

Detector de Máxima Verossimilhança e de Máximo a-Posteriori

Considere a Fig. 4.3 em que o símbolo X foi transmitido e o símbolo Y foi recebido. O detector escolherá o símbolo X̂ deacordo com algum critério.

Figura 4.3: Canal e Detector.

Existem dois critérios de detecção bastante utilizados. O primeiro critério é denominado de máxima verossimilhança(ML - “Maximum Likelihood”) e o segundo de máximo a posterior (MAP - “Maximum a-Posteriori”). O critério MAP éótimo no sentido de que ele minimiza a probabilidade de erro, que é um dos parâmetros mais importantes em sistemas detransmissão digital. Por outro lado, o critério ML é um caso particular do critério MAP, utilizado na prática principalmentequando não se conhece a probabilidade dos símbolos transmitidos. Deste modo, o critério de detecção ML é mais simplesde ser implementado que o critério MAP. Quando os símbolos da fonte são equiprováveis, o critério ML apresenta o mesmodesempenho que o critério MAP. Quando os símbolos não são equiprováveis, o critério MAP apresenta melhor desempenhoque o ML.

Definição 3 (Critério ML) O critério ML decide pelo símbolo transmitido X̂ = x, se a função de verossimilhança formáxima para X = x. A função de verossimilhança é dada por:

P (Y = y|X = x) (4.2)

♣

O termo a-priori se refere ao símbolo na entrada do canal, enquanto que o termo a-posteriori se refere ao símbolo nasaída do canal. Portanto, P (X = x) é a probabilidade a-priori de se transmitir o símbolo x, enquanto que P (X = x|Y = y)é a probabilidade a-posteriori de se ter transmitido o símbolo x, dado que observamos no receptor o símbolo y.

Definição 4 (Critério MAP) O critério MAP decide pelo símbolo transmitido X̂ = x, se a probabilidade P (X = x|Y = y)for máxima para X = x, onde Y = y é o símbolo observado. Deste modo, estaremos minimizando a probabilidade de secometer um erro, conforme veremos posteriormente.

Usando a regra de Bayes para o caso discreto, dada por (??), podemos escrever que:

P (X = x|Y = y) =P (Y = y|X = x)P (X = x)

P (Y = y)(4.3)

♣

2

Para o critério MAP precisamos conhecer as probabilidades a-priori, isto é, as probabilidades de se transmitir os diversossímbolos. Como o critério MAP usa a regra de Bayes, ele também é denominado de critério bayesiano.

O termo P (Y = y) de (4.3) não depende do símbolo transmitido x e portanto pode ser ignorado. Portanto, devemosescolher o símbolo X̂ = x que maximiza:

P (X = x|Y = y) ∝ P (Y = y|X = x)P (X = x) (4.4)

Para o caso em que os símbolos transmitidos são equiprováveis, devemos escolher o símbolo X̂ = x que maximiza:

P (X = x|Y = y) ∝ P (Y = y|X = x) (4.5)

Neste caso, de acordo com (4.2) e (4.5), os critérios MAP e ML apresentam resultados idênticos.A qualidade do detector é medida em termos da probabilidade de erro, definida como:

Pe = P (X̂ 6= X) (4.6)

Por outro lado, a probabilidade de acerto é dada por

Pc = P (X̂ = X) (4.7)

onde Pc = 1− Pe.

Exemplo 1 Considere o canal DMC da Fig. 4.4a em que P (X = 0) = 3/4 e P (X = 1) = 1/4. Além disso, as prob-abilidades de transição são dadas por P (Y = 0|X = 0) = 1/2, P (Y = 1|X = 0) = 1/2, P (Y = 2|X = 0) = 0,P (Y = 0|X = 1) = 0, P (Y = 1|X = 1) = 1/2 e P (Y = 2|X = 1) = 1/2.

