DETERMINACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MATEMATICAS APLICADAS

DIEGO IBARRA GUERRERO

TRABAJO DE 1° UNIDAD

TRABAJO SOCIAL

FECHA DE ENTREGAmayo de 2011/26

NUMEROSNaturales¿Que son los Numeros Naturales?Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adicion de Numeros NaturalesLa adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.1.- Asociativa:Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a + b) + c = a + (b + c)Por ejemplo:(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 167 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16Los resultados coinciden, es decir,(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)2.-ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a + b = b + aEn particular, para los números 7 y 4, se verifica que:7 + 4 = 4 + 7Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.3.- Elemento neutroEl 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicacion de Números NaturalesLa multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.1.-AsociativaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a · b) · c = a · (b · c)Por ejemplo:(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30Los resultados coinciden, es decir,(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)2.- ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a · b = b · aPor ejemplo:5 · 8 = 8 · 5 = 403.-Elemento neutroEl 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la sumaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:a · (b + c) = a · b + a · cPor ejemplo:5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 555 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir,5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustraccion de Números NaturalesIgual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).Propiedades de la resta:La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

 

Propiedades de la Division de Números NaturalesLa división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.Propiedades de la divisiónLa división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Uso de los números naturalesLos números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así

como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

racional

En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónicode dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más senos.Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).El conjunto de los números racionales se denota por  , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjuntode los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Construcción de los números racionales

Consideremos las parejas de números enteros   donde  .

 denota a  . A   se le llama numerador y a   se le llama denominador

Al conjunto de estos números se le denota por  . Es

decir 

Definición de suma y multiplicación en Q

Se define la suma 

Se define la equivalencia   cuando 

Los racionales positivos son todos los   tales que 

Los racionales negativos son todos los   tales que 

Se define el orden   cuando 

Notación

Los números de tipo   son denotados por 

Las sumas de tipo   son denotadas por 

 denota a 

Todo número   se denota simplemente por  .

Unicidad de un racional

Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

Propiedades de la suma y multiplicación

La suma en Q es conmutativa, esto es:  La suma en Q es asociativa, esto

es: 

La multiplicación en Q es asociativa, esto

es: 

La multiplicación se distribuye en la suma, esto

es 

Existencia de neutros e inversos

Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.

Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.

Cada número racional:   tiene un inverso aditivo   tal que 

Cada número racional:   con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo   tal

que 

Equivalencias notables en Q

 si   y 

, a y b ≠ 0

, a y b ≠ 0.

Los números enteros en Q

Si p es un número entero entonces existe el número   que equivale a p y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se

define 

Otras notaciones de números en Q

Fracciones mixtas

Cada número racional   se puede expresar de forma única como   donde

A es un entero no negativo, es decir 

 es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa

como 

u es una unidad. Es decir 

La notación es muy sencilla, las reglas son

 denota a 

 denota a 

Por ejemplo 

El conjunto de los números decimales en Q

Un número decimal es un número racional de la forma 

 denota al conjunto de los números de este tipo. Es

decir 

Expresión Racional de un número decimal: el número a en base 10 con un punto

a n lugares del extremo derecho, por ejemplo   se denota como 1.78

Representación decimal de los números racionales

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:

Imaginarios

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el

año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a  el nombre de i, por imaginario de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Aunque si suponemos un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical,complejo, estos son un concepto totalmente valido.Todo número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad

,puesto entonces:

que es un número real.En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.Del mismo modo, partiendo de:

la raiz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resulta un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales   al conjunto de los números complejos  .

Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que   es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Usos

La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos, confirmando el teorema fundamental del algebra.

Exponentes y radicales

ExponentesSi n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresióna2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a   a la   n . El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.

Notación exponencial

Caso general(n es cualquier entero

positivo)Casos especiales

Ejemplos:

 es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.

Ejemplo

 

Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.

Exponente cero y negativo

Definición (a diferente de 0)

Ejemplo

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:

Ley Ejemplo

 Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

 

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar: a) 

          b) 

          

Solución: a) 

          

b) 

          

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Dominios y rasgos de c/ función

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar

con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución,

sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos

de la función.