Vamos considerar inicialmente o critério ML. Suponha que o símbolo Y = 0 foi recebido. A única possibilidade é ade se ter transmitido X = 0 e portanto devemos escolher X̂ = 0. Suponha que Y = 1 foi recebido. Neste caso, X̂ = 0 eX̂ = 1 são igualmente prováveis, pois P (Y = 1|X = 0) = P (Y = 1|X = 1) = 1/2 e a decisão tem que ser feita pelolançamento de uma moeda. Finalmente, suponha que Y = 2 foi recebido. A única possibilidade é a de se ter transmitidoX = 1 e portanto X̂ = 1. A Fig. 4.4b apresenta o canal DMC e a decisão tomada pelo detector ML.

Teremos erro se transmitirmos um símbolo 0 e decidirmos por 1 e vice-versa. A probabilidade de erro do detector MLé dada por:

Pe = P (X = 0)P (Y = 1|X = 0)P (X̂ = 1|Y = 1) + P (X = 1)P (Y = 1|X = 1)P (X̂ = 0|Y = 1)

=3

4× 1

2× 1

2+

1

4× 1

2× 1

2=

1

4

Portanto a probabilidade de erro do detector ML é 1/4.Vamos considerar agora o critério MAP. Para Y = 0 e Y = 2 a decisão é feita em favor de X̂ = 0 e X̂ = 1,

respectivamente, pois também não há qualquer dúvida sobre o símbolo transmitido. Para Y = 1, usando (4.4), temos que:

P (X = 0|Y = 1) ∝ P (Y = 1|X = 0)P (X = 0) =1

2× 3

4=

3

8

P (X = 1|Y = 1) ∝ P (Y = 1|X = 1)P (X = 1) =1

2× 1

4=

1

8

Portanto, para Y = 1 devemos decidir por X̂ = 0 por apresentar o maior valor dentre os possíveis símbolos transmitidos.A Fig. 4.4c apresenta o canal DMC e a decisão tomada pelo detector MAP.

A única possibilidade de erro é transmitirmos um símbolo 1 e decidirmos por 0. A probabilidade de erro do detectorMAP é dada por:

Pe = P (X = 1)P (Y = 1|X = 1)P (X̂ = 0|Y = 1)

=1

4× 1

2× 1 =

1

8

Portanto a probabilidade de erro do detector MAP é 1/8 contra 1/4 do detector ML, mostrando portanto a sua superioridade.

♣

3

Vamos mostrar a seguir que o detector MAP minimiza a probabilidade de erro. A probabilidade de acerto é dada por:

Pc =∑x

∑y

P (X = x)P (Y = y|X = x)P (X̂ = x|Y = y) (4.8)

Multiplicando e dividindo por P (Y = y), temos que:

Pc =∑x

∑y

P (X = x|Y = y)P (X̂ = x|Y = y)P (Y = y) (4.9)

onde usamos a regra de Bayes, P (X = x|Y = y) = P (X = x)P (Y = y|X = x)/P (Y = y). De fato, como P (Y = y) > 0e como o detector MAP escolhe X̂ = x baseado na maximização da probabilidade a-posteriori P (X = x|Y = y), temos queo detector MAP minimiza a probabilidade de erro.

Figura 4.4: a) Exemplo de Canal DMC. b) Canal DMC com Detector ML. c) Canal DMC com Detector MAP.

4.1.2 Canais ContínuosCanais contínuos são canais em que o símbolo recebido é contínuo, mesmo quando o símbolo transmitido é discreto. O canalAWGN é um canal contínuo.

Definição 5 (Canal AWGN) Um canal com ruído aditivo gaussiano e branco (AWGN - “Additive White Gaussian Noise”)é um canal com entrada discreta e saída contínua, dada por:

Y = X +N (4.10)

onde X é o símbolo transmitido e N é a amostra do ruído aditivo gaussiano e branco. A Fig. 4.5 apresenta um canal AWGN.

♣

4

Figura 4.5: Canal AWGN.

Detector de Máxima Verossimilhança e de Máximo a-Posteriori

O critério ML para canais contínuos é descrito a seguir.

Definição 6 (Critério ML) O critério ML decide pelo símbolo transmitido X = x, se a função de verossimilhança formáxima para X = x. A função de verossimilhança é dada por:

pY (y|X = x) (4.11)

♣

Para canais contínuos, o critério MAP é dado por:

Definição 7 (Critério MAP) O critério MAP decide pelo símbolo transmitido X = x em que a amostra recebida é Y = y,se a probabilidade P (X = x|Y = y) for máxima para X = x. Usando a regra de Bayes para o caso contínuo, dada por(??), podemos escrever que:

P (X = x|Y = y) =pY (y|X = x)P (X = x)

pY (y)(4.12)

♣

O termo pY (y) de (4.12) não depende do símbolo transmitido x e portanto pode ser ignorado. Portanto, devemosescolher o símbolo x que maximiza:

P (X = x|Y = y) ∝ pY (y|X = x)P (X = x) (4.13)

O objetivo do detector ML ou MAP é definir os limiares de decisão, de tal modo que é possível calcular a probabilidadede erro.

Exemplo 2 Considere a transmissão dos símbolos 0 e A em um canal AWGN com variância do ruído igual a σ2n. Para o

caso de detecção ML, as funções de verossimilhança são dadas por:

pY (y|X = 0) =1√2πσn

e− y2

2σ2n

pY (y|X = A) =1√2πσn

e− (y−A)2

2σ2n (4.14)

O detector ML escolhe X̂ = 0 quando:

pY (y|X = 0) > pY (y|X = A)

o que implica que y ≤ L, onde L = A/2 é o limiar de decisão. Por outro lado, o detector ML escolhe X̂ = A sempre quey ≥ L.

Vamos agora utilizar o detector MAP. Por simplicidade de notação vamos usar que P (X = 0) = P0 e P (X = A) =P1. Assim, de acordo com (4.13) o detector MAP escolhe X̂ = 0 quando:

pY (y|X = 0)P0 > pY (y|X = A)P1

que implica que y ≤ L, onde o limiar de decisão é dado por:

L =A

2+σ2n

Aln

(P0

P1

)(4.15)

5

Ou seja, o limiar ótimo deve ser colocado mais distante do símbolo mais provável. Portanto, para o caso em que os símbolosnão são equiprováveis, o desempenho do detector MAP é superior ao do detector ML. Entretanto, para o caso em que ossímbolos são equiprováveis, P0 = P1 = 1/2, o limiar de decisão é igual a A/2, como no caso do detector ML. O detectorML é mais simples de se implementar que o detector MAP, pois não é necessário conhecer as probabilidades a-priori, P0,nem a potência do ruído, σ2

n.A Fig. 4.6a apresenta as funções de verossimilhança para o detector ML e as PDFs a-posteriori para o detector MAP,

onde se considerou que P0 = 0, 6. Observe que neste caso, o limiar de decisão é maior que A/2.

Figura 4.6: a) Funções de Verossimilhança para o Detector ML. b) PDFs a-Posteriori para o Detector MAP para P0 = 0, 6.

A Fig. 4.7 apresenta o canal contínuo seguido do detector. A expressão da probabilidade de erro para os detectoresML e MAP é a mesma, com exceção do valor do limiar. Portanto,

Pe = P0

∫ ∞L

pY (y|X = 0)dy + P1

∫ L

−∞pY (y|X = A)dy (4.16)

Figura 4.7: Canal Contínuo e Detector.

Substituindo (4.14) na expressão da probabilidade de erro, temos:

Pe = P0

∫ ∞L

1√2πσn

e− y2

2σ2n dy + P1

∫ L

−∞

1√2πσn

e− (y−A)2

2σ2n dy

= P0Q

(L

σn

)+ P1Q

(A− Lσn

)(4.17)

onde fizemos substituição de variáveis y/σn = z na primeira integral e (y − A)/σn = z na segunda integral. Além disso,usamos a definição da função Q(x), dada por (??).