Función afín .

Función lineal .

Función identidad .

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica

una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos

que se consideren.

Funciones en valor absoluto .

Función parte entera de x .

Función mantisa .

Función signo .

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores

de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por

todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que

cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de

la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los

signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número

real x le hace corresponder la potencia ax  se llama función exponencial

de base a y exponente x .

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la

exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Definición e idea de un limite

Notas del Libro de Cálculo del Profesor Lomelí

FALTA EDITAR

4. Límites. 4.1 Idea intuitiva de límite

La idea de límite es central en el estudio del cálculo

y ha sido usada en muy diversas formas a través de los

siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en

el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy

importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus

famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y

Cauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos

en nuestros días.

Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.

Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y

analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2. Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente

x | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.05 | 2.01

y | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999 | 0 | .75 | .99 | .9975 |

.9999

Cuál es el “último” valor que toma “y” cuando “x” se acerca

a 2 pero sin ser igual a 2. Si analizamos la función

restringida al dominio x, el conjunto de imágenes es un

conjunto acotado por el número 1, en efecto 1 es el supremo;

sin embargo 1 no está en dicho conjunto. Por la definición de supremo hay imágenes

arbitrariamente cerca de 1, lo que intuitivamente nos dice

que cuando x está cerca de 2, f(x) debe estar cerca de 1. Aquí podemos tener dos valores, uno al que está

tendiendo la variable x y otro al que se acerca f(x), el

cual no siempre existe. En general si f(x) está “arbitrariamente” cerca de L

cuando x está “suficientemente” cerca de a diremos que el

límite de f(x) cuando x tiende al valor a es L, y se

representa por: lim f(x) = L

x→a

Ejemplo 4.1 Encuentre lim x2+2

x→1

Solución.

Si tabulamos con y = f(x) = x2+2 tenemos lo siguiente

x | 0 | 0.5 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 2 | 2.25 | 2.81 | 2.9095 | 2.9801 | 6 | 4.25 | 3.21 | 3.0201

Vemos intuitivamente que f(x) se acerca a 3 cuando x está

cerca de 1, por lo que podemos suponer que el límite es 3. Cómo se puede ver es difícil, en algunos casos, saber

cuál es el límite, ya que no existe el valor “más cercano”

al punto a. Qué tantos valores debemos analizar para estar

seguros de haber encontrado el límite? Por ahora sólo haremos el análisis intuitivo y en la

siguiente sección se presentará una definición formal de

límite que nos permitirá estar seguros de si un número es o

no-límite de una función. Ejemplo 4.2 Encuentre el límite cuando x tiende a 1 de

las siguientes funciones

i) f(x) = (x2−1)/(x-1)

ii) f(x) = [x]

iii) f(x) = 1/(x-1) Solución.

i) Tabulando tenemos

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.01

Por lo que vemos que si x → 1 entonces los valores

de la función tienden a 2.

ii)

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 1

De aquí, vemos que al tomar x valores cerca de 1, las

imágenes no se acercan a un valor fijo ya que son 0 ó 1 para

valores de x suficientemente cerca de 1, por lo tanto el

límite no existe.

iii)

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | −1 | −2 | −10 | −20 | −100 | 1 | 2 | 10 | 100

En este caso vemos que cuando x está cerca de 1, los valores

de las imágenes son arbitrariamente grandes, positivos o

negativos, por lo que tampoco existe el límite. Ejercicios.

Encuentre los siguientes límites

1. lim [x-1/2]__________________ 8. lim (1-x2) x→3/2 x→1

2. lim [5x]____________________ 9. lim (6x+1) x→2 x→ −3

3. lim [x2]____________________ 10. lim (x+5) x→2 x→2

4. lim (x/3) x→1/3

5. lim |x+1| x→ −1

6. lim |2x-1| x→1/2

7. lim |5x| + |x-2| x→2