6

As probabilidades de erro para o detector ML e para o detector MAP podem ser escritas, respectivamente, como:

Pe = Q

(A

2σn

)ML (4.18)

= P0Q

[A

2σn+σnA

ln

(P0

P1

)]+ P1Q

[A

2σn− σn

Aln

(P0

P1

)]MAP (4.19)

♣

4.1.3 Receptor MLCanal AWGN

Suponha que foi transmitida a forma de onda xj(t), para j = 1, 2, · · ·M , de duração Ts por um canal AWGN e que portantoo sinal recebido é dado por:

y(t) = xj(t) + n(t) (4.20)

onde n(t) é o ruído aditivo gaussiano e branco.Como o canal é AWGN, a função de verossimilhança para a forma de onda xj(t) é dada pela gaussiana:

pY (Y = y|X = xj) =1√2πσn

exp

(− 1

2σ2n

∫ Ts

0

[y(t)− xj(t)]2dt

)(4.21)

Vamos decidir pelo símbolo X̂ = xj , se a função de verossimilhança para este símbolo for máxima:

maxj=1,2,···M

[pY (Y = y|X = xj)] (4.22)

Como o termo 1/(√2πσn) independe de xj(t), podemos concluir que:

maxj=1,2,···M

[exp

(− 1

2σ2n

∫ Ts

0

[y(t)− xj(t)]2dt

)](4.23)

De (4.20) temos que n(t) = y(t) − xj(t). Uma justificativa heurística de (4.23) é que o sinal que maximiza a função deverossimilhança minimiza o ruído em termos quadrático médio.

Substituindo (4.21) em (4.22), tirando o logaritmo de ambos os lados e multiplicando por −2σ2n, temos que:

minj=1,2,···M

[∫ Ts

0

[y(t)− xj(t)]2dt

](4.24)

observe que o máximo tornou-se um mínimo por conta da multiplicação por um número negativo. A partir desta equação,podemos concluir que devemos selecionar a forma de onda xj(t) que apresentam a menor distância quadrática em relação ay(t).

Fazendo a distribuição do quadrado do integrando de (4.24) temos:

maxj=1,2,···M

[∫ Ts

0

y(t)xj(t)dt−1

2

∫ Ts

0

x2j (t)dt

](4.25)

onde multiplicamos (4.24) por 1/2 e eliminamos y2(t). A Fig. 4.8 apresenta o receptor de mínima distância para o casobinário.

Se a energia∫ Ts0x2j (t)dt for idêntica para todos os símbolos transmitidos (M -PSK), então podemos simplificar (4.25),

tal que:

maxj=1,2,···M

[∫ Ts

0

y(t)xj(t)dt

](4.26)

Se os sinais puderem ser escritos em função de um único sinal de uma base unidimensional, como em xj(t) = Ajϕ(t),então teremos como resultado um filtro de correlação unidimensional, mostrado na Fig. 4.9. Este filtro é utilizado pelasmodulações M -PAM e M -ASK, onde para M -PAM ϕ(t) = q(t), enquanto que para M -ASK ϕ(t) = q(t) cos(2πfct + φ).O sinal y(t) é correlacionado com o sinal ϕ(t) e amostrado. Nos M ramos do receptor, a amostra é multiplicada por Aj e

7

Figura 4.8: Receptor de Mínima Distância para o Caso Binário, onde Cj = 12

∫ Ts0x2j (t)dt.

Figura 4.9: Filtro de Correlação para o Caso Unidimensional.

8

subtraída de Cj , onde Aj é a projeção de y(t) na base ϕ(t) e Cj =A2j

2

∫ Ts0ϕ2(t)dt. Este receptor é equivalente aos que

utilizam regiões de decisão.Por outro lado, se os sinais puderem ser escrito como uma combinação linear de uma base bidimensional, como em

xj(t) = Ajϕ1(t) + Bjϕ2(t), então teremos um filtro de correlação bidimensional, mostrado na Fig. 4.10. Este filtro éutilizado pelas modulações M -PSK e M -QAM, onde ϕ1(t) = q(t) cos(2πfct + φ) e ϕ2(t) = q(t) sin(2πfct + φ). O sinaly(t) é correlacionado com os sinais ϕ1(t) e ϕ2(t) e a seguir é amostrado. Nos 2M ramos do receptor, as amostras em fase eem quadratura são multiplicadas respectivamente porAj eBj e subtraídas deCj , ondeCj = 1

2

∫ Ts0

[Ajϕ1(t) +Bjϕ2(t)]2dt.

Figura 4.10: Filtro de Correlação para o Caso Bidimensional.

Detecção Simultânea de uma Sequência de Amostras

Considere a transmissão de um conjunto deM símbolos X = {X1, X2, · · · , XM} por um canal com ruído aditivo. Considerea recepção de M amostras, dadas por Y = {Y1, Y2, · · · , YM}, onde Yi = Xi+Ni, em que Ni são amostras do ruído aditivo,para i = 1, 2, · · · ,M .

Vamos analisar inicialmente o detector ML. Para uma sequência de símbolos, a função de verossimilhança é dada por:

pY(Y|X) (4.27)

ou seja, a função de verossimilhança é igual à PDF conjunta da sequência de amostras recebidas Y, dada a sequência desímbolos transmitidos X.

Se as amostras de ruído Ni forem independentes par a par, então a função de verossimilhança pode ser fatorada emtermos das funções de verossimilhança de cada amostra e é dada por:

pY(Y|X) =

M∏i=1

pYi(Yi|Xi) (4.28)

O receptor ML para sequências é também um receptor de mínima distância, embora a distância seja calculada em um espaçode M dimensões, que é o comprimento da sequência.

Exemplo 3 Considere o canal discreto BSC que apresenta:

P (yi|xi) ={

p yi 6= xi1− p yi = xi

9

Vamos definir a distância entre as sequências X e Y como sendo o número de posições em que estas sequênciasdiferenciam. Esta distância é denominada distância de Hamming 1 e representada como dH(X,Y). Dado que as sequênciatêm comprimento M e distância de Hamming dH , então podemos escrever que:

P (Y|X) = pdH (1− p)M−dH

= (1− p)M(

p

1− p

)dHComo para p < 1/2 temos que p/(1 − p) < 1, então maximizar a função de verossimilhança P (Y|X) é equivalente aminimizar a distância de Hamming, dH em um canal BSC.

♣

Enquanto que para um canal BSC o detector ML minimiza a distância de Hamming, para um canal AWGN, o de-tector ML minimiza a distância euclidiana. A distância euclidiana quadrática entre duas sequências é a soma das distânciaseuclidianas quadráticas entre os símbolos, que é dada por:

d2E(X,Y) =

M∑i=1

d2E(xi, yi) (4.29)

onde d2E(xi, yi) é a distância euclidiana entre os símbolos xi e yi, que é a distância medida no plano cartesiano, conformemostra a Fig. 4.11.

Figura 4.11: Distância Euclidiana no Plano Cartesiano entre os Símbolos xi e yi.

Por outro lado, o detector MAP escolhe a sequência X̂ = X que maximiza a função:

PX(X|Y) =pY(Y|X)P (X)

pY(Y)(4.30)

Como o denominador não depende de X̂ = X este pode ser omitido. Se as probabilidades a-priori forem iguais, então odetector de sequências MAP é idêntico ao detector de sequências ML.

Para o canal AWGN, o detector de sequências MAP deve escolher a sequência que maximiza:

pY(Y|X)P (X) =1

(2π)M/2σMnexp

[− 1

2σ2n

M∑i=1

d2E(xi, yi)

]P (X) (4.31)

Eliminando os termos desnecessários, tirando o logaritmo de ambos os lados da equação e multiplicando por −2σ2n,

temos que o detector de sequências MAP deve escolher a sequência que minimiza::

M∑i=1

d2E(xi, yi)− 2σ2n ln[P (X)] (4.32)

O detector de sequências ML é utilizado no principal algoritmo de decodificação de códigos convolucionais, o al-goritmo de Viterbi. O detector de sequências MAP é utilizado no principal algoritmo de decodificação de códigos turbo, oalgoritmo BCJR.

1Em homenagem a R. Hamming do Bell Labs.

10

Canal com Desvanecimento Plano

Canais com desvanecimento serão estudados na Sec. ?? e seus efeitos nos sistemas de transmissão digital serão analisadosno Cap. ??. De modo geral, o desvanecimento aparece em canais com múltiplos percursos, como é o caso das comunicaçõescelulares. O desvanecimento é dito plano quando todas as componentes em frequência do canal são afetadas por igual. Porora, o que devemos saber é que o desvanecimento plano é modelado por uma variável multiplicativa.

Suponha que foi transmitida a forma de onda x(t) = xj(t), para j = 1, 2, · · ·M , de duração Ts por um canal comdesvanecimento plano e ruído aditivo e que portanto o sinal recebido é dado por:

y(t) = αx(t) + n(t) (4.33)

onde α representa o desvanecimento. O desvanecimento na verdade varia com o tempo, mas vamos supor que o desvaneci-mento é lento, isto é, ele varia lentamente, mas não dentro de um símbolo, de modo que podemos omitir a dependência dotempo. O domínio da variável α é de 0 a∞.

Desenvolvendo raciocínio similar a (4.24), pode-se mostrar que o receptor ML decide pela forma de onda xj(t) queminimiza:

minj=1,2,···M

[∫ Ts

0

[y(t)− α̂xj(t)]2 dt

](4.34)

onde α̂ é a estimativa do desvanecimento realizada no receptor.Descartando os termos irrelevantes, então:

maxj=1,2,···M

[∫ Ts

0

y(t)xj(t)dt− Cj

](4.35)

onde Cj = α̂2

∫ Ts0x2j (t)dt. Ou seja, devemos decidir pelo sinal x̂(t) = xj(t) que apresenta maior correlação com o sinal

recebido, y(t). Assim, o receptor ótimo é um correlator entre o sinal recebido e cada um dos possíveis sinais, xj(t), conformemostra a Fig. 4.12. Se os sinais transmitidos forem unidimensionais, então no receptor podemos usar um único correlator como elemento da base ϕ(t) no lugar de xj(t), como apresentado na Fig. 4.9. Se os sinais transmitidos forem bidimensionais,então no receptor devemos usar dois correlatores: um com ϕ1(t) e o outro com ϕ2(t), que formam uma base do conjuntos desinais transmitidos, como apresentado na Fig. 4.10.

Figura 4.12: Correlator em Canal com Desvanecimento Plano.

Canal com Desvanecimento Seletivo

Um canal apresenta desvanecimento do tipo seletivo, quando diferentes frequências podem ser afetadas por desvanecimentosdiferentes. Um canal com desvanecimento seletivo será estudado na Sec. ??.

Suponha que a forma de onda x(t) = xj(t) foi transmitida, para j = 1, 2, · · ·M , de duração Ts por um canal comdesvanecimento seletivo e ruído aditivo. Por ora, o que devemos saber é que o sinal recebido é dado por:

y(t) =

L∑l=1

αlx(t− lTs) + n(t) (4.36)

onde L é o número de percursos e αl é o desvanecimento do l-ésimo percurso. O canal seletivo produz no receptor váriasréplicas atrasadas do sinal transmitido, x(t− lTs).

11

O receptor ML decide pela forma de onda x̂(t) = xj(t) que minimiza:

minj=1,2,···M

∫ Ts

0

[y(t)−

L∑l=1

α̂lxj(t− lTs)

]2dt

(4.37)

onde α̂l é a estimativa do desvanecimento do l-ésimo percurso.Descartando os termos irrelevantes e supondo que todos os sinais têm mesma energia, temos que:

maxj=1,2,···M

[L∑l=1

α̂l

∫ Ts

0

y(t)xj(t− lTs)dt

](4.38)

Este receptor é conhecido como receptor “rake” e é bastante utilizado em sistemas que utilizam espalhamento espectral.Fazendo uma mudança de variáveis t

′= t− lTs, temos uma implementação alternativa do receptor “rake”, dada por:

maxj=1,2,···M

[L∑l=1

α̂l

∫ Ts

0

y(t+ lTs)xj(t)dt

](4.39)

Nesta implementação, o sinal recebido é quem passa por uma linha de atrasos que tem como objetivo fazer com que todos osmúltiplos percursos cheguem juntos. O receptor “rake” é também um combinador de máxima razão, conforme veremos naSec. ??. Na saída do receptor “rake” devemos escolher a forma de onda, x̂(t) = xj(t), dentre as M possíveis, que produzo maior valor da variável de decisão. A Fig. 4.13 apresenta o canal seletivo em frequência, assim como esta implementaçãoalternativa de um receptor “rake”.

Figura 4.13: Receptor “Rake”.

Sistemas com Espalhamento Espectral

Sistemas com espalhamento espectral serão estudados na Sec. ??. Suponha que há N usuários transmitindo simultaneamenteutilizando espalhamento espectral do tipo DS-CDMA (“Direct Sequence-Code Division Multiple Access”). Além disso, osinal de cada usuário pode assumir M versões diferentes xn,j(t), para j = 1, 2, · · ·M e para n = 1, 2, · · ·N .

12

Assim, o sinal recebido é dado por:

y(t) =

N∑n=1

xn,j(t)sn(t) + n(t) (4.40)

onde sn(t) é a sequência de espalhamento do n-ésimo usuário que consiste de chips com amplitude ±1. O espalhamentoespectral do n-ésimo usuário é conseguido utilizando-se a sequência sn(t) que apresenta uma taxa maior que a do sinalxn,j(t).

O receptor ML decide pelo conjunto de formas de onda x̂n,j(t) = xn,j(t) para n = 1, 2, · · · , N que minimizam:

minj=1,2,···M

∫ Ts

0

[y(t)−

N∑n=1

xn,j(t)sn(t)

]2dt

(4.41)

Descartando os termos irrelevantes e supondo que todos os sinais têm mesma energia, temos que:

maxj=1,2,···M

[∫ Ts

0

y(t)

N∑n=1

xn,j(t)sn(t)dt

](4.42)

onde usamos que s2n(t) = 1. Este receptor faz a contração espectral multiplicando o sinal recebido novamente por s(t). AFig. 4.14 apresenta o receptor ML para sinais DS-CDMA. A complexidade deste receptor é igual a C =MN .

Figura 4.14: Receptor ML para Sistemas com Espalhamento Espectral.

Sistemas com Interferência de Múltiplo Acesso

Suponha que existem N usuários e que a forma de onda xn,j(t) foi transmitida pelo n-ésimo usuário, para j = 1, 2, · · ·M epara n = 1, 2, · · ·N , onde M é o número de formas de onda possíveis. O sinal recebido é dado por:

y(t) =

N∑n=1

xn,j(t) + n(t) (4.43)

13

O receptor ML decide conjuntamente pelas formas de onda x̂1,j(t), x̂2,j(t), · · · , x̂N,j(t) que minimizam:

min

∫ Ts

0

[y(t)−

N∑n=1

xn,j(t)

]2dt

(4.44)

Descartando os termos irrelevantes e supondo que todos os sinais têm mesma energia, temos que:

max

[∫ Ts

0

y(t)

N∑n=1

xn,j(t)dt

](4.45)

A Fig. 4.15 apresenta o receptor ML para sinais que sistemas que apresentam interferência de múltiplo acesso. Este é oreceptor ML que permite eliminar a interferência. A complexidade deste receptor é igual a C =MN .

Figura 4.15: Receptor ML para Sistemas com Interferência de Múltiplo Acesso.

4.2 Leitura AdicionalMaterial de estudo adicional sobre detectores e capacidade de canal pode ser encontrado em [?].

4.3 Rotinas de Simulação

4.3.1 Capacidade de Canal AWGN para Modulação 2-PAMVamos apresentar a seguir, programa que permite obter a capacidade de um canal AWGN para a modulação 2-PAM unipolar.

clcclearclf();ebn0dbi=-10;ebn0dbf=10;ebn0dbp=0.1;for i=1:(ebn0dbf-ebn0dbi)/ebn0dbp

ebn0dbx(i)=ebn0dbi+(i-1)*ebn0dbp;ebn0db=ebn0dbi+(i-1)*ebn0dbp;

14

ebn0=10^(ebn0db/10);s=1;a1=s*2*sqrt(ebn0);a0=0;p0=0.5;p1=1-p0;y=-20:0.01:20;g0=1/sqrt(2*%pi*s^2)*exp(-(y-a0).^2/2/s^2);g1=1/sqrt(2*%pi*s^2)*exp(-(y-a1).^2/2/s^2);py=(p0*g0+p1*g1).^(-1);hyi=p0*g0.*log2(py)+p1*g1.*log2(py);hy=inttrap(y,hyi);hydx=log2(sqrt(2*%pi*exp(1)*s^2));c(i)=hy-hydx;

endplot(ebn0dbx,c)xlabel(’Eb/N0 (dB)’)ylabel(’C’)xgrid(1)

4.4 Exercícios de Simulação1. Obtenha a capacidade do canal AWGN em função da relação Eb/N0 para as modulações PAM polares em que M = 2,M = 4, M = 8 e M = 16.

2. Obtenha a capacidade do canal AWGN em função da relação Eb/N0 para as modulações ASK polares em que M = 2,M = 4, M = 8 e M = 16.

3. Obtenha a capacidade do canal AWGN em função da relação Eb/N0 para as modulações PSK em que M = 2, M = 4,M = 8 e M = 16.

4. Obtenha a capacidade do canal AWGN em função da relação Eb/N0 para as modulações QAM em queM = 4,M = 16e M = 64.

5. Usando (??) faça um gráfico da eficiência espectral em função da relação Eb/N0 para um canal AWGN.

4.5 Problemas1. Considere um canal BSC com p = 1/2 e considere que P (X = 0) = 0, 4. Aplique os critérios de detecção ML e MAP

para o caso em que o símbolo recebido é Y = 0. Repita para Y = 1. Determine a probabilidade de erro para cadacritério.

2. Considere um canal DMC com P (Y = 0|X = 0) = 0, 6, P (Y = 1|X = 0) = 0, 3, P (Y = 2|X = 0) = 0, 1,P (Y = 1|X = 1) = 0, 1, P (Y = 2|X = 1) = 0, 3, P (Y = 3|X = 1) = 0, 6. Considere ainda que P (X = 0) = 0, 6e P (X = 1) = 0, 4. Aplique os critérios de detecção ML e MAP para o caso em que o símbolo recebido é Y = 0,Y = 1, Y = 2 e Y = 3. Determine a probabilidade de erro para cada critério.

3. Considere um canal AWGN em que as amplitudes transmitidas são iguais a −A/2 e A/2 com probabilidade P0 e P1,respectivamente. Obtenha o critério de decisão e também o limiar para os detectores ML e MAP. Obtenha as expressõesde probabilidade de erro para cada um dos critérios de detecção.

4. Repita o Prob. 3 para o caso de ruído aditivo, cuja PDF é uniforme no intervalo de −2 a 2. Considere símbolostransmitidos iguais a −1 e +1.

5. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-ASK unipolar e 4-PSK polar em um canal AWGN.

6. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-PSK, 4-PSK e 8-PSK em um canal AWGN.

7. Obtenha o receptor ML para a modulação 16-QAM em um canal AWGN.

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8. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-PSK, 4-PSK e 16-QAM em um canal com desvanecimento plano.

9. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-PSK, 4-PSK e 16-QAM em um canal com desvanecimento seletivo comL = 3 percursos.

10. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-PSK, 4-PSK e 16-QAM em sistemas com espalhamento espectral.

11. Obtenha o receptor ML para a modulação 2-PSK, 4-PSK e 16-QAM em um canal com interferência de múltiplo acessoem que o número de interferentes é igual a K = 1.

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